2 - Ecuaciones - Inecuaciones - Valor Absoluto

TRABAJO PRCTICO II

A - ECUACIONES

B - INECUACIONES

C - VALOR ABSOLUTO

Alicia Fraquelli - Andrea Gache ~ Trabajo Prctico II ~ 1

PARTE A: ECUACIONES

El arte de plantear ecuaciones


La ecuacin piensa por nosotros

Para ver que las ecuaciones son a veces ms previsoras que nosotros resolvamos la siguiente actividad:

"El padre tiene 32 aos y el hijo tiene 5 aos. Al cabo de cuntos aos ser la edad del padre diez veces mayor que la del hijo?"

Solucin:

Sea x = "al tiempo buscado en aos". Al cabo de x aos el padre tendr 32 + x aos; y el hijo, 5 + x aos.

Y como el padre debe de tener 10 veces ms aos que el hijo, se establece la ecuacin 32 + x =10(5 + x).

Al resolverla hallamos que "x = 2".

Esta solucin se traduce literalmente "al cabo de menos dos aos" que significa "hace dos aos".

Al plantear la ecuacin no pensbamos que en el futuro la edad del padre no sera nunca 10 veces superior a la del hijo; sin embargo esa situacin

slo pudo tener lugar en el pasado.

La ecuacin ha sido ms reflexiva que nosotros, y nos ha recordado nuestro descuido.


Las ecuaciones son la parte ms bsica de las matemticas.

Contar es resolver una ecuacin.

Por ejemplo: cuando decimos que hay cinco sillas, estamos diciendo que el conjunto de sillas es numricamente igual al conjunto de los primeros

cinco nmeros naturales.

Difcilmente encuentres una operacin matemtica que utilices tanto en la vida como las ecuaciones.

Es muy comn la siguiente pregunta:

Una respuesta a esta pregunta puede ser que: la matemtica es como el software que le cargs a tu cerebro para que por medio de l interpretes al

Universo.

Una vez que aprends matemtica, tu cerebro funciona de una forma diferente, empezs a entender las cosas.

Un ejemplo que nos sirve para terminar de entender este concepto: Si yo me dedico a la msica, puedo aprender de memoria los tonos de todas las canciones... o puedo aprender armona, y entonces ya no necesito aprendrmelos ya que los tonos adquieren para m una estructura lgica,

empiezan a ser comprensibles.

Entonces si aprendo armona, dejo de ser tan slo un intrprete de lo que otros escribieron y puedo componer nuevas melodas...

Con la matemtica pasa lo mismo.

Si aprendo matemtica dejo de ser un mero observador del mundo, y comienzo a entenderlo, empiezo a pensar.

Entonces, podemos ahora replantear la pregunta y decir Para qu me sirve pensar?

Reflexionamos juntos

Para qu me sirve aprender

matemtica si yo me voy a

dedicar a?


Ecuaciones Polinmicas

La forma general de la ecuacin polinmica de grado n es: n n 1 n 2

0 1 2 n 1 na x a x a x ... a x a 0

Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o races).

En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre s.

Si los coeficientes ai son nmeros reales, entonces las soluciones pueden ser nmeros reales o nmeros complejos. (Cualquier combinacin,

con la siguiente restriccin: si una de las soluciones es compleja, su conjugada tambin es solucin. Esto implica que las soluciones

complejas vienen por parejas y por lo tanto las ecuaciones de grado impar tienen al menos una solucin real).

Recomendaciones para plantear una ecuacin

No existen reglas sencillas que garanticen el xito en la resolucin de problemas. Sin embargo es posible establecer algunas pautas generales y

algunos principios que pueden ser tiles en la solucin de problemas:

1. Leer y comprender el problema.

2. Ubicar la incgnita y relacionarla con los datos del problema.

3. Plantear la ecuacin y resolverla.

4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable.


