Upload
prasetyo-noor-handoyo
View
250
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
1/23
SISTEMSISTEMPERSAMAANPERSAMAAN
LINEARLINEAR
Eliminasi GaussEliminasi Gauss
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
2/23
PengantarPengantar
Permasalahan yang kitaPermasalahan yang kita
temui banyaktemui banyak
dimodelkan dalamdimodelkan dalampersamaan linearpersamaan linear
sehingga diperlukansehingga diperlukan
penyelesaianpenyelesaianmenggunakan metodemenggunakan metode
numeris.numeris.
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
3/23
Jika terdapat satu set nJika terdapat satu set npersamaan dengan n bilanganpersamaan dengan n bilangan
yang tidak diketahui, dan setiapyang tidak diketahui, dan setiap
suku dari setiap persamaansuku dari setiap persamaanmengandung hanya satumengandung hanya satu
bilangan yang tidak diketahui,bilangan yang tidak diketahui,
yang berpangkat satu, makayang berpangkat satu, makadisebut sebagai:disebut sebagai:
PERSAMAAN LINEARPERSAMAAN LINEAR
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
4/23
Satu sistem n persamaan linearberbentuk:
a11x1+ . + a1nxn = b1
a21x1+ . + a2nxn = b2
.
.
.
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
5/23
Dengan koefisien aDengan koefisien ajkjkdan bdan bkkyang diketahui.yang diketahui.
n menunjukkan jumlahn menunjukkan jumlah
persamaan.persamaan.
xx11, x, x22, , x, , xnnadalahadalah
bilangan yang tidakbilangan yang tidak
diketahui.diketahui.
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
6/23
AtauAtau
A X = BA X = B
Sistem persamaan dalamSistem persamaan dalam
bentuk matriksbentuk matriks
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
nx
x
x
...
2
1
=
nb
b
b
...
2
1
=
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
7/23
Sistem ersamaan linear ini dapatSistem ersamaan linear ini dapatdiselesaikan dengan:diselesaikan dengan:
Metode Tak Langsung (iterati!Metode Tak Langsung (iterati!
!ontoh: Ja"obi, #auss Seidel!ontoh: Ja"obi, #auss Seidel
Metode LangsungMetode Langsung!ontoh: $liminasi #auss, #auss!ontoh: $liminasi #auss, #auss
JordanJordan
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
8/23
rosedurnya:rosedurnya:
% &engurangi sistem persamaan ke&engurangi sistem persamaan ke
dalam bentuk sedemikian sehinggadalam bentuk sedemikian sehinggasalah satu persamaan hanyasalah satu persamaan hanyamengandung satu bilangan yangmengandung satu bilangan yangtidak diketahui.tidak diketahui.
% Setiap persamaan berikutnyaSetiap persamaan berikutnyahanya terdiri dari satu tambahanhanya terdiri dari satu tambahanbilangan yang tidak diketahui.bilangan yang tidak diketahui.
"# Metode Eliminasi $auss"# Metode Eliminasi $auss
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
9/23
Pada metode eliminasi Gauss,Pada metode eliminasi Gauss,operasi eliminasi dan substitusioperasi eliminasi dan substitusivariabelnya dilakukan sedemikianvariabelnya dilakukan sedemikian
rupa sehingga dapat berbentukrupa sehingga dapat berbentukmatriks segitiga atas, danmatriks segitiga atas, danakhirnya solusi diselesaikanakhirnya solusi diselesaikan
dengan teknik substitusi balikdengan teknik substitusi balik((backsubstitutionbacksubstitution).).
