あおいたんのパズルを数学しましょうか

わんくま同盟東京勉強会 #82

あおいたんのパズルを数学しましょうか

長月葵@aoi_nagatsuki

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はじめに


まえおき

• おなまえあおいたん• どうも最近数学キャラ扱いされがちだけど実はそう数学

キャラでもない– あおいたんはあくまでもソフトウェア工学の基礎として数学基

礎論を嗜んでるだけですよ！• エヴァリスト・ガロアは

– 読者にとって、著者がわかっていない事を明確にしている科学書がもっとも有用で、難しさを包み隠すことがもっとも有害であるということは、残念ながら余り気づかれていない。

• と言いましたが今回は敢えて隠していきます• ちゃんとした話がしたい人は懇親会で• 多分質疑応答の時間は取れないので質問は休憩時間か懇

親会で


おねがい

• わからないことは単語でもページ数でもいいのでとにかくメモしてください– 後で質問したい場合は手元に残る何かに– わからなかったところがあおいたんのところに届け

ばいいならアンケートに– ページのタイトルがユニークにしてあるのでページ

数がわからなければタイトルを書いてください• ほぼ間違いなくその疑問はおぼえていられない

のでまずメモりましょう• メモる時間が取れるかはちょっと保障しかねま

す ( マテ


アジェンダ１

• まずはおさらい • 第一部解けるパズル解けないパズル• 第二部あみだくじの足し算• 第三部 8 パズルの足し算• まとめ• 付録


アジェンダ２

• 全部はやれない自信があります• とりあえずおさらいと第一部第二部がや

れればいいと思っています• 第三部が本題ではありますが必要な道具

は第二部までで揃います– 第三部に辿りつけなかったら休憩と懇親会で

話しましょう• 時間が足りないので数学的にちゃんとし

た言葉での説明はしません– 要望があればブログに書きます


まずはおさらい


15 パズル - 概要

• スライドパズルの元祖ですね

• よく見るのピースの並びがひとつ欠けていてスライドさせて絵合わせするやつです– 最初は数字並べだったようです

• ルービックキューブが出てくるまでパズルの王様でした

44


15 パズル - ルール

• のピースを並べたものから一つ取り除いた盤を用いる

• スライドしてピースのないところと隣接するピースを交換できる

• シャッフルされた状態から特定の順序に並び替えるのが目的

• 以下では数字が多いとめんどくさいので8 パズルを扱います

44

44


足し算 - 基本

• a個のものと b個のものを並べて数えること (を抽象化したもの )

• 2 個のりんごと 3 個のりんごを並べて数えると 5 個

• と言うのを数だけ取り出してと書きましょうねと約束したものが足し算です

• ちょっと頭おかしくなると集合の直和と元の数だとか関数の入れ子の数だとか 0 と或る数の次の数を得る操作を n 回繰り返すだとかで表現しちゃうわけですが気になる人は懇親会で誰かに聞いてね

532


足し算 - 法則

• 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中で一番細かいものの範囲に収まる–整数と整数の足し算なら整数になる–整数と実数の足し算なら実数になる

• 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わらない–

• 0 を足しても値は変わらない–

15)75(37)53(

55005


パズルを数学しましょうか第一部解けるパズル解けないパズル


8 パズルを数字で表す

• 毎度図示するのは大変なのでここからは 8パズルを数字の並びで表します

• 例えば出来上がりの図は–

• とします• 空きスペースは無視します

87654321


置換を配列で表す

• 8 パズルの状態をある状態から別の状態にすることを置換と呼ぶことにします

• 置換を 2行の数字の列で表します• 例えば出来上がりの図から一つ入れ替え

ると–

• になります• このような置換は

–

• と書くことにします

68754321

87654321

68754321


巡回置換にする１

• ある置換–

• があったとき

52673418

87654321


巡回置換にする２

– 1→8→5→7→2→1– 3→4→3– 6→6

• と元の数まで辿れる組を見つけられます


巡回置換にする３

• これらを– (1 2 5 7 8)– (3 4)– (6)