PARTE A: ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

Resolver la ecuacin 4x 7 12

trmino en x trmino trminoindependienteindependiente

Segundo miembroPrimer miembro

4 x 7 12

4 x 12 7

4 x 5

5x

4

Ejercicio 2

Resolver la ecuacin 6 x 5 3x 4 Segundo miembroPrimer miembro

6 x 5 3x 4

6 x 3x 4 + 5

3x 9

9 x

3

x 9

Se deja el trmino en x en el primer

miembro y los trminos independientes se trasponen al segundo miembro Se reducen los trminos semejantes

Se trasponen los trminos para que

queden los trminos en x en el primer

miembro y los trminos independientes en el segundo miembro

Se reducen los trminos semejantes

Trminos en x: 6x, 3x

Trminos independientes: 5, 4


Ejercicio 3

Resolver la ecuacin 2 7 x 7x 8 5 x 1 8x 4


2 7 x 7x 8 5 x 1 8x 4

14 2x 7x 8 5x 5 8x 4

2x 7x 5x 8x 8 5 4 14

2x 3

3 x =

2

Ejercicio 4

Resolver la ecuacin 7 x 3( x 1 )

+ 2 4 6


7 x 3( x 1 ) + 2

4 6

2 3( x 1 )3(7 x ) 12.2

12 12

21x 24 6 x 6

12 12

21x 24 6 x 6

21x 6 x 6 24

15x = 30

x 2





Se suprimen los parntesis

aplicando propiedad distributiva







Calculamos el mnimo comn mltiplo de

los denominadores de ambos miembros

Como los denominadores son iguales,

los numeradores tambin lo son.


Ejercicio 5

Resolver la ecuacin 5 x 1 x 4x 15


5 x 1 x 4 x 15

5x + 5 x = 4x + 15

4 x 5 4x + 15

4 x 4 x 15 5

0 x 10

0 10 ABSURDO

Ejercicio 6

Resolver la ecuacin 2x 2 ( x 1 ) 2


2x = 2 ( x 1 ) 2

2x 2x 2 2

2x 2x 2 2

0 x 0 Cualquiera sea x la ecuacin se verifica








Luego la ecuacin no tiene solucin

Luego la ecuacin tiene infinitas soluciones








PARTE A: ECUACIONES EJERCICIOS

1) Para plantear correctamente una ecuacin es necesario simbolizar correctamente el enunciado del problema. Enuncia la representacin matemtica de los siguientes enunciados.

Enunciado Representacin

matemtica

Enunciado

Representacin

matemtica

Un nmero m y n estn en la misma razn que

3 y 8

El triple de un nmero La suma de tres nmeros

El triple de un nmero, aumentado en 2 La suma de tres nmeros consecutivos

El triple, de un nmero aumentado en 2 La suma de tres nmeros pares

consecutivos

El doble de un nmero, disminuido en 9 La suma de tres nmeros impares

consecutivos

El triple, de un nmero disminuido en 9 La suma de los cuadrados de tres

nmeros

Lo que tiene A es igual a lo que tiene B El cuadrado de la suma de tres nmeros

A tiene el doble que B El cubo del doble de un nmero

A tiene dos veces lo que tiene B El doble del cubo de un nmero

x es cuatro veces y A excede a B en 4

a es a b como 6 es a 5 Tres menos dos veces un nmero

cualquiera.


2) Traduce las siguientes expresiones al lenguaje verbal

Enunciado

Matemtico Enunciado Verbal

Enunciado


3 1x 23 1x

3 1x 12

x

1

2

x

3 3 1x y

2

3 1x 1

2x

3) Resolver las siguientes ecuaciones en :

a) 2x 13 4 5x b) 9 2

3 5x

c) 2

3x

3

1x4

d)

3

x

2

x1

e) 3

2x

5

2

5

8x

3

4 f) 4 [5x (6 7x)] = 3x 5


Plantear y resolver las siguientes situaciones problemticas.

4) Hallar un nmero tal que su doble ms 5 es igual a su triplo ms 4.

5) Calcular un nmero natural cuyo triplo disminuido en 4 sea igual al siguiente de la mitad de dicho nmero.

6) La suma de los cuadrados de tres nmeros consecutivos es 1202. Cules son dichos nmeros?

7) La suma de tres nmeros es de 12725; los dos primeros suman 7560 y el segundo es 2349. Calcula los tres nmeros.

Te ayudamos a pensar:

a) Identifica cules son los datos y la o las incgnitas. Utiliza smbolos para expresar la relacin entre ellos. b) Escribe el procedimiento que utilizaste para resolverlo. c) Hay una nica solucin para el problema?; d) El procedimiento se adapta a cualquier conjunto de datos? Por ejemplo si se hubiera trabajado con mayor cantidad de nmeros, o si alguno

fuera negativo.

e) Puede suceder que si se cambian los valores de los datos se llegue a un problema sin solucin?

