3 លំហាត់អនុគម្ន៍ - WordPress.com · 2016. 4. 28. · iii ឯរសារយោង 1. នសៀវនៅ 4ណិត្វទិាថា 2់ទី១២

i

i

ព្រះរាជាណាចព្ររម្ពុជា ជាតិ សាសនា ព្រះម្ហារសព្ត

3

លំហាត់អនុគម្ន៍

2 អនុគមន៍សនិទាន

2 អនុគមន៍អសនិទាន

2 អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចត្មរុះ

រក្សាសិទ្ធិគ្រប់យ៉ា ង ២០១៣

ii

អារម្ភរថា

សួសតី ប្អូនៗសិសានុសិសស និងប្បិ្យមតិ្តអ្នកសិកាជាទីរាប្អ់ាន! ននេះជានសៀវនៅដពិ៏នសសមយួដដលខុ្ុំបានខិត្ខុំប្ាវប្ជាវនិងចង ប្កងន ើងនោយនប្រើសនរ ើសលុំហាត្អ់្នុគមនល៍អៗនចញពីឯការដខែរ និងប្រនទសប្ពមទុំងលុំហាត្ធ់្លា ប្ន់ចញប្ប្ ងកនាងមកមយួចុំននួ ។ ខុ្ុំសងឃមឹថានសៀវនៅននេះនឹងក្លា យជាមតិ្តដល៏អរប្ស់អ្នកសិកាប្គប្់ៗ គ្នន ។ ដត្នទេះបី្ជាខុ្ុំពាយាមសរនសរយា៉ា ងផ្ចិត្ផ្ចងយ់ា៉ា ងណាកតីកច៏ុំណុច ខវេះខាត្ដត្ងដត្នកើត្ន ើងដដរ អាប្ស័យនេតុ្ននេះខុ្ុំសូមអ្ភយ័នទសនិង រងចុំទទលួក្លរេិះគនដ់កលុំអ្កនុងនយ័ាា ប្នានោយកតីនពញចិត្តពីសុំ ណាកសិ់សានុសិសស នោកប្គូ អ្នកប្គូនិងមតិ្តអ្នកសិកាប្គប្ម់រឈោា ន និងប្គប្ន់ពលនវោ ។ ជាចុងនប្ក្លយខុ្ុំសូមរូនពរប្អូនៗសិសានុសិសសនិងអ្នកមានគុណ ទុំងអ្ស់ឲ្យរបួ្ដត្សុំណាងលអ សុខភាពលអ និងទទលួបាននជាគ រយ័ប្គប្ភ់ារកិចច ។ ភនុំនពញ.ថ្ងៃទី 18 ដខ 03 ឆ្ន ុំ 2013 អ្នកនរៀប្នរៀង អ ៊ូច ប ុនថន

iii

ឯរសារយោង

1. នសៀវនៅគណិត្វទិាថាន កទី់១២ នបាេះពុមពនោយប្កសួងអ្ប្រ់ ុំ2007 2. នសៀវនៅគណិត្វទិាថាន កទី់១២ (កុំរតិ្មូលោា ន) នបាេះពុមពផ្ាយ នោយប្កសួងអ្ប្រ់ ុំ2011 3. នសៀវនៅគណិត្វទិាថាន កទី់១២ (កុំរតិ្ខពស់) ដដលនបាេះពុមពផ្ាយ នោយប្កសួងអ្ប្រ់ ុំ2010 4. (376 )Mathematique Exerciceset Problemes Resolus , , 1975par Michèle Debray MarcGourion 5. ,Mathématiques Terminales F ,1983

6.1

, , 1992.A BMathématiquesT Dimathème

{>|

iv

បញ្ជ ីអតថបទ

1. កបួនសិកាអ្នងរភាពនិងសងប់្ក្លប្តាងអ្នុគមន.៍.....................១ 2. ឧទេរណ៍......................................................................២ 3. អ្នុគមនស៍និទន............................................................១៦ 4. អ្នុគមនអ៍្សនិទន......................................................១៣៨ 5. អ្នុគមនប៍្តី្នក្លណមាប្ត្ចប្មរេះ........................................១៧១

->,

- 1 -

1. រកដដនកំណត ់2. ទិសដៅអដថរភាព គណនាដដរដីវ រកបញសរបស់ដដរដីវ សិកាសញ្ញា ននដដរដីវ គណនាលីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់ គណនាតនមៃបរមា (ដបើមាន) រកអាសីុមតូត (ដបើមាន)

3.សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ 4.សងត់្ាបតាងអនុគមន័ រកចំណុចត្បសពវរវាងអក័សអាបសីុ់សនិងត្ាប (ដបើមាន) រកចំណុចត្បសពវរវាងអក័សអរដោដននិងត្ាប (ដបើមាន) ដធវើតារាងតនមៃដលខជំនយួ (ដបើចបំាច)់ សងត់្ាប

5. រកអក័សឆៃុុះ និងផចិតឆៃុុះ (ដបើមាន)

8

ក្បួនសិក្ាអថេរភាព

និងសង់ក្រាបតាងអនុគមន ៍

- 2 -

1 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍2 9 18

( )2

x xf x

x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 0x ឬ 2x ដូចដនុះ ដដនកំណតគឺ់ \{2}D ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ 2

2

(2 9)(2 ) ( 9 18)'( )

(2 )

x x x xf x

x

2 2

2

(4 2 18 9 ) ( 9 18)

(2 )

x x x x x

x

2

2 2

4 ( 4)

(2 ) (2 )

x x x x

x x

ដោយ 2(2 ) 0x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ 'f មានសញ្ញា ដូច ( 4)x x ។ ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 4) 0x x មានបញស 0, 4x x

x 0 2 4 '( )f x

គណនាលីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់

2

2 2

9 181

9 18lim ( ) lim lim

221

x x x

xxx x x

f xx

xx

00

- 3 -

2

9 181

( )(1 0 0)lim

2 (0 1)1

x

xx x

x

2

2 2

9 181

9 18lim ( ) lim lim

221

x x x

xxx x x

f xx

xx

2

9 181

( )(1 0 0)lim

2 (0 1)1

x

xx x

x

2

2 2

9 18 4 18 18lim ( ) lim

2 0x x

x xf x

x

2

2 2

9 18 4 18 18lim ( ) lim

2 0x x

x xf x

x

គណនាតនមៃបរមា

អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ 18(0) 9

2f

អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ 16 36 18(4) 1

2 4f

រកអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដត្ទត ដោយ

2lim ( )x

f x

ដនាុះបនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប

- 4 -

មយ៉ាងដទៀត 2 9 18 4

( ) 72 2

x xf x x

x x

ដ ើយ 4lim 0

2x x

ដនាុះបនាទ ត់ 7y x ជាអាសីុមតូតដត្ទត

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរនិង 7y x ជាអាសីុមតូត ដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ តារាងអដថរភាព

x 0 2 4 '( )f x ( )f x

9 1

សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍

រក2 9 18

( ) : 0 , 02

x xC xóx y

x

មានបញស 3, 6x x

តារាងតនមៃដលខជំនយួ x 2 1 y 10 10

អាសីុមតូតដត្ទត 7y x x 3 4

7y x 4 3 ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f

00

- 5 -

ផចិតឆៃុុះ ផចិតឆៃុុះ ជាចំណុចត្បសពវរវាងអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដត្ទត ដូចដនុះ ចំណុច (2,5)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។

2 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍2

2

4 4 7( )

2

x xf x

x x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 2 0x x ដបើសមាីរ 2 2 0x x មានបញស 1 , 2x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ \{ 2,1}D ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ 2 2

2 2

(8 4)( 2) (2 1)(4 4 7)'( )

( 2)

x x x x x xf x

x x

: ( )C y f x

7y x

(2,5)I

2x

x

y

- 6 -

2 2

2 2

4(2 1)( 2) (2 1)(4 4 7)

( 2)

x x x x x x

x x

2 2

2 2

(2 1)[(4 4 8) (4 4 7)]

( 2)

x x x x x

x x

2 2 2 2

(2 1)( 15) 15(2 1)

( 2) ( 2)

x x

x x x x

ដោយ 2 2( 2) 0x x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 15(2 1)x

ដបើ '( ) 0f x សមមូល 15(2 1) 0x ដនាុះ 1

2x

x 2 1/ 2 1 '( )f x

គណនាលីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់

2

2

2

2 2

2

2 2

4 4 7lim ( ) lim

2

4 7 4 74 4

lim lim 41 2 1 2

1 1

x x

x x

x xf x

x x

xx xx x

xx xx x

2

2

4 4 7lim ( ) lim

2x x

x xf x

x x

0

- 7 -

2

2 2

2

2 2

4 7 4 74 4

lim lim 41 2 1 2

1 1x x

xx xx x

xx xx x

2

22 2

4 4 7 16 8 7lim ( ) lim

02x x

x xf x

x x

2

21 1

4 4 7 4 4 7lim ( ) lim

02x x

x xf x

x x

គណនាតនមៃបរមា

អនុគមន៍ f មានអតិបរមាត្តង់ 1

2x គឺ 1 8

( )2 3

f

រកអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដដក ដោយ

2lim ( )

xf x

និង

1lim ( )x

f x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x និង 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ ដោយ lim ( ) 4

xf x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 4y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ x 2 1/ 2 1 '( )f x ( )f x

4 8/ 3

4

សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f

0

- 8 -

អក័សឆៃុុះ

បនាទ ត់ 1

2x ជាអក័សឆៃុុះរបស់ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f

ដបើ 1

2x ជាអក័សឆៃុុះ លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ ត់

1[2 ] ( )

2f x f x

2

2

1 4( 1 ) 4( 1 ) 7[2 ] ( 1 )

2 ( 1 ) ( 1 ) 2

x xf x f x

x x

2 2

2 2

4 8 4 4 4 7 4 4 7( )

1 2 1 2 2

x x x x xf x

x x x x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1

2x ជាអក័សឆៃុុះរបស់ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។

3 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាង ( ) 3 2 1f x x x ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 1 0 1x x

x

y

4y

1x 2x

: ( )C y f x

- 9 -

ដូចដនុះ ដដនកំណតរ់បស់អនុគមន៍ f គឺ [1, [D ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ ( 1) ' 1 6 1 1'( ) (3 2) ' 3

2 1 2 1 2 1

x xf x x

x x x

ដោយ 2 1 0x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 6 1 1x ដគមាន 1 0x ដនាុះ 6 1 0x នាឲំ្យ 6 1 1 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x D លីមតីៈ lim ( ) lim (3 2 1)

x xf x x x

1 1

lim ( ) lim(3 2 1) 1x x

f x x x

តារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ x 1 '( )f x ( )f x

1 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ តារាងតនមៃដលខជំនយួ

x 2 5 y 5 15

- 10 -

4 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាង 2( ) 3 2f x x x x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 3 2 0x x ដបើ 2 3 2 0x x មានបញស 1 , 2x x

x 1 2 2 3 2x x

ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ ] ,1] [2, [D ។ ទិសដៅអដថរភាព


2 2

( 3 2) ' 2 3'( ) 1 1

2 3 2 2 3 2

x x xf x

x x x x

ចំដ ុះ 2x ដនាុះ 2 3 0x នាឲំ្យ 2

2 31 0

2 3 2

x

x x

ដូចដនុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ 2x ។

x

y

: ( )C y f x

0 0

- 11 -

ចំដ ុះ 1x

2 2

1'( ) 0

2 3 2[2 3 2 (2 3)]

f x

x x x x x

លីមតីចុងដដនកំណត ់ 2lim ( ) lim ( 3 2)

x xf x x x x

2 2

2

3 2 3 2 3lim lim

23 2( 3 2) ( 1 )x x

x x x x

x x x x xx x

2lim ( ) lim ( 3 2)x x

f x x x x

រកអាសីុមតូត

ដោយ 3lim ( )

2xf x

ដនាុះបនាទ ត់ 3

2y ជាអាសីុមតូតដដក


2y ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។

2

2 3 1( ) 3 2

2 4f x x x x x x

3( )

2x x x ដដល lim ( ) 0

xx

ដគបាន 32

2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC


2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។

- 12 -

តារាងអដថរភាព x 1 2 '( )f x ( )f x 3/ 2

1 2


5 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមន ៍ 2( ) xf x x e

ដដនកំណត ់D ទិសដៅងដថរភាព 2 2'( ) 2 (2 )x x xf x xe x e x x e ដោយ 0xe ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 22x x ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 22 0x x មានបញស 0 , 2x x

x

y

2 3/ 2y x

3/ 2y

: ( )C y f x

0 0

- 13 -

x 0 2 '( )f x

ចំណុចបរមា ត្តង់ 0x និង 2x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) និងពី ( ) ដៅ ( ) ដរៀងគ្នន ដនាុះអនុគមន៍ f មានអបបបរមាត្តង់ 0x និងអតិបរមាត្តង់ 2x ។ ដគបាន (0) 0 , (2) 0.54f f ។ លីមតី 2lim ( ) lim x

x xf x x e

2lim ( ) lim 0x

x xf x x e

អាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 0

xf x

ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដក

ដូចដនុះ នាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ សងត់ារាងអដថរភាព

x 0 2 '( )f x ( )f x 0.54

0 0 សងត់្ាបC

តារាងតនមៃដលខ x 1 1 y 2.71 0.36

0 0

0 0

- 14 -

6 :Ex សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមន៍ ln

( )x

f x xx

ដដនកំណត ់ ]0 , [D ទិសដៅអដថរភាព

2

2 2

1ln

1 ln'( ) 1

x xx xx

f xx x

ដោយ 2 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 1 lnx x ដគមាន 2x x ចំដ ុះត្គប់ x នាឲំ្យ 2 2ln 1 lnx x x x ឬ 2 1 ln 0x x ដគបាន '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប ់ x លីមតីចុងដដនកំណត ់

lnlim ( ) lim

x x

xf x x

x

ដត្ ុះ lnlim 0

x

x

x

x

y

2: ( ) xC y f x x e

- 15 -

0 0

lnlim ( ) lim

x x

xf x x

x

ដត្ ុះ 0

lim lnx

x

និង 0

lnlim

x

x

x

អាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដត្ទត ដោយ

0

lim ( )x

f x

ដនាុះបនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរ

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន។៍

ដោយ ln( )

xf x x

x និង ln

lim 0x

x

x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន។៍ តារាងអដថរភាព

x 0 '( )f x ( )f x

សងត់្ាបC អាសីុមតូតដត្ទត x 0 1 y 0 1

តារាងតនមៃដលខ x 1/ 3 1/ 2 1 2 y 3 0.8 1 2.34

- 16 -

លំហាត់ 1.1

ដគឲ្យអនុគមន៍2

( )2

ax bx cf x

x

ដដលមានដខសដាងC ។

ក.រកតនមៃដលខននដមគុណ a និងb ដោយដឹងថាដខសដាងCាត ់

តាមចំណុច 30, , ( 1,0) , (3,0)

2A B C

។

ខ.សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបតាងអនុគមន៍ f ។ ចថមលើយ

8១.អនុគមន៍សនិទាន

x

y

ln: ( )

xC y f x x

x y x

- 17 -

ក.រកតនមៃដមគុណ a និង b

f ាតត់ាម 30,

2A

ដនាុះ 23 0 0

2 0 2

a b c

33

2 2

cc

f ាតត់ាម ( 1,0)B ដនាុះ 2( 1) ( 1)

0( 1) 2

a b c

0 0 3 0 (1)3

a b ca b c a b

f ាតត់ាម (3,0)C ដនាុះ 23 3

03 2

a b c

9 3 0 9 3 3 0

3 1 0 (2)

a b c a b

a b

តាម (1) &(2) ដគបាន 3 0 (1)

3 1 0 (2)

a b

a b

បូកសមាីរ (1) &(2) ដគបាន 4 4 0 1a a តាម (1) 3 1 3 2b a ដូចដនុះ 1 , 2 , 3a b c ខ.សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបតាងអនុគមន៍ f

ចំដ ុះ , ,a b c ដដលរកដឃើញដគបាន2 2 3

( )2

x xf x

x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័លុុះត្តាដត 2 0 2x x

- 18 -

ដូចដនុះ ដដនកំណតគឺ់ \{2}D ទិសដៅអដថរភាព

2

2

(2 2)( 2) ( 2 3)'( )

( 2)

x x x xf x

x

2 2 2

2 2

(2 6 4) ( 2 3) 4 7

( 2) ( 2)

x x x x x x

x x

ដោយ 2( 2) 0x ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 4 7x x ដត 2 24 7 ( 2) 3 0x x x ចំដ ុះត្គប់ x D ដូដចនុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x D លីមតីត្តងចុ់ងដដនកំណត ់

2 2 3

lim ( ) lim2x x

x xf x

x

2 2 3

lim ( ) lim2x x

x xf x

x

2

2 2

2 3 4 4 3lim ( ) lim

2 0x x

x xf x

x

2

2 2

2 3 4 4 3lim ( ) lim

2 0x x

x xf x

x

រកអាសីុមតូត ដោយ

2lim ( )x

f x


- 19 -

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។

ដោយ2 2 3 3

( )2 2

x xf x x

x x

ដ ើយ 3

lim 02x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ តារាងអដថរភាព

x 2 '( )f x ( )f x

សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ រក ( )C xóx គឺ 0, 1 , 3y x x រក ( )C yóy គឺ 0 , 3/ 2x y តារាងតនមៃដលខ x 1 4 5 y 4 2.5 4

: ( )C y f x

x

y x

I

2x

y

- 20 -

ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 2x និងអាសីុមតូតដត្ទត y x ជបួគ្នន ត្តង់ (2,2)I

តាមរូបមនតបំដលងអក័ស o

o

x x X

y y Y

ឬ 2

2

x X

y Y

យក 2x X និង 2y Y ជំនសួកនុង2 2 3

2

x xy

x

ដគបាន 2(2 ) 2(2 ) 3

2(2 ) 2

X Xy

X

24 4 4 2 3

2X X X

YX

2 22 3 3

2X X X

YX X

ឬ

2 3( )

XF X

X

ជំនសួ X ដោយ ( )X ដគបាន

2 2( ) 3 3

( ) ( )X X

F X F XX X

ដោយ ( ) ( )F X F X ដនាុះ Fជាអនុគមនដ៍សស ដូចដនុះ (2,2)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ លំហាត់ 1.2

f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2

2

7 16( )

2 6

x xf x

x x

និងC ជាត្ាបតាង

អនុគមនដ៍ៅកនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j

ដដលមានឯកតា1cm ។ ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពននត្ាបC ត្ពមទងំអាសីុមតូតដត្ទត ។

- 21 -

ខ. សងត់ារាងអដថរភាព ។ គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តងអ់ាបសីុ់ស 1ox ។

ឃ. បនាទ ត់Dមានសមាីរ 13 3

4 4y x ។ ដោុះត្ាយវសិមាីរ

2

2

7 16 13 3

4 42 6

x xx

x x

ដោយដត្បើត្ាប ។

ចថមលើយ

ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពននត្ាបC ត្ពមទងំអាសីុមតូតដត្ទត ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 22 6 0x x ឬ 0 , 3x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ \{ 3,0}D ។ ទិសដៅអដថរភាព

2 2

2 2

(2 7)(2 6 ) (4 6)( 7 16)'( )

(2 6 )

x x x x x xf x

x x

3 2 3 2

2 2

(4 26 42 ) (4 34 106 96)

(2 6 )

x x x x x x

x x

2 2

2 2 2 2

8 64 96 8( 8 12)

(2 6 ) (2 6 )

x x x x

x x x x

ដោយ 2 2(2 6 ) 0x x ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 28( 8 12)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 8 12 0x x សមមូល ( 2)( 6) 0x x នាឲំ្យ 2, 6x x

- 22 -

x 6 3 2 0 '( )f x

តនមៃបរមា

f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 6x គឺ 10( 6) 0.27

36f

f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ 3( 2) 1.5

2f

លីមតីចុងដដនកំណត ់

2

2

7 16lim ( ) lim

2 6x x

x xf x

x x

2

2 2

2

7 16 7 161 1

1lim lim

6 6 22 2

x x

xx xx x

xx x

2

2

7 16lim ( ) lim

2 6x x

x xf x

x x

2

2 2

2

7 16 7 161 1

1lim lim

6 6 22 2

x x

xx xx x

xx x

2

23 3

7 16 9 21 16lim ( ) lim

02 6x x

x xf x

x x

2

20 0

7 16 0 0 16lim ( ) lim

02 6x x

x xf x

x x

00

- 23 -

រកអាសីុមតូតឈរនិងអាសីុមតូតដដក ដោយ

3lim ( )

xf x

និង

0lim ( )x

f x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3x និង 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។

ដោយ 1lim ( )

2xf x

ដនាុះបនាទ ត់ 1

:2

y ជាអាសីុមតូតដដក

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1:

2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។

ខ. សងត់ារាងអដថរភាព x 6 3 2 0 '( )f x ( )f x 1

2

0.27

3

2

1

2

គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តងអ់ាបសីុ់ស 1ox សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 1ox គឺ '(1)( 1) (1)y f x f

ដោយ 2

2 2

8( 8 12)'( )

(2 6 )

x xf x

x x

ដនាុះ 21

'(1)8

f

ដ ើយ2

2

7 16( )

2 6

x xf x

x x

ដនាុះ (1) 3f

ដគបាន 21 21 45( 1) 3

8 8 8y x x

00

- 24 -

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 21 45

8 8y x ។

ឃ. ដោុះត្ាយវសិមាីរ 2

2

7 16 13 3

4 42 6

x xx

x x

ដោយដត្បើត្ាប

x 0 1 x 0 1 13 3

4 4y x 3

4 4 21 3

8 8y x 3

8 3

តារាងតនមៃដលខ x 4 7 / 2 3/ 2 1 1 5/ 2 9 / 2 y 1/ 2 1 2 5/ 2 3 3/ 2 1

តាមត្ាបដបើ

2

2

7 16 13 3

4 42 6

x xx

x x

លុុះត្តាដត

21 45

8 8y x

13 3

4 4y x

C

y

x

- 25 -

[ , 3[ ] 3, 1[ ]0, 0.843[x ដូចដនុះ [ , 3[ ] 3, 1[ ]0, 0.843[x



4( )

2

x bf x

x bx c

ដដល b និង cជាច ំ

ននួពិត។ ក. កំណត់ a និង b ដដើមបឲី្យដខសដាងមានបរមា(អតិបរមានិងអបបបរមា) ត្តង់ 2x និង 1x ។

ខ. សិកាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2

4 2( )

2 2 5

xf x

x x

មានត្ាបC

កនុងតត្មុយអរតូណរដម។

គ. បង្ហា ញថាC មានចំណុច 1,0

2A

ជាផចិតឆៃុុះ។ កំណតស់មាីរ

បនាទ តប់៉ាុះT ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A រចួសិកាទីតាងំននC និងT ចថមលើយ

ក. កំណតត់នមៃ a និង b

ដគមាន2

4( )

2

x bf x

x bx c


2 2

4(2 ) (4 )(4 )'( )

(2 )

x bx c x b x bf x

x bx c

2 2 2

2 2

(8 4 4 ) (16 8 )

(2 )

x bx c x bx b

x bx c

- 26 -

2 2

2 2

8 4 4

(2 )

x bx c b

x bx c

ដបើ f មានបរមាត្តង់ 2x និង 1x ដនាុះ '( 2) 0

'(1) 0

f

f

នាឲំ្យ

2

2

2

2

32 8 40

(2 )

8 4 40

(2 )

b c b

b c

b c b

b c

2

2

8 4 32 (1)

4 4 8 (2)

b c b

b c b

យក (1) ដក (2) ដគបាន 12 24 2b b តាម 2(1) : 8 4 32 16 4 4 32b c b c 4 32 12 20 4 5c c ដូចដនុះ 2 , 5b c

