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Fundamentos básicos de conjuntos y operaciones elementales entre ellos
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Fatela
Preuniversitarios
Matemática, Teoría de Conjuntos - 1 -7
MATEMÁTICA, Guía N° 2 : TEORÍA DE CONJUNTOS
Un "conjunto" es una agrupación o colección de objetos bien diferenciados
que tienen alguna propiedad en común. A estos objetos se los llama
"elementos".
Por ejemplo, son conjuntos los meses del año, los alumnos de un colegio,
los números impares, etc.
Designaremos a los conjuntos con letras mayúsculas y a los elementos con
minúsculas.
B A
c
d
e f
g h
Un conjunto se puede definir "por extensión" listando todos los elementos que lo componen:
A = {a, b, c, d, e} B = {d, e, f, g, h} y C = {a, b}
Cuando se quiere relacionar un elemento con un conjunto deben
usarse los operadores ∈ (pertenece) o ∉ (no pertenece).
Aa∈
Af ∉
pertenece
no pertenece
Elemento Conjunto
C
a
b
Con este rectángulo
se denota el
Universo de
elementos tratados
i j
U
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Matemática, Teoría de Conjuntos - 2 -7
También un conjunto se puede definir "por comprensión" indicando la regla que debe cumplir cada elemento para pertenecer al conjunto.
D = {2, 3, 4, 5, 6} puede expresarse: D = { ( )62/ ≤≤∧∈ xNxx }
Cuando se quiere relacionar un conjunto con otro conjunto deben
usarse los operadores ⊂ (está incluido) o ⊄ (no está incluido).
AC ⊂
AB ⊄
está incluido
no está incluido
Conjunto Conjunto
Para que un conjunto esté incluido en otro, todos sus elementos deben
pertenecer al otro conjunto, no existe la inclusión parcial. Si al menos un
elemento de un conjunto no pertenece al otro conjunto debe usarse el
operador "⊄ " (no está incluido) para relacionar ambos conjuntos.
tal que y
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1) UNIÓN: A∪ B
B A c
d
e f
g
h
a
b
A∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
La unión de dos
conjuntos es otro
conjunto que contiene
a todos los elementos
de ambos conjuntos. i j
U
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Matemática, Teoría de Conjuntos - 3 -7
2) INTERSECCIÓN: A∩ B
B A c
f
g
h
a
b
A∩ B = {d, e}
La intersección de dos
conjuntos es otro conjunto
que contiene a todos los
elementos que pertenecen a
ambos conjuntos al mismo
tiempo.
d
e
3) DIFERENCIA: A − B
B A c
a
b
A − B = { a , b , c }
La diferencia entre dos
conjuntos A y B es otro
conjunto que contiene a
todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
f
g
h
d
e
4) COMPLEMENTO DE A: CA = U − A
B A CA = { f , g , h , i , j }
El Complemento de un
conjunto es igual a la
diferencia entre el Universo
menos dicho conjunto.
f
g
h
d
e
i
i
i
j
j
j
U
U
U c
a
b
Otros símbolos usados en lógica simbólica y de proposiciones son:
∀ : para todo
∃: existe algún
∄: no existe ningún
⇔ : si y solo si
∝: proporcional ⇒ : entonces, ello implica que
∅ = {} : conjunto vacío
∨: o
“ : ” Se cumple que
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Matemática, Teoría de Conjuntos - 4 -7
Trabajo Práctico N° 2: "Conjuntos"
2.1) Completar con ⊄⊂∉∈ o,, según corresponda:
2.2) Expresar por comprensión los siguientes conjuntos definidos por
extensión:
2.3) Expresar por extensión los siguientes conjuntos definidos por
comprensión:
a) C = { / 3 8x x x∈ ∧ < ≤� }
b) D = { / 8 2x x x∈ ∧ − ≤ < −� }
c) E = { / 5 2x x x∈ ∧ − < <� }
a) −5 ……�
b) ......3
2 �
c) 2…… �
d) � .... �…. �
e) e ……�
f) 0 ……�
g) I …… �
h) 5
2 …… �
i) � …… �
j) � …… �
k) 5− ……�
l) 1+ 3…… I
m) 3 − 2 i …… �
n) |-5 | …… �
o) 2
9…… I
p) 3
15…… �
a) A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) B = {8, 9, 10, 11}
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Matemática, Teoría de Conjuntos - 5 -7
2.4) Dados los conjuntos definidos anteriormente, hallar:
a) A ∩C
b) B ∪C
c) A − C
d) (A ∩E) ∪B
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Matemática, Teoría de Conjuntos - 6 -7
Respuestas al Trabajo Práctico Nº 2 de Matemática: "Conjuntos"
2.1)
2.2)
2.3)
a) C = {4, 5, 6, 7, 8}
b) D = {}= ø
c) E = {−4, −3, −2, −1, 0, 1}
a) A = { / 1 5x x x∈ ∧ − ≤ ≤� }
b) B = { / 8 11x x x∈ ∧ ≤ ≤� }
a) −5 …∊∊∊∊… �
b) 3
2 ...∊∊∊∊... �
c) 2…∉∉∉∉… �
d) � .⊂ .� .⊂ .�
e) e …∊∊∊∊…�
f) 0 …∉∉∉∉… �
g) I . ⊄ . �
h) 5
2 …∉∉∉∉… �
i) � . ⊂ . �
j) � .⊄ . �
k) 5− …∉∉∉∉… �
l) 1+ 3…∊∊∊∊… I
m) 3 − 2 i …∊∊∊∊… �
n) |-5 | …∊∊∊∊… �
o) 2
9…∉∉∉∉… I
p) 3
15…∊∊∊∊… �
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Matemática, Teoría de Conjuntos - 7 -7
2.4)
a) A ∩C = {4, 5}
b) B ∪C = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
c) A − C = {−1, 0, 1, 2, 3}
d) (A ∩E) ∪B = {−1, 0, 1, 8, 9, 10, 11}