电路基础

电路基础

第五章动态电路的时域分析

上海交通大学本科学位课程

2

RS i

Su CuCab

Ru

R i

Su CuCRu

动态电路在原始状态为零的情况下，仅由独立电源作为输入激励引起的响应，称零状态响应 (zero-state response) 。

(a)t ≤ 0- 时 (b)t ≥0+ 时一阶 RC 电路在直流电压源激励下的零状态响应

一阶电路在直流电源激励下的零状态响应

§5.2 一阶电路 (零状态响应 )

3

R i

Su CuCRu

SR Cu u u 根据换路后的电路可得

S

d

dC

C

uRC u u

t 一阶常系数线性非齐次微分方程

微分方程的通解为 h pC C Cu u u

uCh— 为电路方程对应的齐次微分方程的通解

uCp — 为非齐次微分方程的特解

/h e est t RCCu K K

齐次微分方程的通解与零输入相同


4

非齐次微分方程的特解 uCp 应满足电路方程，即 p

p

d

dC

C

uRC u U

t

pCu U通常特解的形式与输入激励的形式有关。

Su U

p ( )C Cu u U

通解为： /

h p e t RCC C Cu u u K U

根据初始值，确定积分常数0 /(0 ) e 0RC

Cu K U K U

K U


5

零状态响应电容电压为 / /e (1 e )ε( )t RC t RC

Cu U U U t /

S e ε( )t RCR Cu u u U t

/e ε( )t RCRu Ui t

R R 或

/ /

/

d

d

e ε( ) (1 e )δ( )

e ε( )

CC

t RC t RC

t RC

ui i C

tU

t CU tRU

tR

iU

RitO

CuU

0.632U

0.368UU

pCu

Cu

hCu tO

稳态分量

暂态分量


6

CuU

0.632U

0.368UU

pCu

Cu

hCu tO

iU

RitO

稳态分量

暂态分量

波形表明，齐次解在换路后经过 4τ ～ 5τ时间，可以认为已衰减结束，所以称为暂态（或瞬态）分量 (transient component) 。暂态分量的初始值及其以后的任何瞬时值，是和输入电源有关的。但在随时间变化的规律上讲，齐次解只取决于时间常数 τ ，而时间常数仅由电路结构和元件参数决定，与输入电源无关，因此也称其为自由分量。


7

特解是电路趋于稳定状态后的响应，称为稳态分量 (steady state component) ；或认为是输入电源强迫其电压达到规定值，所以也称为强制分量 (forced component) 。零状态响应 uC 的瞬时值取决于电路的输入，即电压源电压 U 和电路的时间常数 τ 。一旦电路已经确定，对于任意时刻 tt0 ，为常数，瞬时值 uC(t0) 仅取决于输入电压 U ，且满足齐次性和可加性。这一性质对任意线性电路都是成立的，即线性电路的零状态响应是输入的线性函数。

0 /(1 e )t


8

从能量的角度看，电容电压其储能为 2 2

S

1 1

2 2C Cw Cu Cu

在充电过程中电阻消耗的总能量为2 22 2

2 2S SS0 0

0

1d e d ( )e

2 2

t t

RC RCR

u u RCw Ri t t Cu

R R

在充电过程中电阻消耗的总能量与电容最后所存储的能量是相等的。

电压源在充电过程中提供的总能量为 2CUwww RC


9

例：在图示的电路中，开关 S 一直闭合在位置 a 上。一旦电路达到稳态，开关立即闭合到位置 b ，假设开关闭合到位置 b 的时间发生在 t=0 ，试求零状态响应 i 和 uL 。

2RSi

Su U

1R

aLu L

b解 : 图示电路为具有直流电压输入的 RL 电路，所求为零状态响应。

根据换路定律可得初始值 i(0+)= i(0-)=0

根据基尔霍夫定律，得电路方程

1 2

d( )

d

iL R R i Ut


10

2RSi

Su U

1R

aLu L

b

1 2

d( )

d

iL R R i Ut

特征方程 1 2( ) 0Ls R R

特征根 1 2R Rs

L

方程的通解 h pi i i

稳态分量（方程特解） p1 2

Ui

R R

暂态分量（方程齐次解）为 1 2

h eR R

tLi K


11

1 2

p h1 2

eR R

tL

Ui i i K

R R

1 2

UK

R R

根据初始值 i(0+)= i(0-)=0 可得

1 2

1 2

1 e ε( )R R

tL

Ui tR R

1 2 1 2 1 20

1 2

d(e ) ( ) (1 e )δ( ) ( e )ε( )

d

R R R R R Rt t

L L LL

i U Uu L L t t U t

t L R R


12

一阶电路在正弦电源激励下的零状态响应设正弦电流源为

RS

Ri

Cu( )0t

CSi Ci

S m cos( )i I t

换路后以电容电压 uC 为响应的电路方程为

m

d 1cos( )

dC

C

uC u I t

t R

h pC C Cu u u 方程的通解

在正弦信号作用下的的稳态分量 uCp 是一个与输入具有相同频率的正弦量。


13

其一般表达式为p m cos( )Cu U t

mm msin( ) cos( ) cos( )

