المتتابعات

الصباغ الصباغ سعيد سعيد

المتتابعاتالمتتابعات

سيه حسابيهحسابيه سيه هند هند


العام الحد

تدريبات المجموع ألوساط ا

عودهعوده


((نن حح ) )الحسابيهالحسابيه المتتابعهالمتتابعه ((نن حح ) )الحسابيهالحسابيه المتتابعهالمتتابعه

ح ) المتتابعه ح ) تكون المتتابعه الدرجه( ننتكون من كانت أذا الدرجه( حسابيه من كانت أذا حسابيه. األولىاألولى المتتابعه أساس هو ن معامل .ويكون المتتابعه أساس هو ن معامل ويكون

ح ) ح ) مثال ن( = ننمثال ح حيث حسابيه ن( = متتابعه ح حيث حسابيه 11ن + ن + 33متتابعه

منها األولى الثالثه الحدود منها أكتب األولى الثالثه الحدود أكتب

77= = 11 + + 22××33 = = 22ح ح 44 = = 11+ + 11××33 = = 11حح

1010 = =11 + +33××33 = = 33حح

( = ) ن ) ح المتتابعه ( = )وتكون ن ) ح المتتابعه ((000000000000، ، 1010، ، 77، ، 44وتكون

أ = األول أ = الحد األول د ) ( = 44الحد د ) ( = األساس ن 33األساس معامل ن وهو معامل وهوعوده


ح ) ح ) المتتابعه كان( ننالمتتابعه أذا حسابيه كان( تكون أذا حسابيه تكونأساس = ننح – ح – 11ن+ن+ح ح يسمى ثابت أساس = مقدار يسمى ثابت مقدار

النتتابعهالنتتابعهح ) كانت ح ) أذا كانت حسابيه 33ن + ن + 22 ( = ( = ننأذا المتتابعه أت حسابيه أثبت المتتابعه أت أثبت

منها األولى األربعه الحدود منها وأوجد األولى األربعه الحدود وأوجد

+22 = = 11ن+ن+ح ح +ن) 55ن + ن + 22 = = 11ن+ن+ح ح 33( + ( + 11ن)

+حح +ن ثابت 22( = ( = 33ن + ن + 22 – ) – ) 55ن+ ن+ 22= = ن ن ح – ح – 11ن ثابت مقدار مقدار

أساسها حسابيه أساسها المتتابعه حسابيه 22المتتابعه

77 = = 33 + +22××22 = = 22ح ح 55 = = 33++11××22 = = 11حح

1111 = = 33 + +44××22= = 44ح ح 99 = = 33 + +33××22= = 33حح

((0000000000000000، ، 1111، ، 99، ، 77، ، 55المتتابعه =) المتتابعه =)

عوده


األول = حدهل الحسابيه األول =المتتابعه حدهل الحسابيه األخير دد واألساس =واألساس = أأ المتتابعه األخير والحد والحدلل= =

الحدود = الحدود = عدد موجب ننعدد صحيح عدد ن موجب حيث صحيح عدد ن حيثأ = ) + + ، د أ ، أ ن أ = ) + +ح ، د أ ، أ ن أ +22ح ، أ +د ، ، 33د ، د ل – 0000000000د ل – ، ،22) - ل ، د ل (د، - ل ، د ل د،

األول 11مثالمثال حدها التى الحسابيه المتتابعه األول كون حدها التى الحسابيه المتتابعه 33وأساسها وأساسها 44كون((000000000000000000، ، 1010، ، 77، ، 44المتتابعه ) المتتابعه )

األول 22مثالمثال حدها الة الحسابيه المتتابعه األول كون حدها الة الحسابيه المتتابعه 22واألساس – واألساس – 1515كون((00000000000000، ، 99، ، 1111، ، 1313، ، 1515المتتابعه )المتتابعه )

أساسها األولى المتتابعه أساسها مالحظه األولى المتتابعه متزايده 00 < < 33مالحظه المتتابعه متزايده موجب المتتابعه موجبأساسها - الثانيه أساسها -المتتابعه الثانيه متناقصه 00 > > 22المتتابعه المتتابعه متناقصه سالب المتتابعه سالب

األول ) ( = حدها حسابيه متتابعه ن ح األول ) ( = تدريب حدها حسابيه متتابعه ن ح ح 77تدريب ح ، 11ن+ن+ح + ح + 33 = = نن،

المتتابعه المتتابعه أوجد أوجد

عوده


ح : الحسابيه للمتتابعه العام ح : الحد الحسابيه للمتتابعه العام الحدن= + ) – نن ن= + ) – أ د( د( 11أ

ح النهايه من العام ح الحد النهايه من العام الحدن ن

ن= – ) – ن= – ) – ل د( د( 11ل

من العاشر والحد البدايه من السابع الحد اوجد من مثال العاشر والحد البدايه من السابع الحد اوجد مثالالحسابيه ) المتتابعه من الحسابيه ) النهايه المتتابعه من 4141، ، 000000000000، ، 77، ، 55، ، 33النهايه

، ،4343))

أ = 66أ = + أ = + 77ح ح أ = د 33د

22 = = 33 – – 55د = د = 1515 = = 22××66 + + 33 = =

ل = النهايه من العاشر ل = الحد النهايه من العاشر 4343الحد

ح 99ل = – ل = – 1010ح ح ح د 2525 = = 22××99- - 4343 = = 1010د

) 22مثال مثال الحسابيه ) المتتابعه الحسابيه 51، ، 5555المتتابعه 53،51 53، ، ،0000000000 - ، - ،33 - ، - ،55))

عشر- 11أوجد أوجد والحادى البدايه من عشر السادس عشر- الحد والحادى البدايه من عشر السادس الحدالنهايه النهايه من من

عوده


عدد : = األخير الحد رتبة هامه عدد : = مالحظه األخير الحد رتبة هامه مالحظهالحدودالحدود

عدد : = األخير الحد رتبة هامه عدد : = مالحظه األخير الحد رتبة هامه مالحظهالحدودالحدود حسابيه ) حسابيه ) متتابعه ((123123، ، 00000000000000، ، 1111، ، 77، ، 33متتابعه

قبمته الذى الحد رتبة قبمته أوجد الذى الحد رتبة أ = 6363أوجد البدايه أ = من البدايه 33من

د = الحدود عدد د = أوجد الحدود عدد 44أوجد

ن = + ) – ننح ح ن = + ) – أ د( د( 11أ

44( × ( × 11ن + ) – ن + ) – 33 = = 6363

11ن – ن – 44 = = 6363 44ن – ن – 44 + + 33 = = 6363

قيمته 1616ن = ن = 6464ن = ن = 44 الذى قيمته الحد الذى ح 6363الحد ح هو 1616هو

الحدود الحدود عدد ن = + ) – عدد أ ن = + ) – ل أ د ( د ( 11ل

44ن – ن – 44 + +33 = = 123123 44 ( × ( × 11ن + ) – ن + ) – 33 = = 123123

ن = 44= = 124124 ن = ن الحدود = 3131ن الحدود = عدد حدآ حدآ 3131عدد

عوده


حد أول رتبة المتناقصه المتتابعه حد فى أول رتبة المتناقصه المتتابعه فىح ح سالب 00> > ننسالب

حد أول رتبة المتزايده المتتابعه حد فى أول رتبة المتزايده المتتابعه فىح ح موجب 00 < <ننموجب أوجد المتتابعه ثم أوجد رتبة أول أوجد المتتابعه ثم أوجد رتبة أول 2323 = = 1010، ح، ح8282 = = 55 + ح + ح 33متتابعه حسابيه فيها ح متتابعه حسابيه فيها ح

حد سالب وأوجد قيمتهحد سالب وأوجد قيمته00> > نن رتبة أول حد سالب ح رتبة أول حد سالب ح 8282 = = 55 + ح + ح 33ح ح

8282د = د = 44د + أ + د + أ + 22أ + أ + 00( × د > ( × د > 11 أ + ) ن – أ + ) ن – 8282د = د = 66أ + أ + 22

00 > > 33( × - ( × - 11 + ) ن – + ) ن – 5050( ( 11 ) )4141د = د = 33أ + أ +

00 > > 33ن + ن + 33 – – 5050 2323 = = 1010حح00 ن > ن > 33 – – 5353( ( 22 ) )2323د = د = 99ا + ا +

33 بالقسمه على - بالقسمه على - 5353 ن > - ن > - 33 بالطرح - بالطرح - 22، ، 11بحل المعادلتين بحل المعادلتين 1717وو6666666666 ن < ن < 33 د = - د = - 1818د = د = 66 - -

حيث ن عدد صحيح مو جب حيث ن عدد صحيح مو جب4141 د = د = 99( أ – ( أ – 11بالتعويض فى )بالتعويض فى )1818 أول حد سالب ح أول حد سالب ح 1818 ن = ن = 5050 أ = أ =

د د1717 = أ + = أ + 1818( ح ( ح 0000000000 ، ، 4444 ، ، 4747 ، ، 5050المتتابعه ) المتتابعه ) = = 5050 – – 5151 - = - = 11

عوده


حسابيه : متتابعه من األخير الحد حسابيه : مثال متتابعه من األخير الحد مثالح = 1010 األخير قبل وحدها األول؛ حدها ح = أمثال األخير قبل وحدها األول؛ حدها 44أمثال

الحدود = 55ح+ ح+ عدد وأوجد د أ أن الحدود = أثبت عدد وأوجد د أ أن أثبتن = + ) – أ ن = + ) – ل أ بحل( 11ل بحل( د بالطرح بالطرح 22، ، 11د

ن = + ) – 1010 أ ن = + ) – أ أ د = 88أ = أ = 88د( د( 11أ أ يؤدى د = د أ يؤدى دن = ) – 99 ن = ) – أ فى( )11أ بالتعويض فى( )د بالتعويض ((11د99( ـــــــ = - د د ن )أ ـــــــ = - د د ن أ = – ) ÷ (99( ( 11أ أ أ ن أ = – ) ÷ (أ أ أ ن أ

