1. LOGARITMOS - ELITE CLASS VIRTUAL

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Equipo de Matemática 200

1. LOGARITMOS

1.1 Definición:

El logaritmo de un número real positivo en una base positiva diferente de la unidad, se define como el exponente al cual hay que elevar la base “b” para obtener como resultado el número “N” tal que cumpla: b x = N. Así:

Ejemplo 1: El valor de “x” en 25log 5 3x es:

Resolución:

Aplicando definición de logaritmo: 35 25x

2( 3)5 (5) x 2 65 (5) x 2x + 6 = 15

2x

1.2 Propiedades generales:

“LOGARITMOS”

a) En el campo de los números reales no existe logaritmos de cantidades negativas; pero sí en los complejos.

b) Si la base es mayor que la unidad, entonces:

logb = + y logb0 = –

c) Si la base es menor que la unidad, entonces:

logb = y logb0 = +

d) logbb = 1; logb1 = 0

e) logbMN = logbM + logbN, siendo A>B>0 ; b>0 y b 1

f) logb

N

M = logbM - logbN, siendo M>N>0 ; b>0 y b 1

g) logbNp = p logbN, p R, siendo N>0 ; b>0 y b 1

bx = N

logbN = x

Logaritmo del número en la base dada

base

Número

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1.3 Cologaritmo El cologaritmo de un número es igual al logaritmo de la inversa del número dado. Llamado también aditivo inverso del logaritmo (al sumar el logaritmo de un número con su respectivo cologaritmo el resultado será cero) Es decir:

h) logbp

N = p

1logbN, p R – {0}

i) logbN = p

bNlog p =

p

bNlog p , p R – {0}

j) p

bNlog q =

q

plogbN, p, q R – {0}

k) logbN = blog

Nlog

a

a

l) logba loga b = 1

m) Nlogbb = N

n) alogclog bb ca

o) log a b = alog

1

b

p) Si logba loga N = logb N, entonces:

logba loga c logcd logdN = logb N (Regla Cadena)

q) Nlog

b

1 = –logb N, Nlog

Nlog

a

b = log b a

r) log b M = log b N M = N

Siendo N>0 y b>0, b1; se define: cologbN = logb

N

1 = –logb N

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Propiedades:

Siendo M>0 y N>0, b>0 y b1, p ¡ ; se cumple que:

1.4 Antilogaritmo: Se define como el número que da origen al logaritmo.

Propiedades:

Ejemplos:

1) antilog5 (-2) = 5-2 = 25

1 = 0,04

2) k = antilog2

)4(logantilogco2

3

3

133)2loganti(log

En : 4333 )3(logco2)4(logantilogco2

cologb 1 = 0 ; cologb b = 1

N

1a

Nlogco a

cologbbp = -p, pR

cologb MN = cologb M + cologb N

cologb

N

M = cologb M – cologb N

cologbNp = p cologb N

antilogb x = bx; b>0 y b1, xR.

antilog x = exp10 (x) = 10x

antiloge x = exp (x) = ex

antilogb (logb N) = N , N>0

logbantilogb x = x , xR

antilogb (x + y) = antilogbx .antilogb y

antilogb (px) = (antilogb x)p

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4)1(43log2 23

Entonces:

K = 4

3

3

12)2loganti(logloganti

K = 42

3

12)3(logloganti =

8

3

123logloganti

K =

8

3

12 3

1logloganti

= )8(loganti

2

K = 82

K = 42

1.5 Sistema de logaritmos: De la definición de logaritmo se deduce que cualquier número positivo, diferente de la unidad, puede utilizarse comobase de un sistema de logaritmos; por lo tanto, el número de sistema de logaritmo es ilimitada. Los de mayor aplicación matemática en diferentes áreas son:

logaritmos decimales y logaritmos naturales.

1.5.1 Logaritmos vulgares, decimales o de Briggs.

Son aquellos que tienen como base del logaritmo al número 10.

Notación:

Ejemplo: log 10000 = log 104 = 4

log10 N = log N

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Partes de un logaritmo decimal

Sea log 80 = 1,903090...

Se tiene:

Característica: 1 Mantisa: 903090...

Propiedades:

1.5.2 Logaritmos naturales, neperiano o hiperbólico.

El matemático escocés John Neper fue quien implementó este sistema, cuya base es el número irracional “e= 2,7182…”

Notación:

Ejemplos:

1) Ln e5 = 5

2) e Ln7 = 7

log e N = Ln N

Cuando N=10x y xZ: log N = x

Cuando 1<N<10: 0 < log N < 1

Cuando: N > 10: log N > 1

Cuando 0<N<1: log N < 0

NOTA La función f(x) = ex se puede escribir mediante la serie de Maclaurin, así:

2 3

1

1 ...2! 3! !

nx

n

x x xe x

n

Si 1 1 1

1; 1 ... 2,7182...1! 2! 3!

x e

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1.6 Conversión de logaritmos decimales a Logaritmos Neperianos: Supongamos que se conoce loge, utilizando la fórmula del cambio de base, se tiene:

Ejemplo: El logaritmo neperiano de 10000 es:

Resolución:

loge 10000 = 2,3026 log 10000= 2,3026 4= 9,2104

1.7 Conversión de logaritmos Neperianos a logaritmos decimales:Usando la fórmula anterior:

Ejemplo: El logaritmo decimal de 256, si ln4=1,36863, es:

Resolución:

log 256 = 0,4343 ln 256 = 0,4343 ln 44

= 4(0,4343)(1,36863)

= 2,377584

1.8 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. El valor de “b” que satisface la igualdad 33log3

b es:

A) 3

3 B) 3 C) 3 D) 3 3 E)

33 3

Resolución

10 1010

10

log loglog ln 2,3026 log

log 0,4343e

N NN N

e

3026,2

Nln

10log

NlogNlog

e

e Log N = 0,4343 ln N

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Por definición 33 3b , extrayendo raíz cuadrada, se tiene

33

1

3

33 3

3333b

Por tanto: 3

3b CLAVE A

2. Si x + y > 0, al simplificar )yx(loglog1

)yx(loglogW

39

1893

se

obtiene: A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5

Resolución: Teniendo en cuenta que:

log9 (x+y)18 = log3 (x+y)9 = 9 log3 (x+y) Entonces;

183 9 3 3

9 3 9 9 3

log log ( ) log 9 log ( )

1 log log ( ) log 9 log log ( )

x y x yW

x y x y

3 3 23 3

9 3

log 9 log ( )log 9 log 3 2

log 9 log ( )

x yW

x y

W = 2 CLAVE B

3. Si log700 = 2,8451, el valor de log7 70 (con dos decimales) es: A) 0,18 B) 1,28 C) 2,28 D) 0,28 E) 2,18 Resolución:

log 700 = log(7100) = 2,8451 log 7 + log 100 = 2,8451 log 7 + 2 = 2,8451 log 7 = 0,8451

Por propiedad de logaritmos

log7 70 = 7log

70log

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= 7log

107log =

7log

10log7log

= 1 + 7log

1 = 1 +

8451,0

1

log770 = 2,18 CLAVE C

4. El valor de loga b, si se cumple que:

blogalogblog5,0alog2log 2ab

2abababab ; es:

A) a b

b

B)

b a

a

C)

b a

b a

D)

b a

b a

E)

ba

b a

Resolución:

blogalogblogalogblogaloglog ababababababab

b

alogablogblogaloglog ababababab

b

alog.1

b

aloglog ababab

b

a

)ab(b

a , y tomando logaritmos en base “a”

)ab(logb

a

b

alog aa 1 – blog a = blog1

b

aa

(a + b) blog a = (b – a)

Por tanto; ab

abblog a

CLAVE C

2. LA FUNCIÓN LOGARITMO 2.1 Definición:

Se llama función logaritmo con base “b” a la función inversa de la

exponencial g(x) = ax con base “b” ( b>0, b1).

