14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 1)

สมบตของจ านวนจรง

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ


2

- โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ 10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ

- กราฟคาสมบรณ 11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (สมบตของจ านวนจรง) หมวด เนอหา ตอนท 1 (1/9) หวขอยอย 1. ระบบจ านวนจรง 2. สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจเกยวกบระบบจ านวนจรง จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ จ านวนเตม และ จ านวนนบ 2. มความเขาใจ และประยกตใชสมบตทส าคญของจ านวนจรง

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. จ าแนกจ านวนประเภทตางๆได เชน จ านวนจรง จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ จ านวน

เตม และจ านวนนบ 2. รจกโครงสรางของระบบจ านวนจรงวาเปนอยางไร 3. รจกและสามารถตรวจสอบสมบตตางๆทส าคญของจ านวนจรง เชน สมบตปด สมบตการเปลยน

หม สมบตการสลบท การมเอกลกษณ การมอนเวอรส และการกระจาย 4. รจกสมบตพนฐานในการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรง


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. ระบบจ านวนจรง


6

1. ระบบจ านวนจรง

ในหวขอน ผเรยนจะไดเรยนรอยางคราวๆวา ระบบจ านวนจรงประกอบดวยอะไรบาง

ถามเวลา ผสอนอาจยกตวอยางใหผเรยน เหนสมบตทส าคญของจ านวนเตม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงพจารณาขอความตอไปนวาถกหรอผด 1. ถา a และ b เปนจ านวนนบ แลว a b เปนจ านวนนบ 2. ถา a และ b เปนจ านวนนบ แลว a b เปนจ านวนนบ

3. ถา a และ b เปนจ านวนเตม แลว a b เปนจ านวนเตม

4. ถา a และ b เปนจ านวนเตม แลว a b เปนจ านวนเตม

ค าตอบ

1. ถก 2. ผด 3. ถก 4. ถก


7

หลงจากทผเรยนไดรจกกบจ านวนเตมไปแลว ตอไปเปนการแนะน า จ านวนตรรกยะ และจ านวนอตรรกยะ เพอน ามาสรางระบบของจ านวนจรงในทสด

ผสอนควรเนนย ากบนกเรยนวา จ านวนตรรกยะคอ จ านวนทเขยนในรปของผลหารของ จ านวนเตม ทตวหารไมใชศนยได ดงนน การทเขยน

22

1 และ 2 3

32

จงไมใชการเขยนทอยในรปผลหารของจ านวนเตม ท าใหการเขยน 22

1 และ 2 3

32

ไมสามารถใช

เปนเหตผลในการพจารณาวา 2 และ 3 เปนจ านวนตรรกยะหรอไม


8

หลงจากผเรยน รจกจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะแลว ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม เพอใหผเรยนรจกจ าแนกวาจ านวนใดเปนจ านวนนบ จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ หรอจ านวนอตรรกยะ

ตวอยาง จงพจารณาวาจ านวนทก าหนดใหตอไปน เปนจ านวนชนดใด และท าเครองหมาย หรอ ในตาราง เพอบงบอกวาเปนจ านวนชนดนนๆหรอไม

จ านวน

9

7

2

3

3

0

3.12

2.01

0.2111...

16


9

จ านวน

2

0.121212...

ค าตอบ

จ านวน

9

7

2

3

3

0

3.12

2.01

0.2111...

16

2

0.121212...


10

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง จงพจารณาขอความตอไปนวาถกตองหรอไม

1. 0.009009009... เปนจ านวนตรรกยะ

2. จ านวนทเขยนไดในรปทศนยมซ าเปนจ านวนอตรรกยะ

3. 0.999... เปนจ านวนเตม

4. มจ านวนอตรรกยะทบวกกบ 2 แลวไดผลลพธเปนจ านวนตรรกยะ

5. มจ านวนอตรรกยะทบวกกบ 2 แลวไดผลลพธเปนจ านวนอตรรกยะ

ค าตอบ

1. ถก 2. ผด 3. ถก 4. ถก 5. ถก

ตวอยาง จงหาจ านวนตอไปน (ถาม)