ح – = د ل األخير قبل ح – = الحد د ل األخير قبل 11ن = - ن = - 99 11ن -ن -الحد

ن +) - ن +) -أ أ( = + 11--11أ أ( = + د أ + +33د أ + +د ن = 44د ن = د حدا حدا 1010دد + – ن د + – أ ن دد77أ +أ +22د = د = 22أد = – ن د = – أ ن )99أ ـــــــــــ )د ـــــــــــ ((22د

عوده


ح : تمرينتمرين حسابيه متتابعه ح : فى حسابيه متتابعه ح 1010 = = 33فى ح ؛ = = نن؛

88أول 44و و 55 = = نن22ح ح رتبة وأوجد المتتابعه أول أوجد رتبة وأوجد المتتابعه أوجد

سالب سالب حد حد حسابيه اآلتيه المتتابعات أى حسابيه بين اآلتيه المتتابعات أى بين

( كانت ذا كانت ) أ ذا ، 44أ هـ ، ، هـ ،0000000000 ، و ، ، و و : =00م( م( 7676، هـ وكان و : =ح هـ وكان 77: : 11ح

الحدود عدد أوجد ثم و ، هـ الحدود اوجد عدد أوجد ثم و ، هـ اوجد . ح ح . م ح م ح فيها س = : صصح : ح : س س فيها س = : ص ح ص ان ح اثبت ان ص + اثبت ص + س 00 = = س = مجموعهم حسابيه متتابعه تكون أعداد مجموعهم = ثالث حسابيه متتابعه تكون أعداد وحاصل وحاصل 3333ثالث

ضربهمضربهماألعداد 729729 = = هذه األعداد أوجد هذه أوجد

خاصه فروض خاصه مالحظه فروض (مالحظه د ) – + أ ، أ ، د أ حسابيه متتابعه ن تكو أعداد (ثالث د ) – + أ ، أ ، د أ حسابيه متتابعه ن تكو أعداد ثالث

أ ) – حسابيه متتابعه تكون أعداد أ ) – أربعة حسابيه متتابعه تكون أعداد أ – + + 33أربعة ، د أ ، د أ ، أ – + + د ، د أ ، د أ ، د( د( 33د

( = ) ( (3ن – 2 = ) ن(ح) ن) ح ( = ) ن) ن (1 +2ح1

ن

عوده

الصباغ الصباغ سعيد سعيدئمه القا الى ئمه عوده القا الى عوده


الحسابيه الحسابيه األوساط الحسابيه األوساط الحسابيه األوساط األوساطخسابى : : تتابع فى ع ، ص ، س أعداد ثالث خسابى ألى تتابع فى ع ، ص ، س أعداد ثالث ألى

،ع س بين حسابى وسط تسمى ،ع ص س بين حسابى وسط تسمى ص = ص = 22 حيث حيث صع + ع + س سفردى- ) ( 11 مالحظهمالحظه ن المتتابعه حدود عدد كانت ا فردى- ) ( أذ ن المتتابعه حدود عدد كانت ا أذ

ن ) + رتبته واحد أوسط حد ن ) + يوجد رتبته واحد أوسط حد 22( ÷ ( ÷ 11يوجد

الحدود عدد كان الحدود أذا عدد كان األوسط 1919أذا رتبة األوسط حدا رتبة 1010ح ح حدا

ل = ) + ( ÷ أ األوسط الحد قيمة ل = ) + ( ÷ وتكون أ األوسط الحد قيمة 22وتكونيوجد- ) ( 22 زوجيا ن المتتابعه حدود عدد كانت ا يوجد- ) ( أذ زوجيا ن المتتابعه حدود عدد كانت ا أذ

رتبتهما اوسطان رتبتهما حدان اوسطان يليه [ [22ن] ÷ ن] ÷ حدان الذى يليه و الذى فمثال فمثال وعدد كانت عدد أذا كانت األوسطان 2020أذا الحدان فإ األوسطان حدا الحدان فإ ح 1010ح ح حدا ح ، ،1111

خسابى : : تتابع فى ع ، ص ، س أعداد ثالث خسابى ألى تتابع فى ع ، ص ، س أعداد ثالث ألى،ع س بين حسابى وسط تسمى ،ع ص س بين حسابى وسط تسمى ص = ص = 22 حيث حيث ص

ع + ع + س سفردى- ) ( 11 مالحظهمالحظه ن المتتابعه حدود عدد كانت ا فردى- ) ( أذ ن المتتابعه حدود عدد كانت ا أذ

ن ) + رتبته واحد أوسط حد ن ) + يوجد رتبته واحد أوسط حد 22( ÷ ( ÷ 11يوجد

الحدود عدد كان الحدود أذا عدد كان األوسط 1919أذا رتبة األوسط حدا رتبة 1010ح ح حدا

ل = ) + ( ÷ أ األوسط الحد قيمة ل = ) + ( ÷ وتكون أ األوسط الحد قيمة 22وتكونيوجد- ) ( 22 زوجيا ن المتتابعه حدود عدد كانت ا يوجد- ) ( أذ زوجيا ن المتتابعه حدود عدد كانت ا أذ

رتبتهما اوسطان رتبتهما حدان اوسطان يليه [ [22ن] ÷ ن] ÷ حدان الذى يليه و الذى فمثال فمثال وعدد كانت عدد أذا كانت األوسطان 2020أذا الحدان فإ األوسطان حدا الحدان فإ ح 1010ح ح حدا ح ، ،1111

تعريفتعريف

عوده


فإن أوسطان حدان للمتتابعه كانت فإن أذا أوسطان حدان للمتتابعه كانت أذال = + 22و +و +11وو ل = + أ أ

فإن أوسطان حدان للمتتابعه كانت فإن أذا أوسطان حدان للمتتابعه كانت أذال = + 22و +و +11وو ل = + أ أ

تنحصربين مالحظاتمالحظات التى المتتابعه حدود هى الحسابيه تنحصربين األوساط التى المتتابعه حدود هى الحسابيه األوساط) حديهاحديها واألخير )األول واألخير أ + + ؛ ؛ أ أ األول ، د أ + + أ ، د ؛ 22أ ؛ د - 00000000د ل - ؛ ل - 22؛ د ل ؛ - د د ل ؛ د

((لل؛ ؛

الحدود = – عدد األوساط الحدود = – عدد عدد األوساط عدد عدد 22عدداألوساط = + عدد األوساط = + الحدود عدد 22الحدود

بمقدار- 11 الوسط رتبة عن يد تذ الحد بمقدار- رتبة الوسط رتبة عن يد تذ الحد 66ح = ح = 55وو 11رتبة

األولين- 22 األولين- الوسطين أ + + الوسطين ، د أ + + أ ، د ح دد22أ ح هما 33،ح ،ح 22هما

خرين- 33 اآل خرين- الوسطين اآل ل – – الوسطين ، د ل – – ل ، د دد22لح- = ) = 44 ل الحدود عدد الخير الحد ح- = ) = رتبة ل الحدود عدد الخير الحد ((ن ن رتبة

وهكذا- 55 الرابع الحد هو والخامس الثلث الحدين بين الحسابى وهكذا- الوسط الرابع الحد هو والخامس الثلث الحدين بين الحسابى الوسط

عوده


أ +::مثال مثال كانت أ +أذا كانت أ – 11أ + أ + 22، ، 22أذا أ – ، ،44 كون ثم أ قيمة أوجد حسابى كون فىتتابع ثم أ قيمة أوجد حسابى فىتتابع

ح وأواجد ح المتتابعه وأواجد 1515المتتابعه

أ +::مثال مثال كانت أ +أذا كانت أ – 11أ + أ + 22، ، 22أذا أ – ، ،44 كون ثم أ قيمة أوجد حسابى كون فىتتابع ثم أ قيمة أوجد حسابى فىتتابع

ح وأواجد ح المتتابعه وأواجد 1515المتتابعهأ -11أ +أ +22، ، 22أ + أ + 55الحل :الحل : أ -، حسابى 44، تتابع حسابى فى تتابع وسط وسط 11أ + أ + 22فى

أ + حسابىحسابى أ + بين أ – 22بين أ – ، 22مثال : مثال : 44،بينهم 44أ+ -أ+ -22أ + أ + 55( = ( = 11أ +أ +22) ) 22 النسبه ين بينهم عدد النسبه ين عدد

ووسطهمووسطهم3:53:5العددين 88الحسابى = الحسابى = 22أ -أ -66 = = 22أ + أ + 44 العددين أوجد أوجدالعددين 22أ = أ = 44أ = أ = 22 العددين نفرض ، 55نفرض ، س س س 33س

الحسابى( 0000000000، ، 22، - ، - 55، ، 1212المتتابعه ) المتتابعه ) الحسابى( الوسط 88الوسطد = -1212أ = أ = د = -، سس33س + س + 55 = = 22× × 88 77،

س = 88 = = 1616د د 1414أ = + أ = + 1515حح س = س 22س66، ، 1010العددين العددين 77 × - × - 1414 + + 1212 = = = = 1212 – – 9898 - = - = 8686

عوده


مكونه مثال : مثال : حسابيه مكونه متتابعه حسابيه حدها 2525متتابعه حدها حدا حدا4040األوسط = األوسط =

األخيره الثالثه الحدود األخيره وجموع الثالثه الحدود المتتابه 285285وجموع المتتابه أوجد أوجد

الوسط = ) الحد رتبة الوسط = ) الحل الحد رتبة 1313ح = ح = 22( ÷ ( ÷ 11 + +2525الحل

((11ـــــــــ )ـــــــــ )4040د = د = 1212أ + أ +

ح األخيره الثالثه ح الحدود األخيره الثالثه 285285 = = 2323ح + ح + 2424ح +ح +2525الحدود

