Capítulo 16

Administración de proyectosCPM y PERT

La administración de proyectos incluye tres fases: planeación, programación, y control, como se muestraen la figura 16-1. Este capítulo resume esas tres actividades, con hincapié en dos técnicas de redes, CPM yPERT.

PLAN EACION DEL PROYECTO

• Objetivos• Organización del equipo• Definición del proyecto• Oriterio de desempeño

TiempoCosto

(Plan delproyecto)

PROGRAMACiÓN DEL PROYECTO

Disponibilidad de recursos:Humanos

MaterialesFinancieros

Técnico administrativo:Gráfica de Gantt y de avancede redes (CPM, PERT)

Programadel

proyecto)

(Resultados del proyecto)

FiWJnI 16-1 Diagrama de flujo de administración de proyectos

PLANEACIÓN DE PROYECTOS

Un proyecto es un conjunto de actividades únicas que debe ser terminado dentro de un tiempo esutilizando los recursos apropiados, generalmente en el sitio de trabajo. Son ejemplos el diseiio de un vehiculo ~pacial, la construcción de una hidroeléctrica, la comercialización de un producto y la fusión de dos empresa.La planeación comienza con la definición de objetivos. El equipo de proyecto es integrado por varios dementas de la organización y puede incluir personal de áreas como ingeniería, producción, mercadotecnia_contabilidad. La definición del proyecto implica identificar las variables controlables y no controlables impli-cadas, estableciendo los límites del proyecto. El criterio de eficiencia debe relacionar los objetivos del proyec-to y generalmente es evaluado en términos de tiempo y costo.

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS

La programación de proyectos implica graficar los requerimientos de recursos o progreso anticipado eaterminar actividades componentes sobre el horizonte de tiempo del proyecto. Los requerimientos de recursosson mejor administrados dando atención especial a las necesidades de personal, materiales y financierasproyecto, como se muestra en la figura 16-2. Cada una de las gráficas ofrece algún medio para comparar lc5niveles reales con los niveles planeados. Las gráficas por computadora pueden proporcionar ese tipo de datosen base de tiempo real, a cualquier nivel de detalle que el administrador del proyecto considere apropi

Las técnicas para programación de proyectos incluyen las tradicionales gráficas de Gantt (carga yay técnicas de redes. Las gráficas de Gantt son fácilmente comprensibles y actualizables (en computaooess, •••.ro no reflejan las interrelaciones ante los recursos o las relaciones precedentes entre las actividades del

90

sE 60o,

30

Mayo

Material A ~

Material B ~

Componente C ~

Subensamble D

$1000

~-cO

800

600

400

200

1111)111 I\IMII N 1O' 111 1'1 1\'I{lN 1

Mes

REQUERIMIENTOS DE MATERIALES

Nov Die

Planeados

~ Orden de compra

Oct. Nov. Dic.

Materiales

o Planeado

• Realmente recibido

Figura 16-2 Programación de los requerimientos de recursos de un proyecto

REQUERIMIENTOS FINANCIEROS AUXILIARES

1. Coordinan el proyecto total y todas las actividades interrelacionadas. Muestran las rela-ciones de cada actividad con el proyecto global.

2. Fuerzan la planeación lógica de todas las actividades. Facilitan la organización del trabajoy su asignación.

3. Identifican las relaciones de precedencia y la secuencia de actividades que son especial-mente críticas.

4. Proporcionan estimaciones de tiempo de terminación y/o costo) y-un estándar para com-parar con los valores reales.

5. Facilitan el mejor uso de los recursos identificando áreas donde los recursos humanos,materiales o financieros pueden asignarse.

Reales ~

,'--,,"..I,,

II

Tabla 16-1 Ventajas de la pregramacíón por redes

'ONTROL DE PROYECTOS

111 I I

d 111'

Los controles de proyectos son actividades para medir el estado de las actividad 's l'(1I1IJl1111 I11

tir esos datos a un centro de control donde esto es mejorado con el plan (v.g., estándur};« 1111 ""

correctivas cuando es necesario. Los sistemas de reportes computarizados generalrn '111' 11 11111111111 11

línea. Los reportes de control pueden ser desarrollados entonces en un principio de admlnl 11 1' 1111 1''''ción, lo cual elimina el papeleo innecesario. La atención administrativa es enfocada cntou 'l'N 1111 ," 11 1críticas que son problemas potenciales,

FUNDAMENTOS DE REDES

Un diagrama de redes es un modelo matemático que usa pequeños círculos (nodos) con' 'IIHIII 1"11 Io ramas (arcos) que representan las relaciones precedentes. Las redes son usadas frecuentem nte JI'" 1bir inventarios o flujos de efectivo, rutas de embarque y redes de comunicación. Los problemas ti" 1 "

veces formulados como problemas de programación lineal.

Ejemplo 16,1 Se está construyendo un oleoducto de una localidad de Wyomíng (A) a través de un terreno IIIIIIIIM"

un centro de distribución (F), con el menor costo (figura 16-3). Se indican las rutas alternativas y-loscostos d l',"1 1111

(en millones de dólares), ¿Cuál. es la ruta de menor costo? (Nota: Véase el problema 16.1 para la formulurl '11 1ejemplo como problema de programación lineal).

Campo petrolerode Wyoming

Figura 16-3

Los caminos posibles y sus costos son:

Camino A-B-E-F = $2 + 4 + 3 = $9 (millones)A-C-E-F = $1 + 5 + 3 = $9 (millones)A-C-F = $1 + 7 = $8 (millonesj e--menor costoA-D-F = $6+ 5 = $11 (millones)

El método de camino critico (CPM) y la técnica de revisión y evaluación del programa (PERT) son t 111cas de redes para analizar un sistema en términos de actividades y eventos que deben ser terminados en unacuencia específica para lograr una meta. Algunas actividades pueden ser hechas concurrentemente, mientrque otras tienen requerimientos precedentes. Aunque algunas formulaciones de CPM difieren en su 1\

mencJatura, debemos considerar las actividades como tareas componentes que consumen tiempo y están indl

8

Figura 16-4 Diagrama de redes para la construcción de una planta de energía.

cadas por flechas (~).1 Los eventos son puntos en el tiempo e indican que algunas actividades han sido termi-nadas y otras pueden comenzar. Éstos son los nodos y están representados por círculos ( O ).El diagrama deredes consiste en las actividades y los eventos en sus propias relaciones, como lo muestra la figura 16-4.

