บทท 3 สมการคลน

เราไดศกษาถงการเคลอนทของคลนในตวกลางตาง ๆ มาแลวในบททผานมา ในบทนจะกลาวถงสมการคลนและผลเฉลยของสมการคลนในรปแบบตาง ๆ เพอใหเกดความเขาใจเกยวกบการเคลอนทแบบคลนมากยงขน นอกจากนไดนาเนอหาเกยวกบอนกรมฟเรยรมาไวในบทนเพอใหเกดความเขาใจในการหาคาตอบของสมการคลน รปแบบทวไปของสมการคลน สมมตวาอนภาคแกวงทาใหเกดคลน เขยนเปนฟงกชนทางคณตศาสตรไดเปน

)x(fy = ทเวลา 0t = เมอ y คอระยะการแกวงของอนภาค และ x คอระยะทางทคลนเคลอนทไป สมมตใหคลนเคลอนทดวยความเรว c ไปทางขวามอ โดยรปรางเปลยนไป เมอเวลาผานไป t คลนเคลอนทไปบนแกน x เปนระยะทางทเพมจากเดม ct จะได )ctx(fy −= (3.1) หรอใหคลนเคลอนทดวยความเรว c ไปทางซายมอ โดยรปรางเปลยนไป เมอเวลาผานไป t คลนเคลอนทไปบนแกน -x เปนระยะทางทเพมจากเดม ct จะได )ctx(fy += (3.2) เมอเขยนรวมจะไดวา )ctx(fy ±= (3.3) พจารณาสมการ (3.1) เนองจากคลนยงคงรปรางเดม เมอเคลอนทไปในทศ +x ดวยอตราเรวคงท c ถาให ctxz −= ดงนนสมการ (3.1) คอ )z(fy = (3.4)

จากสมการ 3.4 หาอนพนธลาดบทหนงเทยบกบ x จะได

zy

xz

zxy

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂ y

และหาอนพนธลาดบทสองเทยบกบ x จะได

)

zy(

x

)x

y(xx

y2

2

∂∂∂

=

∂∂∂

=∂∂

xz)

zy(

z

∂∂

∂∂∂

=

)z

y(z

∂∂

∂=

22

zy

∂∂

= (3.5)

ในทานองเดยวกนสมการ 3.4 หาอนพนธลาดบทหนงเทยบกบ t จะได

zyc

tz

zty

∂∂

−=

∂∂

∂∂

=∂∂ y

และหาอนพนธลาดบทสองเทยบกบ t จะได

)t

y(tt

y2

2

∂∂∂

=∂∂

tz)

ty(

z

∂∂

∂∂∂

=

)c)(zyc(

z −

∂∂

−∂∂

=

22

2z

yc ∂∂

= (3.6)

นาสมการ (3.6) ไปหารสมการ (3.5) จะไดวา

22

22

2

c1

ty

xy

=

∂∂∂∂

หรอ 22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂ (3.7)

สมการ (3.7) เรยกวา สมการการเคลอนทของคลน หรอ สมการคลน สมการ (3.7) เปนสมการอนพนธอนดบสอง มผลเฉลยทวไปของสมการอยในรปของ

สมการ (3.3)สามารถเขยนไดดงน )ctx(g)ctx(f)t,x(y ++−= (3.8) โดยสมการ (3.8) เปนคลนรวมระหวางคลน 2 คลน ทสวนกน ในกรณทมเพยงคลนเดยวกจะมเพยงฟงกชนเดยว สมการคลนในกรณทเปน 2 มต คอ

22

222

22

tc1

yx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

โดยผลเฉลยทวไปของสมการคลนใน 2 มต คอ )ctykxk(g)ctykxk(f yxyx +++−+=ψ เมอ 22

y2x kkk =+

สมการคลนในกรณทเปน 3 มต คอ

22

222

22

22

tc1

zyx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

+∂ψ∂

โดยผลเฉลยทวไปของสมการคลนใน 3 มต คอ )ctzkykxk(g)ctzkykxk(f zyxzyx ++++−++=ψ เมอ 22

z2y

2x kkkk =++

สาหรบรายละเอยดของสมการคลนในแตละลกษณะจะกลาวถงในแตละหวขอตอไป อนกรมฟเรยร (Fourier Series ) 1. อนกรมฟเรยรเชงซอน ( Complex Form of Fourier Series ) พจารณาฟงกชน f(x) เปนฟงกชนครบรอบทมคาบเทากบ 2π และสามารถกระจายออกเปนอนกรมฟเรยร ซงเขยนอยในรปของอนกรมไซนและโคไซน โดยเลอกใชฟงกชน sin(nx) และ cos(nx) เพราะ sin(x) และ cos(x) มคาบเทากบ 2π ทาให

nxsin

)n2nxsin()2x(nsin=

π+=π+

มคาบเทากบn

2π ซงจะซา ๆ ทก 2π เชนกน จะไดวา

...x3sinbx2sinbxsinb

...x3cosax2cosaxcosaa1)x(f

321

3210

++++

++++= (3.9)

จากความรในเรองจานวนเชงซอน จะได

nxsin =i2ee inxinx −−

nxcos = 2ee inxinx −− (3.10)

เมอแทนสมการ (3.10) ลงในอนกรมฟเรยรสมการ (3.9) จะไดอนกรมของพจนตางๆ ในรปของ inxe และ inxe− เปนอนกรมฟเรยรแบบเชงซอนดงน

( ) ...ececececcxf ix22

ix22

ix1

ix10 +++++= −

−−

−

∑∞

−∞==

ninx

nec (3.11)

เมอหาสตรสาหรบ 0c หาคาเฉลยของแตละพจนในสมการ (3.11) ตลอดชวงตงแต -π ถง π จะได

( )∫ ∫π

π−

π

π−π=

πdx

2cdxxf

21 0 + คาเฉลยของพจน ikxe (3.12)

เมอ k เปนเลขจานวนเตมทไมเทากบศนย พจนขางขวาของสมการจะเปนศนยทงหมด ยกเวนพจนแรก เพราะเมอ k เปนเลขจานวนเตมทไมเทากบศนย แลว

0ik

eeik

exeikikikx

ikx =−

==∂π−ππ

π−

π

π−∫

จะได ( )∫π

π−π= dxxf

21c0 (3.13)

เพอหาสตรสาหรบ nc คณสมการ ( 3.11 ) ดวย inxe− แลวหาคาเฉลยของแตละพจน จะได

dxe.e2cdxe

2cdxe)x(f

21 ixinx1inx0inx −π

π−

−π

π−

−−π

π−∫∫∫

π+

π=

π

...dxe.e2c ixinx1 +π

+ −π

π−

−− ∫ (3.14)

พจนขางขวาของสมการ ( 3.14 ) เปนคาเฉลยของ ikxe เมอ k เปนเลขจานวนเตมทไมเทากบ 0 ดงนนทกพจนเปน 0 ยกเวนพจนท k = 0 จะได

∫

∫∫

π

π−

π

π−

−π

π−

−

π=

π=

π

dx2c

dxe.e2cdxe)x(f

21

n

inxinxninx

nc=

นนคอ ∫π

π−

−π= dxe)x(fc inx

21

n (3.15)

เมอแทนคา 0c ในสมการ ( 3.13 ) และ nc ในสมการ ( 3.15) ลงในสมการ ( 3.11) จะไดอนกรมฟเรยรแบบเชงซอน ตวอยางท 3.1 จงหาอนกรมฟเรยรแบบเชงซอนของ ( ) kxexf = ในชวง ( )ππ− ,

วธทา ∫π

π−

−⋅π

= dxee21c inxkx

n

( )∫π

π−

−π

= dxe21 xink

]nk

)ink()1([ksinh22

n

++−

ππ

=

จะได

( )( ) ( )

∑∞

−∞= ++−

ππ

=n

inx22

ne

nkink1ksinhxf

2. อนกรมฟเรยรทมชวงคาบอนๆ ถากาหนดให f(x) บนชวงพนฐาน ( )ππ− , กราฟของ f(x) จะซาเปนคาบในชวง 2π และกระจายฟงกชนเปนอนกรมฟเรยรได แตถากาหนดให f(x) อยบนชวง ( )π2,0 มคาบเปน 2π เทาเดมจะตองกระจายฟงกชนใหเปนอนกรมฟเรยรแลวจากการหาสมประสทธฟเรยรตองใชคาเฉลยของหนงคาบ ดงนนสตรสาหรบการหาสมประสทธฟเรยรไมเปลยนไป ยกเวนลมตของอนทเกรต ดงน