ខ. សិកាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2

4 2( )

2 2 5

xf x

x x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 22 2 5 0x x 2' 1 2 5 9 0 គ្នា នបញស ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព


2 2 2 2

8 8 16 8( 2)'( )

(2 2 5) (2 2 5)

x x x xf x

x x x x

ដោយ 2 2(2 2 5) 0 ,x x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច

- 27 -

ព ុធា 2 2x x ។ ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 0x x មានបញស 2 , 1x x

x 2 1 '( )f x


តនមៃអបបបរមា 2( 2)

3f និងតនមៃអតិបរមា 2

(1)3

f


2

4 2lim ( ) lim 0

2 2 5x x

xf x

x x

2

4 2lim ( ) lim 0

2 2 5x x

xf x

x x

អាសីុមតូតដដក ដោយ lim ( ) 0

xf x

ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន។៍ សងត់ារាងអដថរភាព

x 2 1 '( )f x ( )f x 0 2 / 3

2 / 3 0 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ រក ( )C xóx គឺ 0 , 4 2 0 1/ 2y x x

0 0

0 0

- 28 -

រក ( )C yóy គឺ 0 , 2 /5x y

គ. បង្ហា ញថាC មានចំណុច 1

,02

A

ជាផចិតឆៃុុះ

ដបើ 1,0

2A

ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង

(2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ ( 1 ) ( ) 0f x f x

ដគបាន2

4( 1 ) 2( 1 )

2( 1 ) 2( 1 ) 5

xf x

x x

2 2

4 2 4 2( )

2 4 2 2 2 5 2 2 5

x xf x

x x x x x

នាឲំ្យ ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x ដផទៀងផ្ទទ ត ់

ដូចដនុះ 1,0

2A

ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។

កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះT ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A

សមាីរបនាទ ត ់ 1 1: '( )( )

2 2oT y f x y

x

y

8 4:

9 9T y x

C

- 29 -

តាម 1,0

2A

ដគបាន 0oy

ដ ើយ2

2 2

8( 2)'( )

(2 2 5)

x xf x

x x

នាឲំ្យ 1 8

'( )2 9

f

ដគបាន 8 1 8 4: ( ) 0

9 2 9 9T y x x

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 8 4:

9 9T y x ។

សិកាទីតាងំដធៀបរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់T

2

2 2

4 2 8 4 2(2 1)(2 1)( )

9 92 2 5 9(2 2 5)

x x xf x y x

x x x x

ដោយ 2(2 1) 0x និង 22 2 5 0x x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ ( )f x y មានសញ្ញា ដូច 2(2 1)x

ដបើ ( ) 0f x y នាឲំ្យ 12 1 0

2x x

x 1/ 2 ( )f x y

ដូចដនុះ ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់T ចំដ ុះត្គប់ 1

2x

ត្ាបC ជបួនឹងបនាទ ត់T ដៅត្តង ់ 1, 0

2x y

ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់T ចំដ ុះត្គប់ 1

2x ។

0

- 30 -


១. f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2

2

2 2( )

( 1)

x xf x

x

ដ ើយមានត្ាប

C ដៅកនុងតត្មុយអរតូកូណាល់ ដដលមានឯកតា 2cm ដលើអក័សអាប ់ សីុស និង1cm ដលើអក័សអរដោដន។ ក. សិកាអដថរភាពនន f ។ ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់សដសាើ 0 ។ គ. គណនាដដរដីវទីពីរ ''f ដ ើយកំណតកូ់អរដោដនននចំណុចរបត។់ ឃ. គូសត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ ង. បង្ហា ញថាចំដ ុះត្គប់ xជារបស់សំណំុននដដនកំណត,់ f អាចសរដសរ

ជាទត្មង ់2

( )1 ( 1)

b cf x a

x x

ដដល ,a b និង cជាចំននួពិត

ត្តូវកំណត។់ ច. ដោយដត្បើត្ាបC ដោុះត្ាយសមាីរអដថរ x ដ ើយmជាបា៉ា រា៉ា ដម៉ាត 2( 1) 2( 1) 2 0m x m x m ។

២. gជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ 4( )

1

xg x

x

និង H ជាត្ាបតាងដៅ

កនុងតត្មុយដូចគ្នន ខាងដលើ ។ ក. សិកាអដថរភាពនន g ។ រកកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងH និងអក័ស ត្ពមទងំសរដសរសមាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅត្តងចំ់ណុចដនាុះ។ ខ. បង្ហា ញថាត្ាបH មានផចិតឆៃុុះមយួ។ គ. រកកូអរដោដនននចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងត្ាប H ។

- 31 -

ឃ. គូសត្ាបH ។ ចថមលើយ

១.ដគមាន 2

2

2 2( )

( 1)

x xf x

x

ក. សិកាអដថរភាពនន f ដដនកំណត ់ \{1}D ទិសដៅអដថរភាព

2 2

4

( 2 2)( 1) 2( 1)( 2 2)'( )

( 1)

x x x x xf x

x

2

4

2( 1)[( 1)( 1) ( 2 2)]

( 1)

x x x x x

x

2 2

4 4

2( 1)( 1 2 2) 2( 1)(2 1)

( 1) ( 1)

x x x x x x

x x

ដោយ 4( 1) 0 ,x x ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2( 1)(2 1)x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2( 1)(2 1) 0x x មានបញស 11 ,

2x x

x 1/ 2 1 '( )f x

តនមៃអតិបរមា

f មានអតិបរមាត្តង ់ 1

2x គឺ 1

( ) 32

f

0

- 32 -


2

2 2

2 22

2 21

2 2lim ( ) lim lim

( 1) 11

x x x

xxx x x

f xx

xx

2

2 2

2 21

1 0 0lim 1

(1 0)11

x

x x

x

2

2 2

2 22

2 21

2 2lim ( ) lim lim

( 1) 11

x x x

xxx x x

f xx

xx

2

2 2

2 21

1 0 0lim 1

(1 0)11

x

x x

x

2

21 1

2 2 1 2 2lim ( ) lim

( 1) 0x x

x xf x

x

រកអាសីុមតូតឈរ និងអាសីុមតូតដដក ដោយ

1lim ( )x

f x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។

- 33 -

ដោយ lim ( ) 1x

f x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 1/ 2 1 '( )f x ( )f x 3

1 1

ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់សដសាើ 0 សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ '(0)( 0) (0)y f x f ដោយ '(0) 2 , (0) 2f f ដគបាន 2 2y x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 2 2y x ។ គ. គណនាដដរដីវទីពីរ ''f ដ ើយកំណតកូ់អរដោដនននចំណុចរបត។់

ដគមាន 4 3

2( 1)(2 1) 2(2 1)'( )

( 1) ( 1)

x x xf x

x x


6

4( 1) 6( 1) (2 1)''( )

( 1)

x x xf x

x

4 4 4

4( 1) 6(2 1) 4 4 12 6 8 2

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x

x x x

ដបើ ''( ) 0f x នាឲំ្យ 18 2 0

4x x

x 1/ 4 y

0

0

- 34 -

ត្តង់ 1

4x ដធវើឲ្យ ''( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ដនាុះត្ាបC មានចំណុច

របតត់្តង់ 1

4x និង 1 23

( )4 9

y f

ដូចដនុះ ចំណុចរបតគឺ់ 1 23( , )4 9

។

ឃ. គូសត្ាបC តាងអនុគមន៍ f

ង. បង្ហា ញថា f អាចសរដសរជាទត្មង ់

2( )

1 ( 1)

b cf x a

x x

ដដល ,a b និង cជាចំននួពិតត្តូវកំណត ់

2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 2 1) ( 1)( )

( 1) ( 1)

a x b x c a x x b x cf x

x x

2

2

( 2 ) ( )

( 1)

ax a b x a c

x

ដត

2

2

2 2( )

( 1)

x xf x

x

C2 2y x

y m

1y

y

x

1x

- 35 -

ដគទញបាន 1 1

2 2 4

2 3

a a

a b b

a c c

ដូចដនុះ 2

4 3( ) 1

1 ( 1)f x

x x

។

ច. ដោយដត្បើត្ាបC ដោុះត្ាយសមាីរអដថរ x ដ ើយmជាបា៉ា រា៉ា ដម៉ាត 2( 1) 2( 1) 2 0m x m x m 2 2( 2 ) ( 2 2) 0mx mx m x x 2 2( 2 1) ( 2 2)m x x x x

2

2

2 2

( 1)

x xm

x

ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ ត ់

ចល័ត y m ។ តាមត្ាបដគបានៈ ចំដ ុះ ]3 , [m សមាីរគ្នន នបញស

ចំដ ុះ 3m សមាីរមានបញសមយួ 1

2x

ចំដ ុះ ]2 , 3[m សមាីរមានបញសពីរ 1 20 x x ចំដ ុះ ]1 , 2[m សមាីរមានបញសពីរ 1 20x x ចំដ ុះ ] , 1[m សមាីរមានបញសមយួ 0x ។

២. g ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ 4( )

1

xg x

x

មានត្ាបH

ក. សិកាអដថរភាពនន g ដដនកំណត ់ \{1}D

- 36 -

ទិសដៅអដថរភាព

2 2

( 1) ( 4) 5'( ) 0 ,

( 1) ( 1)

x xg x x D

x x


4

14

lim ( ) lim lim 111

1x x x

xx x

g xx

xx

1 1

4 1 4lim ( ) lim

1 0x x

xg x

x

រកអាសីុមតូត lim ( ) 1

xg x

ដនាុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបH

1

lim ( )x

g x

ដនាុះបនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបH

រកកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងH និងអក័សត្ពមទងំសរដសរ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅត្តងចំ់ណុចដនាុះ រក ( )H xóx គឺ 0 , 4y x រក ( )H yóy គឺ 0 , 4x y សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 4x គឺ '( 4)( 4) ( 4)y g x g

ដោយ 1'( 4) , ( 4) 0

5g g ដគបាន 1

( 4)5

y x

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 4x គឺ 1( 4)

5y x ។

សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ '(0)( 0) (0)y g x g

- 37 -

ដោយ '(0) 5 , (0) 4g g ដគបាន 5 4y x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ 5 4y x ។ ខ. បង្ហា ញថាត្ាបH មានផចិតឆៃុុះមយួ។ អាសីុមតូតឈរនិងដដកត្បសពវគ្នន ត្តង ់ (1 , 1)I ដបើ (1 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះលុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង (2 ) ( ) 2g a x g x b ឬ (2 ) ( ) 2g x g x

ដគបាន (2 ) 4 6 6(2 )

(2 ) 1 1 1

x x xg x

x x x

នាឲំ្យ 6 4 2 2(2 ) ( ) 2

1 1 1

x x xg x g x

x x x

(ពិត)

ដូចដនុះ ត្ាប H មានផចិតឆៃុុះមយួគឺ (1 , 1)I ។ គ. រកកូអរដោដនននចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងត្ាប H ។

សមាីរអាបសីុ់សៈ 2

2

2 2 4

1( 1)

x x x

xx

2

2 2

2 2 ( 1)( 4)

2 2 3 4

2 2 3 4 2

x x x x

x x x x

x x x

ដបើ 2x នាឲំ្យ 2 46

2 1y

ដូចដនុះ ត្ាបC និងត្ាបH ត្បសពវគ្នន ត្តង់ (2 , 6) ។ ឃ. គូសត្ាបH

- 38 -



2

5( 12)( )

3

x xf x

x x

។

ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដ ើយសងត់្ាបC ដៅកនុងតត្មុយអរ

តូណរដម ( , , )o i j

។

ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 1

2x ជាអក័សឆៃុុះននត្ាបC ។

គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់D ដដលមាន

សមាីរ 7( ) ( 3)

3g x x ។ កំណតទី់តាងំដធៀបរវាងD និងC ។

ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដ ើយសងត់្ាបC

HC

1y

5 4y x

1( 4)

5y x

1x

y

x

(1, 1)I

- 39 -

ដគមាន 2

2

5( 12)( )

3

x xf x

x x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័លុុះត្តាដត 2 3 0x x

ដត 2 2 21 1 1 113 ( ) 3 ( ) 0,

2 4 2 4x x x x x

ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព

2 2

2 2

5(2 1)( 3) (2 1)5( 12)'( )

( 3)

x x x x x xf x

x x

2 2

2 2

5(2 1)( 3 12)

( 3)

x x x x x

x x

2 2 2 2

5(2 1)(15) 75(2 1)

( 3) ( 3)

x x

x x x x

2 2( 3) 0 ,x x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 1x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 12 1 0

2x x

x 1/ 2 '( )f x

តនមៃអបបបរមា ដៅត្តង់ 1/ 2x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1/ 2x ។

0

- 40 -

ដបើ 1

2x


( ) 22.32 11

f


2

2

5( 12)lim ( ) lim 5

3x x

x xf x

x x

2

2

5( 12)lim ( ) lim 5

3x x

x xf x

x x

រកអាសីុមតូតដដក ដោយ lim ( ) 5

xf x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 5y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ តារាងអដថរភាព

x 1/ 2 '( )f x ( )f x 5 5

22.3 សងត់្ាបC រក ( ' )C x ox គឺ 0 , 3 , 4y x x រក ( ' )C y oy គឺ 0 , 20x y

x 0 3 ( )g x 7 0

0

- 41 -

ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 1

2x ជាអក័សឆៃុុះននត្ាបC

ដបើ 1

2x លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ ត ់ (2 ) ( )f a x f x

គណនា 2

2 2

5[( 1 ) ( 1 ) 12](2 ) ( 1 )

( 1 ) ( 1 ) 3

x xf a x f x

x x

2

2

5[( 1 ) ( 1 ) 12](2 ) ( 1 )

( 1 ) ( 1 ) 3

x xf a x f x

x x

2 2

2 2

5(1 2 1 12) 5( 12)( )

1 2 1 3 3

x x x x xf x

x x x x x

(ពិត)


2x ជាអក័សឆៃុុះននត្ាបC ។

គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់D

( )g x

: ( )C y f x

5y y

x

- 42 -

សមាីរអាបសីុ់ស 2

2

5( 12) 7( 3)

33

x xx

x x

2 215( 12) 7( 3)( 3)x x x x x 2 3 2 215( 12) 7( 3 3 3 9)x x x x x x x 2 3 215 15 180 7 14 63x x x x 3 27 29 15 117 0x x x 2( 3)(7 8 39) 0x x x

នាឲំ្យ 2

3 0 3

7 8 39

x x

x x

2' 16 273 289 17 4 17 13 4 17 21

1.85 , 37 7 7 7

x x

ចំដ ុះ 13

7x នាឲំ្យ 34

3y

ចំដ ុះ 3x នាឲំ្យ 0y ដូចដនុះ ត្ាបC និងបនាទ ត់D ត្បសពវគ្នន ត្តងពី់រចំណុចគឺ

13 34,

7 3

និង (3, 0) ។

កំណតទី់តាងំដធៀបរវាងD និងC ។ x 13/ 7 3 2( 3)(7 8 39)x x x

ដូចដនុះ ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់D ចំដ ុះត្គប់ ] , 13/ 7[x 00

- 43 -

ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់D ចំដ ុះត្គប់ ]3, [x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់D ចំដ ុះត្គប់ ] 13/ 7, 3[x ត្ាបC និងបនាទ ត់D ជបួគ្នន ត្តង់ 13/ 7x និង 3x ។ លំហាត់ 1.6


( )2

xf x

x

។

ក. សិកាអដថរភាពនន f រចួបង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជាទត្មង ់

4( ) 2

2f x x

x

។ បង្ហា ញថាត្ាបC តាងអនុគមន៍ f មានអា

សីុមតូតដត្ទតមយួ។ សងត់្ាបC កនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j

។ ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ D ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ដដលមាន អាបសីុ់សដសាើ 2 ។ សងប់នាទ ត់D ។ កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច P និង Q ដដលជាចំណុចត្បសពវរវាងបនាទ ត់D និងអាសីុមតូតរបស់ត្ាបC រចួបង្ហា ញថា Aជាចំណុចកណាត លននអងកត់[ , ]P Q ។

គ. gជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2

( )| | 2

xg x

x

។

កំណតសំ់ណំុចំណុចដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ gមាននយ័។ ដត្បៀបដធៀប ( )g x ដៅនឹង ( )g x ។ បញ្ញា កសំ់ណំុតនមៃនន x ដដល ( ) ( )f x g x ដ ើយសននិោា នត្ាប តាងអនុគមន៍ g ។ ចថមលើយ

- 44 -

ក. សិកាអដថរភាពនន f

ដគមាន 2

( )2

xf x

x

ដដនកំណត ់ \{ 2}D ទិសដៅអដថរភាព

2 2 2 2

2 2 2

2 ( 2) 2 4 4'( )

( 2) ( 2) ( 2)

x x x x x x x xf x

x x x

ដោយ 2( 2) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 4x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 4 0x x មានបញស 0, 4x x

x 4 2 0 '( )f x

តនមៃបរមា f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ ( 4) 8f f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ (0) 0f លីមតីចុងដដនកំណត ់

2

lim ( ) lim2x x

xf x

x

2

lim ( ) lim2x x

xf x

x

2

2 2lim ( ) lim

2x x

xf x

x

អាសីុមតូត

0 0

- 45 -

ដោយ2

lim ( )x

f x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f

បង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជាទត្មង់ 4( ) 2

2f x x

x

ដគបាន 2 24 ( 2)( 2) 4 4 4

22 2 2 2

x x x xx

x x x x

ដត 2

( )2

xf x

x


( ) 22

f x xx

ដូចដនុះ ( )f x អាចសរដសរជាទត្មង់ 4( ) 2

2f x x

x

។

បង្ហា ញថាត្ាបC តាងអនុគមន៍ f មានអាសីុមតូតដត្ទតមយួ។

ដោយ 4( ) 2

2f x x

x

ដ ើយ 4

lim 02x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។

សងត់្ាបC កនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j

។ តារាងតនមៃដលខ x 0 2 2y x 2 0 x 6 3 1 2 ( )y f x 9 9 1 1

- 46 -

ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 2x និងអាសីុមតូតដត្ទត 2y x ជបួគ្នន ត្តង ់ ចំណុច ( 2, 4)I ។ ដបើ ( 2, 4)I ជាផចិតឆៃុុះលុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង (2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ ( 4 ) ( ) 8f x f x

ដគបាន 2 2( 4 ) (16 8 )

( 4 )( 4 ) 2 2

x x xf x

x x

2 2(16 8 ) (16 8 )

( 4 ) ( )2 2 2

x x x xf x f x

x x x

8(2 )8 2

2

xb

x

(ដផទៀងផ្ទទ ត)់

ដូចដនុះ ចំណុច ( 2, 4)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។

x

2x

y

P

QA

2y x

3 1:

4 2D y x

: ( )C y f x

: ( )y g x

I

- 47 -

ខ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ D ដៅនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 2x គឺ : '(2)( 2) (2)D y f x f

ដោយ 12 3'(2)

16 4f និង

22(2) 1

2 2f

ដគបាន 3 3 1: ( 2) 1

4 4 2D y x x


4 2D y x ។

សងប់នាទ ត់D (មានដៅកនុងត្ាបខាងដលើ) កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច P និងQ

Pជាចំណុចត្បសពវរវាងអាសីុមតូតឈរ 2x និង 3 1:

4 2D y x

ដបើ 2x ដនាុះ 3 1 3 1( 2) 2

4 2 2 2y

ដូចដនុះ កូអរដោដនចំណុច P គឺ ( 2, 2)P ។

Qជាចំណុចត្បសពវរវាងអាសីុមតូត 2y x និង 3 1:

4 2D y x

សមាីរអាបសីុ់ស 3 12 4( 2) (3 2)

4 2x x x x

ឬ 4 8 3 2 6x x x នាឲំ្យ 6 2 4y ដូចដនុះ កូអរដោដនចំណុចQ គឺ (6,4)Q ។ បង្ហា ញថា Aជាចំណុចកណាត លននអងកត់[ , ]P Q ចំណុច Aមានអាបសីុ់ស 2x នាឲំ្យ (2) 1y f ដគបានកូអរដោដនចំណុច A គឺ (2,1)A

- 48 -

ដគមាន ( 2, 2)P និង (6,4)Q

ចំណុចកណាត លនន [ , ]P Q គឺ 2 6 2 4,

2 2

ឬ (2,1)

ដូចដនុះ ចំណុច Aជាចំណុចកណាត លននអងកត់ [ , ]P Q ។

គ. gជាអនុគមនកំ៍ណតដ់ោយ2

( )| | 2

xg x

x

កំណតសំ់ណំុចំណុចដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ gមាននយ័ អនុគមន៍ g មាននយ័ាលណា | | 2 0x ដត | | 0,x x ដនាុះ | | 2 0x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ g គឺ gD ។ ដត្បៀបដធៀប ( )g x ដៅនឹង ( )g x

2

2

2

, 0( ) 2

( )| | 2

, 02

xx

x xg x

x xx

x

2

2

2

, 0( ) 2

( )| | 2

, 02

xx

x xg x

x xx

x

ដូចដនុះ ( ) ( )g x g x ចំដ ុះត្គប់ x ។ បញ្ញា កសំ់ណំុតនមៃនន x ដដល ( ) ( )f x g x

ករណី 0x ដគបាន 2

( ) ( )2

xf x g x

x

- 49 -

ករណី 0x ដគបាន 2 2

2 2

x x

x x

ឬ 1 1

2 2x x

2 2 2 0 0x x x x មនិយកដត្ ុះ 0x ដូចដនុះ ( ) ( )f x g x ចំដ ុះត្គប់ 0x ។ សននិោា នត្ាប តាងអនុគមន៍ g ។ ដោយ ( ) ( )g x f x ចំដ ុះត្គប់ 0x នាឲំ្យត្ាប ត្តួតសីុគ្នន នឹងត្ាបC ចំដ ុះត្គប់ 0x ។ ដ ើយ g ជាអនុគមនគូ៍ ដត្ ុះ ( ) ( )g x g x នាឲំ្យត្ាបមានរាងជាបា៉ា រា៉ា បូល ដដលមាន 0x ជាអក័សឆៃុុះ ។ លំហាត់ 1.7

អនុគមន៍ f កំណតដ់លើ ] 3 , [ ដោយ2 2 6

( )3

x xf x

x

។

ក. គណនា '( )f x ដដល 'f ជាដដរដីវរបស់ f ។ ខ. រកលីមតី ( )f x ាលណា 3x និង x ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាព ។ ឃ. រកបីចំននួ ,a b និង c ដដលចំដ ុះត្គប់ 3x ដគបាន

( )3

cf x ax b

x

។

ង. កំណតរ់កអាសីុមតូតពីរននដខសដាងC ។ ច. គូសដខសដាងC និងអាសីុមតូតកនុងតត្មុយដតមយួ។ ចថមលើយ

ក. គណនា '( )f x

- 50 -

ដគមាន 2 2 6

( )3

x xf x

x

ចំដ ុះត្គប់ ] 3 , [x

2

2

( 2 2)( 3) ( 2 6)'( )

( 3)

x x x xf x

x

2 2 2

2 2 2

( 2 4 6) ( 2 6) 6 ( 6)

( 3) ( 3) ( 3)

x x x x x x x x

x x x


( 6)'( )

( 3)

x xf x

x

ចំដ ុះត្គប់ 3x ។

ខ. រកលីមតី ( )f x ាលណា 3x និង x

2 2 6

lim ( ) lim lim ( )3x x x

x xf x x

x

2

3 3

2 6 9 6 6lim ( ) lim

3 0x x

x xf x

x


lim ( ) , lim ( )x x

f x f x

គ. សងត់ារាងអដថរភាព

2

( 6)'( )