Esta última representa en un diagrama de redes las actividades de trabajo necesarias para construir unaplanta eléctrica. (el objetivo). Las relaciones precedentes son indicadas por las flechas y los CÍrculos. Porejemplo, el diseño de la planta (actividad 1-2) debe ser terminado antes de que pueda hacerse otra cosa. En-tonces la selección del lugar, proveedores y personal ocurre simultáneamente. La actividad de instalación del

-

La actividad A debe ser terminada antes de que laactividad B pueda comenzar.

Las actividades A y B pueden ocurrir sirnultánea-mente, pero ambas deben ser terminadas antes deque e pueda comenzar.

Las actividades A y B deben ser terminadas antesde que e y D puedan empezar, pero e puede co-menzar independientemente de D o viceversa.

Las actividades A y B pueden ocurrir slmultánea-mente, pero ambas deben ser completadas antesde que D pueda comenzar. La actividad e (puntea-do) es una actividad artificial que muestra una re-lación precedente, pero tiene tiempo de duracióncero.

Fillura 16-5 Símbolos comúnmente usados en los diagramas de redes

1 Usamos la convención de actividad sobre una flecha (ASF). La actividad sobre un nodo (ASN) usa círculos (o rectángulos) para repre-sentar las actividades de un proyecto, y las flechas, para mostrar la secuencia requerida. El método ASN evita la necesidad de activida-des artificiales. Están a la venta programas de computadora de ambos métodos.

14 11 , IdOl (11'1 vklud S.7) 1101111ti com nZlII' hllMtu '111 1111111hfabrlcud (4-5). Nótese que exlst n cuatro rutas a travéa d 10111111gar (3-5) y la fabricación del generador (4-5) están en diforcnt 1111 ,1' 111 III1V1quiera de esas actividades puede retrasar la instalación del gencrudm ,

Algunas veces las relaciones precedentes son necesarias aunque no '011 11111\11 I IIlpn, 1'01 IlIplll,figura 16-4, se supone que la actividad de preparación del lugar (3-5) no pu ti 'OUI 1I:t.1I1husll (tu 1v 1111dar es notificado. Esto significaría que la actividad de selección de proveedores (2·4)d bcrlnH r I 1111111ti ••antes de que la cantidad 3-5 comience. Podemos identificar estos requerimientos por medio de UIIU •• 1I'IIvti 11artificial", dibujando una línea punteada del evento 4 al evento 3, a la cual se le asigna un tiempo ' 111.l' Iactividad artificial crea otro camino de secuencia única (1-2-4-3-5-7-8) a través de la red,

EIT la figura 16-5 ya ha sido presentado un resumen de secuencias y arreglos del diagrama de r·tI •

MÉTODO' DEL CAMINO CRÍTICO (CPM)

Los pasos para la implantación del CPM son:

1) Definir el proyecto en términos de actividades y eventos.

2) Construir un diagrama de redes mostrando las relaciones entre ellos.

3) Desarrollar una cotización puntual del tiempo de cada actividad.

4) Calcular el tiempo para cada camino en la red,

'5) Asignan recursos para garantizar el logro óptimo de los objetivos.

El camino con la secuencia de tiempo más grande calculado en el paso 4 es el camino crítico: los tiempode todas las actividades en este camino son críticas para la fecha de terminación del proyecto. La suma d 111tiempos de esas actividades es el tiempo promedio esperado del camino crítico (Ti). Otros caminos tendránexceso (u holgura) de tiempo, y la holgura asociada con cualquier camino es simplemente la diferencia enl,TE y el tiempo para el camino dado,

Ejemplo 16·2 Los tiempos estimados para terminar. el proyecto de construcción de la planta de la figura 16-4 NOIImostrados (en meses) en el siguiente diagrama de redes (figura 16-6). a) Determínese el camino critico, b) ¿Cuánto tiempode holgura está disponible en el camino que contiene la preparación del manual de operaciones?

. 1('1") .3

, lFi~ura 16-6

Véase la tabla 16-2

a) El camino B es critico: con un tiempo de 44 meses.

Tabla 16-2

Camino Tiempos

A: 1-2-3-5-7-8 12+ 8+ 12+4+6= 42B: 1-2-4-5-7-8 12+4+ 18+4+6= 44C: 1-2-4-(r7-8 12+4+5+9+6 =36D: 1-2-6--7-8 12+3+9+6 I =30

b) La preparación del manual esta en el camino C:

Holgura = camino critico B - camino C= 44-36 = 8 meses

La holgura en el camino C sugiere que, si lo demás continúa igual, la escritura del manual (actividad 4-6) puederealizarse ocho meses antes sin afectar la fecha final programada para el proyecto.

TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADES MÁs PRÓXIMAS y MÁs, TARDÍAS

En la administración de las actividades de un proyecto, es útil conocer qué tan temprano o tarde puede sercomenzada o terminada una actividad sin afectar la fecha de terminación del proyecto total. Son usadoscuatro símbolos para indicar los tiempos próximos y tardíos de las actividades.

1) ES: el tiempo más próximo de inicio de una actividad. El supuesto es que todas las actividades prece-dentes comenzaron en su tiempo próximo de inicio.

2) EF: tiempo más próximo de terminación de una actividad. El supuesto es que la actividad comienzaen su ES y consume su tiempo esperado, t. Por tanto, EF = ES + t.

3) LF: tiempo más tardío de terminación de la actividad sin retrasar el proyecto. El supuesto es que lasactividades sucesivas consumirán su tiempo esperado.

4) LS: tiempo más tardío de inicio de una actividad sin retrasar el proyecto. LS = LF - t.

ES y EF son calculados en secuencia de izquierda a derecha (algunas veces denominado hacia adelante).El ES de una actividad es la suma de los tiempos de todas las actividades precedentes en ese camino.·Dondeconvergen dos caminos en un nodo, domina el camino con tiempo más largo.

Los tiempo tardíos son calculados a la inversa, comenzando con el tiempo crítico o final TE y restandocada actividad precedente de la actividad particular. Si dos o más caminos convergen en un punto en la ruta,domina el valor obtenido del camino con menos tiempo total, debido a que ese camino tiene la menor hol-gura.

Ejemplo 16.3 Calcúlense los tiempos próximos de inicio (ES) y tiempos tardios de inicio (LS) de las actividades en la reddel ejemplo 16.2. ¿Cuáles son los tiempos próximo y tardio para la terminación del evento 6, tal que la programación nosea retrasada?

