Geometria / GP 5. Projectivitats © S. Xambó

Definició de projectivitat Algunes propietats bàsiques Teorema fonamental de les projectivitats Representació d’una projectivitat en coordenades Exemple: involucions de Extensió projectiva d’una afinitat Caracterització del grup afí com a subgrup del grup projectiu Expressió de l’homografia en coordenades Punts fixos per una homografia Exemple: homologies Projeccions Perspectivitats Projectivitats de Poncelet Teorema del quadrangle complet Construcció geomètrica del quart harmònic

2

Definició de projectivitat

Siguin i dos espais projectius.

Donada una aplicació lineal injectiva : , posarem : per denotar l’aplicació tal que .

Està ben definida, ja que per a tot 0 . 0 .

Direm que una aplicació : és una projectivitat si existeix un iso‐morfisme lineal : tal que .

Les projectivitats d’un espai projectiu en ell mateix s’anomenen homo‐grafies de .

Una projectivitat transforma varietats lineals en varietats lineals de la mateixa dimensió: per a tot subespai de .

Si : és una projectivitat i i són varietats lineals de , , .

3

Algunes propietats bàsiques

La composició de projectivitats és una projectivitat. De fet, si , i són espais vectorials i : i : són aplicacions lineals

injectives, llavors . Si : és un isomorfisme lineal, és bijectiva i la projectivitat

és inversa de la projectivitat : . Les homografies d’una espai projectiu formen un grup amb l’ope‐ració de composició. D’aquest grup, se’n diu el grup projectiu de , i posarem per denotar‐lo.

Invariància projectiva de la raó doble. Si : és una projectivi‐tat, llavors , , , , , , . En efecte, referits els punts de a una referència , diguem , , llavors , i l’enunciat s’obté directament de la definició de raó doble.

4

Teorema fonamental de les projectivitats Sigui , , … , ; una referència de l’espai projectiu i , , … , ; una referència de l’espai projectiu ( i te‐nen doncs la mateixa dimensió). Llavors existeix una única projectivitat : tal que (0 ) i (abreujadament,

). Prova. Sigui , , … , una base de adaptada a i , , … , una base de adaptada a . Sigui : l’única aplicació lineal tal que . Llavors és un isomorfisme lineal i la projectivitat transforma en i

en . Per veure la unicitat, sigui : una projectivitat que transforma en . N’hi haurà prou si mostrem que . Sigui : un iso‐morfisme lineal tal que . Com que

i , , , … , és una base de adaptada a . Per la unicitat, llevat d’un factor escalar, de les bases adaptades a una referència, exis‐

5

teix un 0 tal que . Ara , per definició de , i així , d’on .

Exemple. Siguin , 1, … ,4, punts diferents de i , 1, … ,4, punts diferents de . Llavors existeix una projectivitat : tal que si i només si , , , , , , , i en aquest cas és única.

La condició es clarament necessària, per la conservació de la raó doble per projectivitats. Per veure l’afirmació recíproca, sigui : la projectivitat que transforma la referència , ; de en la refe‐rència , ; de . Com que és el punt que té coordenada abso‐luta , , , en la referència , ; , és el punt que té coordenada absoluta en la referència , ; . Però aquest punt és si , , , .

6

Representació d’una projectivitat en coordenades

Siguin : una projectivitat, , … , ; una referència de i , … , ; una referència de . Sigui , … , una

base adaptada a i , … , una base adaptada a . Si , sigui la matriu de respecte de les bases i , és a dir, . Com que , i estan definides llevat d’un factor escalar no nul, només depèn de i direm que és la matriu de respecte de les referèn‐cies i .

Siguin , … , i , … , les ‐coordenades d’un punt de les ‐coordenades de , respectivament. Llavors

.

En efecte, és un representant de . Per tant, és un representant de . Com que és un altre represen‐tant de , la fórmula en resulta immediatament.

7

Exemple: involucions de

Sigui una involució de (és a dir, una homografia tal que és

la identitat). Si la matriu de , en una certa referència, és , llavors 0. Recíprocament, si 0, llavors és una involució i .