UCU t t I t

R

式中 Um 和都是待定常数

将上式代入电路方程得

mm 2 2( ) (1/ )

IU

C R

arctan RC


14

暂态分量 uCh h estCu K

/me cos( )t RC

Cu K U t

根据 uC(0+)= uC(0-)=0 可得

m(0 ) cos 0Cu K U

m cosK U

正弦响应电容电压为

/m m[( cos )e cos( )]ε( )t RC

Cu U U t t


15

/m m[( cos )e cos( )]ε( )t RC

Cu U U t t 上式表明，暂态分量的初值 uCh(0+)Umcos与稳态分量的初值 uCp(0+)Umcos大小相等，方向相反。由于稳态分量的初值又与输入电源的初相位有关，即与电源接入时间有关，所以稳态分量、暂态分量的初值都将随电源输入初相位的不同而不同。（ 1 ）如果换路时 90，则电源接入瞬间，电容电压稳态分量的值为零，暂态分量的值也为零。这时电容电压响应中没有暂态分量，也就没有过渡过程。（ 2 ）如果换路时 0，则

/m me cost RC

Cu U U t


16

一阶电路的阶跃响应电路在单位阶跃电源激励下的零状态响应称为单位阶跃响应 (unit step response) 。单位阶跃响应常用符号 s(t) 表示。

S ε( )i t Ci Ri

C RCu

根据图示电路可得电路方程为

S

d 1

dC

C

uC u i

t R

根据 uC(0+)= uC(0-)=0d 1

1dC

C

uC u

t R

单位阶跃响应 uC 为 /( ) (1 e )ε( )t RCCs t u R t


17

/ε( ) e ε( )t RCC Ri t i t

/(1 e )ε( )t RCCR

ui t

R

Cu

Si Cu C Ri i,

1Ri

Ci

tO

R

tO

1

tO

(a) 单位阶跃波形 (b) 电容电压波形 (c) 电容、电阻电流波形

如果 iS (tt0) ，在线性非时变电路中，激励延迟t0 ，响应也延迟 t0 。此时对延迟单位阶跃 (tt0) 的电容电压响应为


18

0( )/0[1 e ]ε( )t t RC

Cu R t t 电容电流、电阻电流分别为

0( )/0[1 e ]ε( )t t RC

Ri t t

0( )/0e ε( )t t RC

Ci t t

Cu1

RiCi

tO

R

tO

1

tO

S 0( )i t t 0( )Cu t t 0 0( ) ( )C Ri t t i t t ,

0t0t0t

电路的这种性质称为线性非时变电路的非时变特性，也称为延迟特性。


19

例 : 在图 (a) 所示 RL 电路中，电压源输出为如图(b) 所示的脉冲电压，开关 S 在 t=0 时由位置 a 闭合到位置 b ，试求零状态响应 i 。

RSi

Su U Lu L

ab

S / VuU

O 0t / st

解：图 (b) 所示脉冲电压可表示为

S 0[ε( ) ε( )]u U t t t (a)

(b)

单位阶跃响应回路电流为 ( / )1

( ) ( ) [1 e ]ε( )R L ts t i t tR

延迟单位阶跃 (tt0) 响应回路电流为

0( / )( )0 0 0

1( ) ( ) [1 e ]ε( )R L t ts t t i t t t t

R


20

0t / stO

/ Ai0( )i t 根据线性非时变电路的

齐次性、可加性和非时变特性，可得

0( )

0 0[ ( ) ( )] (1 e )ε( ) [1 e ]ε( )R Rt t tL L

U Ui U s t s t t t t t

R R

例：在图 (a) 所示电路中， R=2， L1=1H ， L2

=5H ， M=2H ， uS=10(t)V ，试求阶跃响应 i0

、 u0 、 i1 和 i2 。 R

Su 0u1L 2L

M 2i1i0i

(a)

解：根据题意有 i0(0+)i0(0-)0

等效电感 21 2

eq1 2

0.5H2

L L ML

L L M


21

SueqL 0u

0iRR

Su 0u1L 2L

M 2i1i0i

由图 (b) 可得电路方程为 (a) (b)