Véase la figura 16-7. El ES (un mes) para cada actividad es mostrado a la izquierda de la cruz al comienzo de la activi-dad. La actividad 1-2comienza con cero, y los otros tiempos de las actividades son sumados. Por ejemplo, el ES para la ac-tividad 6-7 es el máximo de los tiempos acumulados hasta el evento 6. Esto es, por el camino 1-2-4-6, el tiempo es =12 + 4 + 5 = 21. Por el camino 1-2-6, el tiempo = 12 + 3 = 15. Por tanto, ES = 21 meses, debido a que domina elmayor.

Los LS para cada actividad están en el lado derecho de la cruz, comenzando con TE y trabajando hacia atrás. Esto es,el LS para la actividad 6-7 es

TE - tiempo de actividad precedente = 44 - 6 - 9 = 29

Los otros ES y LS son mostrados en la tabla 16-3,junto con los tiempos de holgura. Nótese que el ES y el LS para todas lasactividades en el camino critico son iguales. Para las actividades fuera del camino critico el LR es el ES más toda la holgura

Figura 16-7

Tabla 16-3

Actividad Tiempo ES LS EF LF Holgura

1-2 12 r O O 12 12 O2-3 8 ( 12 14 20 22 22-4 4 t 12 12 16 16 O2-6 3 ( 12 26 15 29 143-5 12( 20 22 32 34 24-5 18( 16 16 34 34 O4-6 5 16 24 21 '29 85-7 4 34 34 38 38 O6-7 9 ( 21 29 30 38 87-8 6 ( 38 38 44 44 O

que exista en el camino (lo cual parece ser una fcrma más fácil de calcularlo). La tabla también incluye los EF y LF. Éstotambién son fáciles de calcular; el EF se obtiene simplemente sumando ES al tiempo de cada actividad, y LF es el LS más eltiempo de cada actividad.

EJeollplo 16.4 Calcúlese la holgura asociada con cada actividad del ejemplo 16.3.

La holgura es mostrada en la columna de la extrema derecha en la tabla 16-3. La holgura total de una actividad es 111diferencia entre LS y ES (o entre LF y EF). Aunque asociamos una holgura con cada actividad, esto realmente está aso-ciado con el camino, debido a que una vez que una actividad usa la holgura en su camino, todas las actividades de él sevuelven críticas. Las actividades en el camino crítico siempre tendrán una holgura de cero si la fecha objetivo (o fecha pla-neada de terminación) del proyecto es la misma fecha próxima de terminación de la última actividad.

La holgura libre es la cantidad de tiempo que una actividad puede ser retrasada sin demorar el tiempomás próximo de inicio de una actividad sucesiva." ./

Ejemplo 16.5 Determínese la holgura libre asociada con las actividades 2-6 y 4-6 en el ejemplo 16.2

El ES de la actividad sucesiva (6-7) es 21 meses, por lo que la fecha de inicio para la actividad 2-6 pueda ser retrasada 6meses (hasta el mes 18) sin afectar el ES de la actividad 6-7. Sin embargo, si la actividad 4-6 es retrasada con cualquier tiem-po, se retrasará el ES de la actividad 6-7. Esto es, la actividad 2-6 tiene 6 meses de holgura libre, y la actividad 4-6 tiene cerode holgura libre. Sin embargo, ambas actividades tienen cierta holgura .total debido a que ninguna está en el caminocrítico.

.11 1.1 ulc: Y del camino dan a los planeadores del proyecto una base para manejar los1•• 111 " l' 11 • 1" 1 11 1" ,,"1 I vos del proyecto más eficientemente. Por ejemplo, asignando más recursos a lasu rlv 111111. tll 1'11111 "" 'Jltlco se puede reducir el tiempo total del proyecto.

Jemplo 1.6 t.u empresa del ejemplo 16.2 ha determinado que asignando tres ingenieros a la escritura del manual (acti-vidad 4-6) pura ayudar en la manufactura (actividad 4-5), la actividad 4-5 puede ser reducida en 15 meses, mientras que laactividad 4-6 se incrementará en 10 meses. ¿Cuál será el efecto neto en la programación?

El camino A permanece igual, con 42 meses

Camino B = 12 + 4 + 15 + 4 + 6 = 41 mesesCamino C = 12 + 4 + 10 + 9 + 6 = 41 mesesCamino D = permanece igual, con 30 meses

El camino A se vuelve crítico, y el nuevo tiempo de terminación será de 42 meses, con un ahorro de 2 meses sobre el tiempoinicial.

PERTEl PERT, como el CPM, es también una herramienta de planeación y control orientada al tiempo. Sin

embargo, el análisis de PERT proporciona una medida central del tiempo de terminación de un proyecto, asícomo una medida de dispersión (desviación estándar). Dada una media y una desviación están dar de la distri-bución del tiempo de terminación de un proyecto, pueden ser calculadas fácilmente las probabilidades de ter-minar en menos o más tiempo que la media. Existen otras diferencias entre el CPM y el PERT, tales como elhincapié del CPM en el costo, pero la diferencia básica es la incorporación de probabilidades en la red.

El PERT incorpora la incertidumbre (y probabilidad) incluyendo tres tiempos estimados para cada activi-dad en lugar de uno solo. Estos estimados son conocidos como

a: tiempo optimista. Este es el mejor tiempo esperado si todo ocurre muy bien, y puede lograr se sóloaproximadamente lOJo de las veces.

b: tiempo más probable. Esta es la mejor estimación, o estimación conservadora.

c: tiempo pesimista. Este es el peor. tiempo que puede ser esperado SI todo ocurre mal, y puede ocurrir só-lo 10J0 del tiempo.

El tiempo promedio esperado (tJ y la varianza (a2) de cada actividad es determinada por:t = a +4m + b< 6 (16.1)

(16.2)

donde a = estimación optimista

m = estimación más probable

b = estimación pesimista

Los tiempos de cada actividad son entonces sumados sobre sus respectivos caminos, y el camino co I eltiempo más largo es el crítico. Las varianzas de los tiempos de las actividades componentes pueden sumarsejunto con el camino crítico. La distribución de tiempo final es aproximadamente normal con tiempo de termi-nación TE y desviación estándar a

(16.3)

a= ~La~

donde a~ es la varianza de una actividad en el camino crítico.

(16A)

Probabilidad de/ exceder tiempo T.