( 3)

x xf x

x

ដោយ 2( 3) 0x ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច ( 6)x x ។ ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 6) 0x x មានបញស 0 , 6 3x x (មនិយក) តនមៃអតិបរមា (0) 2f

- 51 -

x 3 0 '( )f x ( )f x 2

ឃ. រកបីចំននួ ,a b និង c ដដលចំដ ុះត្គប់ 3x

ដគបាន ( )3

cf x ax b

x

ដត2 2 6 9

( ) 53 3

x xf x x

x x

ដគទញបាន 1 , 5 , 9a b c ដូចដនុះ 1 , 5 , 9a b c ង. កំណតរ់កអាសីុមតូតពីរននដខសដាងC ដោយ

3

lim ( )x

f x



មយ៉ាងដទៀត 9( ) 5

3f x x

x

និង 9

lim 03x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 5y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ ច. គូសដខសដាងC និងអាសីុមតូតកនុងតត្មុយដតមយួ តារាងតនមៃដលខ x 0 1 y 5 4

រក ( ' )C x ox គឺ 20 , 2 6 0y x x មានបញស 1 7x

0

- 52 -



2

3 6 3( )

2

x xf x

x

និងមានត្ាបC ។

ក. រកអដថរភាពននអនុគមន។៍ ខ. គណនាលីមតីនន ( )f x ាលណា x និង x ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f និងត្ាបC ។ ឃ.គណនា ( ) 3f x និងកំណតស់ញ្ញា របស់វា។ ចថមលើយ

ក. រកអដថរភាពននអនុគមន ៍

ដគមាន2

2

3 6 3( )

2

x xf x

x

ដដនកំណត ់ ដោយ 2 0 ,x x ដនាុះ 2 2 0x ចំដ ុះត្គប់ x

x

y

5y x 3x

: ( )C y f x

- 53 -



2 2

(6 6)( 2) (2 )(3 6 3)'( )

( 2)

x x x x xf x

x

3 2 3 2

2 2

2[(3 6 3 6) (3 6 3 )]

( 2)

x x x x x x

x

2

2 2

2( 3 3 6)

( 2)

x x

x

ដោយ 2 2( 2) 0 ,x x ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 22( 3 3 6)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 23 3 6 0x x 3( 1)( 2) 0x x នាឲំ្យ 1 , 2x x

x 1 2 '( )f x

តនមៃបរមា f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1x គឺ ( 1) 0f f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 4.5f ខ. គណនាលីមតីនន ( )f x ាលណា x និង x

2

2

3 6 3lim ( ) lim 3

2x x

x xf x

x

2

2

3 6 3lim ( ) lim 3

2x x

x xf x

x

0 0

- 54 -


f x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3y អាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន ៍។ គ. សងត់ារាងអដថរភាព

x 1 2 '( )f x ( )f x 3 4.5

0 3 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f រក ( ' )C y oy គឺ 0x ដនាុះ 3/ 2 1.5y តារាងតនមៃដលខ x 4 2 1 2.5

y 1.5 0.5 4 4.4

ឃ. គណនា ( ) 3f x

2 2 2

2 2

3 6 3 (3 6 3) 3( 2)( ) 3 3

2 2

x x x x xf x

x x

x

y

: ( )C y f x

3y

0 0

- 55 -

2 2

2 2 2

3 6 3 3 6 6 6 6( 1)

2 2 2

x x x x x

x x x


6( 1)( ) 3

2

xf x

x

កំណតស់ញ្ញា របស់ ( ) 3f x ដោយ 2 2 0 ,x x ដនាុះ ( ) 3f x មានសញ្ញា ដូច 6( 1)x ដបើ ( ) 3 0f x នាឲំ្យ 6( 1) 0 1x x

x 1 ( ) 3f x

ដបើ 1x នាឲំ្យ ( ) 3 0f x ឬ ( ) 3f x ដបើ 1x នាឲំ្យ ( ) 3 0f x ឬ ( ) 3f x ដបើ 1x នាឲំ្យ ( ) 3 0f x ឬ ( ) 3f x លំហាត់ 1.9


2( )

4 3

ax bxf x

x x


ក. រកតនមៃដលខននដមគុណ a និង b ដោយដឹងថាអនុគមនម៍ានតនមៃអបប បរមាដសាើនឹង 4 ត្តង់ 2x ។ ខ. សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបននអនុគមន៍ f ចំដ ុះតនមៃ a និង b ដដលរកដឃើញ។ គ. រកកូអរដោដន និងសងត់្ាបននចំណុចត្បសពវរបស់បនាទ តប់៉ាុះដខសដាង C ត្តង់ 0x និង 4x ។

0

- 56 -

ចថមលើយ


2( )

4 3

ax bxf x

x x


ក. រកតនមៃដលខននដមគុណ a និង b


2 2

(2 )( 4 3) (2 4)( )'( )

( 4 3)

ax b x x x ax bxf x

x x

3 2 2

2 2

3 2 2

2 2

(2 8 6 4 3 )

( 4 3)

(2 2 4 4 )

( 4 3)

ax ax ax bx bx b

x x

ax bx ax bx

x x

2 2 2

2 2 2 2

4 6 3 ( 4 ) 6 3

( 4 3) ( 4 3)

ax bx ax b a b x ax b

x x x x

ដោយដឹងថាអនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដសាើនឹង 4 ត្តង់ 2x

ដគបាន 2

( 4 )4 12 30

'(2) 0 (4 8 3)

(2) 4 4 24

4 8 3

a b a b

f

f a b

4 0 4 0 1

4 2 4 2 2 4

a b a b a

a b a b b

ដូចដនុះ 1 , 4a b ខ. សិកាទិសដៅអដថរភាព និងសងត់្ាបននអនុគមន៍ f

ចំដ ុះ 1 , 4a b ដគបាន2

2

4( )

4 3

x xf x

x x

- 57 -

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2 4 3 0x x ដបើ 2 4 3 0x x មានបញស 1 , 3x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ \{1,3}D ។ ទិសដៅអដថរភាព


2 2 2 2

( 4 4) 6 3( 4) 6 12'( )

( 4 3) ( 4 3)

x x xf x

x x x x

2 2( 4 3) 0,x x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 6 12x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 6 12 0 2x x

x 1 2 3 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 4f លីមតីចុងដដនកំណត ់

2

2

4lim ( ) lim 1

4 3x x

x xf x

x x

2

2

4lim ( ) lim 1

4 3x x

x xf x

x x

2

21 1

4 1 4lim ( ) lim

04 3x x

x xf x

x x

2

23 3

4 9 12lim ( ) lim

04 3x x

x xf x

x x

0

- 58 -

រកអាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 1

xf x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ ដោយ

1lim ( )x

f x

និង3

lim ( )x

f x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x និង 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 1 2 3 '( )f x ( )f x 1

4

1

សងត់ារាងអដថរភាព

គ. រកកូអរដោដន និងសងត់្ាបននចំណុចត្បសពវរបស់បនាទ តប់៉ាុះដខសដាង C ត្តង់ 0x និង 4x

: ( )C y f x

2T1T

3x

1x

1y

x

y

0

- 59 -

បនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 1 : '(0)( 0) (0)T y f x f

ដោយ 4'(0) , (0) 0

3f f

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x គឺ 14

:3

T y x ។

បនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 2 : '(4)( 4) (4)T y f x f

ដោយ 4'(4) , (4) 0

3f f

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 4x គឺ 24

: ( 4)3

T y x ។

កូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាង 1 2,T T និងC គឺ (0,0) និង (4,0)។ លំហាត់ 1.10

ដគឲ្យអនុគមន៍ f ដដល2 1

( )mx

f xx

ដដលមានត្ាប mC ។

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m ។

ខ. កំណតត់នមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនកនុងចដនាៃ ុះ1

[ , )2

។

គ. ដតើមានចំណុចនឹងដដលសថិតដៅដលើត្ាប mC ចំដ ុះត្គប់m ឬដទ? ឃ.ដោយដត្បើត្ាប 1C កំណតត់នមៃ a ដដើមបឲី្យ 2 1 0x ax ចំដ ុះ ត្គប ់ 0x ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m

- 60 -

ចំដ ុះ 1m នាឲំ្យ 2 1

( )x

f xx

ដដនកំណត ់ {0}D ទិសដៅអដថរភាព


2 2 2

2 ( 1) 1 ( 1)( 1)'( )

x x x x x xf x

x x x

2 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច ( 1)( 1)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 1)( 1) 0 1 , 1x x x x

x 1 0 1

'( )f x

ចំណុចបរមា ចំដ ុះ 1x អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាដធៀប ( 1) 2f ចំដ ុះ 1x អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដធៀប (1) 2f គណនាលីមតី

2 21

lim ( ) lim lim lim ( )x x x x

x xf x x

x x

2 21

lim ( ) lim lim lim ( )x x x x

x xf x x

x x

2

0 0

1 0 1lim ( ) lim

0x x

xf x

x

អាសីុមតូត ដោយ

0lim ( )x

f x


0 0

- 61 -


2 1 1

( )x

f x xx x

និង 1

lim 0x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 1 0 1 '( )f x ( )f x 2

2

សងត់្ាបC

ផចិតឆៃុុះ :អាសីុមតូតឈរ 0x និងអាសីុមតូតដត្ទត y x ាតគ់្នន ត្តងចំ់ណុច (0,0)O ។

y x

x

y 2

11

:x

C yx

y a

0 0

- 62 -

ខ. កំណតត់នមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនកនុងចដនាៃ ុះ 1

[ , )2

2 2 2

2 2

2 1 1'( )

mx mx mxf x

x x

ដបើ 0m ដនាុះ '( ) 0f x នាឲំ្យ f ជាអនុគមនចុ៍ុះកនុង {0} ដបើ 0m ដនាុះ f មានតនមៃបរមា

2 1 0mx នាឲំ្យ 1 1,x x

m m

x 1/ m 1/ m '( )f x

ដដើមបឲី្យ f ដកើនកនុងចដនាៃ ុះ1

[ , )2

ាលណា 1 14

2m

m

ដូចដនុះ f ដកើនកនុងចដនាៃ ុះ1

[ , )2

ាលណា 4m ។

គ. ដតើមានចំណុចនឹងដដលសថិតដៅដលើត្ាប mC ចំដ ុះត្គប់m ឬដទ? តាង ( , )A AA x y ជាចំណុចដដលត្ាប mC ទងំអស់ាតត់ាម

ដគបាន 2 1A

AA

mxy

x

ចំដ ុះ m និង 0Ax

ឬ 2 1A A Ax y mx ឬ 2 1 0A A Amx x y

ដបើ mC ាតត់ាម ( , )A AA x y នាឲំ្យ2 0

1 0

A

A A

x

x y

គ្នា នបញស

ដូចដនុះ គ្នា នចំណុចនឹង ( , )A AA x y ណាដដលត្ាប mC ទងំអស់ាត ់ ដនាុះដទ។

0 0

- 63 -

ឃ. កំណតត់នមៃ a ដដើមបឲី្យ 2 1 0x ax ចំដ ុះត្គប ់ 0x

ដគមាន 2 21 0 1x ax x ax ឬ 2 1

, 0x

a xx

តាមត្ាប 1C ដគដឃើញថា2 1x

ax

ាលណា 2a


ដគឲ្យអនុគមន៍2 2

: ( )1

x xf f x

x

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC ននអនុគមន៍ f ។

ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ទញរកត្ាបរបស់អនុគមន ៍2 2

1

x xy

x

។

គ. ដោយដត្បើត្ាបC សិកាដៅតាមតនមៃm នូវចំននួបញសននសមាីរ 2 | | 2 (| | 1)x x m x ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC នន2 2

( )1

x xf x

x



2

(2 1)( 1) ( 2)'( )

( 1)

x x x xf x

x

2 2 2

2 2

(2 3 1) ( 2) 2 1

( 1) ( 1)

x x x x x x

x x

- 64 -

ដោយ 2( 1) 0 ,x x ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 2 1x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 1 0x x សមាីរមានបញស 1 2 , 1 2x x ។

x 1 2 1 1 2 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាដធៀបត្តង់ 1 2x

2(1 2) (1 2) 2

(1 2) 1 2 21 2 1

f

អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដធៀបត្តង់ 1 2x

2(1 2) (1 2) 2

(1 2) 1 2 21 2 1

f

គណនាលីមតី

2 2


x xf x x

x

2 2


x xf x x

x

2

1 1

2 1 1 2lim ( ) lim

1 0x x

x xf x

x


1lim ( )x

f x



0 0

- 65 -

មយ៉ាងដទៀត 2 2 2

( )1 1

x xf x x

x x

និង 2

lim 01x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 1 2 1 1 2 '( )f x ( )f x 1 2 2

1 2 2

រក ( )C oy

គឺ 0 , 2x y

ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ទញរកត្ាបរបស់អនុគមន ៍2 2

1

x xy

x

y x

y x

C

1C

1x

x

y

1 2

1 2 2

0 0

- 66 -

2 21 72 ( ) 0 ,

2 4x x x x

ដូដចនុះ 2 2

1

x x

x

មានសញ្ញា ដូច 1x

x 1 2 2

1

x x

x

ដបើ 1x 2 2

, 01

x x

x

ដនាុះ

2 22 2

1 1

x x x xy

x x

ដូចដនុះ ត្ាប2

12

:1

x xC y

x

ត្តួតសីុគ្នន នឹងត្ាបC ។

ដបើ 1x 2 2

, 01

x x

x

ដនាុះ

2 22 2

1 1

x x x xy

x x

ដូចដនុះ ត្ាប2

12

:1

x xC y

x

ឆៃុុះគ្នន នឹងត្ាបC ដធៀបនឹងអក័ស

អាបសីុ់ស ។ គ. ដោយដត្បើត្ាបC សិកាដៅតាមតនមៃm នូវចំននួបញសននសមាីរ

2 | | 2 (| | 1)x x m x ឬ 2 | | 2

| | 1

x xm

x

តាង 2 | | 2

( )| | 1

x xh x

x

មានត្ាប 2C និងបនាទ ត ់ y m

- 67 -

ដបើ 0x ដនាុះ 2 2

( ) ( )1

x xh x f x

x

ដូចដនុះ ត្ាប 2C ដូចនឹងត្ាបC ខាងដផនក 0x ។

ដបើ 0x ដនាុះ 2 2

( )1

x xh x

x

ដោយ2 2

( ) ( )1

x xh x f x

x

ដូចដនុះ ត្ាប 2C ឆៃុុះគ្នន នឹងត្ាបC ដធៀបនឹងអក័ស ( )oy

ខាងដផនក 0x

តាមត្ាបខាងដលើសមាីរ 2 | | 2 (| | 1)x x m x មានបញសៈ - មានបញសពីរគឺ 1 20x x ចំដ ុះ 2m - មានបញសមយួគឺ 0x ចំដ ុះ 2m - គ្នា នបញស ចំដ ុះ 2 1 2 2m - មានបញសពីបញសពីរគឺ (1 2)x ចំដ ុះ 1 2 2m

x

y

1 21 2

1 2 2

y m

- 68 -

- មានបញសបនួគឺ 1 2 3 40x x x x ចំដ ុះ 1 2 2m ។ លំហាត់ 1.12


2

4 3

4 3

x xy

x x

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ពិភាកាតាមតនមៃ k នូវចំននួបញសរបស់សមាីរ 2( 1) 4( 1) 3( 1) 0 (1)k x k x k រចួដត្បៀបដធៀបបញស របស់ (1) ដៅនឹងចំននួ 3 , 3 , 1 , 0 , 1 , 3 និង3 ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមន៍2

2

4 3

4 3

x xy

x x

ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 2 4 3 0x x ឬ 1 , 3x x ដូចដនុះ ដដនកំណតគឺ់ {1 , 3}D ។ ទិសដៅអដថរភាព

2 2

2 2

(2 4)( 4 3) (2 4)( 4 3)'( )

( 4 3)

x x x x x xf x

x x

3 2 3 2

2 2

(2 4 10 12) (2 4 16 12)

( 4 3)

x x x x x x

x x

- 69 -

2 2

2 2 2 2

8 24 8( 3)

( 4 3) ( 4 3)

x x

x x x x

ដោយ 2 2( 4 3) 0,x x x នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 28( 3)x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 28( 3) 0 3x x

x 3 1 3 3 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 3x គឺ ( 3) 4 3 7 0.07f អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 3x គឺ ( 3) 4 3 7 14f គណនាលីមតី

2

2

4 3lim ( ) lim 1

4 3x x

x xf x

x x

2

2

4 3lim ( ) lim 1

4 3x x

x xf x

x x

2

21 1

4 3 1 4 3lim ( ) lim

04 3x x

x xf x

x x

2

23 3

4 3 9 12 3lim ( ) lim

04 3x x

x xf x

x x

អាសីុមតូតដដក និងអាសីុមតូតឈរ

0 0

- 70 -


f x

ដនាុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC តាងអនុគមន។៍ ដោយ

1lim ( )x

f x

និង3

lim ( )x

f x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x និង 3x ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 3 1 3 3 '( )f x ( )f x 1

4 3 7 4 3 7

1

សងត់្ាបC

រក ( ) : 0C ox y

ដនាុះ 2 4 3 0x x ឬ 1 , 3x x

រក ( ) : 0C oy x

ដនាុះ 1y ខ. ដោយដត្បើត្ាប ពិភាកាតាមតនមៃ នូវចំននួបញសរបស់សមាីរ រចួដត្បៀបដធៀបបញស របស់ ដៅនឹងចំននួ និង

ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាប និងបនាទ ត់

C k

2( 1) 4( 1) 3( 1) 0 (1)k x k x k

(1) 3 , 3 , 1 , 0 , 1 , 3 3

2( 1) 4( 1) 3( 1) 0k x k x k

2 2( 4 3) ( 4 3) 0k x x x x

2

2

4 3

4 3

x xk

x x

C y k

0 0

- 71 -

តាមត្ាបC ដគបានៈ - ដបើ 4 3 7k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 21 3x x - ដបើ 4 3 7k សមាីរមានបញសមយួគឺ 3x - ដបើ 4 3 7 4 3 7k សមាីរគ្នា នបញស - ដបើ 4 3 7k សមាីរមានបញសមយួគឺ 3x - ដបើ 4 3 7 0k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 23 1x x - ដបើ 0y សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 23 , 1x x - ដបើ 0 1k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 23 1 0x x - ដបើ 1k សមាីរមានបញសមយួគឺ 0x - ដបើ 1k សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 20 1 3x x ។

x

y

C

3x

1x

1y

y k

- 72 -


ដគឲ្យអនុគមន ៍2 3 2 1

2

mx mx my

x

។

ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតាតត់ាមចំណុចនឹងមយួចំដ ុះត្គប ់ បា៉ា រា៉ា ដម៉ាត m ដដលត្តូវកំណតកូ់អរដោដន។ ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យបនាទ ត ់ y m ប៉ាុះនឹងត្ាប។ គ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m ។ ចថមលើយ

ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតាតត់ាមចំណុចនឹងមយួចំដ ុះត្គប ់ បា៉ា រា៉ា ដម៉ាត m ដដលត្តូវកំណតកូ់អរដោដន

ដគមាន 2 3 2 1 1

2 2

mx mx my mx m

x x

និង

1lim 0

2x x

នាឲំ្យបនាទ ត់ y mx m ជាអាសីុមតូតដត្ទត

សរដសរជាទត្មងស់មាីរៈ ( 1) 0m x y

ដបើបនាទ ត់ ( 2) 0m x y ាតត់ាមចំណុចនឹង 1 0

0

x

y

ដគបាន 1

0

x

y

ដូដចនុះ ចំណុចនឹងមានកូអរដោដន ( 1 , 0) ។

ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យបនាទ ត ់ y m ប៉ាុះនឹងត្ាប

ចំដ ុះ 0m ដនាុះ 1( )

2f x

x

និង 0y ដគបាន 1

02x

សមាីរគ្នា នបញស ដូដចនុះដដើមបឲី្យត្ាបាតប់នាទ តលុ់ុះត្តាដត 0m

- 73 -

ដបើ y m ប៉ាុះត្ាបាលណា2 3 2 1

2

mx mx mm

x

មានបញសឌុប

2 3 2 1 ( 2)mx mx m m x ចំដ ុះ 2x 2 2 1 0mx mx ដគបាន 2' m m ដដើមបឲី្យសមាីរមានបញសឌុបលុុះត្តាដត ' 0 ឬ 2 0m m ឬ ( 1) 0m m នាឲំ្យ 1m ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យបនាទ ត ់ y m ប៉ាុះនឹងត្ាបលុុះត្តាដត 1m ។ គ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ចំដ ុះ 1m

ចំដ ុះ 1m ដគបាន2 3 1

( )2

x xf x

x

ដដនកំណត ់ { 2}D ទិសដៅអដថរភាព

2

2

( 2 3)( 2) ( 3 1)'( )

( 2)

x x x xf x

x

2 2 2

2 2

( 2 7 6) ( 3 1) 4 5

( 2) ( 2)

x x x x x x

x x

2( 2) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 4 5x x ដត 2 24 5 [( 2) 1] 0 ,x x x x ដូចដនុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x D ។ គណនាលីមតី

2 3 1


x xf x x

x

- 74 -

2 3 1


x xf x x

x

2

2 2

3 1 4 6 1lim ( ) lim

2 0x x

x xf x

x


2lim ( )

xf x

ដូដចនុះបនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប

ដគមាន 1( ) 1

2f x x

x

និង 1

lim 02x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 2 '( )f x ( )f x


រកC oy

គឺ 10 ,

2x y

រកC ox

គឺ 20 , 3 1 0y x x ឬ 3 3

2x

- 75 -

ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 2x ជបួនឹងអាសីុមតូតដត្ទត 1y x ត្តងចំ់ណុច I ដដលមានកូអរដោដន ( 2 , 1) ដូចដនុះ ចំណុច ( 2 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ លំហាត់ 1.14

ដគឲ្យអនុគមន៍2 2( 1) 2

1

x m xy

x

។

ក. ចំដ ុះ 0m សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC របស់អនុគមនខ៍ាង ដលើ រកតនមៃរបស់ a ដដើមបឲី្យត្ាបC ប៉ាុះនឹងបនាទ ត ់ :p y x a ។ ខ. រកតនមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនដលើចដនាៃ ុះ [0 , ) ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមន៍2 2 2

1

x xy

x

ដដនកំណត ់ { 1}D

x

y2x

: ( )C y f x

1y x

I

- 76 -


2

2

(2 2)( 1) ( 2 2)'( )

( 1)

x x x xf x

x

2 2 2

2 2

(2 4 2) ( 2 2) 2

( 1) ( 1)

x x x x x x

x x

ចំដ ុះត្គប់ x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 2x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 0x x មាននញស 2 , 0x x សញ្ញា នន '( )f x

x 2 1 0 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ ( 2) 2f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ ( 2) 2f គណនាលីមតី

2 2 2


x xf x x

x

2 2 2


x xf x x

x

2

1 1

2 2 1 2 2lim ( ) lim

1 0x x

x xf x

x


1lim ( )

xf x


00

- 77 -

ដោយ2 2 2 1

( ) 11 1

x xf x x

x x

និង 1

lim 01x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 2 1 0 '( )f x ( )f x 2

2


ផចិតឆៃុុះ អាសីុមតូតឈរ 1x និងអាសីុមតូតដត្ទត 1y x ជបួគ្នន ត្តង ់ ចំណុច I ដដលមានកូអរដោដន ( 1 , 0) ដូចដនុះ ចំណុច ( 1 , 0)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC តាងអនុគមន។៍

x

y

C

1y x

1x

I

00

- 78 -

រកតនមៃរបស់ a ដដើមបឲី្យត្ាបC ប៉ាុះនឹងបនាទ ត ់ :p y x a ដបើបនាទ ត់ :p y x a ប៉ាុះនឹងត្ាបC លុុះត្តាដត