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2.2 Notación:

x > 0, si b > 0, b 1: f(x) = logb x x = bf(x) Donde:

Dom (log) = {x / 0 < x <+ }

Rang (log) = {x / x <-, >} = R

2.3 Propiedades:

1) El dominio de f(x) = logbx; b > 0, b 1 es el conjunto de los números reales positivos y el rango es el conjunto de los números reales.

2) El intercepto (punto donde f(x) = 0) en x para la gráfica de f(x) es 1. La gráfica de f(x) no tiene intercepto en el eje “Y”.

3) El eje “Y” es una asíntota vertical (crece sin límite hacia arriba o hacia abajo) de la gráfica de f(x) = logbx.

4) La función f(x) = logbx es creciente en el intervalo <0, > si

b> 1. Es decir: Si x1< x2logbx1<logbx2

5) La función f(x) = logbx, b<0, 1> es decreciente en el intervalo

<0, 1>, es decir Si x1< x2logbx1>logbx2

6) La función f(x) = logbx es inyectiva (uno a uno)

Si x1 = x2 logb x1 = logb x2

2.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Al resolver la ecuación log2 (9x-1 + 7) = 2 + log2 (3x-1 + 1), el valor de “x” es.

A) 1;2 B) 1;3 C) 21;b D) 3

11;

b

E) 2

21;

b

Resolución: Sea log2 (9x-1 + 7) – log2 (3x-1 + 1) = 2

213

79log

1x

1x

2

4213

79 2

1x

1x

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9

9 x

+ 7 = 4

1

3

3x

9x + 63 = 123x + 36 (3x)2 – 12(3x) + 27 = 0

(3x – 9)(3x – 3) = 0

3x – 9 = 0 3x – 3 = 0 3x = 32 3x = 31

x = 2 x = 1 Por lo tanto, C.S. = {1; 2} CLAVE A

2. Al resolver la ecuación 1xlogx

blog 2

bbx

, el conjunto solución

es:

A) { 2

13;

b B)

2

11;

bC) 21;b D)

3

11;

b

E) 2

21;

b

Resolución

1xlogbxlog

x

blog

2b

b

b

1xlogxlogblog

xlogblog 2b

bb

bb

21 loglog 1

1 logb

bb

xx

x

1 log

(1 log )(1 log )1 log

bb b

b

xx x

x

Luego:

i) Si 1 – logb x = 0 logb x = 1 x = b

ii) Si 1 – logbx 0 (1 + logbx)2 = 1, entonces

(1 + logbx = 1) (1 + logbx = -1)

logbx = 0 logbx = -2

x = 1 x = b-2

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Por lo tanto, C.S. = {1; 2b

1} CLAVE B

3. El valor de “x” al resolver la ecuación

3log157log 45ln

eloglnco

7ln

eloglnco

4

3xx

, es:

A) e B) e2 C)e3 D)3e E) 1/3

Resolución:

12log3log4log57log 4445ln

elogln

7ln

elogln

4

3xx

1257 5ln

)eln(log

7ln

)eln(log 13x

1x

125713

x51

x7 )e(loglog)e(loglog

Por propiedad de cambio de

base Luego:

12)e(log)e(log 13x

1x

12xlogxlog 3 ee

loge x + loge x3 = 12

loge x + 3loge x = 12

4 loge x =12

loge x = 3 x = e3 CLAVE C

4. ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Es aquella ecuación trascendente donde, por lo menos, una incógnita está afectada del operador logaritmo. Ejemplos: 1. Log3 (x+2) = log3 (x-2) 2. Logx(x3-1) = 2 3. X + log2 3 = 5 (no es ecuación logarítmica)

Resolución.