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
10/23
Eliminasi $aussEliminasi $auss
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
11/23
aa1111xx11+ a+ a1212xx22+ a+ a1313xx33 = b= b11 (1)(1)aa2121xx11+ a+ a2222xx22+ a+ a2323xx33 = b= b22 (2)(2)
aa3131xx11+ a+ a3232xx22+ a+ a3333xx33 = b= b33 (3)(3)
Tin%au & persamaan dengan &Tin%au & persamaan dengan &
bilangan 'ang tidak diketaui)bilangan 'ang tidak diketaui)
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
12/23
*an dikalikan dengan*an dikalikan dengan
persamaan ("! kemudianpersamaan ("! kemudianasiln'a dikurangkan keasiln'a dikurangkan ke
persamaan (+!#persamaan (+!#
*ideinisikan aktor pengali*ideinisikan aktor pengali
11
21
2
a
a
m =
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
13/23
(a(a2121 m m22aa1111)x)x11+ (a+ (a2222 m m22aa1212)x)x22
+ (a+ (a2323 m m22aa1313)x)x33 = b= b22 m m22bb11
(a(a2222 m m22aa1212)x)x22+ (a+ (a2323 m m22aa1313)x)x33= b= b22 m m22bb11
aa2222xx22+ a+ a2323xx33= b= b22 (4)(4)
Kita ganti persamaan (2) dengan persamaan (4)Kita ganti persamaan (2) dengan persamaan (4)
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
14/23
Didefinisikan faktor pengali:Didefinisikan faktor pengali:
dan dikalikan dengan persamaan (1) kemudiandan dikalikan dengan persamaan (1) kemudiandikurangi dari persamaan (3).dikurangi dari persamaan (3).
(a32
m3
a12
)x2
+ (a33
m3
a13
)x3
= b3
m3
b1
a32x2+ a33x3= b3 (5)
11
31
3
a
a
m =
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
15/23
Didefinisikan faktor pengali:Didefinisikan faktor pengali:
mm33= a= a3232!a!a2222dan dikalikan dengan pers (") makadan dikalikan dengan pers (") maka
(a32# m3a22)x2+ (a33# m3a23)x3
= b3# m3b2
(a33# m3a23)x3= b3# m3b2
a33 x3 = b3
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
16/23
Persamaan ini menggantiPersamaan ini mengganti
persamaan ($) se%ingga %asilpersamaan ($) se%ingga %asil
ak%irak%ir
aa1111 xx11+ a+ a1212 xx22+ a+ a1313 xx33 = b= b11
aa2222 xx22+ a+ a2323 xx33 = b= b22
aa3333 xx33 = b= b33
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
17/23
&e%ingga dapat di'ari&e%ingga dapat di'ari
11
313212'1'
1
'
22
3'23
'2
2
''
33
''
33
)(
)(
a
xaxabx
a
xabx
a
bx
=
=
=
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
18/23
onto%onto%
3 persamaan3 persamaan
x + + * = "x + + * = " (a)(a)2x + 3 + * = 2x + 3 + * = (b)(b)
x # # * = ,2x # # * = ,2 (')(')
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
19/23
-aktor pengali m-aktor pengali m22= 2!1 = 2= 2!1 = 2
dikalikan dengan persamaan (a)dikalikan dengan persamaan (a)
kemudian dikurangkan kekemudian dikurangkan ke
persamaan (b) se%inggapersamaan (b) se%ingga
x + + *x + + * = "= " # * # * = 1= 1
x # # *x # # * = ,2= ,2
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
20/23
-aktor pengali m-aktor pengali m33= 1!1 = 1 dikalikan= 1!1 = 1 dikalikan
dengan persamaan (a) dandengan persamaan (a) dan
dikurangkan dengan persamaan (')dikurangkan dengan persamaan (')
se%inggase%ingga
x + + *x + + * = "= "
# * # * = 1= 1 (d)(d)## 2 # 2* = ,2 # 2* = , (e)(e)
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
21/23
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
22/23
3 persamaan3 persamaan
2x2x11+ $x+ $x22# x# x33= = (a)(a)
xx11+ 3x+ 3x22# 2x# 2x33= "= " (b)(b)
xx22# "x# "x33= 2= 2 (')(')
a4aban:a4aban:
51=,2 x2=2 x3=651=,2 x2=2 x3=6
Soal 1
7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)
23/23
7ugas7ugas
&elesaikan dengan 8liminasi 9auss&elesaikan dengan 8liminasi 9auss3x + # * = $3x + # * = $ (1)(1)
"x + # 3* = 26"x + # 3* = 26 (2)(2)
2x # 2 + $* = 162x # 2 + $* = 16 (3)(3)
umpulkan berupa print s'reen listing program dan running di /atlab.umpulkan berupa print s'reen listing program dan running di /atlab.
;/P; pada %ari /?& ,11,1" pukul [email protected] # 6.66;/P; pada %ari /?& ,11,1" pukul [email protected] # 6.66
(di luar 4aktu tsb 7?D dinilai).(di luar 4aktu tsb 7?D dinilai).
di akun grup fb sertakan nama dan >?/ di dalam print s'reen,na.di akun grup fb sertakan nama dan >?/ di dalam print s'reen,na.