( )∫π

π=

2

0n nxdxcosxf1a

( )∫π

π=

2

0n nxdxsinxf1b

( )∫π −

π=

2

0inx

n dxexf1c

แตปญหาในทางฟสกส ฟงกชนครบรอบไมไดมคาบเปน 2π เสมอ ดงนนจะตองพจารณาในชวงความยาวใด ๆ 2 L ตงแต -L ถง L และใชฟงกชน ( )L/xnsin π ทมคาบเปน 2L เพราะ

( )L

xnsinn2L

xnsinL2xL

nsin π=

π+π

=+π

ในทานองเดยวกน ( )L/xncos π และ L/inxe− มคาบเปน 2L และกระจายเปนฟงกชน ( )xf เปนอนกรมฟเรยรดงน

( )L

x2sinbLxsinb

Lx2cosa

Lxcosa

2axf 2121

0 π+

π+

π+

π+=

∑∞

=

π

+π

+=1n

nn0

Lxnsinb

Lxncosa

2a

( ) ∑∞

−∞=π=

nL/xin

necxf (3.17)

จากคาเฉลยกาลงสองของไซนหรอโคไซนตลอดชวงคาบ ( )L,L− เปน 21 และคาเฉลยของ

L/xinL/xin ee π−π ⋅ ตลอดชวงคาบ( )L,L− เปน 1 แลวจะไดสมประสทธ nb b,a และ ncดงน

3.16

( )∫−

π=

L

Ln dx

Lxncosxf

L1a

( )∫−

π=

L

Ln dx

Lxnsinxf

L1b (3.18)

( )∫−

π−=L

LL/xin

n dxexfL21c

สาหรบชวงพนฐาน ( )L2,0 ใหเปลยนเฉพาะลมตของอนทเกรตเปน 0 ถง 2L

ตวอยางท 3.2 จงหาอนกรมฟเรยรแบบเชงซอนของ ( )

⟨⟨⟨⟨

= L2xL1Lx00

xf ซงมคาบเทากบ 2L

วธทา กราฟของ f(x) มรปเปน

-5L -4L -3L -2L -L 0 L 2L 3L 4L x

รปท 3.1 กราฟของ ( )

⟨⟨⟨⟨

= L2xL1Lx00

xf ซงมคาบเทากบ 2L

สมประสทธฟเรยร จากสมการ (3.18) จะได

( )∫π−=

L2

0L/xin

n dxexfL21c

∫ ∫π−⋅+⋅=

L

0

L2

LL/xin dxe1

L21dx0

L21

L2

L

L/xin

L/ine

L21

π−=

π−

( )π−π− −π−

= inin2 eein2

1

f(x)

( )π−−π

= ine1in21

π−= ปนเลขคเ n ,

in1

0 กบและไมเทาเปนเลขค n,0

∫ ==L2

L0 2

1dxL21c

จะได ( )

+−+−

π+= π−πππ ...e

31e

31ee

i1

21xf L/xi3L/x3L/xiL/xi

=

+

π+

ππ

+= ...L

x3sin31

Lxsin2

21

3. อนกรมฟเรยรไซนและอนกรมฟเรยรโคไซน ในการกระจายฟงกชนครบรอบใหเปนอนกรมฟเรยรนน จะตองเสยเวลามากในการ อนทเกรตเพอหาสมประสทธ na และ nb ตามสตรดงกลาวแลว แตจะทาใหรวดเรวขนไดถาทราบวาฟงกชนนนเปนฟงกชนคหรอฟงกชนค ดงนยามตอไปน ( )xf เปนฟงกชนค (even function) ถา

( ) ( )xfxf =− ทกคา x (3.19) และ ( )xf เปนฟงกชนค (odd function) ถา

( ) ( )xfxf −=− ทกคา x (3.20) เชน 2x , xcos เปนฟงกชนคและกราฟของฟงกชนมสมมาตรรอบแกน y ดงรปท 3.2

รปท 3.2 กราฟของฟงกชนคของ 2x และ xcos

-x x

f(x)=x2

f(x) f(-x) x 2π π -π-2π

f(x)=cosx

และ 3x , xsin เปนฟงกชนคและกราฟของฟงกชนมสมมาตรรอบจดกาเนดดงรปท 3.3

รปท 3.3 กราฟของฟงกชนคของ 3x และ xsin อนทเกรตของฟงกชนคหรอฟงกชนคตลอดชวงทสมมาตรกน เชน π− ถง π หรอ -L

ถง L จะหาไดงายขนโดยพจารณากราฟ xsin และ ∫π

π−xdxsin จะไดวาอนทเกรตมคาเปน 0 และม

คาเปน 0 ในชวงอนๆ (-L, L) ทสมมาตรรอบจดกาเนด ตอไปพจารณากราฟ xcos และ ∫π

π−xdxcos

จะไดวา อนทเกรตมคาเปน 2 เทาของ ∫π

0xdxcos และ ∫

−

L

Lxdxcos จะเปน 2 เทาของ ∫ ∂

l

0xxcos

ในชวง (-L, L) ทสมมาตรรอบแกน y ดงนนจะไดวา

( ) ( )( )

( ) นคเปนฟงกชxถาf นคเปนฟงกชxถาf

dxxf20

dxxf L

0

L

L

= ∫∫−

(3.21)

x

-2π -π π 2π

f(x)=sinx f(x)=x3

f(x)

f(-x)

x

-x

และผลคณระหวางสองฟงกชนจะไดดงน ฟงกชนคคณฟงกชนค จะเปน ฟงกชนค ฟงกชนคคณฟงกชนค จะเปน ฟงกชนค ฟงกชนคคณฟงกชนค จะเปน ฟงกชนค ฟงกชนทไมเปนทงฟงกชนคและฟงกชนค แตกอาจเขยนเปนผลรวมของฟงกชนคและฟงกชนคไดดงน

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxf21xfxf

21xf −+−+=

โดยวงเลบแรกเปนฟงกชนคและวงเลบทสองเปนฟงกชนค เชน

( ) ( ) xsinhxcoshee21ee

21e xxxxx +=−++= −−

ซง xcosh เปนฟงกชนค และ xsinh เปนฟงกชนค สมมตใหฟงกชน ( )xf บนชวง (0 , L) ถาตองการกระจายฟงกชนใหเปนอนกรมฟเรยร

ทมคาบเทากบ 2L แลว จะตองขยายใหม ( )xf ในชวง (-L, 0) ซง ( )xf ทขยายเพมขนนจะมคาเทาไรกได แตดวยเหตผลในทางฟสกสจะทาใหสามารถเลอกไดวาจะขยายใหฟงกชน ( )xf เปนฟงกชนคหรอฟงกชนค ดงรปท 3.4 กราฟของฟงกชนทกาหนดใหเขยนเสนทบ และสวนทขยายเพมขนเขยนดวยเสนประ เมอเขยนกราฟตอไปโดยใหซาในชวง -L ถง Lแลวจะไดกราฟของฟงกชนครบรอบทมคาบเปน 2L ไมวา ( )xf จะเปนฟงกชนคหอฟงกชนค สตรการหาสมประสทธ na และ nb กยงใชไดเชนเดม

รปท 3.4 กราฟของฟงกชนคและฟงกชนค

ฟงกชนค ฟงชนค

f(x) f(x)

0 L -L -L L

ถา ( )xf ทขยายแลวเปนฟงกชนคและเนองจาก ( )L/xnsin π เปนฟงกชนคจะได ( )xf ( )L/xnsin π เปนฟงกชนคและ ( )xf ( )L/xncos π เปนฟงกชนคแลว na จะเปน

อนทเกรตตลอดชวงทสมมาตร( )L,L− ของฟงกชนคซงจะมคาเปน 0 และ nb จะเปน อนทเกรตตลอดชวงทสมมาตร ( )L,L− ของฟงกชนคซงจะเปน 2 เทาของอนทเกรตตงแต 0 ถง L

ถา ( )xf เปนฟงกชนค แลว ∫

π

=

=

L

0n

n

dxL

xnsin)x(fL2b

0a (3.22)

เมอกระจาย ( )xf ออกเปนอนกรมฟเรยรแลวจะเหลอเฉพาะพจนของฟงกชนไซน จงเรยกวาอนกรมฟเรยรไซน (Fourier Sine Series ) ในทานองเดยวกน ถา ( )xf เปนฟงกชนคแลว nb จะเปน 0 และ na จะเปนอนทกรลของฟงกชนค จะไดวา