أ + +2424أ + أ + أ + +د أ + +2323د أ + +د 285285د = د = 2222د

33 ÷ ÷ 285285د = د = 6969أ + أ + 33

((22من( )من( )11بطرح( )بطرح( )22ــــــــــــ )ــــــــــــ )9595د = د = 2323أ + أ +

55د = د = 5555د = د = 1111

فى ) فى )بالتعويض 4040 = = 55××1212أ( + أ( + 11بالتعويض

2020أ = -أ = -

000 1010، - ، - 1515، -، -2020المتتابعه ) -المتتابعه ) - 95،000 95، ، ،100100))عوده


بين : : 33مثالمثال حسابيه أوساط عدة بين أذاأدخلنا حسابيه أوساط عدة أذاأدخلناالوسطين 5353، ، 55 مجموع بين النسبه الوسطين وكانت مجموع بين النسبه وكانت

الثالثه األوساط مجموع الى والرابع الثالثه الثالث األوساط مجموع الى والرابع الثالثاألوساط 135135: : 3838األخيره = األخيره = عدد األوساط أوجد عدد ل = 55أ = أ = أوجد ل = ، ،5353= =

د د 7676--20142014= = دد315315+ + 450450 55ح + ح + 44ح = ح = 44و + و + 33وو

أ + + 33أ= + أ= + أ + + د 44د = د = 15641564د = د = 391391د د 77أ +أ +22د= د= 44د

عدد = األخير الحد رتبة األخيره الثالثه عدد = األوساط األخير الحد رتبة األخيره الثالثه األوساطالحدودالحدود

ل – + – د ل – + – ل د ل + – 22ل ل + – د ن = + ) – 33د أ ل ن = + ) – د أ ل د( د( 11د44( × ( × 11ن + ) – ن + ) – 55 = = 5353د د 66ل – ل – 33= =

44ن - ن - 44 + + 55 = = 5353 = = النسبهالنسبه

المقام المقام قسمة 1313ن = ن = 5252ن = ن = 44 33على على قسمةاألوساط = األوساط = عدد 1111 = =22 – – 1313عدد

د د 77أ + أ + 22

دد66ل – ل – 33

38

135

د د 77+ + 1010

دد66– – 5353

38

45

عوده


بين 1919أدخل أدخل 44مثال مثال حسابيا بين وسطا حسابيا ، ، 5555وسطا - -55

واألخير األول الوسط أوجد واألخير ثم األول الوسط أوجد ثم

بين 1919أدخل أدخل 44مثال مثال حسابيا بين وسطا حسابيا ، ، 5555وسطا - -55

واألخير األول الوسط أوجد واألخير ثم األول الوسط أوجد ثمالحدود = الحدود = عدد أن 2121 = = 22 + +1919عدد أن تذكر تذكر

ح 5555أ = أ = ح ، لو = سسلو لو 55 = - = - 2121، لو = ص س س هـهـلو لو ÷ ÷ ص ص هـ هـ ص

) ( 55د = - د = - 2020أ + أ + - = ) ( س د س د كانت ) (أذا - = ) ( س د س د كانت أذا

فرديه 55د = - د = - 2020 + +5555 فرديه الداله الداله

( 33د = - د = - 6060د = - د = - 2020 - ( = ) ( س د س د كانت (أذا - ( = ) ( س د س د كانت أذا

زوجيه األوساط األوساط زوجيه الداله الداله

( (5555 ، ،5252 ، ،4949 ، ،0000000000- ،- ،1111 -، -،88 - ، - ،55))

األول = األول = الوسط األخير = - 5252الوسط األخير = - الوسط 88الوسطعوده

الصباغ الصباغ سعيد سعيد عوده


جـ الحسابيه المتتابعه جـ مجموع الحسابيه المتتابعه ننمجموعجـ الحسابيه المتتابعه جـ مجموع الحسابيه المتتابعه ننمجموع

+ + ( = أ د، أ ، أ ن أ = ) + + ح د، أ ، أ ن ، 22ح ، د ،ل – ( 22،ل – ،ل – 0000000000د د ل ، ،ل – ( د د ل ، د+ + + + ن ن جـجـ أ = د أ + + + + أ أ = د أ ل + – + 22ل+ – ل+ – 00000000د +د +22أ د ل ل + – + د د ل د

ل + - + – == ن ن جـ جـ د ل ل + - + – ل د ل أ + + + 22أ+ +أ+ +00000000د +د +22ل د ا أ + + + د د ا د

( +ننجـ جـ 22بالجمع بالجمع + ( + ) + ل = ) أ ل ( +أ + ( + ) + ل = ) أ ل (00000000أ ل+) + (أ ل+) + أ

ل = × ) + (ننجـ جـ 22 أ ل = × ) + (ن أ ( ن ل = ) + أ ن (جـ ل = ) + أ ن جـالحدود عدد ؛ن األخير الحد ل ؛ األول الحد أ الحدود حيث عدد ؛ن األخير الحد ل ؛ األول الحد أ حيث

جـ نستنتج جـ ومنها نستنتج ن + ) – 22 ] ] = =ن ن ومنها ن + ) – أ د( [د( [11أن× + ) -22 = ] = ] البدايه ن× + ) -حد البدايه د ( [د ( [11حد

نن

22

نن

22ن ن جـجـ

نن

22

عوده


خاصه خاصه حاله المتتابعه : :حاله حدود المتتابعه مجموع حدود مجموععدد = × األوسط الحد قيمة عدد = × الحسابيه األوسط الحد قيمة الحسابيه

الحودالحود

خاصه خاصه حاله المتتابعه : :حاله حدود المتتابعه مجموع حدود مجموععدد = × األوسط الحد قيمة عدد = × الحسابيه األوسط الحد قيمة الحسابيه

الحودالحودمن : . مكونه ح م من : . مثال مكونه ح م األوسط = 1717مثال وحدها األوسط = حدا وحدها يزيد يزيد 22ح ح 22؛ ؛ 2121حدا

ح ح عن ومجموع 55بمقدار بمقدار 33عن المتتابعه ومجموع اوجد المتتابعه حدودهاحدودها اوجد

األوسط : = ) الحد رتبة األوسط : = )الحل الحد رتبة 99ح = ح = 22( ÷ ( ÷ 11 + + 1717الحل

الحدود( = 11 ) )2121د = د = 88أ + أ + 2121 = = 99 حح الحدود( = مجموع 1717× × 2121مجموع

357357 = =55 = = 33ح – ح – 22ح ح 22

أ – – 22أ + أ + 22 أ – – د آخر 55د =د =22د آخر حل حلفى ) 55أ = أ = فى )بالتعويض (11بالتعويض ل( = ) + أ ن (جـ ل( = ) + أ ن جـ((3737 + + 55 = ) = ) 1616د = د = 88 2121د =د =88 + + 55

4242 = × = × ((3737، ، 000000، ، 99، ، 77، ، 55المتتابعه ) المتتابعه ) 22د = د = = = 1717 × ×2121 = = 357357

ن

217

217

2

عوده


حدا مثال :مثال : العشرين مجموع حدا أوجد العشرين مجموع أوجدالحسابيه ) المتتابعه من الحسابيه ) األولى المتتابعه من ، ، 55، ، 33األولى

77 ، ،00000000))

حدا مثال :مثال : العشرين مجموع حدا أوجد العشرين مجموع أوجدالحسابيه ) المتتابعه من الحسابيه ) األولى المتتابعه من ، ، 55، ، 33األولى

77 ، ،00000000)) = د = 33أ = أ د = ، : :مالحظهمالحظه 22،

ن = ] ن = ]جـ ن + ) – 22جـ ن + ) – أ متذايده . 00د < د < د( [د( [11أ ح متذايده . م ح م

. 00د > د > [ [ 22 × × 1919 + + 33××22] ] 1010 = = 2020جـ جـ متناقصه ح . م متناقصه ح م

((3838 + + 66 ) ) 1010 = = 2020جـ جـ

440440 = = 4444× × 1010 = = 2020جـ جـ المتتابعه ) ::تدريب تدريب حدود مجموع المتتابعه ) أوجد حدود مجموع ، ، 00000000، ، 1313، ، 88، ، 33أوجد

9898))مجموع- 22 مجموع- أوجد . ) 4040أوجد ح م من األولى . ) حدا ح م من األولى ((000000، ، 88، ، 55، ، 22حدا

ع- 33 مجمو ع- أوجد مجمو ح 1010أوجد من أبتدإ ح حدود من أبتدإ ((000000، ، 1111، ، 77، ، 33) ) 55حدود

ن

2

= د = 33أ = أ د = ، : :مالحظهمالحظه 22،

ن = ] ن = ]جـ ن + ) – 22جـ ن + ) – أ متذايده . 00د < د < د( [د( [11أ ح متذايده . م ح م

. 00د > د > [ [ 22 × × 1919 + + 33××22] ] 1010 = = 2020جـ جـ متناقصه ح . م متناقصه ح م

((3838 + + 66 ) ) 1010 = = 2020جـ جـ

440440 = = 4444× × 1010 = = 2020جـ جـ المتتابعه ) ::تدريب تدريب حدود مجموع المتتابعه ) أوجد حدود مجموع ، ، 00000000، ، 1313، ، 88، ، 33أوجد

9898))مجموع- 22 مجموع- أوجد . ) 4040أوجد ح م من األولى . ) حدا ح م من األولى ((000000، ، 88، ، 55، ، 22حدا

ع- 33 مجمو ع- أوجد مجمو ح 1010أوجد من أبتدإ ح حدود من أبتدإ ((000000، ، 1111، ، 77، ، 33) ) 55حدود