8) Se reparti una herencia de 16 millones y medio de pesos entre la viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibi la mitad de lo que recibi su hermana, y sta, el triple de lo que recibi su madre. Cunto recibi cada uno?

Te ayudamos a pensar:

Si no elaboraste una expresin simblica que representa la situacin problemtica anterior.

Hazlo y verifica que resolvindolo de esta manera puedes llegar a la misma respuesta.

Te resulta til la notacin simblica?


9) Cul es la edad de una persona que dentro de tres aos tendr una edad tal que su cuadrado ser la suma entre el sxtuplo de la que tiene actualmente y 10?

10) Hallar un nmero racional sabiendo que el punto que representa en la recta es el punto medio del segmento determinado por el punto que

representa a 2

3 y el que representa a

8

7.

11) Cul es el precio original de un artculo, si despus de bonificarle el 10% el cliente debe pagar $180?

12) En una poblacin de N individuos hay un nmero a, b y c de cada tipo A, B y C respectivamente .Calcular el % correspondiente a cada tipo.

13) Un utilitario tiene que transportar cuatro tipos de insumos agropecuarios: A, B, C y D, los que se llevarn en cajas. Una caja del insumo A pesa 10 kg, una caja del insumo B pesa 15 kg, una caja del insumo C pesa 12 kg y una del insumo D pesa 20 kg. La capacidad del utilitario es 600

kg.

a) Determina la ecuacin adecuada para que el utilitario est cargado en toda su capacidad. Existe una nica solucin? Ejemplifica. b) Si se decide enviar 13 cajas del insumo A, 10 del B y 10 del C. Cuntas cajas del insumo D se enviarn? Explica el procedimiento utilizado. c) Si se decide enviar un slo insumo por vez, Cuntas cajas de cada insumo se podrn transportar? d) Si cada caja del insumo A, B, C y D cuesta $98, $49, $57 y $123, respectivamente y un cliente dispone de $1316 para su compra. Elabora

una ecuacin de manera que el cliente pueda ocupar todo el dinero disponible, y una posible compra del cliente.

14) Dada la ecuacin: 2x + 3

= 24x + 6

a) Trata de anticipar: sin resolverla, escribe qu se lee a travs de su expresin simblica. Tendr solucin? Por qu? b) Ahora, resulvela por el procedimiento que consideres conveniente y luego verifica si tu anticipacin fue acertada completamente o en

algunos aspectos.


15) Despejar en las siguientes expresiones la incgnita indicada. (1)

Expresin Incgnita a despejar


2K LU

S

K 1nC C in C; i ; n

1 0v vat

t 1

n

nC C i C; i

2 2S k m n m 1 . .P r t t

21.2

L v t kt v 1 .

2

na a nS

n

1 2. .Q m c T T T1 1 1

nR i

Si

R

(1) Aclaracin: el objetivo de esta actividad es nicamente el despeje de la variable indicada, sin importar el origen de la frmula considerada,

algunas de las cuales sern empleadas a lo largo de la carrera.


ECUACIONES RESPUESTAS 1)

Enunciado Representacin

matemtica

Enunciado

Representacin

matemtica

Un nmero x m y n estn en la misma

razn que 3 y 8

3

8

m

n

El triple de un nmero 3x La suma de tres nmeros x y z

El triple de un nmero,

aumentado en 2 3 2x

La suma de tres nmeros

consecutivos 3 3x

El triple, de un nmero

aumentado en 2 3 2x La suma de tres nmeros pares

consecutivos 6 6x

El doble de un nmero,

disminuido en 9

La suma de tres nmeros impares

consecutivos 6x + 9

El triple, de un nmero

disminuido en 9 3 9x La suma de los cuadrados de tres

nmeros 2 2 2x y z

Lo que tiene A es igual a lo que

tiene B x y El cuadrado de la suma de tres

nmeros

2x y z

A tiene el doble que B 2x y El cubo del doble de un nmero 3

2x

A tiene dos veces lo que tiene B 2x y El doble del cubo de un nmero 32x

x es cuatro veces y 4x y A excede a B en 4 4x y

a es a b como 6 es a 5 6

5

a

b

Tres menos dos veces un nmero

cualquiera. 3 2x

2 9x


2)

