Hatványos és gyökös feladatok

Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

Felbontjuk prímtényezőkre az alapokat:

Ha ezeket nem érted, akkor az idevonatkozó fejezetet nem olvastad el. Na, vajh, melyik lehet ez?

Pont az előző.

Most az azonos alapú hatványokat vonjuk össze. Előbb a számlálóban és nevezőben külön, aztán

majd vegyítjük e kettőt:1

Ha nem akarunk negatív kitevőket, akár mert nekünk nem tetszik, akár mert a feladat úgy kívánta,

akkor a negatív kitevőjű tényezőket átdobáljuk az elképzelt tört vonal másik oldalára. Magyarán

mivel a negatív kitevő reciprokot jelent, azt használjuk fel:

Ha valaki akarja, ki is számolhatja a hatványok értékeit, és elvégezheti a szorzásokat. De csak akkor

érdemes, ha nem túl nagy számok adódnak:

Ez nyilván nem egyszerűsíthető tovább, hiszen a számlálóban és a nevezőben különböző

prímtényezők vannak. És mint tudjuk az ehhez szükséges közös osztók éppen a közös

prímtényezőkből állíthatóak össze. Viszont azoktól az imént szabadultunk meg az egyszerűsítés

során.

1 Ne konkrétan egy gondolj! Mert még az cseppnyi hitem is elvész az emberiség iránt.

Ha olyan bénák vagyunk, hogy nem tudjuk egyből prímtényezőkre bontani az alapokat, akkor sincs

semmi baj. Bontsuk fel, ahogy tudjuk, aztán majd tovább bontjuk őket:

Látható, hogy ekkor is lesznek olyanok, amiket csak prímtényezőkre tudunk bontani, mert csak

egyféleképpen alakíthatóak szorzattá. Direkt elbénáztam mindent, amit csak lehetett. De persze nem

úgy, hogy kreténséget írtam. Mindenhol igazság vagyon írva, csak van ügyesebb felbontás is.

Bombázzuk őket jobban szana-szét:

Még mindig van mit javítani rajta:

Úgy fogom írni, hogy eleve pozitív kitevők legyenek. Ezt úgy tehetem meg, hogy mindig a nagyobb

kitevőből vonom ki a kisebbet és a különbséget a törtvonal azon oldalára írom, melyen a nagyobb

szerepelt:

Vannak köztük jó nagy számok, azokat úgysem számoljuk ki, akkor a többit sem kell.

Hosszabbnak tűnt, mint az előbb? Javaslom, ne legyünk bénák!

2

2 Itt már annyira ügyesek leszünk, hogy nagyon. bölcsességünk

mindent elsöpör.

Az egyest ne felejtsük le a számlálóból, mert akkor, aminek a nevezőben kéne lennie, a számlálóban

lesz, tekintve, hogy nevező nem is lesz, ha rosszul írjuk!

Írjuk hatványalakba a következő kifejezések tagjait, tényezőit!

Bővítettem a törtkitevők némelyikét, mert a majdani összevonáshoz közös nevezőre lesz szükség. A

számláló utolsó tényezőjének kitevője egyszerűsíthető -vel, így lesz belőle:

Ha valamiért nem érted, hogy mi hogyan jött ki csináld végig, hiszen tudod, mit kell tenni, és meg

fogod látni, hogy mi történt. Nem tudom, miért hiszitek, hogy a tanulás egy passzív folyamat? Pont

ellenkezőleg, mindent magadnak kell kiásni ahhoz, hogy igazán megértsed. Amíg ezt nem fogod fel,

addig hiába pofázok! Ne lustálkodj, számolj utána te is! De az nem azt jelenti, hogy másold le -

szer! Hanem azt, hogy egyedül számold ki.

A következő feladatokról az ember azt hinné, hogy ezek aztán biztosan nem adnak egész számot.

Pedig de. Kissé Harry Potternek érezheted majd magad ezek megoldása után. Már-már olyan ez, mint

varázsolni.

Végezzük el a következő műveleteket!

Vegyük észre, hogy a gyök alatti számok, a kivételével szorzattá bonthatóak.

Méghozzá úgy, hogy az egyik tényező négyzetszám legyen:

És most azokon a bizonyos négyzeteken elvégezhető a gyökvonás, ugyanis a gyökvonás és a szorzás

művelete felcserélhető:

És természetesen a gyök együtthatója szorzódik a gyökvonás eredményével:

Most már csak össze kell vonni a zárójelben lévőket:

Mivelhogy

Természetesen ezeket is szorzatokká bombázzuk, szana-szétfelé:

A négyzetszámokat kihozzuk a gyök alól, azaz elvégezzük rajtuk a műtétet:

Majd elvégezve az együtthatószorzásokat:

Összevonva, mint állat:

A sorrend felcserélhető. Át is zárójelezhetjük:

Nem árt észrevenni, hogy ez az azonossággal egyszerűen

megoldható:

Ez szintén ugyanúgy, az azonossággal:

A következő feladatokban, már többféle tag van a zárójelben. Egyik ilyen, a másik amolyan:

Azért csak igyekezzünk mindenkit úgy felbontani, hogy az egyik tényező négyzetszám

legyen:

Összevonva külön a -eket, és külön a -öket:

A nyilván kiemelhető:

És a két zárójeles cucc együtt éppen az -et juttatja eszünkbe:

Ez némileg hasonlít az -re. Azonban csak némileg, mert ez valójában egy másik balhé:

Így hát írjuk át előbb ilyenné.