ن

2

عوده


عدد مالحظه :مالحظه : المتناقصه المتتابعه عدد فى المتناقصه المتتابعه فىمايمكن أكبر المجموع تجعل التى مايمكن الحدود أكبر المجموع تجعل التى الحدود

الموجبه الحدود الموجبه هى الحدود هى

عدد مالحظه :مالحظه : المتناقصه المتتابعه عدد فى المتناقصه المتتابعه فىمايمكن أكبر المجموع تجعل التى مايمكن الحدود أكبر المجموع تجعل التى الحدود

الموجبه الحدود الموجبه هى الحدود هى( . ح : م . )مثال ح : م المجموع( 00000000، ، 6363، ، 6565مثال تجعب التى الحدود عدد المجموع( أوجد تجعب التى الحدود عدد أوجد

المجموع هذا وأوجد مايمكن المجموع أكبر هذا وأوجد مايمكن مجموع أكبر مجموع اكبر اكبرد = - 6565أ = أ = د = - ؛ ن = ]22؛ ن = ]جـ ن + ) – 22جـ ن + ) – أ د( [د( [11أ

ح سالب حد أول ح رتبة سالب حد أول ( ( 22× -× -3333 + + 6565××22 ) ) 1717 = = 3434جـ جـ 00 > > ننرتبة

ن + ) – ن + ) – أ ((6666 – – 130130 ) ) 1717 = = 3434جـ جـ 00د( > د( > 11أ10881088 = =66 44 × × 1717 = = 3434جـ جـ 00> > 22( × -( × -11ن + ) – ن + ) – 6565 00>>22ن + ن + 22 – – 6565

بالك 22 ÷ - ÷ - 6767ن > - ن > - 22 - - بالك خلى خلى

المجموع + + ص ص ззن ن 3333و و 55ن < ن < تجعل التى الحدود المجموع عدد تجعل التى الحدود عددن < موجب موجب 3434ن = ن = ن < جـ 00جـ

مايمكن اكبر المجموع تجعل التى الحدود مايمكن عدد اكبر المجموع تجعل التى الحدود حداحدا3434عدد

ن

2

عوده


األولى . = مثال:مثال: الثالثه الحدود مجموع ح األولى . =م الثالثه الحدود مجموع ح 6969مالرابع الحد أمثال ثالثة عن ينقص السابع الرابع والحد الحد أمثال ثالثة عن ينقص السابع والحد

المتتابعه 4343بمقداربمقدار المتتابعه أوجد من 00أوجد عدد أكبر أوجد من ثم عدد أكبر أوجد ثم

موجبا المجموع ليكون المتتابعه موجبا حدود المجموع ليكون المتتابعه حدود

األولى . = مثال:مثال: الثالثه الحدود مجموع ح األولى . =م الثالثه الحدود مجموع ح 6969مالرابع الحد أمثال ثالثة عن ينقص السابع الرابع والحد الحد أمثال ثالثة عن ينقص السابع والحد

المتتابعه 4343بمقداربمقدار المتتابعه أوجد من 00أوجد عدد أكبر أوجد من ثم عدد أكبر أوجد ثم

موجبا المجموع ليكون المتتابعه موجبا حدود المجموع ليكون المتتابعه 6969األولى = األولى = 33جـ جـ حدود

33 ÷ ÷ 6969د = د = 33أ + أ + 33

د + = د + = أ 11 2121أ

4343 = = 77ح – ح – 44ح ح 33

أ( – ) +33أ) + أ) + 33 أ( – ) +د 4343د( =د( =66د

أ – – 99أ + أ + 33 أ – – د 4343د = د = 66د

22 4343د = د = 33أ +أ +22

22؛؛11بحل بحل

33د = - د = - 2626أ = أ =

ح. ) ح. ) م ((0000000000، ، 2020، ، 2323، ، 2626م

ن < ن < جــ 00جــ

ن + ) – 22]] ن + ) – أ 00د( [< د( [< 11أ

00[<[<33(×- (×- 11ن +) -ن +) -2626××22] ]

00[ < [ < 33ن +ن +33 – – 5252] ]

33 ÷ - ÷ -00ن <ن <33 – – 5555

حدآ حدآ 1818ن = ن = 1818و و 55ن > ن >

ن

2ن

2

عوده


مجموع. مثال :مثال : ح مجموع. م ح منها = 1111م األولى منها = حدآ األولى ضرب 5555حدآ ضرب وحاصل وحاصلوالعاشر = - السادس والعاشر = - حديها السادس مجموع 5555حديها وأجد المتتابعه مجموع اوجد وأجد المتتابعه اوجد

األولى حدا األولى عشؤين حدا عشؤين

مجموع. مثال :مثال : ح مجموع. م ح منها = 1111م األولى منها = حدآ األولى ضرب 5555حدآ ضرب وحاصل وحاصلوالعاشر = - السادس والعاشر = - حديها السادس مجموع 5555حديها وأجد المتتابعه مجموع اوجد وأجد المتتابعه اوجد

األولى حدا األولى عشؤين حدا عشؤين

ن + ) – 22 = ] = ] ننجـ جـ ن + ) – أ د( [ د( [ 11أ

(1010أ + أ + 22 = ) = ) 5555 (د د

( (11د ) د ) 55أ = + أ = + 55

5555 = - = - 1010ح × ح × 66ح ح

ا () + 55أ) + أ) + ا () + د 5555د ( = - د ( = - 99د

5555د ( = - د ( = - 99أ ) + أ ) + 55( ( 11من )من )

((22 ) ) 1111د = - د = - 99أ + أ +

1616د = - د = - 44 22من من 11بطرح بطرح

ن

211

2

44د = - د = -

( فى ) بالتعويض فى = = 2020أ( – أ( – 11بالتعويض55

2525أ = أ =

ح . ) ح . ) م ، ، 2121، ، 2525م1717 ، ،0000000000))

د (د (1919أ + أ + 22 ) ) 1010 = = 2020جـ جـ

( (44×- ×- 1919 + +5050 ) ) 1010 = = 2020جـ جـ

((7676 – – 5050 ) ) 1010 = = 2020جـ جـ

260260 = - = - 2626× - × - 1010 = = 2020جـ جـ

عوده


11ن- ن- جـ – جـ – ننجـ = جـ = ننح ح : : مالحظه مالحظه 11ن- ن- جـ – جـ – ننجـ = جـ = ننح ح : : مالحظه مالحظه

. جـ بالعالقه يعطى ح م من حدا ن مجموع . اذاكان جـ بالعالقه يعطى ح م من حدا ن مجموع نناذاكان

السابع 22ن= ن= الحد وأوجد المتتابعه السابع أوجد الحد وأوجد المتتابعه أوجد 22ن = ن = ننجـ جـ

ن = ن = بوضع 11أ = أ = 11 = = 11جـ جـ 11بوضع

ن = ن = بوضع 22ح + ح + 11ح ح 44 = = 22جـ جـ 22بوضع

= =44

د + + = أ د + + = أ أ 22د = د = 44أ

ح. ) ح. ) م ((000000، ، 55، ، 33، ، 11م

د د 66أ = + أ = + 77ح ح

1313 = = 1212 + + 11 = = 77ح ح

آخر آخر حل حل

11ن-ن-جـ – جـ – ننجـ = جـ = ننح ح

22( ( 11ن – ) – ن – ) – 22ن = ن = ننح ح

11ن - ن - 22 + + 22ن – ن – 22ن = ن = ننح ح

ن = ن = ح الدرحه 11ن – ن – 22ح الدرحه من مناألولىاألولى

ن 22د = د = ن معامل معامل

ح = ح = أ 11= = 11 – – 22 = = 11أ

ح. = ) ح. = ) م ((000000000000، ، 55، ، 33، ، 11م عوده


ومجموعومجموع 3636 = = األوسطاألوسط وحدهاوحدها 6464 = = األخيراألخير حدهاحدها حح..مم

المتتابعهالمتتابعه اوجداوجد . .540540 حدودهاحدودها

ومجموعومجموع 3636 = = األوسطاألوسط وحدهاوحدها 6464 = = األخيراألخير حدهاحدها حح..مم

المتتابعهالمتتابعه اوجداوجد . .540540 حدودهاحدودهال = ) + ( ÷ أ األوسط 2الحد

2( ÷ 64أ = ) + 36

2 × 36 = 64أ +

8أ =

) ل = ) + ا ن جـ

540 ( = 8 +64)

حدا 15ن =

64د = 14 + 8 = 15ح

4 = 14( ÷ 8 – 64د = )

( ح. (000، 16، 12، 8م

ن

ن2

2

آخر حل

األوسط = × الحد ن ن جــ

ن 36 = 540

حدا 15ن =

ح ح 36 = 8األوسط ،15 = 64

36د = 7أ +

بطرح 64د = 14أ + المعادلتين

4د = 28د = 7

فى ) 8أ = ( 1بالتعويض

ح. ) (00000، 16، 12، 8م

عوده


مجموع مجموع أوجد من 3030أوجد من حدااألولى حدااألولى . ن ح . المتتابعه ن ح المتتابعهن = ح ن = حيث ح حيث

فردى 1ن - 3 = نح ن ن

2 = 1 - 3 = 1 ح

8 = 1 – 9 = 3 ح

14= 1 – 15 = 5ح

(2 ،8 ،14 ،000000)

15ن = 6د = 2أ =

ن = ] ن + ) – 2جـ د( [1أ

(6 × 14 + 2×2 ) 7و5 = 15جـ

660 = 88 × 7و5 = 15جـ

فردى 1ن - 3 = نح ن ن

2 = 1 - 3 = 1 ح

8 = 1 – 9 = 3 ح

14= 1 – 15 = 5ح

(2 ،8 ،14 ،000000)