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Sea la ecuación:

Debemos garantizar la existencia de los logaritmos, para ello

debemos analizar la base y las expresiones M y N que dependan de la incógnita, es decir, debemos hallar los valores de la incógnita que satisfagan lo siguiente:

0 0 0 1M N a a

Calculamos los posibles valores de la incógnita haciendo: M = N

Finalmente, las soluciones de la ecuación se encontrarán los valores obtenidos en y

CASOS:

Caso 1: 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1

Caso 2: b>0, b1

Donde; CVA: Conjunto de valores admisibles

Caso 3: b>0, b1

Caso 4: b>0, b1

Si: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐸(𝑥) = 𝑎 ⟺ {𝐸(𝑥) > 0

𝐸(𝑥) = 𝑎𝑏

Si: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐸(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐺(𝑥)

⟺ {𝐸(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) > 0, 𝐶𝑉𝐴

𝐸(𝑥) = 𝐺(𝑥)

Si: 𝑙𝑜𝑔𝐺(𝑥)𝐸(𝑥) = 𝑏

⟺ {𝐸(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) ≠ 1: 𝐶𝑉𝐴

𝐸(𝑥) = [𝐺(𝑥)]𝑏

Si: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐸(𝑥) + 𝐺(𝑥) = 𝑎

⟺ {𝐸(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) > 0, 𝐶𝑉𝐴

𝐸(𝑥). 𝐺(𝑥) = 𝑏𝑎

11

21

31 1

121

21

logbM = logb N

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Ejemplos:

1. Caso 1: Resolver log2 (x2 + 3x) = 2

Resolución: La ecuación equivale a resolver

x2 + 3x > 0 x2 + 3x = 22, donde x2 + 3x > 0; determina el CVA de la ecuación inicial y x2 + 3x – 4 = 0; obtenemos que

x2 + 3x – 4 = 0 x = 1 ó x = -4 En consecuencia; como satisface la desigualdad, x=1, x=-4 son soluciones de la ecuación original.

2. Caso 2: El valor de “x” en log2 (x2 – 4) = log2 (4x – 7) es: Resolución:

x2 – 4 > 0 y 4x – 7 > 0 x2 – 4 = 4x – 7 x2 – 4x + 3 = 0

x = 1 x = 3, Luego: x = 1 no satisface las dos relaciones iniciales, x = 3 si satisface.

x = 3.

3. Caso 3: Al resolver logx+1 (5x + 19) = 2, el valor de “x” es: Resolución:

Como 5x + 19 > 0 y x + 1 > 0 y x 0

(x + 1)2 = 5x + 19

x2 + 2x + 1 = 5x + 19 x2 – 3x – 18 = 0

x = -3 x = 6 cuando x = -3 no satisface la condición x + 1 > 0

x = 6 si cumple

x = 6.

4. Caso 4: Resolver log 5x + log 3x2 = log3

Resolución:

5x >0 3x2 >0 )3x2)(5x( =3

obteniendo: (x – 5)(2x – 3) = 32

2x2 – 13x + 6 = 0 x = 6 ó x = 2

1

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x = 6, satisface las dos desigualdades indicadas

x = 6.

5. INECUACIÓN LOGARÍTMICA

Se caracteriza por tener al menos una incógnita afectada del operador logaritmo. Ejemplo: 1. log2(x + 5) > log2x

2. log 1 log ( )x xx senx

3. 3 log 2 2 2x senx ( no es inecuación logarítmica)

Resolución:

Sea la inecuación:

Garantizamos la existencia de los logaritmos, por definición

se debe cumplir:

0 0 0 1M N a a

Dependiendo del valor de la base, pueden presentarse dos

casos: 1° Caso:

1 log logb bSi b M N M N ...

Donde: f(x)=logbx

logbM>logb N

11

21

X 0

Y

N M

logbN

f(x) logbM

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2° Caso:

0 1 log logb bSi b M N M N ...

Donde: f(x)=logbx

El conjunto solución se obtiene intersectando los valores obtenidos en y

C.S =

CASO PARTICULAR Sea M positivo

log 0

1 1

0 1 1

b M

si b M

si b M

31 1

1 2

1 1

1

NOTA Al resolver una inecuación se observa que si:

1. a>1 el sentido de la desigualdad no cambia.