Enunciado


Enunciado


3 1x Antecesor del triple de un nmero 23 1x Antecesor del triple del cuadrado

de un nmero

3 1x Triple del antecesor de un nmero 12

x

Antecesor de la mitad de un

nmero

1

2

x Mitad del antecesor de un nmero 3 3 1x y

La diferencia de los cubos de dos

nmeros es igual a 1

2

3 1x Cuadrado del Antecesor del triple

de un nmero

1

2x Un nmero disminuido en 1/2

3) Resolver las siguientes ecuaciones en :

4) El nmero es 1x

5) El nmero es 2x

6) Los nmeros son :19, 20 y 21 21, 20 y 19

7) Los nmeros son x = 5211, y = 2349, z = 5165

a) 3x b) 3x c) 1x

d) 6x e) 1x f) 1x


8) Siendo cantidad de millones que recibe la viuda: x ; la cantidad de millones que recibe el hijo: y ; la cantidad de millones que recibe la hija: z x =3 millones y = 4,5 millones z = 9 millones

9) La edad es 1 ao

10) El nmero racional es 16

5

11) El precio es de $200.

12) Los % son : cN

100b,

N

100a,

N

100

13) a) Cantidad de cajas insumo A: x Cantidad de cajas insumo B: y

Cantidad de cajas insumo C: z

Cantidad de cajas insumo D: w 10 15 12 20 600x y z w

b) 10 cajas del insumo B

c) Cantidad de cajas insumo A: 60

Cantidad de cajas insumo B: 40

Cantidad de cajas insumo C: 50

Cantidad de cajas insumo D: 30

d) 98 49 57 123 1316x y z w

14) a) No tiene solucin

b) 3

2x no es un valor vlido para x, ya que anula el denominador de la expresin dada.


15) Despejar en las siguientes expresiones la incgnita indicada.



2K LU

S

2

US LK

1nC C in

1nCCin

11n n

C C Ci i

C n Cn

11

.

n nC C Cn nC i C i

1 0v vat

1 0

v vt

a

1

n

nC C i 1n

n

CC

i

, 1nn

Ci

C

2 2S k m n 22

Sm n

k

1

.t

P r

21

2L kt

vt

1

2

n

Sn

a a

1 2.

QT T

m c 1 1

nR i

Si

.

1 1n

S iR

i

1 . .P r t

21.2

L v t kt 1 .

2

na a nS

1 2. .Q m c T T


PARTE B: INECUACIONES

Una inecuacin es una desigualdad que contiene una o ms variables. Resolver una inecuacin es determinar el conjunto de valores de la o las

variables para los cuales la desigualdad es verdadera. No existe un mtodo general para resolver una inecuacin, sin embargo tal como en la

resolucin de una ecuacin se trata de despejar la variable respetando las propiedades de las desigualdades.

Una inecuacin es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x + 1 < 9

menor o igual que 2x + 1 9

> mayor que 2x + 1 > 9

mayor o igual que 2x + 1 9

El conjunto solucin de una inecuacin est formado por el conjunto de valores de la variable que la verifican.

Podemos expresar al conjunto solucin de la inecuacin:

1. En forma grfica.

2. A partir de un intervalo.


INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

Ejemplos:

a) 2x 1 9

2x 8 x 4 S ( ;4 )

b) 2x 1 9

2x 8 x 4 S ( ;4

c) 2x 1 9

2x 8 x 4 S ( 4;

d)

[

2x 1 9

2x 8 x 4 S 4;

Intervalo En forma grfica

En forma grfica Intervalo

En forma grfica Intervalo

Intervalo En forma grfica


INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA

Consideremos la siguiente inecuacin:

2 6 8 0x x

Para resolverla:

a) Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la ecuacin de segundo grado para poder factorizar la inecuacin.

2

1

2

6 36 4.1.8 6 4 6 26 8 0

2.1 2 2

6 24

2

6 22

2

x x x

x

x

b) Factorizando la inecuacin:

2 4 0 2 0 4 0 2 4 4x x x x x x x

2 4 0 2 0 4 0 2 4 2x x x x x x x

Por lo tanto el conjunto solucin es: S , 2 4 ,

Solucin expresada

en forma grfica

Expresamos la solucin como

una operacin de intervalos

Resolvemos la ecuacin cuadrtica

aplicando

2

1,2

b b 4acx

2a

y

obtenemos los ceros o races:


INECUACIONES RACIONALES

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no

puede ser cero.