15ن = 6د = 2أ =

ن = ] ن + ) – 2جـ د( [1أ

(6 × 14 + 2×2 ) 7و5 = 15جـ

660 = 88 × 7و5 = 15جـ

ن 11ن – ن – 33 ن حيث حيثفردىفردى

ن 22ن + ن + 22 ن حيث حيثزوجىزوجى

ن 11ن – ن – 33 ن حيث حيثفردىفردى

ن 22ن + ن + 22 ن حيث حيثزوجىزوجى

ن

2

زوجى 22ن + ن + 22 = = ننح ح زوجى ن ن

66 = = 22 + + 44 = = 22حح

1010 = = 22 + + 88 = = 44حح

1414 = = 22 + +1212 = = 66ح ح

( (66 ، ،1010 ، ،1414 ، ،00000000))

1515ن = ن = 44د = د = 66أ = أ =

((44 × × 1414 + + 66× × 22 ) ) 77وو55 = = 1515جـ جـ

510510 = = 6868 × × 77وو55 = = 1515جـ جـ

11701170 = = 510510 + + 660660 = = 3030جـ جـ عوده


المتتابعه )مثال : مثال : من أخذه يلزم حدا المتتابعه )كم من أخذه يلزم حدا ، ، 99، ، 55، ، 11كم0000) )

النصف مجموع بين النسبه لتكون الحداألول من النصف أبتدإ مجموع بين النسبه لتكون الحداألول من أبتدإكنسبة الحدود باقى إلى كنسبة األول الحدود باقى إلى 4141: : 1313األول

جـ جـ أ جـ 11أ جـ ن ح 22ن ح ن نالحدود = نن22 عدد الحدود = نفرض عدد نن22نفرض

4141 : : 1313 = =22 جـ : جـ : 11 جـ جـ 44د = د = 11أ = أ =

جـ التناسب جـ من التناسب : : 1313 = = 22 جـ+جـ+11جـ : جـ : 11من

1313++4141

الحدود = عدد الحدود = نفرض عدد نن22نفرض

4141 : : 1313 = =22 جـ : جـ : 11 جـ جـ 44د = د = 11أ = أ =

جـ التناسب جـ من التناسب : : 1313 = = 22 جـ+جـ+11جـ : جـ : 11من

1313++4141

ن

.2ن +] – 2] [1أ د (

د( [1ن – 2أ +) 2] ن2

.2

1جـ

=2جـ + 1جـ

4( × 1ن + ) – 2

4ن - ( × 2 + ) 2==

13

27

4( × 1ن+ ) – 2

4ن - ( × 2 + ) 2==

13

274ن – 4+ 2

4ن - 8 + 2==

13

27

2ن – 4

2ن - 8 ==

13

27

26ن – 104 = 54ن – 108

28ن = 4

14ن =

الحدود = حدا 14عدد

عوده


مكونه( 11)) 1.1. تدريباتتدريبات تدريباتتدريبات حسابيه مكونه( متتابعه حسابيه حدا حدا 2525متتابعهالوسط = الوسط = حدها األخيره 4040حدها الثالثه الحدود األخيره وجموع الثالثه الحدود وجموع

المتتابه 285285 المتتابه أوجد أوجدأن 2.2. أثبت جـ ، أ بين حسابى وسط ب أن إذاكان أثبت جـ ، أ بين حسابى وسط ب إذاكان

( 22ب ب ب – ) - ( جـ ب – ) - جـ = 22جـ جـ = أ أص 1.1. وكان حسابى تتابع فى ع ، ص ، س ص إذاكان وكان حسابى تتابع فى ع ، ص ، س = = 22إذاكان

حسابى فىتتابع لوع ، ص لو ، لوس أن أثبت ع حسابى س فىتتابع لوع ، ص لو ، لوس أن أثبت ع س، 22، ، 55إذاكان )إذاكان )2.2. ، ب . 6565، ، 1414ب – ب – 2222، ، 00000000ب اوجد( ح . م اوجد( ح م

المتتابعه حدود وعدد ب المتتابعه قيمة حدود وعدد ب قيمةالمتتابعه )3.3. حدود مجموع المتتابعه )اوجد حدود مجموع ((9898، ، 000000، ، 1313، ، 88، ، 33اوجد.4.4 ( . ح م من أخزه يلزم Rحدا . ) كم ح م من أخزه يلزم Rحدا ( ( 000000، ، 1111، ، 1313، ، 1515كم

المجموع المجموع ليكون حلين 5555ليكون وجود حلين فسر وجود فسرمجموع 5.5. مجموع إذاكان . ) 1010إذاكان ح م من . ) حدود ح م من ( ( 000000، ، 1111، ، 77، ، 33حدود

نبدأ 330330هو هو حد نبدأ فبأى حد فبأىعوده


88( . ح( م األخير النصف مجموع . )أوجد ح( م األخير النصف مجموع ((7878، ، 00000000، ، 1313، ، 88، ، 33أوجد

هامه هامه مالحظه ن – ) – 22 = ] = ] ننجـ جـ مالحظه ن – ) – ل ألخيرا( [ 11ل حدها ل ألخيرا( [ د حدها ل د

حدودها( . 99 عدد ح حدودها( . م عدد ح األوسط = 2121م وحدها x األوسط = حدا وحدها x ومجموع ومجموع 3333حدااألوسط للحد التاليه األوسط الحدود للحد التاليه السابقه 33الحدود الحدود مجموع السابقه أمثال الحدود مجموع أمثال

. ح م أوجد .له ح م أوجد له

1010 . ح( فيها ح . م ح( فيها ح جـ 00 = = 3636م واذاكان جـ ، واذاكان جـ = ن ن ، ضعف جـ = األولى ضعف األولى األولى 55األولى

جـ . أستنتج ثم المتتابعه حدود عدد جـ . أوجد أستنتج ثم المتتابعه حدود عدد ح 4949أوجد أبتداء x ح حدا أبتداء x 1212حدا

1111 . جـ( ح . م جـ( ح ح 6969األولى = األولى = 33م ح ، ح 77، أمثال ثالثة عن ح ينقص أمثال ثالثة عن 44ينقصالمتتابعه . . 4343بمقدار بمقدار حود من عدد اوجدأكبر المتابعه المتتابعه . . اوجد حود من عدد اوجدأكبر المتابعه اوجد

المجموع هذا وأوجد موجبا المجموع المجموع يجعل هذا وأوجد موجبا المجموع يجعل

بين( 1212 الواقعه الصحيحه األعداد مجموع بين( اوجد الواقعه الصحيحه األعداد مجموع وال وال 500500، ، 100100اوجدعلى القسمة على تقبل القسمة 99تقبل

عوده

ن

.2


المتتابعه الهندسيهالمتتابعه الهندسيه

العام العام الحد الحد

تدريبات المجموع ط األوسا

ده ده عو عو


كان ن ن ح ح أذا هندسيه كان تكون أذا هندسيه تكونثابت ثابت مقدار مقدار

النتابعه أساس النتابعه يسمى أساس يسمى

كان ن ن ح ح أذا هندسيه كان تكون أذا هندسيه تكونثابت ثابت مقدار مقدار

النتابعه أساس النتابعه يسمى أساس يسمىاألسيه الداله صورة فى تكون ن ح الهندسيه األسيه المتتابعه الداله صورة فى تكون ن ح الهندسيه ::المتتابعه

كانت كانت أذا ( ننح ح أذا ( ر = ) ر . ) (ننر = ) اساسها هـ ر . ) (م اساسها هـ م

األثبات األثبات

هندسيه رر = = = = المتابعه هندسيه ثايت المتابعه ثايت

ح ح متتابعه األولى ن ن 33 = = ننمتتابعه األربعه الحدود وأوجد المتتابعه األولى بين األربعه الحدود وأوجد المتتابعه بين

هندسيه 33 = = = = المتتابعه إذا هندسيه ثابت المتتابعه إذا ثابت

عودهعوده

1ن +ح

نح

1ن +ح

نح

1ن +ر

نر

1ن +ح

نح

1ن + 3

ن 3


99 = = 22 33 = = 22ح ح 33 = = 11 33 = = 11ح ح

8181 = = 44 33 = = 44ح ح 2727 = = 33 33 = = 33ح ح

هـ . = ) هـ . = ) م ( (0000000000000000، ، 8181، ، 2727، ، 99، ، 33م

ر . = = اساسها ، أ األول حدها هـ م الهندسيه ر . = = المتتابعه اساسها ، أ األول حدها هـ م الهندسيه المتتابعه = = ن الحدود عدد ل األخير = = حدها ن الحدود عدد ل األخير ++ص ص ззحدها

أر . ) ، أر ، أ هـ أر . ) م ، أر ، أ هـ أر 22م أر ، ر / 0000000000، ، 33، ل ر / ، ل ،22) / ل ، ر ل ،) / ل ، ر ل ،

ر = أ ن ح الهندسيه للمتتابعه البدايه من العام ر = الحد أ ن ح الهندسيه للمتتابعه البدايه من العام 11ن – ن – الحد

ل = ) ( ن ح النهايه من العام ل = ) ( الحد ن ح النهايه من العام 11ن - ن - الحد

عودهعوده

11

رر


هـ. ) مثال:مثال: هـ. )م ((1638416384، ، 0000000000، ، 88، ، 44، ، 22مح ح أوجد ح 1010أوجد ؛ البدايه ح من ؛ البدايه النهايه 1010من النهايه من منهـ. ) مثال:مثال: هـ. )م ((1638416384، ، 0000000000، ، 88، ، 44، ، 22م

ح ح أوجد ح 1010أوجد ؛ البدايه ح من ؛ البدايه النهايه 1010من النهايه من من النهايه من البدايه النهايه من من البدايه من

( . هـ : م . )تدريب هـ : م الحد( 00000000، ، 1818، ، 66، ، 22تدريب رتبة الحد( أوجد رتبة أوجدقيمته قيمته الذى 14581458الذى

