第3章离散系统的时域分析

《信号与线性系统》

第 3 章离散系统的时域分析


3.1 连续时间信号的取样

3.2 离散时间信号的表示

3.3 离散时间系统的描述和响应

3.4 卷积和

3.5 卷积和的计算机模拟

3.6 离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较



3.1 连续时间信号的取样

3.1.1 离散时间信号连续系统的激励和响应都是连续时间信号，它们

是连续变量 t 的函数，离散系统的激励与响应都是离散时间信号，表示这种信号的函数，只在一系列互相分离的时间点上才有定义，而在其它点上则未定义，所以它们是离散变量 tk 的函数（或称序列）。



离散的函数值也常常画成一条条的垂直线，如图 3.

1(a) 所示，其中每条直线的端点才是实际的函数值。在数字技术中函数的取样值并不是任意取值的，而必须将幅度加以量化，也就是幅度的数值，只能在一组预定的数据中取值，如图 3.1(b) 所示。



图 3.1 离散时间信号

(a) 离散时间信号； (b) 数字信号

f [k ]

t1

t2

t10

0 ¡ ¡

1

2

3

4

5

6

7

8

kt1

t2

t10

0 ¡ ¡ k

(a ) ÀëÉ¢Ê±¼äÐÅºÅ (b ) Êý×ÖÐÅºÅ

f [k ]



3.1.2 信号的取样对连续时间信号进行数字处理，必须首先对信号

进行取样。进行取样的取样器一般由电子开关组成。其工作原理如图 3.2 所示。

图 3.2 取样原理图

脉冲调制

x ( t ) y ( t )

T

x ( t ) y ( t )

p ( t )



图 3.3 信号的取样

(a) 连续信号 x(t) 波形； (b) 取样脉冲 p(t) 波形； (c) 取样信号 y(t)波形

p ( t )

t

x ( t )

t

T

y ( t )

t

(a )

(b )

(c )



上面实际取样所得出的取样信号在 τ 趋于零的极限情况下，将成为一冲激函数序列。这些冲激函数准确的出现在取样瞬间 , 而它们的强度则准确地等于在取样瞬间的幅度，如图 3.4 所示。这就是理想取样信号。



图 3.4 理想冲激取样信号波形

t

y ( t )*



理想取样同样可以看作是连续时间信号对脉冲载波的调幅过程，因而理想冲激取样信号 y*(t) 可以表示为

δ(t-nT) 只有在 t=nT 时非零。因此，上式中 x(t) 值只有当 t=nT 时才有意义，故有

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

y t x t p t x t t nT

(3―1)

( ) ( ) ( ) ( )n

y t x t x nT t nT

（ 3―2 ）



3.1.3 取样定理是不是所有时间间隔的理想取样都能反映原连续

信号的基本特征呢？答案是否定的，例如，有一个连续信号 y(t)=sin(t) 信号图如图 3.5 （ a ）所示。当取样间隔 T=π 秒时所得的理想取样序列为 y(nT)=sin(nπ)=0 ，其信号图如图 3.5(b) 所示。



图 3.5 y(t)=sin(t) 的信号图(d )

)6

πsin()( nnTy

n0 22

π

1

£ 1

0£ £ 2 £ 3 £ 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

y ( t )£½sin( t )

(a )

0£ £ 2 £ 3 £ 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

y (n T )£½sin( n )

(b )

y (n T )£½sin( n )

0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4£ 0.5 £ £ 1.5 0£ 2

(c )

t



把连续的模拟信号经过取样、量化、编码、转变成离散的数字信号的过程称为模拟—数字转换（ A/D

转换）；相反，由数字信号转变成模拟信号的过程称为数字—模拟转换（ D/A 转换）。利用这样的转换，可以把模拟信号转换成数字信号，如图 3.

6 所示。

图 3.6 模拟信号转换成数字信号进行处理

A/D×ª»»Æ÷

Êý×ÖÐÅºÅ´¦ÀíÆ÷

D/A×ª»»Æ÷

Ä£ÄâÐÅºÅ

ÊäÈë

Ä£ÄâÐÅºÅ

Êä³ö



3.2 离散时间信号的表示

3.2.1 序列的表示方法序列本来就是离散时间信号或是从数字处理过程

中得到的，所以序列不必以 kT 作为变量，而直接以 x

(k) 表示一数字序列 x 的第 k 个数字， k 表示 x ［ k ］在数字序列 x 前后变量的序号，则 x 可以用公式表示为

x= ［ x(k) ］ k (-∞,∞) ∈ （ 3―3 ）



时域离散信号也常用图形描述，如图 3.7 所示，用有限长线段表示数值大小。虽然横坐标画成一条连续的直线，但 x ［ k ］仅对于整数值的 k 才有定义，而对于非整数值 k 没有定义，此时认为 x ［ k ］为零是不正确的。

图 3.7 离散信号的图形描述

10 2 3 4 5 6

7 8 9 10

11£ 1£ 2£ 3

£ 4£ 5

x [k ]

k



3.2.2 序列间的运算规则及符号表示在数字信号处理中常常要在多个序列之间进行适

当的运算，以得到一个新的序列。最基本的运算是序列相加、相乘以及延时。

(1) 两序列的积： x·y=x(n)·y(n)=w(n)

