4_Relasi_dan_Fungsi

7/23/2019 4_Relasi_dan_Fungsi

http://slidepdf.com/reader/full/4relasidanfungsi 1/100

IF2151/Relasi dan Fungsi 1

Matriks, Relasi, dan FungsiMatematika Diskrit



IF2151/Relasi dan Fu 2

Matriks

• Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam

bentuk baris dan kolom.

• Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m × n)

adalah:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

• Matriks buursangkar adalah matriks yang berukuran n × n.

• !alam "raktek# kita la$im menuliskan matriks dengan notasi

ringkas A % &aij'.

Contoh 1. !i baah ini adalah matriks yang berukuran × *:

=

+11

*5,+

52

A



IF2151/Relasi dan Fu

• Matriks simetri adalah matriks yang aij % a ji untuk setia" i

dan j.

Contoh 2. !i baah ini adalah ontoh matriks simetri.

−

−

+2*

2,

,

*2

• Matriks zero-one (/1) adalah matriks yang setia" elemennya

hanya bernilai atau 1.

Contoh 3. !i baah ini adalah ontoh matriks /1:

11

111

11



IF2151/Relasi dan Fu *

Relasi

• Relasi biner R antara him"unan A dan B adalah him"unan

bagian dari A × B.

• 0otasi: R ⊆ ( A × B).

• a R b adalah notasi untuk (a# b) ∈ R# yang artinya a

dihubungankan dengan b oleh R

•a R b adalah notasi untuk (a# b)

∉ R# yang artinya a tidakdihubungkan oleh b oleh relasi R.

• im"unan A disebut daerah asal (domain) dari R# dan

him"unan B disebut daerah hasil (range) dari R.

http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://www.sysfal.be/upload/DocumentVisualiser/relation-triang-1.gif&imgrefurl=http://www.sysfal.be/cgi/document.cfm%3FFrom%3DJeune%26Num%3D18&h=295&w=440&sz=70&hl=id&start=7&tbnid=DglfR98nJHWpHM:&tbnh=85&tbnw=127&prev=/images%3Fq%3Drelation%26svnum%3D10%26hl%3Did%26lr%3D%26sa%3DG

http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://www.mgt-services.com/relation.jpg&imgrefurl=http://www.mgt-services.com/indust.html&h=388&w=260&sz=52&hl=id&start=12&tbnid=huh9S52DCrZvlM:&tbnh=123&tbnw=82&prev=/images%3Fq%3Drelation%26svnum%3D10%26hl%3Did%26lr%3D%26sa%3DG




Contoh 3. Misalkan

A % 3mir# 4udi# ee"6# B % IF221# IF251# IF*2# IF26

A × B % (3mir# IF221)# (3mir# IF251)# (3mir# IF*2)#

(3mir# IF2)# (4udi# IF221)# (4udi# IF251)#(4udi# IF*2)# (4udi# IF2)# (ee"# IF221)#

(ee"# IF251)# (ee"# IF*2)# (ee"# IF2) 6

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yangdiambil oleh mahasisa "ada 7emester 8anil# yaitu

R % (3mir# IF251)# (3mir# IF2)# (4udi# IF221)#

(4udi# IF251)# (ee"# IF2) 6

- !a"at dilihat baha R ⊆ ( A × B)#

- A adalah daerah asal R# dan B adalah daerah hasil R.

- (3mir# IF251) ∈ R atau 3mir R IF251

- (3mir# IF*2) ∉ R atau 3mir R IF*2.




Contoh 4. Misalkan P % 2# # *6 dan Q % 2# *# +# 9# 156. ika

kita de;inisikan relasi R dari P ke Q dengan

( p# q) ∈ R ika p habis membagi q

maka kita "eroleh

R % (2# 2)# (2# *)# (*# *)# (2# +)# (*# +)# (# 9)# (# 15) 6

• Relasi "ada sebuah him"unan adalah relasi yang khusus

• Relasi "ada him"unan A adalah relasi dari A × A. • Relasi "ada him"unan A adalah him"unan bagian dari A × A.


http://slidepdf.com/reader/full/4relasidanfungsi 7/100 IF2151/Relasi dan Fu ,

Contoh 5. Misalkan R adalah relasi "ada A % 2# # *# +# 96 yangdide;inisikan oleh ( x# y) ∈ R ika x adalah ;aktor "rima dari y.

Maka

R % (2# 2)# (2# *)# (2# +)# (# )# (# 9)6


http://slidepdf.com/reader/full/4relasidanfungsi 8/100 IF2151/Relasi dan Fu +

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

3mir

4udi

e/e"

IF221

IF251

IF)*2

IF)2)

2

)

*

2

*

+

9

15

2

)

*

+

9

2

)

*

+

9

A B

P

Q A A


http://slidepdf.com/reader/full/4relasidanfungsi 9/100 IF2151/Relasi dan Fu 9

. Representasi Relasi dengan Tabel

• <olom "ertama tabel menyatakan daerah asal# sedangkan

kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

A B P Q A A

3mir IF251 2 2 2 2

3mir IF2 2 * 2 *

4udi IF221 * * 2 +

4udi IF251 2 +

ee" IF2 * +

9

15



3. Representasi Relasi dengan Matriks

• Misalkan R adalah relasi dari A % a1# a2# =# am6 dan B %

b1# b

2# =# b

n6.

• Relasi R da"at disaikan dengan matriks M % &mij'#

b1 b2 … bn

M %

mnmm

n

n

mmmm

mmm

mmm

a

a

a

21

22221

11211

2

1

yang dalam hal ini

∉

∈=

Rba

Rbam

ji

ji

ij)#(#

)#(#1



Contoh 6. Relasi R "ada ontoh da"at dinyatakan dengan

matriks

1

1111

dalam hal ini# a1 % 3mir# a2 % 4udi# a % ee"# dan b1 % IF221#b2 % IF251# b % IF*2# dan b* % IF2.

Relasi R "ada ontoh * da"at dinyatakan dengan matriks

11

11

111

yang dalam hal ini# a1 % 2# a2 % # a % *# dan b1 % 2# b2 % *# b % +#

b* % 9# b5 % 15.



4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

• Relasi "ada sebuah him"unan da"at dire"resentasikan seara

gra;is dengan graf berarah (directed graph atau digraph)• 8ra; berarah tidak dide;inisikan untuk mere"resentasikan

relasi dari suatu him"unan ke him"unan lain.

• >ia" elemen him"unan dinyatakan dengan sebuah titik

(disebut uga sim"ul atau vertex)# dan tia" "asangan terurutdinyatakan dengan busur (arc)

• ika (a# b) ∈ R# maka sebuah busur dibuat dari sim"ul a ke

sim"ul b. 7im"ul a disebut simpul asal (initial vertex) dan

sim"ul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

• ?asangan terurut (a# a) dinyatakan dengan busur dari sim"ul

a ke sim"ul a sendiri. 4usur semaam itu disebut gelang ataukalang (loop).



Contoh 7. Misalkan R % (a# a)# (a# b)# (b# a)# (b# c)# (b# d )# (c# a)#

(c# d )# (d # b)6 adalah relasi "ada him"unan a# b# c# d 6.

R dire"resentasikan dengan gra; berarah sbb:

a b

c d


http://slidepdf.com/reader/full/4relasidanfungsi 14/100 IF2151/Relasi dan Fu 1*

ifat!sifat Relasi "iner

• Relasi biner yang dide;inisikan "ada sebuah him"unan

mem"unyai bebera"a si;at.

1.Refleksif (reflexive)

• Relasi R "ada him"unan A disebut refleksif ika (a# a) ∈ R untuk setia" a ∈ A.

• Relasi R "ada him"unan A tidak re;leksi; ika ada a ∈ A

sedemikian sehingga (a# a) ∉ R.



Contoh #. Misalkan A % 1# 2# # *6# dan relasi R di baah ini

dide;inisikan "ada him"unan A# maka

(a) Relasi R % (1# 1)# (1# )# (2# 1)# (2# 2)# (# )# (*# 2)# (*# )#(*# *) 6 bersi;at re;leksi; karena terda"at elemen relasi yang

berbentuk (a# a)# yaitu (1# 1)# (2# 2)# (# )# dan (*# *).

(b) Relasi R % (1# 1)# (2# 2)# (2# )# (*# 2)# (*# )# (*# *) 6 tidak

bersi;at re;leksi; karena (# ) ∉ R.

Contoh $. Relasi @habis membagiA "ada him"unan bilangan bulat "ositi; bersi;at re;leksi; karena setia" bilangan bulat "ositi; habis

dibagi dengan dirinya sendiri# sehingga (a# a)∈ R untuk setia" a ∈

.

Contoh 1%. >iga buah relasi di baah ini menyatakan relasi "adahim"unan bilangan bulat "ositi; &.

R : x lebih besar dari y# : x B y % 5# ! : x B y % 1

>idak satu"un dari ketiga relasi di atas yang re;leksi; karena#

misalkan (2# 2) bukan anggota R# # mau"un ! .




• Relasi yang bersi;at re;leksi; mem"unyai matriks yang

elemen diagonal utamanya semua bernilai 1# atau mii % 1#

untuk i % 1# 2# =# n#

1

1

1

1

• 8ra; berarah dari relasi yang bersi;at re;leksi; diirikan

adanya gelang "ada setia" sim"ulnya.



IF2151/Relasi dan Fu 1,

2. Menghantar (tran"itive)

• Relasi R "ada him"unan A disebut menghantar ika (a# b) ∈

R dan (b# c)∈

R# maka (a# c)∈

R# untuk a# b# c ∈

A.



IF2151/Relasi dan Fu 1+

Contoh 11. Misalkan A % 1# 2# # *6# dan relasi R di baah ini


(a) R % (2# 1)# (# 1)# (# 2)# (*# 1)# (*# 2)# (*# ) 6 bersi;at

menghantar. Cihat tabel berikut:

?asangan berbentuk

(a# b) (b# c) (a# c)

(# 2) (2# 1) (# 1)

(*# 2) (2# 1) (*# 1)(*# ) (# 1) (*# 1)

(*# ) (# 2) (*# 2)

(b) R % (1# 1)# (2# )# (2# *)# (*# 2) 6 tidak manghantar karena

(2# *) dan (*# 2) ∈ R# teta"i (2# 2) ∉ R# begitu uga (*# 2) dan

(2# ) ∈ R# teta"i (*# ) ∉ R.

() Relasi R % (1# 1)# (2# 2)# (# )# (*# *) 6 elas menghantar

(d) Relasi R % (1# 2)# (# *)6 menghantar karena tidak ada

(a# b) ∈ R dan (b# c) ∈ R sedemikian sehingga (a# c) ∈ R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen se"erti R % (*# 5)6 selalumenghantar.




Contoh 12. Relasi @habis membagiA "ada him"unan bilangan bulat

"ositi; bersi;at menghantar. Misalkan baha a habis membagi b

dan b habis membagi c. Maka terda"at bilangan "ositi; m dan n

sedemikian sehingga b % ma dan c % nb. !i sini c % nma# sehingga

a habis membagi c. adi# relasi @habis membagiA bersi;at

menghantar.

Contoh 13. >iga buah relasi di baah ini menyatakan relasi "ada

him"unan bilangan bulat "ositi; &.

R : x lebih besar dari y# : x B y % # ! : x B y % 1

- R adalah relasi menghantar karena ika x D y dan y D z maka x D

z .- tidak menghantar karena# misalkan (*# 2) dan (2# *) adalah

anggota teta"i (*# *) ∉ .

- ! % (1# ,)# (2# *)# (# 1)6 menghantar.




•Relasi yang bersi;at menghantar tidak mem"unyai iri khusus "ada matriks re"resentasinya

• 7i;at menghantar "ada gra; berarah ditunukkan oleh: ika

ada busur dari a ke b dan dari b ke c# maka uga terda"at

busur berarah dari a ke c.




3. etangkup ( "ymmetric) dan tolak!setangkup (anti"ymmetric)

• Relasi R "ada him"unan A disebut setangkup ika (a# b) ∈ R#

maka (b# a) ∈ R untuk a# b ∈ A.

• Relasi R "ada him"unan A tidak setangku" ika (a# b) ∈ R

sedemikian sehingga (b# a) ∉ R.

• Relasi R "ada him"unan A sedemikian sehingga (a# b) ∈ R

dan (b# a) ∈ R hanya ika a % b untuk a# b ∈ A disebut tolak!

setangkup.

• Relasi R "ada him"unan A tidak tolak-setangku" ika ada

elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a# b) ∈ R dan

(b# a) ∈ R.




Contoh 14. Misalkan A % 1# 2# # *6# dan relasi R di baah ini


(a) Relasi R % (1# 1)# (1# 2)# (2# 1)# (2# 2)# (2# *)# (*# 2)# (*# *) 6

bersi;at setangku" karena ika (a# b) ∈ R maka (b# a) uga ∈

R. !i sini (1# 2) dan (2# 1) ∈ R# begitu uga (2# *) dan (*# 2) ∈ R.

(b) Relasi R % (1# 1)# (2# )# (2# *)# (*# 2) 6 tidak setangku"

karena (2# ) ∈ R# teta"i (# 2) ∉ R.

() Relasi R % (1# 1)# (2# 2)# (# ) 6 tolak-setangku" karena 1 %

1 dan (1# 1) ∈ R# 2 % 2 dan (2# 2) ∈ R# dan % dan (# ) ∈

R. ?erhatikan baha R uga setangku".

(d) Relasi R % (1# 1)# (1# 2)# (2# 2)# (2# ) 6 tolak-setangku"

karena (1# 1) ∈ R dan 1 % 1 dan# (2# 2) ∈ R dan 2 % 2 dan.

?erhatikan baha R tidak setangku".

(e) Relasi R % (1# 1)# (2# *)# (# )# (*# 2) 6 tidak tolak-

setangku" karena 2 ≠ * teta"i (2# *) dan (*# 2) anggota R.Relasi R "ada (a) dan (b) di atas uga tidak tolak-setangku".

(;) Relasi R % (1# 2)# (2# )# (1# ) 6 tidak setangku" teta"i

tolak-setangku".

Relasi R % (1# 1)# (2# 2)# (2# )# (# 2)# (*# 2)# (*# *)6 tidak

setangku" dan tidak tolak-setangku". R tidak setangku" karena (*#

2) ∈ R teta"i (2# *) ∉ R. R tidak tolak-setangku" karena (2# ) ∈ R dan (# 2) ∈ R teta" 2 ≠ .




Contoh 15. Relasi @habis membagiA "ada him"unan bilangan bulat

"ositi; tidak setangku" karena ika a habis membagi b# b tidak

habis membagi a# ke/uali ika a % b. 7ebagai /ontoh# 2 habis

membagi *# teta"i * tidak habis membagi 2. <arena itu# (2# *) ∈ R

teta"i (*# 2) ∉ R. Relasi @habis membagiA tolak-setangku" karenaika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a % b.

7ebagai /ontoh# * habis membagi *. <arena itu# (*# *) ∈ R dan * %

*.

Contoh 16. >iga buah relasi di baah ini menyatakan relasi "adahim"unan bilangan bulat "ositi; &.

R : x lebih besar dari y# : x B y % # ! : x B y % 1

- R bukan relasi setangku" karena# misalkan 5 lebih besar dari

teta"i tidak lebih besar dari 5.

- relasi setangku" karena (*# 2) dan (2# *) adalah anggota .

- ! tidak setangku" karena# misalkan (# 1) adalah anggota ! teta"i

(1# ) bukan anggota ! .

- bukan relasi tolak-setangku" karena# misalkan (*# 2) ∈ dan

(*# 2) ∈ teta"i * ≠ 2.

- Relasi R dan ! keduanya tolak-setangku" (tunukkanE).



IF2151/Relasi dan Fu 2*

• Relasi yang bersi;at setangku" mem"unyai matriks yang

elemen-elemen di baah diagonal utama meru"akan

"enerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama# ataumij % m ji % 1# untuk i % 1# 2# =# n :

1

1

• 7edangkan gra; berarah dari relasi yang bersi;at setangku"

diirikan oleh: ika ada busur dari a ke b# maka uga ada busur dari b ke a.




• Matriks dari relasi tolak-setangku" mem"unyai si;at yaitu

ika mij % 1 dengan i ≠ j# maka m ji % . !engan kata lain#

matriks dari relasi tolak-setangku" adalah ika salah satu dari

mij % atau m ji % bila i ≠ j :

11

1

• 7edangkan gra; berarah dari relasi yang bersi;at tolak-

setangku" di/irikan oleh: ika dan hanya ika tidak "ernah

ada dua busur dalam arah berlaanan antara dua sim"ul

berbeda.




Relasi 'n(ersi

• Misalkan R adalah relasi dari him"unan A ke him"unan B.

Iners dari relasi R# dilambangkan dengan R G1

# adalah relasi

dari B ke A yang dide;inisikan oleh

R G1

% (b# a) H (a# b) ∈ R 6




Contoh 17. Misalkan P % 2# # *6 dan Q % 2# *# +# 9# 156. ika

kita de;inisikan relasi R dari P ke Q dengan

( p# q) ∈ R ika p habis membagi q

maka kita "eroleh

R % (2# 2)# (2# *)# (*# *)# (2# +)# (*# +)# (# 9)# (# 15) 6

G1 adalah inver" dari relasi R# yaitu relasi dari Q ke P dengan

(q# p) ∈ R G1

ika q adalah keli"atan dari p

maka kita "eroleh




ika M adalah matriks yang mere"resentasikan relasi R#

M %

11

11

111

maka matriks yang mere"resentasikan relasi R G1

# misalkan # #

di"eroleh dengan melakukan tran"po"e terhada" matriks M #

# % M ! %

1

1

11

11

1




Mengkombinasikan Relasi

• <arena relasi biner meru"akan him"unan "asangan terurut#maka o"erasi him"unan se"erti irisan# gabungan# selisih# dan

beda setangku" antara dua relasi atau lebih uga berlaku.

• ika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari him"una A ke him"unan B# maka R1 ∩ R2# R1 ∪ R2# R1 G R2# dan R1 ⊕ R2

uga adalah relasi dari A ke B.




Contoh 1#. Misalkan A % a# b# c6 dan B % a# b# c# d 6.

Relasi R1 % (a# a)# (b# b)# (c# c)6

Relasi R2 % (a# a)# (a# b)# (a# c)# (a# d )6

R1 ∩ R2 % (a# a)6

R1 ∪ R2 % (a# a)# (b# b)# (c# c)# (a# b)# (a# c)# (a# d )6 R1 − R2 % (b# b)# (c# c)6

R2 − R1 % (a# b)# (a# c)# (a# d )6

R1 ⊕ R2 % (b# b)# (c# c)# (a# b)# (a# c)# (a# d )6




• ika relasi R1 dan R

2 masing-masing dinyatakan dengan

matriks M R1 dan M R2# maka matriks yang menyatakan

gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

M R1 ∪ R2 % M R1 ∨ M R2 dan M R1 ∩ R2 % M R1 ∧ M R2




Contoh 1$. Misalkan baha relasi R1 dan R2 "ada him"unan A

dinyatakan oleh matriks

R1 %

11

11

1

dan R2 %

1

11

1

maka

M R1 ∪ R2 % M R1 ∨ M R2 %

11

111

11

M R1 ∩ R2 % M R1 ∧ M R2 %

1

1




)omposisi Relasi

• Misalkan R adalah relasi dari him"unan A ke him"unan B#

dan adalah relasi dari him"unan B ke him"unan $ .

<om"osisi R dan # dinotasikan dengan ο R# adalah relasi

dari A ke $ yang dide;inisikan oleh

ο R % (a# c) a ∈ A# c ∈ $ # dan untuk bebera"a b ∈ B# (a#

b) ∈ R dan (b# c) ∈ 6




Contoh 2%. Misalkan

R % (1# 2)# (1# )# (2# *)# (# *)# (# )# (# +)6

adalah relasi dari him"unan 1# 2# 6 ke him"unan 2# *# # +6 dan

% (2# %)# (*# ")# (*# t )# (# t )# (+# %)6

adalah relasi dari him"unan 2# *# # +6 ke him"unan "# t # %6.

Maka kom"osisi relasi R dan adalah

ο R % (1# %)# (1# t )# (2# ")# (2# t )# (# ")# (# t )# (# %) 6




<om"osisi relasi R dan lebih elas ika di"eragakan dengan

diagram "anah:

1

2

)

2

*

-

+

"

t

%




• ika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan

matriks M R1 dan M R2# maka matriks yang menyatakan

kom"osisi dari kedua relasi tersebut adalah

M R2 ο R1 % M R1 ⋅ M R2

yang dalam hal ini o"erator @.A sama se"erti "ada "erkalian

matriks biasa# teta"i dengan mengganti tanda kali dengan @∧A

dan tanda tambah dengan @∨A.



IF2151/Relasi dan Fu ,

Contoh 21. Misalkan baha relasi R1 dan R2 "ada him"unan A

dinyatakan oleh matriks

R1 %

11

11

dan R2 %

111

1

maka matriks yang menyatakan R2 ο R1 adalah

M R2

ο R1

% M R1

. M R2

%

∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

)()()()1()1()()(

)1()()1()11()1()1()1(

)1()1()()11()11()()1(

%

11

111



IF2151/Relasi dan Fu +

Relasi n!ary

• Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah

him"unan.

• Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah

him"unan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baa:

ener).

• ika n % 2# maka relasinya dinamakan relasi biner (bi % 2).

Relasi n-ary mem"unyai tera"an "enting di dalam basisdata.

• Misalkan A1# A2# =# An adalah him"unan. Relasi n-ary R

"ada him"unan-him"unan tersebut adalah him"unan bagian

dari A1 × A2 × = × An # atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × =× An. im"unan A1# A2# =# An disebut daerah asal relasi dan n

disebut *erajat.




Contoh 22. Misalkan

#&M % 159+11# 159+1*# 159+15# 159+19#

159+21# 159+256 #ama % 3mir# 7anti# Iran# 3hmad# ee"# amdan6 Mat'%l % Matematika !iskrit# 3lgoritma# 7truktur !ata#

3rsitektur <om"uter6 #ilai % 3# 4# # !# 6

Relasi M( terdiri dari 5-tu"el ( #&M # #ama# Mat'%l # #ilai):

M( ⊆ #&M × #ama × Mat'%l × #ilai




7atu ontoh relasi yang bernama M( adalah

M( % (159+11# 3mir# Matematika !iskrit# 3)#

(159+11# 3mir# 3rsitektur <om"uter# 4)#(159+1*# 7anti# 3rsitektur <om"uter# !)#

(159+15# Iran# 3lgoritma# )#

(159+15# Iran# 7truktur !ata )#

(159+15# Iran# 3rsitektur <om"uter# 4)#

(159+19# 3hmad# 3lgoritma# )#(159+21# ee"# 3lgoritma# 3)#

(159+21# ee"# 3rsitektur <om"uter# 4)#

(159+25# amdan# Matematika !iskrit# 4)#(159+25# amdan# 3lgoritma# 3# 4)#

(159+25# amdan# 7truktur !ata# )#

(159+25# amdan# 3rs. <om"uter# 4)6



IF2151/Relasi dan Fu *1

Relasi M( di atas uga da"at ditulis dalam bentuk >abel:

0IM 0ama Mat<ul 0ilai

159+11159+11

159+1*

159+15

159+15

159+15

159+19

159+21

159+21

159+25

159+25

159+25159+25

3mir3mir

7anti

Iran

Iran

Iran

3hmad

ee"

ee"

amdan

amdan

amdanamdan

Matematika !iskrit3rsitektur <om"uter

3lgoritma

3lgoritma

7truktur !ata

3rsitektur <om"uter

3lgoritma

3lgoritma

3rsitektur <om"uter

Matematika !iskrit

3lgoritma

7truktur !ata3rsitektur <om"uter

34

!

4

4

4

4

3

4

4 i d t (d t b ) d l h k l t b l




• 4asisdata (databa"e) adalah kum"ulan tabel.

• 7alah satu model basisdata adalah mo*el basis*ata relasional (relational databa"e). Model basisdata ini

didasarkan "ada konse" relasi n-ary.

• ?ada basisdata relasional# satu tabel menyatakan satu relasi.

7etia" kolom "ada tabel disebut atribut. !aerah asal dari

atribut adalah him"unan tem"at semua anggota atribut

tersebut berada.

• 7etia" tabel "ada basisdata diim"lementasikan seara ;isik

sebagai sebuah file.

• 7atu baris data "ada tabel menyatakan sebuah record # dan

setia" atribut menyatakan sebuah field .

• 7eara ;isik basisdata adalah kum"ulan file# sedangkan file

adalah kum"ulan record # setia" record terdiri atas seumlah

field .

• 3tribut khusus "ada tabel yang mengidenti;ikasikan seara

unik elemen relasi disebut kun+i ()ey).




• J"erasi yang dilakukan terhada" basisdata dilakukan dengan

"erintah "ertanyaan yang disebut q%ery.

• ontoh q%ery:@tam"ilkan semua mahasisa yang mengambil mata kuliah

Matematika !iskritA

@tam"ilkan da;tar nilai mahasisa dengan 0IM % 159+15A

@tam"ilkan da;tar mahasisa yang terdiri atas 0IM dan mata

kuliah yang diambilA

• Q%ery terhada" basisdata relasional da"at dinyatakan seara

abstrak dengan o"erasi "ada relasi n-ary.

• 3da bebera"a o"erasi yang da"at digunakan# diantaranya

adalah seleksi# "royeksi# dan oin.



IF2151/Relasi dan Fu **

eleksi

J"erasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang

memenuhi "ersyaratan tertentu.

J"erator: σ

Contoh 23. Misalkan untuk relasi M7 kita ingin menam"ilkan

da;tar mahasisa yang mengambil mata kuliah Matematik !iskrit.

J"erasi seleksinya adalahσMatkul%AMatematika !iskritA (M7)

asil: (159+11# 3mir# Matematika !iskrit# 3) dan

(159+25# amdan# Matematika !iskrit# 4)




Proyeksi

J"erasi "royeksi memilih kolom tertentu dari suatu tabel. ika ada

bebera"a baris yang sama nilainya# maka hanya diambil satu kali.

J"erator: π

Contoh 24. J"erasi "royeksi

π 0ama# Mat<ul# 0ilai (M7)

menghasilkan >abel .5. 7edangkan o"erasi "royeksi

π 0IM# 0ama (M7)

menghasilkan >abel ..




Tabel 3.5 Tabel 3.6

0ama Mat<ul 0ilai 0IM 0ama

159+11

159+1*

159+15159+19

159+21

159+25

3mir

7anti

Iran3hmad

ee"

amdan

3mir

3mir

7antiIran

Iran

Iran

3hmad

ee"ee"

amdanamdan

amdan

amdan

Matematika !iskrit

3rsitektur <om"uter

3lgoritma3lgoritma

7truktur !ata

3rsitektur <om"uter

3lgoritma

3lgoritma3rsitektur <om"uter

Matematika !iskrit3lgoritma

7truktur !ata

3rsitektur <om"uter

3

4

!

4

44

43

4

oin

J"erasi join menggabungkan dua buah tabel menadi satu bila



IF2151/Relasi dan Fu *,

J"erasi join menggabungkan dua buah tabel menadi satu bila

kedua tabel mem"unyai atribut yang sama.

J"erator: τ

Contoh 25. Misalkan relasi M(* dinyatakan dengan >abel .,

dan relasi M(+ dinyatakan dengan >abel .+.

J"erasi join

τ 0IM# 0ama(M71# M72)

menghasilkan >abel .9.

Tabel 3.7 Tabel 3.#

0IM 0ama < 0IM 0ama Mat<ul 0ilai

159+1 ananto C 159+1 ananto 3lgoritma 3

159+2 8untur C 159+1 ananto 4asisdata 4

159+* eidi K 159+* eidi <alkulus I 4

159+ arman C 159+ arman >eori 4ahasa 159+, <arim C 159+ arman 3gama 3

159+9 unaidi 7tatisitik 4

159+1 Fari$ka Jtomata

Tabel 3.$

0IM 0ama < Mat<ul 0ilai

159+1 ananto C 3lgoritma 3159+1 ananto C 4asisdata 4

159+* eidi K <alkulus I 4159+ arman C >eori 4ahasa

159+ arman C 3gama 3

,ungsi



IF2151/Relasi dan Fu *+

,ungsi

• Misalkan A dan B him"unan.

Relasi biner f dari A ke B meru"akan suatu ;ungsi ika "etiap elemen di dalam A dihubungkan dengan te"at satu elemen di

dalam B.

ika f adalah ;ungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A → B yang artinya f memetakan A ke B.

• A disebut *aerah asal (domain) dari f dan B disebut *aerah

hasil (codomain) dari f .

• 0ama lain untuk ;ungsi adalah pemetaan atau transformasi.

• <ita menuliskan f (a) % b ika elemen a di dalam A

dihubungkan dengan elemen b di dalam B.




• ika f (a) % b# maka b dinamakan ba-angan (image) dari a

dan a dinamakan pra!ba-angan ( pre-image) dari b.

• im"unan yang berisi semua nilai "emetaan f disebut jelajah (range) dari f . ?erhatikan baha elaah dari f adalah

him"unan bagian (mungkin proper "%b"et ) dari B.

a b

A B

f




• Fungsi adalah relasi yang khusus:

1. >ia" elemen di dalam him"unan A harus digunakan oleh

"rosedur atau kaidah yang mende;inisikan f .

2. Frasa @dihubungkan dengan te"at satu elemen di dalam BA

berarti baha ika (a# b) ∈ f dan (a# c) ∈ f # maka b % c.

• Fungsi da"at dis"esi;ikasikan dalam berbagai bentuk#




g " " g #

diantaranya:

1. im"unan "asangan terurut.

7e"erti "ada relasi.

2. Formula "engisian nilai (a""ignment ).

ontoh: f ( x) % 2 x B 1# f ( x) % x2# dan f ( x) % 1/ x.

. <ata-kata

ontoh: @ f adalah ;ungsi yang memetakan umlah bit 1

di dalam suatu "tring binerA.

*. <ode "rogram ( "o%rce code)

ontoh: Fungsi menghitung H xH

function abs(x:integer):integer; begin

if x < 0 then

abs:=-x

else

abs:=x;

end ;




Contoh 26. Relasi

f % (1# %)# (2# v)# (# ,)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 adalah ;ungsi dari A ke B. !i sini

(1) % %# f (2) % v# dan f () % ,. !aerah asal dari f adalah A dan daerahhasil adalah B. elaah dari f adalah %# v# ,6# yang dalam hal ini sama

dengan him"unan 4.

Contoh 27. Relasi

f % (1# %)# (2# %)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 adalah ;ungsi dari A ke B# meski"un

% meru"akan bayangan dari dua elemen A. !aerah asal ;ungsi adalah

# daerah hasilnya adalah B# dan elaah ;ungsi adalah %# v6.




Contoh 2#. Relasi

f % (1# %)# (2# v)# (# ,)6

dari A % 1# 2# # *6 ke B % %# v# ,6 bukan ;ungsi# karena tidak semua

elemen A di"etakan ke B.

Contoh 2$. Relasi

f % (1# %)# (1# v)# (2# v)# (# ,)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 bukan ;ungsi# karena 1 di"etakan ke

dua buah elemen B# yaitu % dan v.

Contoh 3%. Misalkan f : → dide;inisikan oleh f ( x) % x2. !aerah

asal dan daerah hasil dari f adalah him"unan bilangan bulat# dan elaah

dari f adalah him"unan bilangan bulat tidak-negati;.




• Fungsi f dikatakan satu!ke!satu (one-to-one) atau injektif

(injective) ika tidak ada dua elemen him"unan A yang

memiliki bayangan sama.

a 1

A B

2

3

4

5

b

c

d




Contoh 31. Relasi

f % (1# ,)# (2# %)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# , x6 adalah ;ungsi satu-ke-satu#

>eta"i relasi

f % (1# %)# (2# %)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 bukan ;ungsi satu-ke-satu#

karena f (1) % f (2) % %.




Contoh 32. Misalkan f : → . >entukan a"akah f ( x) % x2 B 1 dan

( x) % x G 1 meru"akan ;ungsi satu-ke-satuL

?enyelesaian:(i) f ( x) % x

2 B 1 bukan ;ungsi satu-ke-satu# karena untuk dua x

yang bernilai mutlak sama teta"i tandanya berbeda nilai

;ungsinya sama# misalnya f (2) % f (-2) % 5 "adahal G2 ≠ 2.

(ii) f ( x) % x G 1 adalah ;ungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b#a G 1 ≠ b G 1.

Misalnya untuk x % 2# f (2) % 1 dan untuk x % -2# f (-2) % -.




• Fungsi f dikatakan di"etakan pa*a (onto) atau surjektif

( "%rjective) ika setia" elemen him"unan B meru"akan

bayangan dari satu atau lebih elemen him"unan A.

• !engan kata lain seluruh elemen B meru"akan elaah dari f .

Fungsi f disebut ;ungsi "ada him"unan B.

a 1

A B

2

3

b

c

d




Contoh 33. Relasi

f % (1# %)# (2# %)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 bukan ;ungsi "ada karena ,

tidak termasuk elaah dari f .

Relasi

f % (1# ,)# (2# %)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 meru"akan ;ungsi "ada karena

semua anggota B meru"akan elaah dari f .




Contoh 34. Misalkan f : → . >entukan a"akah f ( x) % x2 B 1 dan

( x) % x G 1 meru"akan ;ungsi "adaL?enyelesaian:

(i) f ( x) % x2 B 1 bukan ;ungsi "ada# karena tidak semua nilai

bilangan bulat meru"akan elaah dari f .

(ii) f ( x) % x G 1 adalah ;ungsi "ada karena untuk setia" bilangan bulat y# selalu ada nilai x yang memenuhi# yaitu y % x G 1 akan

di"enuhi untuk x % y B 1.




• Fungsi f dikatakan berkorespon*en satu!ke!satu ataubijeksi (bijection) ika ia ;ungsi satu-ke-satu dan uga ;ungsi

"ada.

Contoh 35. Relasi

f % (1# %)# (2# ,)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 adalah ;ungsi yang

berkores"onden satu-ke-satu# karena f adalah ;ungsi satu-ke-satu

mau"un ;ungsi "ada.

Contoh 36. Fungsi f ( x) % x G 1 meru"akan ;ungsi yang




g f( ) " g y g

berkores"onden satu-ke-satu# karena f adalah ;ungsi satu-ke-satu

mau"un ;ungsi "ada.

Fungsi satu-ke-satu# Fungsi "ada# bukan "ada bukan satu-ke-satu

4uka ;ungsi satu-ke-satu 4ukan ;ungsi

mau"un "ada

a

1

AB

2

3b

c 4

a1

AB

2

3

b

c

c d

a 1

A B

2

3

b

c

c d 4

a 1

A B

2

3

b

c

c d 4




• ika f adalah ;ungsi berkores"onden satu-ke-satu dari A ke B#

maka kita da"at menemukan balikan (inver") dari f .

• 4alikan ;ungsi dilambangkan dengan f G1

. Misalkan a adalah

anggota him"unan A dan b adalah anggota him"unan B#

maka f-1

(b) % a ika f (a) % b.

• Fungsi yang berkores"onden satu-ke-satu sering dinamakan

uga ;ungsi yang invertible (da"at dibalikkan)# karena kita

da"at mende;inisikan ;ungsi balikannya. 7ebuah ;ungsi

dikatakan not invertible (tidak da"at dibalikkan) ika ia bukan

;ungsi yang berkores"onden satu-ke-satu# karena ;ungsi balikannya tidak ada.

Contoh 37 Relasi




Contoh 37. Relasi

f % (1# %)# (2# ,)# (# v)6

dari A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6 adalah ;ungsi yang

berkores"onden satu-ke-satu. 4alikan ;ungsi f adalah

f-1

% (%# 1)# (,# 2)# (v# )6

adi# f adalah ;ungsi invertible.

Contoh 3#. >entukan balikan ;ungsi f ( x) % x G 1.

?enyelesaian:

Fungsi f ( x) % x G 1 adalah ;ungsi yang berkores"onden satu-ke-

satu# adi balikan ;ungsi tersebut ada.

Misalkan f ( x) % y# sehingga y % x G 1# maka x % y B 1. adi# balikan

;ungsi balikannya adalah f

-1

( y) % y B1.




Contoh 3$. >entukan balikan ;ungsi f ( x) % x2 B 1.

?enyelesaian:!ari ontoh .*1 dan .** kita sudah menyim"ulkan baha f ( x) %

G 1 bukan ;ungsi yang berkores"onden satu-ke-satu# sehingga

;ungsi balikannya tidak ada. adi# f ( x) % x2 B 1 adalah ;unsgi yang

not invertible.




)omposisi *ari *ua buah fungsi.

Misalkan g adalah ;ungsi dari him"unan A ke him"unan B# dan

adalah ;ungsi dari him"unan B ke him"unan $ . <om"osisi f dan g #

dinotasikan dengan f ο g # adalah ;ungsi dari A ke $ yang

dide;inisikan oleh

( f ο g )(a) % f ( g (a))

Contoh 4% !iberikan ;ungsi




Contoh 4%. !iberikan ;ungsi

g % (1# %)# (2# %)# (# v)6

yang memetakan A % 1# 2# 6 ke B % %# v# ,6# dan ;ungsi

f % (%# y)# (v x)# (,# z )6

yang memetakan B % %# v# ,6 ke $ % x# y# z 6. Fungsi kom"osisi

dari A ke $ adalah

f ο g % (1# y)# (2# y)# (# x) 6

Contoh 41. !iberikan ;ungsi f ( x) % x G 1 dan g ( x) % x2 B 1.

>entukan f ο g dan g ο f . ?enyelesaian:

(i) ( f ο g )( x) % f ( g ( x)) % f ( x2 B 1) % x

2 B 1 G 1 % x

2.

(ii) ( g ο f )( x) % g ( f ( x)) % g ( x G 1) % ( x G1)2 B 1 % x

2- 2 x B 2.

" b , i )h




"eberapa ,ungsi )husus

1. ,ungsi !loor *an "eiling

Misalkan x adalah bilangan riil# berarti x berada di antara dua bilangan bulat.

Fungsi floor dari :

x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih keilatau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x:

x menyatakan bilangan bulat terkeil yang lebih besar atausama dengan x

!engan kata lain# ;ungsi floor membulatkan x ke baah#

sedangkan ;ungsi ceiling membulatkan x ke atas.

Contoh 42 4ebera"a ontoh nilai ;ungsi floor dan ceiling:




Contoh 42. 4ebera"a ontoh nilai ;ungsi floor dan ceiling :

.5 % .5 % *

.5 % .5 % 1*.+ % * *.+ % 5

G .5 % G 1 G .5 %

G.5 % G * G.5 % G

Contoh 42. !i dalam kom"uter# data dikodekan dalam untaian

byte# satu byte terdiri atas + bit. ika "anang data 125 bit# maka

umlah byte yang di"erlukan untuk mere"resentasikan data adalah

125/+ % 1 byte. ?erhatikanlah baha 1 × + % 12+ bit# sehinggauntuk byte yang terakhir "erlu ditambahkan bit ekstra agar satu

byte teta" + bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggena"i +

bit disebut padding bit").

2 , i * l




2. ,ungsi mo*ulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah

bilangan bulat "ositi;.

a mod m memberikan sisa "embagian bilangan bulat bila a

dibagi dengan m

a mod m % r sedemikian sehingga a % mq B r # dengan ≤ r N m.

Contoh 43. 4ebera"a ontoh ;ungsi modulo

25 mod , % *15 mod * %

12 mod *5 % 12

mod 5 % 5

G25 mod , % (sebab G25 % , ⋅ (G*) B )

3. ,ungsi ,aktorial




>×−×××

==

#)1(.21

#1E

nnn

nn

4. ,ungsi /ksponensial

>×××

== #

#1

naaa

na

n

n

Ontuk kasus "er"angkatan negati;#

n

n

aa

1=−

5. ,ungsi 0ogaritmik

Fungsi logaritmik berbentuk

x y a log= ↔ x % a y

,ungsi Rekursif



IF2151/Relasi dan Fu ,1

g

• Fungsi f dikatakan ;ungsi rekursi; ika de;inisi ;ungsinya

mengau "ada dirinya sendiri.

ontoh: nE % 1 × 2 × = × (n G 1) × n % (n 1)E × n.

>−×

==

#)E1(

#1E

nnn

nn

Fungsi rekursi; disusun oleh dua bagian:

(a) Ba"i"

4agian yang berisi nilai aal yang tidak mengau "ada dirinyasendiri. 4agian ini uga sekaligus menghentikan de;inisi

rekursi;.

(b) Re)%ren"

4agian ini mende;inisikan argumen ;ungsi dalam terminologi

dirinya sendiri. 7etia" kali ;ungsi mengau "ada dirinya sendiri#

argumen dari ;ungsi harus lebih dekat ke nilai aal (basis).

• ontoh de;inisi rekursi; dari ;aktorial:

( ) b i




(a) basis:

nE % 1 # ika n %

(b) rekurens:

nE % n × (n -1)E # ika n D

5E dihitung dengan langkah berikut:

(1) 5E % 5 × *E (rekurens)

(2) *E % * × E

() E % × 2E

(*) 2E % 2 × 1E

(5) 1E % 1 × E

() E % 1

(P) E % 1

(5P) 1E % 1 × E % 1 × 1 % 1(*P) 2E % 2 × 1E % 2 × 1 % 2

(P) E % × 2E % × 2 %

(2P) *E % * × E % * × % 2*

(1P) 5E % 5 × *E % 5 × 2* % 12

adi# 5E % 12.




Contoh 44. !i baah ini adalah ontoh-ontoh ;ungsi rekursi; lainnya:

1.

≠+−

==

#)1(2

#)(

2 x x x /

x x /

2. Fungsi hebyse

>−−−

=

=

=

1#)#2()#1(2

1#

#1

)#(

n xn! xn x!

n x

n

xn!

. Fungsi ;ibonai:

>−+−

=

=

=

1#)2()1(

1#1

#

)(

nn f n f

n

n

n f



IF2151/Relasi dan Fu ,*

Relasi Kesetaraan

DEFINISI. Relasi R pada

himpunan A disebut relasikesetaraan (equivalence relation)

jika ia refeksi, setangkup dan

menghantar.




Secara intuiti, di dalam relasi

kesetaraan, dua bendaberhubungan jika keduanamemiliki beberapa siat ang samaatau memenuhi beberapapersaratan ang sama.

Dua elemen ang dihubungkandengan relasi kesetaraandinamakan setara (equivalent ).

!"nt"h#




!"nt"h#

$ % himpunan mahasis&a, R relasi pada $#

(a, b)∈

R jika a satu angkatan dengan b.

R refeksi# setiap mahasis&a seangkatandengan dirina sendiri

R setangkup# jika a seangkatan dengan b,maka b pasti seangkatan dengan a.

R menghantar# jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah

a seangkatan dengan c.

Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan.



IF2151/Relasi dan Fu ,,

Relasi Pengurutan

Parsial DEFINISI. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation) jika ia refeksi,

t"lak'setangkup, dan menghantar.

impunan S bersama'sama dengan relasi

R disebut himpunan terurut secaraparsial ( partially ordered set , atau poset ), dan dilambangkan dengan (S, R).

!"nt"h# Relasi ≥ pada himpunan bilangan



IF2151/Relasi dan Fu ,+

!"nt"h# Relasi ≥ pada himpunan bilanganbulat adalah relasi pengurutan parsial.

$lasan#Relasi ≥ refeksi, karena a ≥ a untuk setiapbilangan bulat a;

Relasi ≥ t"lak'setangkup, karena jika a ≥ b dan b ≥ a, maka a % b;

Relasi ≥ menghantar, karena jika a ≥ b dan b ≥ c maka a ≥ c.




!"nt"h# Relasi habis membagi*

pada himpunan bilangan bulatadalah relasi pengurutan parsial.

$lasan# relasi habis membagi*bersiat refeksi, t"lak'setangkup,dan menghantar.




Secara intuiti, di dalam relasipengurutan parsial, dua buahbenda saling berhubungan jikasalah satuna '' lebih kecil (lebih

besar) daripada,' atau lebih rendah (lebih tinggi)

daripada lainna menurut siat

atau kriteria tertentu.

+stilah pengurutan menatakan bah&a



IF2151/Relasi dan Fu +1

+stilah pengurutan menatakan bah&abenda'benda di dalam himpunan tersebutdirutkan berdasarkan siat atau kriteria

tersebut.

$da juga kemungkinan dua buah benda didalam himpunan tidak berhubungan dalam

suatu relasi pengurutan parsial. Dalam haldemikian, kita tidak dapat membandingkankeduana sehingga tidak dapat diidentikasimana ang lebih besar atau lebih kecil.

+tulah alasan digunakan istilah pengurutanparsial atau pengurutan tak'lengkap




Kl"sur Relasi (closure of relation)

!"nt"h -# Relasi R % (-, -), (-, /),(0, /), (/, 0)1 pada himpunan A %

-, 0, /1 tidak refeksi.

2agaimana membuat relasi

refeksi ang sesedikit mungkindan mengandung R3

4ambahkan (0 0) dan (/ /) ke dalam R




4ambahkan (0, 0) dan (/, /) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini ang

belum terdapat di dalam R)

Relasi baru, S, mengandung R, aitu

S % (-, -), (-, /), (2, 2), (0, /),

(/, 0), (3, 3) 1

Relasi S disebut klosur reeksi! (reexive closure) dari R.