ر = 22= = أ أ ر = ، ،22

ر = ننح ح ر = أ 11ن – ن – أ

ر = 1010ح ح ر = أ 99أ

99 22× × 22 = = 1010ح ح

10241024 = = 1010حح

22ر = ر = 1638416384ل = ل =

11ن – ن – ل = × ) ( ل = × ) ( 1010حح

99 × ) ( × ) ( 1638416384 = = 1010حح

1638416384 ÷ ÷ 512512 = = 3232

1

1ر

2

عودهعوده


. : : مثالمثال ح فيها هـ م . كون ح فيها هـ م ح 9696 = = 66كون ح ، ،1111 = =

30723072 ر = 66ح ح ر = أ 55أ

ر ر أ ((11 ) )9696 = = 55أ

ر = 1111حح ر = أ 1010أ

ر ر أ ((22 ) )30723072 = = 1010أ

11÷ ÷ 22بقسمة بقسمة

3232 = = 55ر ر

فى )22ر=ر= فى )بالتعويض ( ( 11بالتعويض

33أ = أ =

هـ . ) هـ . ) م ((000000، ، 1212، ، 66، ، 33م

هامه حظه هامه مال حظه مال

ر. < متذايده هـ ر. < م متذايده هـ 11م

ر . | | > متناقصه هـ ر . | | > م متناقصه هـ 11م

ر = أ ر = ل أ 11ن -ن -ل

معادلتين تكوين معادلتين عند تكوين عندبهد المعادلتين بهد نقسم المعادلتين نقسم

حذف حذف ف وتكوين وتكوين أ أ ففى فى عالقه ررعالقه عودهعوده


. ح فيها التى هـ م . كون ح فيها التى هـ م + + 44،ح،ح1818 = = 33ح+ ح+ 22كون

7272= = 55حح

. ح فيها التى هـ م . كون ح فيها التى هـ م + + 44،ح،ح1818 = = 33ح+ ح+ 22كون

7272= = 55حح1818 = = 33ح+ ح+ 22ح ح ر ر أ ر + 11أ ر + أ ((11 ) )1818 = = 22أ7272= = 55ح + ح + 44حح

ر ر أ ((22 ) )7272= = 44أر + أر + 33أ44 = = ((11على( )على( )22بقسمة )بقسمة )

44 = = 22ر ر ((11بالتعويض )بالتعويض )22 ±±ر = ر =

ر = ر = عند 22عند33أ = أ = 1818أ = أ = 44أ + أ + 22

هـ. = ) هـ. = )م ((0000، ، 1212، ، 66، ، 33م

(1 ) 3أر ر +

ر ) + (1أر

ر = - 2عند

18أ = 4أ + 2-

9أ = 18أ =2

هـ. ) ، 36، 18، - 9م0000

تذكر تذكر - ( = ) ( د س د كان ) - إذا = ) ( د س د كان إذا

س (س (زوجيه الداله زوجيه فان الداله فان

- ( - = ) ( د س د كان ( = - ) - إذا ( د س د كان إذاس(س(

فرديه فرديه الداله الداله

تذكر تذكر - ( = ) ( د س د كان ) - إذا = ) ( د س د كان إذا

س (س (زوجيه الداله زوجيه فان الداله فان

- ( - = ) ( د س د كان ( = - ) - إذا ( د س د كان إذاس(س(

فرديه فرديه الداله الدالهعودهعوده


:تدريب:تدريب

هـ. )1.1. هـ. )م ح ( 000000، ، 1616، ، 3232، ، 6464م ح ( أوجد البدايه 77أوجد البدايه من من

هـ. ) 2.2. هـ. ) م من( 000000، ، 2020، ، 1010، ، 55م اكبر حد أول من( أوجد اكبر حد أول 500500أوجد

الرابع. 3.3. حدها عن الخامس حدها يزيد موجبه حدودها هـ الرابع. م حدها عن الخامس حدها يزيد موجبه حدودها هـ مبمقدار 2727بمقداربمقدار الثانى حدها عن الرابع حدها بمقدار ويزيد الثانى حدها عن الرابع حدها 3030ويزيد

. هـ م .أوجد هـ م أوجد

.4.4 = . منها حدود ثالث مجموع ـن اذاعلم هـ م . = فى منها حدود ثالث مجموع ـن اذاعلم هـ م فما فما 280280فىالحدود هذه الحدود رتب هذه رتب

مجموعهم = 5.5. هندسى تتابع فى أعداد مجموعهم = ثالث هندسى تتابع فى أعداد وحاصل وحاصل 77ثالثاألعداد 88ضربهم = ضربهم = هذه األعداد أوجد هذه أوجد

ضربهم: مالحظه مالحظه وحاصل هندسى تتابع فى أعداد ضربهم: ثالث وحاصل هندسى تتابع فى أعداد ثالثمعلوممعلوم

أر ، أ ، أر نفرضها ، أ ، نفرضها

أ

ر

عودهعوده

الصباغ الصباغ سعيد سعيد عودهعوده


الهندسيه الهندسيه األوساط الهندسيه األوساط الهندسيه األوساط األوساط هو ن عددها موجبه كميات لعدة الهندسى هو الوسط ن عددها موجبه كميات لعدة الهندسى الوسط

األعداد هذه ضرب لحاصل النونى األعداد الجذر هذه ضرب لحاصل النونى الجذر هو ب ، أ الموجبين للعددين الهندسى هو الوسط ب ، أ الموجبين للعددين الهندسى √ √ ±±الوسط

ب × ب × أ أ هندسيه متتابعه من حدود ثالث جـ ، ب ، أ كانت هندسيه أذا متتابعه من حدود ثالث جـ ، ب ، أ كانت أذا

ب ويكون جـ ، أ بين هندسى وسط ب ب فأن ويكون جـ ، أ بين هندسى وسط ب أ = أ = 22 فأنجـ× جـ×

أ ) – أذاكان أ ) – مثال أذاكان أ +11مثال أ +، أوجد ( 33، ، 22، هندسى فىتتابع أوجد ( أ هندسى فىتتابع أأ أ قيمة قيمة

هندسى( 2أ) + وسط

أ3( × 1أ = ) – 2( 2أ) +

أ3 – 2أ3 = 4أ +4 + 2أ

0 = 4أ – 7 – 2أ2

0( = 4أ() – 1أ + 2)

أ = -4أ = 1/2أوعودهعوده


الموحب الهندسى وسطهما عددان الموحب مثال الهندسى وسطهما عددان مثالبمفدار أحدهما عن بمفدار يزيد أحدهما عن اآلخر 44يزيد عن اآلخر وينص عن وينصالعددين 1212بمقدار بمقدار العددين أوجد أوجد

الموحب الهندسى وسطهما عددان الموحب مثال الهندسى وسطهما عددان مثالبمفدار أحدهما عن بمفدار يزيد أحدهما عن اآلخر 44يزيد عن اآلخر وينص عن وينصالعددين 1212بمقدار بمقدار العددين أوجد أوجدب ، أ العددين ب نفرض ، أ العددين نفرض

أ√ × – = ب أ√ × – = أ ب ((11 ) )44أ

= × ب - √ أ × = ب ب - √ أ ((22 ) ) 1212ب

بالجمعبالجمع

ا – = ا – = ب 1616ب

فى + 1616ب = ب = بالتعويض فى + أ بالتعويض أ((11))

أ√ ) + أ√ ) + أ بالتربيع بالتربيع 44أ( = + أ( = + 1616أ

أ = 1616 + + 22أ أ أ = أ 1616أ + أ + 88 + + 22أ

16ا = 8

ب = 2أ = 18بالتعويض

هامه قاعدهموجبين ( 1) عددين ألى

الهندسى < الوسط الحسابى الوسطفأن( . 2) هـ م أعداد ثالث

اآلخرين = ضرب حاصل الثانى مربع

هامه قاعدهموجبين ( 1) عددين ألى

الهندسى < الوسط الحسابى الوسطفأن( . 2) هـ م أعداد ثالث

اآلخرين = ضرب حاصل الثانى مربع

عودهعوده


مجموعهم : . مثالمثال ح م موجبه أعداد مجموعهم : . ثالث ح م موجبه أعداد ثالثالثالث 1818 للعدد أضيف الثالث وأذا للعدد أضيف األعداد 33وأذا األعداد كانت كانت

األعداد. اوجد هـ األعداد. م اوجد هـ م

مجموعهم : . مثالمثال ح م موجبه أعداد مجموعهم : . ثالث ح م موجبه أعداد ثالثالثالث 1818 للعدد أضيف الثالث وأذا للعدد أضيف األعداد 33وأذا األعداد كانت كانت

األعداد. اوجد هـ األعداد. م اوجد هـ مد – + أ ، أ ، د أ األعداد د – + نفرض أ ، أ ، د أ األعداد نفرض

د – + + + = أ أ د د – + + + = أ أ أ د 1818أ

66أ = أ = 1818أ = أ = 33

األعداد األعداد

( (66 ) – ، ، – ( د .66، ) ، ) 66د ح + ( م فى .د ح + ( م فى د

( (66 ) – ، ، – ( د هـ( . 33د + + د + + 66، ) ، ) 66د هـ( . م م

3636 ( = ( = 66 ( ) ( ) د – د + ( د + ( 99د –

د – 33 – – 5454 = = 3636 د – د 22د

0 = 18د – 3 + 2د

0 ( = 6د ( ) + 3د) –

د = - 3د = 6أو

د = األعداد 3عند

0 (6- 3 ) ،6 ( ،6 + 3)

3 ،6 ،9

د = - األعداد 6عند

-9 ،6 ،

عودهعوده


الحدود( = 11:):)تذكزتذكز عدد األخير الحد الحدود( = ررتبة عدد األخير الحد ررتبةاألوساط( = +22 ) ) عدد الحدود األوساط( = +عدد عدد الحدود 22 عددالحدود( = 11:):)تذكزتذكز عدد األخير الحد الحدود( = ررتبة عدد األخير الحد ررتبة

