5 Pert-Cpm

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS: PERT/CPM

LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS: PERT / CPM

JOSÉ E. VÁZQUEZ ARÉVALOPROCESOS TECNOLÓGICOS E INDUSTRIALESITESO

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LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS: PERT/CPM

La administración de proyectos pertenece a los modelos de redes y específicamente a las técnicas de programación por redes. Cualquier modelo de redes es considerado como un caso especial del modelo de programación lineal. Los modelos de programación por redes incluyen las técnicas PERT/CPM.

Las técnicas del PERT/CPM tienen las siguientes características: Gran aplicabilidad a problemas reales. Interpretación visual. Posibilidad de usar algunos software para resolverlos (Microsoft Project, WinQSB, Storm, etc.)

En forma general, las técnicas PERT/CPM son usadas en la administración de proyectos para planear, programar, controlar y evaluar proyectos, especialmente los complejos.

Un proyecto es cualquier trabajo donde se requiera hacer un conjunto de actividades (tareas u operaciones) interrelacionadas entre sí, para lograr un objetivo específico y temporal sujeto a especificaciones propias del desarrollo del proyecto y de calidad, así como a restricciones de tiempo y costo. En cualquier proyecto, la organización de las actividades dada por su secuencia de realización, es esencial para minimizar la duración y el costo del mismo.

Las características que debe tener un proyecto son: Tener un objetivo temporal. Generalmente, el objetivo del proyecto es de corto plazo, asignado en función

de las necesidades de la organización que le da carácter temporal, es decir, que el proyecto termina al lograrse el objetivo. Es por esto que se enfatiza en la programación de fechas de inicio y terminación de las actividades.

El objetivo debe ser específico y medible. Esta característica da la base para evaluar el avance futuro del proyecto ya que permite comparar los logros reales contra los planeados.

El proyecto tiene restricciones de tiempo y presupuesto. Las restricciones de tiempo son expresadas en términos de la fecha de inicio del proyecto, fecha de terminación del mismo y de las duraciones de las actividades; las restricciones del presupuesto para financiar el proyecto, se forman al comparar el costo de los recursos demandados contra los recursos financieros disponibles por la organización.

Con un pequeño ejemplo se puede clarificar que es y que no es un proyecto. Un proyecto es la instalación de un centro de cómputo, tiene una duración temporal con un inicio y una terminación; pero la administración operativa del mismo no es un proyecto, no tiene una duración temporal ya que esta administración existirá mientras exista el centro de cómputo.

Para tener una adecuada administración de proyectos, se requiere definir a un administrador del proyecto que sea el responsable de planear y coordinar todo lo relativo al mismo como:

Definir el objetivo del proyecto. Listar todas las actividades que se deben hacer para lograr el objetivo del proyecto. Definir la secuencia de las actividades. Determinar la duración de cada actividad. Establecer los responsables para cada actividad y dónde se hará ésta. Calcular la fecha límite para terminar cada actividad y conocer las actividades críticas que fijan la fecha

límite para terminar el proyecto. Calcular el costo del proyecto para hacer el presupuesto requerido para el mismo. Dar seguimiento al proyecto para evaluar los avances en cuanto al tiempo y el costo.

Algunos campos donde se han utilizado con éxito la administración de proyectos, ha sido en la construcción de obras, diseño de nuevas plantas, incremento de la capacidad de producción, instalación de maquinaria, programas de mantenimiento y conservación de edificios, maquinaria y equipos, estudios de mercado, investigación y desarrollo de nuevos productos, lanzamiento de nuevos productos al mercado, planeación de utilidades, proyectos espaciales y militares.

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PERT significa técnica de revisión y evaluación de proyectos (project evaluation and review technique) y el CPM significa método del camino crítico (critical path method). Actualmente, se consideran como una unidad las técnicas del PERT/CPM ya que tienen la misma metodología de solución. Sin embargo, existe una diferencia fundamental entre ellos, la forma de calcular la duración de las actividades.

PERT es una técnica probabilística que se usa en proyectos donde hay incertidumbre en la duración de las actividades, donde no existen estudio de tiempos ni datos históricos y es evidente la variación que se puede tener en la duración de las actividades. Debido a estas posibles variaciones en los tiempos de las actividades, el PERT trabaja con un tiempo esperado de la actividad. Se fundamenta en la distribución de probabilidades Beta, que calcula el tiempo esperado (TE) de la actividad y su desviación estándar () con las siguientes fórmulas:

Tiempo esperado TE =

Desviación estándar =

donde o = Tiempo optimista, ideal o de urgencia (condiciones más favorables) m = Tiempo más probable p = Tiempo pesimista (condiciones menos favorables)

El CPM se utiliza en proyectos donde se conoce con certidumbre las duraciones de las actividades por lo que es una técnica determinística, no considera la existencia de posibles variaciones en los tiempos de las actividades. Generalmente se tienen estudios de tiempos, datos históricos, procesos más o menos estables o cualquier otra base para considerar los tiempos con certidumbre. El CPM se caracteriza por tener un solo tiempo y en el ambiente de manufactura es frecuente utilizar el tiempo estándar de producción como un dato determinístico.

Se estudiarán dos enfoques del PERT/CPM: Proyecto normal o proyecto a tiempo esperado. Proyecto reducido o proyecto a tiempo óptimo.

A continuación se presenta un ejercicio para ilustrar los tres enfoques mencionados:

FABRICACIÓN DE UN NUEVO PRODUCTO.

Una empresa ha recibido de un cliente importante, un pedido para la fabricación de un nuevo producto. La duración y el costo total de este proyecto de fabricación es desconocido por el director general, quién tiene que decidir en una semana si acepta o no el nuevo pedido. Para tomar una decisión, la dirección general quiere conocer los tiempos y los costos de las actividades de este proyecto, mediante un plan que propongan los propios gerentes de los departamentos involucrados. Es importante la estimación que se haga del tiempo y costo de las actividades del proyecto, ya que el contrato será de utilidad fija sin ninguna cláusula que permitan hacer reajustes por modificaciones posteriores. La dirección general pidió a los gerentes un plan para analizar la conveniencia de aceptar o no la propuesta, por lo que decide mantener en secreto la fecha de entrega que está requiriendo el cliente, así de esta forma, cree tener una respuesta más exacta.

Después de tres días de análisis, los gerentes de los departamentos presentaron al director general los siguientes datos de tiempo y costo para las actividades del proyecto como se muestra en la tabla 1:

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ActividadActividad Posterior

Tiempo Optimista (semanas)

Tiempomás Probable

(semanas)

Tiempo Pesimista (semanas)

Costo Normal

(miles $)

Costo Urgencia (miles $)

A. Estudio de componentes del producto D 3.0 3.5 4.5 8 10

B. Localización de los proveedores E, H 4.0 5.0 6.0 15 20

C. Diseño del producto F 3.5 4.5 6.0 25 32.5

D. Evaluación de los proveedores G 2.0 2.2 3.5 4 6

E. Localización y evaluación maquiladoras G 3.0 3.5 4.5 6 7.5

F. Pruebas de laboratorio del prototipo I 8.0 9.0 12.5 45 60

G. Selección de trabajos subcontratados - 7.5 8.5 11.5 35 50

H. Especificaciones finales del prototipo I 6.0 7.5 12.0 30 40

I. Fabricación y entrega del pedido - 7.5 9.0 12.5 35 42.5

Tabla 1. Tabla de datos del problema.También se calculó un costo fijo para la empresa de $1,000 semanales.El director general les pide a sus gerentes, contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la red para el proyecto normal?

La construcción de la red del proyecto normal está orientada a calcular la duración, el costo y la ruta crítica del mismo. Antes de proceder a realizar la red del proyecto, es necesario explicar dos conceptos necesarios para este fin: el listado de actividades y sus secuencias.

Listado de actividades.De acuerdo con el objetivo específico establecido para el proyecto, se tiene que listar todas las actividades que son necesarias para lograr este objetivo. Es más importante listar todas las actividades que tiene el proyecto que ponerlas inicialmente en orden, ya que esto se puede hacer posteriormente cuando se determinen las secuencias de las mismas.Es conveniente asignar un código a cada actividad para referirse en forma más rápida a cualquiera de ellas en vez de utilizar su propia descripción.

Secuencia de actividades.La secuencia es simplemente la interrelación que existe entre las actividades del proyecto para lograr el objetivo establecido y con esto se define la estructura de la red. La red expresa el orden necesario o la organización requerida de las actividades del proyecto para lograr el objetivo. Estas secuencias pueden ser definidas por la misma naturaleza, la tecnología o por las personas, generalmente el líder del proyecto. La secuencia de las actividades se puede establecer mediante dos formas: por actividades y por nodos. La secuencia por actividades puede ser de dos tipos: posterior y anterior. Estas dos secuencias suelen nombrarse con diferentes sinónimos, por ejemplo una secuencia anterior puede nombrarse como actividad precedente, antecesora, precursora, predecesora, antecedente, antepuesta, con antelación, etc., así como una posterior puede ser una procedente, ulterior, consecutiva, subsiguiente, sucesiva. Una secuencia posterior indica, que después de tener hecha una actividad, qué actividad ó actividades se pueden hacer. Mientras que una secuencia anterior indica, que para hacer esa actividad se requiere haber hecho otra u otras actividades.Sin embargo, existe una relación estrecha entre los dos tipos de secuencia que nos permite, en la tabla de datos del problema, leer una secuencia anterior como una posterior y viceversa, si se lee la secuencia de la tabla en sentido inverso.La secuencia por nodos dice, en forma directa, en que nodo inicia y en que nodo termina la actividad. Esto implica tener los nodos numerados. Para poner un número a los nodos, se pueden numerar en forma de columna o en forma de renglón.En la tabla de datos del problema presentado, se tiene una secuencia de actividades posteriores. En otros proyectos se pueden tener diferentes secuencias, por ejemplo una secuencia anterior o una por nodos. Pero sea cual sea el tipo de secuencia que se tenga, servirá de base para construir la red del proyecto.

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Para construir la red de un proyecto es necesario tener en cuenta los siguientes conceptos:

Concepto de nodo y actividad.Se considera el nodo, llamado también nudo o evento, como una figura geométrica que no tiene un significado real, ni duración, ni costo. Simplemente es una referencia para presentar el inicio o la terminación de una actividad y que sirve para expresar la estructura de la red.La actividad, llamada también tarea, se representa mediante una flecha con línea continua, que tiene una duración y un costo ya que consume algún tipo de recursos (mano de obra, energía, materiales o capital). La flecha expresa la actividad sin que su longitud exprese su duración ya que no está con una escala de tiempo. Sobre la flecha se pone el código de la actividad y abajo se pone su duración.Existe también la actividad ficticia, llamada también actividad fantasma, que se representa por una flecha con línea punteada. Esta actividad no tiene tiempo ni costo, no consume recursos y simplemente es un conector de actividades para lograr la secuencia del proyecto.

Toda actividad debe iniciar y terminar en un nodo al igual que el proyecto.Siempre que se ponga una actividad en la red, ésta debe iniciar en un nodo y terminar en otro. Esto también se aplica a la red del proyecto que debe tener solo nodo de inicio y otro de terminación. A este enfoque se le llama actividades por arcos. También existe el enfoque contrario, las actividades por nodos, donde el nodo representa la actividad y la flecha representa el nodo. Aquí se utilizará el enfoque por arcos.Existen diferentes simbologías para representar a un nodo. En este trabajo se representa a un nodo, como un circulo dividido en tres partes; en la parte superior se pone el número del nodo, en la parte izquierda del nodo donde inicia la actividad se pone el tiempo más próximo de inicio (TPI) y en la parte izquierda del nodo donde termina la actividad se pone el tiempo más próximo de terminación (TPT). En la parte derecha del nodo donde inicia la actividad se pone el tiempo más alejado (TAI) y en la parte derecha del nodo donde termina la actividad se pone el tiempo más alejado de terminación (TAT).A continuación se presenta gráficamente estos conceptos en la Figura 1:

Fig. 1Nodo, actividad, TPI, TAI, TPT y TAT

Prohibida la relación tipo “anillo”.Dos actividades diferentes no pueden iniciar y terminar en un mismo nodo ya que se forma una relación de anillo que es prohibida. En la Figura 2 se presenta una relación tipo anillo.

Fig. 2Relación prohibida tipo anillo

La relación tipo anillo se soluciona utilizando una actividad ficticia para romper este efecto, como se muestra a en la Figura 3.

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Fig. 3Solución de la relación anillo

Respetando estas reglas básicas y con los datos dados en el problema, se puede construir la red del proyecto normal en un primer bosquejo inicial (ver Figura 4). A partir de este bosquejo se puede depurar la red del proyecto al quitar las actividades ficticias innecesarias.

Fig. 4Bosquejo inicial de la red del proyecto normal

Las actividades ficticias en una red pueden ser de dos tipos: necesarias e innecesarias. La actividad ficticia necesaria, es impuesta por la secuencia del propio proyecto por lo que no se puede quitar sin alterar dicha secuencia. Por el contrario, una actividad ficticia innecesaria se puede quitar sin alterar la secuencia del proyecto. En la Figura 5 se muestra la red del proyecto rediseñada al quitar las actividades ficticias innecesarias.

Fig. 5Red rediseñada del proyecto normal

2. Exprese la secuencia del proyecto normal por actividades anteriores y por nodos, por un diagrama de secuencia y por una matriz de secuencia.

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Existen diferentes formas de expresar las secuencias de un proyecto, las más comunes son: las secuencias por actividades (posteriores o anteriores) y por nodos, por un diagrama de secuencias y por una matriz de secuencias.

Secuencia por actividades anteriores y por nodos.

Con base en el rediseño de la red del proyecto, fácilmente podemos obtener la secuencia por actividades anteriores y por nodos como se muestra en la Tabla 2:

Actividad Actividades Anteriores

Nodos

A B C D E F G H I

- - - A B C D, E B H, F

1-2 1-3 1-4 2-5 3-5 4-6 5-7 3-6 6-7

Tabla 2. Secuencia por actividades anteriores y por nodos

Diagrama de secuencias.

Este diagrama sirve para visualizar rápidamente la interrelación que existe entre las actividades del proyecto, quedando en la forma que se muestra en la Figura 6.

Fig. 6Diagrama de secuencia para el proyecto normal

Una variante del diagrama de secuencias es diagramar las actividades por nodos. La red del proyecto en este formato quedaría como se muestra en la Figura 7.

Poner Figura 7: red por nodos

Matriz de secuencias.La matriz de secuencia es una tabla que muestra gráficamente la interrelación entre las actividades del proyecto. Se recomienda utilizar esta matriz, cuando se quiere registrar directamente en el campo de observación la secuencia de las actividades, como en los proyectos CPM aplicados a manufactura, donde se registra el proceso de fabricación con todas sus operaciones observadas directamente en la planta.

Para ejemplificar está técnica, se expresa el problema dado con una matriz de secuencias como se muestra en la Figura 8.

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Fig. 8Matriz de secuencias para el proyecto normal

4. Calcule la duración, el costo y la ruta 4.- crítica para el proyecto normal.

Para solucionar un proyecto normal es necesario tener la red del proyecto. En este caso, ya se conoce la estructura de la red del proyecto pero falta completarla con la duración de las actividades.

En la Tabla 1 se muestran tres datos de tiempo para el problema, el tiempo optimista, el tiempo más probable y el tiempo pesimista. Estos datos indican que el problema es un PERT por el hecho de tener tres tiempos para las actividades. Para ejemplificar el cálculo de los tiempos esperados de las actividades del proyecto, se presenta el cálculo para la actividad A:

Actividad A TE = = = 3.6

En la Tabla 3 se muestran los tiempos esperados para las actividades del proyecto redondeados a un decimal.

ActividadTiempos

Esperados (semanas)

ABCDEFGHI

3.65.04.62.43.69.48.88.09.3

Tabla 3. Tiempos esperados de las actividades

A cada actividad del proyecto se le pone su correspondiente tiempo esperado en la red del proyecto. Con esto se tiene la base para calcular la duración del proyecto normal y la ruta crítica del mismo.

La metodología para calcular la duración del proyecto, partiendo que ya se tiene la red del proyecto con sus actividades y sus tiempos esperados:

Comenzar con el nodo de inicio del proyecto con el tiempo más próximo de inicio (TPI) en cero. Calcular los tiempos más próximos de terminación (TPT) para cada nodo de la red. El TPT del nodo

al que llega la actividad, se calcula sumando la duración de la actividad al TPI del nodo de donde dicha actividad.

Si a un nodo llegan varios caminos, se escogerá aquel que tenga la mayor duración y ese será el valor del TPT que se pondrá en el nodo. Es recomendable en este caso, poner a un lado de la actividad, el valor con el que llega cada camino al nodo.

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En resumen, cuando se calcula la duración de la red, nos movemos en el sentido de las flechas de las actividades, del nodo de inicio al nodo final del proyecto, sumando la duración de la actividad y escogiendo el camino con duración mayor cuando llegan varios caminos a un nodo.

La metodología para calcular la ruta crítica del proyecto es la siguiente: Fijar en el nodo final del proyecto el tiempo más alejado de terminación (TAT) que será el mismo valor

que se tenga como TPT para este nodo. Por ejemplo, en la red que se muestra en la Figura 8, se tiene 23.3 como la duración del proyecto (TPT del nodo 7), entonces se fijará este mismo valor 23.3 como el TAT del nodo 7.

Calcular los tiempo más alejados de inicio (TAI) para cada nodo de la red. Se hace el proceso inverso al que se hizo para calcular la duración del proyecto. Ahora nos movemos del nodo final al nodo inicial del proyecto, contra el sentido de las flechas, restando la duración de la actividad y escogiendo el valor menor cuando llegan varios caminos a un mismo nodo.

Calcular la ruta crítica del proyecto normal. La ruta crítica, llamado también camino crítico, está formado por aquellas actividades que no tienen ninguna posibilidad de retrasarse ni en su inicio ni en su terminación, por lo que se tienen que hacer estrictamente en los tiempos señalados ya que no admiten ningún tipo de demora. Estas actividades críticas se caracterizan por tener una holgura de cero y forman la ruta crítica del proyecto que es un camino continuo desde el nodo de inicio hasta el nodo final. La importancia de la ruta crítica es que controla la duración de todo el proyecto. Sin embargo, es importante conocer las holguras que tienen las actividades no críticas para una mejor administración del proyecto.

Para calcular el costo del proyecto normal. Para calcular el costo total, se suma el costo normal. El costo normal es la sumatoria de la columna del costo normal de la tabla de datos (ver Tabla 1) y el costo fijo es la multiplicación de la duración del proyecto por el costo fijo dado en el problema. Es conveniente aclarar que no siempre se da en un problema los costos fijos o simplemente se pueden omitir dependiendo de la importancia que se les de.

En la Figura 8 se muestran los cálculos para la duración esperada del proyecto y la ruta crítica del mismo.

Fig. 8

Cálculo de la duración del proyecto normal

Duración esperada del proyecto normal = 23.3 semanas.Ruta crítica del proyecto normal = C, F, ICosto total del proyecto normal:

Costo normal = $ 203,000 Costo fijo = 23,300 = 23.3 (1,000)

$ 226,300En este problema que se presenta, solo se va a considerar solo el costo normal. Se omiten los costos fijos.

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5. Desarrolle la tabla de tiempos, el gráfico de Gantt y la gráfica de la red media para el proyecto normal.

Existen diferentes formatos para expresar la misma información que ya se tiene calculada en la red del proyecto. Los formatos más comunes son: la tabla de tiempos y el gráfico de Gantt.

Tabla de tiempos.La tabla de tiempos es otro formato que se utiliza para expresar la misma información que se tiene en la red del proyecto. Este formato es utilizado por algún software que no tiene capacidad para hacer gráficos, por ejemplo el paquete Storm. En la Tabla 4 se muestra la información para cada actividad del tiempo esperado, el tiempo más próximo de inicio (TPI), el tiempo más alejado de inicio (TAI), el tiempo más próximo de terminación (TPT), el tiempo más alejado de terminación (TAT) así como sus holguras (H).

ActividadTE

(semanas)TPI

(semanas)TAI

(semanas)TPT

(semanas)TAT

(semanas)H

(semanas)

Crítica

Crítica

Crítica

ABCDEFGHI

3.65.04.62.43.69.48.88.09.3

000

3.65

4.68.6514

8.510

12.110.94.614.5

614

3.65

4.66

8.614

17.413

23.3

12.16

4.614.514.514

23.314

23.3

8.510

8.55.90

5.910

Tabla 4. Tabla de tiempos para el proyecto normal.

Gráfico de Gantt.El gráfico de Gantt es otro formato que presenta la misma información calculada en la red del proyecto y la que muestra la tabla de tiempos. Este formato es el más usual, ya que visualiza toda la información del proyecto para una mejor administración del mismo.Existen paquetes como el microsoft project que es un software poderoso, especialmente diseñado para eficientar la administración de los proyectos, convirtiendo a la computadora en una herramienta que brinda un gran apoyo. En otros tipos de paquetes se pueden encontrar diferentes formatos y presentaciones del gráfico de Gantt pero la esencia de la interpretación sigue siendo la misma. Sin embargo, si hace esta gráfica manualmente sirve igualmente, y se pueden hacer pequeñas adaptaciones que ayuden a la administración del proyecto como se muestra en la Figura 9.

Actividad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

S e m a n a s

A

B

CD

EF

G

H

I

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Fig. 9Gráfico de Gantt para el Proyecto Normal

2. Desarrolle el Gráfico de la Red Media para el Proyecto Normal.

Otro formato poco utilizado es el “Gráfico de la Red Media” que presenta la misma información que los otros formatos. Las reglas para este gráfico son, que ninguna actividad se puede representar hacia atrás ya que se utiliza una escala de tiempo y que las holguras de las actividades se representen con líneas punteadas. A continuación se presenta este formato:

Fig. 10Gráfico de la red Media para el Proyecto Normal

8. Interprete la solución del Proyecto Normal obtenida a través de 8.- cualquiera de los formatos anteriores.

9. Calcule la probabilidad de terminar el proyecto en:a) 25.6 semanas o menos.b) Menos de 20 semanas o igual.c) Entre 21 y 22.5 semanas.d) Entre 21 y 25.6 semanas.e) Entre 24 y 25.6 semanas.f) 25.6 semanas o más.g) Más de 30 semanas.h) 30 semanas o menos.i) 18 semanas o menos.j) como máximo en 23.3 semanas.

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Calcule la duración del proyecto si se quiere un nivel de confianza en su terminación de:a) 95%b) 97%c) 99.9%d) 99.97%e) 99.99% (100%)

11.- Desarrolle la ojiva de probabilidades “menor que” y “mayor que”.

12.- Utilizando la ojiva de probabilidades “menor que”, desarrolle las siguientes aplicaciones:a) Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o menos.b) Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o más.c) Probabilidad de terminar el Proyecto Normal entre 24 y 25.6 semanas.d) Probabilidad de terminar el Proyecto Normal como máximo en 23.3 semanas.e) Con un nivel de confianza del 95%, calcule la duración del Proyecto Normal.f) Con un nivel de confianza del 100%, diga la duración del Proyecto Normal.

B. “PRESUPUESTO” DEL PROYECTO NORMAL.

13.- Desarrolle para el Proyecto Normal, la tabla del presupuesto semanal en base al tiempo más próximo de inicio (TPI).

14.- Desarrolle para el Proyecto Normal, la tabla del presupuesto semanal en base al tiempo más alejado de inicio (TAI).

15.- Desarrolle para el Proyecto Normal, la tabla del presupuesto mensual en base al tiempo más próximo de inicio (TPI).

C. “EVALUACIÓN DE LOS AVANCES” DEL PROYECTO NORMAL.

16.- Evalúe el Proyecto Normal a las 4 semanas de iniciado, en base a la tabla del presupuesto semanal con el tiempo más próximo de inicio (TPI) y diga en cuánto está dentro o fuera del presupuesto cada actividad y el proyecto mismo, considerando los siguientes costos reales a la fecha:

ActividadCosto real a la fecha

(miles $)ABCDE

8.014.122.0 0.3 0.5

17.- Sin basarse en ninguna tabla de presupuesto, evalúe el Proyecto Normal, en base al tiempo más alejado de inicio (TAI), a las 12 semanas de iniciado y diga en cuánto está dentro o fuera del presupuesto cada actividad y el proyecto global. Considere los siguientes costos reales a la fecha:

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(miles $)ABCDEFGHI

8.014.825.1 4.0 6.025.015.518.7 1.1

18.- Considerando la tabla de presupuesto mensual y semanal en base al tiempo más próximo de inicio (TPI), haga la evaluación del Proyecto Normal a los 2 meses de iniciado y diga en cuánto está dentro o fuera de presupuesto el proyecto. Considere el mes de cuatro semanas y los siguientes costos reales a la fecha:


(miles $)ABCDEFH

8.014.825.1 4.0 5.020.010.7

1.- PROYECTO A TIEMPO ÓPTIMO (PROYECTO REDUCIDO).

19.- A través del método corto, calcule la duración mínima y el costo total mínimo para el Proyecto Reducido y construya la curva de intercambio de tiempo-costo.

20.- Mediante el método largo, calcule la duración mínima y el costo total mínimo para el Proyecto Reducido y construya la curva de intercambio de tiempo-costo.

21.- Utilizando las curvas de intercambio de tiempo-costo del método corto y largo, haga una comparación entre ellos contestando las siguientes preguntas:

a) Calcule el costo estimado para reducir el Proyecto Normal a 19.8 semanas. b) Considerando un presupuesto de $210,000, sin considerar los costos fijos, cuál es la duración

estimada del Proyecto Reducido.

22.- Si se quiere reducir el Proyecto Normal a 19.8 semanas, calcule el costo mínimo que se tendría para dicha reducción, sin incluir los costos fijos, utilizando el método matemático.

23.- Formule un modelo de Programación Lineal que permita evaluar el incremento total del costo (ITC) al reducir el Proyecto Normal en “x” unidades de tiempo. En base a este modelo, construya la curva de intercambio de tiempo-costo haciendo pequeñas reducciones en el tiempo del proyecto.

2.- PROYECTO A COSTO ÓPTIMO.

24.- Calcule la duración, el costo y la ruta crítica del Proyecto a Costo Optimo.

25.- Elabore un Cuadro Resumen que compare los tres tipos de proyectos.

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“INTERPRETACION DE LA SOLUCION” DEL PROYECTO NORMAL.

8. Interprete la solución del Proyecto Normal obtenida a través de cualquiera de los formatos anteriores.

Ya solucionado el Proyecto Normal, a través de cualquier formato, se puede hacer la siguiente interpretación:

El Proyecto Normal se puede realizar en un tiempo esperado o medio de 23.3 semanas, con un costo total de $226,300 y con una ruta crítica formada por las actividades C,F,I. Los tiempos de inicio, terminación y holguras para las diferentes actividades del proyecto se muestran en la Tabla de Tiempos, que sirve de apoyo para la eficiente administración del proyecto ya que respetando estos límites se puede asegurar la duración calculada para el proyecto.

En cualquier sistema, incluyendo los proyectos, es esencial determinar la restricción dominante que forma el “Cuello de Botella”, ya que la eficiencia del sistema dependerá de la correcta administración de éste. Es así que en un proyecto, la ruta crítica es la restricción dominante que determina la duración del mismo.

“EVALUACION” DEL PROYECTO NORMAL:

A. “SENSIBILIDAD” DEL PROYECTO NORMAL: PROBABILIDAD.

9. Calcule la probabilidad de terminar el proyecto en:a. 25.6 semanas o menos.b. Menos de 20 semanas o igual.c. Entre 21 y 22.5 semanas.d. Entre 21 y 25.6 semanas.e. Entre 24 y 25.6 semanas.f. 25.6 semanas o más.g. Más de 30 semanas.h. 30 semanas o menos.i. 18 semanas o menos.j. como máximo en 23.3 semanas.

En el PERT se puede hablar de una “Probabilidad de Terminación” del Proyecto Normal, debido a que se pueden tener variaciones en los tiempos de las actividades. Dependiendo de la combinación de los tiempos dominantes en la realización del proyecto así será la duración del mismo.

Como la duración del Proyecto sigue un Distribución Normal se utiliza la ésta para calcular la “Probabilidad de Terminación” del Proyecto Normal y la “Duración del Proyecto” en base a un cierto nivel de confianza.

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o menos.

Para calcular la Probabilidad de Terminación, se calcula primero la Desviación Estándar () para la ruta crítica del proyecto, aplicando la fórmula de la Distribución Beta. A continuación se presentan dichos cálculos:

Ruta crítica = (P-O)/6(semanas) 2

CFI

(6-3.5)/6 = 0.41670.75000.8333

0.17360.56250.69441.4305

= 1.1960 semanas

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Se presenta un grupo de problemas, con las variantes que se pueden encontrar al calcular la Probabilidad de Terminación del Proyecto Normal. Todos estos problemas utilizan la fórmula de la Distribución Normal Z = (X - ) / y siguen la siguiente metodología:

Convertir el “Tiempo” dado en el problema a una variable normalizada “Z”.

Calcular el área bajo la curva utilizando el valor de “Z” en la “Tabla de Areas” de la Distribución Normal. Las Tablas pueden ser de dos tipos: parciales y acumuladas. En las parciales se da el área a partir de la “Media () o Z=0 hasta el valor de “Z” y en las acumuladas se da desde el extremo izquierdo hasta “Z”. Dependiendo del tipo de tabla que se use, se harán las adaptaciones necesarias para calcular la probabilidad.

Calcular la “Probabilidad” pedida en el problema. Si cree necesario, puede gráficar el valor de “Z” en la curva de la Distribución Normal como un apoyo visual para calcular el área requerida.

Siguiendo esta metodología se calcula la probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o menos utilizando una tabla parcial:

Z = (25.6-23.3)/1.1960 = 1.92

Z = 1.92 Area = 0.4726

Probabilidad = 0.4726 + 0.5 = 0.9726

P(T 25.6 sem.) = 97.26%

Fig. 11Área para 25.6 semanas o menos

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en menos de 20 semanas o igual.

Z = (20-23.3)/1.1960 = -2.76

Z = -2.76 Area = 0.4971

Probabilidad = 0.5 - 0.4971 = 0.0029

P(T 20 sem.) = 0.29%

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Fig. 12Área para menos o igual a 20 semanas

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal entre 21 y 22.5 semanas.

Z1 = (21-23.3)/1.1960 = -1.92

Z1 = -1.92 Area 1 = 0.4726

Z2 = (22.5-23.3)/1.1960 = -0.67

Z2 = -0.67 Area 2 = 0.2486

Probabilidad = 0.4726 - 0.2486 = 0.2240

P(21 T 22.5 sem.) = 22.4%

Fig. 13

Área comprendida entre 21 y 22.5 semanas


Z1 = (21-23.3)/1.1960 = -1.92

Z1 = -1.92 Area 1 = 0.4726

Z2 = (25.6-23.3)/1.1960 = 1.92

Z2 = 1.92 Area 2 = 0.4726

Probabilidad = 0.4726 + 0.4726 = 0.9452

P(20 T 25.6 sem.) = 94.52%

JEVA

16


Fig. 14Área comprendida entre 21 y 25.6 semanas


Z1 = (24-23.3)/1.1960 = 0.59

Z1 = 0.59 Area 1 = 0.2224

Z2 = (25.6-23.3)/1.1960 = 1.92

Z2 = 1.92 Area 2 = 0.4726

Probabilidad = 0.4726 - 0.2224 = 0.2502

P(24 T 25.6 sem.) = 25.02%

Fig. 15Área comprendida entre 24 y 25.6 semanas

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o más.

Z = (25.6-23.3)/1.1960 = 1.92

Z = 1.92 Area = 0.4726

Probabilidad = 0.5 - 0.4726 = 0.0274

P(T 25.6 sem.) = 2.74%

Fig. 16Área para 25.6 semanas o más

JEVA

17


Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en más de 30 semanas.

Z = (30-23.3)/1.1960 = 5.60

Si Z 4, considerar Area = 0.5

Probabilidad = 0.5 - 0.5 = 0

P(T 30 sem.) = 0%

Fig. 17Área para 30 semanas o más

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 30 semanas o menos.

Z = (30-23.3)/1.1960 = 5.60


Probabilidad = 0.5 + 0.5 = 1.0

P(T 30 sem.) = 100%

Fig. 18Área para 30 semanas o menos

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 18 semanas o menos.

JEVA

18


Z = (18-23.3)/1.1960 = -4.43


Probabilidad = 0.5 - 0.5 = 0

P(T 18 sem.) = 0%

Fig. 19Área para 18 semanas o menos

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal como máximo en 23.3 semanas.

Z = (23.3-23.3)/1.1960 = 0

Z = 0 Area = 0

Probabilidad = 0 + 0.5 = 0.5

P(T 23.3 sem.) = 50%

Fig. 20Área para 23.3 semanas como máximo

10. Calcule la duración del proyecto si se quiere un nivel de confianza en su terminación de:

a. 95%b. 97%c. 99.9%d. 99.97%e. 99.99% (100%)

Cuando se quiere calcular la Duración del Proyecto Normal con un cierto Nivel de Confianza en su terminación, se utiliza la Distribución Normal haciendo la siguiente metodología:

JEVA

19


Dado un cierto Nivel de Confianza en el problema, calcular el área que se quiere encontrar, ajustándola al tipo de Tabla de Areas de la Curva Normal que se tenga ya sea una Parcial o Acumulada. Si se utiliza una Tabla Parcial es necesario hacer un ajuste de 0.5, considerando que el Nivel de Confianza comprende el área desde el extremo izquierdo. Si utiliza una tabla acumulada no es necesario ningún ajuste, sino que se lee directamente el Nivel de Confianza

Buscar el valor de “Z” en la Tabla de Areas de la Curva Normal.Se busca el área en la tabla que da la intersección de un renglón con una columna, que señalan el valor de “Z”. Cuando el área buscada queda comprendida exactamente entre dos valores de la tabla, se puede dar “Z” con tres decimales. En el caso contrario, el valor más cercano de la tabla al área buscada, nos dará el valor de “Z” con dos decimales.

Calcular el valor de “T” de acuerdo a la fórmula T = + Z. El valor calculado de “T” siempre será “menor o igual”.Para calcular “T” es necesario sustituir los valores en la fórmula. La “Duración del Proyecto Normal () “ es de 23.3 semanas, Desviación Estándar () es de 1.1960 semanas y el valor de “Z” depende del nivel de confianza (NC) que se tenga.

Con un Nivel de Confianza del 95%, se quiere calcular la “Duración del Proyecto Normal”.

NC = 95% Area a encontrar = 0.95-0.5 = 0.4500

Area = 0.4500, se busca en una “Tabla Parcial” el valor de “Z” quedando exactamente a la mitad de los siguientes valores:

Area = 0.4495 Z = 1.64

Area = 0.4505 Z = 1.65

Entonces para una Area = 0.4500 Z = 1.645.

T = 23.3 + 1.645(1.1960) = 25.3 semanas o menos.

Con una seguridad del 97%, se quiere calcular la “Duración del Proyecto Normal”.

NC = 97% Area a encontrar = 0.97-0.5 = 0.4700

Area = 0.47 Z = 1.88

T = 23.3 + 1.88(1.1960) = 25.6 semanas o menos.

Calcular la “Duración del Proyecto Normal” con una seguridad del 99.90%.

NC = 99.90% Area a encontrar = 0.9990-0.5 = 0.4990

Area = 0.4990 Z = 3.09

T = 23.3 + 3.09(1.1960) = 27 semanas o menos.

Calcular la “Duración del Proyecto Normal” si se quiere un Nivel de Confianza en su terminación de 99.97%.

NC = 99.97% Area = 0.4997

Area = 0.4997 Z = 3.5

T = 23.3 + 3.5(1.1960) = 27.5 semanas o menos.

JEVA

20


Con un Nivel de Confianza del 99.99%, se quiere calcular la “Duración del Proyecto Normal”.

NC = 99.99% (Prácticamente 100%) Area = 0.4999

Area = 0.4999 Z = 4

T = 23.3+4(1.1960) = 28.1 semanas o menos.

11. Diseñar una “Ojiva de Probabilidades” para el Proyecto Normal, a partir de las 18 semanas con incrementos de 2 semanas hasta tener una probabilidad del 100%.

Ya se vio como se puede calcular la Probabilidad de Terminación del Proyecto Normal para un determinado tiempo, utilizando la Tabla de Areas de la Distribución Normal. Siguiendo la misma metodología, se puede hacer la Ojiva de Probabilidades que puede ser del tipo “Igual o Menor que” o “Igual o Mayor que”.

A continuación se presentan los cálculos para los dos tipos de Ojiva de Probabilidades:

“T”(sem) Z=(T-23.3)/1.1960 Area

Probabilidad“T o Menor que”

Probabilidad“T o Mayor que”

1819202122232425262728

28.5

-4.43-3.60-2.76-1.92-1.09-0.25 0.59 1.42 2.26 3.09 3.93 4.01

0.50000.49980.49710.47260.36210.09870.22240.42220.48810.49900.49990.5000

00.00020.00290.02740.13790.40130.72240.92220.98810.99900.99991.0000

1.00000.99980.99710.97260.86210.59870.27760.07780.01190.00100.0001 0

La gráfica de la Ojiva de Probabilidades “Igual o Menor que T” se presenta a continuación:

JEVA

21


Fig. 21Ojiva de Probabilidades “Igual o Menor que T” del Proyecto Normal

12. Utilizando la ojiva de probabilidades “menor que”, desarrolle las siguientes aplicaciones:

a. Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o menos.b. Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o más.c. Probabilidad de terminar el Proyecto Normal entre 24 y 25.6 semanas.d. Probabilidad de terminar el Proyecto Normal como máximo en 23.3 semanas.e. Con un nivel de confianza del 95%, calcule la duración del Proyecto Normal.f. Con un nivel de confianza del 100%, diga la duración del Proyecto Normal.

Solo se justifica hacer una Ojiva de Probabilidades cuando se requiere hacer gran cantidad de decisiones repetitivas, rápidas y de forma estimada. Recuerde que la precisión de la respuesta en estos casos, depende de la calidad gráfica de la ojiva. Actualmente, con los avances tecnológicos que se tienen, se pueden usar calculadoras programables u hojas electrónicas para tener una solución rápida, precisa y con poco esfuerzo.

A continuación se solucionan con la gráfica de la Ojiva, algunos ejemplos de los solucionados anteriormente:

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o menos.

En 25.6 semanas del eje horizontal, mandar una línea vertical hasta intersectar la curve de la ojiva y luego con una línea horizontal leer la “Probabilidad de Terminación” en el eje vertical. esta probabilidad es:

P(T 25.6 sem.) = 97%

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal en 25.6 semanas o más.

P(T 25.6 sem.) = 1 - 0.97 = 3%


P(T 24 sem.) = 72%P(T 25.6 sem.) = 97%P(24 T 25.6 sem.) = 0.97 - 0.72 = 25%

Probabilidad de terminar el Proyecto Normal como máximo en 23.3 semanas.

P(T 23.3 sem.) = 50%


JEVA

22


Se fija el 95% en el eje vertical y con líneas de referencia a la ojiva se lee en el eje horizontal:

T = 25.3 semanas o menos.


T = 28.1 semanas o menos.

“PRESUPUESTO” PARA EL PROYECTO NORMAL.

13. Desarrolle para el Proyecto Normal, la tabla del presupuesto semanal en base al tiempo más próximo de inicio (TPI).

Para la administración financiera del Proyecto Normal, se requiere tener el “Presupuesto” del mismo. Se puede utilizar cualquier hoja electrónica para hacer la “Tabla de Presupuesto” del Proyecto Normal.

Para hacer una “Tabla de Presupuesto” se requiere definir el tipo de presupuesto que se quiere (semanal, mensual, etc.) y la base que se utilizará para su construcción (TPI o TAI).

A continuación se presentan la metodología para hacer una “Tabla de Presupuesto” para el Proyecto Normal:

Calcular el “Costo por unidad de tiempo”. Se calcula dividiendo el costo de la actividad, expresado en el Costo Normal (Cn) de la tabla de los datos del problema, entre el Tiempo Esperado (TE) de la misma. La unidad de tiempo en un problema puede ser expresada en forma diferente, por ejemplo, semanas, meses, etc., por lo que tendremos el costo por semana, el costo por mes, etc. Este costo se tiene que redondear para ponerse en la Tabla de Presupuestos, por lo que se puede generar un error de precisión en los datos.

Gráficar el “Intervalo de Tiempo” que comprende la actividad. Para definir este lapso de tiempo, se pueden utilizar los datos de la “Tabla de Tiempos del Proyecto Normal”, de acuerdo a la “Base” especificada en el problema, ya sea en base al Tiempo más Próximo de Inicio (TPI) o en base al Tiempo más Alejado de Inicio (TAI). Esta base señala donde inicia y termina cada actividad, para posteriormente graficarla en la Tabla de Presupuestos. Habrá actividades que comprendan unidades de tiempo completas pero otras lo harán en forma parcial.

Formar la “Tabla del Presupuesto”. Para hacer la Tabla del Presupuesto, primero se hace el formato de la misma y luego se registran los costos de la actividad. El formato de la tabla debe tener las columnas suficientes para comprender la duración total del Proyecto Normal, ya que cada columna representa una unidad de tiempo. En cada columna se pone el “Costo por unidad de tiempo de la actividad”. Cuando se tenga una columna comprendida parcialmente, ya sea al inicio o al final, no se pondrá el costo proporcional sino un valor ajustado que quite el error por redondeo que se hizo al calcular el Costo por unidad de tiempo. Este costo ajustado será la cantidad necesaria para cuadrar la sumatoria de todos los costos de la actividad con su Costo Normal. Si existieran dos columnas comprendidas parcialmente, una al inicio y otra al final, entonces se calculará la primera columna en forma de costo proporcional y la segunda se hará en forma de costo ajustado.

Calcular el “Costo Total del Proyecto” por unidad de tiempos. Se obtiene a través de la sumatoria de cada columna de la Tabla del Presupuesto del Proyecto Normal. Esta sumatoria indica el Costo Total del Proyecto por unidad de tiempo, que puede ser semanal, mensual, etc.

Calcular el “Costo Total Acumulado del Proyecto” por unidad de tiempos. Se acumula el Costo Total del Proyecto en cada columna, por lo que se puede conocer el costo acumulado hasta un cierto nivel de tiempo. El costo acumulado en la última unidad de tiempo, debe cuadrar con la sumatoria del Costo Normal dado en la tabla de datos del Proyecto Normal.

Para hacer la Tabla del “Presupuesto Semanal” en base al Tiempo más Próximo de Inicio (TPI), se debe considerar que el Tiempo más Próximo de Inicio (TPI) indica donde inicia la actividad y el Tiempo más Próximo de

JEVA

23


Terminación (TPT) donde termina, para dibujar en la tabla del presupuesto una línea, como referencia de las columnas que comprende este intervalo y así poder registrar sus costos. Siempre que se utilice la base del TPI se debe usar con el TPT y la base del TAI con el TAT.

A continuación se presenta la Tabla del Presupuesto Semanal para el Proyecto Normal:

Fig. 22Tabla del “Presupuesto Semanal” en base al TPI para el Proyecto Normal

14. Desarrolle para el Proyecto Normal, la tabla del Presupuesto Semanal en base al tiempo más alejado de inicio (TAI).

También se puede hacer una tabla de presupuesto considerando que el inicio y la terminación de las actividades son con el Tiempo más Alejado. Si se utiliza la base del TAI, para indicar el inicio de la actividad, se debe utilizar el TAT para conocer la terminación de ella y así registrar sus costos.A continuación se presenta el “Presupuesto Semanal” en base al Tiempo más Alejado de Inicio (TAI):

Fig. 23Tabla del Presupuesto Semanal en base al TAI para el Proyecto Normal

A continuación se presenta una gráfica donde se puede comparar visualmente la diferencia entre las curvas del Presupuesto Semanal con las dos bases, el TPI y el TAI:

JEVA

24


Fig. 24Curvas del Presupuesto Semanal en base al TPI y al TAI

15. Desarrolle para el Proyecto Normal, la tabla del Presupuesto Mensual en base al tiempo más próximo de inicio (TPI).

El Presupuesto Mensual se hace con la misma metodología que el Presupuesto Semanal, solo que transformando todos los tiempos a meses. También el Presupuesto Mensual se puede hacer con cualquier base, en este caso se hará con el Tiempo más Próximo de Inicio (TPI). Otra opción para el Presupuesto Mensual si ya se tuviera terminada la Tabla del Presupuesto Semanal, simplemente se podría sumar los costos de las cuatro semanas que forman el mes y poner este dato en su columna.

A continuación se presenta la Tabla del Presupuesto Mensual para el Proyecto Normal:

Fig. 25

Tabla del Presupuesto Mensual con base al TPI para el Proyecto Normal “EVALUACION DE LOS AVANCES” DEL PROYECTO NORMAL.

16. Evalúe el Proyecto Normal a las 4 semanas de iniciado, en base a la tabla del Presupuesto Semanal con el tiempo más próximo de inicio (TPI) y diga en cuánto está dentro o fuera del presupuesto cada actividad y el proyecto mismo. Considere los siguientes costos reales a la fecha:


(miles $)AB

8.014.1

JEVA

25

* Valor del Costo Acumulado de la Tabla del Presupuesto Semanal (Fig. 22)


CDE

22.0 0.3 0.5

Cuando se realiza un proyecto, es común que existan variaciones entre lo planeado y lo realizado, reflejándose en el costo del proyecto. Por esta razón, es importante supervisar el avance del proyecto para tener una mejor administración del mismo.

La evaluación de un proyecto se puede hacer de dos formas: utilizando la Tabla del Presupuesto o en forma Directa.

Para dar solución a la pregunta formulada, es necesario definir el concepto de “Avance” de un proyecto. El avance se expresa siempre en porcentaje, pudiendo ser 100%, 0% o cualquier valor intermedio. Un avance de 100% significa que la actividad se terminó, un 0% indica que la actividad no se ha iniciado y cualquier valor intermedio indica el grado de avance que tiene la actividad en su realización.

Contestando la pregunta se tiene que:

Utilizando la “Tabla del Presupuesto Semanal” con base al TPI, se puede hacer la evaluación del proyecto a las 4 semanas de iniciado, siendo un punto de referencia. El avance de una actividad se puede determinar analizando el inicio y la terminación de ella respecto a la fecha de referencia. Si la actividad termina antes o en la fecha de referencia, el avance es del 100%. Si la actividad inicia antes de la fecha de referencia y termina después de ella, se tiene un cierto grado de avance que es necesario calcular. Si el inicio de la actividad se tiene en la referencia o después de ella, se tiene un 0% de avance.

Para calcular el grado de avance de una actividad, se debe determinar el tiempo transcurrido respecto a la fecha de referencia. Este se calcula mediante la resta de la fecha de referencia con la fecha de inicio de la actividad. Teniendo el tiempo transcurrido de la actividad se divide entre la duración de la actividad, es decir su Tiempo Esperado (TE).Para calcular el “Presupuesto Ajustado” se multiplica el Avance de la actividad por el Costo Normal de la misma. Este Presupuesto Ajustado indica lo que se debería de llevar gastado en la actividad conforme a lo planeado en el proyecto.

La “Diferencia” que se tiene en el costo de la actividad se calcula comparando el Costo Real con el Presupuesto Ajustado de la misma, aunque también se puede hacer la comparación en sentido inverso. Entonces, el signo de la diferencia depende de como se haya realizado la comparación, es decir, de la base que se haya tomado como referencia para calcular las variaciones. Atendiendo a la forma como se haga la comparación así será la interpretación de las diferencias.

A continuación se muestra la tabla con la evaluación del Proyecto Normal a las 4 semanas:

Actividad AvancePresupuesto ajustado

(miles $)Costo real a la fecha (miles

$)Diferencias (miles $)

ABCDE

1.004/5 = 0.80

4/4.6 = 0.870.4/2.4 = 0.17

0

8.015 (0.8) = 12.0

21.750.68

0 42.42

8.014.122.0 0.3 0.5 44.9

014.1 – 12 = + 2.1

+ 0.25-0.38

+0.5 +2.47

Conclusión de la evaluación del Proyecto Normal.

Analizando esta tabla, se puede concluir que el Proyecto Normal a las 4 semanas de iniciado está fuera del presupuesto en $2,470, es decir, que esta cantidad se ha gastado de más conforme a lo planeado en el proyecto. Las actividades que están fuera de presupuesto son la “B” con $2,100, la “C” con $250 y la “E” con $500. Las actividades que están dentro de presupuesto, es decir con ahorro, son la “A” que gastó el presupuesto exacto, la “D” con un ahorro de $380.

JEVA

26


Las conclusiones anteriores, también se pueden obtener con pequeñas variaciones, leyendo directamente los datos de la “Tabla del Presupuesto Semanal” (Fig. 22). Tomando como referencia la semana 4, se pueden sumar todos los costos de la actividad hasta la fecha de referencia para compararse con el costo real de dicha actividad. En base a esto, se concluye que la actividad “A” está dentro de presupuesto, la “B” está fuera con $2,100, la “C” fuera con $400, la “D” esta dentro con $300 y la “E” esta fuera con $500. El Proyecto Normal tiene un Costo Acumulado de $42,200 por lo que se concluye que está fuera de presupuesto con $2,700 respecto al Costo Real de $44,900. Estas pequeñas variaciones se deben a los redondeos que se hicieron al calcular los avances de las actividades.

17. Sin basarse en ninguna tabla de presupuesto, evalúe el Proyecto Normal, en base al TAI, a las 12 semanas de iniciado y diga en cuánto está dentro o fuera del presupuesto cada actividad y el proyecto global. Considere los siguientes costos reales a la fecha:


(miles $)ABCDEFGHI

8.014.125.1 4.0 6.025.015.518.7 1.1

También se puede evaluar el Proyecto Normal en “forma directa”, sin necesidad de hacer la Tabla de Presupuestos. Para esto, es necesario calcular el grado de avance que tienen las actividades de acuerdo a la fecha de referencia y los datos del inicio y terminación de las mismas. Estos datos se pueden leer directamente en la “Red” (Fig. 8), la “Tabla de Tiempos” o la “Gráfica de Gantt” (Fig. 9). A continuación se presenta la Tabla del Presupuesto Semanal con base en el TAI:

Actividad AvancePresupuesto

ajustado (miles $)Costo real a la fecha (miles

$)Diferencias (miles $)

ABCDEFGHI

(12-8.5)/3.6=0.9721.0001.000

0 (12-10.9)/3.6=0.306

(12-4.6)/9.4=0.7870

(12-6.0)/8.0=0.750

8(0.972)=7.815.0 25.0

01.8

35.40

22.5 0 107.5

8.0 14.825.1 0 1.835.4 022.5 0 118.2

+ 0.2- 0.2+ 0.1+ 4.0+ 4.2- 10.4+ 15.5- 3.8+ 1.1+10.7

Conclusión de la evaluación.

El Proyecto Normal, a las 12 semanas, está fuera de presupuesto en $10,700. La variación del costo de cada actividad se muestra en la tabla realizada, significando el signo “+” como fuera del presupuesto y el signo “-“. como dentro del presupuesto.

18. Considerando la tabla de Presupuesto Mensual o Semanal en base al TPI, haga la evaluación del Proyecto Normal a los 2 meses de iniciado y diga en cuánto está dentro o fuera de presupuesto el proyecto. Considere el mes de cuatro semanas y los siguientes costos reales a la fecha:

Costo real a la fecha

JEVA

27


Actividad (miles $)ABCDEFG

8.014.125.1 4.0 5.620.010.7

La evaluación del Proyecto Normal se puede hacer utilizando indistintamente la Tabla del Presupuesto Mensual o Semanal en base al TPI.

Utilizando la Tabla del Presupuesto Mensual, se tiene que:

Actividad AvancePresupuesto

ajustado (miles $)

Costo real a la fecha (miles $)

Diferencias (miles $)

ABCDEFGHI

1.0001.0001.0001.000

(2-1.25)/0.9=0.833(2-1.15)/2.35=0.362

0(2-1.15)/2=0.375

0

8 15 25 4 5 16.3 011.3 0 84.6

8.0 14.825.1 4.0 5.620.0 010.7 0 88.2 +3.6

Conclusión de la evaluación.

El Proyecto Normal, a los 2 meses, está fuera del presupuesto en $3,600.

Una Tabla y conclusión parecida se puede tener si se hace el análisis con la Tabla del Presupuesto Semanal en base al TPI.

2. PROYECTO A TIEMPO OPTIMO (PROYECTO REDUCIDO).

Se mencionó anteriormente que, el PERT es una técnica probabilística que considera la variación que puede tener la duración de las actividades. Esta variación dá opción a que se pueda reducir la duración del Proyecto Normal.

Para reducir el Proyecto Normal es necesario conocer primero, la relación que existe entre el tiempo y el costo. En términos generales, al reducir la duración de un proyecto se incrementa el costo del mismo. Se considera, que se puede reducir la duración de una actividad al dedicarle mayor cantidad de recursos a su realización.

Se puede determinar la relación que existe entre el tiempo y el costo de un Proyecto Normal mediante la “Curva de intercambio de Tiempo-Costo”. Considerando que existe una relación lineal entre el tiempo y el costo, se puede hacer la siguiente gráfica:

JEVA

28


Fig. 26Curva de intercambio Tiempo-Costo con una relación lineal

Considerando la Curva de Intercambio se puede hacer el indicador “Ic” que relacione el tiempo y el costo. El “Ic” se puede definir como, el “Incremento de Costo que tiene la actividad al reducirse una unidad de tiempo”.

Basándonos en la gráfica anterior, se puede desarrollar una relación matemática para “Ic” que a través de la pendiente de la recta nos dé el intercambio entre el tiempo y el costo. Recuerde, que la pendiente de la recta se define como la relación entre el “Incremento de Y” entre el “Incremento de X”, quedando la siguiente relación matemática:

Ic = Cu – Cn Tn - Tu

Cu = Costo de urgencia de la actividad.Cn = Costo normal de la actividad.Tn = Tiempo normal o “Tiempo Esperado” de la actividad.Tu = Tiempo de urgencia o “Tiempo Optimo” de la actividad.

Para este Proyecto Normal se puede calcular “Ic” para cada actividad quedando en la forma siguiente:

ActividadIc

(miles $/sem)ABCDEFGHI

(10-8)/(3.6-3)=3.35.06.85.02.5

10.711.5

5.04.2

Con estas bases, podemos calcular la “Duración Mínima” del Proyecto Normal y su “Costo Total Mínimo”.

19. A través del Método Corto, calcule la duración mínima y el costo total mínimo para el Proyecto Reducido y construya la curva de intercambio de tiempo-costo.

A continuación hemos desarrollado un “Método Corto” para calcular la Duración Mínima del Proyecto Normal, considerando una relación de intercambio lineal entre el tiempo y el costo. Se presenta la siguiente metodología para el Método Corto:

JEVA

29


Poner la red del Proyecto Normal con tiempos óptimos y resolverla para calcular la “Duración y la Ruta Crítica”.

Poner todas las actividades “no críticas” con tiempo esperado.

Detectar “conflictos” en los nodos donde se junta la ruta crítica y la no crítica.

Solucionar los conflictos ajustando las actividades que conforman los caminos involucrados.

Calcular el “Incremento Total del Costo (ITC)” del Proyecto Reducido.

Calcular el ”Costo Total Mínimo” del Proyecto Reducido.

A continuación se explican la metodología del Método Corto:

Se resuelve la red calculando la Duración Mínima y la Ruta Crítica considerando tiempos óptimos en las actividades. A continuación se presenta la red con los cálculos:

Fig. 27Solución de la red del Proyecto Reducido con “Tiempos Optimos (O)”

Duración mínima = 19 semanas.Ruta crítica = C,F,I.

Se regresan todas las actividades “no críticas” al Tiempo Esperado (TE), dejando la ruta crítica igual, es decir con sus tiempos óptimos. La ruta crítica queda “fija” sin ninguna alteración.

Se recalcula la red, poniendo atención en los posibles “conflictos” en los nodos donde se une la ruta crítica con la no crítica. Existe un conflicto si el camino no crítico llega al nodo con un valor mayor que la ruta crítica, entonces es necesario ajustar el camino a que quede con el mismo valor de la ruta crítica. Es conveniente determinar la reducción que se debe hacer al camino no crítico para solucionar el conflicto.

El criterio para detectar las actividades que se deben ajustar, es el “Ic” mínimo. Primero se selecciona la actividad con el menor “Ic”, es decir aquella actividad que dé el menor incremento del costo por unidad de tiempo reducida. Segundo, se determina cuánto es lo máximo que se puede reducir dicha actividad, es decir el límite máximo de reducción dado por el Tiempo Optimo (O). Tercero, de acuerdo al requerimiento de reducción y al límite de reducción, decidir en que valor ajustado se quiere dejar la actividad aprovechando lo más posible este beneficio. Cuarto, si el conflicto persiste, se seguirá repitiendo esta secuencia tantas veces como sea necesaria hasta terminar con el conflicto. Esta secuencia nos asegura que tendremos el ajuste requerido para terminar con el conflicto al mínimo costo posible.

JEVA

30


En base al menor “Ic” y conociendo la reducción requerida en el camino del conflicto, se puede hacer el ajuste simultáneo de todas las actividades involucradas en la solución del mismo. Es importante determinar que reducción tuvo cada actividad.Cuando no hay conflicto en el nodo, es porque llega el camino no crítico con un valor inferior a la ruta crítica. Esto nos indica, que es posible dejar las actividades involucradas en este camino con tiempos esperados, es decir, no requieren de reducción y por lo tanto no se tendrá ningún incremento en el costo.

Se muestra estos cálculos en la siguiente gráfica:

Fig. 28Ajuste del tiempo de la actividad “H” para solucionar el conflicto

Para calcular el “Incremento Total del Costo (ITC)” del Proyecto Reducido, es necesario determinar el incremento ocasionado por la ruta crítica y por los ajustes realizados. La reducción de una actividad, se calcula por la diferencia entre su tiempo esperado y el valor en que queda dicha actividad. Conociendo la reducción de las actividades críticas y las ajustadas, se pueden multiplicar por su correspondiente “Ic” para calcular el “Incremento de Costo (IC)” de dichas actividades, siendo la sumatoria el “ITC”. A continuación se muestra los correspondientes cálculos:

ActividadesReducción(semanas)

Ic(miles $/sem)

IC(miles $)

Ruta Crítica:CFI

Ajustes:H

4.6-3.5=1.1 1.1 1.8

8.0-6.5=1.5

6.810.7 4.2

5.0

1.1(6.8)=7.48 14.98 7.56

7.50 ITC=37.52

El cálculo del “Costo Total Mínimo” del Proyecto se presenta a continuación:

Costo Normal = $203,000 Costo Fijo = 190,000 = 10,000(19) Incremento = 37,520

JEVA

31


Costo Total Mínimo $430,520

La Ruta Crítica, después de los ajustes, está formada por las actividades B,C,F,H,I. Pero esto es irrelevante en el cálculo del Costo Total Mínimo del Proyecto Reducido. En resumen, el Proyecto Reducido tiene una duración mínima de 19 semanas con un costo de $240,520, sin incluir los costos fijos.

Con la duración de 23.3 semanas y el costo de $203,000 para el Proyecto Normal y los datos calculados para el Proyecto Reducido, se puede hacer la “Curva de Intercambio de Tiempo-Costo” para el proyecto como a continuación se presenta:

Fig. 29Curva de intercambio Tiempo-Costo calculada con el “Método Corto”

20. Mediante el Método Largo, calcule la duración mínima y el costo total mínimo para el Proyecto Reducido y construya la curva de intercambio de tiempo-costo.

Un perfil más realista de la Curva de Intercambio de Tiempo-Costo, se puede hacer reduciendo unidad por unidad el tiempo del proyecto. Esto le hemos llamado Método Largo como contraste con el anterior. A continuación se presenta la metodología para hacer el “Método Largo”:

Partir de la solución del Proyecto Normal, es decir de la duración, costo y ruta crítica del mismo.

Seleccionar una actividad crítica, que tenga el “Ic” menor para reducir el Proyecto Normal en una unidad de tiempo.

Calcular la duración del Proyecto Reducido, el incremento del costo debido a la reducción de la actividad, el costo total del proyecto y la ruta crítica del mismo.

Repetir este procedimiento hasta llegar al “Límite Máximo” de reducción de la actividad.

Seleccionar la siguiente actividad crítica con el “Ic” menor y repetir este procedimiento hasta llegar al límite máximo de reducción. En el caso de tener actividades paralelas, es necesario reducir ambas para lograr la reducción del proyecto.

Se presentan la aplicación de esta metodología a nuestro problema, comentando cada uno de los pasos:

JEVA

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El Proyecto Normal tiene una duración de 23.3 semanas, un costo total de $203,000 y una ruta crítica formada por las actividades C,F,I.

La reducción del Proyecto Normal se hará preferentemente, a través de reducciones unitarias del tiempo. En la “Red 1” se seleccionó la actividad “I” que tiene el menor “Ic” de $4,200 y un límite de reducción máximo de 7.5 semanas. Se redujo su duración en una semana, quedando la duración del proyecto en 22.3 semanas, con un incremento total del costo (ITC) de $4,200 y un costo total (CT) de $207,200. La ruta crítica que queda es C,F,I. La red del Proyecto Reducido queda en la siguiente forma:

Fig. 30Red 1: Proyecto Normal reducido a 22.3 semanas

A continuación se presentan los cálculos que se hicieron al Proyecto Normal para reducirlo a 22.3 semanas:

Actividad a Reducir Proyecto

Red Act. Ic(miles $/sem)

Reduc.(sem)

Tiempo Nuevo(sem)

Límite(sem)

Durac.(sem)

ITC(miles $)

ITCA(miles $)

CT(miles $)

Ruta crítica

1 I 4.2 1 8.3 7.5 22.3 4.2 4.2 207.2 C,F,I

Ic = Incremento de costo por unidad de tiempo reducidaITC = Incremento Total del CostoITCA = Incremento Total del Costo AcumuladoCT = Costo Total

En la “Red 2”, nuevamente se selecciona la actividad “I” que se reduce en 0.8 semanas para dejarla en el tope máximo de reducción que es de 7.5 semanas. Se resuelve el proyecto quedando con una duración de 21.5 semanas, un incremento total del costo (ITC) de $3,360, un costo total (CT) de $210,560 y una ruta crítica formada por C,F,I. A continuación se muestra la red:

Fig. 31

JEVA

33


Red 2: Proyecto Normal reducido a 21.5 semanas

Los cálculos para el proyecto Normal reducido a 21.5 semanas son los siguientes:


Red Act. I(miles $/sem)

Reduc.(sem)

Tiempo Nuevo(sem)

Límite(sem)

Durac.(sem)

ITC(miles $)

ITCA(miles $)

CT(miles $)

Ruta crítica

2 I 4.2 0.8 7.5 Tope 21.5 3.36 7.56 210.56 C,F,I

En la “Red 3” se selecciona la siguiente actividad crítica con el “Ic” menor , siendo esta la actividad “C” que tiene una duración de 4.6 semanas, Ic de $6,800 por semana y un límite máximo de reducción de 3.5 semanas, por lo que se puede reducir hasta 1.1 semanas para dejarla en el tope. Al resolver la red del proyecto, nos damos cuenta que también es necesario reducir la actividad “H” que es un camino paralelo, para lograr la reducción del proyecto a 20.4 semanas, con un incremento total del costo (ITC) por la reducción de la actividad de $7,980, dando un costo total (CT) de $218,540 y una ruta crítica formada por las actividades B,C,F,H,I. La Red queda en la siguiente forma:

Fig. 32Red 3: Proyecto Normal reducido a 20.4 semanas

A continuación se presenta la tabla de los cálculos del Proyecto Normal reducido a 20.4 semanas:



Reduc.(sem)

Tiempo Nuevo(sem)

Límite(sem)

Durac.(sem)

ITC(miles $)

ITCA(miles $)

CT(miles $)

Ruta crítica

3 C,H 6.8, 5 1.1, 0.1 3.5, 7.9 Tope, 6 20.4 7.98 15.54 218.54 B,C,F,H,I

JEVA

34


En la “Red 4” se selecciona la siguiente actividad crítica “F” CON EL “Ic” menor. La actividad “F” tiene una duración de 9.4 semanas, Ic de $10,700 por semana y un límite de reducción de 8 semanas por lo que se puede reducir como máximo 1.4 semanas. Al resolver la red del proyecto, se observa que es necesario hacer una reducción en paralelo, es decir, reducir simultáneamente “F” en 1.4 semanas y “H” en 1.4 semanas. El Proyecto Reducido queda en 19 semanas que es la duración mínima, que se puede tener con un incremento total del costo (ITC) de $21,980, siendo $14,980 por reducir la actividad “F” y $7,000 por reducir la actividad “H” quedando un incremento total del costo de $37,520. El costo total (CT) del Proyecto Reducido es de $240,520 con una ruta crítica formada por las actividades B,C,F,H,I. A continuación se presenta esta Red:

Fig. 33Red 4: Proyecto Normal reducido a 19 semanas (duración mínima)

Se presentan los cálculos para la reducción del Proyecto Normal a 19 semanas:



Reduc.(sem)

Tiempo Nuevo(sem)

Límite(sem)

Durac.(sem)

ITC(miles $)

ITCA(miles $)

CT(miles $)

Ruta crítica

4 F,H 10.7, 5 1.4, 1.4 8, 6.5 Tope, 6 19 21.98 37.52 240.52 B,C,F,H,I

En resumen, el Costo Total del Proyecto Reducido queda:

Costo Normal = $203,000Costo Fijo = 190,000 = 10,000(19)Incremento (ITCA) = 37,520

$430,520 JEVA

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La ruta crítica final del Proyecto Reducido está formada por las actividades B,C,F,H,I. La duración mínima del Proyecto Reducido es de 19 semanas con un Costo de $240,520, sin incluir los costos fijos.

Con la duración y el costo total del Proyecto Normal y del Proyecto Reducido, se puede construir la “Curva de Intercambio Tiempo-Costo” unidad por unidad, quedando en la forma siguiente:

Fig. 34Curva de intercambio Tiempo-Costo calculada con el “Método Largo”

21.- Utilizando las curvas de intercambio de tiempo-costo del método corto y largo, haga una comparación entre ellos contestando las siguientes preguntas:

a. Calcule el costo estimado para reducir el Proyecto Normal a 19.8 semanas.

b. Considerando un presupuesto de $210,000, sin considerar los costos fijos, cuál es la duración estimada del Proyecto Reducido.

La “Curva de Intercambio Tiempo-Costo”, ya sea formada a través del Método Corto o el Método Largo, se puede utilizar para hacer estimaciones rápidas sobre la duración del proyecto y su costo de realización. A continuación se presentan ejemplos sobre esto:

Costo estimado para reducir el Proyecto Normal a 19.8 semanas.

Si se quiere reducir el Proyecto Normal a 19.8 semanas, el costo estimado para hacer esta reducción en base a la Curva de Intercambio Tiempo-Costo, es de $228,000 con la Curva del Método Largo y con la Curva del Método Corto de $233,000.

Duración estimada del Proyecto Reducido.

Con un presupuesto de $210,000, sin considerar los costos fijos, la duración estimada del Proyecto Reducido. La duración es de 21.8 semanas con la Curva del Método Largo y de 22.5 semanas con la Curva del Método Corto.

JEVA

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Las respuestas dadas a estas preguntas dependen de la calidad que se tenga en los gráficos de las Curvas de Intercambio. Definitivamente, el resultado es más preciso cuando se utiliza una Curva de Intercambio hecha con el Método Largo pero su construcción requiere de más tiempo. En este caso, la Curva del Método Corto nos da un error del 2% en la estimación del costo y del 3.2% en la estimación de la duración.

A continuación se presenta las gráficas de las Curvas de Intercambio con las respuestas obtenidas:

Fig. 35Tiempo y costo estimados con la curva del “Método Corto”

Fig. 36Tiempo y costo estimados con la curva del “Método largo”

22. Si se quiere reducir el Proyecto Normal a 19.8 semanas, calcule el costo mínimo que se tendría para dicha reducción, sin incluir los costos fijos, utilizando el “Método Matemático”.

El “Método Matemático” es otra forma de calcular con precisión, el costo de reducir el Proyecto Normal a una cierto tiempo. Anteriormente, se había planteado la reducción del Proyecto Normal a 19.8 semanas y se encontró la respuesta en forma gráfica a través de la Curva de Intercambio. Ahora planteamos el mismo problema solucionándolo a través del Método Matemático. La explicación de la metodología seguida es:

La duración del Proyecto Normal es de 23.3 semanas y se quiere reducir a 19.8 semanas, por lo que se pone esta duración en el nodo final de la red. Se requiere reducir la red en 3.5 semanas por lo que se deben de reducir las actividades de la ruta crítica, iniciando con aquella que tenga la menor Ic. Para lograr esta reducción, es necesario considerar el límite máximo de reducción de las actividades críticas ya que no es posible reducirlas más allá. Empezamos por reducir la actividad crítica “I” que tiene el menor Ic, reduciéndola 1.8 semanas que es su tope máximo, quedando su duración en 7.5 semanas. Se resuelve la red y ahora solo se requiere reducir el proyecto en 1.7 semanas. Se selecciona la siguiente actividad crítica “C” que es la

JEVA

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siguiente Ic menor. La máxima reducción que se puede hacer a “C” es de 1.1 semanas llevándola de 4.6 semanas hasta 3.5 semanas que es su tope. Ahora nos falta reducir el proyecto solo 0.6 semanas para completar la reducción total. La siguiente actividad seleccionada es la “F”, que se puede dejar en 8 semanas, es decir, se puede reducir un máximo de 1.4 semanas pero tan solo se requiere reducir 0.6 semanas para lograr el objetivo de 3.5 semanas.

Después de este análisis, queda la red del Proyecto Normal con la actividad “C” en 3.5 semanas, “F” con 8.8 e “I” con 7.5 semanas. Al solucionar la red con estos tiempos, se observa que es necesario hacer un ajuste en la actividad “H” de 0.7 semanas, dejándola en 7.3 semanas. A continuación se muestra dicha red del proyecto:

Fig. 37Reducción del Proyecto Normal a 19.8 semanas utilizando el “Método Matemático”

El cálculo del costo del Proyecto Reducido se muestra a continuación:

ActividadReducción(semanas)

Ic(miles $/sem)

IC(miles $)

Ruta Crítica:CFI

Ajustes:H

4.6-3.5=1.19.4-8.8=0.6 9.3-7.5=1.8

8-7.3=0.7

6.810.7 4.2

5.0

7.48 6.42 7.56

3.50 ITC=24.96

Entonces, el costo del Proyecto Reducido, sin considerar los costos fijos, será:

Costo Normal = $203,000Incremento (ITC) = 24,960

$227,960

23. Formule un modelo de Programación Lineal que permita evaluar el incremento total del costo (ITC) al reducir el Proyecto Normal en “x” unidades de tiempo. En base a este modelo, construya la curva de intercambio de tiempo-costo haciendo reducciones pequeñas en el tiempo del proyecto.

La mejor forma de calcular la Curva de Intercambio Tiempo-Costo, es desarrollar un modelo de Programación Lineal que permita calcular el Incremento Total del Costo (ITC) al reducir el Proyecto Normal.

El siguiente modelo de Programación Lineal, nos permite calcular el Incremento Total del Costo (ITC) del Proyecto Normal al ser reducido hasta una cierta duración, así mismo, se puede calcular su Costo Total (CT).

Variables de Decisión.

JEVA

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Xi = Tiempo más Próximo de Inicio (TPI) de l Nodo “i” donde inicia la Actividad (sem)Xt = Tiempo más Próximo de Terminación (TPT) del Nodo “t” donde termina la actividad

(sem)Yi = Reducción del tiempo de la Actividad “i” (sem)

Función Objetivo.

El objetivo es minimizar el Incremento Total del Costo (ITC) para una determinada reducción del Proyecto Normal. El ITC es el “Ic” de la actividad multiplicado por la reducción del tiempo de dicha actividad, por lo que la Función Objetivo queda:

mín. Z = 3.3YA + 5.0YB + 6.8YC + 5.0YD + 2.5YE + 10.7YF + 11.5YG + 5.0YH + 4.2YI

$ ($/sem)sem = $.

Restricciones.

Existen tres familias de restricciones: para definir la estructura de la red, para especificar el límite máximo en que se puede reducir la actividad y para especificar la duración que se quiere tener en la red del proyecto.

1. Estructura de la Red.La Estructura de la Red se define en función de los “Tiempos más Próximos” que pueden ser de Inicio o Terminación. En el nodo donde inicia la actividad se tiene el “Tiempo más Próximo de Inicio (TPI) y en el nodo donde termina, se tiene el “Tiempo más Próximo de Terminación (TPT)”. La relación matemática que se tiene para hacer la restricción para cualquier actividad de la red es:

Xi + TEi - Yi Xt

Xt = TPT del Nodo “t” (termina la actividad).Xi =TPI del Nodo “i” (inicia la actividad).TEi = Tiempo Esperado de la Actividad ”i”.Yi = Reducción del tiempo de la Actividad “i”.

Nodo 1 X1 = 0 (Condición inicial del Nodo 1)Nodo 2 0 + 3.6 - YA X2

X2 + YA 3.6 Nodo 3 X3 + YB 5.0 Nodo 4 X4 + YC 4.6

Nodo 5 Cuando llegan dos caminos a un nodo, como en este caso, se requiere hacer una restricción para cada uno de ellos, en la forma siguiente:

X5 - X2 + YD 2.4

X5 - X3 + YE 3.6

Nodo 6 X6 - X3 + YH 8.0 X6 - X4 + YF 9.4

Nodo 7 X7 - X5 + YG 8.8

X7 - X6 + YI 9.3 sem sem

2. Límite Máximo de Reducción.

JEVA

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Primero se calcula el “Límite Máximo de Reducción” para cada actividad del proyecto, restando del Tiempo Esperado el Tiempo Optimo. Las restricciones quedarán:

Actividad A YA 0.6

Actividad B YB 1.0

Actividad C YC 1.1

Actividad D YD 0.4

Actividad E YE 0.6

Actividad F YF 1.4

Actividad G YG 1.3

Actividad H YH 2.0

Actividad I YI 1.8 sem sem

3. Duración deseada de la red.

Para evaluar diferentes reducciones de la red, es necesario poner la duración deseada del proyecto en la siguiente restricción:

Nodo Final X7 “Duración deseada” en la red. sem sem

4. No Negatividad Xi, Xt,Yi 0

Análisis Dimensional: Probado.

Con este modelo de programación lineal, se calculó la Curva de Intercambio de Tiempo-Costo con reducciones de 0.2 semanas, iniciando con los resultados del Proyecto Normal, duración de 23.3 semanas y costo total de $203,000 . Los resultados del Incremento Total del Costo (ITC) que se obtuvieron con este modelo, sirvieron de base para calcular el “Costo del Proyecto” que no incluye los Costos Fijos y el “Costo Total del Proyecto” que sí los incluye. Se presentan a continuación estos cálculos:

Duración del Proyecto(sem)

Incremento Totaldel Costo(miles $)

Costo delProyecto(miles $)

Costo Totaldel Proyecto

(miles $)23.323.022.822.622.422.222.021.821.621.421.221.0

01.2599992.1000022.939997

3.78 4.6199955.4599996.3000027.139997

8.249.599993

10.96

203.00204.26205.10205.94206.78207.62208.46209.30210.14211.24212.60213.96

203.00434.26433.10431.94430.78429.62428.46427.30426.14425.24424.60423.96

JEVA

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20.820.620.420.220.019.819.619.419.219.018.9

12.32 13.68 15.54 18.67999 21.82 24.96001 28.09999 31.24 34.37999 37.52

Infactible

215.32216.68218.54221.68224.82227.96231.10234.24237.38240.52

---

423.32422.68422.54423.68424.82425.96427.10428.24429.38430.52

---Con el objeto de hacer la comparación con los resultados anteriores, se puede observar en la tabla, que una reducción del Proyecto Normal a 19.8 semanas da un Incremento Total del Costo de $227,960.

A continuación se presenta la Curva de Intercambio Tiempo-Costo calculada con el modelo de Programación Lineal, donde se graficó el Costo del Proyecto sin incluir el Costo Fijo:

Fig. 38Curva de intercambio Tiempo-Costo calculada con el “Modelo de Programación Lineal”

JEVA

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3. PROYECTO A COSTO OPTIMO.

El objetivo del “Proyecto a Costo Optimo” es minimizar el costo del Proyecto Reducido, sin importar que la duración no sea la mínima.

A través de la siguiente pregunta, se ejemplifica el Proyecto a Costo Optimo:

24. Calcule la duración, el costo y la ruta crítica del Proyecto a Costo Optimo.

Se ha desarrollado la siguiente metodología para hacer el “Proyecto a Costo Optimo”:

Partir de la “Ruta Crítica” de la red del Proyecto Normal.

Poner el Tiempo Optimo (O) en las actividades críticas que cumplen con el Criterio de Ahorro Neto “Ic $F”, donde “Ic” es el Incremento del Costo por unidad de tiempo reducida y “$F” es el Costo Fijo del proyecto. En las actividades críticas que no cumplen con el Criterio de Ahorro Neto poner el Tiempo Esperado (TE).

Solucionar la red del proyecto en forma normal, pero en el nodo final, siempre se pondrá el valor de la “Ruta Crítica” aunque sea el de menor valor.

Marcar los nodos de la red donde se une el camino de la ruta crítica con el no crítico.

Analizar la existencia de “Conflictos” en estos nodos de la red, que pueden ser de dos tipos interior y final:

Existe un “Conflicto Interior” si el valor de la ruta crítica llega al nodo marcado, con menos valor que el camino no crítico.

Se tendrá un “Conflicto Final” si el valor del camino no crítico llega al nodo final de la red, con un valor mayor que el de la ruta crítica, es decir, es el mismo criterio utilizado en los conflictos de Proyecto Reducido.

Solucionar los conflictos que se tengan en la red del proyecto haciendo los ajustes necesarios.

Para solucionar un “Conflicto Interior” dado en un nodo marcado, se escoge la actividad crítica involucrada en el camino del conflicto, que tenga el mayor Ic y que haya cumplido con el Criterio de Ahorro Neto, es decir, que tenga Tiempo Optimo. Ya seleccionada esta actividad crítica, se le aumenta el tiempo hasta ajustarla con el valor requerido para que no haya conflicto. Si se tiene un “Conflicto Final”, se soluciona igual que los conflictos del Proyecto Reducido, es decir, se reduce el valor del camino no crítico involucrado en el conflicto, ajustándolo hasta desaparecer éste. El criterio utilizado es seleccionar aquella actividad no crítica con la menor Ic y reducirla lo necesario, considerando siempre su tope máximo de reducción. Si el conflicto persiste, se repite este procedimiento hasta quitarlo totalmente.

Calcular el Incremento Total del Costo (ITC) del proyecto en base a las reducciones de las actividades ajustadas, sean o no críticas.

Calcular el Costo Total (CT) del Proyecto.

Aplicando la metodología expuesta, se calculará el Proyecto a Costo Optimo. Se parte de la ruta crítica del Proyecto Normal formada por las actividades C,F,I. Se checa cada actividad de la ruta crítica para ver si cumple o no con el Criterio de Ahorro Neto. La actividad “C” se pone con un Tiempo Optimo (O) de 3.5 semanas, ya que tiene una Ic de $6,800 que es menor al costo fijo de $1,000. Por el contrario, la actividad “F” se pone con el Tiempo Esperado (TE)

JEVA

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de 9.4 semanas ya que no cumple con el criterio y la actividad “I” se pone con un Tiempo Optimo (O) de 7.5 semanas. Todas las actividades no críticas se ponen con el Tiempo Esperado (TE).

Se resuelve la red del proyecto como se muestra en la siguiente gráfica:

Fig. 39Solución de la red del Proyecto a Costo Optimo

Se puede observar en la gráfica de la Red, que en los nodos 6 y 7, se une la ruta crítica con la no crítica. Analizando el nodo 6, se tiene un “conflicto interior” ya que la ruta crítica llega con 12.9 semanas que es menor que las 13 semanas del camino no crítico. En el nodo 7, no hay “conflicto final” ya que la ruta crítica llega con 20.5 semanas, valor mayor que las 17.4 semanas del camino no crítico.

El conflicto del nodo 6 se soluciona, escogiendo “C”, que es la única actividad crítica con tiempo óptimo involucrada en el camino del conflicto. Se aumenta su duración a 3.6 semanas ya que solo se requiere 0.1 semanas para terminar con el conflicto. La actividad “C” se ha reducido 1 semana, pasando de un Tiempo Esperado de 4.6 semanas a 3.6 semanas.

A continuación se presentan los cálculos realizados:

ActividadesReducción(semanas)

Ic(miles $/sem)

IC(miles $)

Ruta Crítica:CFI

Ajustes:

4.6-3.6=1.0No seleccionada

9.3-7.5=1.8No hubo

6.8

4.2-

6.80

7.56 - ITC=14.36

Se tiene el siguiente “Costo Total” del Proyecto a Costo Optimo:

Costo Normal = $203,000Costo Fijo = 205,000 = 20.5(10,000)Incremento (ITC) = 14,360

$422,360

Después de los ajustes hechos a las actividades críticas del proyecto, se tiene una nueva “Ruta Crítica” formada por las actividades B,C,F,H,I.

25. Elabore un Cuadro Resumen que compare los tres tipos de proyectos.

A continuación se presenta un “Cuadro Resumen” con los resultados de los tres enfoques utilizados en el proyecto:

JEVA

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Tipo deProyecto

Duración(semanas)

Costo Total($) Ruta Crítica

A Tiempo Esperado(Proyecto Normal)A Tiempo Optimo

(Proyecto Reducido)A Costo Optimo

23.3

19.0

20.5

436,000

430,520

422,360

C,F,I

B,C,F,H,I

B,C,F,H,I

JEVA

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5 Pert-Cpm