Figura 16-8 Distribución final de tiempo

Tiempos

Actividad estimados

Descripción Número a m b

Diseñar la planta 1-2 10 12 16

Seleccionar el lugar 2-3 2 8 36

Seleccionar a los proveedores 2-4 1 4 5

Seleccionar al personal 2,,(, 2 3 4Preparar el lugar 3--5 8 12 20Fabricar elgenerador 4--5 15 18 30

Preparar el material 4--6 3 5 8

Instalar el generador 5--7 2 4 8

Adiestrar a los operadores &-7 6 9 12Licencia de la planta 7-8 4 6 14

"-"t \ 1 u2

) e~ara+4m +b6

12.33 1.00

11.67 32.113.67 .44

3.00 .1112.67 4.00

19.50 6.255.17 .694.33 1.00

9.00 1.00

7.00 2.78

Dada la media y la desviación estándar de la distribución final, las probabilidades de los di!" r uu ~ 11111

pos de terminación pueden ser calculados usando la distribución normal. Por ejemplo, para d t '1111 1111 1probabilidad de que un proyecto exceda de tiempo T; en la figura 16-8, podemos calcular

Z> Tx- TEa

entonces encontramos la probabilidad asociada con ese valor de Z de los valores de la distribución nuuu 11el Apéndice B (o con una calculadora) y lo restamos de 0.5000. El resultado está representado POI 1 11

sombreada bajo la curva en la figura 16-8.

Ejemplo 16.7 Los planeadores de proyecto han empleado el juicio de varios reconocidos ingenieros, capataces y plllV

dores y han desarrollado las estimaciones de tiempo mostradas en la tabla 16-4 para el proyecto de construcclón rl tplanta mostrada en la figura 16-4. a) Determínese el camino crítico. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto NI'"I Iminado dentro del cuarto año? e) ¿Cuál es la probabilidad de que tome más de 55 meses?r.

. Tabla 16-4 Tabla 16.::.5t.-

Tabla 16-6

Camino Tiempos

A 1-2-3--5--7-8 12.33 + 11.67 + 12.67 + 4.33 + 7.00 = 48.00*

B: 1-2-4-5--7-8 12.33+ 3.67 + 19.50 + 4.33 + 7.00 = 46.83c: 1-2-4-&-7-8 12.33+ 3.67+ 5.17 + 9.00 + 7.00 = 37.17D: 1-2"(",,,7-8 12.33+ 3.00+ 9.00+7.00 = 31.33

*Camino critico.

1.. ,1001 ,1, 1"" ,111 111 .renres actividades han sido calculados como se muestra en la tabla 16-5. Los valores.1" •• " 11111 11101.. 11101 1 Il\1I111 en la figura 16-9. El camino crítico, determinado en la tabla 16-6, es ahora A y ha si-du l' 1111 \'11111111111111 1I11U IInea más gruesa en la figura.

TE TI( 1, ••

148) '55) /'

Figura 16-9 Diagrama que muestra el camino crítico y la distribución final de tiempo

b) La 'mejor estimación del tiempo de terminación es TE = 48.0 meses, por lo que existe 50010de probabilidades de que elproyecto sea terminado dentro de un periodo de 4 años.

e) Para determinar cualquier otra probabilidad de terminación, debemos calcular la desviación estándar de la distribu-ción de los tiempos de terminación junto con el camino crttico.

u = ~ L u~p = V 1.00 + 32.11 + 4.00 + 1.00 + 2.78 = 6.4 meses

Z = T. - TE = 55.0 - 48.0 1.09u 6.4

P(X> T.) = 0.5000 - 0.3621 = 0.1379

Por tanto, la probabilídad w 0.14

Ejemplo 16.8 Aunque el problema del CPM (ejemplo 16.2) y el problema de PERT (ejemplo 16.7) tienen los mismostiempos medios para cada actividad, sus caminos críticos difieren. Explíquese por qué.

Los caminos críticos difieren debido a que el PERT incorpora una medida de incertidumbre, no así el CPM. Porejemplo, la actividad de seleccionar el lugar (2-3) tiene un tiempo más probable de ocho meses, pero un tiempo pesimistade 36 meses, resultando en te = 11.67 meses, en contraste con los ocho meses usados en los cálculos del CPM.

SIMULACIÓN PERT

La simulación PERT (PERT-SIM) es una extensión del PERT básico, y toma en cuenta también los cami-nos críticos en una red. Una distribución de probabilidades puede ser usada (en una computadora) para cadaactividad. Véase la figura 16.10. Son usados numerosos aleatorios para obtener un tiempo muestral por cada ac-tividad; los tiempos resultantes ocurren en proporción a las probabilidades expresadas en sus respectivas dis-tribuciones. Después, cientos de intentos son corridos en la computadora y se desarrolla una distribución si-mulada de tiempos de terminación. El resultado refleja la probabilidad de diferentes tiempos de terminación(diferentes caminos críticos). La computadora puede mostrar también un índice crítico del porcentaje detiempo que cada actividad permanece en el camino crítico.

5 6

8Tiempo (dlas)

·0Tiempo (dlas)

·0Días Probabilidad Días Probabilidad

3 0.10 4 0.304 0.60 5 0.305 0.20 6 0.206 0.10 7 0.20

"O

'"~z'"Doa:

0.60

0.20

0.30

"O

'":Ez'"Deo..

Figura 16-10 Distribuciones para tiempos de actividad simulados

ACORTAMIENTO: BENEFICIOS TIEMPO/COSTOS

Una extensión del CPM y el PERT se refiere al acortamiento de un proyecto enfocando la atención a 111

relación entre los objetivos de tiempo y costo. La estimación normal del tiempo requerido para cada actividad(y su costo asociado) ya ha sido discutida. El tiempo acortado estimado es el menor que puede lograrse si lodo el esfuerzo (con un costo aceptable) fuera hecho para reducir el tiempo de la actividad. El uso de más trubajadores, mejor equipo, tiempo extra, etcétera, puede generar mayores costos directos para cada actividad,como se muestra en la figura 16-11. Sin embargo, la reducción del tiempo total del proyecto puede también r .ducir ciertos costos fijos y gastos indirectos de supervisión, así como costos indirectos que varían con la duración del proyecto.

860o~o(;Q)

~40C.

Tiempode

a;"O

<1)o(; 20~'O

<1)ou;8 O~----~10~----~2O~----30~-----40~--------

Tiemponormal

Tiempo del proyecto en semanas

Figura 16-11 Tiempo y costo de acortamiento

Los modelos de tiempo-costo buscan la reducción óptima del tiempo. 'Se busca acortar la duración del proyec-to en un punto donde los ahorros en costos indirectos se compensen con el incremento en los gastos directosincurridos en cada actividad.