IF2151/Relasi dan Fu +*

!"nt"h 0# Relasi R % (-, /), (-, 0),

(0, -), (/, 0), (/, /)1 padahimpunan A % -, 0, /1 tidaksetangkup.

2agaimana membuat relasisetangkup ang sesedikit mungkin

dan mengandung R3

4ambahkan (/ -) dan (0 /) ke dalam R




4ambahkan (/, -) dan (0, /) ke dalam R

(karena dua elemen relasi ini ang belum

terdapat di dalam S agar S menjadisetangkup).

Relasi baru, S, mengandung R#

S % (-, /), (/, -), (-, 0), (0, -), (/, 0), (0,/), (/, /)1

Relasi S disebut klosur setangkup (symmetric closure) dari R.




Misalkan R adalah relasi padahimpunan A. R dapat memiliki atau

tidak memiliki siat P, sepertirefeksi, setangkup, ataumenghantar. 6ika terdapat relasi S

dengan siat P ang mengandung R sedemikian sehingga S adalahhimpunan bagian dari setiap relasi

dengan siatP ang mengandungR, maka S disebut klosur (closure)

atau tutupan dari R 7R8S9/:.



IF2151/Relasi dan Fu +,

Kl"sur Refeksi

Misalkan R adalah sebuah relasipada himpunan A.

Kl"sur refeksi dari R adalah R ∪ ∆,ang dalam hal ini ∆ % (a, a) ; a ∈

A1.



IF2151/Relasi dan Fu ++

!"nt"h# R % (-, -), (-, /), (0, /), (/, 0)1adalah relasi pada A % -, 0, /1

maka ∆ % (-, -), (0, 0), (/, /)1,

sehingga kl"sur refeksi dari R adalah

R ∪ ∆ % (-, -), (-, /), (0, /), (/, 0)1 ∪

(-, -), (0, 0), (/, /)1

% (-, -), (-, /), (0, 0), (0, /), (/, 0), (/, /)1

"ontoh# Misalkan R adalah relasi




"ontoh# Misalkan R adalah relasi

(a, b) ; a ≠ b1

pada himpunan bilangan bulat.

Kl"sur refeksi dari R adalah

R ∪ ∆ % (a, b) ; a ≠ b1 ∪

(a, a) ; a ∈ $1

% (a, b) ; a, b ∈ $1




Kl"sur setangkup

Misalkan R adalah sebuah relasipada himpunan A.

Kl"sur setangkup dari R adalah R ∪ R'-, dengan R'- % (b, a) ; (a, b) a ∈

R1.

!"nt"h# R % (-, /), (-, 0), (0, -), (/, 0),




(/, /)1 adalah relasi pada A % -, 0, /1,

maka

R'- % (/, -), (0, -), (-, 0), (0, /), (/, /)1

sehingga kl"sur setangkup dari R adalah

R ∪ R'- % (-, /), (-, 0), (0, -), (/, 0), (/, /)1 ∪

(/, -), (0, -), (-, 0), (0, /), (/, /)1

% (-, /), (/, -), (-, 0), (0, -), (/, 0), (0, /), (/, /)1




!"nt"h# Misalkan R adalah relasi

(a, b) ; a habis membagi b1pada himpunan bilangan bulat.

Kl"sur setangkup dari R adalah

R ∪ R'- % (a, b) ; a habis membagib1 ∪ (b, a) ; b habis membagi a1

% (a, b) ; a habis membagi b atau b habis membagi a1




Kl"sur menghantar<embentukan kl"sur menghantar lebih sulitdaripada dua buah kl"sur sebelumna.

!"nt"h# R % (-, 0), (-, =), (0, -), (/, 0)1

adalah relasi A % -, 0, /, =1.R tidak transiti karena tidak mengandungsemua pasangan (a, c) sedemikian sehingga(a, b) dan (b, c) di dalam R.

<asangan (a, c) ang tidak terdapat di dalamR adalah (-, -), (0, 0), (0, =), dan (/, -).




<enambahan semua pasangan ini kedalam R sehingga menjadi

S % (-, 0), (-, =), (0, -), (/, 0), (-, -),

(0, 0), (0, =), (/, -)1

tidak menghasilkan relasi ang bersiatmenghantar karena, misalna terdapat(/, -) ∈ S dan (-, =) ∈ S, tetapi (/, =) ∉ S.




K"sur menghantar dari R adalah

R> % R0 ∪ R/ ∪ ? ∪ Rn

6ika MR adalah matriks angmerepresentasikan R pada sebuahhimpunan dengan n elemen, maka

matriks kl"sur menghantarR>

adalah =Q R

M M R ∨ '2& R M ∨ '&

R M ∨ = ∨ '&n R M

Misalkan R % (1# 1)# (1# )# (2# 2)# (# 1)# (# 2)6 adalah relasi "ada him"unan 3 % 1# 2# 6. >entukan

klosur menghantar dari R.




?enyelesaian:

Matriks yang mere"resentasikan relasi R adalah

M R %

11

111

Maka# matriks klosur menghantar dari R adalah

=Q

R

M M R ∨ '2& R M ∨ '&

R M

<arena

=⋅=

111

1

111'2&

R R R M M M dan

=⋅=

111

1

111'2&'&

R R R M M M

maka

=Q R M

111

1

11

∨

111

1

111

∨

111

1

111

%

111

1

111

!engan demikian# R

Q

% (1# 1)# (1# 2)# (1# )# (2# 2)# (# 1)# (# 2)# (# ) 6

$plikasi kl"sur




pmenghantar

Kl"sur menghantarmenggambarkan bagaimana pesan

dapat dikirim dari satu k"ta ke k"talain baik melalui hubungank"munikasi langsung atau melaluik"ta antara sebanak mungkin7@+ABC:.




Misalkan jaringan k"mputermempunai pusat data di 6akarta,2andung, Surabaa, Medan,Makassar, dan Kupang.

Misalkan R adalah relasi angmengandung (a, b) jika terdapat

saluran telep"n dari k"taa ke k"ta

b.




B a n d u n g

J a k a r t a S u r a b a y a

M e d a n

M a k a s s a r

K u p a n g

Karena tidak semua link langsung dari satu



k"ta ke k"ta lain, maka pengiriman data dari 6akarta ke Surabaa tidak dapat dilakukan

secara langsung.

Relasi R tidak menghantar karena ia tidakmengandung semua pasangan pusat data

ang dapat dihubungkan (baik link langsungatau tidak langsung).

Kl"sur menghantar adalah relasi ang paling

minimal ang berisi semua pasangan pusatdata ang mempunai link langsung atau tidaklangsung dan mengandung R.

Documents

4_Relasi_dan_Fungsi