49828684 Teorema Dasar Analisis Aliran Daya

Teorema Dasar Analisis Aliran Daya [email protected]

TEOREMA DASAR

ANALISIS ALIRAN DAYA

1.1 Pendahulan

Studi aliran daya, yang juga dikenal dengan aliran beban, merupakan tulang punggung dari

analisis dan desain suatu sistem tenaga. Studi aliran daya dilakukan untuk mendapatkan informasi

mengenai aliran daya atau tegangan sistem dalam kondisi operasi tunak. Informasi ini digunakan

untuk mengevaluasi ujuk kerja sistem tenaga dan menganalisis kondisi pembangkitan maupun

pembebanan, serta informasi keadaan sistem tenaga pada kondisi normal dan terganggu.

Masalah aliran daya sangat dibutuhkan untuk perencanaan, operasi dan penjadwalan

ekonomis serta transfer daya. Sebagai tambahan, analisis aliran daya dibutuhkan juga pada analisis

stabilitas transient. Masalah aliran daya mencakup perhitungan aliran dan tegangan sistem pada

terminal tertentu atau bus tertentu. Representasi fasa tunggal selalu dilakukan karena sistem

dianggap seimbang. Didalam studi aliran daya bus-bus dibagi dalam tiga macam, yaitu :

a. Slack bus atau swing bus atau bus referensi

b. Voltage controlled bus atau bus generator

c. Load bus atau bus beban.

Tiap-tiap bus terdapat empat besaran, yaitu :

a. Daya aktif P

b. Daya reaktif Q

c. Nilai skalar tegangan |V|

d. Sudut fasa tegangan θ.

Pada tiap-tiap bus hanya ada dua macam besaran yang ditentukan sedangkan kedua besaran lainnya

merupakan hasil akhir dari perhitungan. Besaran-besaran yang ditentukan itu adalah :

a. Slack bus ; harga skalar |V| dan sudut fasanya θ.

b. Voltage controlled bus; daya aktif P dan harga skalar tegangan |V|

c. Load bus; daya aktif P dan daya reaktif Q.

Slack bus merupakan bus yang menyuplai kekurangan daya aktif P dan daya reaktif Q pada sistem.

1.2 Matriks Admitansi Bus

Untuk mendapatkan persamaan simpul-tegangan, sebagaimana sistem tenaga listrik

visit: http://www.te.ft.unib.ac.id 1

http://www.te.ft.unib.ac.id/

mailto:[email protected]


sederhana pada gambar 1.1, dimana impedansinya dinyatakan dalam satuan per unit pada dasar

MVA sementara untuk penyederhanaan resistansinya di abaikan. Berdasarkan Hukum Arus

Kirchhoff impedansi-impedansi di ubah ke admitansi- admitansi, yaitu :

y ij=1zij

=1

rij jxij

gambar 1.1 Diagram impedansi sistem tenaga listrik sederhana

gambar 1.2 Diagram admitansi untuk sistem tenaga listrik dari gambar 1.1

Rangkaian gambar 1.1 digambar ulang seperti gambar 1.2 dalam besaran admitansi dan

pengubahan kedalam bentuk sumber arus. Simpul 0 (biasanya adalah ground) diambil sebagai

referensi. Dengan menerapkan Hukum Arus Kirchhoff antara simpul 1 hingga 4 akan

menghasilkan:





I1= y10V 1 y12V 1−V 2 y13V 1−v3

I 2= y20V 2 y12V 2−V 1 y23V 2−V 3

0 = y23V 3−V 2 y13V 3−V 1 y34 V 3−V 4

0 = y34 V 4−V 3

Dengan menyusun ulang persamaan diatas maka didapat .

I1= y10 y12 y13V 1− y12 V 2− y13V3I 2=− y12 V 1y20 y12 y23V 2− y23V 3

0 =− y13V 1− y23V 2 y13 y23 y34V 3− y34V 4

0 =− y34 V 3 y34 V 4

Dengan admitansi sebagai berikut .

Y 11= y10 y12 y13

Y 22= y20 y12 y23

Y 33= y13 y23 y34

Y 44= y34

Y 12=Y 21=− y12

Y 13=Y 31=− y13

Y 23=Y 32=− y23

Y 34=Y 43=− y34

Reduksi persamaan simpul menjadi.

I1=Y 11V 1Y 12V 2Y 13V 3Y 14V 4

I 2=Y 21V 1Y 22 V 2Y 23V 3Y 24V 4

I3=Y 31V 1Y 32 V 2Y 33V 3Y 34V 4

I 4=Y 41V 1Y 42 V 2Y 43 V 3Y 44 V 4

Pada jaringan sistem tenaga listrik sederhana di atas, karena tidak ada hubungan antara bus 1 dan

bus 4, maka Y14 = Y41 = 0, dan Y24 = Y42 = 0.

Dari persamaan diatas, untuk sistem dengan n bus, persamaan tegangan-simpul dalam

bentuk matriks adalah :

[I 1

.

.I i

.

.I n

]=[Y 11 Y 12 .. . Y 1i ... Y 1n

. . . . . .

. . . . . .Y i1 Y i2 .. . Y ii ... Y in

. . . . . .

. . . . . .Y n1 Y n2 .. . Y ni ... Y nn

]=[V 1

.

.V i

.

.V n

] (1.1)

atau





Ibus = Ybus Vbus (1.2)

Dengan Ibus adalah vektor arus bus yang di injeksikan. Arus bernilai positif ketika masuk

menuju bus dan bernilai negatif saat meninggalkan bus Vbus adalah vektor tegangan bus yang diukur

dari simpul referensi. Ybus dikenal dengan nama matriks admitansi bus. Elemen diagonal masing-

masing simpul merupakan penjumlahan admitansi bus yang terhubung padanya. Elemen diagonal

ini disebut admitansi-sendiri.

Y ii=∑j=0

n

y ij (1.3)

elemen non-diagonal bernilai negatif terhadap admitansi antar simpul. Dikenal dengan admitansi

bersama.

Yij = Yji = -yij (1.4)

Jika arus pada bus diketahui, dari persamaan (1.2) maka untuk tegangan n bus dapat ditentukan

dengan :

Vbus = Ybus -1 Ibus (1.5)

Invers dari matriks admitansi bus dikenal sebagai matriks impedansi bus Zbus.

Berdasarkan persamaan (1.3) dan (1.4) , matriks admitansi bus untuk jaringan pada gambar

1.2 yaitu :

Y bus=[− j 8.50 j 2.50 j 5.00 0

j2.50 − j8.75 j 5.00 0j5.00 j5.00 − j 22.50 − j 12.50

0 0 j 12.50 − j 12.50]

Contoh 1.1

Untuk jaringan gambar 1.1 diberikan tegangan E1=1.1∢0° dan E2=1.0∢0 ° .

Tentukan matriks impedansi bus dengan cara inversi matriks, dan tentukan nilai tegangan busnya.

Penyelesaian

Dengan menggunakan python kita akan mencoba menyelesaikan contoh soal 1.1 diatas :

(catatan: dalam python, matriks dimulai dari titik [0,0] bukan dari [1,1]).

Berikut ini skrip yang dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh soal 1.1, buatlah skrip

ini di teks editor ubuntu (penulis menggunakan software geany) anda, pastikan anda telah

memasang library scipy dengan benar.





#Contoh Soal 1.1

from scipy import *

z = matrix([[1.0j], # impedansi dari simpul 0 ke 1[0.8j], # impedansi dari simpul 0 ke 2[0.4j], # impedansi dari simpul 1 ke 2[0.2j], # impedansi dari simpul 1 ke 3[0.2j], # impedansi dari simpul 2 ke 3[0.08j] # impedansi dari simpul 3 ke 4

])# Menentukan nilai y y = 1/z

# Menentukan komponen matriks YbusY11 = y[0,0]+y[2,0]+y[3,0]Y22 = y[1,0]+y[2,0]+y[4,0]Y33 = y[3,0]+y[4,0]+y[5,0]Y44 = y[5,0]Y12 = y[2,0]Y21 = Y12Y13 = y[3,0]Y31 = Y13Y23 = y[4,0]Y32 = Y23Y34 = y[5,0]Y43 = Y34Y14 = 0.0Y41 = Y14Y24 = 0.0Y42 = Y24

# Matriks YbusYbus = matrix ([[Y11,Y12,Y13,Y14],[Y21,Y22,Y23,Y24],

[Y31,Y32,Y33,Y34],[Y41,Y42,Y43,Y44]])

# Menentukan Matriks ZbusZbus = Ybus.I

E1 = 1.1 + 0.0j # tegangan E1E2 = 1.0 + 0.0j # tegangan E2

# dengan transformasi sumber, sumber arus ekivalennya adalah :I1 = (E1/(z[0,0]))I2 = (E2/(z[1,0]))

# Matriks IbusIbus = matrix ([[I1],[I2],[0],[0]])





# Menentukan Magnitude VbusVbus = abs(Zbus * Ibus)

print "Y = "print Ybusprint "Zbus ="print Zbusprint "Vbus = "print Vbus

Simpan skrip diatas dengan nama ex_1.1.py lalu eksekusi program tersebut melalui terminal ubuntu

anda seperti dibawah ini :

1.3 Penyelesaian Persamaan Aljabar Nonlinear

Teknik-teknik yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar

nonlinear secara iterasi adalah motode Gauss-Seidel, Newton-Raphson, dan Quasi-Newton.

1.3.1 Metode Gauss-Seidel

Metode Gauss-Seidel juga dikenal dengan metode pergantian suksesif (successive

displacement). Sebagai gambaran untuk teknik ini, temukan penyelesaian persamaan nonlinear yang

diberikan oleh :

f(x) = 0 (1.6)

Fungsi di atas disusun ulang dan ditulis menjadi :





x = g(x) (1.7)

Jika x(k) merupakan nilai perkiraan awal dari variabel x, maka bentuk urutan iterasinya adalah :

x(k+1)=g(x(k)) (1.8)

Penyelesaiannya ditemukan ketika perbedaan antara nilai mutlak iterasi suksesifnya kurang dari

akurasi yang ditentukan, yaitu :

|x(k+1)-x(k)| ≤ є (1.9)

dimana є adalah akurasi yang ditetapkan.

Contoh 1.2

Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menentukan akar dari persamaan berikut :

f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0

Penyelesaian

Penyelesaian untuk x, persamaan di atas ditulis kembali menjadi :

x =−19

x3

69

x2

49

= g x

Dengan menerapkan algoritma Gauss-Seidel dan menggunakan nilai pendekatan awal yaitu :

x(0) = 2

Dari persamaan (1.8), didapat iterasi pertama, yaitu :

x1=g 2=−

1923

6922

49=2,2222

Iterasi keduanya adalah :

x2=g 2,2222=−192,22223

692,22222

49=2,5173

Hasil dari tahapan-tahapan iterasi yang dilakukan adalah 2.8966, 3.3376, 3.7398, 3.9568,

3.9988 dan 4.000. Prosesnya akan berulang sampai perubahan pada variabel mencapai akurasi yang

telah ditetapkan. Dapat dilihat bahwa metode Gauss-Seidel memerlukan banyak iterasi untuk

mencapai akurasi yang ditentukan, dan tidak ada jaminan penyelesaiannya konvergen.

Skrip berikut ini akan menunjukkan prosedur penyelesaian persamaan yang diberikan pada

contoh 1.2 untuk nilai perkiraan awal x(0) = 2.

# Contoh 1.2





dx = 1.0 # Set perubahan variabel awal

x = 2.0 # nilai perkiraan awal

iter = 0 # penghitungan iterasi

while abs(dx) >= 0.001 :

iter = iter + 1 # nomor iterasi

g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0)

dx = gx # perubahan variabel

x = g # pendekatan suksesif

print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x

Simpan skrip diatas dengan nama ex_1.2.py lalu jalankan melalui terminal linux anda, maka

hasilnya adalah sebagai berikut :

Dapat dilihat bahwa akar persamaan nonlinear contoh soal 1.2 ditemukan (konvergen) pada

iterasi ke-9 dengan nilai g = 4.0 (akar persamaan).

Dalam beberapa kasus, faktor akselarasi dapat digunakan untuk meningkatkan tingkat

konvergensi. Jika α > 1 adalah faktor akselarasi, maka algoritma Gauss-Seidel menjadi :

xk1=x kα [ gx k – xk] (1.10)

Contoh 1.3

Tentukan akar persamaan dalam contoh 1.2, menggunakan metode Gauss-Seidel dengan faktor

akselarasi α = 1.25.

Penyelesaian

# Contoh 1.3






x = 2.0 # nilai perkiraan awal




g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0)

dx = gx # perubahan variabel

x = x + 1.25 * dx # pendekatan suksesif dg faktor

akselarasi

print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x

Hasilnya adalah :

Terlihat bahwa faktor akselarasi dapat mempercepat konvergensi sehingga iterasi dapat

lebih sedikit, namun faktor akselarasi yang tidak tepat dapat membuat perhitungan menjadi lebih

lama dengan jumlah iterasi yang lebih banyak bahkan dapat tidak terkendali atau over flow semisal,

jika anda ganti faktor akselarasi menjadi 1.8, maka akan terjadi iterasi sebanyak 26 kali untuk

mencapai konvergensi.

Python sebenarnya menyediakan satu fungsi khusus untuk menentukan akan dari suatu

persamaan yaitu dengan fungsi roots( ). Jika kita gunakan fungsi ini untuk menentukan akar dari

persamaan pada contoh soal 1.2 maka hasilnya adalah :





Dapat dilihat bahwa ada tiga akar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan

pada contoh soal 1.2 yaitu 4.0, 1.00000002, dan 0.99999998 atau dapat kita simpulkan lagi bahwa

ada dua akar persamaan yang dapat digunakan yaitu 4.0 dan 1.0.