0eq 0 S

d

d

iL Ri u

t 0

0

d12 10

2 d

ii

t

40h e ti K 齐次解为 S

0p 5u

iR 特解为

根据 i0(0+)i0(0-)0 可得 K=5

40 5(1 e )ε( )Ati t


22

40 S 0 10e ε( )Vtu u Ri t 根据 KVL 可得

由图 (a) 所示电路有 1 2 1 21 2

d d d d

d d d d

i i i iL M M L

t t t t

1 2d d3

d d

i i

t t

根据 KCL ， i0= i1+i2 ，则有 0 1 2d d d

d d d

i i i

t t t

4 2d20e 2

dt i

t

由于 i2(0)=0 ，有 4 42 0

10e d 2.5(1 e )ε(t)At t ti t

41 0 2 7.5(1 e )ε(t)Ati i i


23

一阶电路的冲激响应电路在单位冲激电源激励下的零状态响应称为单位冲激响应 (unit impulse response) 。单位冲激响应常用符号 h(t) 表示。一、 RC 并联电路的冲激响应

S δ( )i t Ci Ri

C RCu单位冲激响应 uC 的电路方程为

S

d 1

dC

C

uC u i

t R

由于在 t ≥ 0+ 时冲激函数 δ(t) 恒等于零，所以可把冲激响应理解为是起始于 t=0+ 的零输入响应，而引起这个零输入响应的是 t=0 瞬间的冲激 δ(t) 在 t=0

+ 时建立的电路的初始状态 uC(0+) 。


24

对电路方程的两边从 t= 0- 到 t=0+ 进行积分

0 0 0

0 0 0

d 1d δ( )d

dC

C

uC dt u t t t

t R

0

0

1(0 ) (0 ) d 1C C CCu Cu u t

R

S

d 1

dC

C

uC u i

t R

求 uC(0+):

1(0 )Cu C


25

当 t ≥0+ 时，单位冲激 (t)=0 ，电路成为由电容初始值 uC(0+)=1/C 引起的零输入响应。此时的电路方程为 d 1

0dC

C

uC u

t R

方程的解为

/1( ) e ε( )t RC

Ch t u tC

/1

e ε( )t RCCR

ui t

R RC /d 1

δ( ) e ε( )d

t RCCC

ui C t t

t RC

/1e ε( )t RC t

RC

1

RC

1Ci

tO

1

C/1

e ε( )t RC tC

Cu

tO


26

RL 串联电路的冲激响应

R

Lu LS δ( )u t

Ru

Li单位冲激响应 iL 的电路方程为d

δ( )dL

L

iL Ri tt

求 iL(0+) 0 0 0

0 0 0

dd d δ( )d

dL

L

iL t Ri t t tt

1(0 )Li L

( / )1( ) e ε( )R L t

Lh t i tL

( / )dδ( ) e ε( )

dR L tL

L

i Ru L t t

t L

1

L1e ε( )

RtL t

L

Li

e ε( )RtL

Rt

L

R

L

1Lu

tO

tO


27

冲激响应与阶跃响应的关系由第一章可知，冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激函数的积分

一个线性电路的冲激响应与阶跃响应之间也存在类似的关系

d ( )( )

d

s th t

t ( ) ( )d

ts t h

或

所以在已知电路阶跃响应的情况下，可对其求导来获得冲激响应；在已知电路冲激响应的情况下，可对其积分来求得阶跃响应。


28

例：在图 (a) 电路中， uC(0-)=0 ， C=2F ， R=1，电流源波形如图 (b) 所示，试求 uC 。

(0 ) 0Cu

Si

C RCu

(a)

Si5

1

2

3 tO4

(b)

解 :RC 并联电路单位冲激响应为

/1( ) e ε( )t RCh t t

C

根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，响应uC 为

25 45 ( ) 4 ( 2) e ε( ) e ε( 2)

t t

RC RCCu h t h t t t

C C


29

Cu2.5

1 23

tO1.08

0.92

/2 ( 2)/2

1 ( 2)/2

( 2)/2

2 ( ) 2.5e 2e

(2.5e 2)e

1.08e

t tC

t

t

t u t

≤

代入已知参数，并分段表示为

/20 2 2.5e tCt u

≤ ≤

25 45 ( ) 4 ( 2) e ε( ) e ε( 2)

t t

RC RCCu h t h t t t

C C


30

对任意输入的零状态响应（卷积积分）线性非时变电路对输入为任意波形 f(t)的零状态响应，总可借助于电路的冲激响应 h(t) ，采用卷积积分的方法求取。 ( )f t