ถา ( )xf เปนฟงกชนคแลว

=

π= ∫

0b

dxL

xncos)x(fL2a

n

L

0n

(3.23)

อนกรมฟเรยรทได เรยกวา อนกรมฟเรยรโคไซน (Fourier Cosine Series) จะเหนวาฟงกชน f(x) อาจกระจายเปนอนกรมฟเรยรแบบตางๆ ได ดงนน การตดสนใจเลอกใชอนกรมฟเรยรแบบใดนน จะตองทราบคาบพนฐานของฟงกชนครบรอบนน และทราบวาปญหาทางฟสกสนน ตองการคาตอบเปนฟงกชนคหรอฟงกชนค เชน ให f(x) บนชวง (0 , 1)อาจกระจายเปนอนกรมฟเรยรหรออนกรมฟเรยรแบบเชงซอนของฟงกชนทมคาบเทากบ 1 นนคอ

2/1L= ดงน

( )xf = ∑∞

∞−πxni2

nec เมอ ( )∫π−=

1

0xin2

n dxexfc

แตถาตองการขยายใหเปนฟงกชนครบรอบทมคาบเปน 2 นนคอ L = 1 อาจกระจายเปนอนกรมฟเรยรโคไซน แทนฟงกชนค ดงน

( )xf = ∑∞

=π

1nn xncosa เมอ ( )∫ π=

1

0n xdxncosxf2a ; 0b n =

หรออนกรมฟเรยรไซนแทนฟงกชนคกได

ตวอยางท 3.3 จงกระจาย x)x(f = เมอ 2x0 ⟨⟨ เปน ก. อนกรมฟเรยรไซน ทมคาบเทากบ 4 ข. อนกรมฟเรยรโคไซน ทมคาบเทากบ 4

วธทา ก. ขยายฟงกชนทกาหนดให ใหเปนฟงกชนคทมคาบ = 4 ; L= 2 ดงรปท 3.5

รปท 3.5 ฟงกชน x)x(f = ทเปนฟงกชนค เมอ 2x0 ⟨⟨ มคาบ = 2 ดงนน 0bn =

( )∫π

π=

L

0n dx

Lxnsinxf2b

∫π

=2

0dx

Lxnsinx

22

( )0

2

22 2xnsin

n41

Lxncos

n2x

π

π−

−

ππ−

=

( )ππ−

= ncosn

4เมอ ,...3,2,1n =

จะไดอนกรมฟเรยรไซนของ ( )xf ดงน

( )xf ( )∑∞

=

ππ

π−

=1n 2

xnsinncosn

4

+

π+

π−

ππ

= ...3

x3sin31

2x2sin

21

2xsin4

f(x)

0 2 4 6 -2 -4 -6

ข. ขยายฟงกชนทกาหนดให ใหเปนฟงกชนคทมคาบ = 4 ; L= 2 ดงรปท 3.6

รปท 3.6 ฟงกชน x)x(f = ทเปนฟงกชนค เมอ 2x0 ⟨⟨ มคาบ = 2 ดงนน 0bn =

( )∫π

π=

L

0n dx

Lxncosxf2a

∫π

=2

0dx

Lxncosx

22

( )0

2

22 2xncos

n41

Lxnsin

n2x

π

π−

−

ππ−

=

( )1ncosn

422 −π

π= เมอ 0n ≠

ถา n = 0 ∫ ==2

00 2xdxa

จะไดอนกรมฟเรยรโคไซนของ ( )xf ดงน

( )xf ( )∑∞

=

π−π

π+=

1n 22 2xncos1ncos

n41

+

π+

π+

ππ

−= ...2

x5cos51

2x3cos

31

2xcos81 222

f(x)

0 -2-4 -6 -8 2 4 6 8

4. ทฤษฎพารเซวล( Parseval,s Theorem) เพอหาความสมพนธของคาเฉลยของกาลงสองของฟงกชน ( )xf กบสมประสทธใน

อนกรมฟเรยรของ ( )xf สมมตให ( )∫π

=1n2 dxxf หาคาไดและกระจาย ( )xf เปน อนกรม

ฟเรยรไดดงน

( ) =xf ∑ ∑∞

=

∞

=++

1n 1nnn0 nxsinbnxcosaa

21 (3.24)

ยกกาลงสองของ ( )xf แลวหาคาเฉลยของกาลงสองตลอดชวง ( )ππ− , จะไดคาเฉลยของ

∫π

π−π= dx)]x(f[

21)]x(f[ 22 (3.25)

เมอยกกาลงสองของ ( )xf แลวจะไดพจนตางๆ เปนจานวนมาก ซงอาจแยกออกเปนสองสวนคอพจนทเปนกาลงสองของแตละพจนของ ( )xf และพจนทเปนผลคณไขวระหวางพจนของ ( )xf คาเฉลยของกาลงสองของไซนหรอโคไซนตลอดชวงคาบหนงเปน 1/2 จะได

คาเฉลยของ 202

0 a21a

21

=

คาเฉลยของ ( ) 2n2

n a21nxcosa = (3.26)

คาเฉลยของ ( ) 2n2

n b21nxsinb =

และผลคณไขวระหวางพจนของ ( )xf ไดแก nxsinba21.2,nxcosa.a

21.2 n0n0 และ

mxsinnxcosba2 mn เมอ nm ≠ เมอหาคาเฉลยของพจนทเปนผลคณไขวทงหมดจะเปน 0 ดงนนจะได

คาเฉลยของ 2)]x(f[ ตลอดชวงคาบ คอ ∑ ∑∞

=

∞

=++

1n 1n2n2n

20 b

21a

21a

21 (3.27)

ความสมพนธดงสมการ( 3.27) นเรยกวาทฤษฎของพารเซวล ( Parseval,s Theorem) ไมวา ( )xf จะมคาบเปลยนไปอยางไรกตาม คาเฉลยของกาลงสองของ ( )xf จะมคาบเปลยนไปอยางไรกตาม คาเฉลยของกาลงสองของ ( )xf เปนอนกรมฟเรยรเชงซอนแลว กจะไดวา

คาเฉลยของ 2)]x(f[ ตลอดชวงคาบ คอ ∑

∞

−∞=n2

nc (3.28)

ในการแทนคลนเสยงดวยผลรวมของฮารมอนกตางๆ นน ในทางปฏบตอาจนาเอา ฮารมอนกหนงออกจากอนกรมฟเรยรได แตไมอาจนาเอาอนกรมนนแทนคลนเสยงทมอยได จงกลาวไดวาเซตของฟงกชน nxcos.nxsin เปนเซตบรบรณของฟงกชนในชวงความยาว 2π นนคอ สามารถกระจายฟงกชนออกเปนอนกรมฟเรยร ซงมคาคงทคณกบ nxsin หรอ nxcos ถาเอาคา n บางคาออกจากอนกรมแลวอนกรมนนจะประกอบดวยเซตทไมบรบรณของฟงกชนและไมสามารถนามาแทนฟงกชนได ดงนนทฤษฎของพารเซวลจะใชไดกบฟงกชนทประกอบดวยเซตทบรบรณเทานน จงเรยกทฤษฎของพารเซวลอกอยางหนงวา ความสมพนธบรบรณ (Completeness relation) ตวอยางท 3.4 จาก ( ) 1x1xxf 2 ⟨⟨−= และโดยอาศยทฤษฎของพารเซวล จงหาผลรวม

ของอนกรมอนนต

∑ 2n

1

วธทา กระจายฟงกชน ( )xf เปนอนกรมฟเรยรแบบเชงซอน ทมคาบเปน 2 ดงน

( )

...e31

e21eee

21e

31(...ixf

ix3

ix2ixxiix2ix3

++

++−+π−

=

π

π+ππ−π−π−

หาคาเฉลยของ 2)]x(f[ ตลอดชวง( )1,1−

จะไดคาเฉลยของ

31

11

3x

21dxx

21)]x(f[

31

122 =−== ∫

−

โดยอาศยทฤษฎของพารเซวล จะได

∑∑∞

=

∞

−∞= π=

++++++

π==

1n 22n2

n n12....