1. จ านวนจรงทมากทสดทนอยกวา 9

2. จ านวนตรรกยะทมากทสดทนอยกวา 9


11

3. จ านวนเตมทมากทสดทนอยกวา 9

4. จ านวนเตมลบทมากทสดทนอยกวา 9

ค าตอบ

1. ไมม 2. ไมม 3. 8 4. 1

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง ระบบจ านวนจรง

ขอ 1-10 จงพจารณาวาจ านวนทก าหนด เปนจ านวนชนดใด และท าเครองหมาย หรอ ในตาราง เพอบงบอกวา

เปนจ านวนชนดนนๆ หรอไม

ขอ จ านวน

1 16

2 0.111...

3 0.999...

4 2

3

5 3 2

6 3

7 2

8 2

3

9 15

2

10 3

2


12

ขอ 11-20 จงพจารณาวาขอความทก าหนด ถกหรอผด

11. มจ านวนจรงทมากทสดทนอยกวา 5

12. มจ านวนตรรกยะ 0a และจ านวนอตรรกยะ b ซง ab เปนจ านวนตรรกยะ

13. ถา ,a b เปนจ านวนตรรกยะแลว ba เปนจ านวนตรรกยะเสมอ

14. มจ านวนอตรรกยะ ,a b ซง a b และ a b เปนจ านวนตรรกยะ

15. ถา ,a b เปนจ านวนอตรรกยะ และ 1b

a แลว ab เปนจ านวนอตรรกยะเสมอ

16. 3.333... เปนจ านวนอตรรกยะ

17. มจ านวนจรง x ทท าให 25 4x

18. จ านวนอตรรกยะ สามารถเขยนในรปทศนยมไมซ าได 19. 2.141144111444... เปนจ านวนอตรรกยะ

20. จ านวนนบทกจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ


13

2. สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง


14

2. สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

ในหวขอน ผเรยนจะไดทราบถงสมบตทส าคญของจ านวนจรง

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จงพจารณาวาเซตของจ านวนนบ มสมบตปด สมบตการเปลยนหม สมบตการมเอกลกษณ และสมบตการมอนเวอรส าหรบการคณหรอไม

วธท า , มสมบตปดและสมบตเปลยนหม เนองจาก ส าหรบ ,a b และ c ทเปนจ านวนนบใดๆจะไดวา ab เปนจ านวนนบ และ ab c a bc

เนองจาก ส าหรบจ านวนนบ n ใดๆนน 1 1n n n ดงนน เอกลกษณการคณคอ 1 และเนองจากไมมจ านวนนบ n ทท าให 2 1n ดงนน , ไมมอนเวอรการคณ #

ตวอยาง จงหาเอกลกษณการคณบนเซตของจ านวนเตม และพจารณาวาจ านวนเตมใดทมอนเวอรสการคณ

วธท า เอกลกษณการคณบน คอ 1 และมเพยง 1 และ 1 เทานนทมอนเวอรสการคณ โดยท อนเวอรสการคณของ 1 คอ 1 และอนเวอรสการคณของ 1 คอ 1 #

ตอไปจะเปนกาพจารณาสมบตของจ านวนจรง ส าหรบการด าเนนการอนๆทไมใชการบวก และการคณ


15

ตวอยาง ส าหรบจ านวนเตม ,a b ใดๆ ก าหนดให 1a b a b จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอไม

1. , มสมบตปด

2. , มสมบตการสลบท 3. , มสมบตการเปลยนหม 4. , มเอกลกษณ

วธท า 1. , มสมบตปด เพราะส าหรบจ านวนเตม a และ b ใดๆ 1a b a b เปนจ านวนเตมเสมอ

2. , มสมบตการสลบท เนองจาก 1 1a b a b b a b a ทก ,a b

3. เนองจาก 1 1 1 2a b c a b c a b c a b c และ 1 1 1 2a b c a b c a b c a b c ท าให

a b c a b c ดงนน , มสมบตการเปลยนหม 4. เนองจาก 1 1 1a a a ดงนน เอกลกษณของ คอ 1 #


16

ตวอยาง ส าหรบจ านวนจรง ,a b ใดๆ ก าหนดให 3a b a b

จงหา เอกลกษณของ บน และ อนเวอรสของ 5 ภายใต

วธท า เนองจาก 3 3 3a a a และ 3 3 3a a a ดงนน เอกลกษณของ คอ 3 ให x เปนอนเวอรสการ ของ 5 ดงนน

