21 บทที่ 3 - academy.rbru.ac.th · บทที่ 3 บทที่ 3 สมการคลื่น Wave Equation ... เนื่องจากแสง เป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดหนึ่งประกอบด้วยสนามแม่เหล็ก

บทที ่3บทที่ 3 สมการคลื่น

Wave Equation

คลื่นดลหรือคลื่นทั่วไป เช่น คลื่นน้ำ คลื่นเสียง คลื่นในเส้นเชือก คือ กระบวนการในการส่งพลังงานผ่านตัวกลาง การเคลื่อนที่ของคลื่นดล จะเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลาซึ่งการเคลื่อนที่ของคลื่นในระบบพิกัดฉากหนึ่งมิติจามแนวแกน x นั้นจะเขียนแทนด้วย y = f (x,t) ทั้งนี้ถ้าคลื่นดล

กำลังเคลื่อนที่ไปทางด้านขวา (แกน +x ) ของจุดอ้างอิง ด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอ v แล้วจะมีฟังก์ชัน

คลื่นเป็น y = f (x − vt) แต่ถ้าคลื่นเคลื่อนที่ไปทางด้านซ้ายของจุดอ้างอิง (ตามแนวแกน −x ) ด้วย

อัตราเร็วสม่ำเสมอ v แล้วจะฟังก์ชันคลื่นเป็น y = f (x+vt)

3.1 สมการคลื่นเนื่องจากแสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดหนึ่งประกอบด้วยสนามแม่เหล็ก B

!"และสนามไฟฟ้า

E!"ที่มีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาสามารถเคลื่อนที่ได้ทั้งในสุญญากาศและตัวกลาง นอกจากนี้สนาม

ทั้งสองยังเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลาเช่นเดียวกับคลื่นดลและเพื่อให้ง่ายในการเข้าใจเราจะใช้

สัญลักษณ ์ Ψ แทนฟังก์ชันคลื่น ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลาของคลื่นที่

กำลังเคลื่อนที่อยู่ในระบบพิกัดฉากหนึ่งมิติไปในแนวแกน ±x จึงสามารถเขียนได้เป็น

Ψ(x,t) = y(x,t) = f (x ∓ vt) และเราจะหาตำแหน่งของคลื่นที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ได้จาก

x f = x ∓ vt (3.1)

ซึ่งจะมีอนุพันธ์เทียบ x เป็น

dx fdx

= dxdx∓ddx

(vt) = 1

และมอีนุพันธ์เทียบ t เป็น

dx fdt

= dxdt∓ddt

(vt) = ∓ v

ดังนั้นฟังก์ชันคลื่น Ψ(x,t) จะมีอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตำแหน่ง เป็น

∂∂x

Ψ(x,t) = ∂ψ∂x f

∂x f∂x

= ∂ψ∂x f

(3.2)

เมื่อ ψ = ψ (x) คือ ฟังก์ชันคลื่นที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งเท่านั้น

21

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

และเราสามารถหาอนุพันธ์ย่อยของ Ψ(x,t) เทียบเวลา ได้เป็น

∂∂t

Ψ(x,t) = ∂ψ∂x f

∂x f∂t

= ∓ v ∂ψ∂x f

(3.3)

แทนสมการ (3.2) ใน (3.3) จะได ้

∂Ψ∂t

= ∓ v ∂ψ∂x f

(3.4)

อนุพันธ์ย่อยอันดับสองสมการ (3.2) เทียบกับx

∂2Ψ∂x2 = ∂

∂x∂ψ∂x f

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ = ∂

∂x∂ψ∂x f

∂x f∂x f

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

และจาก ∂ ′x∂x

= 1 จะได้ ∂2Ψ∂x2 = ∂

2Ψ∂ ′x 2 (3.5)

อนุพันธ์ย่อยอันดับสองสมการ (3.5) เทียบกับเวลาได้เป็น

∂2Ψ∂t 2 = ∂

∂t∂Ψ∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∂

∂t∓v ∂Ψ

∂ ′x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ∓ v ∂

∂ ′x∓v ∂Ψ

∂ ′x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂2Ψ∂t 2 = v2 ∂2Ψ

∂ ′x 2 (3.6)

แทนสมการ (3.6) ลงในสมการ (3.5) จะได้ สมการคลื่น (wave equation) เป็น

∂2Ψ∂x

= 1v2

∂2Ψ∂t 2 (3.7)

การเขียนสมการคลื่นในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะแทนอนุพันธ์ย่อยอันดับสองเทียบกับ

ตำแหน่ง ∂2

∂x2 ด้วย ตัวดำเนินการลาปลาเซียน ∇2 ซึ่งจะได ้

∇2Ψ = 1v2

∂2Ψ∂t 2 (3.8)