91

91

41

41111c

31

ดงนนจะไดผลรวมของอนกรมอนนต ดงน

∑∞

=

π=

π==+++

1n

222 63

1.2n

1.....91

411

สมการคลนในการสนของเสนเชอก เมอนาเสนเชอกมาขงใหตงระหวางจด 2 จด คอ x = 0 และ x = Lณ เวลา t = 0 ดงตรงจดกงกลางของเสนเชอกขนเปนระยะ h แลวปลอยเสนเชอกจะสนขนลงในทศทางตามแกน y เราสามารถหาสมการการเคลอนทของเสนเชอกโดยสมมตวามวลของเสนเชอกตอหนงหนวยความยาวมคาคงท แรงตงในเสนเชอกทขงตงมคามากจนไมคดแรงโนมถวงของโลกทกระทาตอเสนเชอกและความชนของทก ๆ จดบนเสนเชอกทสนขนลงในแนวดงมคานอยมาก

รปท 3.7 การสนของเสนเชอก

สมมตวาทเวลา t เสนเชอกมรปรางดงรปท 3.7 พจารณาสวนทเลก ๆ ∆x ของเสน

เชอก ซงประกอบดวยแรง 2 แรง คอ แรงตง T1 ไปทางซายมอ และ T2 ไปทางขวามอ แตกแรง T1 และ T2 ตามแนวราบและแนวดงจะได

แรงลพธในแนวดง คอ αβ sinTsinT 12 แรงลพธในแนวราบ คอ αβ cosTcosT 12

เนองจากเสนเชอกไมมการเคลอนทตามแนวราบ ดงนนแรงลพธในแนวราบเทากบศนย จะได

αβ cosTcosT 12 = (3.29) จากกฎของท 2 ของนวตน แรงลพธในแนวดงมคาเทากบมวลของ∆x ของเสนเชอกคณกบความเรง

22

12 tyxsinTsinT

∂∂

=− µ∆αβ (3.30)

จากสมการ (3.29) ให

L

TcosTcosT 12 == αβ (3.31) สมการ (3.30) หารดวย T จะได

22

11

22

ty

Tx

cosTsinT

cosTsinT

∂∂

=−µ∆

αα

ββ

22

ty

Txtantan∂∂

=−µ∆αβ (3.32)

เนองจาก tan β และ tan α เปนความชนของเสนเชอกท x และท x + ∆x ดงรป

รปท 3.8 ความชนของแรงในการสนของเสนเชอก นนคอ

xx

ytan

∂∂

=α และ xxx

ytan∆

β+

∂∂

=

ดงนนสมการ (3.32) เขยน รปของอนพนธ ไดวา

22

xxx ty

T)

xy()

xy(

x1

∂∂µ

=

∂∂

−∂∂

+∆∆

ถา ∆x เขาใกลศนย จะไดสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนเปน

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂ (3.33)

เมอ µTc2 =

สมการ (3.33) เรยกวาสมการคลนในหนงมต จากเงอนไขขอบเขตของการเคลอนทของเสนเชอกคอ ณ จดปลาย x = 0 และ x = L เปน

จดคงท ดงนน 0 t) y(L,,0)t,0(y == ทกคา t ≥ 0 (3.34)

รปแบบการเคลอนทของเสนเชอกจะขนอยกบการดงของเสนเชอกตอนเรมตน (t = 0)

และความเรวเรมตน (ความเรวท t = 0) ถาตอนเรมตน เสนเชอกมรปรางแทนดวยฟงกชน f(x) และความเรวเรมตนแทนดวย g(x) ดงนนจะไดเงอนไขเรมตน 2 เงอนไข คอ

)x(f)0,x(y = (3.35)

)x(gty

0t=

∂∂

= (3.36)

จะตองแกสมการ (3.33) โดยทคาตอบตองเปนไปตามเงอนไขขอบเขตและเงอนไขเรมตน การหาผลเฉลยของสมการ (3.33) จะใชวธแยกตวแปร โดยจะอยในรป )t(G)x(F)t,x(y = (3.37)

ซงเปนผลคณของสองฟงกชน โดยทฟงกชนหนงขนอยกบตวแปร x และอกฟงกชนหนงขนอยกบตวแปร t หาอนพนธสมการ (3.37) จะได

22

22

tGF

ty

∂∂

=∂∂ และ G

tF

xy

22

22

∂∂

=∂∂

จากสมการ (3.33) เขยนไดเปน

Gx

FctGF 2

22

22

∂∂

=∂∂

หารตลอดดวย FGc2 จะได

F

xF

Gct

G22

22

2

∂∂

=∂∂

จากสมการขางตนจะเหนวาเทอมทางซายมอเปนฟงกชนทขนกบเวลา t อยางเดยว สวนเทอมทางขวามอเปนฟงกชนทขนกบการกระจด x อยางเดยว ดงนนแสดงวาทงสองขางตองม

คาคงท นน คอ kF

xF

GctG

22

22

2

=∂∂

=∂∂

จะไดสมการเชงอนพนธแบบธรรมดาสองสมการ คอ

0kFxF

22

=−∂∂ (3.38)

0Gkct

G 22

2=−

∂∂ (3.39)

ในการหาผลเฉลย F และ G ของสมการ (3.37) และ (3.38) นน y = FG ตองเปนไปตามเงอนไขขอบเขตสมการ (3.32) นนคอ

0F(L)G(t)t) y(L,,0)t(G)0(F)t,0(y ==== ทกคา ถา G = 0 จะไดวา y = 0 ซงเปนกรณทไมนาสนใจ ดงนน G ≠ 0 และ 0F(L) ,0)0(F == (3.40) สาหรบ k = 0 ผลเฉลยทวไปของสมการ (3.30) คอ F = ax + b และจากสมการ (3.40) จะไดวา a = b = 0 นนคอ F = 0 ซงเปนกรณทไมตองการเพราะจะทาให y = 0 สาหรบ k ทเปนบวก (k > 0) ให k = q2 ผลเฉลยทวไปของสมการ (3.38) คอ qxqx BeAeF −+= และจากสมการ (3.40) จะได F = 0 เชนกน ดงนนจงเลอกแทนคาท k เปนลบ คอ k = -p2 สมการ (3.38) จะอยในรป

0FpxF 2

22

=+∂∂

ดงนนผลเฉลยของสมการทวไป คอ )pxsin(B)pxcos(AF += จากสมการ (3.40) จะไดวา F(0) = A = 0 และ F(L) = Bsin(pL) = 0

ให B ≠ 0 ดงนน sin(pL) = 0 นนคอ pL = nπ หรอ L

np π= (n เปนเลขจานวนเตม)

จะไดผลเฉลยจานวนมาก คอ F(x) = Fn(x) เมอ

... 3, 2, 1, n ,L

xnsinFn ==π (3.41)

ผลเฉลยขางตนจะเปนไปตามสมการ (3.40) แทนคา 2

Lnk

−=π ลงในสมการ

(3.39)

จะได 0Gt

G 2n2

2=λ+

∂∂

เมอ L

cnn

πλ =

ผลเฉลยทวไป คอ )tsin(B)tcos(B)t(G n

*nnnn λλ +=

ดงนน )t(G)x(F)t,x(y nnn = คอ

,...3, 2, 1 , n L

xnsint))(λsinBt)(λcos(B(x,t)y n*nnnn =

π+= (3.42)

ซงเปนผลเฉลยของสมการ (3.33) ทเปนไปตามเงอนไขขอบเขต ฟงกชนเหลานเรยกวา

ฟงกชนไอเกน (eigen function) และคา nλ เรยกวาคาไอเกน (eigen value) ของการสนของเสนเชอก

จะเหนวาแตละ yn แทนการเคลอนทแบบฮารมอนกทมความถ L2cn

2n =πλ รอบตอหนง

หนวยเวลา การเคลอนทนเรยกวาโมดปกต (normal mode) ท n ของเสนเชอก โมดปกตโมดแรกเรยกวา โมดมลฐาน (n = 1) และโมดถดมาเรยกวา โอเวอรโทนท 1, 2, 3, … (n = 2, 3, 4, …) ดงรป

รปท 3.9 แสดงโมดปกตของการสนของเสนเชอก

ในการหาคาตอบของ yn(x, t) ทเปนไปตามเงอนไขเรมตน สมการ (3.35) สมการ (3.36)

เนองจาก สมการ (3.33) เปนสมการเชงเสนเอกพนธจะไดผลรวมเชงเสนของคาตอบ yn เปนผลเฉลยของสมการ (3.33) ดวย ให

∑∑∞

=

∞

=+==

1nn

*nnn

1nn

Lxnsin))tsin(B)tcos(B()t,x(y)t,x(y πλλ (3.43)

จากสมการขางตนและเงอนไขเรมตน สมการ (3.35) จะไดวา

∑∞

==

1nn

LxnsinB)0,x(y π (3.44)