20

2 8

x

x

a)

2 0 2

2 8 0 4

x x

x x

b) Teniendo en cuenta por un lado que en un cociente el denominador no puede ser cero y por otro la regla de los signos para el cociente

20 4 :

2 8

2 0 2 8 0

2 2 8 4 4

2 0 2 8 0

2 2 8 4 2

xcon x si

x

x x

x x x x

x x

x x x x

Por lo tanto el conjunto solucin es: S , 2 4 ,

Expresamos la solucin como

una operacin de intervalos

Solucin expresada

en forma grfica

Hallamos las races

del numerador y del

denominador


PARTE B: INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

Resolver la ecuacin 2( x 1 ) 3( x 2 ) x 6

2( x 1 ) 3( x 2 ) x 6

2x 2 3x 6 x 6

x 8 x 6

x x 6 8

2x 2

2x x 1

2

S x / x 1 S 1 ,






Suprimimos los parntesis

aplicando la propiedad distributiva

Solucin expresada

en forma grfica

Solucin expresada

como intervalo

Solucin expresada en

lenguaje conjuntista


Ejercicio 2

Resolver la ecuacin 2 23 x 5x x 3

2 2

2 2

2

3 x 5 x x 3

3 x 5 x x 3 0

2 x 5 x 3 0

12 x x 3 0

2

1 1 1x 0 x 3 0 x x > 3 x

2 2 21

2 x x 3 02

1 1 x < 3x 0 x 3 0 x x < 3

2 2

1

S x / x < 3 x2

1

S , 3 ,2

Se trasponen todos los trminos

al primer miembro Se reducen los trminos semejantes

Factoreamos la expresin, para

ello calculamos sus races

Aplicando

2

1,2

b b 4acx

2a

obtenemos los

ceros o races 1 2

x 1 / 2 x 3 y

factoreamos: 2

1 2ax bx c a( x x )( x x )

Solucin expresada

como intervalo Solucin expresada en

lenguaje conjuntista

Solucin expresada

en forma grfica


Ejercicio 3

Resolver la ecuacin 3x 2 4

x x

3x 2 4

x x

3x 2 4 0

x x

3x 2 4 0

x

3x 6 0

x

3x 6 0 x 0 3x 6 x 0 x 2 x 0 x 2 3x 6

0x

3x 6 0 x 0 3x 6 x 0 x 2 x 0 x 0

S x /x 0 x 2 S ,0 2,

Se traspone el trmino del segundo miembro

de la desigualdad al primer miembro

Operamos y obtenemos

la siguiente desigualdad Analizamos los signos de

numerador y denominador

Solucin expresada en

lenguaje conjuntista Solucin expresada

como intervalo

Solucin expresada

en forma grfica


PARTE B: INECUACIONES - EJERCICIOS

16) Resolver las siguientes inecuaciones en y expresar el resultado utilizando intervalos:

a) 1 4 5x b) 3x4 2

3 5x

c) 75x1 3

d) x54x5 e) x3

1

5

8x

3

1 f)

2x

3 15

2


18) Cules son los nmeros que cumplen con la condicin: su doble ms 3 unidades es menor que 9?

19) Una fbrica A paga a sus vendedores $10 por artculo vendido ms una suma fija de $5000 mensualmente. Otra fbrica B paga $15 por

artculo vendido ms una suma fija de $ 3000.

Cuntos artculos deber vender el empleado de la fbrica B para superar los ingresos del empleado de la fbrica A?

20) Cules son los nmeros cuyo cudruplo excede a su duplo en ms de 20 unidades?

a) 0)2x.(x b) 0)2x).(3x( c) 0)2x3).(x1( d) 0) 2x ).(x 1 ( 2

e) 0)2x).(x1(2 f) 0) 5x ).(x7 (

42 g) 01x

3x

h)

2xx3

i) x

4x j) 1

2x

3

k)

x

5

x

2 l) 0

x

55

m) 14x

3 n)

5

x

2

x


INECUACIONES RESPUESTAS


a) ( ,1] b) ), 3( c)

5

4,

5

6

d) ), ( e) f)

6

11,

17) Resolver las siguientes inecuaciones en y expresar el resultado utilizando intervalos

18) Los nmeros son los menores que 3

19) El nmero de artculos deber superar los 400

20) Los nmeros son los mayores que 10

a) ), 0()2, ( b) [-2 , 3] c)

1 ,

3

2 d) ), 1(

e) )1 , ( f) g) (1, 3] h) [0, 3]

i) ), 2()0 , 2( j) ),2()1,( k) )0,( l) )1 , 0(

m) (, 0) [1, +) n) [ 0,+)


PARTE C: VALOR ABSOLUTO

DEFINICIN:

Valor absoluto de un nmero real x, y se simboliza |x |, al mismo nmero x cuando x es positivo o cero , o al opuesto de x,

si x es negativo.

En smbolos:

Ejemplos: 6 6 6 6 0 0

Geomtricamente el valor absoluto de un nmero x

representa la distancia del punto x al origen.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

Propiedad 1: x x : 0

Propiedad 4:

Si entoncesx y x y x y , ,

Propiedad 2: x x x Si : 0 0 Propiedad 5: entoncesxx

x y e yy y

Si , 0,

Propiedad 3: x x x : Propiedad 6: x y x y x y Si , :

Propiedad 7: Si b > 0, grficamente

Propiedad 8: Si b > 0, grficamente

0

0

x si xx

x si x

x b b x b

x b x b x b


Aplicando las propiedades podemos calcular por ejemplo:

x 3x 3 x 3 x 3

x 3

x 4 x 4x 4 4 x 4 x 4, 4

x 4 x 4

x 7 x 7x 7 x 7 x 7 x , 7 7,

x 7 x 7

x 3 5 x 8 x 8x 3 5 x 8 x 2 x , 2 8, +

(x 3) 5 x 2 x 2

Por definicin de valor absoluto





PARTE C: VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

Sea el conjunto C x / x 3x x 6 5 Obtener la solucin analtica y grfica.

Planteamos las siguientes desigualdades:

xx x

x xx

1

3x x 6 5 3x x 6 5 2 6 5 2 1 2

3x x 6 5

3x x 6 5 2 6 5 2 113x x 6 5 11

2

Podemos escribir en lenguaje conjuntista x

11 1C x / x :

2 2

Utilizando los intervalos podemos dar la solucin como un intervalo cerrado, ya que es un conjunto de nmeros reales comprendidos, incluidos los

extremos entre 11

2

y 1

2 lo anotamos as:

11 1,

2 2

Grficamente representamos el conjunto en la recta real:


o aplicando directamente la

propiedad 7:


Antes de ver la solucin mira con atencin cada uno de los ejercicios siguientes, no siempre el camino es aplicar la definicin de valor absoluto de

inmediato.

Ejercicio 2

Resolver x x x 3 1 5 1 2 1 6

x x x

x

x x

x

x x

3 1 5 1 2 1 6

6 1 6

1 1 2

1 1

1 1 0

La solucin buscada es: S 0,2

Ejercicio 3

Resolver 2x 6 x 3 5

x x

x x

2x 6 x 3 5

2(x 3) x 3 5

2 x 3 x 3 5

2 x 3 x 3 5

3 5 2

x 3 5

3 5 8

Observa la igualdad.

x 1 es un factor presente en cada

uno de los trminos del primer miembro

de la igualdad

Sumamos Por definicin de valor absoluto

Observa la igualdad.

Podemos factorear x 2 6

Aplicamos la propiedad

a b a b. .

Por definicin de

valor absoluto La solucin buscada es: S 8,2

Por definicin de

valor absoluto


PARTE C: VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS

21) Resolver las siguientes ecuaciones en y expresar el resultado utilizando intervalos:


VALOR ABSOLUTO - RESPUESTAS

21) Resolver las siguientes ecuaciones en


a) 6x b) 72x c) 02x

d) 62x4 e) 05x f) 0)7x.()1x(

a) 2

1x b) 72x2 c) 32x

2

1

d) 03x2 e) 02x5 f) 66x2

a) 6x6x b) 9x5x c) 2x

d) 2x1x e) 5x5x f) 7x1x1x

a)

2

1,

2

1 b)

2

5,

2

9 c) ),10()2,(

d)

,

2

3

2

3, e) f) ),32()0,(


En los siguientes ejercicios seala la respuesta correcta justificando su eleccin.

1) La edad de una persona es (12a + 8) aos, Hace cuntos aos tena la cuarta parte de su edad actual?

a) 3a + 2 b) 12a + 4 c) 3a + 4 d) 9a + 8 e) 9a + 6

2) Si y es el sucesor de x, y x es el triple del antecesor de y, entonces los valores de x e y son respectivamente:

a) x = 0 , y = 1 b) x = 1, y = 0 c) x = 1 , y = 0 d) x = 0 , y = 1 e) x = 0, y = 0

3) Si x + z = y , 2y = 3x y x + y + z = 18, entonces el valor de z es:

a) z = 9 b) z = 6 c) z = 4,5 d) z = 4 e) z = 3

4) Cul es el nmero que multiplicado por dos es cuatro unidades menos que 3 veces 6?