เมื่อ ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 และ Ψ = Ψ(x, y, z)

22

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

3.2 คลื่นฮาร์มอนิก

1 คลื่นฮาร์มอนิกในรูปฟังก์ชันตรีโกรณมิติคลื่นฮาร์มอนิก (harmonic wave) คือ คลื่นที่มีภาพแบบซ้ำภาพแบบเดิมด้วยคาบ

ที่แน่นอนซึ่งเกิดจากการรวมกันแบบเชิงเส้นของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ซึ่งเขียนเป็นสมการได้เป็น

y(x,t) = Acossin k(x ± vt)[ ] (3.9)

มื่อ A คือแอมพลิจูด (Amplitude) ของคลื่น และ k คือเลขคลื่น (wave number)

และเนื่องจาก sin x = cos(x −π 2) ดังนั้นโดยทั่วไปจึงเขียนสมการคลื่นอยู่ในรูปฟังก์ชันไซน์ ดัง

ภาพที่ 3.1

(ก) (ข)

ภาพที่ 3.1 คลื่อฮาร์มอนิกเมื่อ (ก) เวลาคงที่ (ข) ตำแหน่งคงที ่ภาพที่ 3.1 (ก) แสดงคลื่นที่เป็นฟังก์ชันกับตำแหน่ง x (t คงตัว) จะเห็นว่าเมื่อตำแหน่ง x

เพิ่มขึ้นทุกๆหนึ่งหน่วย ความยาวคลื่น λ คลื่นจะมีภาพแบบซ้ำเดิม ซึ่งในทางคณิตศาสตร์จะเขียน

เป็นสมการได้เป็น

Asin k(x + λ)+ vt[ ] = Asin k(x + vt)+ 2π[ ] หรือ Asin kx + kλ + kvt[ ] = Asin kx + kvt + 2π[ ] (3.10)

จากสมการ (3.10) จะได้ kλ = 2π หรือ

k = 2πλ

(3.11)

กำหนดให้ ตำแหน่งของคลื่นคงที่ ดังภาพที ่4.1 (ข) จะเห็นว่า คลื่นจะมีูปแบบซ้ำรูปแบบเดิม เมื่อเวลา t เพิ่มขึ้น เท่ากับ คาบ T ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ได้เป็น

Asin k x + v(t +T )( )⎡⎣ ⎤⎦ = Asin k(x + vt)+ 2π[ ]

23


หรือ Asin kx + kvt + kvT[ ] = Asin kx + kvt + 2π[ ] (3.12)

จากสมการ (3.12) จะได้ kvT = 2π (3.13)

เราสามารถอธิบายคาบ T ในรูปความสัมพันธ์ระหว่าง เลขคลื่น k และความเร็วของคลื่น v ได้ดังนี ้

จาก v = fλ และ f =1 T และความถี่เชิงมุม (angular frequency) ω = 2π f = 2πT

ดังสมการ (3.9) จึงสามารถเขียนได้เป็น y(x,t) = Acossin k(x ± vt)[ ] = Acos

sin kx ± 2πtT

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

ดังนั้นจะได ้ y(x,t) = Acossin kx ±ωt)[ ] (3.14)

เฟส (ϕ phase) คือ อาร์กิวเมนต์ของไซน์และโคไซน์หรือมุมที่ขึ้นกับตำแหน่งและเวลา

ϕ = k(x ± vt) (3.15)

เมื่อทั้ง x และ t เปลี่ยนแปลงตามการเคลื่อนที่ของคลื่น จะทำให ้ϕ เป็นค่าคงตัว และ

การกระจัด Ψ = Asinϕ ก็เป็นค่าคงตัวเช่นเดียวกัน จากdϕ = 0 = k(dx ± dvt) จะได้

dxdt

= ∓ v (3.16)

สมการ (3.16) เป็นสมการที่ยืนยันว่า v คือ ความเร็วของคลื่น (wave velocity) จะมีค่าเป็นลบ

เมื่อ ϕ = k(x + vt) และมีค่าเป็นบวก เมื่อ ϕ = k(x − vt)

พิจารณาสมการ (3.9) จะพบว่า ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น x = 0 และ t = 0 ถ้าเราเลือกใช้

ฟังก์ชันไซน์จะได้ Ψ = 0 แต่ถ้าใช้ฟังก์ชันโคไซน์จะได ้Ψ = A ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจในสมการคลื่น

ได้ง่ายขึ้นเราจะเขียนสมการ (3.13) ใหม่ให้อยู่ในภาพฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์อย่างใดอย่างหนึ่ง โดยการบวกมุมเฟส 90! เพราะ sin(x + 90