ดงนนเพอใหสมการ (3.43) เปนไปตามเงอนไขเรมตน สมการ (3.44) Bn ตองเปนสมประสทธของอนกรมฟเรยรไซนของ f(x) กลาวคอ

dxL

xnsin)x(fL2B

L

0n ∫=

π , n = 1, 2, 3, … (3.45)

หาอนพนธสมการ (3.43) เทยบกบเวลา t แลวใชเงอนไขเรมตน สมการ (3.36) จะได

0t1n

n*nnn

0t

Lxnsin))tsin(B)tcos(B(

ty

=

∞

==

+=

∂∂

∑πλλ

g(x) L

xnsinB1n

n*n == ∑

∞

=

πλ

เพอใหสมการ (3.43) เปนไปตามสมการ (3.36) ตองเลอกสมประสทธ B*n ซงทาให t

y∂∂

ท t = 0 เปนอนกรมฟเรยรไซนของ g(x) กลาวคอ

dxL

xnsin)x(gL2B

L

0n

*n ∫=

πλ

จะไดวา

dxL

xnsin)x(gvn

2BL

0*n ∫=

ππ

(3.46)

นนคอ y(x,t) ทกาหนดโดยสมการ (3.43) และมสมประสทธ คอ สมการ (3.45) และสมการ (3.46) เปนผลเฉลยของสมการ (3.33) ทเปนไปตามเงอนไขเรมตนในสมการ (3.34), (3.35) และ สมการ (3.36) ตวอยางท 3.5 คลนตามขวางเกดทปลายขางหนงของเสนเชอกยาว โดยทปลายอกขางหนงผกตด กบแทงเหลกและปลายเชอกเคลอนทขนลงผานระยะทาง 0.50 เซนตเมตร อยางตอเนอง และซา ๆ กน 120 ครง ตอวนาท

ก. ถาเสนเชอกมมวลตอหนวยความยาว 0.25 กโลกรม – เมตร-1 และอยภายใตแรงดง 90 นวตน จงหาความเรว แอมพลจด ความถ และความยาวคลนของคลนตามขวางน

ข. สมมตวาคลนเคลอนทไปในทศ x+ ท 0=t , 0,0 == yx จงเขยนสมการคลน

ค. ขณะทคลนนเคลอนทไปตามเสนเชอก แตละอนภาคของเสนเชอกเคลอนทขนลงตงฉากกบทศทางการเคลอนทของคลน จงหาความเรว และความเรงของอนภาคท 60 เซนตเมตร จากปลายเชอก

วธทา

ก. จาก µ

=Tc

25.0

90=

ความเรวของคลน = 19 m/s

แอมพลจด250.0

= = 0.25 cm

ตามโจทยจะไดความถ = 120 Hz

ความยาวคลน 1612019

fv

=== cm

ข. จากสมการคลนโดยทวไป ( )φ−ω−= tkxsinAy ท 0t = , 0y,0x == จะได 0=φ ดงนน ( )tkxsinAy ω−= จากขอ ก.ได cm25.0A=

cm16= 1cm39.0

1622k −=π

=λπ

=

และ Hz7541202f2 =×λ=π=ω จะไดสมการของคลนเปน

( )t754x39.0sin25.0y −=

ค. จาก ( )xx

ytu

∂∂

=

โดยหาอนพนธสมการคลนทวไปในขอ ข. จะได

( )

cm60xtkxcosAu

=ω−ω−=

( )( )[ ]t)754(6039.0cos)754(25.0 −−= s/m)t75423cos(188 −−=

จาก ( )x

2

2

tyta

∂∂

=

( ) ( )( )[ ]t7546039.0sin25.0754

y2

2

−−=

ω−=

( ) 2s/mt1544.23sin142129 −= สมการคลนฮารมอนก การเคลอนทแบบฮารมอนกเปนการเคลอนทซารอบทมคาบและมความถของการเคลอนท ซงมความสมพนธกบคลนฮารมอนกทเกดเนองจากตวกลางถกรบกวนในลกษณะทเปนฮารมอนกอยางตอเนอง คลนทแผไปในตวกลางจะมลกษณะเปนคลนทเปนคาบ และเกดคลนซารอบในลกษณะฮารมอนก โดยสมการของคลนอารมอนกเปนไปตามสมการ (3.7) คอ

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂

ผลเฉลยทวไปสมการคลนฮารมอนก คอ )ctx(g)ctx(f)t,x(y ++−= เพอใหงายสาหรบคลนตามขวาง พจารณาคลนฮารมอนกทเปนแบบไซน (Sinusoidal wave) ผลเฉลยทวไปสมการคลนฮารมอนกในกรณ คอ θ= sinAy (3.46) ให λ เปนระยะทางทคลนเคลอนทไป เมออนภาคมการแกวงครบรอบเปนมม π2 เรยกวา ความ

ยาวคลน จะไดวา เมอคลนเดนทางเปนระยะ x ใด ๆ อนภาคแกวงเปนมม x.2λπ

A เปนแอมพลจดของการแกวงของอนภาค นนคอ เมอคลนเรมตนทตาแหนง x ใด ๆ เมอ t = 0 สมการ (3.46) คอ

)x.2sin(Ayλπ

= (3.47)

เมอเวลา t ผานไป คลนเดนทางไปทางขวามอดวยความเรว c จะได

)ctx(2sinAy −λπ

= (3.48)

ถาให T เปนคาบทคลนเดนทางดวยความเรว c ไดระยะทางλ ดงนน λ=cT อาจเขยนสมการ ( 3.48)

)Ttx(2sinAy −

λπ= (3.49)

พจารณาเทอม λπ2 เปนคาคงท เรยกวา เลขคลนเชงมม หรอ =k

λπ2

และความถเชงมม f2π=ωTπ2

= จะได )tkxsin(Ay ω−= (3.50) สามารถตรวจสอบวา สมการ (3.50) เปนผลเฉลยของสมการคลนหรอไม โดยการหาอนพนธ ลาดบทสองเทยบกบ x จะได

)tkxcos(Akxy

ω−=∂∂

)tkxsin(Akx

y 22

2ω−−=

∂∂ (3.51)

และหาอนพนธลาดบทสองเทยบกบ t จะได

)tkxcos(Aty

ω−ω−=∂∂

)tkxsin(At

y 22

2ω−ω−=

∂∂ (3.52)

นาสมการ (3.51) มาหารสมการ (3.52) แทนในสมการคลนจะไดวา

k

)tkxsin(A)tkxsin(Ak

ty

xy

22

22

22

22

ω=

ω−ω−ω−−

=

∂∂∂∂

เมอ c

k ω= จะได

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂

ซงกคอสมการคลนในหนงมตนนเอง ตวอยางท 3.6 จงเขยนสมการคลนทเคลอนทในทศทาง x− และมแอมพลจด 1 เซนตเมตร ความถ 550 เฮตรซ และความเรว 330 เมตรตอวนาท โดยเมอเรมเกดคลน การกระจดเรมตนมคาเทากบ 5 มลลเมตร วธทา จาก ( )φ+ω+= tkxsinAy โจทยกาหนดให 005.0y,0x,0t === และ A =0.01 จะไดวา )00sin(010.0005.0 φ++=

21sin =φ

6π

=φ

1m3

10330

5502c

f22k −π=

×π=

π=

λπ

=

Hz 100,15502f2 π=×π=π=ω แทนคา k และ ω ลงในสมการทวไป จะได

π

+π+π

=6

t100,1x3

10sin01.0y

สมการคลนของคลนตามยาวในทอ ทอตรงอนหนงมพนทหนาตดสมาเสมอ วางในแนวแกน x ดงรปท 3.10 ก พจารณาสวนตด AA ′ ของวตถซงกวาง ∆x มระยะหางจากจดอางอง x ตาแหนงน คอ ตาแหนงสมดล เมอเมอคลนเคลอนทผานจะเกดแรง F กระทาตอดาน A ไปทาง – x และมแรง F′ กระทาตอดาน A′ ไปทาง + x ทาใหเกดแรงลพธเทากบ FF −′ กระทาตอบรเวณน ทาใหเกดการเคลอนทดวยความเรงไปจากตาแหนงสมดล ทาใหดาน A มการกระจดเปน y และดาน A′ มการกระจดเปน y′ และสวนกวาง ∆x จะเปลยนเปน x′∆ ดงรปท 3.10 ข