1.3.2 Metode Newton-Raphson

Metode yang paling luas digunakan dalam menyelesaikan persamaan aljabar nonlinear

simultan ialah metode Newton-Raphson. Metode ini menggunakan pendekatan suksesif berdasarkan

nilai perkiraan awal yang tidak diketahui dan menggunakan perluasan deret Taylor. Tentukan

penyelesaian persamaan satu-dimensi berikut ini :

f(x) = c (1.11)

Jika x(0) adalah nilai perkiraan awal dari penyelesaian persamaan tersebut, dan Δx(0) adalah nilai

deviasi dari penyelesaian sebenarnya, maka

f x0Δx0 =c

Dengan menggunakan perluasan deret Tylor pada bagian sebelah kiri persamaan di atas untuk x(0)

maka didapat :

f x0

dfdx

0

x 0

12 !

d2f

dx20 x 0

2. . .=c

Dengan mengasumsikan bahwa eror Δx(0) sangat kecil, maka bagian berorde-tinggi dapat diabaikan,

sehingga :

c 0 ≃

dfdx

0

x0

dimana

Δc0=c – f x 0

Tambahkan Δx(0) ke nilai perkiraan awal maka akan menghasilkan pendekatan keduanya





x1=x 0

c0

dfdx

0

Penggunaan metode suksesif pada prosedur ini menghasilkan apa yang disebut algoritma Newton-

Raphson

Δck=c – f x k (1.12)

Δxk=

c k

dfdx

k (1.13)

xk1=x kΔxk (1.14)

persamaan (1.16) dapat disusun ulang menjadi :

Δck= jk Δxk (1.15)

dimana

jk=dfdx

k

Contoh 1.4

Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan yang diberikan pada contoh 1.2.

Asumsikan nilai perkiraan awal x(0) = 6

Penyelesaian

Penyelesaian secara analitik diberikan oleh algoritma Newton-Rapshon sebagai berikut:

df x dx

=3x2−12 x9

c 0 =c−f x0=0−[63−66296−4]=−50

dfdx

0

=3 62−1269=45

x 0 =c0

dfdx

0 =

−5045

=−1.1111

Sehingga, hasil akhir pada iterasi pertama adalah

x1=x 0 x0=6−1.1111=4.8889

Akar persamaan akhirnya daat ditemukan pada iterasi ke-5 dengan nilai masing-masing iterasi yaitu

4.2789, 4.0405, 4.0011, 4.000.

Dapat kita lihat bahwa metode Newton-Raphson lebih cepat konvergen dibandingkan





metode Gauss-Seidel.

Berikut ini skrip yang menunjukkan prosedur untuk penyelesaian dari persamaan yang

diberikan dengan metode Newton-Raphson.

# Contoh 1.4

from math import *


x = input("Masukkan Nilai Pendekatan Awal : ") # nilai perkiraan

awal




deltaC = 0(pow(x,3) (6 * (pow(x,2))) + (9 *x) 4)

J = 3 * pow(x,2) 12 * x + 9

dx = deltaC/J # perubahan variabel

x = x + dx # pendekatan suksesif

print "iterasi : ", iter, "dC = ", deltaC, "J = ", J, " dx = ",

dx, " x = ",x # hasil

Hasilnya adalah

Sekarang, jika n-dimensi persamaan yang diberikan oleh persamaan(1.11). Perluasan bagian

kiri persamaan(1.11) dalam deret Tylor dengan nilai perkiraan awal dan persamaan orde tingginya

diabaikan, maka akan menghasilkan





f 10=

∂ f 1

∂ x1

0

x10∂ f 1

∂ x2

0

x20 . . .

∂ f 1

∂ xn

0

xn0 =c1

f 20=

∂ f 2

∂ x1

0

x10∂ f 2

∂ x2

0

x20 . . .

∂ f 2

∂ xn

0

xn0 =c2

.

.

.

f n0 =

∂ f n

∂ x1

0

x10∂ f n

∂ x2

0

x20 . . .

∂ f n

∂ xn

0

xn0=cn

atau dalam bentuk matriks

[c1−f 1

0

c2−f 20

.

.cn−f n

0]=[∂ f 1

∂ x1

0

∂ f 1

∂ x2

0

. . . ∂ f 1

∂ xn

0

∂ f 2

∂ x1

0

∂ f 2

∂ x2

0

. . . ∂ f 2

∂ xn

0

. . . . . .

. . . . . .