!) = cos x และ cos(x + 90!) = −sin x

กรณีทั่วไปแล้วการกระจัดเริ่มต้นอาจจะเป็นค่าคงตัวใดๆ ก็ได ้ ดังนั้นในสมการคลื่นจึงจำเป็นต้องเพิ่มเทอมของมุมเฟส ϕ0 เข้าไปในสมการด้วยเสมอ ซึ่งจะทำให้สมการ (3.14) สามารถเขียนใน

ภาพฟังก์ชันไซน์ได้เป็น

y(x,t) = Asin k(x ± vt)+ϕ0[ ] (3.17)

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น Ψ = Ψ0 เมื่อ x = 0 และ t = 0 แล้ว Ψ(x,t)= Asinϕ0 = Ψ0 ดังนั้น

จะได้ เฟสเริ่มต้น ϕ0 เป็น

ϕ0 = sin−1 Ψ0

A⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (3.18)

24


ตัวอย่างที่ 3.1 จากสมการคลื่น y(x,t) = 0.350sin 4.00π x −10.0πt +π 4( )เมื่อ x มีหน่วยเป็น เมตร และ

t มีหน่วยเป็น เวลา จงหา

ก) ความยาวคลื่น ข)ความถี่ของคลื่น ค) เฟสเริ่มต้น ง) ความเร็วของคลื่น จ) แอมพลิจูด (การกระจัดในแนวแกน y ) ที่ x = 10.0 เซนติเมตร และ t = 0

แนวคิด จากสมการ y(x,t) = 0.350sin 4.00π x −10.0πt +π 4( ) จะได้ k = 4.00π ω = 10.0π และ ϕ0 = π 4

ก) หาความยาวคลื่น λ จาก k = 2π λ

จะได้ λ = 2πk

= 2.00π4.00π

= 0.500 m

ข) ความถี่ของคลื่น f จาก ω = 2π f

จะได้ f = ω2π

= 10.0π2.00π

= 5.00 s-1 หรือ f = 5.00 Hz

ค) เฟสเริ่มต้น ϕ0 เมื่อ x = 0 และ t = 0 ดังนั้นจาก ϕ = 4.00π x −10.0πt +π 4

จะได้ ϕ0 = π 4

ง) ความเร็วของคลื่น v จาก v = fλ

จะได้ v = (0.500m)(5.00s-1) = 2.50 m/s ในทิศทาง

หรือหาความเร็วจาก ϕ = 4.00π x −10.0πt +π 4 = ค่าคงตัว

จะได้ dϕ = 4.00πdx −10.0πdt = 0

dxdt

= 10.0π4.00π

= 2.50 m/s

จ) แอมพลิจูด (การกระจัดในแนวแกน y ) ที ่ x = 10.0 เซนติเมตร และ t = 0

จาก y(x,t) = 0.350sin 4.00π x −10.0πt +π 4( ) เมตร

y(10.0,0) = 0.350sin 4.00π (10.0)−10.0π (0)+π 4( ) เมตร

= 0.350sin π 4( ) = 0.247 เมตร หรือ 24.7 เซนติเมตร

25


2 คลื่นฮาร์มอนิกในรูปฟังก์ชันเอ็กโพเนนเซียลฟังก์ชันคลื่น นอกจากจะเขียนให้อยู่ในภาพของฟังก์ชันตรีโกรณมิติแล้ว เพื่อให้ง่ายต่อ

การคำนวณ เรายังสามารถเขียนให้อยู่ในฟังก์ชันเอ็กโพเนนเซียลได้ด้วยเช่นกัน โดยใช้สูตรของ ออยเลอร ์eiθ = cosθ + isinθ ดังสมการคลื่น y(x,t) = Asin(kx ±ωt ±ϕ ) จึงเขียนให้

อยู่ในรูปของฟังก์ชันเอ็กโพเนนเซียล ได้เป็น

y(x,t) = Aei(kx±ωt±ϕ ) (3.19)

เมื่อส่วนจริงของฟังก์ชันคลื่น คือ Re y{ } = Acos(kx ±ωt ±ϕ )

และส่วนจินตภาพของฟังก์ชันคลื่น คือIm y{ } = Asin(kx ±ωt ±ϕ )

3.3 คลื่นระนาบเนื่องจากคลื่นสามารถเคลื่อนที่แผ่ขยายไปได้ทุกทิศทางในแกนพิกัด x, y และ z ดังนั้นจึง

ใช้สัญลักษณ์ Ψ แทนการกระจัดของคลื่น ( ใช ้Ψ แทน y ) อาทิเช่น สมการของคลื่นซึ่งกำลัง

