Ax+B=0 2xx2xyz

UNIVERSIDAD NACIONALDE JAÉN SEMANA N° 5

Guía de aprendizaje

Ing. David Delgado Osores

xUNIVERSIDAD NACIONALDE JAÉN

Ax+B=02xx

2xyz

Contenido:

x

UNIVERSIDAD NACIONALDE JAÉN

CEPRE UNJ 2021-I

FACTORIZACIÓN

1. Factor Algebraico

Sean F y P dos polinomios de grados

positivos. Decimos que F es factor

algebraico de P si y sólo si P es divisible por

F, es decir P F es exacta.

2. Factor Primo

Sean F y P dos polinomios de grados

positivos. Decimos que F es un factor primo

de P si y sólo si F es polinomio irreductible

y factor algebraico de P.

FACTORIZACIÓN

Es la transformación de un polinomio en la

multiplicación indicada de sus factores primos

(o potencias de sus factores primos).

Ejemplo:

P(x, y) = 2x2y3 (x - 5)4 (x2 – x + 1)5 (y - 2)6

tiene 5 factores primos:

4 lineales : x ; y ; (x - 5) ; (y - 2)

1 cuadrático : (x2 – x + 1)

criterios para factorizar

Existen diversos criterios para factorizar

polinomios, entre ellos tenemos:

1. FACTOR COMÚN – AGRUPACIÓN

DE TÉRMINOS

Se buscan factores comunes que pueden ser

monomios o polinomios. En caso de no

haber algún factor común, se agrupará

convenientemente tratando de que aparezca

algún factor común.

Ejemplo:

Factorizar: 4x4 + 5x2 notamos que x2 es

un factor común.

x2(4x2 + 5); donde sus factores

primos son: “x” y “4x2 + 5”

Factorizar:

a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2xy

Veamos que no existe factor común

alguno a simple vista, entonces

tendremos que agrupar

apropiadamente:

a2x – 2a2y – ax2 + 2axy + x3 – 2x2y

2. criterio del aspa simple

Se utiliza para factorizar a polinomios de la

siguiente forma general:

3. criterio de las identidades

En este caso utilizaremos las equivalencias

algebraicas en sentido inverso al de los

productos notables.

Ejemplo:

Factorizar: x3 + x2 – x – 1

x2(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x2 - 1)

(x + 1)(x + 1)(x - 1)

x3 + x2 – x – 1 (x + 1)2 (x - 1)

4. ASPA DOBLE

Forma General:

Consiste en la formación de 2 aspas simples

que permite la comprobación de todos los

términos del polinomio menos de uno de

Ax2n + Bxnym + Cy2m

Ax2n + Bxn + C

m, n N

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

ellos que se comprueba realizando el aspa

de los extremos. Los factores como toda

aspa se tomarán en forma horizontal.

Ejemplo:

Factorizar:

E = x2 + 5xy + 6y2 + 13y + 4x - 5

x 3y -1

x 2y +5

5. ASPA DOBLE ESPECIAL

Forma General:

Ejemplo:

Factorizar:

x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

x2 5x 1 x2

x2 x 1 x2

2x2

(x2 + 5x + 1) (x2 + x + 1)

TEOREMA DEL FACTOR

Todo polinomio será divisible entre cada uno de

sus factores. Podemos decir entonces que un

cierto polinomio es múltiplo de sus factores.

Ejemplo:

Demostrar que (x - 3) es factor x3 – 13 x +

12

Solución:

Por el teorema del factor tenemos que

demostrar que la división:

3x

12x13x3

es exacta (R = 0)

Por el teorema:

R = 33 – 13(3) + 12 = 0

(x – 3) factor de x3 – 13x + 12

6. MÉTODO DE LOS DIVISORES

BINOMIOS

Generalmente se utiliza para factorizar

polinomios de grado impar y que tienen

factores de la forma:

ax + b

Consideraciones:

1. El valor que anula a un polinomio (lo

convierte en cero) lo llamaremos cero

del polinomio.