∂ f n

∂ x1

0

∂ f n

∂ x2

0

. . . ∂ f n

∂ xn

0]=[ x10

x20

.

. xn

0]Dalam bentuk sederhana dapat ditulis menjadi :

X k=Jk Xk

atau

X k=[J k]−1C k (1.17)

dan Algoritma Newton-Raphson untuk persamaan n-dimensi menjadi

X k1=X k Xk (1.18)

dimana

X k=[

x1k

x2k

.

. xn

k ] dan Ck=[

c1−f 10

c2−f 20

.

.cn−f n

0] (1.19)





J k =[

∂ f 1

∂ x1

0

∂ f 1

∂ x2

0

. . . ∂ f 1

∂ xn

0

∂ f 2

∂ x1

0

∂ f 2

∂ x2

0

. . . ∂ f 2

∂ xn

0

. . . . . .

. . . . . .

∂ f n

∂ x1

0

∂ f n

∂ x2

0

. . . ∂ f n

∂ xn

0] (1.20)

J(k) disebut dengan matriks Jacobian. Elemen pada matriks ini hasil dari turunan parsial pada

X(k). diasumsikan bahwa J(k) memiliki invers pada tiap iterasinya (tidak singular). Metode ini

digunakan untuk meningkatkan akurasi dari nilai perkiraan yang dihasilkan.

Contoh soal 1.5

Gunakan metode Newton-Raphson untuk menentukan interseksi dari kurva berikut :

x12x2

2=4

ex1x2=1

Penyelesaian

Dengan mengambil turunan parsial dari kedua persamaan diatas maka didapat matriks

Jacobian sebagai berikut

J=[2x1 2 x2

ex1 1 ]

Skrip python untuk menyelesaikan persamaan di atas dengan metode Newton-Raphson

adalah sebagai berikut.

# Contoh 1.5

from scipy import matrix

from math import pow, exp

x1 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 1 :")

x2 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 2 :")

x = matrix([[x1],[x2]])

C = matrix ([[4],[1]])





Dx = matrix ([[1],[1]])

iter = 0

while max(abs(Dx)) >= 1e4 :

iter=iter+1

f = matrix ([[pow(x[0,0],2)+pow(x[1,0],2)],[exp (x[0,0]) +

x[1,0]]])

DC = C f

J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0]],[exp(x[0,0]),1]])

Dx = J.I * DC

x = x + Dx

print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " ,

x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

Jika skrip ini dijalankan maka hasilnya adalah

Dengan nilai pendekatan awal 0.5 dan -1 maka ditemukan penyelesaian yang konvergen

pada iterasi ke-5 dengan nilai x1 = 1.00416873847 dan x2 = -1.72963728703.

Contoh 1.6

Mulai dengan nilai awal, x1 =1, x2 = 1, x3 = 1, selesaikan persamaan berikut ini dengan

menggunakan metode Newton-Rapshon.

x12−x2

2 x32=11

x1 x2x22−3x3=3

x1−x1 x3x2 x3=6

Penyelesaian

Dengan menurunkan secara parsial ketiga persamaan di atas, maka didapat matrik Jacobian

sebagai berikut.





J=[2x1 −2 x2 2 x3

x2 x12 x2 −31−x3 x3 −x1x2

]Skrip berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan pada contoh 1.6 di

atas.

# Contoh 1.6

from scipy import matrix

from math import pow

x = matrix([[1],[1],[1]])

C = matrix ([[11],[3],[6]])

Dx = matrix ([[10],[10],[10]])

iter = 0

while max(abs(Dx)) >= 1e4 :

iter=iter+1

f = matrix ([[pow(x[0,0],2)pow(x[1,0],2)+pow(x[2,0],2)],

[(x[0,0]*x[1,0]) + pow(x[1,0],2)3*x[2,0]],[x[0,0]x[0,0]*x[2,0]+

x[1,0]*x[2,0]]])

DC = C f

J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0],2*x[2,0]],[x[1,0],x[0,0]+

2*x[1,0],3],[1x[2,0],x[2,0],x[0,0]+x[1,0]]])

Dx = J.I * DC

x = x + Dx

print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " ,

x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

Jika dijalankan maka skript ini akan menghasilkan penyelesaian untuk contoh 1.6 sebagai berikut





Dapat dilihat bahwa penyelesaian konvergen pada iterasi ke-6 dengan nilai x1 = 2.0 dan x2 =

3.0, metode Newton-Raphson memiliki keunggulan saat melakukan konvergensi secara kuadratik

ketika akar persamaan yang dicari sudah dekat.




Documents

49828684 Teorema Dasar Analisis Aliran Daya