เคลื่อนที่หรือแผ่ขยายไปตามแนวแกน +x จะเขียนได้เป็น

Ψ = Asin(kx −ωt) (3.20)

และ ณ เวลา t คงที่ใดๆ เพื่อให้ง่ายเรากำหนดให้ t = 0 ดังนั้นสมการ (4.20) จึงเขียนได้เป็น

Ψ = Asin(kx) (3.21)

เมื่อ x คือ ค่าคงตัว จึงทำให้เฟส ϕ = kx เป็นค่าคงตัวด้วยเช่นนกัน ดังนั้นผิวเฟสที่เกิด

จากหน้าคลื่น(wavefronts) ที่แผ่ขยายไปในสเปชจะมีลักษณะเป็นระนาบ (plane) ดังภาพที่ 3.2 ภาพที่ 3.3 (ก) เแสดงวกเตอร ์ r

! ระยะจากจุดกำเนิดถึงจุดใด ๆที่อยู่ในแนวแกน +x และ

จาก x = r cosθ ดังนั้นสมการ (3.21) จึงเขียนได้เป็น

Ψ = Asin(kr cosθ ) (3.22)

และจาก k!⋅ !r = kr cosθ (3.23)

ดังนั้นสมการคลื่นฮาร์มอนิก (3.20) จึงเขียนได้เป็น Ψ = Asin(

!k ⋅ !r −ωt) (3.24)

ในกรณีที่ระนาบของคลื่น แผ่ไปในทิศทางใดๆ ดังภาพที่ 4.3 (ข) จะได้ k

!⋅ !r = kxx + kyy + kzz (3.25)

เมื่อ kx , ky และ kz คือ ทิศทางการแผ่ของคลื่น ณ x, y และ z ในปริภูมิ

สมการคลื่นฮาร์มอนิกในระบบพิกัดฉากสามมิต ิเขียนให้อยู่ในภาพเชิงซ้อนได้เป็น

Ψ(!r ,t) = Aei(!k ⋅!r−ωt ) (3.26)

26


ภาพที่ 3.2 คลื่นระนาบตามแนวแกน x พื้นผิวของเฟสคงตัว คือระนาบ x คงที่ ที่จุด a,b,c

(ก) (ข)

ภาพที่ 3.3 เวกเตอร์ !k แสดงทิศทางของคลื่นในทิศทาง (ก) แนวแกน x และ (ข) ทิศทางใดๆ

3.4 คลื่นทรงกลมการแผ่ของคลื่นฮาร์มอนิกซึ่งมีแหล่งกำเนิดเป็นจุดนั้นคลื่นที่แผ่ผ่านตัวกลางที่คุณสมบัติเป็น

เนื้อเดียวกัน จะแผ่ไปในทุกทิศทางด้วยอัตราเร็วที่เท่ากัน ดังนั้น หน้าคลื่นรอบๆจุดกำเนิด จึงมีภาพผิวเป็น ผิวทรงกลม (sphere) ทั้งนี้สมการของคลื่นทรงกลมนั้นได้มาจากพัฒนาการสมการของคลื่นระนาบ โดยหารแอมพลิจูดของคลื่นระนาบด้วยรัศมี r ของทรงกลม

Ψ(!r ,t) = A

rei(!k ⋅!r−ωt ) (3.27)

จะเห็นว่าแอมพลิจูดของคลื่นทรงกลมจะลดลงเมื่อระยะห่างจากแหล่งกำเนิดมากขึ้น

27


แบบฝึกหัดประจำบทที่ 3

1) จงวาดภาพคลื่นพัลล์ในเส้นเชือก ซึ่งมีฟังก์ชันเป็น y = ae−bx2

เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว

และ x มีหน่วยเป็น เซนติเมตร และจงเขียนสมการแทนคลื่นพัลล์กำลังเคลื่อนที่ไปตามแนว

แกน −x ด้วยอัตราเร็ว 10 เซนตเมตรต่อวินาที

2) จงหาความเร็ว (ขนาดและทิศทาง) ของคลื่นที่กำลังเคลื่อนที่ตามสมการ

3) คลื่นฮาร์มอนิก y = 5sin(6.28x − 3.14t) เมื่อ x และ y มีหน่วยเป็นเซนติเมตรและ t

มีหน่วยเป็นวินาท ีแล้วจงหา

3.1) แอมพลิจูด 3.2) เลขคลื่น 3.3) ความยาวคลื่น 3.4) ความถี่เชิงมุม

3.5) ความถี่เชิงเส้น 3.6) คาบ 3.7) ความเร็ว 3.8) ทิศทาง

28


Documents