Ejemplo 16.9 Una red tiene cuatro actividades con los tiempos esperados que se muestran en la figura 16-12. Los tiem-pos mínimos factibles y el costo por día para obtener reducciones en los tiempos de las actividades son mostrados en latabla 16-7. Si los costos fijos del proyecto son de $90 por día, ¿cuál es el menor costo del tiempo programado?

Tabla 16-7

Tiempo Costos directos deActividad mínimo reducción de tiempo ($)

1-2 2 40 (cada día)

1-3 2 35 (primer día), 80 (segundo día)2-4 4 Ninguno posible3-4 3 45 (primer día), 110 (otros días)

t;) el 1 Fígura 16-12

Primero debemos determinar el camino critico (*) yel costo del tiempo del camino critico (tabla 16-8).

Tabla 16-8

Tiempos de Costo total del proyectolos caminos

Camino A 5+4=9Camino B 4+6= lO" 10 días, x $9O/día = $900

En seguida, debemos seleccionar la actividad que puede reducir el tiempo del camino critico al menor costo. Selec-ciónese la actividad 1-3 a $35 por día, costo menor que el de $90 por día. Redúzcase la actividad 1-3 a 3 días, como semuestra en: la figura 16-13. Revísese el costo del tiempo del camino critico (tabla 16-9).

Figura 16-13

Tabla 16-9

Fi2ura 16-14

Tiempos revisados de Costo fijo total Ahorros sobre programaciones anterioreslos caminos

A: 5+4=9 9 x $90= $810 $900 - ($810 + $35) = $55

B: 3+6=9

Ambos caminos son ahora críticos, por lo que debemos seleccionar una actividad en cada camino. Selecciónese la ac-tividad 1-2 a $40 por día y 3-4 a $45 por día, donde $40 + $45 es menor que $90. Redúzcase la actividad 1-2 a 4 días y 3-4 a5 días, como se muestra en la figura 16-14. Revísese el tiempo y costo del camino critico (tabla 16-10).

Tabla 16-10

Tiempos revisados de Costo fijo total Ahorros sobre programaciones anteriorescaminos

A: 4+4=8 s x $90= $720 $810 - ($720 + $40 + $45) = $5

B: 3+5=8

De nuevo debemos reducir el tiempo de ambos caminos. La actividad 1-2 c. UII bu 11clInd dulo 11 \1 "'" 1111 1'"11111

continúa en 4 días y puede hacerse en 3 con un costo de $40. Pero cuando este costo es combinado C()U 1I1 ~KU l' 1 1

cir la actividad 1-3 en otro día, la suma es mayor que $90, por lo que la reducción no está económicameut J" 11111111

menor costo programado es el que se muestra en la tabla 16-10.

El paso final en el análisis de tiempo-costo es comparar los tiempos acortados y los costos asociados WII

ellos (costos de reducción). Un número suficiente de programaciones intermedias es calculado de modo que Itotal de los costos directos o indirectos (fijos) del proyecto puede ser graficado.

Tabla 16-11

Ejemplo 16.10 Grafiquense los costos totales relevantes del ejemplo anterior, e indíquese el valor óptimo de la relacióntiempo-costo.

Véase la tabla 16-11 y la figura 16-15.

Duracióndel proyecto Costos Actividad Costo Costo

(días) indirectos reducida directo relevante total relevante

10 $900 Ninguna. <s O $900

9 810 1-3 $ 0+ $ 35 = 35 8458 720 1-2 Y 3-4 35+ 85= 120 8407 630 1-2 y 1-3 120+ 120= 240 8706 540 1-2 y 3-4 240+ 150= 390 930

6 7 8 9 10

92 O

\ /r-, VÓptimo

v

~ 880o~o

840

O

Duración del proyecto (dlas)

F1g.16-15

La figura 16-15 es el diagrama de acortamiento de tiempo para terminar el proyecto en un lapso de 6 a 10 días. El menor.costo total está en terminar el proyecto en 8 días con un costo de $840. Sin embargo, extenderse a 9 días añade solamente ••$5 a este costo.

Problemas Resueltos

I"UNDAMENTOS DE REDES

16.1 Formúlese el ejemplo 16.1 (figura 16-16) como un problema de programación lineal.

Campo petrolerodeWyoming

Centro de

distribución

. Fil:ura 16-16

Para formular la figura 16-16 como un problema de programación lineal, debemos establecer una función ob-jetivo para reducir el costo de varios lazos, sujetos a origen, destino, conservación del flujo y restricciones de nonegatividad. Si XAB representa la inclusión de un lazo entre A y B tenemos una función objetivo.

Mín Z = 2XAB+4XBE+3XEF+XAC+5XCE+7Xa+6XAD+5XDF

Restricciones: Úsese formulación cero-uno, donde Xii es cualquier lazo.

Sea X; = { I si el lazo es parte del camino de menor costov O si el lazo no es parte del camino de menor costo

Esto es, si el camino A-B-E-F es el de menor costo, entonces

XAB= XBE= XEF= 1 y XAC= XCE= Xa= XAD= XDF= O

Nota: Una formulación cero-uno significa que para una ruta dada, la función objetivo tendrá unos (l) para las va-riables que representen los lazos en ese camino y ceros (O) para otros lazos.

La restricción de origen establece que la solución está restringida a exactamente un camino partiendo del ori-gen.

XAB+XAC+XAD= 1

La restricción de destino establece que la solución está restringida a exactamente un camino llegando al des-tino.

XEF+ Xa+ XDF= 1

Las restricciones de conservación del flujo establecen que los flujos que entran a un nodo son iguales a aquellosque lo dejan

Para B: XAB = XBCfor C: XAC = XCE + XCF

Para D: XAD = XDF

Para E: XBE + XCE = XEF

Las restricciones de no negatividad son como sigue:

La solución (por computadora) es usar el camino A-C-F.

CPMy PERT

16.2 Una pequeña empresa manufacturera ha desarrollado la siguiente lista de actividad (11Ihlll (ti 1 '11

sarias para realizar un contrato para una nueva planta. Dibújese el diagrama de r 'deN 1111101'11110

Tabla 16-12

Tiempo de actividad en sernaunsActividad

Descripción de la actividad precedente Optimista Más probable Pcshlll,~1 I

r A-B Estudio de factibilidad Ninguna 4 6 10

~ B-e Adquisición del lugar A-B 2 8 24B-D Preparación de planes , A-B 10 12 16

\ B-F Estrategia de mercadotecnia A-B 4 5 10e-D Prueba de suelos B·e 1 2 3D-E Aprobaciones legales CD y B·D 6 8 30D-F Solicitud de préstamo C-D y B-D 2 3 4E-F Aprobación de evidencia D-E O O O

.'