És ez még tovább egyszerűsíthető:

Ami dikh mán, nem más, mint:

Anélkül, hogy ténylegesen mindenkit-mindenkivel kellett volna szorozni. Noha először azt hitted ─

valld csak be nyugodtan, ─ hogy úgy fogjuk.

Ez csak kissé tér el az előzőtől. Vegyük észre, hogy mindkét zárójel utolsó két tagjából kiemelhető a

!

Mivel a :

Ha nem érted, akkor gondolkodj! Próbáld meg önállóan is megcsinálni a feladatot! Egyből világos

lesz.

Aki eddig nem értette, az eztán sem fogja. Mindazonáltal nem hülyeség, ha zárójelezzük őket

kettesével:

Majd vegyük észre, hogy az egy zárójelben lévő szorzatok betehetőek egy gyök alá:

Ami nem más, mint:

Azaz

Tegyük ezt a szorzatot ismét egyet gyök alá:

A mindenkit-mindenkivel elv alapján, először szorozzuk a balzárójel mindentagját a kék kettővel:

Most már csak a piros szorzást kell elvégezni:

Azaz

És most bontsuk ki az utolsó négyzetes tagot:

És most vonjuk össze, amit lehet: (a zárójelek sem kellenek már, ahol nem kellenek.)

Minden más kiesik, csupán annyi marad, hogy

Gondoltad volna, hogy ez egy ilyen egyszerű számot ad? És észrevetted azt is, hogy jól

megszívattalak? Több helyen is ide-oda műveleteztem feleslegesen. Old meg egyszerűbben! Ugyanis

néhány lépés átugorható.

Mindenkinek a legkülsőbbik gyökét elhagyva, betehetjük őket egy nagy gyök alá szorzatként:

Így egy nagy büdös gyök alatt van minden.

A két hátulsóról vegyük észre, hogy egy azonosság:

Azaz

Vagyis:

A két utolsó megint ugyanarra az azonosságra emlékeztet:

Ezért

Tehát:

Azaz

Ez pedig nem más, mint:

S lám ugyanazt kaptuk, mint az előbb, csak egyszerűbben, és gyorsabban.

És most egy olyan témakör, mely sokkal egyszerűbb, mit eme előző, ezért is került a végére. Ugye

mindenki emlékszik, hogy nem nehézség szerinti sorrendiséget ígértem még a könyv előszavában?

Ezt híven be is tartom, miképpen az egyéb összevisszaságokat is. Uralkodjék káosz mindenekfelett!

Mert a rend, azonkívül, hogy unalmas és fertelmesen ocsmány, csak a gyengék és együgyűek

mentsvára! Mi pedig abból nem kérünk!

A nevező gyöktelenítése Ne várd, hogy egyáltalán nem lesz benne gyökös kifejezés! Csak a cím szerinti helyen, tehát a

nevezőben szüntetjük meg a gyököt. Mindezt bővítéssel érjük el. Vagyis olyan alkalmas számmal,

vagy kifejezéssel szorzunk, melyek valamely azonosságra vezetnek a szorzás nevezőbeli elvégzésével.

A számláló gyakran bonyolultabb lesz, mint volt. Így, a számlálóban nem is végezzük el a tényleges

szorzást, ha nem muszáj, csak jelöljük. Hiszen ha még csak nem is jelölnénk, az nem lenne

.3 A bővítés lényegi mivoltát sértenénk vele. Azonban eme lustaság nagyon kamatozó

lesz, mert könnyebb lesz egyszerűsíteni, ha van rá mód.4

Gyöktelenítsük a törtek nevezőit!

3 Igazságos.

4 (Mennyit gondolkodtam rajta, hogy honnan ismerem ezt! Aztán rájöttem: egy musicalből,

-ból van. Jézus a Getsemáné (héberül: גת שמנים, ejtsd ) kertben énekli ezt a sort. Ugye tudod, hogy a héber írást jobbról balra kell olvasni?

Menjünk sorba!

Világos, hogy ha a -vel bővítünk, akkor nevező -vé lesz, mivel . Így:

Kész.

-----------------

A következő:

Itt alkalmas bővítő tényező a :

Kész.

-----------------------

Semmiben sem tér el a következő megoldásmenete, minden felesleges duma nélkülözésével:

Kész.

----------------------------

Most az jön, hogy:

Itt észrevehető, hogy egyszerűsíthetünk is:

És már kész is. Nem kellett bővítenünk.

----------------------

A soron következő:

Kész.