2 2 2

1

x xx a

x

មានបញសឌុប

ដគបាន 2 2 2 ( 1)( )x x x x a ចំដ ុះត្គប់ 1x 2 22 2 ( 1)x x x a x a ឬ 22 (3 ) 2 0x a x a 2 2(3 ) 4 2 (2 ) 9 6 16 8a a a a a 2 2 7a a ដដើមបឲី្យសមាីរមានបញសឌុបាលណា 0 ឬ 2 2 7 0a a មានបញស 1 2 2 , 1 2 2a a ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យបនាទ ត់ p ប៉ាុះនឹងត្ាបC តាងអនុគមនលុ៍ុះត្តាដត 1 2 2 , 1 2 2a a ។ ខ. រកតនមៃm ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនដលើចដនាៃ ុះ [0 , )

អនុគមន៍2 2( 1) 2

1

x m xy

x


2

(2 2 2)( 1) ( 2 2 2)'

( 1)

x m x x mx xy

x

2 2

2

(2 4 2 2 2) ( 2 2 2)

( 1)

x x mx m x mx x

x

2

2

2 2

( 1)

x x m

x

ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 2 2 2 0x x m ដ ើយ ' 1 2m

- 79 -

- ដបើ ' 0 ដនាុះ 1

2m នាឲំ្យ ' 0y នាឲំ្យអនុគមនដ៍កើនជានិចច។

- ដបើ ' 0 ដនាុះ 1

2m សមាីរមានបញសពីរ 1 1 2x m

x 1 1 2m 1 1 2m 'y

ដដើមបឲី្យអនុគមនដ៍កើនដលើ [0 , ) ត្តូវឲ្យ 1 1 2 0m ឬ 1 2 1 1 2 1m m នាឲំ្យ 2 0m ឬ 0m ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យអនុគមន៍ y ដកើនដលើ [0 , ) លុុះត្តាដត 0m ។ លំហាត់ 1.15

ដគឲ្យ mC ជាត្ាបតាងអនុគមន៍2

4( ) 1

( )f x x

x m

។

ក. ដតើមានត្ាប mC ចំននួប៉ាុនាា ន ដដលាតត់ាមចំណុច (1 , 3)A ។ ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ាបនាទ តប់៉ាុះត្ាប mC ត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់ស

2x m ត្សបនឹងអក័ស ox

។ ចថមលើយ

ក. រកចំននួត្ាប mC ដដលាតត់ាមចំណុច (1 , 3)A

យកចំណុច (1 , 3)A ជំនសួកនុង 2

41

( )y x

x m

ដគបាន

2 2

4 43 1 1 1

(1 ) (1 )m m

2(1 ) 4m ចំដ ុះត្គប ់ 1m

00

- 80 -

(1 ) 2m នាឲំ្យ 1 2 3

1 2 1

m

m

ដូចដនុះ មានត្ាបចំននួ 2 ដដលាតត់ាមចំណុច (1 , 3)A គឺ

- ចំដ ុះ 3m ដនាុះ 2

41

( 3)y x

x

- ចំដ ុះ 1m ដនាុះ 2

41

( 1)y x

x

ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ាបនាទ តប់៉ាុះត្ាប mC ត្តងចំ់ណុចមានអាបសីុ់ស

2x m ត្សបនឹងអក័ស ox

ដគមាន2

4( ) 1

( )f x x

x m

ដនាុះដដរដីវ

3

8'( ) 1

( )f x

x m

ដបើបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាប mC ត្តងចំ់ណុច 2x m ត្សបនឹងអក័ស ox

លុុះត្តាដត '(2 ) 0f m

ដគមាន 3 3

8 8'(2 ) 1 1 1 1 0

(2 ) 2f m

m m

ដូចដនុះ បនាទ តប់៉ាុះត្ាប mC ត្តង់ 2x m ត្សបនឹងអក័ស ox

។ លំហាត់ 1.16

ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ2

2

2 5 1( )

( 1)

x xf x

x

។

- 81 -

ក. បង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជារាង2

( )1 ( 1)

b cf x a

x x

ដដល ,a b និង cជាចំននួពិតត្តូវកំណត។់

ខ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមនក៍នុងតត្មុយ ( , , )o i j

គ. កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច A ដដើមបឲី្យបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តង់ A

មានវុចិទរ័ត្បាបទិ់ស 3i j

។ គណនាកូអរដោដនននចំណុច B ដដល ជាចំណុចត្បសពវរវាងសមាីរបនាទ តប់៉ាុះនិងត្ាបC ដផសងពីចំណុច A ។ ចថមលើយ

ក. បង្ហា ញថា ( )f x អាចសរដសរជារាង2

( )1 ( 1)

b cf x a

x x

ដគបាន2

2

( 1) ( 1)( )

( 1)

a x b x cf x

x

2

2

(2 ) ( )

( 1)

ax a b x a b c

x

ដត 2

2

2 5 1( )

( 1)

x xf x

x

នាឲំ្យ

2 2

2 5 1

1 2

a a

a b b

a b c c


1 2( ) 2

1 ( 1)f x

x x

។

ខ. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបC តាងអនុគមនក៍នុងតត្មុយ ( , , )o i j

ដដនកំណត ់ { 1}D

- 82 -



2 3 4

1 4 ( 1) 4( 1)'( )

( 1) ( 1) ( 1)

x xf x

x x x

2 2

4 4

2 1 4 4 2 3

( 1) ( 1)

x x x x x

x x

'( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 2 3x x ដត្ ុះ 4( 1) 0,x x D ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2 2 3 0x x មានបញស 1 , 3x x

x 1 3 '( )f x

ចំណុចបរមា

អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 3x គឺ 17(3)

8f


2

1 2lim ( ) lim 2 2 0 0 2

1 ( 1)x xf x

x x

2

1 2lim ( ) lim 2 2 0 0 2

1 ( 1)x xf x

x x

2

21 1

2 5 1 2 5 1lim ( ) lim

( 1) 0x x

x xf x

x


1lim ( )

xf x

នាឲំ្យ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC

0

- 83 -


f x

នាឲំ្យ 2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC

តារាងអដថរភាព x 1 3 '( )f x ( )f x 2

17 /8 2


គ. កំណតកូ់អរដោដនននចំណុច A តាង ( , )o oA x y ជាកូអរដោដនននចំណុច A

ដដើមបឲី្យបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តង់ Aមានវុចិទរ័ត្បាបទិ់ស 3i j

លុុះត្តាដត '( ) 3of x នាឲំ្យ 3

33

( 1)

o

o

x

x

ដគបាន 0ox

C

3 1y x

2y

1x

A

B

x

y

0

- 84 -

នាឲំ្យ ( ) 1o oy f x ដគបាន (0 , 1)A ដ ើយសមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ A គឺ 3 1y x ដូចដនុះ ចំណុច (0 , 1)A និងបនាទ តប់៉ាុះ 3 1y x ។ គណនាកូអរដោដនននចំណុច B


2

2 5 13 1

( 1)

x xx

x

2 2 22 5 1 ( 1) (3 1) ( 2 1)(3 1)x x x x x x x 2 3 2 22 5 1 3 6 2 3 1x x x x x x x 3 2 2 5

3 5 0 (3 5) 0 0 ,3

x x x x x x

ចំដ ុះ 5

3x នាឲំ្យ 4y

ដូចដនុះ កូអរដោដនននចំណុច B គឺ 5, 4

3B

។


អនុគមន៍2

2

2 13:

2

x xf x

x x

មានត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j

ក. បញ្ញា កនូ់វត្គបត់នមៃ x ដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ f អាចកំណតប់ាន។ ខ. បង្ហា ញថាចំដ ុះត្គបចំ់ននួពិត x ខុសពី 1 និង 2 ដគបាន

1 4( ) 2

2 1f x

x x

។

គ. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ត្គបច់ដនាៃ ុះដដលកំណត។់ ឃ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវត្ាបC ជាមយួអក័ស រចួត្ាបC

- 85 -

ជាមយួបនាទ ត់ 2y ។ ង. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ដដលមានអាប ់ សីុសដសាើ 3 ។ ច. សងត់្ាបC បនាទ ត់ 2 , 2 , 1y x x និងបនាទ តប់៉ាុះត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ។ ចថមលើយ

ក. បញ្ញា កនូ់វត្គបត់នមៃ x ដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ f អាចកំណតប់ាន អនុគមន៍ f អាចកំណតប់ានលុុះត្តាដត 2 2 0x x ដបើ 2 2 0x x មានបញស 1 , 2x x ដូចដនុះ អនុគមន៍ f អាចកំណតប់ានចំដ ុះ 1 , 2x x ។

ខ. បង្ហា ញថា 1 4( ) 2

2 1f x

x x

ចំដ ុះត្គប់ { 1,2}x

ដគមាន 1 4 2( 2)( 1) ( 1) 4( 2)2

2 1 ( 1)( 2)

x x x x

x x x x

2 2

2 2

(2 2 4) ( 1) (4 8) 2 13( )

2 2

x x x x x xf x

x x x x

ដូចដនុះ 1 4( ) 2

2 1f x

x x

ចំដ ុះត្គប់ { 1,2}x ។

គ. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដដនកំណត ់ { 1 , 2}D ទិសដៅអដថរភាព

- 86 -


2 2 2 2

1 4 ( 1) 4( 2)'( )

( 2) ( 1) ( 2) ( 1)

x xf x

x x x x

2 2 2

2 2 2 2

( 2 1) (4 16 16) 3 18 15

( 2) ( 2)

x x x x x x

x x x x

'( )f x មានសញ្ញា ដូច 23 18 15x x ដត្ ុះ 2 2( 2) 0x x ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 23 18 15 0x x ឬ 3( 1)( 5) 0 1 , 5x x x x

x 1 1 2 5 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាដធៀបត្តង់ 1x គឺ (1) 5f

អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាដធៀបត្តង់ 5x គឺ 7(5)

3f


1 4lim ( ) lim 2 2 0 0 2

2 1x xf x

x x

1 4lim ( ) lim 2 2 0 0 2

2 1x xf x

x x

2

21 1

2 13 2 1 13lim ( ) lim

02x x

x xf x

x x

2

22 2

2 13 8 2 13lim ( ) lim

02x x

x xf x

x x


00

- 87 -

lim ( ) 2x

f x

ដ តុដនុះ 2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។

1

lim ( )x

f x

និង2

lim ( )x

f x


x 1 1 2 5 '( )f x ( )f x 2

5

7 / 3 2

ឃ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវត្ាបC ជាមយួអក័ស

ត្ាប ( ' )C x x គឺ 1 1050 ,

4y x

ដូចដនុះ ត្ាបC ត្បសពវអក័សអាបសីុ់សត្តងពី់រចំណុចគឺ

1 105,0

4

និង 1 105,0

4

។

ត្ាប ( ' )C y y គឺ 0 , 13/ 2x y ដូចដនុះ ត្ាបC ត្បសពវអក័សអរដោដនត្តង់ (0 , 13/ 2) ។ គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវត្ាបC ជាមយួបនាទ ត់ 2y


2

2 132

2

x x

x x

2 22 13 2 2 4x x x x ឬ 3 9 3x x ដូចដនុះ ត្ាបC ត្បសពវជាមយួបនាទ ត់ 2y ត្តង់ (3 , 2) ។

00

- 88 -

ង. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A

ដគមាន 2

2 2

3 18 15'( )

( 2)

x xf x

x x

ដគបាន 2

2 2

3(3) 18(3) 15 3'(3)

4(3 3 2)f

និង (3) 2f

សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ : '(3)( 3) (3)T y f x f ឬ 3 1

4 4y x


4 4T y x ។

ច. សងត់្ាបC បនាទ ត់ 2 , 2 , 1y x x និងបនាទ តប់៉ាុះT


អនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ2

2 2( )

2 3

xf x

x x

ដ ើយC ជាត្ាបតាង

អនុគមន៍ f ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j

។

3 1:

4 4T y x

C

2y

2x 1x

x

y

- 89 -

ក. ដតើមានតនមៃ xណាខៃុះដដលដធវើឲ្យ f មនិអាចគណនាបាន។ ខ. សិកាអដថរភាពនន f ត្គបច់ដនាៃ ុះដដលដធវើឲ្យ f មាននយ័។ គ. ).a គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវ I រវាងត្ាបC ជាមយួអក័ស អាបសីុ់ស ។ ).b បង្ហា ញថា I ជាផចិតឆៃុុះរបស់ត្ាបC ។ ).c ឲ្យសមាីរបនាទ តប់៉ាុះ d ដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច I ។

ឃ. គូសត្ាបC និងបនាទ ត់ d ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j

។ ង. សិកាសញ្ញា បញសរបស់សមាីរ 2 2( 1) (3 2) 0mx m x m កនុងករណីៈ ).a 1m ).b 1 2m ).c 0m ).d 2 1m ចថមលើយ

ក. រកត្គបត់នមៃ x ដដលដធវើឲ្យអនុគមន៍ f មនិអាចគណនាបាន អនុគមន៍ f មនិអាចគណនាបានលុុះត្តាដត 2 2 3 0x x មានបញស 1 , 3x x ដូចដនុះ f មនិអាចគណនាបានលុុះត្តាដត { 3 , 1}x ។ ខ. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ ដដនកំណត ់ { 3 , 1}D ទិសដៅអដថរភាព


2 2

2( 2 3) (2 2)(2 2)'( )

( 2 3)

x x x xf x

x x

f

- 90 -

2 2 2

2 2 2 2

(2 4 6) (4 8 4) 2 4 10

( 2 3) ( 2 3)

x x x x x x

x x x x

ដោយ 2 2( 2 3) 0 ,x x x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូច 22 4 10x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 22 4 10 0x x 2' ( 2) ( 2)( 10) 4 20 16 0 គ្នា នបញស ដនាុះ 22 4 10 0 ,x x x D នាឲំ្យ '( ) 0f x ត្គប់ x D គណនាលីមតី

2

2

2

2 2

2 2lim ( ) lim lim 0

2 32 3 1x x x

x x xf xx x

x x

23 3

2 2 6 2lim ( ) lim

02 3x x

xf x

x x

21 1

2 2 2 2lim ( ) lim

02 3x x

xf x

x x

រកអាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 0

xf x

ដ តុដនុះ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប

ដូចដនុះ បនាទ ត់ ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប ។ ដោយ

3lim ( )

xf x

និង

1lim ( )x

f x


0y C

- 91 -

x 3 1 '( )f x ( )f x 0

0

គ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវ

ត្ាប ជាមយួអក័សអាបសីុ់សគឺ 2

2 20 , 0

2 3

xy

x x

នាឲំ្យ 2 2 0 1x x ដូចដនុះ ចំណុច I មានកូអរដោដន ( 1 , 0) ។ បង្ហា ញថា ជាផចិតឆៃុុះរបស់ត្ាប

ដបើ ( 1 , 0)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង ( ) ( ) 2f a x f a x b ឬ ( 1 ) ( 1 ) 0f x f x

ដគបាន2

2( 1 ) 2( 1 )

( 1 ) 2( 1 ) 3

xf x

x x

2 2

2 2 2 2

1 2 2 2 3 4

x x

x x x x

2

2( 1 ) 2( 1 )

( 1 ) 2( 1 ) 3

xf x

x x

2 2

2 2 2 2

1 2 2 2 3 4

x x

x x x x

នាឲំ្យ2 2

2 2( 1 ) ( 1 ) 0

4 4

x xf x f x

x x

(ពិត)

ដូចដនុះ ចំណុច ( 1 , 0)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។

).a I

C

).b I C

- 92 -

ឲ្យសមាីរបនាទ តប់៉ាុះ ដៅនឹងត្ាប ត្តងចំ់ណុច

2

2 2 2

2( 1) 4( 1) 10 2 4 10 1'( 1)

2[( 1) 2( 1) 3] (1 2 3)f

សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ : '( 1)( 1) ( 1)d y f x f

1 1: ( 1) 0 ( 1)

2 2d y x x

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 1: ( 1)

2d y x

ឃ. គូសត្ាប និងបនាទ ត់ ដៅកនុងតត្មុយ

ង. សិកាសញ្ញា បញសរបស់សមាីរ 2 2( 1) (3 2) 0mx m x m 2 2 2 3 2 0mx mx x m 2( 2 3) 2 2m x x x

).c d C I

C d ( , , )o i j

d2

2 2: ( )

2 3

xC f x

x x

3x

1x

I

x

y

y m

- 93 -

2

2 2

2 3

xm

x x

ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ តច់ល័ត y m ).a ករណី 1m

ដគបាន 2

2 21

2 3

x

x x

នាឲំ្យ 22 2 2 3x x x

ឬ 2 5 0x មានបញស 1 5 , 5x x ដូចដនុះ 1 25 0 5x x ។

).b ករណី 1 2m

- ចំដ ុះ 21

3m

តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x

- ចំដ ុះ 20

3m

តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 2 0x x - ចំដ ុះ 0 2m តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x

).c ករណី 0m សមាីរមានបញសមយួ 1 0x

).d ករណី 2 1m តាមត្ាបC សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x ។ លំហាត់ 1.19 ដគមាន a និង bជាចំននួពិត ដ ើយ f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ {3}

- 94 -

ដោយ 1( )

3f x ax b

x

។

ក. ដោយដឹងថា (2) 1f និង '(2) 0f បង្ហា ញថា 1a និង 2b ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 2y x ជាអាសីុមតូតននC ដដលជាត្ាបតាងអនុគមន៍ f ។ គ. សិកាអដថរភាពនន f ។ ឃ. បង្ហា ញថាចំណុចត្បសពវរបស់អាសីុមតូតននត្ាបC ជាផចិតឆៃុុះនន ត្ាបC ។ ង. សងត់្ាបC ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ។ ចថមលើយ

ក. បង្ហា ញថា 1a និង 2b

ដគមាន 1( )

3f x ax b

x


1'( )

(3 )f x a

x

ដោយដឹងថា (2) 1 2 1 1 1

'(2) 0 1 0 2

f a b a

f a b

ដូចដនុះ តនមៃ 1a និង 2b ។ ខ. បង្ហា ញថាបនាទ តដ់ដលមានសមាីរ 2y x ជាអាសីុមតូតននC

ដោយ 1( ) 2

3f x x

x

និង 1

lim 03x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ គ. សិកាអដថរភាពនន f

- 95 -



2 2 2

1 (3 ) 1 8 6'( ) 1

(3 ) (3 ) (3 )

x x xf x

x x x

ចំដ ុះត្គប់ ,x D '( )f x មានសញ្ញា ដូច 28 6x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 28 6 0x x មានបញស 4 , 2x x

x 2 3 4 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 1f អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ (4) 3f គណនាលីមតី

1lim ( ) lim 2 2 0

3x xf x x

x

1lim ( ) lim 2 2 0

3x xf x x

x

3 3

1 1lim ( ) lim 2 3 2

3 0x xf x x

x

អាសីុមតូតឈរ ដោយ

3lim ( )x

f x

ដនាុះ 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

00

- 96 -

x 2 3 4 '( )f x ( )f x

1 3

ឃ. បង្ហា ញថាចំណុចត្បសពវរបស់អាសីុមតូតននត្ាបC ជាផចិតឆៃុុះននC អាសីុមតូតឈរ 3x ជបួជាមយួអាសីុមតូតដត្ទត 2y x ត្តង ់ ចំណុច (3 , 1)I ដបើ (3 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC លុុះត្តាដតដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង (2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ (6 ) ( ) 2f x f x

ដគបាន 1 1(6 ) (6 ) 2 4

3 (6 ) 3f x x x

x x

នាឲំ្យ 1 1(6 ) ( ) 4 2

3 3f x f x x x

x x

ឬ 1 1(6 ) ( ) 2 2

3 3f x f x

x x

(ពិត)

ដូចដនុះ ចំណុច (3 , 1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។ ង. សងត់្ាបC ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ រក ( )C yý គឺ 0 , 7 /3x y តារាងតនមៃដលខ

x 0 1 2y x 2 1

តារាងតនមៃដលខជំនយួ

00

- 97 -

x 1 2.5 3.5 5 ( )y f x 1.5 1.5 3.5 3.5


f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ {0,2} ដោយ 2( 3)

( )( 2)

xf x

x x

។

ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f សថិតកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j

(យកឯកតា1cm ដៅដលើតត្មុយ) ។ ក. បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុមតូតចំននួបី ដដលត្តូវកំណតស់មាីរ ។ ខ. បញ្ញា កទី់តាងំននត្ាបC ដធៀបនឹងបនាទ ត់ 1y ។

គ. សិកាអដថរភាពនន f និងគូសត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j

។

x

y

2y x

3x

I

C

- 98 -

ចថមលើយ

f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ {0,2} ដោយ 2( 3)

( )( 2)

xf x

x x

ក. បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុមតូតចំននួបី ដដលត្តូវកំណតស់មាីរ

2

0 0

( 3) 9lim ( ) lim

( 2) 0x x

xf x

x x

2

2 2

( 3) 1lim ( ) lim

( 2) 0x x

xf x

x x

22

2

2

31

( 3)lim ( ) lim lim 1

2( 2)1

x x x

xx x

f xx x

xx

ដោយ0

lim ( )x

f x

និង2

lim ( )x

f x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x និង 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ ដោយ lim ( ) 1

xf x

ដ តុដនុះ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC

ខ. បញ្ញា កទី់តាងំននត្ាបC ដធៀបនឹងបនាទ ត់ 1y

ដគមាន2( 3)

( )( 2)

xf x

x x

និង 1y

ផលសង 2 2 2( 3) 6 9 2

( ) 1( 2) ( 2)

x x x x xf x y

x x x x

ឬ 4 9( )

( 2)

xf x y

x x

- 99 -

ដបើ ( ) 0f x y សមមូល 4 90

( 2)

x

x x

x 0 2 9 / 4 4 9x ( 2)x x ( )f x y

ចំដ ុះ 0x ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 0 2x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 2 9/ 4x ត្ាបC ដៅខាងដលើបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 9/ 4x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមបនាទ ត់ 1y ។ ចំដ ុះ 9/ 4x ត្ាបC ជបួនឹងបនាទ ត់ 1y ត្តង់ (9 / 4 , 1) ។

គ. សិកាអដថរភាពនន f និងគូសត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j

ដដនកំណត់ {0,2} ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ2

2

2( 3) ( 2) (2 2)( 3)'( )

[ ( 2)]

x x x x xf x

x x

2 2

2 2

2( 3)( 2 4 3) 2( 3)(2 3)

[ ( 2)] [ ( 2)]

x x x x x x x

x x x x

ត្គប់ ,x D '( )f x មានសញ្ញា ដូច 2( 3)(2 3)x x ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2( 3)(2 3) 0x x សមាីរមានបញស 3 , 3/ 2x x

0

0 0

0

- 100 -

សញ្ញា នន '( )f x x 0 3/ 2 2 3 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមន៍ f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 3/ 2x គឺ (3/ 2) 3f អនុគមន៍ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 3x គឺ (3) 0f តារាងអដថរភាព

x 0 3/ 2 2 3 '( )f x ( )f x

1 3

1 0

គូសត្ាបC តាងអនុគមន៍ f

C1y

2x

x

y

0 0

0 0

- 101 -


f ជាអនុគមនកំ៍ណតដ់លើ ដោយ2

2( )

3 ( 1)

xf x

x

។

ក. គណនាដដរដីវ 'f ននអនុគមន៍ f រចួបង្ហា ញថាត្គបចំ់ននួពិត ,x '( )f x មានសញ្ញា តាម 24 x ។ ខ. សិកាអដថរភាពនន f ។ គ. គណនា ( 2), ( 1), (0)f f f និង (2)f ។ ឃ. ត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់(ឯកតា3cm ) សងប់នាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុចដដលមានអាបសីុ់ស 1x ។ គូសត្ាបC ។ ចថមលើយ