(2) 两序列同一时刻的取值逐个对应相乘所形成的新序列，其运算符号如图 3.8(a) 所示。

(3) 序列的加减： x±y=x(n)±y(n)=w(n) 表示两序列对应的同一时刻取值逐一相加（或相减）所形成的新序列，其运算符号如图 3.8(b) 所示。



(4) 序列的标乘： A·x=Ax(n)=y(n) 表示序列 x 的每个取样值同乘以常数 A 所形成的新序列，其运算符号如图3.8(c) 所示。

(5) 序列的延时：若序列 y(n) 满足取值 y(n)=x(n-n0) ，则称序列 y(n) 是序列 x(n) 延时 n0 个取样间隔的复现，式中 n0 为整数。当 n0=1 时，称为单位延时，其运算符号如图 3.8(d) 所示。

(6) 分支运算：一个信号加到系统中两点或更多点的过程称为分支运算，其运算表示符号如图 3.9 （ e ）所示。



图 3.8 离散时间序列的运算

(a) 序列相乘； (b) 序列相加减； (c) 序列标乘；

(d) 单位延时； (e) 分支运算

¡Áx (n )

y (n )

w (n ) ¡Æx (n )

£«

w (n )

y (n )

(a ) (b )

ax (n ) y (n ) x (n ) y (n )D x (n ) y 1 (n )

y2

(n )(c ) (d )

(e )



图 3.9

(a)δ(N) 波形； (b)δ(n-m) 波形

0 n

(n )

(a )

0 n

(n £ m )

(b )

1

1

m



3.2.3 常用的典型序列下面介绍几种常用的典型序列 , 它们在分析和表示

更复杂的序列时起重要作用。 1. 单位序列

0 ( 0)( )

1 ( 0)

nn

n



2. 单位跃迁序列

当 n<0 时，其序列的值为 0 ，而当 n≥0 时，序列的值都为 1 ，其波形图如图 3.10(a) 所示，而 u(-n) 的波形图如图 3.10(b) 所示。

0 ( 0)( )

1 ( 0)

nu n

n



图 3.10 u(n)Tu(-n) 波形图

(a)u(n) 波形图； (b)u(-n) 波形图

0 1 2 3 ¡ £ 1¡ n 0 1 ¡ £ 1¡ n£ 2

(a ) (b )

u (n ) u (£ n )



例 3―1 试用单位跃迁序列表示单位序列。解由

0 0( )

1 0

nu n

n

可知

0 1 0( 1)

1 1 0

0 0( 1)

1 0

0 0( )

1 0

( ) ( ) ( 1)

nu n

n

nu n

n

nn

n

n u n u n

即

而

故



例 3―2 试用单位序列表示单位跃迁序列。解因为 0 0

( )1 0

nn

n

0 1( 1)

1 1

0 2( 2)

1 2

0 3( 3)

1 3

0( )

1

nn

n

nn

n

nn

n

n mn m

n m



显然我们可以把 u(n) 看作是无穷多个单位取样序列叠加而成的，故

0

( ) ( )m

u n n m



例 3―3 试用单位序列表示矩形序列

解由图 3.11 所示的矩形序列图明显可见 R(n)=u

(n)-u(n-N),

1 0 1( )

0 0

n NR n

n n N

0

1

0

( ) ( )

( ) ( )

m

N

m

u n n m

R n n m



图 3.11 矩形序列图

0 1 2 N nN £ 1¡ ¡ £ 1

R (n )



例 3―4 试用单位取样序列表示如图 3.12(a) 所示序列。

解我们把 (a) 图看成 (b) 、 (c) 、 (d)三个图幅度的叠加而成，则所求序列为

x(n)=x(1)δ(n-1)+x(2)δ(n-2)+x(-1)δ(n+1)

由以上几个例子我们不难归纳出如下结论：任意序列都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的

延时的单位序列之和。一般情况下，序列 x(n) 可表示为

( ) ( ) ( )m

x n x m n m



图 3.12 例 3―4 图

x (£ 1) x (1)x (2)

0 1 2 n£ 1

x (1)

0 1 2 n£ 1

(a )

x (£ 1)

0 1 2 n£ 1

(b )

x (2)

0 1 2 n£ 1

(d )(c )

x (n )



例 3―5 试证 x(n)=sin(nω0) 是一个周期序列。

证与周期信号的定义相类似，所谓周期序列，是指如果对于所有整数 n ，关系式 x(n)=x(n+N) 都成立，则称序列 x(n) 是周期为 N 的周期序列。因为

sin(n ω0)=sin(n ω0 ＋ 2kπ)

令 N ω0 =2kπ即 N=2kπ/ ω0 时，

x(n+N) =sin ［ (n+N) ω0 ］

=sin [n ω0 + （ 2kπ/ ω0 ） ω0 ]

=sin(n ω0 ＋ 2kπ)

=sin(n ω0 )=x(n)

所以， x(n)=sin(n ω0 ) 是一个周期序列。



3.3 离散时间系统的描述和响应

3.3.1 离散时间系统的描述离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函

数（序列）。这种系统的工作情况，不能用连续时间系统的微分方程来描述，而必须采用差分方程来描述。



例 3―6假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔要过一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第 n 个月兔子对的数目是多少？并画出系统的模拟图。