5) El cuadrado de la suma de dos nmeros consecutivos es 81. Hallar la diferencia del triple del mayor y el doble del menor.

6) Cul es el nmero que excede a 24 tanto como es excedido por 56?

7) El exceso de un nmero sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo nmero sobre 70. Hallar el nmero disminuido en su cuarta parte.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) no existe

a) 9 b) 8 c) 7 d) 22 e) 10

a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 38

a) 120 b) 80 c) 90 d) 98 e) 110

Los siguientes ejercicios son optativos, permiten continuar afianzando los conocimientos adquiridos respecto de la interpretacin, planteo y resolucin de ecuaciones lineales. Se sugiere su realizacin.


8) El costo del envo de un paquete postal de P kg. es de $10 por el primer kilogramo y de $3 por cada kilogramo adicional. Entonces el costo total de envo de dicho paquete es:

9) En un examen un alumno gana dos puntos por cada respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocacin. Despus de haber contestado 40 preguntas obtiene 56 puntos. Cuntas correctas contest?

10) A cierto nmero par, se le suma el par de nmeros pares que le preceden y los dos nmeros impares que le siguen obtenindose 968 unidades en total. El producto de los dgitos del nmero par en referencia es:

11) En una reunin se cuentan tantos caballeros como 3 veces el nmero de damas. Despus que se retiran 8 parejas el nmero de caballeros que an quedan es igual a 5 veces el nmero de damas. Cuntos caballeros haba inicialmente?

12) En una clase de lgebra de m alumnos; n no prestan atencin, p hablan y el resto escucha clases. Cul es el exceso de los que no prestan atencin y hablan sobre los que atienden?

13) Por cada televisor que se vende se gana m pesos. Si se ha ganado n pesos y aun sobran a televisores; cuntos televisores haba al inicio?

a) 10 + 3p b) 10 3p c) 10 + 3(p + 1) d) 10 + 3(p1) e) 10 3(p 1)

a) 32 b) 28 c) 36 d) 24 e) 38

a) 162 b) 63 c) 120 d) 150 e) 36

a) 16 b) 32 c) 72 d) 64 e) 48

a) n + 2p m b) 2n+ 2p + m c) 2n+ 2p m d) n + p + m e) ninguna

a) n+am

a b)

m+an

n c)

m+na

ma d)

a+mn

n e)

n+ma

m


Ms ejercicios para afianzar la resolucin de ecuaciones de distinto grado:

14) Resolver las siguientes ecuaciones

N ECUACIN

N ECUACIN

1 3 5 3 2x x 9 2 1 1 2 3

3 5 4 2 2

x x x

2 3 2 1 2 3 1 4x x x 10 2 12 4

2 3 5 3 3

xx x x xx

3 3 1 2 4 1 2 1x x x x 11 1

2 4 3 1 3.4

x x x

4 1 2

2 3

x x 12 2 3 1x x x

5 2 2 3 1

13 2

x x 13 a x b c

6 2 2 3 2 3 4 1

25 2 3

x x x 14 a bx c a x a

7 2 3

2 1 23 2

x xx x x 15

x a x b

b a

8 3 2

2 23 2 2

xx xx

16

ax bc bx a

c


ECUACIONES EJERCICIOS ADICIONALES RESPUESTAS

14)

N SOLUCIN N SOLUCIN N SOLUCIN N SOLUCIN N SOLUCIN N SOLUCIN N SOLUCIN

1 e

3 e

5 d 7 a 9 a 11 e 13 e

2 a 4 a 6 c 8 d 10 e 12 c

N SOLUCIN

N SOLUCIN N SOLUCIN N SOLUCIN

1 2

5x 5 1x

9

29

106x 13

ab cx

a

2 4

5x 6

59

62x

10 20

43x 14

1

a cx

b

3 1x 7 12

37x 11

15

32x 15

2 2a bx

a b

4 7

5x 8

3

11x 12

3 1

4x

16

2

2

ac bx

a bc

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2 - Ecuaciones - Inecuaciones - Valor Absoluto