TEMA: CUATRO OPERACIONES

Indicador: Desarrolla problemas de la vida cotidiana aplicando métodos prácticos en su solución.

En este tema trataremos el estudio de métodos prácticos para ciertos tipos de problemas. MÉTODO DEL CANGREJO I. Se invierte las operaciones dadas. II. Se comienza por el último resultado dado. Ejemplos: 1. Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 8 y luego la divides por 10, el

cociente lo multiplicas por 3, luego añades 36 finalmente obtendrás 180. ¿Cuál era su cantidad inicial? A) 60 B) 40 C) 80 D) 30 E) N.A. Resolución: Disponemos de las operaciones siguientes: Operaciones Directas Operaciones Inversas 1. ( ) x 8 180 – 36 = 144 2. ( ) / 10 144 / 3 = 48 3. ( ) x 3 48 x 10 = 480 4. ( ) + 36 = 180 480 / 8 = 60

. Rpta.: A.

2. A la cantidad de soles que tengo le añado 5; al resultado lo multiplico por 3 y

le aumento 4; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le sumo 3, para finalmente dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? A) 20 B) 30 C) 10 D) 40 E) 50

Resolución: Aplicando el método del cangrejo. Operaciones Directas Operaciones Inversas 1. Nº d soles iniciales 10 2. Le añado 5 15 – 5 = 10 3. Lo multiplico por 3 45 ÷ 3 = 15 4. Le aumento 4 49 – 4 = 5 5. Extraigo raíz cuadrada 72 = 49 6. Le sumo 3 10 – 3 = 7 7. Dividimos entre 2 5 x 2 = 10 8. finalmente tenemos 5 5

. Rpta.: C.

DIFERENCIA TOTAL Y DIFERENCIA UNITARIA

Se reconocen estos tipos de problemas porque tienen siempre los enunciados (o sus variantes).

“Sobra” y “Falta” “Aumenta” y “Disminuye” “Sobraba” y “Disminuía”

Resolvemos con el siguiente: Método del rectángulo Ejemplos: 1. Si pago S/. 7 000 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 4000 pero si

les pago S/. 5 500, me sobran S/. 56 000. ¿Cuántos empleados tengo? A) 75 B) 82 C) 70 D) 40 E) 85 Resolución: Aplicando el método del rectángulo:

Nº de empleados = 4055007000560004000 =

−+

. Rpta.: D .

2. Si compro 7 cuadernos sobrarían S/. 5; pero si compro 10 cuadernos me

faltarían S/. 40 ¿De cuanto dinero dispongo? A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 Resolución: Aplicando el método del rectángulo:

Precio de cada cuaderno = 15710405 =

−+

∴ Precio de cada cuaderno = S/. 15 1er caso: Total de dinero = 7 x 15 + 5 = 110 2do caso: Total de dinero = 10 x 15 – 40 = 110

. Rpta.: A.

FALSA SUPOSICIÓN Para resolver más rápidamente los problemas usaremos el:

Método del Rombo:

Los problemas presentan las características siguientes: 1. Que tenga 2 incógnitas. 2. Que existan los valores numéricos de dichas incógnitas. 3. Se conozcan los valores unitarios de cada una de las incógnitas. 4. Se conozca el valor numérico producido por las incógnitas. Ejemplos: 1. En una granja donde existen conejos y gallinas se cuentan 60 cabezas y 150

patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay? A) 15; 45 B) 35; 25 C) 25; 36 D) 45; 15 E) N.A. Resolución: A = Total de elementos B = Recaudación total producida por el total de elementos (A) C = Mayor valor por unidad D = Menor valor por unidad

Para el problema tendremos:

Nº de gallinas = 4524150460

=−

−x

Nº de conejos = 60 – 45 = 15

. Rpta.: A.

2. Se desea pagar una deuda de S/. 147 con 39 monedas de S/. 5 y S/. 2. ¿Cuántas monedas de cada tipo se tendrá? Resolución: Por el método del rombo, tendremos

Monedas de S/. 2 = 1625147539

=−

−x

Monedas de S/. 5 = 39 – 16= 23

OBSERVACIÓN: HABRÁ NOTADO QUE EN ESTOS TIPOS DE PROBLEMAS AL RESOLVERSE, SIEMPRE LA PRIMERA RESPUESTA ESTARÁ DANDO LA ESPECIE QUE APORTA LA MENOR CANTIDAD DE ELEMENTOS EN EL PROBLEMA.