解令 y(n) 表示第 n 个月兔子对的数目。已知 y(0)=

0,y(1)=1,显然， y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,…



在第 n 个月时，应有 y(n-2) 对兔子具有生育能力，因而这批兔子要从 y(n-2) 对变成 2y(n-2) 对；此外，还有 y(n-1)-y(n-2) 对兔子没有生育能力（它们是在第 n-1

月新生的），仍按原来数目保留下来，于是可以写出 y(n)=2y(n-2)+ ［ y(n-1)-y(n-2) ］ =y(n-1)+y(n-2)

或 y(n+2)=y(n+1)+y(n) （ 3―5 ）系统的模拟图如图 3.13 所示。



图 3.13 例 3―6 的系统模拟图

D D£«

£«

y (n )

¡Æ



例 3―7 一空运控制系统，用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度 x(n) ，另外用一台雷达在以上计算的同时对此飞机实测一次高度 y(n) ，把应有高度 x(n) 与前一秒实测高度 y(n-1)

相比较得到一个差值，飞机的高度将根据此差值为正或负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即 v=k ［ x(n)-y(n-1) ］米 / 秒。求计算第 n 秒飞机应有的高度的关系式。并画出系统的模拟图。




D¡Æk

k £ 1

£«

£

x (n )

y (n )



解由题意可知，在飞机从第 n-1 秒到第 n 秒这 1 秒钟内飞机升高为

k ［ x(n)-y(n-1) ］ =y(n)-y(n-1)

经整理得 y(n)+(k-1)y(n-1)=kx(n) （ 3―

6 ）



例 3―8 一离散系统由延时单元，加法器和数乘器组成，如图 3.15 所示。其中激励信号为 x(n) ，响应信号为 y(n) ，试列出描述该系统的差分方程。

解信号 y(n) 经延时单元输出为 y(n-

1) ，围绕加法器可以写出 y(n)=x(n)-a1y(n-1)

即 y(n)+a1y(n-1)=x(n) 或 y(n+1)+a1y(n)=x(n+1) （ 3―

7 ）




D¡Æ

a1

£«

£

x (n )

y (n )



例 3―9 图 3.16 表示电阻梯形网络，其各支路的电阻都是 R ，每个节点对地的电压为 U(n),n=0,1,2,3,4 ，…， N 。已知两节点的电压 U(0)=E,U(N)=0 。试写出第 n 个节点的电压 U(n) 的关系式。

解对于任一节点 n-1 ，运用节点电流定律不难写出 ( 1) ( ) ( 1) ( 2) ( 1)U n U n U n U n U n

R R R

经整理后得出

U(n)=3U(n-1)-U(n-2) 或 U(n)-3U(n-1)+U(n-2)=0 （ 3―8 ）



图 3.16 电阻梯形网络

¡

¡

R R R

R R

R

R

E

0 1 2 N £ 1 N




D D

£«

y (n )

¡Æ

3

£



在上面几个例子中的式（ 3―5 ）、（ 3―6 ）和（ 3―7 ）、（ 3― ）具有共同形式

a0y(n)+a1y(n-1)+…+a N-1 y(n-N+1)+aNy(n-N)

=b0x(n)+b1x(n-1)+…+b M-1 x(n-M+1)+b Ｍx(n-M) （ 3―9 ）

a0y(n)+a1y(n+1)+…+a N-1 y(n+N-1)+aNy(n+N)

=b0x(n)+b1x(n+1)+…+b M-1 x(n+M-1)+bMx(n+M （ 3―10 ）

利用求和符号可将式（ 3―9 ）和（ 3―10 ）缩写为

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

N M

k rk r

N M

k rk r

a y n k b x n r

a y n k b x n r

(3―11)



3.3.2 常系数线性差分方程的求解方法求解常系数线性差分方程的常用方法有以下几种。 1.迭代法迭代法是采用代入初始值逐次求解的方法。 2. 时域经典法时域经典法与微分方程的时域经典解法类似，先

分别求齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。



3. 分别求零输入响应与零状态响应与连续时间系统的情况相类似，可以先利用求齐次解的方法得到零输入响应，再利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响应。

4. 变换域方法利用 Z 变换求解差分方程有许多优点，它是在实

际应用中最简便而有效的方法。我们在第六章将详细讨论它。



3.3.3 常系数线性差分方程的经典解 1.齐次解当一般差分方程 (3―11) 中的 x(n) 及其移位项的

系数 br均为零时，那么该差分方程就成为齐次方程，其形式为

0

( ) 0N

kk

a y n k

（ 3―12 ）

0

( )

( 1)

( ) 0N

kk

y na

y n

a y n k



1) 特征根均为单根如果 N 个特征根 λ0 ， λ1 ， λ2 ，… ,λ

N-2 ， λ N-1 都互不相同，则差分方程的齐次解（余函数）为1

0

( )N

nc i i

i

y n c

（ 3―13 ）



２ ) 特征根有重根如果 λ1 是特征方程的 r重根，即有 λ1=λ2=λ3=…=

λr ，而其余 N-r 个根是单根，则差分方程的齐次解为

11 1

( )r N

r i n nc i j j

i j r

y n c n c

（ 3―14 ）



例 3―10 已知差分方程 y(n)+5y(n-1)+6y(n-2)=0 ， y(0)=3,y(1)=1

试求它的齐次解。解该差分方程为齐次方程，其特征方程为 λ2+5λ+

6=0 ，可求得其解为 λ1=-2 ， λ2=-3 ，它们都是单根代入（ 3―13 ）式，得该方程的通解



即

yc(n)=c1(-2)n+c2(-3)n

y(0)=yc(0)=c1+c2=3

y(1)=yc(1)=-2c1-3c2=1

所以， c1=10,c2=-7 ，于是方程的齐次解为

yc(n)=10(-2)n-7(-3)n （ n≥0 ）

1 1 2 20

( )N

n n nc i i

i

y n c c c



例 3―11已知差分方程 y(k)-6y(k-1)+9y(k-2)=0 ， y(0)=3,y(1)=3

试求它的齐次解。

解方程的特征方程为： λ2-6λ+9=0 ，解之得 λ1=λ2=3 ；其

特征根为二重根，于是由（ 3―14 ）式可得该方程的通解

1 1 21 1

( ) 3 3r N

r i k k k kc i j j

i j r

y k c k c c k c k



y(0)=yc(0)=c2=3

y(1)=yc(1)=(c1+c2)31=3

所以 c1=-2,c2=3 ，于是方程的齐次解为

yc(k)=(3-2k)3k （ k≥0 ）

当特征方程有共轭复根时，齐次解的形式可以是增幅、等幅或衰减形式的正弦或余弦序列。



2. 特解与常系数微分方程特解的求法相类似，差分方程特解的形式也与激励函数的形式有关。表 3―1 列出了几种典型的激励所对应的特解。选定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系数，就得出方程的特解。



表 3―1 几种典型激励所对应的特解



3.全解要求如式（ 3―11 ）的线性差分方程的完全解，一般步骤如下：

(１ )写出与该方程相对应的特征方程；(２ )求出特征根，并写出其齐次解通式；(３ )根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式；(４ ) 将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式；(５ )写出原方程的全解的一般形式（即齐次解 + 特解）；(６ ) 把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值；(７ )写出通解的最终表达式。



例 3―13 解差分方程

解原差分方程的特征方程为 λ2+2λ+2=0 ，因而其特征根为

齐次解为

( ) 2 ( 1) 2 ( 2) sin , (0) 1, ( 1) 02

ny n y n y n y y

41,2 1 2

jj e

4 41 2 1 2( ) ( 2) ( ) ( 2) ( cos sin

4 4

jn jnn ncy n c e c e A n A n

1 2( ) sin cos2 2

n ny n D D



2 12 1 1 2

1 2

1 2

2 1(2 )sin (2 )cos sin ,

2 02 2 2

1 2( ) sin cos

5 2 5 2

( ) ( ) ( )

1 2( ) ( 2) ( cos sin ) sin cos

4 4 5 2 5 2

c

n

D Dn n nD D D D

D D

n ny n

y n y n y n

n n n ny n A A

所以原差分方程的全解为

把初始值 y(0)=1,y(-1)=0代入上式，求得待定系数为

1 2

3 1,

5 5A A

3 1 1 2( ) ( 2) ( cos sin ) sin cos

5 4 5 4 5 2 5 2n n n n n

y n



例 3―14解差分方程 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1)

其中 x(n)=(-2)nu(n),y(0)=y(1)=0

分析由于不同区间的激励信号不同，因而需要分区间讨论。

解 (1) 当 n<0 时， u(n)=0,x(n)=0,x(n-1)=0, 原差分方程变为 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0

先解特征方程 λ2+3λ+2=0 ，得 λ1=-1,λ2=-2 。所以

yc(n)=c1(-1)n+c2(-2)n ， n<0 (A)



考虑到已知初始条件 y(0),y(1) 不满足上式，由差分方程

y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1)

可推出 y(1)+3y(0)+2y(-1)=x(1)+x(0)=-2+1=-1

y(0)+3y(-1)+2y(-2)=x(0)+x(-1)=1

解之得 c1=2 ， c2=-3 ，代入（ A ）式得

y(n)=2(-1)n-3(-2)n,n<0 （ B ）



(2) 当 n=0 时， y(0)=0 。(3) 当 n≥1 时， x(n)=(-2)n,x(n-1)=(-2)n-1 ，原差分方程变为 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=(-2)n+(-2)n-1

先求齐次方程 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0 的齐次解

yc(n)=c1(-1)n+c2(-2)n

再根据表 3.1 得出其特解 y*(n) 。



3.3.4 零输入响应和零状态响应与连续信号的时域分析相类似，线性非时变离散系

统的完全响应除了可以分为自由响应和强迫响应外，还可以分为零输入响应和零状态响应。

线性非时变系统的全响应将是零输入响应与零状态响应之和，即

在零输入情况下，式（ 3―11 ）等号右边的各项均为零，把差分方程化为齐次方程

( ) ( ) ( )x fy k y k y k

0 0

( ) ( ) 0N N

k rk r

a y n k b x n r



若其特征根均为单根，则其零状态响应

1

( )n

kx xi i

i

y k c



例 3―15 若描述某离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k),f(k)=2k,k≥0

初始状态 y(-1)=0 ， y(-2)=0.5 ，试用两种方法求解系统的全响应。

方法 1该方程的特征方程为 λ2+3λ+2=0 ，解之得λ1=-1,λ2=-2 ，则方程的齐次解为

yc(k)=a(-1)k+b(-2)k

根据激励信号 f(k) 的形式查表后得到特解 y*(k)

=D(2)k ，把它带回原方程得



D(2)k+3D(2)k-1+2D(2)k-2=2k

消去 2k项后得到 D+1.5D+0.5D=1

2( ) ( 1) ( 2)

3

kk ky k a b



3.4 卷积和

3.4.1 卷积和的概念我们已经知道，即线性非时变系统对任意离散信号 x(n) ，都可以表

示成多个甚至无穷多个经标乘的延时的单位序列之和。

( ) ( ) ( )m

x n x m n m

( ) ( ) ( )k

y n x m h n m

（ 3―16 ）



3.4.2 单位响应 1. 经典解法描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应

是零状态响应，对于因果系统当 n<0 时，有 h(n)=0, 故可以用迭代法求出 h(0) ， h(1) ，… ,h(n) 。

例 3―16已知描述离散系统的差分方程为 y(n)-0.5

y(n-1)=f(n) ，试求其单位响应 h(n) 。



解根据单位响应的定义 f(n)=δ(n) ，单位响应 h(n)

满足方程 h(n)-0.5h(n-1)=δ(n)

对于因果系统， n<0 时，有 h(n)=0 ，因而 h(-1)=0 ，所以，h(0)=0.5h(-1)+δ(0)=1 ；h(1)=0.5h(0)+δ(1)=0.5×1+0=0.5 ；h(2)=0.5h(1)+δ(2)=0.5×0.5+0=0.52 ；h(3)=0.5h(2)+δ(3)=0.5×0.52+0=0.53

…

h(n)=0.5h(n-1)+δ(n)=0.5×0.5 n-1+0=0.5n

于是可以得到系统的单位响应为 h(n)=(0.5)nu(n) 。



例 3―17 如图 3.18 所示的离散系统，试求其单位响应。

图 3.18 例 3―17 图

D D¡Æ

0.5

£«

£«

£

f (n )

y (n )



y(n)=y(n-1)-0.5y(n-2)+f(n)

或 y(n)-y(n-1)+0.5y(n-2)=f(n)

令 f(n)=δ(n),y(n)=h(n), 则原差分方程可写为 h(n)=h(n-1)-0.5h(n-2)+δ(n)

显然，该系统为因果系统，故 h(-1)=h(-2)=0 ，代入上式得到

h(0)=h(-1)-0.5h(-2)+δ(0)=1

其特征方程为 λ2-λ+0.5=0 ，解之得



其特征方程为 λ2-λ+0.5=0 ，解之得

41

42

10.5 0.5

2

10.5 0.5

2

j

j

j e

j e



所以，在 n>0 时该系统的齐次解为

1 1 2 2

4 41 2

1

0

( )

1 1( ) ( )

2 21

( ) ( cos sin )4 42

1( 1) ( ) ( cos sin ) 0

4 421

(0) ( ) ( cos0 sin 0) 12

k k

jk jkk

k

h n c c

c e c e

k kA B

h A B A B

h A B A



所以 A=1 ， B=1 则图 3.18 所示的系统的单位响应

1

1( ) ( ) (cos sin )

4 421

( ) 2(cos cos sin sin )4 4 4 42

1 ( 1)( ) [cos ], 0

42

k

k

k

k kh n

k k

kk



例 3―18 如图 3.19 所示的离散系统，试求其单位

图 3.19 例 3―18 图

D D¡Æ

112

£«

£«£

ªªf (n )

y (n )

712

£ DD



2. 利用系统转移算子求法表 3―2 系统的转移算子及其对应的单位响应



例 3―19已知描述离散系统的差分方程为 y(n)-0.5y(n-1)=f(n) ，试求其单位响应 h(n) 。解原差分方程即得 y(n+1)-0.5y(n)=f(n+1)

先求系统的转移算子，由表 3―2 的第4 号公式可以得到单位响应

。

( )0.5

sH s

s

1( ) ( ) ( )

2nh n u n



例 3―20 利用系统转移算子求解图 3.19 离散系统的

解根据图 3.19 可以列出描述该系统的差分方程

2 2

7 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 2)

12 127 1

( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( )12 12

7 1( ) ( ) ( 1) ( )

12 12

y n y n y n f n f n

y n y n y n f n f n

s s y n s x n



所以 2

2 2

7 131 12 12( ) 1

7 1 7 112 12 12 12

7 4 3 13 12 121 [ ] [ ]

1 1 1 112 123 4 3 4

32 1 45 1( ) 1 [ ] [ ]

1 13 43 4

ssH s

s s s s

s s s s

H ss s

由表 3-2 可知

1 132 1 45 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 0)

3 3 4 4n nh n n u k u k n



例 3―21 一离散时间系统用以下差分方程描述：

y(n+2)-5y(n+1)+6y(n)=f(n+2)-3f(n)

试求系统的单位响应。

解系统的的转移算子为

根据表 3―2 中的第 1 、 5 号公式可得系统的单位响应为

h(n) =δ(n)+6×3 n-1 u(n-1)-2 n-1 u(n-1)

=δ(n)+(2×3n-2 n-1)u(n-1)

2

2

2

3( )

5 65 9 6 1

( ) 1 15 6 3 2

sH s

s ss

H ss s s s



3.4.3 卷积和的计算由卷积和的定义式

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n x n h n x k h n k

(3―17)



例 3―22已知 x(n) 和 h(n) 如图 3.20 所示，求它们的卷积和。

解根据图 3.14 所示， h(0)=1,h(1)=2,h(2)=1,h(n)=0(n=3,4,5…)

我们按照卷积计算的一般方法，如图 3.21 所示先将 n 换为 k ，即得 x ［ k ］和 h ［ k ］，再将 h ［ k

］反转为 h ［ -k ］；把 h ［ -k ］沿 k轴平移 n 得到 h

［ n-k ］，分别对不同的 n 计算

( ) ( ) ( ) [ ] [ ]k




其过程如图 3.21 所示，不难看出，当 n≥2 时， y

(n)=8 。以上结果可表示为 y(n)=x(n)*h(n)=δ(n)+5δ(n-1)+8u(n-2)



图 3.20 例 3―22 图

0 1 2 3 4 5 6

¡

n

x (n )

0 1 2 3 4 n

h (n )

1

23

1

23



图 3.21 例 3―22 的图解说明

0 1 2 3 4 5 6

¡

k

x [k ]

1

23

k

h [£ k ]

0£ 1£ 2

2

1

(a ) ·´×ªµ±n £¼0Ê±,

k

h [n £ k ]

0£ n

2

11

µ±n £½0Ê±£¬y (0)£½1¡Á1£½1 µ±n £½1Ê±£¬



图 3.21 例 3―22 的图解说明

k

h [n £ k ]£½h [£ k ]

0£ 1£ 2

2

11

k

h [1£ k ]

0£ 1

2

11

1

µ±n £½2Ê±£¬

k

h [2£ k ]

0

2

11

1 2

y (2)£½1¡Á1£«3¡Á2£«1¡Á1£½8

µ±n £½3Ê±£¬

k

h [3£ k ]

0

2

11

1 2

y (3)£½3¡Á1£«1¡Á2£«3¡Á1£½8

3



表 3―3 常用函数的卷积和运算



例 3―23已知 x(n)=anu(n)(0<a<1),h(n)=u(n) ，求 y

(n)=x(n)*h(n) 。解由卷积的定义式 (3―17) 可知： ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]

[ ] ]

k

k

k


a u k un k

式中， k 为求和变量。

由于当 k<0 时， u ［ k ］ =0,k>n 时， u ［ n-k］ =0, 当 0≤k≤n 时， u ［ k ］ u ［ n-k ］ =1 ，所

以求和区间应是 0≤k≤n ，故有 1

0

1( ) ( )

1

nnk

k

ay n a u n

a



3.4.4 卷积运算的基本规律 1. 卷积的交换律 u(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

证明由于

设 l=n-k ，则 k=n-l, 所以

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l l

y n x n l h l h l x n l h n x n



2. 卷积的结合律

y(n)= ［ x(n)*h1(n) ］ *h2(n)= ［ x(n)*h2(n) ］ *h1(n)=x

(n)* ［ h1(n)*h2(n) ］

式中的方括号表示在其中的两个序列优先作卷积运算。证明由图 3.22 可见

y(n) =x1(n)*h2(n)

=x(n)*h1(n)*h2(n)

=x(n)* ［ h1(n)*h2(n) ］

=x(n)*h(n)



上式中 h(n)=h1(n)*h2(n) ，又根据卷积的交换律 h

(n)=h2(n)*h1(n) ，故又可得

y(n)=x(n)* ［ h2(n)*h1(n) ］

卷积的结合律即得证。

图 3.22 三个 LTI 系统响应相同

h1

(n ) h2

(n )

h 1 (n )h 2 (n )

x (n )x 1 (n )

y (n )

x (n )x 2 (n )

y (n )

h 1 (n ) h 2 (n )*x (n ) y (n )



上式中 h(n)=h1(n)*h2(n) ，又根据卷积的交换律 h

(n)=h2(n)*h1(n) ，故又可得

y(n)=x(n)* ［ h2(n)*h1(n) ］

卷积的结合律即得证。



3. 卷积的分配律

y(n)=x(n)* ［ h1(n)+h2(n) ］ =x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

证明

1 2 1 2

1 2

1 2

( ) [ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k

k k

x n h n h n x k h n k h n k

x k h n k x k h n k

x n h n x n h n



卷积的分配律表明两个并联系统的总单位响应 h(n)

为两个系统的单位响应的代数和，如图 3.23 所示。

图 3.23 卷积的分配律

h1

(n )

h2

(n )

¡Æ h 1 (n )£«h 2 (n )y (n )x (n ) y (n )x (n )



例 3―25 对图 3.24 所示的两个线性非时变系统的级联，已知 h1(n)=sin8n ， h2(n)=anu(n) ， |a|<1 ，输入为

x(n)=δ(n)-aδ(n-1) ，求输出 y(n) 。

图 3.24

h1

(n ) h2

(n )x (n ) y (n )y 1 (n )



解显然 y1(n)=x(n)*h1(n) ，则输出信号 y(n)=y1(n)*h

2(n) 。根据卷积和的运算规则并参考表 3―3 的第 1 号公式

δ(n)*f(n)=f(n) 及 δ(n)=u(n)-u(n-1)

可以得到

y(n) =x(n)*h1(n)*h2(n)