E-O Obtención del contrato D-E 6' 6 6F-O Aseguramiento del financiamiento D-F y B·F 2 6 12O-H Programación de contratistas B.O y F-O 2 2 3

Figura 16-17

Veáse la figura 16-17. Nótese que la actividad E-F (aprobación de la evidencia legal) no consume tiempo y esuna actividad artificial.

16.3 Calcúlese-el tiempo esperado de actividad (te) y la varianza de actividad «(72) para las actividades A-B yB-Cdel problema 16.2.

A-B: t __a + 4m + B __4+ 4(6) + 10•• 6 6- 6.33 semanas

0'2 = (b ~ a)' = CO; 4)' = (~)' = 1..00semanas

a + 4m + b 2+ 4(8)+ 24 9 67te= 6 = 6 =. semanas

0'2 = (b ~ a)' = (24; 2)' = (262),= 13.44 semanas

B-e:

111••1" 1" 11110 11111 11 Idos en la tabla 16-13 para un PERT,

11) Dibújese I diagrama de la red y encuéntrese el camino crítico.

b) ¿Cuáles son los parámetros de la distribución final de tiempo?

e) ¿Cuál es la actividad con la estimación de tiempo más precisa?

d) Determínense los tiempos más próximos de inicio, más tardíos de inicio y holgura para todos loseventos en el sistema.

e) Cada día que el proyecto pueda ser acortado vale $5000. ¿Debe la empresa pagar $12 500 para re-ducir la actividad 3-5 a dos días?

a) Véase la tabla 16-14 y 16-15, Y la figura 16-18.

Tabla 16-13

Tiempo de actividadEvento

precedente Evento (;>. m , b).-._2 5 , 6 13

1 3 2 7 122 4 1.5 2 2.52 5 1 3 53 5 4 5 63 6 1 1 14 7 2 3 105 7 4 5 66 7 3 5 7

Tabla 16-15

Camino Tiempos

A: 1-2-4--7 7+2+4= 13B: 1-2-5-7 7 + 3+ 5 = 15C: l-J.-5-7 7 + 5 + 5 = 17"D: 1-3-6--7 7+1+5=13

• Camino crítico

b)

\ Tabla 16-14

Actividad

.1.-2.1-32-4

2-5_ J.-5

J.-6

4-75-76-7

Figura 16-18

/]z:6,-z

e) El tiempo más preciso es para la actividad 3-6, con una varianza de cero.

d) Los tiempos ES y LS para las actividades en el camino crítico (camino C) son iguales y son simplemente los to-tales acumulados en los tiempos de las actividades. Son los valores dominantes, por lo que son máximos entérminos de calcular ES (hacia adelante) y mínimos en términos de calcular LS (en dirección inversa). Véase lafigura 16-19. Los valores para todas las actividades en la red son mostrados en la tabla 16-16.

Figura 16-19

Tabla 16-16

-'1 0_J' l'- :¡L l'\<')

.-1 12f::r)(: , ~ '-8) G)I::?p-. >

v .ti('1:-

i '1 < f

» + ,')

-)

Actividad Tiempo ES LS Holgura

1-2 7 I-íg) 2 2

1-3 7 O. O O2-4 2 7 11 4

- 3 7 9 2

3-5 5 7 7 O3- 1 7 11 4

4-7 4. ~ 13 4

5-7 5 12 12 O6-7 5 8 12 4

Por el camino A = 17 - 4 - 2 - 7 = 4

Por el camino B = 17 - 5 - 3 - 7 = 2

Por ejemplo, el ES para la actividad 5-7 es el máximo de

Por el camino B = 7 + 3 = 10

Por el camino e = 7 + 5 = 12

Esto es, ES = día 12.Por ejemplo, el LS para la actividad 1-2 es el mínimo de

Esto es, LS =día 2.

e) La actividad 3-5 está en el camino critico, y la reducción de 5 a 2 días puede dísminuir el tiempo del camino e 817 - 3 = 14 días. Sin embargo, el camino B se vuelve critico con 15 días, por lo que la reducción neta debe ser2 días a $5000 por día = $10 000 de ahorro contra los $12 500 de costo. La empresa no debe pagar los $12 500.

16.5 Worldwide Constructors, Inc. usa técnicas de PERT y valor esperado para preparar contratos y admi-nistrar trabajos de construcción; el precio de contado es fijado dando 30OJo de utilidad bruta sobre loscostos esperados. En el cálculo del PERT para un trabajo de construcción de un puente fue encontra-do un TE igual a 60 días, y la varianza total del camino crítico fue (T~ = 36. Véase la figura 16-20. Losgastos totales para el proyecto son calculados en $335 000, pero si el puente no está terminado en 70días, se tiene una multa de $50 000. Determínese el precio apropiado del contrato.

Figura 16-20

Precio del contrato = costos esperados + multa + utilidad

donde los costos esperados = $335 000.

multa = (cantidad de la multa)(probabilidad de tener que pagarla)

z = Tx - TE = 70 - 60 = 1 67u 6 .

peZ) = 0.4525

P(X> Tx) = 0.5000 - 0.4525 = 0.0475

Multa = ($50 000)(0.0475) = $2375

Utilidad = 0.30($335 000 + $2375) = $101 212

Precio del contrato = $335000 + $2375 + $101212 = $438587

16.6 Una empresa eléctrica ha desarrollado un PERT para la actividad de cableado de los paneles de controlde una planta eléctrica. Se espera que las operaciones de ensamble seguirán una curva de aprendizaje de900/0. El equipo del proyecto, compuesto por trabajadores, electricistas y supervisores, piensa que el pri-mer ensamble estará terminado probablemente en 14 días, pero puede prolongarse hasta 24 días, y si to-do sale excepcionalmente bien, podrá terminarse en 10 días. ¿Cuál es el tiempo esperado de ensamble dela cuarta unidad?

a+4m+b 10+4(14)+24=15t. = 6 6

070 base cuarta unidad = :!= 400%1

Entonces, con base en el apéndice H tenemos

YN = YB(L) = 15(0.81) = 12.15 días

ACORTAMIENTO: BENEFICIOS TIEMPO/COSTOS

16.7 El diagrama de redes mostrado en la figura 16-21 tiene los tiempos y costos directos mostrados en latabla 16-17. Los beneficios tiempo/ costos son cantidades acumuladas; esto es, se puede reducir la acti-vidad 1-2 en 2 semanas, para un total de $16 000 - $12 000 = $4000, o $2000 por semana.