------------------------

A konjugált5

És most érkeztünk el a konjugált nevű fogalom bevezetéséhez. Ez nekünk azért lesz hasznos, mert a

nevező konjugáltjával bővítve, egyszerűbbé lesz a nevező kinézete. Sőt egész számmá lészen. Álljunk

csak meg! Előbb is ez történt. Igen és most is ez fog, de most ezek a fránya nevezők, eredetileg már

nem csak egyetlen tagból fognak állani, hanem legalább kettőből. Márpedig ez azt hozza magával,

hogy a bővítő tényezőnk sem lehet egytagú, bármilyen szép is lenne az a szimpla gyököcske. A

következő azonosságokra kell visszaemlékezni. (Ugye mondtam annak idején, hogy tanuljátok meg?):

Nekünk ez speciálisan inkább ilyesmi alakú lesz. De vedd észre, hogy ez lényegében ugyanaz:

Hiszen -re és -re, ez éppen az előző azonosság. A következő azonosság, ami jól jöhet:

És az ő pepita testvérkéje:

Vagy, ha gyökösen akarod őket látni, akkor:

Illetve:

És ennyi elég is lesz nekünk mára. Lássuk hát őket! Lásd meg, hogy a konjugált egyszerűbb esetekben

piszkosul hasonlítani fog ahhoz, akinek ő a konjugáltja, csak a „belső előjelük” lesz eltérő. Azaz, ha az

egyikükben kivonás van, akkor a másikban összeadás. És vice versa. Bonyolultabb esetben, már a

konjugált is bonyolultabb lesz, és már kevésbé hasonlít arra, akinek ő a konjugálja, oly annyira, hogy

azt jobb helyeken nem is hívják szigorúan vett konjugáltnak. De az elnevezés most nem fontos,

hanem csak az, hogy a megfelelő azonosság ismerete húz ki minket itt is a csávából. A nem ismerete

pedig sírásra késztheti lusta diákokat.

----------------------

5 Hozzápárosított, hozzákapcsolt alaknak fordítható.

És most folytassuk a gyöktelenítendők sorravételét, ahol abbahagytuk! Az első olyan, melyhez valami

ilyesmit kell tudni, az ez:

Itt tehát mi lesz az alkalmas konjugált? A . Tekintve, hogy ezzel szorozván a nevezőt, célba is

érünk. De nyilván a számlálót is ezzel szorozzuk, mert úgy marad meg a tört értéke:

És kész.

-----------------------------

A kövi:

Jaj, mamám mivel bővítsünk immáron? A -gyel. Mi mással. Meg akarjuk oldani, avagy

sem? Ha igen, akkor ezzel. Ha nem, akkor tök mindegy, hogy mivel. De utóbbi esetben ne számítsunk

jó osztályzatra.

Készen van.

-----------------------------

Mi a következő? Ez:

Mivel bővítünk? A nevező konjugáltjával, miként eddig is. Ez pedig itt ez:

Készen van. Vagyis vannak esetek, mikor nem is tört a tört, mert meg a varázsát.

Kész.

----------------------

Jöjjön, ami éppen jön!

Mivel bővítünk itt? Bezony, a -vel:

Icc dán.6

-------------------------

Ki a következő? Ő:

Bővítés, evvel e:

.

Miért? Mert ez felel meg a felvázolt

kifejezés második

zárójelesének, ha az első zárójel éppen a nevezőnk. Ne , lássuk meg, amit köll! A

bottyános viselkedés, sokak szemében botrányos. Tehát:

Készen van.

------------------------------

Aztán, aki most jön, az is hasonló elbánásban részesül:

Mi lesz itt a nevező konjugáltja? Ez e:

Vagyis:

Kész.

6 , helytelen helyesírással. Jelentése: „Készen van”. (angol)

-----------------------

Ez jön:

Itt már csak nem van olyan diák, aki nem tudja, hogy mit kell tenni.

─ Gyorsan elfutni. ─ mondja Zolika.

A nevező konjugáltja:

. Így, ezekszerint:

Kész.

-------------------------

Feltéve, hogy nem hagytam ki semmit, most ez jön:

Mi itt a nevező konjugáltja? Ez e:

. Vagyis, ezt köll csinászni:

Készen van.

-----------------------

A mostani pedig ez:

Mi is lesz itt a kiváló szorzó tényező? Bizony ez:

. Hiszenn csak azt kell észrevenni, hogy a

nevezőben ilyen alakú kifejezés áll:

. Így ezt szorozva a

-nel, ezt kapjuk:

. És az nekünk már jó is:

És kész.

-----------------------

A legvégső a sorban:

Az ideillő bővítő tényező:

. Tessék utána gondúni, hogy miért is! Már láttunk ehhez

hasonlót, pepitában. Mikor meg nem ilyen vót, akkor másmilyen vót.

Így egyszerűen csak azt kell alkalmaznunk, amit remélhetően már mindenki reflexből tenne:

Nagyon kész van. Annyira, hogy ez itt a fejezet vége. Leckét sem kaptok, viszont szorgalmi az van!

Tessék a feladatgyűjteményedben hasonló feladatokat keresni! Oldj meg belőlük minél többet!

∎∎