األوساط( = +22 ) ) عدد الحدود األوساط( = +عدد عدد الحدود 22 عدد بين 1010أدخل أدخل هندسيه بين أوساط هندسيه وأوجد وأوجد 61446144، ، 33أوساط

واألخير األول واألخير الوسطين األول الوسطيناألوساط األوساط عدد الحدود 1010عدد الحدود عدد عدد

1212

ر = أ ر = ل أ 11ن -ن -ل

33 ÷ ÷ 1111ر × ر × 33= = 61446144

1111ر= ر= 20482048

22ر = ر = 1111ر = ر = 1111 22

هـ. هـ. م ، ، 000000000000 66، ، 33م30743074 ، ،61446144

األول = األول = الوسط ااألخير ااألخير 66الوسط30743074

أر = األول أر = الوسط األول الوسط

/ ر = ل األخير /الوسط ر = ل األخير الوسط

رتبة عن تذيد الحد رتبة رتبة عن تذيد الحد رتبةبمقدار بمقدار الوسط 11الوسط

و و مثال 55ح = ح = 44مثال

الحدود - عدد األوساط الحدود - عدد عدد األوساط 22عدد

عودهعوده


فأن موجبين عددين جـ ، ب أذاكان فأن تذكر موجبين عددين جـ ، ب أذاكان تذكرجـ( = ) + ( / 11)) ب الحسابى جـ( = ) + ( / الوسط ب الحسابى . .22الوسط

الهندسى( = 22)) الهندسى( = الوسط × √ ±√ ±الوسط جـ × ب جـ ب

فأن موجبين عددين جـ ، ب أذاكان فأن تذكر موجبين عددين جـ ، ب أذاكان تذكرجـ( = ) + ( / 11)) ب الحسابى جـ( = ) + ( / الوسط ب الحسابى . .22الوسط

الهندسى( = 22)) الهندسى( = الوسط × √ ±√ ±الوسط جـ × ب جـ ب عددان ص ، س كان عددان أذا ص ، س كان أذا

موجبانموجبان

أن أن أثبت 22+ < + < أثبت

الوسط < الحسابى الوسط < الوسط الحسابى الوسطالهندسىالهندسى

÷ ] + [ ÷ ] + [22>>

بالضرب بالضرب 11 < < 22] + [ ÷ ] + [ ÷ ××22

> + > + 22

س

ص

ص

س

سس

صص

ص

س

س

ص

ص

س

س

صص

س

س

ص

ص

س

س

ص

تدريب تدريب

أعداد جـ ، ب ، أ أعداد أذاكان جـ ، ب ، أ أذاكانموجبهموجبه

أن أن أثبت أثبت

ب + < 11)1()1( ب + < أ ب 22أ ب أ أ

ب + < )2()2( جـ ب + < أ جـ جـ 22أ جـ أب أب

أ) + () + ( <)3()3( جـ ب أ) + () + ( <أ جـ ب أأجـ أجـ 44 عودهعوده


= . مجموعهم هـ م تكون اعداد . = ثالث مجموعهم هـ م تكون اعداد 7070ثالثفى األول ضرب فى وأذا األول ضرب فى 44وأذا فى والثانى 55والثانى

فى فى والثالث . 44والثالث األعداد أوجد ح م الناتج . كون األعداد أوجد ح م الناتج كون

= . مجموعهم هـ م تكون اعداد . = ثالث مجموعهم هـ م تكون اعداد 7070ثالثفى األول ضرب فى وأذا األول ضرب فى 44وأذا فى والثانى 55والثانى

فى فى والثالث . 44والثالث األعداد أوجد ح م الناتج . كون األعداد أوجد ح م الناتج كونر أ ، أر ، أ األعداد ر نفرض أ ، أر ، أ األعداد 22نفرض

ر + + أأ أ ر ر + + أ أ ر 7070= = 22أ

ر + + 11أ ) أ ) ر + + ر ((11 ) )7070 ( = ( = 22ر

44 ، ، أ ، 55أ ، أر ر 44أر ر أ .22أ ح .م ح م

حسابى 55 وسط حسابى أر وسط أر

ر 44أ + أ + 44أر = أر = 55× × 22 ر أ بالقسمه بالقسمه 22أأأ22÷÷

22ر ر 22 + + 22ر = ر = 55

0 = 2ر + 5 – 2ر2

0( = 2ر( ) – 1ر- 2)

ر = 1/2ر = ،2

ر = فى 1/2عند بالتعويض(1 )

(10، 20، 40األعداد ) 40أ =

ر = 10أ( = 1ومن )2عند

(40، 20، 10األعداد )عودهعوده

الصباغ الصباغ سعيد سعيد عودهعوده


أيجاد مجموع المتتابعه الهندسيهأيجاد مجموع المتتابعه الهندسيهأيجاد مجموع المتتابعه الهندسيهأيجاد مجموع المتتابعه الهندسيه ( .أر، ار ، أ هـ ،أر. ) م ار ، أ هـ ر 22م أ ر ؛ أ /00000000000000؛ ؛ 33؛ ر ل ،/ ر ل ،22 / ، ر ل ، / ، ر ل ،

ل(ل(

> = ر حيث ن ر = < جـ حيث ن تذايديه 11جـ تذايديه المتتابعه المتتابعه

= ن ن = جـ | > جـ ر | | > حيث ر | متناقصه متناقصه 11حيث

= األول الحد علم أذا يستخدم ن األول = جـ الحد علم أذا يستخدم ن جـواألخير ، ، واألخير ، ، ، ،

ر ) ر ) أ ((11 – – ن ن أ

11ر - ر -

( (ن ن ر - ر - 11أ )أ )

ر - ر - 11

ر ر ل أ– أ– ل

11ر - ر -

عودهعوده


ح. فيها هـ ح. م فيها هـ ح 33 = = 11م ح ؛ ننح ح 22 = = 11ن+ن+؛

منها األولى الخمسه الحدود مجموع منها أوجد األولى الخمسه الحدود مجموع أوجدح. فيها هـ ح. م فيها هـ ح 33 = = 11م ح ؛ ننح ح 22 = = 11ن+ن+؛

منها األولى الخمسه الحدود مجموع منها أوجد األولى الخمسه الحدود مجموع أوجد+33أ = أ = ن ح ،+ ن ح ن ÷ = 11، ن ÷ = ح 22ح

= ر = األساس ر 22األساس

هـ . ) هـ . ) م ( ( 00000000، ، 1212، ، 66، ، 33م

ن = ن = جـ جـ

= = 55جـ جـ

9393 ( = ( = 11 - -3232 ) ) 33 = = 55جـ جـ

ر ) ر ) أ ((11 – – ن ن أ

11ر - ر - 33 ( (22 55 – – 11))

22 - - 11

هامه هامه نتائج نتائج

ر = األساس ر = أذاكان األساس 11أذاكانفأن فأن

أ = × ننجــ جــ أ = × ن ن

ر | | > األساس ر | | > اذاكان األساس 11اذاكانيمكن متناقصه يمكن المتتابعه متناقصه المتتابعه

ماال ألى حدودها ماال جمع ألى حدودها جمعنهايهنهايه

جــ ∞ =جــ ∞ =

أ أ

ر - ر - 11

عودهعوده


هـ. ) هـ. )م أوجد( أوجد( 30723072، ، 0000000000؛ ؛ 1212، ، 66، ، 33محدودها حدودها مجموع مجموع

هـ. ) هـ. )م أوجد( أوجد( 30723072، ، 0000000000؛ ؛ 1212، ، 66، ، 33محدودها حدودها مجموع مجموع

ر = 33أ = أ = ر = ، ل = 22، ل = ، ،20722072

= = ننجـ جـ

= = ننجــ جــ

62136213 = = ننجــ جــ

ر ر ل أ– أ– ل

11ر - ر -

30723072 × ×22 – –33

22 - - 11

تدريباتتدريبات

األول. = )1()1( حدها هـ األول. = م حدها هـ واألخير واألخير 1/41/4مأوجد أوجد 6363وو7575ومجموعها = ومجموعها = 3232= =

الحدود الحدود عدد عدد

)2()2( . هـ م حدود من عدد اقل . أوجد هـ م حدود من عدد اقل أوجدمن ( 000000، ، 88، ، 44، ، 22) ) بتدأ من ( إ بتدأ إ

المجموع ليكون األول المجموع حدها ليكون األول حدهامن من اكبر 6262اكبر

األربعه. الحدود مجموع هـ األربعه. م الحدود مجموع هـ ماألربعه 7575األولى =األولى = مجموع األربعه ، مجموع ،

لها = لها = التاليه أوجد أوجد 12001200التاليهالمتتابعهالمتتابعه عودهعوده


جـ بين والنسبه موجبه حدودها هـ جـ م بين والنسبه موجبه حدودها هـ 99م؛جـ : ؛جـ : الولى أساس 99: : 7373األولى = األولى = 66الولى أساس أوجد أوجد

ح بيم الحسابى الوسط وأذاكان ح المتتابعه بيم الحسابى الوسط وأذاكان 33المتتابعهح ح ، بمقدار 55، الهندسى وسطهم عن بمقدار يذيد الهندسى وسطهم عن 44يذيد


جـ بين والنسبه موجبه حدودها هـ جـ م بين والنسبه موجبه حدودها هـ 99م؛جـ : ؛جـ : الولى أساس 99: : 7373األولى = األولى = 66الولى أساس أوجد أوجد

ح بيم الحسابى الوسط وأذاكان ح المتتابعه بيم الحسابى الوسط وأذاكان 33المتتابعهح ح ، بمقدار 55، الهندسى وسطهم عن بمقدار يذيد الهندسى وسطهم عن 44يذيد