5 3

5 3 3

1

x

x

x

ดงนน อนเวอรสของ 5 ส าหรบ คอ 1 #

หลงจากผเรยนทราบถงกฎการตดออกส าหรบการบวก แลวผสอนอาจน าเรองเขาสกฎการตดออกส าหรบการการคณ โดยตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด “ถา ac bc แลว a b ”


17

ถา a c b c แลว a b

ถา ac bc และ 0c แลว a b

หลงจากทใหผเรยนอภปรายรวมกนแลว นาจะไดขอสรปวาขอความดงกลาววา ไมจรง เมอ 0c แตในกรณท 0c ขอความขางตนเปนจรง ซงจะน าเขาสทฤษฎบทท 2

พสจน ทฤษฎบทท 1 และ 2

พสจน จาก a c b c น า c บวกทง 2 ขาง

a c c b c c

จะได a c

พสจน จาก ac bc

น า 1c คณตลอด

1 1

ac bcc c

จะได a c #


18


19

ตวอยาง จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด

1. ถา a b และ c d แลว a c b d

2. ถา 0a b และ 0c d แลว ac bd

วธท า 1. ผด เชน 1 2 และ 5 6 แต 1 5 2 6

2. ผด เชน 2 1 0 และ 3 2 0 แต 2 3 1 2 #

นอกจากสมบตดงกลาวขางตน ผสอนอาจใหสมบตตอไปนเพมเตม

ทฤษฎบท

1. ถา a b และ 0c แลว ac bc

2. ถา a b และ 0c แลว ac bc


เรอง สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

1. จงบอกสมบตของจ านวนจรงทท าใหขอความตอไปนจรง

1.1 5 6 6 5

1.2 2 3 2 3a a a

1.3 5 6 2 5 6 2

1.4 a b c b c a

1.5 5 0 5

1.6 1 1a

2. ขอความตอไปนถกหรอผด

2.1 เซตของจ านวนจรงมสมบตการสลบทของการลบ

2.2 เซตของจ านวนนบมสมบตการเปลยนหมของการคณ

2.3 ถา ac bc แลว a b

2.4 ถา a c b c แลว a b

3. ส าหรบจ านวนเตม ,a b ใดๆ ก าหนดให 1a b ab

จงพจารณาวา , มสมบตตอไปนหรอไม 3.1 สมบตปด


20

3.2 สมบตการสลบท 3.3 มเอกลกษณ

4. ส าหรบจ านวนจรง a และb ใดๆ ก าหนดให 5a b a b

4.1 จงหาเอกลกษณ 4.2 จงหาอนเวอรสของ a

5-10 จงพจารณาวาขอความตอไปนถกตองหรอไม 5. ถา a b และ c d แลว a c b d

6. ถา a b และ c d แลว ac bd

7. ถา a b และ c d แลว a c b d

8. ถา a b แลว a c b c 9. ถา a b แลว ac bc 10. ถา a b แลว 2 2a b

11-15 ส าหรบจ านวนจรง a และ b ใดๆ ก าหนดให 2

aba b

11. จงแสดงวา , มสมบตปด 12. จงแสดงวา , มสมบตการสลบท 13. จงแสดงวา , มสมบตการเปลยนกลม 14. จงแสดงวา , มสมบตการมเอกลกษณ 15. จงหาอนเวอรสของ 1 และ 2

16-20 จงหาเอกลกษณ และอนเวอรสของ 3 ของการด าเนนการตอไปนบนเซตของจ านวนจรง

ขอท การด าเนนการ เอกลกษณ อนเวอรสของ 3

16 a b a b

17 a b ab

18 2a b ab

19 3a b a b

20 3

aba b


21

สรปสาระส าคญประจ าตอน


22

สรปสาระส าคญประจ าตอน ในสอตอนน ผเรยนจะไดทราบถงระบบจ านวนจรง วาประกอบไปดวยจ านวนประเภทไหนบาง

นอกจากนยงไดเรยนรถงสมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง ดงตอไปน

.