En efecte, com que

ha de ser , és necessari que , és a dir, 0 o 0. Si fos 0, llavors seria , ja que tindríem i 0. Així, doncs, 0, i el càlcul anterior mostra que la matriu de és

. Notem que 0.

8

Extensió projectiva d’una afinitat

Sigui : una afinitat de l’espai afí , i : el seu auto‐morfisme lineal associat ( ).

Teorema. (1) Existeix una única homografia de tal que ( ). (2) L’homografia deixa invariant i | .

Prova. Sigui el vector tal que . Sigui : l’única aplicació lineal tal que i | . Com que i és un automorfisme de , és un automorfisme de . Sigui . Per definició tenim, doncs, . Si ara és un punt de i ( ),

,

i això demostra l’existència de . Notem que

| .

Per veure la unicitat, sigui una homografia de tal que per a tot punt . Veurem que i això acabarà la demostració.

9

Per definició d’homografia, existeix un automorfisme lineal g de tal que . De

deduïm que existeix tal que , és a dir, (notem que 0 perquè és injectiva). Com que

, canviant per podem suposar que i .

Sigui ara un vector qualsevol i . Llavors, amb

veiem que .

En suma, tenim i, per tant, .

10

Caracterització del grup afí com a subgrup del grup projectiu Corol·lari. L’aplicació és un monomorfisme de en i la seva imatge és el subgrup de format per les homografies que deixen invariant (o, equivalentment, que deixen invariant).

Prova. Siguin i afinitats de . Aleshores, és una homogra‐fia de que deixa invariant i que compleix per a tot . Com que també compleix , per unicitat veiem que , la qual cosa prova és un homo‐morfisme de grups. Aquest homomorfisme és un monomorfisme, ja que les extensions projectives d’afinitats diferents són homografies diferents.

Sigui ara una homografia de que deixa invariant. Llavors deixa invariant. A més, si , amb , tenim 0 (altrament no seria injectiva). Canviant per , podem suposar, doncs, que . Si ara posem | (per a tot ),

és una afinitat de i , d’on resulta .

11

Expressió de l’homografia en coordenades

Sigui ; , … , una referència afí de i , … , ; la corresponent referència projectiva de .

Considerem una afinitat de i suposem que l’equació matricial de en la referència és

,

de manera que és la matriu de en la base , … , i són les coordenades de en la referència .

Proposició. La matriu de en el referència és 1

.

Prova. En efecte, i ∑ per 1, … , , on hem posat .

Una homografia de diferent de la identitat és una translació si i només si el seu conjunt de punts fixos coincideix amb l’hiperplà de l’infinit .

12

Punts fixos per una homografia

Sigui una homografia de l’espai projectiu . Un punt és fix per si i només si . Com que aquesta relació

equival a dir que existeix tal que , veiem que és fix per si i només si és un vector propi no nul de .

Proposició. El conjunt de punts fixos de és la unió d’un nombre finit de varietats lineals disjuntes dues a dues.

Prova. Sigui , on és un automorfisme lineal de . El conjunt de vectors propis de de valor propi formen un subespai vectorial de . A més, 0 si . Si posem , … , per denotar els valors propis no nuls diferents de i ( 1, … , ), llavors és clar que les varietats lineals , … , són disjuntes dues a dues i que el con‐junt de punts fixos de és .

13

Exemple: homologies

Es diu que una homografia és una homologia si és diferent de la identi‐tat i té un hiperplà de punts fixos. En tal cas, l’hiperplà s’anomena eix de l’homologia.

Si una homologia no té altres punts fixos que els de l’eix, es diu que és especial. Altrament, es diu que és general.

Una homologia general té un únic punt fix fora de l’eix. En efecte, sigui l’eix d’una homologia ' i suposem que , són dos punts fixos de diferents. Veurem que si és un punt qualsevol, llavors és fix per , amb la qual cosa l’afirmació queda establerta per reducció a l’absurd ( ).

Per veure que és fix, podem suposar que i , . Aleshores és fixa, ja que

conté dos punts fixos ( i ). Per les mateixes raons, és fixa. I d’això resulta que

és fix.