2. 0<a<1 el sentido de la desigualdad si cambia.

M

N

0

Y

logbM f(x)

logbN

X

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Al resolver log2 (x2 + 3x) > 2, el conjunto solución es:

A) ; 4 5; B) ; 4

C) 3;6 D) 4; E) ; 4 1;

Resolución:

log2 (x2 + 3x) > 2 x2 + 3x > 22

x2 + 3x – 4 > 0 (x + 4)(x – 1) > 0

x <-, -4><1, +> CLAVE E

2. Al resolver log2 (x2 –3x – 10) < 3, se obtiene:

A) 3; 2 5;6 B) 3; 2 5;6

C) 3;6 D) 3; 2 5;6 E) 3; 2 5;6

Resolución: log2 (x2 –3x – 10) < 3

x2 –3x – 10 > 0 x2 –3x – 10 < 23

(x – 5)(x + 2) > 0 (x – 6)(x + 3) < 0

-4 1 + + -

-2 5

+ + -

-3 6

+ + -

-2 5 -3 6

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x <-3, -2><5, 6> CLAVE B

3. Resolver log7 15x7 < log7 (x + 3)

A) 15

; 2 3;7

B) 7; 2 0;

C) ;2 3; D) 15

; 2 1;7

E) ¡

Resolución:

log7 15x7 < log7 (x + 3)

15x7 >0 ( x + 3)>0 15x7 < x +3

{x >7

15 x > -3} 7x + 15 < x2 + 6x + 9

{x >7

15 x > -3} x2 – x – 6 > 0

{x >7

15 } {x < -2 x > 3}

7

15 < x < -2 x > 3

C.S: x <7

15 , -2><3, +> CLAVE A

4. Al resolver log0,1

4x

75x 2

-2, el valor de “x” es:

A) <4, 5] [95, +> B) 4;95

C) 4;5 95 ; D) ; 4 5;

E) ;95

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Resolución:

log0,1

4x

75x 2

-2

4x

75x 2

(0,1)-2

4x

75x 2

100

4x

75x 2

– 100 0

4x

475x100x 2

0

x 4 (x – 4)(x – 5)(x – 95) 0

C.S: x <4, 5] [95, +> CLAVE A

5. Al resolver la siguiente inecuación

)1x2x(log)5x3x2(log 2

5

12

5

1 se obtiene:

A) <-, 1><4, +> B) <-, 1] [4, +>

C) ; 4 2; D) <-, 1><4, > - { -1 }

E) ¡ Resolución: Se tiene:

2x2 – 3x + 5 > 0 x R, pues su discriminante

= -31 < 0 (*)

x2 + 2x + 1 > 0 (x + 1)2> 0 x -1 (**)

como la base: 0 <5

1< 1, se tiene:

2x2 – 3x + 5 > x2 + 2x + 1 x2 – 5x + 4 > 0 Factorizando (x – 4)(x – 1) > 0 usando el método de los puntos críticos se tiene

x <-, 1><4, > - { -1 } CLAVE D 1 4

+ + -

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6. El valor del producto de los factores de:

logx100; log x y logx+1 (x+1) es: A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5

Resolución:

Por propiedad de logaritmos, loga a = 1 (loga b)(logba) = 1

logx+1 (x+1) = 1, se reduce que: P = (logx100)(log x) P = (logx102)(log x) P = 2(logx10)(log10 x) P = 2 CLAVE B

7. Si 2log 1 log ; 1 1b ba x a a b , el valor de

3

3 3

3

log logb a

x xE

a b

es:

A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5 Resolución:

2log 1

log logb

b b

ax

a a

X= log logb aa b

Elevando al cubo 3 3 3log log 3log (log log )b a a b ax a b b a b

3 3 33 log logb ax x a b

E = 1 CLAVE A

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