ក. គណនាដដរដីវ 'f ននអនុគមន៍ f

ដគមាន 2

2( )

3 ( 1)

xf x

x


2 2

2[3 ( 1) ] 2( 1)(2 )'( )

[3 ( 1) ]

x x xf x

x

2 2 2

2 2 2 2

6 2 4 2 4 4 2(4 )

[3 ( 1) ] [3 ( 1) ]

x x x x x

x x

ដូចដនុះ ដដរដីវននអនុគមន៍ f គឺ2

2 2

2(4 )'( )

[3 ( 1) ]

xf x

x

។

បង្ហា ញថាត្គបចំ់ននួពិត ,x '( )f x មានសញ្ញា តាម 24 x

- 102 -


2

2 2 2 2

2(4 ) 2'( ) (4 )

[3 ( 1) ] [3 ( 1) ]

xf x x

x x

ដោយ 2 2

20

[3 ( 1) ]x

ចំដ ុះត្គប់ x

ដ តុដនុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 24 x ។ ខ. សិកាអដថរភាពនន f ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព


2 2

2(4 )'( )

[3 ( 1) ]

xf x

x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 24 0 2 , 2x x x x 2 2 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x ដ ើយមានតនមៃអតិបរមាត្តង ់ 2x ។ គណនាលីមតី

2

2lim ( ) lim 0

3 ( 1)x x

xf x

x

2

2lim ( ) lim 0

3 ( 1)x x

xf x

x

អាសីុមតូតដដក

00

- 103 -


f x


ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។ តារាងអដថរភាព

x 2 2 '( )f x ( )f x 0 (2)f

( 2)f 0 គ. គណនា ( 2), ( 1), (0)f f f និង (2)f

2

2( 2) 4( 2) 1

43 ( 2 1)f

2

2( 1) 2( 1)

33 ( 1 1)f

2

2(0) 0(0) 0

43 (0 1)f

2

2 2 4 1(2)

12 33 (2 1)f

ឃ. រកសមាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 1x មានរាង '(1)( 1) (1)y f x f

ដោយ 2

2 2

2(4 1 ) 6'(1)

49[3 (1 1) ]f

និង 2

(1)7

f

ដូចដនុះ 6 2 1( 1) (6 8)

49 7 49y x x

00

- 104 -

សងប់នាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC និងគូសត្ាបC x 0 1

1(6 8)

49y x 0.16 0.28


១. ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់លើ ដោយ2

2( )

2 2

x ax bf x

x x

។

គណនាតនមៃ a និង b ដោយដឹងថាត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ាតត់ាម ចំណុច (2,0)A ដ ើយត្តងអ់ាបសីុ់សដសាើ1មានបនាទ តប់៉ាុះមយួដដល មានសមាីរ 2y x ។

២. អនុគមន ៍ f កំណតដ់ោយ2

2

( 2)( )

2 2

xf x

x x

។

ក. សិកាអដថរភាពនន f (លីមតី តារាងអដថរភាព) ។

2

2: ( )

3 ( 1)

xC y f x

x

y

x

1(6 8)

49y x

- 105 -

ខ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់ 1y ។ បង្ហា ញថាចំណុច (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។ គ. សងត់្ាបC កនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់(ឯកតា 3cm ) ត្ពមទងំ បនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច I ។ កំណតចំ់ននួបញសននសមាីរ 2( 1) 2 (2 ) 2( 2) 0x m x m m និងទីតាងំរបស់បញសដធៀប នឹងចំននួ 0 , 1 និង 2 ។ ចថមលើយ

១. គណនាតនមៃ a និង b

ដគឲ្យ 2

2( )

2 2

x ax bf x

x x

ចំដ ុះត្គប ់ x


2 2

(2 )( 2 2) (2 2)( )'( )

( 2 2)

x a x x x x ax bf x

x x

ត្ាបC ាតត់ាមចំណុច (2,0)A

ដគបាន 2

2

2 20

2 4 2

a b

ឬ 2 4 (1)a b

បនាទ ត់ 2y x ប៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច 1x ដគបាន (1) 2f

ឬ 2 2

2 2

(2 )(1 2 2) (2 2)(1 )2

(1 2 2)

a a b

ឬ (2 ) 2a នាឲំ្យ 4a ជំនសួកនុង (1) នាឲំ្យ 2( 4) 2 4b b ដូចដនុះ តនមៃ 4a និង 4b ។

- 106 -

២. អនុគមន ៍ f កំណតដ់ោយ2

2

( 2)( )

2 2

xf x

x x

ក. សិកាអដថរភាពនន f (លីមតី តារាងអដថរភាព) ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព

- ដដរដីវ 2 2

2 2

(2 4)( 2 2) (2 2)( 4 4)'( )

( 2 2)

x x x x x xf x

x x

2 2

2 2

2( 2)[( 2 2) ( 3 2)]

( 2 2)

x x x x x

x x

2 2

2 ( 2)

( 2 2)

x x

x x

'( )f x មានសញ្ញា ដូច 2 ( 2)x x ចំដ ុះត្គប់ x ដបើ '( )f x នាឲំ្យ 2 ( 2) 0x x មានបញស 0 , 2x x - ចំណុចបរមា អនុគមន៍ f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 0x គឺ (0) 2f អនុគមន៍ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 0f ។ - គណនាលីមតី

2

2

( 2)lim ( ) lim 1

2 2x x

xf x

x x

2

2

( 2)lim ( ) lim 1

2 2x x

xf x

x x

- អាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 1

xf x

ដ តុដនុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដក

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC ។

- 107 -

តារាងអដថរភាព x 0 2 '( )f x ( )f x 2 1

1 0 ខ. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់ 1y


2

( 2)1

2 2

x

x x

ឬ 2 24 4 2 2x x x x

ឬ 2 2 1x x ដូចដនុះ ត្ាបC និងបនាទ ត់ 1y ត្បសពវគ្នន ត្តង់ (1,1)I ។ បង្ហា ញថាចំណុច (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ដបើ (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ដនាុះដគបាន (2 ) ( ) 2f x f x

គណនា2 2

2 2

(2 2)(2 )

(2 ) 2(2 ) 2 2 2

x xf x

x x x x

នាឲំ្យ2 2

2 2

( 2)(2 ) ( )

2 2 2 2

x xf x f x

x x x x

2 2

2 2

2 4 4 2( 2 2)2

2 2 2 2

x x x x

x x x x

(ដផទៀងផ្ទទ ត)់

ដូចដនុះ ចំណុច (1,1)I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។ គ. សងត់្ាបC (ឯកតា 3cm ) ត្ពមទងំបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តត់្តងចំ់ណុច (1,1)I មានរាង '(1)( 1) 1y f x

0 0

- 108 -

ដោយ2 2

2 ( 2)'( )

( 2 2)

x xf x

x x

ដនាុះ '(1) 2f

ដគបាន 2( 1) 1 2 3y x x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 2 3y x ។

កំណតចំ់ននួបញសនន 2( 1) 2 (2 ) 2( 2) 0x m x m m និងទីតាងំរបស់បញសដធៀបនឹងចំននួ 0 , 1 និង 2 2( 1) 2 (2 ) 2( 2) 0x m x m m 2 22 2 4 4 0mx mx m x x 2 2( 2 2) ( 2)m x x x

2

2

( 2)

2 2

xm

x x

ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ ត ់

ចល័ត y m ។ តាមត្ាបC ខាងដលើដគបានៈ

2 3y x

x

y

C(1,1)I

1y

y m

- 109 -

- ចំដ ុះ 2m សមាីរគ្នា នបញស - ចំដ ុះ 2m សមាីរមានបញសមយួគឺ 0x - ចំដ ុះ 1 2m សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 20 1x x - ចំដ ុះ 1m សមាីរមានបញសមយួគឺ 1x - ចំដ ុះ 0 1m សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 21 x x - ចំដ ុះ 0m សមាីរមានបញសមយួគឺ 2x - ចំដ ុះ 0m សមាីរគ្នា នបញស ។ លំហាត់ 1.23

ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់លើ {1}fD ដោយ2

(2 1)( )

( 1)

x xf x

x

និងត្ាប ( )C សថិតកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j

មានឯកតា3cm ក. កំណតលី់មតីត្តងចុ់ងដដនកំណត់ fD ។ ទញបញ្ញា កថ់ាត្ាប ( )C មានអាសីុមតូតពីរដដលត្តូវកំណតស់មាីរ។ ខ. គណនាដដរដីវ '( )f x និងបង្ហា ញថាវាមានសញ្ញា ដូចផលគុណ (3 1)( 1)x x ។ គូសតារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f ។ គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុច A ត្ាប ( )C ត្បសពវជាមយួបនាទ ត់ ( )D ដដលមានសមាីរ 2y ។ ឃ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ដៅនឹងត្ាប ( )C ត្តងចំ់ណុចដដលមាន អាបសីុ់សដសាើ 0 ។ កំណតស់ញ្ញា នន ( )f x x រចួទញរកទីតាងំ ( )C ដធៀបនឹងបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ។ ង. សងអ់ាសីុមតូត, បនាទ តប់៉ាុះ ( )T និងត្ាប ( )C កនុងតត្មុយដតមយួ ។

- 110 -

ចថមលើយ

ក. កំណតលី់មតីត្តងចុ់ងដដនកំណត់ fD

2

2 2 2

1(2 )

(2 1)lim ( ) lim lim 2

1( 1) (1 )x x x

xx x xf x

x xx

2

2 2 2

1(2 )

(2 1)lim ( ) lim lim 2

1( 1) (1 )x x x

xx x xf x

x xx

21 1

(2 1) 1lim ( ) lim

( 1) 0x x

x xf x

x

ទញថាត្ាប ( )C មានអាសីុមតូតពីរដដលត្តូវកំណតស់មាីរ ដោយ lim ( ) 2

xf x

នាឲំ្យ 2y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាប ( )C

ដោយ1

lim ( )x

f x

នាឲំ្យ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C

ខ. គណនាដដរដីវ '( )f x

2

4

(4 1)( 1) 2( 1) (2 1)'( )

( 1)

x x x x xf x

x

2 2

4

( 1)(4 5 1 4 2 )

( 1)

x x x x x

x

4 4

( 1)( 3 1) (3 1)( 1)

( 1) ( 1)

x x x x

x x

- 111 -

ដូចដនុះ ដដរដីវគឺ 4

(3 1)( 1)'( )

( 1)

x xf x

x

។

បង្ហា ញថាវាមានសញ្ញា ដូចផលគុណ (3 1)( 1)x x ដោយ 4( 1) 0x ចំដ ុះត្គប់ fx D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា ដូចផលគុណ (3 1)( 1)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ (3 1)( 1) 0 1 , 1/3x x x x

អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1/3x គឺ 1 1( )3 4

f

គូសតារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f x 1/ 3 1 '( )f x ( )f x 2

1/ 4 2

គ. កំណតកូ់អរដោដនចំណុច A សមាីរអាបសីុ់សរវាងបនាទ ត់ ( )D និងត្ាប ( )C

2

(2 1)2

( 1)

x x

x

ឬ 2(2 1) 2( 1)x x x

2 22 2 4 2x x x x ឬ 23 2

3x x

ដូចដនុះ ចំណុច Aមានកូអរដោដន 2( , 2)3

A ។

ឃ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ដៅនឹងត្ាប ( )C ត្តង់ 0x សមាីរបនាទ តប់៉ាុះត្តង់ 0x មានរាង ( ) : '(0)( 0) (0)T y f x f

0

- 112 -

ដោយ4

(3 1)( 1)'( )

( 1)

x xf x

x

ដនាុះ '(0) 1f

ដ ើយ (0) 0f ដគបាន ( ) :T y x ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ ( ) :T y x ។ កំណតស់ញ្ញា នន ( )f x x

2 3 2

2 2

(2 1) 2 2( )

( 1) ( 1)

x x x x x x xf x x x

x x

3

2( 1)

x

x

ដោយ 2( 1) 0 , fx x D ដនាុះ ( )f x x មានសញ្ញា តាម 3x

x 0 ( )f x x

ដូចដនុះ ( ) 0f x x ចំដ ុះ 0x ដ ើយ ( ) 0f x x ចំដ ុះ 0x ។ ទញរកទីតាងំ ( )C ដធៀបនឹងបនាទ តប់៉ាុះ ( )T ចំដ ុះ 0x ដនាុះ ( ) 0f x x នាឲំ្យត្ាប ( )C ដៅខាងដត្ាម ( )T ចំដ ុះ 0x ដនាុះ ( ) 0f x x នាឲំ្យត្ាប ( )C ដៅខាងដលើ ( )T ។ ង. សងអ់ាសីុមតូត, បនាទ តប់៉ាុះ ( )T និងត្ាប ( )C កនុងតត្មុយដតមយួ រក ( )C xóx គឺ 0 , (2 1) 0 0 , 1/ 2y x x x x តារាងតនមៃដលខជំនយួ x 2 3 4 y 6 15/ 4 28/ 9

0

- 113 -


អនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ2

2

1( )

( 2)

xy f x

x

និងមានដខសដាង ( )C

ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f ។ រកសមាីរអាសីុមតូតឈរ និងដដក ននដខសដាង ( )C ។ ខ. គណនា និងសិកាសញ្ញា ននដដរដីវ '( )f x ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f និងសងដ់ខសដាង ( )C ។ ឃ.រកតនមៃ a ដដើមបឲី្យសមាីរ 2( 1) 4 4 1 0a x ax a មានបញស 1 2,x x ដដល 1 21 1x x ដោយដត្បើដខសដាង ( )C ។ ចថមលើយ

ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f

y x

x

y

2

(2 1): ( )

( 1)

x xC f x

x

2y

1x

A

- 114 -

អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 2( 2) 0 2x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ { 2}D ។ រកសមាីរអាសីុមតូតឈរ និងដដកននដខសដាង ( )C

2 2

2 22 2

1 ( 2) 1 3lim ( ) lim

( 2) ( 2 2) 0x x

xf x

x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C ។

2

2 2

2 22

11

1lim ( ) lim lim 1

( 2) 21

x x x

xx x

f xx

xx

2

2 2

2 22

11

1lim ( ) lim lim 1

( 2) 21

x x x

xx x

f xx

xx


f x

ដ តុដនុះបនាទ ត់ 1y ជាអាសីុមតូតដដក ។

ខ. គណនា និងសិកាសញ្ញា ននដដរដីវ '( )f x

2 2

4

2 ( 2) 2( 2)( 1)'( )

( 2)

x x x xf x

x

2 2

4 4

2( 2)( 2 1) 2( 2)(2 1)

( 2) ( 2)

x x x x x x

x x

ដោយ 4( 2) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2( 2)(2 1)x x

- 115 -

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 12( 2)(2 1) 0 2,

2x x x x

x 2 1/ 2 '( )f x

អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1/ 2x គឺ ( 1/ 2) 1/3f គ. សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f

x 2 1/ 2 '( )f x ( )f x

1 1 1/ 3

សងដ់ខសដាង ( )C

រក ( )C xóx គឺ 2

2

10 , 0

( 2)

xy

x

មានបញស 1 , 1x x

រក ( )C yóy គឺ 0 , 1/ 4x y

x

y( )C

1y

2x

y a

1/ 3

0

0

- 116 -

ឃ.រកតនមៃ a 2( 1) 4 4 1 0a x ax a 2 24 4 1ax ax a x 2 2( 4 4) 1a x x x

2

2

1

( 2)

xa

x

ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងដខសដាង ( )C ជាមយួ

បនាទ តច់ល័ត y a ។ តាមដខសដាង ( )C ដដើមបឲី្យសមាីរ 2( 1) 4 4 1 0a x ax a មានបញស 1 2,x x ដដល 1 21 1x x លុត្តាដត 1/3 0a ដូចដនុះ តនមៃរបស់ a គឺ 1/3 0a ។ លំហាត់ 1.25

អនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ 4( ) 2

1f x x

x

និងមានដខសដាង ( )C

ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f ។ គណនា និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x ។ ខ. កំណតស់មាីរអាសីុមតូតឈរ និងដត្ទតននដខសដាង ( )C ។ គ. សិកាទីតាងំរវាងអាសីុមតូតដត្ទត និងដខសដាង ( )C ។ ឃ.សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន ៍និងសងដ់ខសដាង ( )C ។ ចថមលើយ

ក. រកដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 1 0x ឬ 1x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ {1}D ។

- 117 -

គណនា និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x

4( ) 2

1f x x

x

2

2 2 2

4 ( 1) 4 ( 3)( 1)'( ) 1

( 1) ( 1) ( 1)

x x xf x

x x x

ដោយ 2( 1) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម ( 3)( 1)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ ( 3)( 1) 0 3 , 1x x x x

x 1 1 3 '( )f x

អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 1x គឺ ( 1) 1f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 3x គឺ (3) 7f ខ. កំណតស់មាីរអាសីុមតូតឈរ និងដត្ទតននដខសដាង ( )C

1 1

4 4lim ( ) lim 2 1 2

1 0x xf x x

x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C ។

4( ) 2

1f x x

x

និង 4

lim 01x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាប ( )C ។

4lim ( ) lim 2

1x xf x x

x

4lim ( ) lim 2

1x xf x x

x

0 0

- 118 -

ឃ.សងត់ារាងអដថរភាពននអនុគមន៍ f x 1 1 3 '( )f x ( )f x 1

7

សងដ់ខសដាង ( )C រក ( )C yóy គឺ 0x នាឲំ្យ 2y

x 0 1 2y x 2 3

ផចិតឆៃុុះ : អាសីុមតូតឈរ 1x ជបួនឹងអាសីុមតូតដត្ទត 2y x ត្តងចំ់ណុច (1 , 3)I ។ ដ តុដនុះ (1 , 3)I ជាផចិតឆៃុុះ ។

y

x

2y x

( )C

1x

0 0

- 119 -



2

6( )

2( 2 2)

x xf x

x x

និង ( )C ជាត្ាប

នន f ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់ ( , , )o i j

។ ក. បញ្ញា កថ់ា f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x ។ ខ. គណនាលីមតីនន f ាលណា x ខិតដៅ និង រចួទញថា ( )C មានអាសីុមតូតមយួដោយបញ្ញា កស់មាីរននអាសីុមតូតដនាុះ។ គ. គណនា '( )f x រចួសិកាសញ្ញា នន '( )f x ។ ទញថា f មានអតិបរមា មយួ និងអបបបរមាមយួ រចួគណនាតនមៃបរមាទងំដនាុះ។ ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f ។ ង. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាង ( )C និងអក័សទងំពីរ ននតត្មុយ និងចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាងនិងអាសីុមតូតដដក។ ច. គណនា (2)f និង (3)f ។ សងត់្ាប ( )C ។ ចថមលើយ

ក. បញ្ញា កថ់ា f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x ដគមាន 2 22 2 ( 1) 1 0x x x ចំដ ុះត្គប់ x


2

6( )

2( 2 2)

x xf x

x x

កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x

ដូចដនុះ f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x ។ ខ. គណនាលីមតីនន f ាលណា x ខិតដៅ និង

- 120 -

2 2

2 2

6 1lim ( ) lim lim

22( 2 2) 2x x x

x x xf x

x x x

2 2

2 2

6 1lim ( ) lim lim

22( 2 2) 2x x x

x x xf x

x x x

ទញថា ( )C មានអាសីុមតូតមយួដដលត្តូវបញ្ញា កស់មាីរ

ដោយ 1lim ( )

2xf x

ដ តុដនុះ 1

2y ជាសមាីរអាសីុមតូតដដក


2y ជាសមាីរអាសីុមតូតដដកននត្ាប ( )C ។

គ. គណនា '( )f x រចួសិកាសញ្ញា នន '( )f x

2 2

2 2

(2 6)2( 2 2) 2(2 2)( 6 )'( )

4( 2 2)

x x x x x xf x

x x

2 2

2 2

( 3)( 2 2) ( 1)( 6 )

( 2 2)

x x x x x x

x x

3 2 2 3 2 2

2 2

( 2 2 3 6 6) ( 6 6 )

( 2 2)

x x x x x x x x x

x x

2

2 2 2 2

4 2 6 2( 1)(2 3)

( 2 2) ( 2 2)

x x x x

x x x x

ដោយ 2 2( 2 2) 0 ,x x x នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2( 1)(2 3)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2( 1)(2 3) 0x x មានបញស 1 , 3/ 2x x

- 121 -

សញ្ញា នន '( )f x x 1 3/ 2 '( )f x

ទញថា f មានអតិបរមាមយួ និងអបបបរមាមយួ តាមតារាងសញ្ញា '( )f x ត្តង់ 1x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមា។ ត្តង់ 1x ដធវើឲ្យ '( ) 0f x ដ ើយបតូរសញ្ញា ពី ( ) ដៅ ( ) នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមា។ គណនាតនមៃបរមា

តនមៃអបបបរមា 2( 1) 6 1

( 1)2(1 2 2) 2

f

តនមៃអតិបរមា 2

2

(3/ 2) 6(3/ 2) 9(3/ 2)

22((3/ 2) 2(3/ 2) 2)f

ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f x 1 3/ 2 '( )f x '( )f x 1/ 2 9 / 2

1/ 2 1/ 2 ង. គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាង ( )C និងអក័ស

( ) ( )C xóx គឺ 2

2

60 , 0 0 , 6

2( 2 2)

x xy x x

x x

ដូចដនុះត្ាប ( )C ាតអ់ក័សអាបសីុ់សត្តង់ (0,0) និង ( 6 , 0) ។ ( ) ( )C yóy គឺ 0 , 0x y ដនាុះត្ាប ( )C ាតត់ាមគល់តត្មុយ

0 0

0 0

- 122 -

គណនាកូអរដោដនចំណុចត្បសពវរវាងដខសដាងនិងអាសីុមតូតដដក


2

6 1

22( 2 2)

x x

x x

2 2 2 16 2 2 8 2

8 4x x x x x x

ដូចដនុះ ត្ាប ( )C ាតអ់ាសីុមតូតដដកត្តង ់ 1 1( , )

4 2 ។

ច. គណនា (2)f និង (3)f

2

2

2 6 2 16(2) 4

42(2 2 2 2)f

2

2

3 6 3 27(3) 2.7

102(3 2 3 2)f

សងត់្ាប ( )C

1/ 2y

( )C

x

y

- 123 -


ដគឲ្យ2

4 4( ) , 0

xg x x

x

។ ( )C ជាត្ាបនន g ។

ក. គណនាលីមតី lim ( ) , lim ( )x x

g x g x

និង0

lim ( )x

g x

រចួទញ

រកអាសីុមតូតននត្ាប ( )C ។ ខ. គូសតារាងអដថរភាពនន g ។ គ. បង្ហា ញថា ( )C មានចំណុចរបតម់យួ រចួរកកូអរដោដនចំណុចរបតដ់នាុះ ឃ.គណនា ( 4), ( 2), (1)g g g និង (4)g ។ ង. សងដ់ខសដាង ( )C ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់។ ចថមលើយ

ក. គណនាលីមតី lim ( ) , lim ( )x x

g x g x

និង0

lim ( )x

g x

2 2

44


x x x

xx x

g xx x

2 2

44


x x x

xx x

g xx x

20 0 0

4 4 0 4lim ( ) lim lim

0x x x

xg x

x


lim ( ) lim ( ) 0 , lim ( )x x x

g x g x f x

ទញរកអាសីុមតូតននត្ាប ( )C

- 124 -


g x

ដនាុះបនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកនន ( )C

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0y ជាអាសីុមតូតដដកនន ( )C ។ ដោយ