.


23

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


24

แบบฝกหดระคน

1. ขอใดตอไปนผด

1. ถา 0 a b และ 0 c d แลว a c b d

2. ถา 0a c และ 0b d แลว cd ab

3. ถา a b แลว 2 2a b

4. ถา 0 a c และ 0 b d แลว ab cd 2. ขอใดตอไปนถกตอง

1. ถา a c และ b d แลว 2 2 2 2a b c d

2. ถา 0 a c และ 0 b d แลว 0 1ab

cd

3. มจ านวนค 3 จ านวนทรวมกนได 20

4. ถา 2a เปนจ านวนค แลว a เปนจ านวนค 3. ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. 2

1

a aa

a

2. ถา 2a b a b แลว a b b a

3. ถา 0 1a แลว 20 a a 4. ถา 0 a b แลว 2 2a b

4. ขอความใดตอไปนไมถกตอง

1. ถา a b แลว a b

2. ถา a เปนจ านวนตรรกยะ แลว a จะเขยนในรปทศนยมซ าได 3. ถา ac bc แลว a b

4. มจ านวนเตมทนอยทสดทมากกวา 0 5. ขอความใดตอไปนไมถกตอง

1. 2.

3. 4.

6 เซตใดตอไปน ไมมสมบตปดการบวก

1. 1,0,1 2. 5,10,15,...

3. ..., 3, 2, 1,0,1,... 4. { | 3x หาร x ลงตว}


25

7. ก าหนดให 5a b a b แลวขอใดตอไปนไมถกตอง

1. , มสมบตปดและสมบตการสลบท 2. เอกลกษณของ คอ 5

3. อนเวอรสของ 5 ส าหรบการด าเนนการ คอ 15

4. 5 1 2 3 4 2 8. ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. มจ านวนจรง , ,a b c ท a b และ ac bc 2. มจ านวนจรง , ,a b c ท a b และ ac bc

3. มจ านวนจรง , ,a b c ท a b และ ac bc

4. มจ านวนนบ , ,a b c ท a b และ ac bc

9. พจารณาขอความตอไปน ก. 2n n ทกจ านวนนบ n

ข. ถา a b และ c เปนจ านวนอตรรกยะ แลว ac bc ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

10. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา 0ab แลว 0a และ 0b ข. ถา 0ab แลว 0a หรอ 0b ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก ข ผด 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด


26

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


27


เรอง ระบบจ านวน

1-10

ขอ จ านวน

1 16

2 0.111...

3 0.999...

4 2

3

5 3 2

6 3

7 2

8 2

3

9 15

2

10 3

2

11. ผด 12. ผด 13. ผด 14. ถก 15. ผด

16. ผด 17. ผด 18. ถก 19. ถก 20. ถก


28

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

เรอง สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง 1. 1.1 สมบตการสลบท

1.2 สมบตการกระจาย

1.3 สมบตการเปลยนหม 1.4 สมบตการสลบท 1.5 เอกลกษณการบวก

1.6 เอกลกษณการคณ

2. 2.1 ผด 2.2 ถก 2.3 ผด 2.4 ถก

3. 3.1 ม 3.2 ม 3.3 ไมม

4. 4.1 5 4.2 10 a 5. ถก 6. ผด 7. ผด 8. ถก 9. ผด 10. ผด

15. 4, 2 2

16. 0, 3

17. 11,

3

18. 1 1,

2 12

19. 3, 9

20. 3,3

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 3 2. 2 3. 1 4. 3 5. 2 6. 1 7. 4 8. 4 9. 2 10. 3


29

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


30

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


31


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


32


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

14 จำนวนจริง ตอนที่1_สมบัติของจำนวนจริง