14

L’únic punt fix fora de l’eix d’una homologia general s’anomena centre de l’homologia.

Si és un homologia general, existeixen referències projectives tals

que la matriu de respecte de té la forma , on , 0,1. Basta prendre , , … , ; amb el centre de l’homologia i , … , sobre l’eix .

El paràmetre queda unívocament determinat per (direm que és el mòdul de ). De fet, per a tot

punt , , , , , , on i : si , llavors

( 0 ), i , , , ∞, 0, , . Les homologies de mòdul 1 es diuen harmòniques. Per exemple,

l’extensió projectiva de la simetria especular respecte d’un hiperplà d’un espai euclidià és l’homologia harmònica d’eix i centre el punt de l’infinit de les rectes perpendiculars a .

Les rectes invariants per una homologia general són les contingudes a l’eix i les que passen pel centre.

15

Si és un espai afí i és una homotècia de centre , llavors la seva ex‐tensió projectiva és una homologia general: el seu eix és l’hiperplà de l’infinit i el seu centre és el punt . El mòdul de coincideix amb la raó de .

Si és un homologia especial, existeixen re‐ferències projectives , … , ; tals que la matriu de respecte de té la forma

11 11 1

Amb les notacions del punt anterior (i de la figura), per a tot punt es compleix que la recta passa per .

D’això resulta que les rectes invariants per són precisament les contin‐gudes a l’eix de i les que passen pel punt . D’aquesta manera, veiem que el punt de l’eix de queda unívocament determinat per i direm que és el centre de l’homologia especial ).

Si és una translació de , diguem , és una homologia especial amb eix l’hiperplà i centre .

16

Projeccions

Sigui un espai projectiu de dimensió 2 i una varietat lineal de dimensió 1 (1 1). Donat un punt , direm que la varietat és la projectant de des de i posarem per denotar‐la. Notem que té dimensió 1 , de manera que és una recta quan és un punt.

Sigui ara una varietat de dimensió tal que . Notem que , com una conseqüència immediata de la fórmula de les dimensions. Donat un punt

, la intersecció de la projectant amb la varietat , , és un punt de , ja que per la fórmula de les dimensions dim dim dim dim 0.

Direm que és la projecció de sobre des de (o amb cen‐tre ). Òbviament, tenim si i només si .

17

Perspectivitats

Considerem ara una altra varietat de dimensió i tal que . Llavors podem considerar

l’aplicació : tal que . D’aquesta aplicació, en direm la perspectivitat de

en des de (o amb centre ). Proposició. Siguin i dues varietats lineals de dimensió d’un espai projectiu , 1 1. Sigui una varietat lineal de de dimensió 1 i disjunta de i de . Aleshores, la perspectivitat

és una projectivitat.

Prova. Siguin , , els subespais vectorials tals que , i . Les relacions

i equivalen a . Anàlogament, . Donat , sigui

l’únic vector tal que , és a dir, la projecció de sobre relativament a la descom‐

18

posició . L’aplicació tal que és lineal i el seu nucli és . Així doncs, atès que 0 , l’aplicació : tal que

és lineal i injectiva. Com que i tenen la mateixa dimensió, és un isomorfisme. Per acabar la demostració és suficient provar que .

En efecte, si , llavors , d’on . Per tant .

Proposició. Si i són dues rectes de i : és una projectivi‐tat, llavors, per a tota quaterna , , , , , , , , , , .

Prova. És conseqüència del fet que les perspectivitats són projectivitats i que les projectivitats conserven la raó doble.

19

Aplicació. Siguin , , , quatre rectes de concurrents en un punt . Si és qualsevol recta que no passa per , i ( 1, 2, 3, 4), llavors el valor , , , només depèn de , ,

, , i no de . Posarem , , , per denotar‐lo i direm que és la raó doble de , , , . La raó doble de quatre plans de que passen per una recta (es diu que formen un feix) es defineix anàloga‐ment.