= ［ δ(n)-aδ(n-1) ］ *sin8n*anu(n)

= ［ δ(n)-aδ(n-1) ］ *anu(n)*sin8n



=δ(n)*anu(n)*sin8n-aδ(n-1)*anu(n)*sin8n

=anu(n)*sin8n-aan-1 u(n-1)*sin8n

=an (u(n)-u(n-1))*sin8n

=anδ(n)*sin8n

=ansin8n



例 3―26 图 3.25 所示的线性非时变系统的互联。试用 h1(n) ， h2(n) ， h3(n) ， h4(n) ， h5(n) 表示总的单位响应 h(n) 。

解根据卷积和的运算规则，可知

h(n)= ［ h2(n)-h3(n)*h4(n) ］ *h1(n)+h5(n)



图 3.25

h 1 (n )

h 2 (n )

£

h 4 (n )h 3 (n )

¡Æ

h 5 (n )

£«

£

£«

£«



3.4.5 利用卷积和研究非时变系统的性质性质 1 ：证明线性非时变系统稳定的充分必要条件是单位响应绝对可和 ,即

证明充分性：若 h(n) 满足，输入信号 x(n) 有界（即对所有的 n ，都有 |x(n)|≤

M ）时输出信号也有界。因为系统的输出响应 y(n)=h(n)*x(n) ，根据卷积和

的定义：

( )n

s h n

( )

n

s h n

( ) ( ) ( )n

y n h k x n k



即 y(n) 有界。该命题充分性得证。必要性：若线性非时变系统稳定时，系统的单位

响应 h(n)绝对可和，即当输入信号 x(n)

对所有的 n ，都有 |x(n)|≤M 时输出信号也有界， |y(n)|

≤N 时 h(n) 满足

所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

y n h k x n k h k x n k M h k



反证法假设不成立时，即当时，如果有界输入如下激励信号：

( )n

s h n

( )

n

s h n

( )

( ) 0( )( )

0 ( ) 0

h nh n

h nx n

h n

其输出序列 y(n) 在 n=0 点的值为

2( )

(0) (0 ) ( )( )k k

h ky x k h k s

h k



例 3―27 一个系统的单位响应为试判断它的稳定性。

解因为

1( ) ( ) 9 )

2nh n u n

11 2( ) ( ) 1

12 12

n

n n

s h n

所以该系统是稳定的。



性质 2 证明线性非时变系统是因果系统的充分必要条

例 3―28 一个系统的单位响应为 h(n)=(4)nu(2-n) ，试判断它的因果性。

解当 n<0 时， h(n)≠0 ，所以该系统是非因果系统。性质 3 一个即时系统的单位响应应为 h(n)=kδ(n) 。证明对离散时间线性非时变系统，其系统输出为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k




性质 4 对于一个线性非时变可逆系统而言，如果 h

(n) 表示系统的单位响应， h*(n) 表示其逆系统的单位响应，则有 h(n)*h*(n)=δ(n) 。

例 3―29已知一个可逆系统的单位响应是 u(n) ，求其逆系统。

解设 h(n) 表示系统的单位响应， h*(n) 表示其逆系统的单位响应，由性质 4 ，可知

u(n)*h*(n)=δ(n)=u(n)-u(n-1)

由表 3―3 可知，



u(n)*δ(n)=u(n) ， u(n)*δ(n-1)=u(n-1)

所以 h*(n)=δ(n)-δ(n-1)

则其逆系统可表示为 y(n)=x(n)-x(n-1)



3.5 卷积和的计算机模拟

3.5.1 卷积和的算法思路假设有任意两个有限长离散序列 x ［ N ］， h

［ M ］，其中项数为 N ， M ，现在要求它们的卷积和序列 y ［ n ］，即 y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 。在上一节中我们已经得出了由卷积和的定义式

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k




这就是我们进行计算机模拟的算法理论基础。在实际计算机模拟过程中，我们首先要知道卷积和序列项项数的大小，即要搞清楚一个非零项项数为 N 的序列与一个非零项项数为 M 的序列求卷积和后的新序列的非零项的项数与 N 、 M 的定量关系。设 N>M ，请看图 3.26 。



图 3.26 用图解法求任意有限长序列的卷积和



图 3.26 用图解法求任意有限长序列的卷积和



由图 3.26我们不难得出下面的结论：当 N>M 时

0

0

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ )] ( )

0

n

k

n

k

M

k n N

y n x k h n k

x n k h k

x N M k h k

其中 n∈［０， M-1］

其中 n∈［ M,N-1 ］

其中 n∈ ［ N,N+M-2］

n 为其它值 (3―18)



当 N<M 时，只需要把 x(N) 与 h(M) 的自变量名互换一下即可得到与式 (3―18) 相类似的卷积和计算公式。

当 N=M 时，进行类似的分析后可得到如下的卷积和公式：

0

1

( ) ( ) ( )

[ ( )] ( )

0

n

k

n

k n K

y n x k h n k

x N M k h k

其中 n∈ ［０， M-1］

其中 n∈［ N,2M-2 ］

n 为其它值 (3―19)