المتتابعه المتتابعه أوجد 9 : 73 = 6جـ : 9جـ أوجد

= × 73 : 9

=

=

73 +3ر73 = 9 + 3ر 9 + 6ر 9

1ر –

ر) (1 – 6أر ) ( 1 – 9أ

1ر - ( 1 – 9ر )

1 - 6ر73

9

3ر + 6ر( ) 1 – 3ر ) +1)

(1 + 3ر() 1 – 3ر)

73

9

0 = 64 – 3ر 64 – 6ر 9

0( = 8- 3ر() 8 + 3ر 9)

ر 8 = - 3ر9 ر 8= 3مرفوض =2

ح ) الحسابى ( ÷ 5ح + 3الوسط2

أ 10 = 2أ ( ÷ 16أ + 4)

ح بين الهندسى ح 3الوسط ،5 أ 8= 4ح=

2أ = 4أ = 8أ – 10

(000، 8، 4، 2هـ ) 0م

عودهعوده


الواحد 00مم من أصغر وأساسها موجبه حدودها جميع الواحد هـ من أصغر وأساسها موجبه حدودها جميع هـح الحسابى الوسط ، ح الصحيح الحسابى الوسط ، ح 33 الصحيح ح ، ووسطهم ووسطهم 3030 = =55،

هـ 2424الهندسى الهندسى م هـ أوجد م أوجدعلى اليذيد مهماكبر حدودها مجموع أم أثبت على ثم اليذيد مهماكبر حدودها مجموع أم أثبت 384384ثم

الواحد 00مم من أصغر وأساسها موجبه حدودها جميع الواحد هـ من أصغر وأساسها موجبه حدودها جميع هـح الحسابى الوسط ، ح الصحيح الحسابى الوسط ، ح 33 الصحيح ح ، ووسطهم ووسطهم 3030 = =55،

هـ 2424الهندسى الهندسى م هـ أوجد م أوجدعلى اليذيد مهماكبر حدودها مجموع أم أثبت على ثم اليذيد مهماكبر حدودها مجموع أم أثبت 384384ثم

30 = 2 ( ÷ 5ح + 3ح)

ر) ر + 2 أ 30 = 2 ( ÷4أ

ر ر + 2أ (1 )60 = 4أ

ح للحدين الهندسى ح 3الوسط ح = 5،

4

(2على( )1بقسمة( )2 )24 = 3أر

=

=

0 = 2ر + 5 – 2 ر2

( ( 22ر + ر + 11 ) ) 22أرأر

33 أرأر

60

242ر+ 1

ر

5

2

ر = 1/2ر= مرفوض 2أو

فى )1/2ر= (2بالتعويض

192أ =

000، 48، 96، 192هـ) 0م

جــ ∞ =

(1/2 – 1 ÷ ) 192جــ ∞=

=192 × 2 = 384

أ

ر - 1

0 ( =2ر() – 1ر – 2)

عودهعوده


م 44إذاكان إذاكان جـ ، ب م ، جـ ، ب وكانت 00، وكانت ح ب + 22ح ب + ، م 55، ، 33، م جـ جـجـ ∞ اوجد جـثم ، ب من كال قيمة اوجد جـ ∞ هـ اوجد جـثم ، ب من كال قيمة اوجد هـ

+55للمتتابعه )للمتتابعه ) ب ، +جـ ب ، ، ، 22، ، 33جـ

م 44إذاكان إذاكان جـ ، ب م ، جـ ، ب وكانت 00، وكانت ح ب + 22ح ب + ، م 55، ، 33، م جـ جـجـ ∞ اوجد جـثم ، ب من كال قيمة اوجد جـ ∞ هـ اوجد جـثم ، ب من كال قيمة اوجد هـ

+55للمتتابعه )للمتتابعه ) ب ، +جـ ب ، ، ، 22، ، 33جـ

وسط 4 ب أذا ح م جـ ، ب ،حسابى

جـ + = 4ب = 2 4ب – 2جـ(1 )

ب + 2 ،3 ،5 + ب وسط 3جـهندسى

ومن( 2 )جـ 10 = 2 ( 3ب) +(1 )

( 4ب – 2 ) 10 = 9ب + 6 + 2ب

40ب – 20 = 9ب + 6 + 2ب

0 = 49ب + 14 – 2ب

0( = 7ب( ) – 7ب) –

فى )77ب = ب = فى )وبالتعويض ((11وبالتعويض

1010 = = 44 – – 1414جـ = جـ =

هـ ) هـ ) م ((000000، ، 5050، ، 1010، ، 22م

هـ ) هـ ) م ب +55م ، ب +جـ ، 0000، ، 22، ، 33جـ

متناقصه متناقصه 0000، ، 22، ، 1010، ، 5050))

1/51/5ر = ر = 5050أ = أ =

جــ ∞ = = جــ ∞ = = 6262وو55

50

1 -1/5

عودهعوده


مجموع = فيها حد اى غيرمنتهيه هـ مجموع = م فيها حد اى غيرمنتهيه هـ مح ن له التاليه ح الحدود ن له التاليه أوجد أوجد 11 = = 22ح+ ح+ 11الحدودالمتتابعهالمتتابعه

مجموع = فيها حد اى غيرمنتهيه هـ مجموع = م فيها حد اى غيرمنتهيه هـ مح ن له التاليه ح الحدود ن له التاليه أوجد أوجد 11 = = 22ح+ ح+ 11الحدودالمتتابعهالمتتابعه

∞ 22أ = أ = ح من أبتدأ ∞ جـ ح من أبتدأ 22جـ

أ× 22أ = أ = أ× بحذف بحذف

ومنها 22ر- = ر- = 11 ومنها ر 11ر = ر = 33ر

((11 ) )1/31/3ر= ر=

11 = =22ح + ح + 11ح ح

أر + = أر + = أ من )11أ من )بالتعويض ((11بالتعويض

أ = 11أ = أ = 1/31/3أ + أ + أ = ومنها 3/43/4ومنها

( ، ، ، هـ ، ) م ، ، هـ 000000م

أر

ر - 1

1

12

1

4

3

4

الدائر العشرى الكسر

و + 3 = و300و+003و+03

الدائر العشرى الكسر

و + 3 = و300و+003و+03

أ ∞ = و3 حيث ، 3جـ وو1ر=

و = = 3

يمكن = 3 وتحويل

عدد الى الدائر الكسرنسبى

و 3

و1- 1

و3

و9 1

3

عودهعوده


تدريباتتدريباتعن( 11 الخامس حدها يزيد موجبه حدودها هـ عن( م الخامس حدها يزيد موجبه حدودها هـ م

بمقدار الرابع بمقدار حدها الرابع الرابع 2727حدها حدها الرابع ويزيد حدها ويزيدبمقدار الثانى حدها بمقدار عن الثانى حدها 3030عن

الخامس الحد وقيمة المتتابعه الخامس أوجد الحد وقيمة المتتابعه أوجد

ح( 22 فاذاكان موجبه حدودها هـ ح( م فاذاكان موجبه حدودها هـ 33 = = 66ح ح 22 + + 55م44ح ح


مجموعهم( = 33 هندسى تتابع فى أعداد مجموعهم( = ثالث هندسى تتابع فى أعداد ثالثمقلوباتهم = 2121 مقلوباتهم = ومجموع األعداد 7/127/12ومجموع األعداد أوجد أوجد

بين 77أدخل( أدخل( 44 هندسيه بين أوساط هندسيه أوجد أوجد 768768، ، 33أوساطواألخير األول واألخير الوسطين األول الوسطين

عودهعوده


الهندسى( 55 وسطهم الهندسى( عددان وسطهم بمقدار 44عددان األخر عن يزيد بمقدار واحدهم األخر عن يزيد هما 66واحدهم هما فما فماالعددانالعددان

بين( 66 هندسيه أوساط عدة أدخلت بين( أذا هندسيه أوساط عدة أدخلت مجموع 576576، ، 99أذا بين النسبه مجموع وكانت بين النسبه وكانتهى اآلخرين الوسطين مجموع ألى األوبين هى الوسطين اآلخرين الوسطين مجموع ألى األوبين 88: : 11الوسطين

األوساط تلك عدد األوساط فما تلك عدد فما

ح( )77 ح( )م ، 66م ، أ ، 33أ ، ب ، 22ب ، جـ أن( 22جـ أثبت موجبه أن( د أثبت موجبه د

جـ 44 < < 22ب ب 33( ( 11)) جـ أ د 33أجـ +أجـ +44 < <22جـجـ22 + + 22بب33( ( 22 ) ) أ د ب ب

جـ( 88 هـ جـ( م هـ ح 33جـ جـ 2828األولى = األولى = 66م ، ح األولى ، هـ 100100= = 33ح+ ح+ 11األولى م هـ اوجد م اوجد

جـ( 99 فيها هـ جـ( م فيها هـ جـ 6363األولى = األولى = نن22،جـ ،جـ 77األولى = األولى = ننم جـ أوجد األولى األولى نن33أوجد

جـ( ∞ = 1010 فيها هـ جـ( ∞ = م فيها هـ حدودها 1818م مربعات حدودها ومجموع مربعات هـ 162162ومجموع م هـ أوجد م أوجد

1111<| س( | كان |>اذا س( | كان قيمة 11اذا قيمة أوجد ∞∞00000000++33سس44++22سس33س+س+22++11أوجد

مجموعهم( = 1212 ح م أعداد مجموعهم( = ثالث ح م أعداد الثالث , 2727ثالث الحد ألى أضيف الثالث , أذا الحد ألى أضيف 1212أذاأصبحت أصبحت

األعداد هى فما هندسى تتابع فى األعداد العداد هى فما هندسى تتابع فى العداد

عودهعوده


بالتوفيق االمانى أطيب بالتوفيق مع االمانى أطيب مع

/ الصباغ سعيد / أ الصباغ سعيد أ للقائمه للقائمه عوده عوده

Documents

المتتابعات