REGLA DE LA CONJUNTA Establece relaciones que existen entre diferentes especies, conociendo las

relaciones intermedias (equivalentes) entre éstos Forma Práctica: 1. Se forman equivalencias entre las cantidades 2. El 1er elemento y el último deben ser siempre de la misma especie. 3. Las cantidades deben colocarse en forma ALTERNADA. Ejemplos: 1. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros de cuero y que

2 metros de cuero cuestan S/. 4 ¿Cuánto costarán 6 varas de paño? Resolución: Aplicando la conjunta tenemos: 6 varas < > 5 metros 2 metros < > S/. 4 ⇒ 6 x 2 x X < > 5 x 4 x 4 x < > 4 varas

De donde 26445

xxx

x = ⇒ x = S/. 6 32

2. Cuánto costarán 6 metros de casimir, sabiendo que 4 metros de éste cuestan lo mismo que 25 metros de lana y que 10 metros de lana cuestan S/. 6? Resolución: Aplicando la conjunta tenemos: 4 m. de casimir < > 25 m. de lana 10 m. de lana < > S/. 6 x < > 6m. de casimir

4 x 10 x X < > 25 x 6 x 6 ⇒ 104

6625x

xxx =

⇒ x = S/. 22,5

OBJETOS DADOS EN FORMA DE PAGO Trabajaremos con los siguientes ejemplos:

1. Un herrero toma un aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años

de trabajo, S/. 74 y un pantalón, al cabo de 1 año y 4 meses lo despide dándole S/. 42 y el pantalón ¿Cuánto vale el pantalón? Resolución: 24 meses < > S/. 74 + 1 pantalón ... (I) 16 meses < > S/. 42 + 1 pantalón ... (II) (I) – (II): 8 meses < > S/. 32 Indica que por 8 meses que faltan recibe S/. 32 menos. Luego:

Gana en dos años = 82432x

= S/. 96

Como le descuentan el pantalón, y éste vale: S/. 96 – S/. 74 = S/. 22

2. Por 90 días de trabajo, un patrón promete a un obrero S/. 120 y un traje. Al cabo de 60 días el patrón despide al obrero y le da S/. 120, sin el traje ¿Cuánto vale el traje? Resolución: Si durante 60 días ha ganado S/. 120 en 90 días hubiera recibido.

6090120 x

= S/. 180. pero por éste tiempo le prometieron S/. 120 y el traje

Entonces: Valor del traje = 180 – 120 = S/. 60.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si la cantidad que tengo lo multiplico por 8, lo divido luego por 10; al cociente lo multiplico por 3 y añado 36, entonces tendré S/. 180 ¿Cuánto tenía inicialmente?

Rpta. 2. En un lejano país existe una imagen

milagrosa que duplica el dinero que los devotos le presentan a condición de dejar 80 monedas por cada milagro; un devoto después de 3 milagros se quedó sin nada. ¿Cuánto tenía al inicio?

Rpta. 3. Se tiene 48 fósforos repartidos en

tres grupos diferentes. Si del 1er grupo paso al 2do, tantos fósforos como hay en éste; luego del 2do paso al 3ro tantos fósforos como hay en el 3ro y por último del 3ro paso al 1ro tantos fósforos como hay ahora en el 1ro resulta que habrá el mismo número de fósforos en cada grupo. ¿Cuántos fósforos había al principio en cada grupo?

4. Rpta. Para ganar S/. 600

en la rifa de un reloj se imprimieron 170 boletos, vendiéndose únicamente 120 boletos, perdiéndose S/. 900. ¿Cuánto cuesta el reloj?

Rpta.

5. Un postulante en un examen de 25 preguntas obtiene 4 puntos por respuesta correcta y perderá un punto por respuesta errada. ¿Cuántas respuestas erradas tuvo si contestando todas las preguntas obtuvo 70 puntos?

Rpta. 6. Un litro de leche pesa 1,03 kg,

un lechero entrega 55 l de leche con peso de 56,5 kg. ¿Le agregó agua a la leche? y ¿En que volumen? (1l de agua pesa 1 kg)

Rpta. 7. Se quiere cubrir una

superficie de losetas y se

observa que si se quiere

formar un cuadrado faltan 8

losetas, pero si a este

cuadrado se agrega una

loseta por lado, faltan 23

¿Cuántas losetas tienen?

Rpta.

8. Cuatro jugadores: A, B, C y D convienen que en cada partida, el que pierde duplicará el dinero que le queda a c/u de los otros 3. cada uno pierde una partida en el orden indicado por sus letras. ¿Cuánto tenía cada uno al empezar si al final c/u tenía S/. 32?

Rpta. 9. Sobre una mercancía valuada en

S/. 800 se efectúan tres descuentos sucesivos de 20%; 25% y 5%. ¿A que precio se vendió?

Rpta. 10. Cuál es el cambio con Berlín;

haciendo escala en París, sabiendo que 10 marcos equivalen a 58 francos y que el cambio de Madrid está a 48,5 pesetas por 100 francos.