2. Si en un polinomio P(x), x = b anula a

dicho polinomio; este valor será un cero

del polinomio y (x - b) será un factor de

dicho polinomio.

3. Esto significa que si (x - b) es un factor

del polinomio, por el teorema del factor

la división de P(x): (x – b), será exacta.

4. Existe un procedimiento para calcular

los posibles ceros en el polinomio.

eCoeficientimerPrdelDivisores

eCoeficientÚltimodelDivisoresCerosPosibles

EJERCICIOS:

1. Al factorizar un polinomio en el campo

de los números enteros, mediante el

método del “aspa simple”, se realizó el

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

siguiente esquema:

8xa + bx2 – (2+d)

cx2 1

4x2 d

entonces un factor primo del polinomio es:

a) 2x2 + 1 b) x + 1 c) x – 1

d) x + 2 e) x – 2

2. Al factorizar el siguiente polinomio por el

criterio del aspa doble especial, se obtiene

el siguiente esquema:

3x4 – x3 + 7x2 + x + 6

mx2 2x a

nx2 -x b

Hallar: (m + n + a + b)

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 11

3. EL factor que no corresponde a la

expresión:

x11 + x10 + x9 + x8 + ... + x2 + x + 1

a) x4 – x2 + 1 b) x2 + 1

c) x2 + x + 1 d) x2 – x – 1

e) x2 – x + 1

4. Factorizar el polinomio:

P(x) = 2x5 – x4 – 10x3 + 5x2 + 8x – 4

e indicar la suma de sus factores

a) 6x – 5 b) 6x + 1 c) 6x – 1

d) 5x + 2 e) 5x – 2

5. La suma de todos los factores de la

expresión:

(x6 – x2 – 8x – 16)

a) 3x2 b) 2x3 + 2x c) 6x

d) 2x3 e) 2x3 - 4

6. Indicar uno de los factores de la

expresión:

a2 + 2ab + b2 – 2a – 2b – 35

a) a + b - 5 b) a + b + 7 c) a + b – 7

d) a – b + 7 e) a – b + 5

7. La raíz cuadrada de la expresión:

(a2+ab+ac+bc)(b2+ab+ac+bc)(c2+ab+ac+bc)

a) (a + b + c)(a – b + c)

b) (a + b - c)(a + b - c)

c) (a – b) (a + c) (b + c)

d) (a + b( (a - c) (b + c)

e) (a + b) (a + c) (b + c)

8. Hallar la suma de los factores de la

expresión:

(a-b)2 (c – d)2 + 2ab(c-d)2 + 2cd(a2+b2)

a) a2 + b2 – c2 + d2

b) a2 – b2 + c2 – d2

c) a – b2 + c2 + d2

d) a2 + b2 + c2 + d2

e) a2 + b2 + c2 – d2

9. La expresión equivalente a:

1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3)

a) (x2 + 3x + 1)2

b) (x2 + 6x + 1)2

c) (x2 + 3x - 1)2

d) (x2 - 6x + 1)2

e) (x2 - 3x + 1)2

10. Hallar la suma de los factores que

resulta de factorizar: x4 + y4 – 7x2y2

a) x2 + y2 b) 2x2 + 2y2 c) x2 – y2

d) 2x2 – 2y2 e) y2 – x2

11. Uno de los factores de la expresión es: (a + b)(a + c) – (b + d)(c + d)

a) a – b + c + d b) a + b – c + d

c) a + b + c – d d) a + b + c + d

e) a – b – c + d

12. Factorizar:

P(a,b,c)=a(b–c)2+b(c–a)2+c(a– b)2+8abc

a) (a2+b2+c2) (a+b+c)

b) (ab+ac+bc) (a+b+c)

c) (a+b) (b+c) (c+a)

d) (a-b) (b-c) (c-a)

e) (ab+ac+bc) (a-b+c)