(0)f ( )f k

2 k n

( )f t

( )af t

tO

a

1

0

( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n

k

f t f t f p t f p t

f k p t k f k p t k

于是对于每一个脉冲输入 p(tk)，都可求得相应的零状态响应 h(tk) 应用线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，可以得到脉冲序列 fa(t) 作用于电路的零状态响应 ya (t) 为


31

1

a0

( ) ( ) ( )n

k

y t f k h t k

a a0) ( ) ( ) ( ) ( )n f t f t y t y t （即，

0( ) ( ) ( )d

ty t f h t

这个积分称为卷积积分 (convolution integral) ，简称卷积 (convolution) 。

卷积积分可简写成 ( ) ( ) ( )y t f t h t

0( ) ( ) ( )d( ) ( ) ( )

ty t h f t h t f t

卷积积分满足交换律


32

1

0

)()()(n

kkOa tthkfty

只要取 n→∞ 便可以从 y0a(·) 转化为 y0(·) 。这是因为 n

→∞ 时，△→ 0 。从而有：

1 ． fa(·)→f(·) 2 ． p△(·)→ (·)

3 ． h△(·)→h(·) 4 ． y0a(·)→y0(·)

可得： 0')'()'()(0

tdttthtftyt

tO


33

0')'()'()(0

tdttthtftyt

tO

在数学中，两个函数 f1(t) 和 f2(t) 的卷积多简记成：

0

1 2 1 2' ' *t

tf t f t t f t f t

交换律： f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)

分配律： f1(t)* [f2(t)+f3(t)]= f1(t)*f2(t)+ f1(t)*f3(t)

结合律： [f1(t)*f2(t)]* f3(t)= f1(t)*[f2(t)*f3(t)]


34

0 1

1

2

i s(t)

t'

2

0 1

1

2

h(t’ )

t'

2

例题：假定某个线性定常电路在 t=0时刻接入如图(a) 所式的输入波形 is（ t），电路的冲击响应 h(t) 如图 (b) 所示，试求零状态响应 v(t).


35

-1

1

0

h(-t’ )

t'

2

10 1

1

2

i s(t)

t'

2

-1 0

h(-t’ )

t'

2

1 2

0<t<1

t

sO dttthtity0

')'()()(

t

dttt0

'2)'(21

tt 22 2

2'2)'( tth


36

-1 0

h(-t’ )

t'

2

1 2 -1 0

h(-t’ )

t'

2

1 2

t

tdtttty

10 '2)'(21)(

1<t<2

=1

2<t<3

2

10 '2)'(21)(t

dtttty

962 tt


37

1 2 30

1

v(t)

t '

零状态响应

tt 22 2 =1962 tt


38

例：在图 (a) 电路中， R=5， L=1H ，电流源 i

S 波形如图 (b) 所示，试用卷积求零状态响应 iL 。

S / Ai

0I

O 1 / st

LiSi

LRu

(a)

(b)

解：先求出单位冲激响应电感电流 h(t) 。

( / ) 5( ) [1 e ]ε( ) (1 e )ε( )R L t tLs t i t t

单位阶跃响应电感电流 s(t) 为

（ 1 ） 0 ≤ t ≤1 时， iS=I0t ， 5( ) 5

S 0 00 0( ) ( )d 5e d ( 0.2 0.2e )A

t t t tLi i h t I I t

5 5 5d ( )( ) (1 e )δ( ) 5e ε( ) 5e ε( )

dt t ts t

h t t t tt


39

1 / stO

/ ALi

（ 2 ）当 t ≥ 1 时， iS=0 ， 1

S S S0 0 1

1 15( ) 5 5 5 5( 1)0 0 00 0

( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d

5e d 0 5 e e d (0.8 0.2e )e A

t t

L

t t t

i i h t i h t i h t

I I I

零状态响应 iL 的波形如图所示

卷积积分实质上是求函数 f()h(t) 在由 0 到 t 的定积分，只不过被积函数还与积分上限有关。因此卷积积分可以用图解方法来计算线性非时变电路的零状态响应。


40

例：某线性非时变电路在 t=0 时刻接入的输入波形 iS 如图 (a) 所示，电路的冲激响应 h(t) 如图 (b)所示，试求零状态响应 y(t) 。

S( )i

1

O 1 2

( )h 2

O 1

2

( )h

1 O 1t

1( )h t 2

O 1 2

S( )i

11 t

S 1( ) ( )i h t

1

(a) (b) (c) (d)( )y t

O

2

1t 2t 3t t1 2 3

2( )h t

S( )i 1

O 2 2t

2

21t

S 2( ) ( )i h t 3( )h t

S( )i 1

O 1

3t

2

231t

S 3( ) ( )i h t

(e) (f) (g)


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