• と書いて巡回置換と呼ぶことにします


置換の符号１

• 巡回置換の要素数を長さと呼びましょう– (1 2 5 7 8)=5– (3 4)=2– (6)=1

• です


置換の符号２

• この巡回置換の長さ -1 の合計が偶数だったら正、奇数だったら負と言うことにします– もうちょっと数学的に書くと巡回置換の長さ

-1 の合計を -1 の冪に乗せて•

– のようにして正負を得ます• これで得られた正負を置換の符号と呼ぶ

ことにします

11 )11()12()15(


置換の符号は不変量

• スライドをどのように操作してもそこから得られる置換の符号は変わりません

• 置換の符号は不変量です–不変量というのは何らかの操作をしても変わ

らない物や値のことを言います– ここではスライド操作をしても符号が変わら

ないことを言っています


解けないパズル - 解けない形

• 8 パズルにはどうやっても解けないダメ形があります–

• からは–

• にはできません

78654321

87654321


解けないパズル - 符号の確認

• 置換の符号を確かめてみます

• 対して完成形の符号が–

11

)87)(6)(5)(4)(3)(2)(1(78654321

87654321

)12()11()11()11()11()11()11(

11

)8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1(87654321

87654321

)11()11()11()11()11()11()11()11(


解けないパズル１

• もしスライド操作でダメ形から完成形にできるとしたら

• スライド操作では符号は変化しないので– ダメ形の符号 =完成形の符号

• になるはずです


解けないパズル２

• 上の等式をそれぞれの符号で置き換えると– -1=1

• になって矛盾する• なのでスライド操作でダメ形から完成形

にできるは成り立たちません• まとめると 8 パズルが解けるためには符号が 1 でなければならないわけです


パズルを数学しましょうか第二部あみだくじの足し算


あみだくじ１

• 8 パズルもパターンが多いのでまずはパターンが足し算できることをあみだくじでみていきましょう

• ここからはあみだくじを数字で表していきます–縦線三本のあみだくじを扱います

• 今後あみだくじ 3 と書きます– スタート位置に 1,2,3 と番号を振ります–ゴール位置にも 1,2,3 と番号を振ります


あみだくじ２

– 1 2 3– |-| |– | |-|– |-| |– 1 2 3

– という形があったとき 1 から 3 、 2 から 2 、3 から 1 に行くので• • と書きます 321


あみだくじ 3 の結果のパターン

• あみだくじ 3 の結果には以下のパターンがあります

123

213

132

312

231

321


あみだくじ 3 のパターンの省略

• あみだくじのパターンは無限にありますね

• でも結果のパターンは有限です– あみだくじ 3 の結果のパターンは前ページの

6通りです• なので結果が同じものはその結果になる

最小のパターンまで端折ることにします


あみだくじ 3 の足し算

• あみだくじのパターンは並べることで行き先を変えられます

– 1 2 3– |-| | = (2 1 3)– 1 2 3– +– 1 2 3– | |-| = (1 3 2)– 1 2 3– =– 1 2 3– |-| |– | |-| = (3 1 2)– 1 2 3


もう一度おさらい - 足し算の法則

• 足し算の法則は– 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中

で一番細かいものの範囲に収まる– 足し算の並びはどこから計算しても結果が変

わらない– 0 を足しても値は変わらない

• なのであみだくじが足し算できるならこれらができるはずです


あみだくじ 3 の足し算の法則１

• あみだくじ 3 の足し算はどうでしょう– 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中

で一番細かいものの範囲に収まる• あみだくじの結果のパターンをどう並べてもあだ

くじの結果のパターンに収まります


あみだくじ 3 の足し算の法則２

– 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わらない• あみだくじの結果のパターンの並びはどこの並び

二つを取ってその結果に置き換えても最終的な結果はかわりません


あみだくじ 3 の足し算の法則３

– 0 を足しても値は変わらない• あみだくじの結果のパターンには何もしない並び

–

• があるので 0 のような動きになります 321


パズルを数学しましょうか第三部 8パズルの足し算


8 パズルのパターン

• 沢山あります– 8!ぐらいあるので並べません– ただしこの中には解けないパターンがあるの

で都度置換の符号を確かめましょう


8 パズルの足し算

• 8 パズルのパターンはそれに必要なスライド操作を続けて行うことで結果が変えられます

– 1 2 3– 4 5 6 = 初期配置– 7 8– 1 2 3 例 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

– 4 6 7 4 6 8 4 6 8 6 7 8 6 7 4 6 7

– 5 8 7 5 7 5 4 5 4 5 8 5 8

– = 初期配置 +(1 2 3 5 6 4 7 8)– 1 2 3– 6 7 4 = 初期配置 +(1 2 3 5 6 4 7 8)+(1 2 3 5 6 4 7 8)

– 5 8


8 パズルの足し算の法則１

• 8 パズルの足し算の法則も確認しましょう– 足し算の並びの中に出てくる数字の種類の中

で一番細かいものの範囲に収まる• 8 パズルの結果のパターンをどう並べても 8 パズ

ルの結果のパターンに収まります


8 パズルの足し算の法則２

– 足し算の並びはどこから計算しても結果が変わらない• 8 パズルの結果のパターンの並びはどこの並び二

つを取ってその結果に置き換えても最終的な結果はかわりません


8 パズルの足し算の法則３

– 0 を足しても値は変わらない• 8 パズルの結果のパターンには何もしない並び

–

• があるので 0 のような動きになります 87654321


まとめ

• これまで見たように置換で動きを表現できるパズルはすべて置換の足し算で表現できます

• 今回見た内容をちゃんとやると対称群と言う概念になります

• 群論は構造を整理する強力な道具なので一度勉強してみると世の中が楽しく見えるかもしれないですよ


付録


参考文献


対称群と１５ゲーム

• 平成 21年度数学特別講義 I• 対称群と１５ゲーム

–佐垣大輔– http://ocw.tsukuba.ac.jp/25a0-v-1-65705b6698

5e/65705b66727952258b1b7fa9i/300c5bfe79f07fa430681530fc30e0300d30b930e930a4-pdf30d530a130a430eb

• - 第一部の内容はこの PDF を参考にしました

http://ocw.tsukuba.ac.jp/25a0-v-1-65705b66985e/65705b66727952258b1b7fa9i/300c5bfe79f07fa430681530fc30e0300d30b930e930a4-pdf30d530a130a430eb





数学ガール - ガロア理論

• 数学ガールガロア理論–結城浩– http://www.amazon.co.jp/dp/4797367547/aoiro

yozora-22

• 第二部の内容はこの本の第一章と第三章を参考にしました

http://www.amazon.co.jp/dp/4797367547/aoiroyozora-22



群論の味わい

• 群論の味わい -置換群で解き明かすルービックキューブと 15 パズル - [ 単行本 ]– David Joyner ( 著 ), 川辺治之 (翻訳 ) – http://www.amazon.co.jp/dp/4320019415/aoiro

yozora-22

• 群によるパズルの表現と全体の構成はこの本の第一章、第三章、第五章、第八章以降を参考にしました



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