0lim ( )x

g x

ដនាុះបនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរនន ( )C

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 0x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាប ( )C ។ ខ. គូសតារាងអដថរភាពនន g


4 4

4 2 (4 4) 4 8'( )

x x x x xg x

x x

ដបើ '( ) 0g x នាឲំ្យ 24 8 0 0 , 2x x x x ដោយ 4 0 , 0x x ដនាុះ '( )g x មានសញ្ញា តាម 24 8x x

តនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ 8 4(2) 1

4g

x 0 2 '( )g x ( )g x 0

1 0

គ. បង្ហា ញថា ( )C មានចំណុចរបតម់យួ

ដដរដីវទីពីរ4 3 2

8

( 8 8) 4 ( 4 8 )''( )

x x x x xg x

x

3 2 3 2 3 2

6 6 4

8 8 16 32 8 24 8 24x x x x x x x

x x x

''( )g x មានសញ្ញា ដូច8 24x ដត្ ុះ 4 0, 0x x

0

- 125 -

ដបើ ''( ) 0g x នាឲំ្យ 8 24 0 3x x សញ្ញា នន ''( )g x

x 3 ''( )g x

ដោយ ''( ) 0g x មានបញស 3x ដ ើយបតូរសញ្ញា ដ តុដនុះ ( )C មាន ចំណុចរបតម់យួត្តង់ 3x ។ រកកូអរដោដនចំណុចរបត ់

ដបើ 3x នាឲំ្យ 2

4 3 4 80.88

93y

ដូចដនុះ ចំណុចរបតគឺ់ 8(3, )

9។

ឃ.គណនា ( 4), ( 2), (1)g g g និង (4)g

2

4( 4) 4 5( 4) 1.25

4( 4)g

2

4( 2) 4( 2) 3

( 2)g

2

4 4(1) 0

1g

2

4(4) 4 3(4) 0.75

44g

ដូចដនុះ 5 3( 4) , ( 2) 3, (1) 0, (4)

4 4g g g g

ង. សងដ់ខសដាង ( )C ដៅកនុងតត្មុយអរតូណរមា៉ា ល់

0

- 126 -


ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ22 4 2

( )2 3

x xf x

x

និងមានត្ាបC

កនុងតត្មុយអរតូណរដម ( , , )o i j

។ ក. សិកាអនុគមន៍ f និងគូសត្ាបC ។ បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុម តូតដត្ទតមយួ និងផចិតឆៃុុះមយួ។ ខ. ដោយដត្បើត្ាបC ដោុះត្ាយនិងពិភាកាបញសរបស់សមាីរ 22 2(2 ) 3 2 0x p x p តាមបា៉ា រា៉ា ដម៉ាត្ត p ។ គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច A ដដលមានអាប ់ សីុសដសាើ 3។ គូសសមាីរបនាទ តប់៉ាុះដនាុះ។ ចថមលើយ

x

y

( )C

- 127 -

ក. សិកាអនុគមន៍ f និងគូសត្ាបC

ដដនកំណត ់ 3{ }

2D


- ដដរដីវ 2

2

(4 4)(2 3) 2(2 4 2)'( )

(2 3)

x x x xf x

x

2

2 2

4( 1)(2 3) 4( 1) 4( 1)( 4)

(2 3) (2 3)

x x x x x

x x

ដោយ 2(2 3) 0,x x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 4( 1)( 4)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4( 1)( 4) 0x x មានបញស 1, 4x x

x 4 3/ 2 1 '( )f x

- ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 4x គឺ ( 4) 10f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1x គឺ (1) 0f - គណនាលីមតី

2 22 4 2 2

lim ( ) lim lim2 3 2x x x

x x xf x

x x

2 22 4 2 2

lim ( ) lim lim2 3 2x x x

x x xf x

x x

0 0

- 128 -

2

3/ 2 3/ 2

3 32 4 2

2 2lim ( ) lim

0x xf x

- អាសីុមតូតឈរ ដោយ

3/ 2lim ( )

xf x

ដ តុដនុះ 3/ 2x ជាអាសីុមតូតឈរ

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 3/ 2x ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។ x 4 3/ 2 1 '( )f x ( )f x 10

0

សងត់្ាបC ត្ាបC ាតអ់ក័សអរដោដនត្តង់ (0, 2 / 3)

y p

10

7 / 2y x

I

y

x

3/ 2x

C

( )T

0 0

- 129 -

បង្ហា ញថាត្ាបC មានអាសីុមតូតដត្ទតមយួ

25

7 2( )2 2 3

f x xx

និង

25

2lim 02 3x x


2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។

ផចិតឆៃុុះ : អាសីុមតូតឈរ 3/ 2x ជបួនឹងអាសីុមតូតដត្ទត

7

2y x ត្តងចំ់ណុច 3

( , 5)2

I ។

ដបើ 3( , 5)

2I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ដនាុះវាដផទៀងផ្ទទ តទំ់នាកទំ់នង

(2 ) ( ) 2f a x f x b ឬ ( 3 ) ( ) 10f x f x

ដគបាន22( 3 ) 4( 3 ) 2

( 3 ) ( ) ( )2( 3 ) 3

x xf x f x f x

x

218 12 2 12 4 2

( )6 2 3

x x xf x

x

2 22 16 32 2 4 2

2 3 2 3

x x x x

x x

20 30 10(2 3)10

2 3 2 3

x x

x x

(ពិត)

ដូចដនុះ ចំណុច 3( , 5)

2I ជាផចិតឆៃុុះននត្ាបC ។

ខ. ដោុះត្ាយនិងពិភាកាបញសនន 22 2(2 ) 3 2 0x p x p 22 4 2 3 2 0x x px p

- 130 -

2(2 4 2) (2 3)x x x p

22 4 2

2 3

x xp

x

ជាសមាីរអាបសីុ់សននត្ាបC និងបនាទ តច់ល័ត

y p ។ តាមត្ាបC ដគបានៈ

2

3p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 2

30

2x x

2

3p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 20x x

20

3p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 20 x x

0p នាឲំ្យសមាីរមានបញសឌុប 1 2 1x x 10 0p នាឲំ្យសមាីរគ្នា នបញស 10p នាឲំ្យសមាីរមានបញសឌុប 1 2 4x x

10p នាឲំ្យសមាីរមានបញសពីរដដល 1 23

2x x ។

គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាបC សមាីរបនាទ តប់៉ាុះមានរាង ( ) : '(3)( 3) (3)T y f x f

ដោយ 56'(3)

81f និង 8

(3)9

f

ដគបាន 56 8 1( ) : ( 3) (56 96)

81 9 81T y x x

ដូចដនុះ សមាីរបនាទ តប់៉ាុះគឺ 1( ) : (56 96)

81T y x ។

គូសសមាីរបនាទ តប់៉ាុះ (មានកនុងរូបខាងដលើ)

- 131 -


ដគឲ្យអនុគមន៍ f ដដល 1( ) 2

1y f x x

x

ចំដ ុះ 1x និង

មានត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ ក. គណនាដដរដីវ និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x ។ គណនាតនមៃបរមានន f ។ ខ. គណនាលីមតី lim ( )

xf x

និង lim ( )

xf x

។ រកសមាីរអាសីុម

តូតឈរ និងដត្ទតននត្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពនន f ។ ឃ.សងត់្ាបC និងអាសីុមតូតននត្ាបC ។ គណនាត្កឡានផទដផនកបៃង ់ ខណឌ ដោយត្ាបC និងអាសីុមតូតដត្ទតចដនាៃ ុះ [0, ]e ។ ចថមលើយ

ដគមាន 1( ) 2

1y f x x

x

មានត្ាបC ចំដ ុះត្គប់ 1x

ក. គណនាដដរដីវ និងសិកាសញ្ញា នន '( )f x

2 2

2 2 2

1 ( 1) 1 2'( ) 1

( 1) ( 1) ( 1)

x x xf x

x x x

ដូចដនុះ ដដរដីវ 2

2

2'( )

( 1)

x xf x

x

។

ដោយ 2( 1) 0, 1x x ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2 2x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 0 0 , 2x x x x

- 132 -

x 2 1 0 '( )f x

គណនាតនមៃបរមានន f តនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ ( 2) 1f តនមៃអបបបរមាត្តង់ 0x គឺ (0) 3f ខ. គណនាលីមតី lim ( )

xf x

និង lim ( )

xf x

1lim ( ) lim 2 0

1x xf x x

x

1lim ( ) lim 2 0

1x xf x x

x

រកសមាីរអាសីុមតូតឈរ និងដត្ទតននត្ាបC

ដោយ1 1

1 1lim ( ) lim 2 1 2

1 0x xf x x

x


1( ) 2

1f x x

x

និង 1

lim 01x x

ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ គ. សងត់ារាងអដថរភាពនន f

x 2 1 0 '( )f x ( )f x 1

3

0 0

0 0

- 133 -

ឃ.សងត់្ាបC និងអាសីុមតូតននត្ាបC

គណនាត្កឡានផទដផនកបៃងខ់ណឌ ដោយត្ាបC និងអាសីុមតូត ដត្ទតចដនាៃ ុះ [0, ]e

0

0

12 2 ln | 1|

1

ee

S x x dx xx

ln( 1) ln | 0 1|e ln( 1)e ÉktaépÞRkLa

ដូចដនុះ ln( 1)S e ÉktaépÞRkLa



2

10 5:

( 1)

x xf x

x

កំណតដ់លើ { 1} និងមាន

ត្ាបC ដៅកនុងតត្មុយ ( , , )o i j

។

2y x

C

1x

x

y

e

- 134 -

ក. បង្ហា ញថាមានចំននួពិតបី , ,a b c ដដលត្គប់ 1x ដគបាន

2

( )1 ( 1)

b cf x a

x x

។

ខ. គណនាដដរដីវ 'f នន f រចួសិកាសញ្ញា និងគូសតារាងអដថរភាពនន f គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តងចំ់ណុចដដលមានអាប ់ សីុសដសាើ 3 ។ ឃ. សងត់្ាបC ,សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ និងអាសីុមតូត។ ង. គណនានផទត្កឡាដផនកបៃងខ់ណឌ ដោយត្ាបC និងអក័សអាបសីុ់សត្តង ់ 1x និង 4x ។ ចថមលើយ

ក. រកចំននួពិត , ,a b c ដដល 1 ,x 2

( )1 ( 1)

b cf x a

x x

ដគបាន 2

( )1 ( 1)

b cf x a

x x

2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 2 1) ( 1)

( 1) ( 1)

a x b x c a x x b x c

x x

2

2

(2 ) ( )

( 1)

ax a b x a b c

x

ដត

2

2

10 5( )

( 1)

x xf x

x

ចំដ ុះ 1x ដគទញបាន 1 1

2 10 12

5 16

a a

a b b

a b c c

ដូចដនុះ 1, 12, 16a b c

- 135 -

ខ. គណនាដដរដីវ 'f នន f រចួសិកាសញ្ញា

2 2

4

(2 10)( 1) 2( 1)( 10 5)'( )

( 1)

x x x x xf x

x

2 2

4

2( 1)[( 4 5) ( 10 5)]

( 1)

x x x x x

x

4 4

2( 1)(6 10) 4( 1)(3 5)

( 1) ( 1)

x x x x

x x

ដោយ 4( 1) 0 ,x x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x យកសញ្ញា តាម 4( 1)(3 5)x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4( 1)(3 5) 0x x 1, 5/3x x

x 1 5/ 3 '( )f x


អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 5/3x គឺ 5(5/ 3) 1.25

4f


2 2

2 2

10 5(1 )


1( 1) (1 )x x x

x x x xf xx

x

2 2

2 2

10 5(1 )


1( 1) (1 )x x x

x x x xf xx

x

0

- 136 -

2 2

21 1

10 5 1 10 5lim ( ) lim

( 1) 0x x

x xf x

x

អាសីុមតូត ដោយ lim ( ) 1

xf x

ដ តុដនុះ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននត្ាបC

ដោយ1

lim ( )x

f x

ដ តុដនុះ 1x ជាអាសីុមតូតឈរននC

គូសតារាងអដថរភាពនន f x 1 5/ 3 '( )f x ( )f x

1 1 5/ 4

គ. កំណតស់មាីរបនាទ តប់៉ាុះដៅនឹងត្ាបC ត្តង់ 3x សមាីរមានរាង '(3)( 3) (3)y f x f

ដោយ 1(3)

4f និង (3) 1f

ដគបាន 1 1 7( 3) 1

4 4 4y x x


4 4y x ។

ឃ. សងត់្ាបC ,សមាីរបនាទ តប់៉ាុះ និងអាសីុមតូត រក ( )C xóx គឺ 0 , 0.47 , 10.47y x x រក ( )C yóy គឺ 0 , 5x y

0

- 137 -

ង. គណនានផទត្កឡាដផនកបៃងខ់ណឌ ដោយត្ាបC និងអក័សអាបសីុ់សត្តង ់ 1x និង 4x ដោយចដនាៃ ុះ 1x និង 4x ត្ាបC ដៅខាងដត្ាមអក័សអាបសីុ់ស

ដគបាននផទត្កឡា4 4

21 1

12 16( ) 1

1 ( 1)A f x dx dx

x x

4

1

1612ln | 1|

( 1)x x

x

16 39 2(4 12ln5 ) (1 12ln 2 8) 12ln

5 5 5

ដូចដនុះ 39 212ln

5 5A

ÉktaépRÞ kLa

( )T

( )C

1y 1x

x

y

A

- 138 -


ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ( )C ននអនុគមន៍ 29y x ខ. រកចំណុចនឹងដដលបនាទ ត់ : 3 4 0md mx y m ាតត់ាមចំ ដ ុះត្គបត់នមៃm ។ គ. ដត្បើត្ាប ( )C ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ

29 4 3 0x mx m ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាប ( )C ននអនុគមន៍ 29y x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 29 0x នាឲំ្យ 3 3x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ [ 3,3]D ។ ទិសដៅអដថរភាព


2 2

(9 ) ''( )

2 9 9

x xf x

x x

- សិកាសញ្ញា

ដោយ 29 0x ចំដ ុះត្គប់ x D នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម x

២.អនុគមន៍អសនិទាន

- 139 -

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 0 0x x x 3 0 3 '( )f x

- ចំណុចអតិបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 0x គឺ 2(0) 9 0 3f - តារាងអដថរភាព

x 3 0 3 '( )f x ( )f x 3

0 0 សងត់្ាប ( )C

ខ. រកចំណុចនឹងដដលបនាទ ត់ : 3 4 0md mx y m ាតត់ាមចំ ដ ុះត្គបត់នមៃm

( )C

x

y

(4,3)M

0

0

- 140 -

( 4) (3 ) 0m x y ដគបាន 4 0 4

3 0 3

x x

y y

ដូចដនុះ ចំណុចនឹងដដលបនាទ ត់ md ាតត់ាមគឺ (4,3)M ។ គ. ដត្បើត្ាប ( )C ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ

29 4 3 0x mx m 29 ( 4) 3x m x ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាប ( )C និង md តាមត្ាប ( )C ដគបានៈ 0m បនាទ តម់និាតត់្ាប ( )C ដ តុដនុះសមាីរគ្នា នបញស 0m បនាទ តប់៉ាុះនឹងត្ាប ( )C ដ តុដនុះសមាីរមានបញស 0x ករណីៈ បនាទ ត់ md ាតត់ាម ( 3,0) ដគបាន 3 0 3 4 0m m

37 3 0

7m m

ដគបាន 3]0, ]

7m សមាីរមានបញសពីរគឺ 1 20x x

ករណីៈ បនាទ ត់ md ាតត់ាម (3,0) ដគបាន3 0 3 4 0m m 3 0 3m m ដគបាន 3

] ,3]7

m សមាីរមានបញសមយួដដល 0x

3m បនាទ តម់និាតត់្ាប ( )C ដ តុដនុះសមាីរគ្នា នបញស ។ លំហាត់ 2.2

ដគឲ្យអនុគមន៍ 2 2 1y mx m x ។ ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំរបស់ត្ាបខាងដលើ ប៉ាុះនឹង

- 141 -

បា៉ា រា៉ា បូលនឹងមយួ។ ខ. ដបើ 1m សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមនខ៍ាងដលើ។ ចថមលើយ

ក. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា អាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំរបស់ត្ាបខាងដលើ ប៉ាុះនឹង បា៉ា រា៉ា បូលនឹងមយួ

ដគមាន 2 2 2 2

2

11 1y mx m x mx m x

x

2 | | ( )mx m x x ដដល lim ( ) 0x

x

ដពល x ដនាុះដគបាន 2y mx m x ជាអាសីុមតូតដត្ទត សរដសរជាទត្មងស់មាីរ 2 0m mx x y 2 24( ) 4 4x x y x x y ដដើមបឲី្យអាសីុមតូតដត្ទតប៉ាុះនឹងបា៉ា រា៉ា បូលនឹងលុុះត្តាដត mមានតនមៃ ដតមយួគត ់ដ តុដនុះដយើងត្តូវឲ្យ 0 ដគបាន

2 4 4 0x x y ឬ 21

4y x x ជាបា៉ា រា៉ា បូលនឹងមយួ។

ដូចដនុះ អាសីុមតូតដត្ទតប៉ាុះនឹងបា៉ា រា៉ា បូល 21

4y x x ។

ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមនចំ៍ដ ុះ 1m ដគបាន 2( ) 1 1y f x x x ដដនកំណត ់ 2 1 0 ,x ដនាុះ f កំណតប់ានចំដ ុះត្គប់ x

- 142 -



2 2

( 1) ''( ) 1 1

2 1 1

x xf x

x x

- សិកាសញ្ញា '( )f x

ដោយ 2 2 1x x x x នាឲំ្យ 2

1 1

1

x

x


1 0

1

x

x

ដនាុះ '( ) 0f x ចំដ ុះត្គប់ x

- គណនាលីមតី 2lim ( ) lim ( 1 1)

x xf x x x

2 2 2

2

( 1) ( 1)lim

( 1) 1x

x x

x x

2

2lim

1 11 | | 1

x

x

x xx x

2

2lim 1

1 12 1 1

x

x

xx x

2lim ( ) lim ( 1 1)x x

f x x x

- 143 -

2

2lim

1 11 | | 1

x

x

x xx x

2

2 2lim

1 1 02 1 1

x

x

xx x

- អាសីុមតូត ដោយ lim ( )

xf x

ដ តុដនុះ 1y ជាអាសីុមតូតដដកននC

2 2

2

1( ) 1 1 1 1f x x x x x

x

1 | | ( )x x x ដដល lim ( ) 0x

x

ដពល x ដនាុះ 1 | | 2 1y x x x ជាអាសីុមតូតដត្ទត ដូចដនុះ បនាទ ត់ 2 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC ។ - តារាងអដថរភាព

x '( )f x ( )f x

1 សងត់្ាបC និងអាសីុមតូតទងំពីរ អាសីុមតូត x 0 1

2 1y x 1 3

- 144 -

តារាងតនមៃដលខ x 2 1 0 1 y 1.24 1.4 2 3.4

លំហាត់ 2.3 ដគឲ្យអនុគមន៍ 2 (4 )y x x ។ ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមន។៍ ខ. ដត្បើត្ាបC ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ 2 (4 ) 2 2 5x x mx m ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC របស់អនុគមន៍ 2 (4 )y x x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 2 (4 ) 0x x

2 1y x

1y

x

y

C

- 145 -

ដបើ 2 (4 ) 0x x មានបញស 0 , 4x x x 0 4

2 (4 )x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ [0 , 4]D ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ (2 (4 )) ' 2(4 ) 2 4 8'( )

2 2 (4 ) 2 2 (4 ) 2 (4 )

x x x x xf x

x x x x x x

ដោយ 2 (4 ) 0 , ]0,4[x x x នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 4 8x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4 8 0 2x x ចំណុចអតិបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2x គឺ (2) 2 2 2.8f តារាងអដថរភាព

x 0 2 4 '( )f x ( )f x 2 2

0 0 សងត់្ាបC តារាងតនមៃដលខ x 1 3 y 2.4 2.4

0 0

- 146 -

ខ. ដត្បើត្ាបC ពិភាកាតាមតនមៃm អតថិភាពននបញសរបស់សមាីរ 2 (4 ) 2 2 5x x mx m ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និងបនាទ ត់ : 2 2 5md y mx m ដគបានៈ 0m បនាទ ត់ md មនិាតត់្ាបC ដនាុះសមាីរគ្នា នបញស 0m បនាទ ត់ md ប៉ាុះនឹងត្ាបC ដនាុះសមាីរមានបញស 2x ករណីៈ : 2 2 5md y mx m ាតត់ាមគល់ (0,0)O

ដនាុះ 2 20 0 2 2 5 2 2 5 0

5m m m m

ដគបាន 2 20

5m សមាីរមានបញសពីរដដល 1 20 x x

ករណីៈ : 2 2 5md y mx m ាតត់ាមគល់ (4,0)O 0 4 2 2 5 2 2 0 2 2m m m m ដគបាន 2 2 /5 2 2m សមាីរមានបញសមយួ 0x

(5,2 2)

x

y

C

md

- 147 -

2 2m បនាទ ត់ md មនិាតត់្ាបC ដនាុះសមាីរគ្នា នបញស ។ លំហាត់ 2.4

ដគឲ្យអនុគមន៍ 2( ) 4 2 1y f x x x x ។ ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបននអនុគមន។៍ ខ. ដត្បើត្ាប រកតនមៃm ដដើមបឲី្យវសិមាីរមានបញស

24 2 1x x m x ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាព និងសងត់្ាបនន 2( ) 4 2 1y f x x x x ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 24 2 1 0x x 2' 1 4 3 0 នាឲំ្យ 24 2 1 0 ,x x x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ D ។ ទិសដៅអដថរភាព

2 2

8 2 4 1'( ) 1 1

2 4 2 1 4 2 1

x xf x

x x x x

2

2

4 2 1 4 1

4 2 1

x x x

x x

ដបើ 0x នាឲំ្យ 2

4 11 0

4 2 1

x

x x

ដនាុះ '( ) 0f x

- 148 -

ដបើ 0x នាឲំ្យ2

2

4 2 1 4 1'( )

4 2 1

x x xf x

x x

2 2

2 2

(4 2 1) (4 1)

4 2 1( 4 2 1 4 1)

x x x

x x x x x

2 2

2 2

4 2 1 16 8 1

4 2 1( 4 2 1 4 1)

x x x x

x x x x x

2

2 2

12 6

4 2 1( 4 2 1 4 1)

x x

x x x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 212 6 0 0 , 1/ 2x x x x សញ្ញា ដដរដីវ

x 1/ 2 0 '( )f x

ចំណុចអបបបរមា

អនុគមន៍ f មានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 1

2x គឺ ( 1/ 2) 1/ 2f

គណនាលីមតី 2lim ( ) lim ( 4 2 1)

x xf x x x x

2lim ( ) lim ( 4 2 1)x x

f x x x x

0

- 149 -

2 2 2

2

2

4 2 1 3 2 1lim lim

2 14 2 1 | | 4x x

x x x x x

x x x x xx x

2

2

2

2 13

( )(3)lim

32 14

x

xx x

x xx x


2

2 1 3( ) 4 2 1 2

2 4f x x x x x x

12 ( )

2x x x ដដល lim ( ) 0

xx


2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំដពល x

ខិតជិត និងបនាទ ត់ 1

2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងដឆវង

ដពល x ខិតជិត ។ តារាងអដថរភាព

x 1/ 2 0 '( )f x ( )f x

1/ 2 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f

0

1

- 150 -

ខ. រកតនមៃm ដដើមបឲី្យវសិមាីរមានបញស

24 2 1x x m x ឬ 24 2 1x x x m

ដបើ 24 2 1x x x m ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC និង បនាទ តច់ល័ត y m ។ តាមត្ាបC ដដើមបឲី្យវសិមាីរមានបញស