13. Un factor y el numero de factores

primos de: x5 + x + 1, es:

a) x2 + x + 1;2 b) x2 – x + 1;1

c) x2 + x – 1;4 d) x3 – x2 – x;5

3) x3 + x2 – x;3

14. La suma de los coeficientes de uno de

los factores de: x7 + x2 + 1, es:

a) 0 b) 1 c) –1

d) 2 e) –2

15. Luego de factorizar el polinomio

1x)x(P 8 , en el conjunto de los

números reales, indique la suma de los

coeficientes de sus factores primos

mónicos.

a) 10 b) 8 c) 6

d) 4 e) 2

16.-El mayor grado de un factor primo en:

2 2 3 2x y xy x y

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

17.-Factorizar:

2 24 20 9x xy y

señalar el término de un factor primo.

a) x

b) – y

c) y

d) 9y

e) 2

18.-Factorice

3 23 11 28 30x x x y dé como respuesta la suma de los

términos independientes de sus factores

primos.

a) 5

b) 9

c) 7

d) 11

e) 3

19.-Factorizar

5 3 2( ) 4 29 24 7 6P x x x x x

y dar como respuesta el número de

factores primos que tiene.

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

20.-Después de factorizar

15)642

(2

)2( xxx

señale el factor primo que tiene mayor

suma de coeficientes

a) 9x42x

b) 1x42x

c) 3x42x

d) 7x42x

e) 4x42x

MCM Y MCD

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

Dados dos o más polinomios no constantes,

llamaremos máximo común divisor al factor

común de mayor grado.

Así:

P(x) = (2x + 7)4(x - 1)2(3x - 1)

Q(x) = (2x - 2)5(3x - 1)2(x - 1)2

Los factores comunes son:

3x – 1; x – 1; (3x - 1)(x - 1); (3x - 1)(x - 1)2

de ellos el de mayor grado es (3x - 1)(x - 1)2

M.C.D. (P,Q) = (3x - 1)(x - 1)2

Ejemplo:

Si x2 – x – 6 es el M.C.D. de los polinomios P(x) y

Q(x)

NOTA:

Sea S(x) el M.C.D. de P(x) y Q(x), entonces se

tendrá que

P(x) = S(x) . M(x)

Q(x) = S(x) . N(x)

Donde M(x), N(x) son polinomios que no

poseen ningún factor común, llamados primos

entre sí.

P(x) = 2x4 – 3x3 + x2 + Ax + B y

Q(x) = 3x4 – 7x3 + Mx + N

Hallar AN + BM

Resolución:

Por definición x2 – x – 6 divide exactamente a los

polinomios P(x) y Q(x) respectivamente, luego:

I) P(x) (x2 – x - 6)

Por Horner:

+ +

1 2 -3 1 A B

1 2 12

6 -1 -6

12 72

2 -1 12 0 0

Entonces:

A – 6 + 12 = 0 A = - 6

B + 72 = 0 B = -72

II) Igualmente Q(x) (x2 – x - 6)

Por Horner:

1 3 -7 0 M N

1 3 18

6 -4 -24

14 84

3 -4 14 0 0

De I y II se tiene que:

AN + BM = (-6)(-84) + (-72)(10) = - 216

MÚLTIPLO DE UN POLINOMIO

Sea el polinomio

P(x) = (x+2)(x-5), los múltiplos de P(x) son

(x+2)(x-5), (x+2)2(x-5), (x+2)(x-5) x ...

POLINOMIO MÚLTIPLO COMÚN

El polinomio múltiplo común de dos o más

polinomios es aquel polinomio que es divisible

exactamente por éstos, en forma separada.

Así

Sean los polinomios P(x) = (x+1)(x2+3)

Q(x) = (x-1)(x+1)

Los polinomios múltiplos comunes de P(x), Q(x),

son:

(x - 1)(x + 1)(x2 + 3); (x - 1)2(x + 1)(x2 +3)

(x - 1)(x + 1)2(x2 + 3)3 ; ...

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)

Dados dos o más polinomios, el m.c.m. es el

polinomio múltiplo común de menor grado.