V ( ~"-\I (1 '-.(r 1

6

I r

/

J..)

Figura 16·21

Tabla 16-17

Tiempo Costo Tiempo Costo deActividad normal normal reducido acortamiento

1-2 8 $12000 . 6 $13 6001·3 10 6000 7 105002-4 6 8000 4 10 0002-3 3 14000 2 170003-4 5 7000 2 9700

$47000

a) Calcúlense los costos directos totales para terminar -IIHOY \ , •• 11 11•. 1 • 11. 1 l. l" 11 11

b) Los costos indirectos del proyecto son mostrados en la tabla 16·1H. <. hui lJ IIl111 I 1.. ." ,,, 1 ,,'

del proyecto (directos e indirectos), y determínese el tiempo de terminación lIl' 1111 11'"

Tabla 16-18

Duración del proyecto 16 15 14 13 1(semanas)Costos indirectos 23000 19100 17200 14400 13(dólares)

a) Por conveniencia, establézcase una tabla (tabla 16-19)para mostar el costo incremental de reduch ~'1II111111 ti ,dad, la máxima reducción posible, y en la columna del extremo derecho un conteo de las reduccloue 11 lid I

Tabla 16-19

Normal Acortado Reduc 1(¡1ICosto

incrementalActividad Tiempo Costo Tiempo Costo de reducción Máximo Usudll

1-2 8 $12000 6 $13 600 $ 800/ semanas 2 ././1-3 10 6000 7 10500 1 500/ semanas 3 ./

2-4 6 8000 4 10000 1 000/ semanas 2 ./2-3 3 14000 2 17000 3 000/ semanas 13-4 5 7000 2 9700 900/ semanas 3 .///

En seguida, calcúlese los tiempos para cada camino (A = 14, B = 16, C = 15) e identifíquese el caminocrítico (mostrado con lineas punteadas en la figura 16-22); comenzar el análisis tiempo-costo reduciendo (,1tiempo para la actividad en el camino crítico (o caminos) que tenga el menor costo total de todos los costoincrementales (v.g., actividad 1-2). Hágase un nuevo diagrama y calcúlese una revisión de los costos para cadureducción de tiempo.

"-/

a) Tiempo normal: 16SemanasCosto normal: $47000

d)Tiempo: 13 Semanas:Reducción: 3-4@ $900

Costo nuevo: $49600

b) Tiempo: 15 Semanas:Reducción: 1-2@ $800

Costo nuevo: $478006

e) Tiempo: 12 Semanas:Reducción: 1-2 @$800

3-4@S900Costo nuevo: $51300

e) Tiempo: 14 Semanas:Reducción: 3-4 @$900

Costo nuevo:$48 7006 5

t) Tiempo: 11 Semanas:Reducción: 2-4@ SI 000

1-3 $1500Costo nuevo: $53800

Figura 16-22 Tiempos y costos de acortamiento

11 "1, 1', 'O Y In 1I uru 16-23

Tabla 16-20

1111111111 ( 11111111' ) 11 12 13 14 15 16

t 'O~IOS directos $53800 $51300 $49600 $48 700 $47800 $47000, SlOS indirectos 13200 13700 14400 17200 19100 23000OSlOS totales $67000 $65000 $64000 $65900 $66 900 $70000

$72000

~ 68000iiiBs., 64000oo

60000

Semanas

Figura 16-23

El tiempo con menos costo de terminación del proyecto es 13 semanas.

ASIGNACIÓN DE RECURSOS LIMITADOS (MATERIAL COMPLEMENTARIO)

16.8 La siguiente gráfica de programación de tiempo (parte superior de la figura 16-24) presenta un proyec-to con tiempos de actividades (a hacia g) como se muestra en el eje horizontal y un camino crítico (a, b,e, g) de 7 días. Los números sobre las actividades representan requerimientos de personal. Desarrólleseun balance mejorado de personal.

Las líneas punteadas representan tiempo de holgura y zonas de relocalización potencial en los respectivos ca-minos. Localícense los requerimientos de recursos máximo y mínimo. y trátese de cambiar las actividades en posi-ciones de holgura para suavizar la demanda. La solución es mostrada en la mitad inferior de la figura 16-24 con lared revisada y el balance de personal como se muestra. La solución consiste simplemente en cambiar las actividadese y f. las cuales reducen el nivel de requerimientos de personal de 20 - 6 = 14 a 16 - 12 = 4.

GRÁFICA DE TIEMPO PROGRAMADO GRÁFICA DE PERSONAL24

20o'O"¡¡¡ 16::>C"

e 12iii5 Be?'"<l. 4

o B oOlas Olas

FiKura 16-24

GRÁFICA DE TIEMPO PROGRAMADO REVISADO GRÁFICA DE PERSONAl MI JOf'AII.

24

o 20:!!;¡;

16::JC"~ 12(ijc:o 8e<DQ.

4

o 2 3 4 5Oras

8

Dras

FiRura 16-24 (continuación)

Problemas Suplementarios

n transformador grande se transporta de una fábrica (A) a un destino (H). Las rutas alternativas y costos aso-ciados ($) se presentan en la" figura 16-25. ¿Cuál es la ruta de costo mínino?Respuesta A-D-E-G-H para un costo de $570.

16.10 En el problema 16-9 supóngase que los valores en el diagrama de redes (figura 16-25) representan los tiempos de lasactividades (dias) para terminar el proyecto. ¿Cuál será el camíno crítico? Respuesta A-C-E-F-H para 1100 dias.

(

11 11 1110 1 11111'1 111 111\1[1 uu nroyecr de e 11 1111' '1,"\1 11111111 111 , 1 \l1I'IVIIIl d 1111 1111 ,11111 pl 11 ti

IJII 1 Iltll .1'"1" 111 1 I viciad de vaciado del concreto de 30 dlll~ fue optlrulstu. IJI ,l~tl' '1111 de runuul d, IIdl,hui ,1 1 I"IIVI.III, \ luld t das las posibles demoras y de trabajo, dice (pesirnistarnenie) que p dd 1 11 v u h I 1 I

1HO"111 Al'llIu e mcuerdan en que el tiempo más probable es 45 días. Calcúlese a) el tiempo e pcrado l. d 11 \1 '11vldtld y b) ItI vurlanza de la actividad 0'2. Respuesta a) 65 días b) 625.