รปท 3.10 แสดงสวนทถกอดและสวนขยายของตวกลางในทอทมคลนตามยาว เคลอนทผาน

P Q

ก

ข

x

x

y

∆x

F F’

A A’

y’

∆x’

จากรปท 3.10 พจารณาการกระจดทเปลยนไปจะไดวา )yy(xx −′+∆=′∆ ถาให yyy ∆=−′ ซงกคอสวนทเปลยนไปของการกระจด จะได xxy ∆−′∆=∆

อตราสวนของการกระจดทเปลยนไปเทยบกบสวนของความกวางเดมก คอ ความเครยด

ตงฉาก ซงมคาเทากบ x

xxxy

∆∆−′∆

=∆∆ ถาพจารณาในชวงเวลานอย ๆ )0x( →∆ จะไดวา

xy

xy

∂∂

=∆∆ นนเอง

ให ρ เปนความหนาแนนของตวกลางในทอ มวลของสวนตด AA ′ คอ xAVm ∆ρ=∆ρ=∆

เมอ V∆ เปนปรมาตรของสวนตด AA ′ และความเรงของสวนตด AA ′ คอ 22

ty

∂∂

จากกฎขอท 2 ของนวตน จะไดวา

22

22

ty)A(

xF

ty)xA(F

∂∂

ρ=∆∆

∂∂

∆ρ=∆

ถา x∆ มคาเขาใกล 0 จะได

22

ty)A(

xF

∂∂

ρ=∂∂ (3.53)

จากมอดลสของยง

xy

AF

LL

AF

Y

∂∂=∆= จะไดวา

xyYAF∂∂

= สมการ (3.53) คอ

22

22

ty)A(

xyYA

∂∂

ρ=∂∂

หรอ 22

22

ty

Yxy

∂∂ρ

=∂∂ (3.54)

ถาให ρ

=Yc เปนความเรวของคลน สมการ (3.54) คอ

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂ (3.55)

สมการคลนของคลนตามยาวในของไหล

รปท 3.11 การเคลอนทของคลนดลตามยาวในของไหล

ของไหล (ของเหลวหรอกาซ) มความหนาแนน ρ บรรจอยในทอซงมพนทหนาตด A สาหรบเพมหรอลดความดนใหแกของไหลในทอ เมอเวลา 0t = ของไหลหยดนงมความดน 0P ดงรป 3.11 ก พจารณาของไหลทความยาวระหวาง R ถง S ของไหลหยดนงทปลายดาน R ถง S มความดน 0P ถาใหออกแรงดน P ทพนทดาน R ทาใหของไหลเคลอนทไปทางขวา โดยทรงกระบอก RS เปลยนเปนทรงกระบอก SR ′′ ดงรปท 3.11 ข และความดนดาน S′ คอ PP ∆+ จากบลคโมดลสของของไหล คอ อตราสวนของการเปลยนความดนตอความเครยดปรมาตร จะไดวา

dVdPVB −=

ถาพจารณาจากรปท 3.11 ก และ ข จะพบวา ความเครยดปรมาตร คอ xAzA

∆∆ นนคอ

S

ก

ข

xx+∆x

PA

P0A

(P+∆P)A

x+z

R

P0A

R’ S’

x+∆x+z+∆z x

xzBPP

xz

)PP(B

0

0

∆∆

−=−

∆∆−

−=

ถาให 0PPp −= และ ∆x เขาใกลศนยจะไดวา

xzBp∂∂

−= (3.56)

พจารณาแรงททาใหทรงกระบอกเปลยนจากทรงกระบอก RS เปน SR ′′ ตามกฎขอท 2 ของนวตน จะได

22

tzxAA)PP(PA

∂∂

∆ρ=∆+−

หรอ

22

tzxP

∂∂

∆ρ=∆−

เนองจากเราพจารณาระยะ SR ′′ ทมปรมาณนอย ๆ จะไดวา Pp ∆=∆ จะไดวา

22

tzxp

∂∂

∆ρ=∆−

หรอ 22

tzxx

xp

∂∂

∆ρ=∆∂∂

−

หรอ 22

tz

xp

∂∂

ρ=∂∂

− (3.57)

จากสมการ (3.56) หาอนพนธเทยบกบ x จะได

22

xzB

xp

∂∂

−=∂∂ (3.58)

แทนคาสมการ (3.58) ในสมการ (3.57) จะได

22

22

tz

Bxz

∂∂ρ

=∂∂ (3.59)

หรอ

22

222

tz

c1

xz

∂∂

=∂∂ (3.60)

เมอ ρ

=Bc คอความเรวของคลนนนเอง และ สมการ (3.60) คอ สมการคลนตามยาวในของ

ไหลนนเอง สมการคลนเกยวกบความดน สาหรบคลนตามยาวเมอเคลอนทผานวตถใด ๆ ทาใหอนภาคของตวกลางสนในแนวเดยวกบทศทคลนเคลอนทไป ทาใหเกดบรเวณทมความดนสง และความดนตากวาจดสมดลของความดนในตวกลาง นน ๆ จงอาจพจารณาการเปลยนแปลงความดนของตวกลางทคลนเคลอนทแทนปรมาณกระจดของอนภาคได จากสมการ(3.56) หาอนพนธอบดบทสองเทยบกบ t จะไดวา

)xz(

tB

tp

2

2

2

2

∂∂

∂∂

−=∂∂

xt

zBt

p23

22

∂∂∂

−=∂∂ (3.61)

หาอนพนธอบดบทหนงสมการ (3.56) เทยบกบ x จะไดวา

22

xzB

xp

∂∂

−=∂∂ (3.62)

เปรยบเทยบคา 22

xz

∂∂ จากสมการ (3.59) และสมการ (3.62) จะไดวา

22

tz

xp

∂∂

ρ−=∂∂ (3.63)

หาอนพนธสมการ (3.63) เทยบกบ x จะได

23

22

txz

xp

∂∂∂

ρ−=∂∂ (3.64)

นาสมการ (3.64) หารดวยสมการ (3.61) แลวจดรปสมการใหม จะไดวา

22

22

tp

Bxp

∂∂ρ

=∂∂

หรอ 22

222

tp

c1

xp

∂∂

=∂∂ (3.65)

สมการ (3.65) เปนสมการคลนเกยวกบความดนในกาซ โดยผลเฉลยทวไปของสมการ คอ

)tkxcos(Ay ω−= (3.66) จากสมการ ( 3.66) จะได

)tkxsin(Akxy

ω−−=∂∂ (3.67)

แทนคาสมการ (3.67) ลงในสมการ (3.56) จะได )tkxsin(BAkp ω−=

จากρ

=Bc จะได ρ= 2cB

ดงนน )Akc(p 2ρ= )tkxsin( ω− (3.68) สมการ (3.68) คอผลเฉลยสมการคลนเกยวกบความดนในกาซ โดยคา )Akc(p 2ρ= เรยกวา แอมพลจดของความดน (pressure amplitude) จะเหนวาการพจารณาสมการคลนตามยาวแบบคลนปรมาณกระจด ซงเขยนแทนดวยฟงกชนโคไซน หรอพจารณาแบบคลนความดน ซงเขยนแทนดวยฟงกชนของไซน จะไดวาคลนทงสองแบบจะมเฟสตางกน 90 องศา หมายความวา เมอของไหลมปรมาณกระจดออกจากตาแหนงสมดลซงมคามากทสด ความดนทเพมขนทจดนนมคาเปนศนย ถาของไหลนน มปรมาณกระจดทจดนนเปนศนย ความดนสวนทเพมขนจะมคาสงสด ตวอยางท 3.7 ความดนในการเดนทางของคลนเสยงไดดวยสมการ ( )t330xsin5.1p −π= เมอ x ม หนวยเปนเมตร t เปนวนาท และ P เปนนวตน/ตารางเมตร จงหาแอมพลจดของความดน ความถ ความเรวคลน และความยาวคลน วธทา จาก )tkxsin(pp 0 ω−= โจทย ( )t330xsin5.1p −π= โดยการเทยบสมการ จะไดแอมพลจดของความดน 0p เทากบ 1.5 นวตนตอตารางเมตร