លុុះត្តាដត 1

2m ។


ដគឲ្យអនុគមន៍ 21( ) 12 3

2 2

xy f x x ។

ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC ននអនុគមន។៍

ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា 22 12 3 4x x ។

គ. ដោុះត្ាយសមាីរ 212 3 4x x រចួដផទៀងផ្ទទ តល់ទធផលនន

13

2y x

1

2y x

C

x

y

y m

- 151 -

សមាីរដោយត្ាបននអនុគមនខ៍ាងដលើ ។ ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបC នន 21( ) 12 3

2 2

xf x x

ដដនកំណត ់ អនុគមន៍ f មាននយ័ាលណា 212 3 0x ដបើ 212 3 0 3(2 )(2 ) 0x x x មានបញស 2, 2x x

x 2 2 212 3x

ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមន៍ f គឺ [ 2 , 2]D ទិសដៅអដថរភាព

2 2

1 6 1 3'( )

2 24 12 3 2 12 3

x xf x

x x

- ចំដ ុះ 2 0x នាឲំ្យ 2

30

2 12 3

x

x


1 30

2 2 12 3

x

x

ដនាុះ '( ) 0f x ។

- ចំដ ុះ 0 2x ដគបាន2

2

12 3 3'( )

2 12 3

x xf x

x

2 2

2 2

12 3 9

2 12 3 (2 12 3 3 )

x x

x x x

0 0

- 152 -

2

2 2

12(1 )

2 12 3 (2 12 3 3 )

x

x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 212(1 ) 0 1x x សញ្ញា នន '( )f x

x 2 1 2 '( )f x

តនមៃអតិបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 1x គឺ (1) 2f តនមៃននអនុគមនត៍្តងចុ់ងដដនកំណត់

22 1( 2) 12 3( 2) 1

2 2f

22 1(2) 12 3(2) 1

2 2f

តារាងអដថរភាព x 2 1 2 '( )f x ( )f x 2

1 1 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f តារាងតនមៃដលខ x 1 0 y 1 3

0

0

- 153 -

ខ. ត្ាយបញ្ញា កថ់ា 22 12 3 4x x តាមត្ាបC ដគបាន 1 ( ) 2f x

211 12 3 2

2 2

xx

212 3

1 22

x x

22 12 3 4x x ដូចដនុះ 22 12 3 4x x ។

គ. ដោុះត្ាយសមាីរ 212 3 4x x 2 2 2( 12 3 ) (4 )x x ឬ 2 212 3 16 8x x x ឬ 2 24 8 4 0 4( 1) 0x x x នាឲំ្យ 1x ដូចដនុះ 1x ជាបញសរបស់សមាីរ ។ ដផទៀងផ្ទទ តល់ទធផលននសមាីរដោយត្ាបC ននអនុគមនខ៍ាងដលើ

C

x

y

2y

- 154 -

ដគមាន 2 212 3 4 12 3 4x x x x

ឬ 2112 3 2

2 2

xx ជាសមាីរអាបសីុ់សរវាងត្ាបC ជាមយួ

បនាទ ត់ 2y ។ តាមត្ាបខាងដលើ ដយើងដឃើញថាត្ាបC ាតប់នាទ ត ់ 2y ត្តងអ់ាបសីុ់ស 1x ។ ដូចដនុះ 1x ជាបញសរបស់សមាីរ ។ លំហាត់ 2.6

ដគឲ្យអនុគមន៍ 22 1y x x មានត្ាបC ។ ក. រកអាសីុមតូតរបស់ត្ាបC ។

ខ. តាមត្ាប រកតនមៃm ដដើមបឲី្យសមាីរ 22 1x x m មានបញស គ. សរដសរសមាីរបនាទ តនឹ់ងត្ាបC ត្តងចំ់ណុចននត្ាបដដលមាន អាបសីុ់ស 2x ។ ចថមលើយ

ក. រកអាសីុមតូតរបស់ត្ាបC

2 2

2

12 1 2 1

2y x x x x

x

2 | | ( )x x x ដដល lim ( ) 0x

x

ករណី x ដនាុះ (1 2)y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំ ។ ករណី x ដនាុះ (1 2)y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងដឆវង ។

ខ. តាមត្ាប រកតនមៃm ដដើមបឲី្យសមាីរ 22 1x x m មានបញស

- 155 -

សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ 2( ) 2 1y f x x x ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព

2

2'( ) 1

2 1

xf x

x

- ករណី 0x ដនាុះ 2

21 0

2 1

x

x

នាឲំ្យ '( ) 0f x

- ករណី 0x ដគបាន

2

2 2

2 2 1 2'( ) 1

2 1 2 1

x x xf x

x x

2 2 2

2 2 2 2

2 1 4 1 2

2 1( 2 1 2 ) 2 1( 2 1 2 )

x x x

x x x x x x

ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2 21 2 0

2x x ដត្ ុះ 0x

សញ្ញា នន '( )f x x 2 / 2 '( )f x

តនមៃអបបបរមា

តនមៃអបបបរមាត្តង ់ 2 / 2x គឺ 2( 2 / 2) 0.7

2f


0

- 156 -

2 2

2

2

2 1lim ( ) lim ( 2 1) lim

2 1x x x

x xf x x x

x x

2

2 2

1

1lim lim

1 1| | 2 1 2

x x

xx x

x xx x

2lim ( ) lim ( 2 1)x x

f x x x

តារាងអដថរភាព x 2 / 2 '( )f x ( )f x

2 / 2 សងត់្ាបC

(1 2)y x

x

y m

(1 2)y x

y

C

7 1

3 3y x

0

- 157 -

តាមត្ាបC ដដើមបឲី្យសមាីរ 22 1x x m មានបញស

លុុះត្តាដត 2

2m ។

គ. សរដសរសមាីរបនាទ តនឹ់ងត្ាបC ត្តងចំ់ណុច 2x សមាីរបនាទ តប់៉ាុះមានរាង '(2)( 2) (2)y f x f


2'( ) 1

2 1

xf x

x

ដគបាន 7'(2)

3f និង (2) 2 3 5f

នាឲំ្យ 7 7 1( 2) 7

3 3 3y x x


3 3y x ។

លំហាត់ 2.7 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ ក. 7 4y x ខ. 22 2 3y x x គ. 21 4y x x ចថមលើយ

ក. 7 4y x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័ាលណា 7 4 0 7/ 4x x

- 158 -

ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ ] ,7 / 4]D ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ (7 4 ) ' 2'( ) 0

2 7 4 7 4

xf x

x x

ចំដ ុះ 7 / 4x

គណនាលីមតី lim ( ) lim 7 4

x xf x x

តារាងអដថរភាព x 7 / 4 '( )f x ( )f x

0 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍តារាងតនមៃដលខ x 1 0 1 y 3.3 2.6 1.7

C

x

y

- 159 -

ខ. 22 2 3y x x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័លុុះត្តាដត 2 2 3 0x x ដបើ 2 2 3 0x x មានបញស 1 , 3x x

x 1 3 2 2 3x x

ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ ] , 1] [3 , [D ទិសដៅអដថរភាព


2 2

( 2 3) ' 1'( )

2 2 3 2 3

x x xf x

x x x x

- ករណី 1x នាឲំ្យ 2

1'( ) 0

2 3

xf x

x x


1'( ) 0

2 3

xf x

x x


2lim ( ) lim (2 2 3)x x

f x x x

2lim ( ) lim (2 2 3)x x

f x x x


2 2

2

42 2 3 2 ( 1) 1

( 1)y x x x

x

00

- 160 -

2 | 1| ( )x x ដដល lim ( ) 0x

x

- ករណី x នាឲំ្យ 1 3y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC - ករណី x នាឲំ្យ 2 1y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតននត្ាបC តារាងអដថរភាព

x 1 3 '( )f x ( )f x

2

2 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍តារាងតនមៃដលខ x 3 2 4 5 y 5.5 4.2 4.2 5.5

x

y

C

1 3y x

2 1y x

- 161 -

គ. 21 4y x x ដដនកំណត ់ អនុគមនម៍ាននយ័លុុះត្តាដត 24 0x ឬ 2 2x ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ [ 2 , 2]D ទិសដៅអដថរភាព


2 2

(4 ) ''( ) 1 1

2 4 4

x xf x

x x

- ករណី 0 2x ដនាុះ 2

'( ) 1 0

4

xf x

x

- ករណី 2 0x ដគបាន 2

2

4'( )

4

x xf x

x

2 2 2

2 2 2 2

4 4 2

4 ( 4 ) 4 ( 4 )

x x x

x x x x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 24 2 0 2x x ដត្ ុះ 0x សញ្ញា នន

x 2 2 2 '( )f x

តនមៃអបបបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2x គឺ ( 2) 1 2 2f គណនា ( 2) 1 , (2) 3f f តារាងអដថរភាព

0

- 162 -

x 2 2 2 '( )f x ( )f x 1 3

1 2 2 សងត់្ាបC រក ( )C yóy គឺ 0 , 1x y រក ( )C xóx គឺ 0 , 0.82y x


ដគឲ្យអនុគមន៍ 22 1y x m x ។ ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាប ចំដ ុះ 4m ។ ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមា ។ ចថមលើយ

x

y

C

0

- 163 -

ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាប ចំដ ុះ 4m ដគបាន 2( ) 2 4 1y f x x x ដដនកំណត ់D ទិសដៅអដថរភាព


4'( ) 2

1

xf x

x


4'( ) 2 0

1

xf x

x

- ករណី 0x ដគបាន 2

2

2 1 4'( )

1

x xf x

x

2 2 2

2 2 2 2

2(4 1) 2(3 1)

1(2 1) 1(2 1)

x x x

x x x x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 33 1 0

3x x

សញ្ញា នន '( )f x x 3 / 3 '( )f x

តនមៃអបបបរមាត្តង ់ 3

3x គឺ 3

( ) 2 3 3.53

f

គណនាលីមតី 2lim ( ) lim ( 2 4 1)

x xf x x x

0

- 164 -

2lim ( ) lim ( 2 4 1)x x

f x x x


2 2

2

1( ) 2 4 1 2 4 1f x x x x x

x

2 4 | | ( )x x x ដដល lim ( ) 0x

x

ចំដ ុះ x ដគបាន 6y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងដឆវងននC ចំដ ុះ x ដគបាន 2y x ជាអាសីុមតូតដត្ទតខាងាត ំននC ។ តារាងអដថរភាព

x 3 / 3 '( )f x ( )f x


x

y2y x

6y x

C

0

- 165 -

ខ. រកតនមៃ m ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមា ដគមាន 22 1y x m x


2 2

2 1' 2

1 1

mx mx xy

x x

ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមាលុុះត្តាដត ' 0y គ្នា នបញស

ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 22 1 0mx x ឬ 22 1mx x 2 2 2 2 24( 1) ( 4) 4m x x m x ដដើមបឲី្យសមាីរគ្នា ន បញសាលណា 2 4 0m

x 2 2 2 4m

ដគបាន [ 2 , 2]m ឬ 2 2m ដូចដនុះ ដដើមបឲី្យអនុគមនគ៍្នា នតនមៃបរមាាលណា [ 2 , 2]m ។ លំហាត់ 2.9 អនុគមន៍ f កំណតដ់លើ ]0 , [ ដោយ 2( ) 32 31f x x x ។ ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ។ ខ. កំណតលី់មតីនន f ត្តង់ 0 ។

គ. កំណតលី់មតីនន 2

( )f x

x ដពល x ។

ទញបញ្ញា កលី់មតីនន f ត្តង់ ។ ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f ។ ង. សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f ។

0 0

- 166 -

ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាពននអនុគមន៍ f ដដនកំណត ់ ]0 , [D ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ 16 2( 8)'( ) 2

x xf x x

x x

ដោយ 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 8x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 2 3 38 0 ( ) 8 4x x x x x នាឲំ្យ 4x

x 0 4 '( )f x

អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 4x គឺ (4) 17f ខ. កំណតលី់មតីនន f ត្តង់ 0 2

0 0

lim ( ) lim ( 32 31) 31x x

f x x x

គ. កំណតលី់មតីនន 2

( )f x

x ដពល x

2

2 2

( ) 32 31lim lim

x x

f x x x

x x

2

2 2

2 2 2

32 311

32 31lim lim 1 1

x x

xx

x x x

x x x

0

- 167 -

ទញបញ្ញា កលី់មតីនន f ត្តង់

2

( )lim 1

x

f x

x នាឲំ្យ 2lim ( ) lim

x xf x x

ឃ. គូសតារាងអដថរភាពនន f x 0 4 '( )f x ( )f x 31

17 ង. សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍ f តារាងតនមៃដលខ x 2 6 8 y 10.3 11.4 4.5

x

y

C

0

- 168 -

លំហាត់ 2.10 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ ក. 2 1 3 5y x x ខ. 2( 1) 1y x x ចថមលើយ

ក. 2 1 3 5y x x

ដដនកំណត ់ 5[ , [

3D


ដដរដីវ 3 4 3 5 3'( ) 2

2 3 5 2 3 5

xf x

x x

16(3 5) 9 48 89

2 3 5(4 3 5 3) 2 3 5(4 3 5 3)

x x

x x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 48 89 0x នាឲំ្យ 891.85

48x

សញ្ញា នន '( )f x x 5/ 3 89/ 48 '( )f x

តនមៃអបបបរមាត្តង់ 891.85

48x គឺ (1.85) 1.96f

គណនាលីមតីៈ lim lim (2 1 3 5)x x

y x x

ដបើ 5/3x នាឲំ្យ (5/3) 7 /3 2.33f

0

- 169 -

តារាងអដថរភាព x 5/ 3 89/ 48 '( )f x ( )f x 2.33

1.96 សងត់្ាបC តារាងតនមៃដលខ x 2 3 4 y 2 3 4.4

ខ. 2( 1) 1y x x ដដនកំណត ់ ដោយ 2 1 0 ,x x

x

y

C

0

- 170 -

ដូចដនុះ ដដនកំណតន់នអនុគមនគឺ៍ D ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ 2 2 2

2

2 2 2

( 1) 1 2 1' 1

1 1 1

x x x x x x xy x

x x x

ដោយ 2 1 0,x x D ដនាុះ 'y មានសញ្ញា តាម 22 1x x ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 22 1 0x x ដ ើយ 1 4 2 7 0 ដនាុះ ' 0y ជានិចចចំដ ុះត្គប់ x គណនាលីមតីៈ

2lim lim ( 1) 1x x

y x x

2lim lim ( 1) 1x x

y x x

ដូចដនុះ limx

y

។

តារាងអដថរភាព x

'y y

សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍តារាងតនមៃដលខ x 1 0 0.5 1 1.5 y 2.8 1 0.5 0 0.9

- 171 -

ដដើមបសិីកាអនុគមនត៍្តីដាណមាត្ត ដគត្តូវកំណតច់ដនាៃ ុះននតនមៃ x ដដលត្តូវសិកា ករណីដនុះដគកំណតខ់បួអនុគមនដូ៍ចខាងដត្ាមៈ អនុគមន៍ ( ) sinf x x មានខបួ 2 និងជាអនុគមនដ៍សសចដនាៃ ុះ ដដលត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ។ អនុគមន៍ ( ) cos2f x x មានខបួ និងជាអនុគមនគូ៍ចដនាៃ ុះដដល

ត្តូវសិកាគឺ [0 , ]2

។

អនុគមន៍ ( ) sin2

xf x មានខបួ 4 និងជាអនុគមនដ៍សសចដនាៃ ុះ

៣.អនុគមន៍ក្រតីថាណមាក្រតចក្រមរុះ

C

x

y

- 172 -

ដដលត្តូវសិកាគឺ [0 , 2 ] ។

អនុគមន៍ ( ) cos3

xf x មានខបួ 6 និងជាអនុគមនគូ៍ចដនាៃ ុះដដល

ត្តូវសិកាគឺ [0 , 3 ] ។

ជាទូដៅៈ ខបួននអនុគមន ៍ sin( )x ឬ cos( )x គឺ 2 ។

ចំដ ុះអនុគមនត៍្តីដាណមាត្តចត្មុុះ

ឧទ រណ៍ៈ ( ) sin sin2 3

x xf x ខបួ P នន ( )f x គឺព ុគុណរមួ

តូចបំផុតនន 4 និង 6 ។ ដូដចនុះ 12P ដ ើយ ( )f x ជាអនុគមន ៍ ដសស ចដនាៃ ុះដដលត្តូវសិកាគឺ [0 , 6 ] ។ ចំណុចសំខាន់ៗ សត្មាបសិ់កាអនុគមនត៍្តីដាណមាត្តៈ ដដនកំណត ់ ខបួននអនុគមន៍ ភាពគូ ដសសននអនុគមន ៍ ទិសដៅអដថរភាពននអនុគមន ៍

8 លំហាត់ 3.1 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបតាងអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ

ក. sin sin 2y x x ខ. 4cos cos3

y x x

គ. 2sin 3cosy x x ឃ. 5sin cosy x x

- 173 -

ចថមលើយ

ក. sin sin 2y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P ដត្ ុះ ( 2 ) sin( 2 ) sin 2( 2 )f x x x sin sin 2 ( )x x f x ចំដ ុះត្គប់ x ។ ភាពគូ - ដសសៈ ( ) sin( ) sin 2( ) sin sin 2 ( )f x x x x x f x ដ តុដនុះ f ជាអនុគមនដ៍សស។ ដូចដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ 2'( ) cos 2cos2 cos 2(2cos 1)f x x x x x 2 2cos 4cos 2 4cos cos 2x x x x តាង cost x ដដល 1 1t ដគបាន 2 24cos cos 2 4 2x x t t ដបើ 24 2 0t t ដ ើយ 21 32 33

នាឲំ្យ 1 21 33 1 33

0.843 , 0.5938 8

t t

ករណី cos147.46 2.57

0.843

t xx rad

t

ករណី cos53.63 0.94

0.593

t xx rad

t

ដគបានសញ្ញា ដដរដីវ

- 174 -

x 0 0.94 2.57 '( )f x

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 0.94x គឺ (0.94) 1.76f អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ 2.57x គឺ (2.57) 0.37f ចំដ ុះ 0x ដនាុះ (0) 0f និង x ដនាុះ ( ) 0f តារាងអដថរភាព

x 0 0.94 2.57 '( )f x ( )f x 1.76 0

0 0.37 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0, ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិតO ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ , ] ។

x

y

: sin sin 2C y x x 1.76

0.37

1.76

0.37

2.57

0.940.94

0 0

0 0

- 175 -

ខ. 4cos cos3

y x x

ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនៈ៍ 2P

ភាពគូ - ដសសៈ អនុគមន៍ 4cos cos3

y x x

មនិដមនជាអនុ

គមនគូ៍និងដសសដទ។ ដូដចនុះ ដគអាចសិកាកនុចដនាៃ ុះ [0 , 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ '( ) 4sin cos 4cos sin3 3

f x x x x x

4sin 4sin 23 3

x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 4sin 2 03

x

នាឲំ្យ 2 0 2

3

2 23

x k

x k

- ចំដ ុះ 0k ដគបាន2 0 [0,2 ]

3 6

23 3

x x

x x

- 176 -

- ចំដ ុះ 1k ដគបាន 5

2 23 6

42 3

3 3

x x

x x

- ចំដ ុះ 2k ដគបាន 11

2 43 6

72 5 [0,2 ]

3 3

x x

x x

ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 0 2 2 2 ,3

k x k k

- ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0 23

x

ឬ 6 3

x

- ចំដ ុះ 1k ដគបាន 2 2 33

x

ឬ 5 4

6 3x

ដបើ '( ) 0f x ដនាុះ 2 2 2 2 ,3

k x k k

- ចំដ ុះ 0k ដនាុះ 2 23

x

ឬ 5

3 6x

- ចំដ ុះ 1k ដនាុះ 3 2 43

x

ឬ 5 11

6 6x

សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 3 5 / 6 4 / 3 11 / 6 2 '( )f x

តនមៃបរមា - តនមៃអបបបរមាៈ ( / 3) 1 , (4 /3) 1f f

0 0 0 0

- 177 -

- តនមៃអតិបរមាៈ (5 / 6) 3 , (11 / 6) 3f f ចំដ ុះ 0x នាឲំ្យ (0) 2f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 2f តារាងអដថរភាព

x 0 / 3 5 / 6 4 / 3 11 / 6 2 '( )f x ( )f x 2 3 3

1 1 2 សងត់្ាបC តាងអនុគមន៍

គ. ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P ភាពគូ-ដសសៈ 2sin 3cosy x x ជាអនុគមនម៍និគូនិងមនិដសស ដូចដនុះ ដយើងត្តូវសិកាដលើចដនាៃ ុះ [0 , 2 ] ។

2sin 3cosy x x

x

y : 4cos cos3

C y x x

3

5

6

4

3

11

6

2

0 0 0 0

- 178 -

ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 2cos 3sinf x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2cos 3sin 0x x

2cos 3sin0

cos

x x

x

ដដល ,

2x k k

22 3tan 0 tan

3x x

នាឲំ្យ 2tan( ) 0.58 ,

3x arc k k k

ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0.58 [0,2 ]x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 0.58 0.58 3.14 2.56x ចំដ ុះ 2k ដគបាន 0.58 2 0.58 6.28 5.7x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2tan

3x

នាឲំ្យ 0 0.58 ,k x k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0 0.58x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 3.14 2.56x ដគបាន '( ) 0f x ចំដ ុះ 0 2.56x ដគបានសញ្ញា '( )f x

x 0 2.56 5.7 2 '( )f x

តនមៃអតិបរមាត្តង់ 2.56x គឺ (2.56) 3.6f តនមៃអបបបរមាត្តង់ 5.7x គឺ (5.7) 3.6f

0 0

- 179 -

ចំដ ុះ 0x នាឲំ្យ (0) 3f ចំដ ុះ 2x នាឲំ្យ (2 ) 3f តារាងអដថរភាព

x 0 2.56 5.7 2 '( )f x ( )f x 3.6 3

3 3.6 សងត់្ាបC

ឃ. ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0,2 ] ទិសដៅអដថរភាព

5sin cosy x x

x

y: 2sin 3cosC y x x

0 0

- 180 -

ដដរដីវ '( ) 5cos sinf x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 5cos sin 0x x

5 tan 0x ដដល ,2

x k k

tan 5 arctan5 1.37 ,x x k k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 1.37x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 1.37 3.14 4.51x ចំដ ុះ 2k ដគបាន 1.37 6.28 7.65 [0,2 ]x ដដរដីវទីពីរ ''( ) 5sin cosf x x x - ត្តង់ 1.37x ដគបាន ''(1.37) 5sin(1.37) cos(1.37) 5.1 0f នាឲំ្យ f មានអតិបរមាត្តង់ 1.37x គឺ (1.37) 5.1f - ត្តង់ 4.51x ដគបាន ''(4.51) 5sin(4.51) cos(4.51) 5.1 0f នាឲំ្យ f មានអបបបរមាត្តង់ 4.51x គឺ (4.51) 5.1f ចំដ ុះ 0x នាឲំ្យ (0) 1f ចំដ ុះ 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f តារាងអដថរភាព

x 0 1.37 4.51 2 '( )f x ( )f x 5.1 1

1 5.1

0 0

- 181 -


លំហាត់ 3.2 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ ក. cos2 cos3y x x ខ. 2sin sin 2y x x ចថមលើយ

ក. cos2 cos3y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P cos2 cos3y x x ជាអនុគមនគូ៍ ដត្ ុះថា ( ) cos2( ) cos3( ) cos2 cos3 ( )f x x x x x f x

x

y : 5sin cosC y x x

- 182 -

ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0, ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 2sin 2 3sin3f x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2sin 2 3sin3 0x x ដោយ 3sin3 3sin 4sinx x x sin 2 2sin cosx x x ដគបាន 32(2sin cos ) 3(3sin 4sin ) 0x x x x

