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1
EEccuauaccionionees y Desigualdades s y Desigualdades concon Val Valoror AbsolutAbsolutoo
2
Objetivos:
1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.2. Resolver desigualdades con valor
absoluto.
3
Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo a, entonces la expresión es igual a a ó -a. Por lo tanto,
es equivalente a o .u a u a u a
EEccuauaccionionees s con con ValValoror Absolut Absolutoo
Teorema 1:Teorema 1:
4
2 3 11 ó 2 3 11x x
Resuelv
Ejemplo
a: 2 1
1:
1
3 x
2 11 3x
2 14x
7x
2 11 3x
2 8x
4x
. . 4,7 C S
5
31053 x
3 5 7 ó 3 5 7x x
123 x
4x
23 x
3
2x
Resuelva:
Ejempl
3 3
o 2:
5 10 x
24
3. . ,C S
3 5 7x
6
2 2 8 12 4x
2 8 4 ó 2 8 4 x x
Resuelva: 4
Ejempl
2 2
o 3:
8 12 x
82 8
2x
2 2 8 8x
2 8 4x
7
2 12x
6x
2 4x
2x
2 6. . ,C S
2 8 4 ó 2 8 4 x x
8
Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número negativo -a, entonces el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío.
EEccuauaccionionees s con con ValValoror Absolut Absolutoo
su solución es el conjunto
vacío = .
Si u a
Teorema 2:Teorema 2:
9
2 5 10 4x
Conjunto Solución = { }
Resuelve:
Ejemplo
4
1:
2 5 10 x
2 5 14x
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
145
2x
5 7x
10
301054 x
Conjunto Solución = { }
Resuelve: 3
Ejempl
0 4
o 2:
5 10 x
2054 x
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
11
Si el valor absoluto de una expresión es igual a cero entonces la expresión es igual a cero.
0 entonces 0.Si u u
Teorema 3:Teorema 3:
12
Resuelve:
Ejemplo 1
4 2
:
5 0x
2 5 0x
2 5 0x 2 5x
5
2x
5. .
2C S
13
Si a un número positivo entonces,
es equivalente a
es equivalente a
u a a u a
u a a u a
Las desigualdades con valor absolutoLas desigualdades con valor absoluto
0 a-a
u
Teorema 1:Teorema 1:
En otras palabras, |u| < a es equivalente a -a < u y u < a.
14
5 3 1 5x
4 3 6x
43
2x
C. S. =
-2 -1 0 1 2 3 ( )
Resuelva
Ejemplo
5
:
3
1
1 x
42
3x R x
4, 2
3
4
3
15
12 2 4 12x
Resuelva
Ejempl
2 2 4
2:
1
o
0 x
2 4 10 2 x
2 4 12 x
12 4 2 12 4x 8 2 16x 8 2 16
2 2 2
x
16
C. S. =
( )
4 8 x R x 4, 8
8 2 16
2 2 2
x
4 8x
-4 8
17
Ejemplo 3:
4 2 3 6 6 x
2 3 6 6 x 4
2 3 6 2 x
2 3 6 2
2 2
x
3 6 1 x
18
3 6 1 x
1 3 6 1 x
1 6 3 1 6 x5 3 7 x5 3 7
3 3 3 x
5 7
3 3 x
19
5/3 7/3
( )
5 7. . ,
3 3
C S
5 7
3 3 x
20
Si a es un número positivo, entonces
auauau
auauau
ó a eequivalent es
ó a eequivalent es
0 a-a
uu
Teorema 2:Teorema 2:
21
4 3 15x ó 4 3 15x
4 18x
x 92
4 12x
x 3
C.S.=
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
] [
Resuelva:
Ejemplo 1
4
:
5 3 1 x
9/ 3
2x R x ó x
9, 3,
2
22
124 x
3x
84 x
2x
C.S.=
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ] [
Resuelv
Ejemplo
a: 4 1
2:
0
2 x
4 2 10 4 2 10x ó x
, 3 2,
23
Si -a es un número negativo entonces,
y tienen un
conjunto de soluciones vacío, u a u a
Aclaración: Un valor absoluto no puede ser menor que un número negativo, la desigualdad es inconsistente.
Teorema 3:Teorema 3:
24
Ejemplos:
462.1 x
2. 7 2 3 6 4x
Siempre es falso
..SC
2 3 6 4x 7
25
2 3 6 4 7x
2 3 6 3x
Siempre es falso
..SC
33 6
2x
26
Si -a es un número negativo, entonces y son ciertas para
todos los números reales, esto es
C.S.=R.
u a u a
Teorema 4:Teorema 4:
27
Ejemplos:
1. 2 8 4x
2. 8 5 3 6 4x
Siempre es cierto
. .C S R
5 3 6 4x 85 3 6 4x
28
Siempre es Cierto
. .C S R
5 3 6 4x
5 3 6 4
5 5
x
43 6
5x
29
Teorema 5:Teorema 5:
Si 0 entonces 0 ó 0 . El conjunto
solución es todos los números reales excepto el 0.
Si 0 entonces el conjunto solución es R.
u u u
u
Ejemplo 1: 3 6 0x
. .C S R
Ejemplo 2 : 3 6 0x
. . 0C S R
30Ejercicios: Resuelva la ecuación o la desigualdad.
1. 5 10 15
2. 15 10 25
3. 4 3 10 15
4. 20 4 1 15
5. 5 20 15
6. 8 2 5 10 15
7. 10 4 2 10 20
8. 25 100 125
x
x
x
x
x
x
x
x
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
31Ejercicios resueltos:
15105.1 x
5 10 15 5 10 15x ó x 5 15 10x 5 25x 5 25
5 5
x
5x
5 15 10x 5 5x 5 5
5 5
x 1x
. . 5, 1C S Ejercicios
32
2. 15 10 25x
15 10 25 15 10 25x ó x 15 25 10x 15 35x 15 35
15 15
x
7
3x
15 25 10x 15 15x
15 15
15 15
x 1x
7. . , 1
3C S
Ejercicios
33
3. 4 3 10 15x
3 10 11 3 10 11x ó x 3 1011x
3 21x
3 1 101x
3 1x
43 10 15x 3 10 11x
Ejercicios
34
3 21
3 3
x
7x
3 1
3 3
x
1
3x
1. . 7,
3C S
Ejercicios
35
4. 20 4 1 15x
. .C S
4 1 1 205x
4 1 5x Es siempre falso, la ecuaciónes inconsistente.
Ejercicios
36
5. 5 20 15x
1520515 x
15 5 120 5 20x 5 5 35x
5 5
5 5 35
5
x
1 7x
1 7[ ]
7,1.. SC
Ejercicios
37
6. 8 2 5 10 15x
2 5 10 5 81x
2 5 10 7x
2 5 10
2 2
7x
7
5 102
x
Es cierto siempre.
RSC ..
Ejercicios
38
7. 10 4 2 10 20x
4 2 10 2 00 1x
4 2 10 30x
4 4
4 2 10 30x
152 10
2x
Es falso siempre.
..SC
Ejercicios
39
8. 25 100 125x
25 100 125 25 100 125x ó x
25 12 1005x 25 225x
2
25 225
5 25
x
9x
25 125 100x 25 25x
25 25
25 25x
1x
40
9x 1x
1 9()
. . , 9 1,C S
Ejercicios