Rpta. 11. Un ayudante entra a una fábrica

y le promete S/. 2 600 y una gratificación por 5 años de trabajo. Al cabo de 3 años y 3 meses, abandona el trabajo y recibe S/. 850 y la gratificación. ¿A cuanto asciende ésta?

Rpta.

12. En un zoológico hay leones y gorriones, si en total hay 20 cabezas y 62 patas ¿Cuántos leones hay?

Rpta. 13. Con tres desarmadores se obtiene un

alicate, con tres alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores?

Rpta. 14. En un examen por cada respuesta bien

contestada, ganan un punto y por cada respuesta incorrecta pierde un punto; si la nota de un alumno en 20 preguntas fue de 10. ¿Cuántas preguntas contestó mal?

Rpta. 15. Un estudiante escribe en su cuaderno

cada día la mitad de hojas en blanco que posee en es día más 5 hojas, si al cabo de 4 días ha gastado todas las hojas. ¿Cuántas tenía en el cuaderno?

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Se contrató a un profesor por un

año y al final del cual se le tenía que abonar S/. 24 000 y un reloj. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo sólo S/. 3 700 y el reloj. ¿Cuánto vale el reloj? A) 11 000 B) 5 300 C) 10 800 D) 12 500 E) N.A.

2. Un frutero debía vender 300 naranjas a razón de 5 por un sol; y otras 300 naranjas a razón de 3 por un sol; si las vendió todas a razón de 4 por un sol. ¿Ganó o perdió? y ¿Cuánto? A) No gana ni pierde B) Gana 30 C) Pierde 30 D) Gana 10 E) Pierde 10

3. Se contrata a un obrero por 63 días con la condición de que se le abonará 40 por cada día de trabajo y que él entregará 50 por cada días que deje de trabajar; si debe recibir 1 400 ¿Cuántos días tendrá que trabajar? A) 50 B) 51 C) 53 D) 40 E) N.A.

4. El trabajo de cuántos

hombres equivaldrá al trabajo

de 8 niños; si el trabajo de 4

niños equivale al de 3 niñas, el

de una mujer al de 2 niñas y el

de tres mujeres al de un

hombre.

A) 5 B) 1 C) 3

D) 2 E) Indeterminado

5. Sabiendo que 2 kilos de

frijoles cuestan lo mismo que

3 kilos de azúcar, que 4

lapiceros valen lo mismo que 5

kilos de azúcar; que 3

cuadernos valen S/. 30 y que

8 lapiceros cuestan lo mismo

que 4 cuadernos. ¿Cuánto

costarán 6 kilos de frijoles?

A) 20 B) 36 C) 18

D) 16 E) 33

6. Un pastor que llevaba carneros a la feria decía. “si vendo mis

carneros a S/. 20 podré

comprar un caballo y me

quedarán S/.90; pero si los

vendo a S/. 18 comprando el

caballo, no me quedarán más de

S/.6” ¿Cuál es el precio del

caballo y cuántos carneros

tiene el pastor?

A) 84; 3 B) 42; 1 C) 750 ; 42 D) 512; 22 E) N.A.

7. Un viñador compra una casa que quiere pagar con la

cosecha del año, si vende su

vino a S/. 145 el tonel; pagará

su casa y le sobrará S/. 840,

pero si lo vende a S/. 120 el

tonel le faltarán S/. 360 para

pagar la casa ¿Cuál es el precio

de la casa?

A) 100 B) 360 C) 6 120 D) 2 342 E) N.A.

8. Sobre un artículo marcado en S/. 4 000 se rebajan

sucesivamente el 5%, el 10% y

el 15%. ¿En cuánto menos se

vendería se rebajara el 5%, el

10% y el 15% (no

sucesivamente)

A) En 100 menos. B) En 107 menos. C) En 20 menos. D) En 324 menos. E) En 20 menos.

9. Que suma necesitará un

gobierno para pagar a 4

coroneles, si el sueldo de 6

coroneles equivale al de 10

comandantes, el de 5

comandantes al de 12

tenientes, el de 6 tenientes al

de 9 sargentos, si 4 sargentos

ganan S/. 2 400 a mes.

A) 106 B) 14 200 C) 28 800 D) 12 348

E) N.A.

“LA INGRATITUD ES LA AMNESIA DEL CORAZÓN”

G. BETANCOURT

10. Un hacendado desea comprar una casa con el producto de su cosecha de trigo. Si lo vende a razón de S/. 110 el Hl le faltarán S/. 500, pero si vende a S/. 120 el Hl le sobrarían S/. 1 000. Hallar el número de Hls que tiene el hacendado y el precio de la casa A) 120 ; 18 000 B) 54 ; 17 002 C) 24; 15 321 D) 150; 17 000 E) N.A.

CLAVES

1. C

2. E

3. B

4. B

5. B

6. C

7. C

8. B

9. C

10. D