20

Projectivitats de Poncelet

Si i són varietats lineals de dimensió (1 1) d’un espai projectiu , d’una aplicació : en direm una projectivitat de Pon‐celet si es pot obtenir com a composició d’un nombre finit de perspectivi‐tats, això és, si es pot trobar una successió , … , de varietats lineals de dimensió , amb i , i una successió , … , de varie‐tats lineals de dimensió 1 tals que per 1, … , , de manera que és la composició de les perspectivitats : . Com que les perspectivitats són projectivitats, és clar que tota projectivitat de Poncelet és una projectivitat. L’afirmació recíproca, també és certa:

Teorema (de Poncelet). Tota projectivitat : entre dues varietats lineals de dimensió d’un espai projectiu (1 1) és una pro‐jectivitat de Poncelet.

Prova. Només farem el cas 2, 1. Establirem primer el cas i després el cas general.

21

Proposició. Siguin i dues rectes diferents de , , , tres punts di‐ferents de i , , tres punts diferents de . Llavors, , , es poden transformar en , , per una perspectivitat o per una composició de dues perspectivitats.

Prova. Suposem primer que . Llavors , ja que altrament i coincidirien. Anà‐

logament, . Podem, doncs, considerar el punt d’intersecció, diguem‐ne , de les rectes

i . Ara és clar que la perspectivitat de vèr‐tex transforma , , en , , .

Si , considerem una recta per que no passi per ni coincideixi amb , i un punt sobre la recta diferent de i . La projecció de en amb vèrtex transforma en . Si‐guin , les imatges de i per aquesta projecció. Com que, pel cas anterior, hi ha una projecció que transforma , , en , , , això acaba la prova.

22

Proposició. Tota projectivitat entre dues rectes de és una projectivitat de Poncelet.

Prova. Siguin i les rectes i : una projectivitat. Siguin , , tres punts diferents i posem , i . Pel teorema fonamental de les projectivitats, serà suficient veure que existeix una projectivitat de Poncelet : tal que ,

i . Com que això ha estat establert a la proposició anterior si , ara només cal fer el cas . Aquest cas, però, es pot reduir a l’anterior com expliquem tot seguit.

23

Escollim una recta diferent de i un punt , . Posem , i per denotar les projeccions de , , sobre des de . Com que , per la proposició existeix una projectivitat de Poncelet : tal que , , . Si posem : per denotar la composició de la perspectivitat : amb la projectivitat de Poncelet , llavors és una projectivi‐tat de Poncelet que compleix les condicions que necessitàvem.

24

Teorema del quadrangle complet

Considerem un quadrangle complet i sigui el seu triangle dia‐

gonal. Sigui el punt d’intersecció de les rectes i .

Lema. Els punts i separen har‐mònicament els punts i .

Prova. Projectant la recta sobre la recta des de s’obté que , , , , , , ,

on és el punt d’intersecció de i . Tornant a projectar la recta sobre des de , s’obté , , , , , , . Per tant, , , , , , , i sabem que aquesta relació equival a dir que , , , és una quaterna harmònica.

25

Teorema (del quadrangle complet). En un quadrangle complet, el parell de costats del triangle diagonal incidents amb un vèrtex d’aquest (per exemple, en la figura i són els costats incidents amb ) separa harmònicament el parell de costats del quadrangle que es tallen en aquell vèrtex ( i en l’exemple).

26

Construcció geomètrica del quart harmònic

Siguin , , tres punts alineats diferents.

Volem construir el punt de la rec‐ta tal que , , , 1.

El lema de la pàgina anterior ens dó‐na la solució. Sigui un punt exteri‐or a i escollim un punt de la recta diferent de i de . Siguin i les interseccions de amb i de amb , respectiva‐ment. Llavors és el punt d’intersecció de amb .

27

Quaternes equianharmòniques. Una quaterna de punts alineats diferents es diu equianharmònica si, posant per denotar la seva raó doble, es té que 1/ 1 . Com que aquesta relació equival a 1, veiem que 1. Si és una solució de l’equació 1, lla‐vors l’altra solució és 1 . D’això segueix que entre els sis valors possibles de la raó doble, en fer permutacions dels punts, només n’hi ha dos de diferents: i 1 . Si , llavors i 1 són les ar‐rels cúbiques complexes de 1.