π=k และ π=ω 330

จาก ππ

=ω

=330

kc

จะไดความเรวคลน คอ 330 เมตรตอวนาท จาก f2π=ω

จะได πω

=2

f

นนคอ ความถเทากบ 115 เฮรตซ

จาก λπ

=2k

จะได ππ

=π

=λ2

k2

นนคอ ความยาวคลนเทากบ 2 เมตร สมการคลนบนแผนเยอ สมมตใหแผนเยอถกขงตงเปนแผนราบในระนาบ xy มคาความตงผว 0f ตอหนงหนวยความยาว ให ψ(x,y,z,t) เปนการกระจดบนแผนเยอบางในทศตงฉากกบระนาบ xy ทตาแหนง (x,y) ใด ๆ เมอเวลา t ใด ๆ 0σ เปนมวลตอหนงหนวยพนทของแผนเยอ พจารณาสวนเลก ๆของแผนเยอซงเปนรปสเหลยมผนผากวาง ∆x ยาว ∆y โดยไมคดถงผลทเนองมาจากแรงโนมถวงและแรงเสยดทาน โดยแผนเยอจะมแรงกระทาตอสวนเลก ๆ น 2 ค คอ xf0∆ และ yf0∆ ดงแสดงในรปท 3.12

รปท 3.12 แรงกระทาตอสวนเลก ๆ ของแผนเยอบาง สวนเลก ๆ ของแผนเยอในขณะทแผนเยอมการกระจดทาใหเกดแรงลพธในแนวแกน ψ ขน แรงแตละคเปรยบไดกบความตงในเสนเชอกซงกวาง ∆x และยาวไปตามแกน y และกวาง ∆y ยาวไปตามแกน x ตามลาดบ พจารณาแรงคทกระทาตอดาน ∆y ดงแสดงในรปท 3.13

ψ

x

y

x x+∆x

y

y+∆y

f0∆y f0∆y

f0∆x

f0∆x

รปท 3.13 สวนของแผนเยอเมอมองจากดานทยาว ∆x

จากรปท 3.13 แรงลพธตามแนวแกน )cos(cosyfx 120 α−α∆= แรงลพธตามแนวแกน )sin(sinyf 120 α−α∆=ψ

มม 21 α≠α ใหการกระจดของแผนเยอมคานอย ๆ ดงนน 1α และ 2α ตางมคานอยมาก จะไดวา แรงตามแนวแกน x = 0 เนองจาก 12 coscos α≈α

และแรงลพธตามแนวแกน ψ คอ ])x

()x

[(yf xxx0 ∂ω∂

−∂ψ∂

∆ ∆+

xx])

x()

x[(yf xxx0 ∆

∆∂ω∂

−∂ψ∂

∆= ∆+

แต 22

xxx0x x])

x()

x[(

x1lim

∂ψ∂

=∂ψ∂

−∂ψ∂

∆ ∆+→∆

เมอ 0x→∆ แรงลพธสทธทเกดจากแรงค yf0∆ จะมคาเทากบ 2

2

0 xyxf∂ψ∂

∆∆ และมทศ

ขนานกบแกน ψ ในทานองเดยวกนสามารถหาแรงลพธสทธทเกดจากแรงค xf0∆ จะมคาเทากบ

2

2

0 yyxf∂ψ∂

∆∆ และมทศขนานกบแกน ψ ดงนนแรงลพธเลก ๆ ของแผนเยอจะมทศขนานกบ

แกน ψและมคาเทากบ )yx

(yxf 2

2

2

2

0 ∂ψ∂

+∂ψ∂

∆∆ มวลของสวนเลก ๆ ของแผนเยอนเทากบ

yx0 ∆∆σ ดงนนสมการการเคลอนทของสวนเลก ๆ ของแผนเยอน คอ

α1

α2

x x x+∆x

ψ

2

2

02

2

2

2

0 tyx)

yx(yxf

∂ψ∂

∆∆σ=∂ψ∂

+∂ψ∂

∆∆

2

2

0

02

2

2

2

tfyx ∂ψ∂σ

=∂ψ∂

+∂ψ∂

2

2

22

2

2

2

tc1

yx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂ (3.69)

โดย 0

0fcσ

= (3.70)

สมการ (3.69) เปนสมการคลนในสองมต และ c คอความเรวของคลนตามขวางทเกดบนแผนเยอ เราอาจหาผลเฉลยของสมการ(3.69) โดยวธแยกตวแปร เนองจาก ψ เปนฟงกชนของ x, y และ t ดงนนจงสมมตใหผลเฉลยของสมการ คอ )t(T)y(Y)x(X)t,y,x( =ψ (3.71) แทนคา ψ ตามสมการ (3.71) ลงในสมการ (3.69) จะได

2

2

22

2

2

2

tTXY

c1

yYXT

xXYT

∂∂

=∂∂

+∂∂ (3.72)

เอา 2cXYT หารสมการ (3.72) ตลอดจะไดวา

2

2

2

22

2

22

tT

T1

yY

Yc

xX

Xc

∂∂

=∂∂

+∂∂ (3.73)

เนองจากขางซายของสมการ (3.73) เปนฟงกชนของ x และ y สวนขางขวาของสมการ (3.73) เปนฟงกชนของ t โดยทง x, y และ t ตางกเปนอสระจากกน ดงนนการทขางซายของสมการ (3.73) จะเทากบขางขวาของสมการไดนน แตละขางจะตองเทากบคาคงทคาหนง สมมตให คอ คา 2ω− จะไดวา

0TtT 22

2=ω+

∂∂ (3.74)

และ 22

22

2

22

yY

Yc

xX

Xc

ω−=∂∂

+∂∂ (3.75)

จดสมการ (3.75) ใหมจะไดวา

และ )cy

YY1(

xX

X1

2

2

2

2

2

2 ω+

∂∂

−=∂∂ (3.76)

เนองจากขางซายของสมการ (3.76) ตางกเปนฟงกชนของตวแปรอสระคนละตว ดงนนสมการ (3.76) เปนจรงไดกตอเมอ

2x2

2

2

2

2

2k)

cyY

Y1(

xX

X1

−=ω

+∂∂

−=∂∂ (3.77)

โดย 2xk− เปนคาคงท ซงเรยกวาคาคงทของการแยกตวท 2 (second separation constant) จาก

สมการ (3.77) จะได

0Xkx

X 2x2

2=+

∂∂ (3.78)

และ 0Y)kc

(y

Y 2x2

2

2

2=−

ω+

∂∂

ให 2x2

22y k

ck −

ω= (3.79)

ดงนน 0Yky

Y 2y2

2=+

∂∂ (3.80)

สมการ (3.74) , (3.78) และสมการ (3.80) อยในรปของสมการการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย อาจเลอกฟงกชนทเปนปรมาณจรง หรอเปนฟงกชนของปรมาณเชงซอนกได หรออาจจะเปนทงสองอยางผสมกน ผลเฉลยทวไปจะอยในรปของผลคณของฟงกชนเหลานพรอมคาคงท ถาให xik

1 xeC)x(X = เปนผลเฉลยของสมการ (3.78) Yik2 yeC)y(Y = เปนผลเฉลยของ

สมการ (3.80) และ ti3eC)t(T ω−= เปนผลเฉลยของสมการ (3.74) ดงนนผลเฉลยของสมการ

(3.69) คอ )tyykxxk(iAe)t.y,x( ω−+=ψ (3.81) โดย 321 CCCA=

รปฟงกชนของผลเฉลยทเลอกในสมการ (3.71) อยในรปของคลนเคลอนททมความถเชงมม ω เพอใหเขาใจผลเฉลยของสมการ (3.71) มากขน จะพจารณาดทางเดนของจดทมเวกเตอรการกระจด (displacement vector) เทากนหรอมเฟสเทากน ถาให φ แทนเฟสของคลนในสมการ (3.81)

tykxk yx ω−+=φ (3.82) จากททราบแลววาหนาคลนเปนทางเดนของจดทมเฟสเทากน ดงนนทเวลา t ใด ๆ เชน ท

1tt= หนาคลนหนงจะถกกาหนดโดยเฟส 1φ ตามสมการ

tykxk 1y1x1 ω−+=φ (3.83) สมการ (3.82) เปนสมการของเสนตรงในระนาบ xy ดงนนคลนในสมการ (3.81) จงม

หนาคลนเปนเสนตรงในระนาบ xy เรยกคลนในสมการ (3.81) นวาคลนระนาบ (plane wave) ใน 2 มต

นอกจากนผลเฉลยของสมการคลนใน 2 มต อาจเขยนไดดงน

)tsincos

)(yksincos

)(xksincos

( yx ω=ψ (3.84)

เมอ 22y

2x kkk =+ และ kc=ω

หรอ )tsincos

)(e)(xksincos

( ykx y ω=ψ ± (3.85)