Ejemplo:

Sean los polinomios

P(x) = (2x - 1)(4x + 3)3(x - 1)2

Q(x) = (3x + 1)(x - 1)(4x + 3)2

Los múltiplos comunes de P(x) y Q(x) son

(2x - 1)(4x + 3)3(x - 1)2(3x + 1)

(2x - 1)2(4x + 3)3(x - 1)3(3x + 1)

pero el de menor grado es el mínimo común

múltiplo.

m.c.m. (P,Q) = (x-1)2(4x+3)3(2x-1)(3x+1)

TEOREMA:

Dados dos polinomios P(x) y Q(x) se cumple

que:

P(x) . Q(x) M.C.D.(P,Q) . m.c.m.(P,Q)

Ejemplo 01

El m.c.m. de dos polinomios A(x) y B(x) es x3– x2

– 4x + 4 y su M.C.D. es x2 + x – 2. Hallar el número

de factores primos de A(x) . B(x).

Resolución:

Por el Teorema,

A(x) . B(x) = M.C.D. (A,B). m.c.m.(A,B)

= (x3 – x2 – 4x + 4)(x2 + x - 2)

x2 -4 x 2

x -1 x -1

(x2 - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 1)

(x + 2)(x - 2)(x - 1)(x + 2)(x- 1)

(x + 2)2(x - 1)2(x - 2)

A(x) . B(x) tiene 3 factores primos

Ejemplo 02

El producto de multiplicar dos polinomios en

variable x es (x6 + 1)2 – 4x6 y el cociente de dividir

su m.c.m. y M.C.D. de esos polinomios es (x2 + 1)2

– 4x2. Hallar su M.C.D.

Resolución:

Sean A(x) y B(x) los polinomios, como

A(x) . B(x) M.C.D. (x). m.c.m. (x)

M.C.D.(A,B). m.c.m.(A, B)=(x6+1)2 -4x6...()

También

)(..........x4)1x()B,A.(D.C.M

)B,A.(m.c.m 222

Como buscamos despejar M.C.D.:

() ()

2))B,A.(D.C.M(

)B,A.(M.C.M

)B.A.(m.c.m

)B,A.(m.c.m).B,A(D.C.M

22

26

222

626

)1x(

)1x(

x4)1x(

x4)1x(

2

2

242

1x

)1xx)(1x(

de donde M.C.D.(A,B) = x4 + x2 + 1

EJERCICIOS:

1. El M.C.M. de A(x,y) y B(x,y) es: xa y4

y el M.C.D. de los mismos es: x5yb.

Calcular:

ba β m

Eb

Δ m n

Si: A (x,y) = 12xn – 1 ym + 1

B (x,y) = 16xn + 1 ym - 1

a) 43/35 b) 16/15 c) 43/36

d) 35/43 e) 43/41

2. Hallar el MCD de los polinomios:

A(x) = x8 - 1

B(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1

C(x) = x2 + 7x + 6

a) x - 1 b) x + 2 c) x + 3

d) x + 1 e) x – 2

3. Determinar el número de factores

primos del m.c.m. de los polinomios:

P(x) = x5 – x3 + x2 – 1; Q(x) = x6 – 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Si los polinomios:

P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n

R(x) = 2mx3 + 2nx2 + px – q

Admiten como M.C.D a 2x2 + 2x + 1

Hallar un divisor de R(x)

a) x2 + 2x – 1 b) x-3 c) 2x2 + x +1

d) 3x – 1 e) 2x + 1

5. Sean

P(x) = Ax2 + 2x - B y

Q(x) = Ax2 - 4x + B

Si (x - 1) es el M.C.D. de P y Q ;

Hallar: A + B

a) -2 b) 2 c) 0 d) 4 e) -1

6. Si el M.C.M. de dos polinomios A(x) y

B(x) es: x40 + x20 + 1 y su M.C.D

es: x30 + x20 - x10 + 2. La suma de los

coeficientes de un factor de A(x) . B(x)

es:

a) 8 b) 3 c) 9 d) 0 e) 10

7. ¿Cuál será aquel polinomio que con

Q(x) = (x2 + 9)2 (x + 2) tenga como

M.C.D. a x2 + 5x + 6, Y además

M.C .M.= x4 + 13x2 + 36?