3.5.2 计算机模拟流程图经过上面的分析，我们再来看看我们需要计算机

为我们做些什么：首先，计算机要读入两个有限长序列，把它们放在内存（或文件）中；然后，比较哪个序列的长度长（即找出 N 和 M 的关系）；最后，用式(3―18) 或式 (3―19)求出卷积和 y(n), 并输出 y(n) 。从而，计算机模拟程序的流程图如图 3.27 所示。



图 3.27 计算机模拟程序流程图

¿ªÊ¼

·Ö±ð¶ÁÈëÁ½¸öÊý×éx (N ), h (M )

N £¾M x (N )Óëh (M )ÊýÖµ»¥»»

·ÖÅäy ( i )M £«N £ 2¸öÄÚ´æ

i £½0

i £¼M £«N £ 1 Êä³ö y ( i )

½áÊøy ( i )£½0

i £¼Ni £¼M

k £½0k £½0 k £½n £ N £«1

k £¼M

y ( i )£½x ( i £ k )h (k )

k £½k £«1

i £½i £«1

k £¼M

y ( i )£½x (N £ ( M £ k )) h (k )

k £½k £«1

k £¼n

y ( i )£½x (k )h ( i £ k )

k £½k £«1

·ñ

ÊÇ

·ñ

·ñ

ÊÇ

ÊÇ

ÊÇ

·ñ

ÊÇ

·ñ

ÊÇ

·ñ



3.5.3 计算机的源程序下面给出的是一个用 TurboC2.0 编写的求卷积和的源程序。

＃ include<math.h>

＃ include<stdlib.h>

main(){

inti,j,k,N,M;

intx ［ 1030 ］ ,h ［ 100 ］ ,*y;

N=0;M=0;

do{/*输入项数 */

printf(″N,M:″);

scanf(″%d,%d″,&N,&M);



}while((N>100)||(M>100));/* 确保项数在 100 以内 */

if(N>M-1){/* 把项数大的序列存入 x(N); 把项数小的序列存入 h(N)*/

for(i=0;i<N;i++){

x ［ i ］ =0;

printf(″pleaseinputx(%d)=″,i);

scanf(″%d″,&x ［ i ］ );}

for(i=0;i<M;i++){

h ［ i ］ =0;

printf(″pleaseinputh(%d)=″,i);

scanf(″%d″,&h ［ i ］ );}

for(i=0;i<N;i++)/*显示项数多的输入序列 */



printf(″x(%d)=%d″,i,x ［ i ］ );

for(i=0;i<M;i++)/*显示项数少的输入序列 */

printf(″h(%d)=%d″,i,h ［ i ］ );

}

else{

for(i=0;i<N;i++){

h ［ i ］ =0;

printf(″pleaseinputx(%d)=″,i);

scanf(″%d″,&h ［ i ］ );}

for(i=0;i<M;i++){

x ［ i ］ =0;



printf(″pleaseinputh(%d)=″,i);

scanf(″%d″,&x ［ i ］ );}

for(i=0;i<N;i++)/*显示项数多的输入序列 */

printf(″x(%d)=%d″,i,h ［ i ］ );

for(i=0;i<M;i++)/*显示项数少的输入序列 */

printf(″h(%d)=%d″,i,x ［ i ］ );

i=N;N=M;M=i;

}

printf(″\n″);

y=(int*)calloc(N+M-1,sizeof(int));

for(i=0;i<N+M-1;i++){/*求卷积和 */



y ［ i ］ =0;

if(i<M)

for(k=0;k<i+1;k++){

y ［ i ］ =y ［ i ］ +x ［ k ］ *h ［ i-k ］ ;}

else{if(i<N)

[KG*2]for(k=0;k<M;k++)

y ［ i ］ =y ［ i ］ +x ［ i-k ］ *h ［ k ］ ;

[KG*2]elsefor(k=i-N+1;k<M;k++)

[KG*2]y ［ i ］ =y ［ i ］ +x ［ i-k ］ *h ［ k ］ ;}

[KG*2]printf(″y ［ %d ］ =%d\n″,i,y ［ i ］ );

}

}



运行结果如下 :

请输入序列项数 N,M ： 3 ， 12

x(0)=1;x(1)=3;x(2)=1;x(3)=3;x(4)=1;x(5)=3;x(6)=1;x(7)=3;

x(8)=1;x(9)=3;x(10)=1;x(11)=3;h(0)=1;h(1)=2;h(2)=1;

得到结果： y(0)=1;y(1)=5;y(2)=8;y(3)=8;y(4)=8;y(4)=8;y

(5)=8;

y(6)=8;y(7)=8;y(8)=8;y(9)=8;y(10)=7;y(11)=3

与理论计算结果一致。



3.6 离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较

由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同，对于连续时间系统和离散时间系统工作情况进行描述的数学手段也不同，前者用微分方程来描述，后者用差分方程来描述。若系统是线性和非时变的，上述方程都是线性常系数的方程。



系统分析的任务，一般是对于具有某种初始状态的系统输入一个或若干个激励信号，而要求取系统某些部分输出的响应信号。构成线性非时变系统分析方法的基础，一方面是线性系统的叠加性和齐次性（即均匀性），另一方面是非时变系统的输出波形仅决定于输入波形，而与施加输入的时间无关这一特性。因此系统响应可以分别求仅由系统初始状态决定的零输入响应和仅由输入激励决定的零状态响应，然后将这两种响应进行叠加。

Technology

第3章 离散系统的时域分析

第3章离散系统的时域分析