เมอ 22y

2x kkk =−

ตวอยางท 3.8 จงแสดงใหเหนวา )]ykxk(t[i 21Aez +−ω= เปนคาตอบของสมการคลน

ใน 2 มต เมอ 22

212

22 kk

ck +=

ω=

วธทา หาอนพนธอนดบท 2 ของ z เทยบกบเวลา จะได

)]ykxk(t[i22

221eAz

tz +−ωω=

∂∂ (3.86)

หาอนพนธอนดบท 2 ของ z เทยบกบ x จะได

)]ykxk(t[i212

221eAkz

xz +−ω=

∂∂ (3.87)

หาอนพนธอนดบท 2 ของ z เทยบกบ y จะได

)]ykxk(t[i222

221eAkz

yz +−ω=

∂∂ (3.88)

สมการคลนใน 2 มต คอ 2

2

22

2

2

2

tc1

yx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂ แทนคาดวยสมการ (3.86), (3.87)

และ (3.88) จะได

)]ykxk(t[i22

)]ykxk(t[i22

)]ykxk(t[i21 212121 eA

c1eAkeAk +−ω+−ω+−ω ω=+

22

22

21 c

kk ω=+

นนคอ )]ykxk(t[i 21Aez +−ω= เปนคาตอบของสมการคลนใน 2 มตจรง สมการคลนระนาบในสามมต จากสมการ (3.69) เปนสมการคลนในสองมต ถาหากเปนคลนสามมต สามารถเขยนสมการ (3.69) ไดเปน

22

222

22

22

tc1

zyx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

+∂ψ∂

หรอ 22

22

tc1∂ψ∂

=ψ∇ (3.89)

ซงผลเฉลยของสมการคลนในกรณน คอ

)tsincos

)(zksincos

)(yksincos

)(xksincos

( zyx ω=ψ (3.90)

เมอ 22z

2y

2x kkkk =++

หรอ )tsincos

)(zksincos

)(e)(xksincos

( zyk

x y ω=ψ ± (3.91)

เมอ 22z

2y

2x kkkk =+−−

ในกรณทเปนพกดทรงกระบอกและทรงกลม กสามารถเขยนสมการคลนและผลเฉลยไดเชนกนแตจะไมขอกลาวในทน เนองจากอาจจะยงยากเกนกวาระดบวชาฟสกสทสนใจกนโดยทวไปของระดบน เพราะตองใชคณตศาสตรชนสงในการอธบาย

บทสรป รปแบบทวไปของสมการคลนเคลอนท

ถาอนภาคแกวงทาใหเกดคลน ฟงกชนคลนทวไป คอ )vtx(fy ±=

สมการการเคลอนทของคลน หรอ สมการคลน คอ

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂

สมการคลนในกรณทเปน 2 มต คอ

22

222

22

tc1

yx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

สมการคลนในกรณทเปน 3 มต คอ

22

222

22

22

tc1

zyx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

+∂ψ∂

อนกรมฟเรยร 1. อนกรมฟเรยร แบบเชงซอน ( ) ...ececececcxf ix2

2ix2

2ix

1ix

10 +++++= −−

−−

∑∞

−∞==

ninx

nec

สตรสาหรบหาคา 0c คอ ( )∫π

π−π= dxxf

21c0

สตรสาหรบหาคา nc คอ ∫π

π−

−π= dxe)x(fc inx

21

n

2. อนกรมฟเรยรทมชวงคาบอน ๆ สตรสาหรบการหาสมประสทธฟเรยร คอ

( )∫π

π=

2

0n nxdxcosxf1a

( )∫π

π=

2

0n nxdxsinxf1b

( )∫π −

π=

2

0inx

n dxexf1c

3. อนกรมฟเรยรไซนและอนกรมฟเรยรโคไซน การกระจายฟงกชนครบรอบใหเปนอนกรมฟเรยรเพอหาสมประสทธ na และ nb จะทาไดรวดเรวขนเมอทราบวาฟงกชนนนเปนฟงกชนคหรอฟงกชน โดย ( )xf เปนฟงกชนค เมอ( ) ( )xfxf =− ทกคา x และ เปนฟงกชนค เมอ ( ) ( )xfxf −=− ทกคา x

สตรการหาสมประสทธ na และ nb กยงใชไดเชนเดม

ถา ( )xf เปนฟงกชนค แลว ∫

π

=

=

L

0n

n

dxL

xnsin)x(fL2b

0a

ถา ( )xf เปนฟงกชนคแลว

=

π= ∫

0b

dxL

xncos)x(fL2a

n

L

0n

4. ทฤษฎพารเซวล เพอหาความสมพนธของคาเฉลยของกาลงสองของฟงกชน ( )xf กบสมประสทธในอนกรมฟเรยรของ ( )xf หาคาไดและกระจาย ( )xf เปน อนกรมฟเรยรดงน

( ) =xf ∑ ∑∞

=

∞

=++

1n 1nnn0 nxsinbnxcosaa

21

ยกกาลงสองของ ( )xf แลวหาคาเฉลยของกาลงสองตลอดชวง ( )ππ− , จะไดคาเฉลยของ

∫π

π−π= dx)]x(f[

21)]x(f[ 22

คาเฉลยของกาลงสองของไซนหรอโคไซนตลอดชวงคาบหนงเปน 1/2 ดงนน จะได

คาเฉลยของ 202

0 a21a

21

=

คาเฉลยของ ( ) 2n2

n a21nxcosa =

คาเฉลยของ ( ) 2n2

n b21nxsinb =

คาเฉลยของ 2)]x(f[ ตลอดชวงคาบ คอ ∑ ∑∞

=

∞

=++

1n 1n2n2n

20 b

21a

21a

21

ทฤษฎของพารเซวล ( Parseval ,s Theoram) ไมวา ( )xf จะมคาบเปลยนไปอยางไรกตาม คาเฉลยของกาลงสองของ ( )xf จะมคาบเปลยนไปอยางไรกตาม คาเฉลยของกาลงสองของ ( )xf เปนอนกรมฟเรยรเชงซอนแลว กจะไดวา

คาเฉลยของ 2)]x(f[ ตลอดชวงคาบ คอ ∑

∞

−∞=n2

nc

สมการคลนในการสนของเสนเชอก สมการคลนในการสนของเสนเชอก คอ

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂

เมอ µTc2 =

ผลเฉลยทวไป คอ

,...3, 2, 1 , n L

xnsint))(λsinBt)(λcos(B(x,t)y n*nnnn =

π+=

ซงเปนผลเฉลยของสมการคลนในเสนเชอก ฟงกชนเหลานเรยกวา ฟงกชนไอเกน (eigen function) และคา nλ เรยกวาคาไอเกน (eigen value) ของการสนของเสนเชอก สมการคลนฮารมอนก สมการของคลนอารมอนก คอ

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂

ผลเฉลยทวไปสมการคลนฮารมอนก คอ )tkxsin(Ay ω−=

สมการคลนของคลนตามยาวในทอ สมการคลนของคลนตามยาวในทอ คอ

22

222

ty

c1

xy

∂∂

=∂∂

เมอให ρ

=Yc

สมการคลนของคลนตามยาวในของไหล สมการคลนของคลนตามยาวในของไหล คอ

22

222

tz

c1

xz

∂∂

=∂∂

เมอ ρ

=Bc

สมการคลนเกยวกบความดน สมการคลนเกยวกบความดน คอ

22

222

tp

c1

xp

∂∂

=∂∂

สมการคลนบนแผนเยอ สมการคลนบนแผนเยอ คอ

2

2

22

2

2

2

tc1

yx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

เมอ 0

0fcσ

=

ผลเฉลยของสมการ คอ )tykxk(i yxAe)t,y,x( ω−+=ψ

หรอ )tsincos

)(yksincos

)(xksincos

( yx ω=ψ

หรอ )tsincos

)(e)(xksincos

( ykx y ω=ψ ±

สมการคลนระนาบในสามมต สมการคลนในสามมต คอ

22

222

22

22

tc1

zyx ∂ψ∂

=∂ψ∂

+∂ψ∂

+∂ψ∂

หรอ 22

22

tc1∂ψ∂

=ψ∇

ผลเฉลยของสมการคลนในกรณน คอ

)tsincos

)(zksincos

)(yksincos

)(xksincos

( zyx ω=ψ เมอ 22z

2y

2x kkkk =++

หรอ )tsincos

)(zksincos

)(e)(xksincos

( zyk

x y ω=ψ ± เมอ 22z

2y

2x kkkk =+−−