a) (x + 3)2 b) x2 + 4

c) (x2+4)2(x+3) d) x2 – 4

e) x2 – 3

8. Si el MCD de:

P(x) = x3 + 4x2 + ax + b

Q(x) = x3 + cx + d es (x - 1) (x + 3)

Hallar el MCM de dichos polinomios indicando

la suma de sus coeficientes.

a) 5 b) 4 c) 0 d) 9 e) 6

9. Al dividirse el MCM entre el MCD de

los polinomios:

P(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1

Q(x) = x2 + 4x + 3

se obtiene:

a) (x2 + x+1) (x + 1) (x2 + 1) (x+ 3)

b) (x2 + x + 1) (x + 3)

c) (x2 + x + 1) (x - 1) (x2 + 1) (x - 3)

d) (x2 + x + 1) (x - 1) (x2 - 1) (x + 3)

e) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + 1) (x + 3)

10. Dado 3 polinomios: A; B y C se

conoce que el M.C.D de los 2

primeros es (x2 - 1) mientras que el

M.C.D. de los 2 últimos es (x + 1)2.El

M.C.D de los tres polinomios es:

a) x - 1 b) x + 1 c) x2 - 1

d) x4 - 1 e) (x + 1)2(x - 1)

11. ¿Cuántos factores cuadráticos no

factorizables tiene M.C.M. de:

W(y, z) = y5 - y2 z3 - y3 z2 + z5

A(y, z) = 4y6 + y2 z4 - 4y4 z2 - z6

a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) N.A.

12. Hallar el grado del MCM de los

siguientes polinomios.

A = 1 + x + ... + x5

B = 1 + x + ... + x7

C = 1 + x + ... + x11

a) 26 b) 18 c) 25 d) 15 e) 13

13. Dados los monomios:

A = xa-3 yb+1 zc-1

B = xa-1 yb+3 zc-4

C = xa-2 yb+2 zc+2

Si el MCD (A, B, C) = x6 y8, hallar el

MCM (A, B, C)

a) x10y6 b) x8y9z6 c) x8y10z6

d) x7y6z5 e) x8y6z4

14. Si el cociente del MCM entre el MCD

de dos polinomios es (x2+1)2 – 4x2, y

además el producto de ellos es

(x6+1)2 – 4x6 , entonces el MCD es:

a) x2 + x + 1 b) x2 – x + 1

c) x + 1 d) x – 1

e) x4 + x2 + 1

15. Para los polinomios:

P(x)=(x2-9)2(x+2)

Q(x)=(x+3)(x2-4)2

Se calculan su MCM y su MCD. Al simplificar

se obtiene: ),(

),(

QPMCD

QPMCM

a) x2-9 b) x2-4 c) x2-5x+6

d) x2+5x+6 e) x2-x-6

16.- Sabiendo que el MCD de los

polinomios:

nxx)x(Q

mxxx)x(P

23

23 32

Es 22 xx)x(R , el valor de “ nm ”

es:

a) 10

b) 8

c) 6

d) 4

e) 2

17. Dados los polinomios:

127

82

45

2

2

2

xx)x(R

xx)x(Q

xx)x(P

Dar como respuesta la suma de los

coeficientes del MCD de dichos

polinomios.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

18.-Hallar el MCD de:

67

122

1

2

23

8

xxC

xxxB

xA

a) 1x

b) 2x

c) 3x

d) 1x

e) 2x

19.-Hallar el término independiente del

cociente que resulta de dividir el MCM

(A,B,C) entre el MCD(A,B,C), donde:

2A x 5x 6 2B 2x 12x 18 2C 4x 4x 24

a) -45

b) -46

c) 48

d) -48

e) 50

20.- Sean los polinomios:

2P(x) x 2x 3 y

2Q(x) x x 3

Si el MCM 99, 23 xxxQP

Luego el MCD (P,Q) es:

a) x+1

b) x+3

c) x-1

d) x-3

e) 12x