3

3

2(2sin cos ) 3(3sin 4sin ) 0

4sin cos 9sin 12sin 0

x x x x

x x x x

2sin ( 4cos 9 12sin ) 0x x x 2sin ( 4cos 9 12(1 cos )) 0x x x 2sin ( 3 4cos 12cos ) 0x x x


sin 0

3 4cos 12cos 0

x

x x

- ករណី 0 2sin 0

2 ,

x kx

x k k

ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0 ,x x - ករណី 23 4cos 12cos 0x x តាង cost x ដដល 1 1t ដគបានសមាីរ 23 4 12 0t t មាន ' 4 36 40

- 183 -

នាឲំ្យ 2 400.36

12t

2 400.693

12t

ចំដ ុះ 0.36cos 0.36

cos

tx

t x

នាឲំ្យ arccos( 0.36) 2 1.93 2 ,x k k k ដបើ 0k ដគបាន 1.93x

ចំដ ុះ 0.693cos 0.693

cos

tx

t x

នាឲំ្យ arccos(0.693) 2 0.8 2 ,x k k k ដបើ 0k ដគបាន 0.8x ដូចដនុះ ដលើចដនាៃ ុះ[0 , ] សមាីរមានបញស {0 , 0.8 , 1.93 , } ដដរដីវទីពីរ ''( ) 4cos2 9cos3f x x x - ចំដ ុះ 0x ដនាុះ ''(0) 4 9 5 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមាគឺ (0) 0f - ចំដ ុះ 0.8x ដនាុះ ''(0.8) 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមាគឺ (0.8) 0.7f - ចំដ ុះ 1.93x ដនាុះ ''(1.93) 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអបបបរមាគឺ (1.93) 1.63f - ចំដ ុះ x ដនាុះ ''( ) 0f នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមាគឺ ( ) 2f

- 184 -

តារាងអដថរភាព x 0 0.8 1.93 '( )f x ( )f x 0.7 2

0 1.63 សងត់្ាបC តាងអនុគមនៈ៍ ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0, ]

បនាទ បម់ក តាមបំដលងឆៃុុះអក័ស oy

ដគបាន ត្ាបដៅចដនាៃ ុះ[ , ]

ខ. 2sin sin 2y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P ចដនាៃ ុះដដលត្តូវសិកាគឺ [0, ] ដត្ ុះថា 2sin sin 2y x x ជាអនុគមនដ៍សស។

x

y

( )C

0 0

- 185 -

ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 2cos 2cos2f x x x

24cos 2cos 2x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 24cos 2cos 2 0x x តាង cost x ដដល 1 1t

ដគបាន 24 2 2 0t t មានបញស 11 ,

2t t

- ករណី coscos 1

1

t xx

t

នាឲំ្យ 0 2 ,x k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0x ចំដ ុះ 1k ដគបាន 2 [0, ]x

- ករណី cos

1 2cos cos1

2 32

t x

xt


23

22 ,

3

x k

x k k

ចំដ ុះ 0k ដគបាន 2

2.13

22.1 [0, ]

3

x

x

ដដរដីវទីពីរ ''( ) 8sin cos 2sin 2sin (4cos 1)f x x x x x x ដបើ 2.1x ដនាុះ ''(2.1) 1.27 0f

- 186 -

នាឲំ្យ f មានតនមៃអតិបរមាត្តង់ 2.1x គឺ (2.1) 2.6f ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f ដបើ x នាឲំ្យ ( ) 0f តារាងអដថរភាព

x 0 2.1 '( )f x ( )f x 2.6

0 0 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។

[0, ]

O [ , ]

x

y: 2sin sin 2C y x x

0

- 187 -

លំហាត់ 3.3 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនៈ៍

ក. 1 sin

cos

xy

x

ខ. cos 1

sin

xy

x

ចថមលើយ

ក. 1 sin

cos

xy

x

ដដនកំណត ់ { , }2

D k k

ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P

អនុគមន៍ 1 sin

cos

xy

x

មនិដមនជាអនុគមនគូ៍និងដសសដទ។

ដ តុដនុះ ដគអាចសិកាកនុងចដនាៃ ុះ [0 , 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព


2

cos sin (1 sin )'( )

cos

x x xf x

x

2 2 2 2

2 2

cos sin sin sin (sin cos )

cos cos

x x x x x x

x x

2

sin 1

cos

x

x

ដោយ 2cos 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម sin 1x ដោយ sin 1x ចុុះជានិចចចំដ ុះត្គប ់ x D ដនាុះ '( ) 0f x សញ្ញា នន '( )f x

- 188 -

x 0 / 2 3 / 2 2 '( )f x


2 2

1 sinlim ( ) lim

cosx x

xf x

x

តាង 2

t x

ដនាុះ 2

x t

ដពល 2

x

ដនាុះ 0t

ដគបាន 0

2

1 sin1 sin 2

lim limcos

cos2

tx

tx

xt

2

0 0 0

2sin sin1 cos 2 2lim lim lim 0

sin2sin cos cos

2 2 2

t t t

t t

t

t t tt

ដូចដនុះ ត្ាបតាងអនុគមនម៍និោចត់្តងចំ់ណុច 2

x

ដទ ។

3 3

2 2

1 sin 1 ( 1)lim ( ) lim

cos 0x x

xf x

x

ដោយ3

2

lim ( )

x

f x

ដ តុដនុះ 3

2x

ជាអាសីុមតូតឈរ

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 1f

- 189 -

ដបើ 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f តារាងអដថរភាព

x 0 / 2 3 / 2 2 '( )f x ( )f x 1

1


ខ. cos 1

sin

xy

x

ដដនកំណត ់ { , }D k k ខបួននអនុគមនគឺ៍ 2P

x

y1 sin

:cos

xC y

x

3

2x

- 190 -

អនុគមន៍ cos 1

sin

xy

x

ជាអនុគមនដ៍សស។ ដូចដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវ

សិកាគឺ [0 , ] ។ ទិសដៅអដថរភាព


2 2

sin cos cos 1 cos'( )

sin sin

x x x xf x

x x

2

1 cos'( ) 0

sin

xf x

x

ចំដ ុះត្គប ់ 0 x


2

0 0 0

2sincos 1 2lim ( ) lim lim 0

sin2sin cos

2 2

x x x

x

xf x

x xx

cos 1 1 1lim ( ) lim

sin 0x x

xf x

x

អាសីុមតូត ដោយ lim ( )

xf x

ដ តុដនុះបនាទ ត់ x ជាអាសីុមតូតឈរ

តារាងអដថរភាព x 0 '( )f x ( )f x 0

សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ [0, ]

- 191 -

ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។

លំហាត់ 3.4 ដត្បើត្ាបននអនុគមន៍ sin 2 3siny x x ដោុះត្ាយសមាីរ sin 2 3sin 0x x ដបើ 2 2x ។ ចថមលើយ

សងត់្ាបននអនុគមន៍ sin 2 3siny x x

O [ , ]

2

2 0

x

y

x

y

x

x ( )C

- 192 -

តាមត្ាបខាងដលើ កនុងចដនាៃ ុះ [ 2 , 2 ] សមាីរ sin 2 3sin 0x x មានបញស { 2 , ,0, ,2 }x ដូចដនុះ { 2 , ,0, ,2 }x ជាបញសរបស់សមាីរ ។ លំហាត់ 3.5 ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍ 2cos sin 2y x x ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin 2 siny a x x ចំដ ុះ 1a

គ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin cos 1

cos

a x xy

a x

ដបើ 1a

ចថមលើយ

ក. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមន៍ 2cos sin 2y x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P ភាពគូ - ដសសៈ 2cos sin 2y x x ជាអនុគមនដ៍សស ដត្ ុះថា 2 2( ) cos ( ) sin 2( ) cos sin 2 ( )f x x x x x f x ដូចដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ។ ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ 2'( ) 2sin cos sin 2 2cos cos2f x x x x x x 2 2 2 2 24sin cos 2cos (cos sin )x x x x x 2 2 4 2 24sin cos 2cos 2sin cosx x x x x 2 2 4 2 2 26sin cos 2cos 2cos ( 3sin cos )x x x x x x ដោយ 22cos 0 , [0, ] { / 2}x x

- 193 -

នាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 2 23sin cosx x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2 23sin cos 0x x 2 2 24sin sin cos 0x x x

2 2 1 14sin 1 0 sin sin

4 2x x x

ចំដ ុះ 1sin

2x នាឲំ្យ 5

,6 6 6

x x

ចំដ ុះ 1sin sin

2 6x

នាឲំ្យ 7[0, ]

6x

សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 6 / 2 5 / 6 '( )f x

តនមៃអតិបរមា ( ) 0.656

f

និងតនមៃអបបបរមា 5( ) 0.65

6f

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f , ដបើ 2

x

នាឲំ្យ ( ) 02

f

ដបើ x នាឲំ្យ ( ) 0f តារាងអដថរភាព

x 0 / 6 / 2 5 / 6 '( )f x ( )f x 0.65 0

0 0.65 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ [0, ]

0 0 0

0 0 0

- 194 -

ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។

ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin 2 siny a x x ចំដ ុះ 1a ចំដ ុះ 1a ដគបាន ( ) sin 2 siny f x x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមន៍ f ជាអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0, ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ តាង ដដល ដគបាន ដបើ ដ ើយ

នាឲំ្យ

O [ , ]

2'( ) cos 2cos2 cos 2(2cos 1)f x x x x x

2 2cos 4cos 2 4cos cos 2x x x x

cost x 1 1t

2 24cos cos 2 4 2x x t t

24 2 0t t 21 32 33

1 21 33 1 33

0.843 , 0.5938 8

t t

x

y

2

6

2

6

0.65

0.65

- 195 -

ករណី

ករណី

ដគបានសញ្ញា ដដរដីវ

ចំណុចបរមា អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង់ គឺ អនុគមនម៍ានតនមៃអបបបរមាត្តង់ គឺ ចំដ ុះ ដនាុះ និង ដនាុះ តារាងអដថរភាព

សងត់្ាប ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ ។

cos147.46 2.57

0.843

t xx rad

t

cos53.63 0.94

0.593

t xx rad

t

x 0 0.94 2.57

'( )f x

0.94x (0.94) 1.76f

2.57x (2.57) 0.37f

0x (0) 0f x ( ) 0f

x 0 0.94 2.57

'( )f x

( )f x 1.76 0

0 0.37

C : [0, ]

O [ , ]

0 0

0 0

- 196 -

គ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន sin cos 1

cos

a x xy

a x

ចំដ ុះ 1a ដគបាន sin cos 1( )

cos

x xy f x

x


D k k

ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមន៍ f មនិដមនជាអនុគមនដ៍សសនិងអនុគមនគូ៍ដទ ដ តុដនុះ ចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព


(cos sin )cos sin (sin cos 1)'( )

cos

x x x x x xf x

x

2 2

2

cos sin sin cos sin cos sin

cos

x x x x x x x

x

2

1 sin

cos

x

x

x

y

1.76

0.37

1.76

0.37

2.57

0.940.94

: sin 2 sinC y x x

- 197 -

ដោយ 2cos 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម 1 sin x

ដបើ 02

x

ដនាុះ 1 sin 0x នាឲំ្យ '( ) 0f x

ដបើ 2

x


ដបើ 3

2x


ដបើ 3 22

x



2 2

sin cos 1lim ( ) lim

cosx x

x xf x

x

តាង 2

t x


x t

ដបើ 2

x

ដនាុះ 0t

ដគបាន 0

2

sin cos 12 2

lim ( ) lim

cos2

tx

t t

f x

t

2

0 0

2sin 2sin coscos sin 1 2 2 2lim lim

sin2sin cos

2 2

t t

t t t

t t

t tt

- 198 -

0

sin coscos02 2lim 1cos0

cos2

t

t t

t

ដោយ2 2

sin cos 1lim ( ) lim 1

cosx x

x xf x

x

ដូចដនុះ ត្ាបC តាងអនុគមនម៍និោចត់្តង ់2

x

ដទ ។

3

2 2

sin cos 1 1 0 1lim ( ) lim

cos 0x x

x xf x

x

ដូចដនុះ បនាទ ត ់ 3

2x

ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។

ដបើ x នាឲំ្យ ( ) 0f ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 2f ដបើ 2x នាឲំ្យ (2 ) 2f តារាងអដថរភាព

x 0 3 / 2 2 '( )f x ( )f x

2 2


- 199 -

លំហាត់ 3.6 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាមៈ

ក. ( ) sin 2sin2

xy f x x

ខ. cos 1( )

2cos 1

xy f x

x

ចថមលើយ

ក. ( ) sin 2sin2

xy f x x

ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 4P f ជាអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , 2 ]

3

2x

( )C

x

y

22

- 200 -


ដដរដីវ '( ) cos cos2

xf x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ cos cos 02

xx

cos cos cos2 2

x xx

នាឲំ្យ 2 ,

2

2 ,2

xx k k

xx k k

22

32

2

xk

xk

2 4

2 4,

3 3

x k

kx k


2[0,2 ]

3

x

x

ចំដ ុះ 1k ដគបាន 6 [0,2 ]

2

3

x

x

ដដរដីវទីពីរ 1''( ) sin sin

2 2

xf x x

ចំដ ុះ 2

3x

ដនាុះ 2

'' 03

f

នាឲំ្យ f មានអតិបរមាដធៀប

- 201 -

ត្តង ់ 22.1

3x

គឺ 2 3 3

( ) 2.63 2

f

។

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 0f តារាងអដថរភាព

x 0 2 / 3 2 '( )f x ( )f x 2.6

0 0 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0,2 ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ 2 ,2 ] ។

ខ.

ដដនកំណត ់ 2 2{ 2 , 2 , }

3 3D k k k

O

cos 1( )

2cos 1

xy f x

x

x

y: sin 2sin

2

xC y x

0

- 202 -

ខបួននអនុគមន ៍ 2P f ជាអនុគមនគូ៍ ដូដចនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ទិសដៅអដថរភាព


sin (2cos 1) 2sin (cos 1)'( )

(2cos 1)

x x x xf x

x

2 2

2sin cos sin 2sin cos 2sin 3sin

(2cos 1) (2cos 1)

x x x x x x x

x x

ដោយ 2(2cos 1) 0 ,x x D ដនាុះនាឲំ្យ '( )f x មានសញ្ញា តាម 3sin x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 3sin 0 ,x x k k ចំដ ុះ 0k ដគបាន 0x ចំដ ុះ 1k ដគបាន x ដោយ 3sin 0x ដលើចដនាៃ ុះ [0 , ] ដនាុះ '( ) 0f x គណនាលីមតី

2 2

3 3

11

cos 1 2lim ( ) lim2cos 1 0

x x

xf x

x


3x

ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC ។

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f

ដបើ x នាឲំ្យ 2( )

3f

តារាងអដថរភាព

- 203 -

x 0 2 / 3 '( )f x ( )f x 0

2 / 3

សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍ : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ

បនាទ បម់ក តាមបំដលងឆៃុុះអក័ស ដគបាន ត្ាបដៅចដនាៃ ុះ


ក. រកបរមាននអនុគមន ៍ sin

2 cos

xy

x

ដលើចដនាៃ ុះ [0 , ] ។

ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន ( ) 3sin cosf x x x ។ ចថមលើយ

ក. រកបរមាននអនុគមន ៍ sin

2 cos

xy

x

ដលើចដនាៃ ុះ [0 , ]

[0, ]

oy

[ , ]

x

y( )C

2

3x

- 204 -


cos (2 cos ) sin sin'

(2 cos )

x x x xy

x

2 2

2 2

2cos cos sin 2cos 1

(2 cos ) (2 cos )

x x x x

x x

ដោយ 2(2 cos ) 0 ,x x ដនាុះនាឲំ្យ 'y មានសញ្ញា តាម 2cos 1x

ដបើ ' 0y នាឲំ្យ 22cos 1 0

3x x

ដលើចដនាៃ ុះ[0 , ] ដគបាន

ចំដ ុះ 20

3x

ដនាុះ 2cos 1 0x នាឲំ្យ ' 0y

ចំដ ុះ 23

x

ដនាុះ 2cos 1 0x នាឲំ្យ ' 0y

x 0 2 / 3 'y

y 2( )

3y

តាមតារាងខាងដលើ អនុគមនម៍ានតនមៃអតិបរមាត្តង ់ 2

3x

គឺ 2 3

sin( )2 3 2 33 2( )

2 13 2 3 32 cos( ) 2

3 2

y

។

0

- 205 -

ខ. សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបនន ( ) 3sin cosf x x x

3 1( ) 2( sin cos ) 2sin

2 2 6f x x x x

ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមនម៍និដមនអនុគមនគូ៍និងអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះដដលត្តូវសិកាគឺ [0, 2 ] ។ ទិសដៅអដថរភាព

ដដរដីវ '( ) 2cos6

f x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2cos 06

x

ដនាុះនាឲំ្យ ,6 2 3

x k x k k


x


3x

ចំដ ុះ 2k ដគបាន 2 [0 , 2 ]3

x

x 0 / 3 4 / 3 2 '( )f x

តនមៃអតិបរមាដធៀបគឺ ( ) 2sin 23 3 6

f

0 0

- 206 -

តនមៃអបបបរមាដធៀបគឺ 4 4( ) 2sin 2

3 3 6f

ដបើ 0x នាឲំ្យ 1(0)

2f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f

តារាងអដថរភាព x 0 / 3 4 / 3 2 '( )f x ( )f x 2 1


លំហាត់ 3.8 សិកាអដថរភាពនិងសងត់្ាបននអនុគមនខ៍ាងដត្ាម ក. 2( ) 2sin 2sin 1f x x x

ខ. 3

sin 3( )

(cos )

xf x

x

: 2sin6

C y x

x

y

0 0

- 207 -

ចថមលើយ

ក. 2( ) 2sin 2sin 1f x x x ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P អនុគមនម៍និមានភាពគូ-ដសស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ[0,2 ] ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ '( ) 4sin cos 2cos 2cos (2sin 1)f x x x x x x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 2cos (2sin 1) 0x x នាឲំ្យ cos 0

2sin 1 0

x

x

ចំដ ុះ cos 0 ,2

x x k k

ដបើ 0k ដគបាន 2

x

និង 1k ដគបាន 3

2x

ចំដ ុះ 2

62sin 1 0

2 ,6

x k

x

x k k

ដបើ 0k ដគបាន 5,

6 6x x

x 0 / 6 / 2 5 / 6 3 / 2 2 cos x

2sin 1x '( )f x

0 0

0 0

0 0 0 0

- 208 -


តនមៃអបបបរមាត្តង ់6

x

គឺ 3( ) 1.56 2

f

តនមៃអតិបរមាត្តង ់2

x

គឺ ( ) 12

f


6x

គឺ 5 3

( ) 1.56 2

f

តនមៃអតិបរមាត្តង ់ 3

2x

គឺ 3

( ) 32

f

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 1f និង 2x នាឲំ្យ (2 ) 1f តារាងអដថរភាព

x 0 / 6 / 2 5 / 6 3 / 2 2

'( )f x ( )f x 1 1 3

3/ 2 3/ 2 1 សងត់្ាបC តាងអនុគមន ៍

( )C

x

y

0 0 0 0

- 209 -

ខ. 3

sin 3( )

(cos )

xf x

x


D k k

ខបួននអនុគមន ៍ 2P f ជាអនុគមនដ៍សស ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0, ] ទិសដៅអដថរភាព


6

3cos3 cos 3sin cos sin3'( )

(cos )

x x x x xf x

x

4 4 4

3cos3 cos 3sin sin3 3cos(3 ) 3cos 2

(cos ) (cos ) (cos )

x x x x x x x

x x x

ដោយ 4(cos ) 0 ,x x D ដនាុះ '( )f x មានសញ្ញា តាម cos2x

ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ cos 2 0 2 ,2

x x k k

នាឲំ្យ ,4 2

kx k


x


4x

សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x

តនមៃបរមា 0 0

- 210 -


x

គឺ ( ) 24

f


4x

គឺ 3

( ) 24

f

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f និង x នាឲំ្យ ( ) 0f គណនាលីមតី

3 3

2 2

3sin( )

sin 3 2 / 22lim ( ) lim3 0(cos ) (cos )2

x x

xf x

x

អាសីុមតូតឈរ ដោយ

2

lim ( )

x

f x


x

ជាអាសីុមតូតឈរននត្ាបC តាងអនុគមន ៍។

តារាងអដថរភាព x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x '( )f x 2

0 0 2

សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0 , ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ , ] ។ O

0 0

- 211 -

លំហាត់ 3.9 ដគឲ្យអនុគមន៍ f កំណតដ់ោយ 3( ) 3sin 2sinf x x x ។ ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពនិងសងត់្ាបC ននអនុគមន៍ f ។ ខ. រកចំននួពិត a និង b ដដើមបឲី្យអនុគមន៍ F កំណតដ់ោយ 3( ) cos cosF x a x b x ជាត្ពីមទីីវននអនុគមន៍ f ។ ចថមលើយ

ក. សិកាទិសដៅអដថរភាពនិងសងត់្ាបC ននអនុគមន៍ f ដដនកំណត ់D ខបួននអនុគមន ៍ 2P f ជាអនុគមនដ៍សស ដត្ ុះថា 3( ) 3sin( ) 2sin ( )f x x x 3(3sin 2sin ) ( )x x f x ។

x

y

( )C

2x

- 212 -

ដ តុដនុះចដនាៃ ុះត្តូវសិកាគឺ [0 , ] ។ ទិសដៅអដថរភាព ដដរដីវ 2 2'( ) 3cos 6cos sin 3cos (1 2sin )f x x x x x x ដបើ '( ) 0f x នាឲំ្យ 23cos (1 2sin ) 0x x

ករណី cos 02

x x

ចំដ ុះ [0 , ]x

ករណី 2 21 2sin 0 sin

2x x

- ចំដ ុះ 2sin [0 , ]

2 4x x

- ចំដ ុះ 2 3sin ,

2 4 4x x x

ចំដ ុះ [0 , ]x

សញ្ញា នន '( )f x x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x



x

គឺ ( ) 2 1.44

f

តនមៃអតិបរមាត្តង ់ 3

4x

គឺ 3

( ) 2 1.44

f

តនមៃអបបបរមាត្តង ់2

x

គឺ ( ) 12

f

ដបើ 0x នាឲំ្យ (0) 0f និង x នាឲំ្យ ( ) 0f តារាងអដថរភាព

0 0 0

- 213 -

x 0 / 4 / 2 3 / 4 '( )f x ( )f x 2 2

0 1 0 សងត់្ាបC : ដំបូងសងត់្ាបដៅចដនាៃ ុះ [0 , ] បនាទ បម់កតាមបំ ដលងឆៃុុះផចិត ដគបានត្ាបដៅចដនាៃ ុះ [ , ] ។

ខ. រកចំននួពិត a និង b ដគមាន 3( ) cos cosF x a x b x ដដរដីវ 2'( ) sin 3 sin cosF x a x b x x 2 3sin 3 sin (1 sin ) ( 3 )sin 3 sina x b x x a b x b x ដដើមបឲី្យអនុគមន៍ Fជាត្ពីមទីីវននអនុគមន៍ f លុុះត្តាដត

3 3 1

3 2 2 / 3

a b a

b b

ដ តុដនុះ 1 , 2/3a b ។

-2,

O

x

y

( )C

0 0 0

Documents

3 លំហាត់អនុគម្ន៍ - WordPress.com · 2016. 4. 28. · iii ឯរសារយោង 1. នសៀវនៅ 4ណិត្វទិាថា 2់ទី១២