1(•• 12 El tiempode terminación esperado del PERT de un proyecto es TE- = 15 días y O'~ = 4 días. ¿Cuál es la probabili-dad de que el proyecto tome 18 o más días para ser terminado?, Respuesta 0.07

l l6.13 Un PERT tiene los tiempos esperados (lJ en días que se muestran en la figura 16-26. Los tiempos estimados para laactividad 6-7 son a = 1, m = 4, Y b = 7. Para la red ¿cuál es a) el tiempo de terminación esperado TE? b) ¿la des-viación estándar del tiempo de terminación O'cp? e) ¿la probabilidad de que el proyecto requiera más de 20.5 díaspara ser terminado? Respuesta. a) 18 días b) 3 e) 0.20. . \

Flgura 16-26

Iproyecto de construcción de una estación transmisora de microondas ha sido planeado poi PERT con los datosmostrados en la tabla 16-21, dados en días.

Tabla 16-21

Actividad a m b"?'C'

1-2 2 3 101-3 8 1~ 201-4 , 10 14 162-5 \ 6 10 123-5 14 20 263-7 3 5 74-6 8 12 205-7 1 1 1

,6:8 6 10 127-8 1 3 7

a) Constrúyase un diagrama mostrando el tiempo medio esperado para cada actividad. b) ¿Cuál es el caminocrítico? e) ¿Cuál es el tiempo esperado de terminación TE? d} ¿Qué holgura existe en el camino que contiene elevento 2? e) ¿Cuál es el día más lejano en que puede terminarse el evento 2 sin retrasar el proyecto? f) EncuéntreseO'cp. g) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tome más de 41 días para terminarse?

Respuesta a) El diagrama debe mostrar las actividades como flechas y los eventos como círculos, comenzandocon el evento 1 y terminando con e18. b) 1-3-5-7-8 e) ";17días d) 19 días e) día 23f) 3 días g) 0.0918.,

\,

16.15 Dados los datos del problema anterior, su póngase que por cada dla de mejora en In PIOKIIIIIlIII 11111 ti 1" I 11I11t1

ción del proyecto resulta un ahorro de $3000 (o bonificaciones). Por un costo de $2000 ItI cm!>1 11 1111 ti h "1 11/1/,

de las siguientes cosas: a) reducir el te de la actividad 3-7 en 3 dias; b) reducir el te de la aCIivldud I I (111 1 di ." I

reducir el te de las actividades 3-5, 6-8 en 1 día cada una. Evalúense las alternativas e indiques \:11111. 1111 hnv,preferible. Respuesta e) para $4000 de ahorro.

16.16 Una compañía constructora tiene un contrato para hacer un depósito de agua que debe terminarse d 111111 ti 11días (TL = 34), o la compañia pagará una multa de $2000. Si el proyecto es terminado dentro de 2M dlu • 11

compañía ganará un premio de $1000. Los gastos asociados con el proyecto son estimados en $ () (KM), I 11

compañia ha desarrollado un PERT del proyecto y ha determinado que TE = 31 días. Las varianzas estlnuul» 111

las cinco actividades en el camino crítico son 1.3, 2.2, 2.1, 0.9 Y2.5 días, respectivamente. a) ¿Cuál es la prohuhl]]dad de obtener el premio (aproximando a dos dígitos)? b) Suponiendo que la compañía desea ajustar el pre '1" d 1contrato para considerar el premio o multa esperados y al tener sólo una utilidad esperada de $5000, ¿qué 111 d••debe fijar al contrato?Respuesta a) 0.1587 b) $35 160.

16.17 Es usado un PERT para estimar el tiempo de armado para un nuevo componente que será producido postcrk»mente. La producción se espera que siga una curva de aprendizaje de 70070. Los tiempos optimistas, más probably pesimista para ,eí\ primer ensamble son estimados en 2, 4 y 12 horas, respectivamente. ¿Cuál es el tiempo esperadode ensamble para la cuarta unidad? Respuesta 2.45 horas.

16.18 El tiempo más próximo de inicio (ES) y el tiempo más tardío de inicio (LS) para la actividad 6-7 de un diagrama dredes son mostrados en la figura 16-27. Determínense los valores apropiados de todas las demás actividades en Inred, y muéstreseles de manera similar.

o

•..

Tabla 16-22

Figura 16-27

Respuesta La gráfica debe mostrar los tiempos encontrados en la tabla 16-22.

Actividad 1-2 2-3 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8

ES O 12 12 12 20 16 16 34 21 38

LS O 14 12 26 22 16 24 34 29 38

, osto del PERT. Una red tiene los tiempos (en semanas) y costos directos (en dólares) que se muestran en la figura16-28 y la tabla 16-23. Los costos de acortamiento son totales acumulados; la cantidad incrernental.sobre los costosnormales puede ser distribuida igualmente entre los intervalos de tiempo. a) Calcúlense los costos totales directosde terminar el proyecto en 9, lO, 11, 12 o 13 semanas. b) Los costos indirectos del proyecto son mostrados en latabla 16-24. Grafiquense los costos totales del proyecto (directos eindirectos) y determínese el tiempo de conclu-sión de menor costo.

3

o 8

Semanas

Figura 16-28 Figura 16-29

Tabla 16-23

Tiempo Costo Tiempo Costo deacorta-

Actividad normal normal reducido miento

1-2 2 $ 500 1 $ 8001-4 .s 900 3 1300

1-3 4 800 3 10002-4 1 400 1 400

3-4 3 1200 2 18004-5 6 700 4 9003-5 8 600 4 1200

$5100

Tabla 16-24

Duración del proyecto 9 10 11 12 13

Costos indirectos $6000 $6150 $6200 $6500 $7100

Respuesta a) Los costos directos para la terminación del proyecto son mostrados en la tabla 16-25. b) El tiempode terminación de menor costo es 11 semanas, a un costo de $54 000 directo + $6200 indirecto = $1 l, 600total.

Tabla 16-25 ~.Duración del proyecto 9 10 11 12 13

Costos directos $6400 $5650 $5400 $5200 $5100

16.20 Asignación de recursos limitados. Un astillero del gobierno ha recibido pedidos para proceder a la construcción deun barco y está usando CPM. Ha desarrollado una gráfica de programación de tiempo (figura 16-29) para mostrarlos requerimientos de empleados para una fase del proyecto. Los números sobre las actividades indican el númerode operarios requerido para la actividad respectiva. Desarróllese un balance de personal que minimice el índice deoperarios requerido.Respuesta Úsense 14 operarios durante los periodos 1 y 2, 10 durante 3, 13 durante 4, 11 durante 5 y 6, y 13 du-

rante 7 y 8; por lo que el nivel es 14 - 10 = 4.