3. gyakorlat

INCK401Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita2014/2015. I. félév

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

Nulladrendű logika

Egy olyan logikai rendszer, amely a nulladrendű nyelvből, a nyelvhez kapcsolódó nulladrendű

interpretációból, az interpretációra támaszkodó nulladrendű

szemantikai szabályokból, a nulladrendű centrális logikai

fogalmakból

épül fel.

A nulladrendű nyelv

L(0)= LC,Con,Form⟨ ⟩

ahol LC={¬,⊃,∧,∨,≡,(,)} (a nyelv logikai

konstansainak halmaza) Con≠∅ a nyelv nemlogikai konstansainak

(állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza

LC∩Con=∅ A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form

halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:

A Form halmaz induktív definíciója

a. Con⊆Form (Con elemei az atomi formulák)

b. Ha A∈Form, akkor ¬A∈Form.c. Ha A,B∈Form, akkor

(A⊃B)∈Form, (A∧B)∈Form, (A∨B)∈Form, (A≡B)∈Form.

Példák formulákra

atomi formula (eleme a Con halmaznak)

p, q, r, s, t,… atomi formulából képzett formula

¬p, ¬q, ¬r, …… formulákból képzett formula

(A ⊃ B), (A ∧ ¬ B),… formulából képzett formula

¬ (A ⊃ B), (¬ (A ∧ ¬ B) ∨C),…..

Példák formulákra

Legyen Con = {p, q}. Ekkor Form = {p, q,

¬p, ¬q, (p ⊃ q), (p ∨ q), (p ∧ q), (p ≡ q), ¬(p ⊃ q), ¬(p ∨ q), ¬(p ∧ q), ¬(p ≡ q), ((p ⊃ q) ⊃ (p ∨ q)), ((p ⊃ q) ∧ (p ∨ q)),

… ….

}

1. feladat

Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja a formulában szereplő zárójelek számát!

f: Form ->NHa p∈Con, akkor f(p) = 0Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 0Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1, ahol * ∈{∧, ∨, ⊃, ≡}

1. feladat - példa

Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden nulladrendű formula esetén megadja a formulában szereplő zárójelek számát, a((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t) nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})!

f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1== f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+0+1+0+1 =f(¬t)+f(r)+1+0+1+0+1=0+0+1+0+1+0+1=3

2. feladat

Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok számát! (a definiálandó függvény adja meg a formula logikai összetettségét.)

f: Form ->NHa p∈Con, akkor f(p) = 0Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 1Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)+1Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1,

ahol * ∈ {∧, ∨, ⊃, ≡}

2. feladat - példa

Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden nulladrendű formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok számát, a ((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t) nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})!

f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1==f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+1+0+1+0+1==f(¬t)+f(r)+1+1+0+1+0+1=1+0+1+1+0+1+0+1=5

Formula részformuláinak halmaza

Legyen A∈Form az L(0) nyelv tetszőleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy A∈RF(A), azaz az A formula részformulája

önmagának; ha ¬B∈RF(A), akkor B∈RF(A); ha (B⊃C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); ha (B∧C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); ha (B∨C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); ha (B≡C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A).

Példa részformulákra

Legyen D=(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A).Ekkor RF(D) = {

(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A),¬(A ∨ ¬B), ¬A,(A ∨ ¬B),A, ¬B,B}

Közvetlen részformula

Ha p atomi formula (azaz p∈Con), akkor nincs közvetlen részformulája;

¬A egyetlen közvetlen részformulája A;

Az (A⊃B),(A∧B),(A∨B),(A≡B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.

Példa közvetlen részformulákra

p∈Con, KRF(p) = ∅. KRF(¬A) = {A}; KRF(A⊃B) = {A, B} KRF(¬A⊃(B∧A)) = {¬A,

(B∧A)}

Részformula vs. közvetlen részformula

formula részformula

közvetlen részformul

a¬A {¬A, A} {A}

(A⊃B) {(A⊃B) ,A, B} {A, B}

(¬A⊃(B∧A))

{(¬A⊃(B∧A)),¬A, (B∧A),

A, B}{¬A, (B∧A)}

Részformula másik definíciójaEgy A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy A∈RF(A), (azaz az A formula

részformulája önmagának); ha Aʹ∈RF(A) és B közvetlen részformulája

Aʹ- nek, akkor B∈RF(A) (azaz, ha egy Aʹ formula részformulája A-nak, akkor Aʹ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).

Feladat

3. Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja, hogy a formulának legfeljebb hány részformulája lehet!

Feladat: Soroljuk fel az alábbi formulák összes részformuláit! Húzzuk alá a közvetlen részformulákat!

a. (((X ⊃ Y) ∧ (Y ⊃ Z)) ⊃ (¬X ∨ Z))b. ((X ⊃ Y) ⊃ ((X ⊃ ¬Y) ⊃ ¬Y))c. ((¬X ∨ Y) ⊃ ¬Z)d. ¬((X ∨ Y) ∧ ¬X)e. ¬((X ∨ Y) ∨ Z)f. ¬((X ∨ Y) ⊃ (X ∧ Y))

g. ((X ∧ Y) ≡ (Y ∧ X))

Szerkezeti fa

Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk, amelynek csúcsai formulák gyökere az A formula, ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a

B formula, (B⊃C),(B∧C),(B∨C),(B≡C) alakú

csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulák alkotják,

levelei prímformulák (atomi formulák).

Példa szerkezeti fára

¬((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B))

((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B))

(¬A⊃(B∧A)) ¬(A ⊃ ¬B)

¬A (B∧A)

A B A

(A ⊃ ¬B)

A ¬B

B

Feladat

4. HF. Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja, hogy a formula szerkezeti fájának hány csúcsa van!

Segédletek logikából

Dr. Mihálydeák Tamás: http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/

Logika_html_2011_11_15.zip http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.

html http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf

Dr. Várterész Magda: http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf

Lengyel Zoltán: http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf