5_Umar_Reky.pdf

7/25/2019 5_Umar_Reky.pdf

1/20

Paradigma, Vol. 14No. 2 Agustus 2010 hlm. 151170

IMPLEMENTASI MATLAB UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT

BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON DAN LAPLACE 2D

La Ode Muhammad Umar RRR1)

1) Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Haluoleo Kendari, 93231

ABSTRAK

Pada tulisan ini, metode beda hingga dan metode iterasi Succesive Over Relaxation (SOR)

digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D pada domainsegiempat. Metode ini tidak hanya menghasilkan akurasi numerik yang sangat baik tetapi juga

sangat efisien. Lebih lanjut, diberikan program komputer dalam Matlab.

Kata Kunci: Persamaan Poisson dan Laplace, metode beda hingga, SOR, Matlab

ABSTRACT

In this paper, the finite difference methods and succesive over relaxation (SOR) are used to

determine the solutions of Poisson and Laplace equation on a rectangular domain. These methodsnot only preserve the accuracy but also provide the efficiency. Moreover, computer program are

presented in Matlab

Keywords: Poisson and Laplace equations, finite difference, SOR, Matlab

Diterima : 16 Juni 2010

Disetujui untuk dipublikasikan : 2 Agustus 2010

1. Pendahuluan

Persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D sering dijumpai pada masalah

teknik dan fisika. Persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D dijumpai pada masalah

fluida, potensial, elastisitas, konduksi panas, air tanah dan lain-lain. Seperti persamaan

differensial lainnya, kerumitan penyelesaian persamaan differensial Poisson dan Laplace

2D terletak pada bentuk syarat batas yang menyertai persamaan differensial tersebut. Pada

tulisan ini diberikan cara penyelesaian persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D

dengan ketiga tipe syarat batasnya yaitu Dirichlet, Neumann, dan Robbin yang

diimplementasikan dalam program komputer menggunakan Matlab.


2/20

Implementasi Matlab untuk Menyelesaikan Masalah Syarat Batas Persamaan Differensial Poisson dan Laplace 2d 152

2. Skema Numerik dan Program Komputer

a. Partisi Domain

Diberikan persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D

),(),(

),(

2

2

2

2

yxfy

yxu

x

yxu=

+

(1)

dengan domain { }qypxyx = 0,0|),( . Batas-batas domain dapat bertipe

Dirichlet, Neumann, atauRobin.

Penyelesaian persamaan (1) dengan metode beda hingga, dimulai denganmempartisi domain seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Domain dan partisinya.

Program komputer (bagian 1):

close all; clear all; clc;%Bagian 1% Menyelesaikan PD Poisson & laplace% dengan domain segi empat dengan 3 tipe syarat batas dapat dipilih% beripe Dirichlet, Neumman, Robbin.%% j


3/20

Paradigma, Vol. 14No. 2 Agustus 2010 hlm. 151170 153

% y | Syarat batas 2% J tinggi ---------------------#% . | |% . | |% . | |% . | |% .Syarat batas 3 | Uxx + Uyy = f | Sayarat batas 4% . | |% .| |% 3 | |% 2 | |% 1 #---------------------+--- x% 0 lebar

% Syarat batas 1% 1 2 3 ................ I i%------------------------------------------------------------------disp(' BENTUK UMUM : Uxx + Uyy = f ');disp(' -------------------------------');disp(' Jenis Persamaan Differensial: ');disp(' 1. Laplace ')disp(' 2. Poisson ')PD=input(' * pilih 1-2 : ? ');

if PD==1,f=0;

else f=input(' f = ? ');

end; %ifdisp('UKURAN DOMAIN')disp('--------------')lebar= input(' lebar = ? ');tinggi= input(' tinggi = ? ');I=input('I:indeks maks.pilahan pd arah sb-x. i=1,2,.,I. I = ? ');J=input('J:indeks maks.pilahan pd arah sb-y. j=1,2,.,J. J = ? ');

h=lebar/(I-1); % lebar kisik=tinggi/(J-1);% tinggi kisidisp(' ');% program bersambung ke bagian berikutnya

b. Skema Iterasi Pada Batas dan Bagian Dalam DomainPersamaan (1) selanjutnya ditulis menjadi

jijiji fy

u

x

u,,2

2

,2

2

)()( =

+

(2)


4/20


jika digunakan rumus pendekatan

2

,1,,1

,2

2 2)(

h

uuu

x

u jijijiji

+ +

dan

2

1,,1,

,2

2 2)(

k

uuu

y

u jijijiji

+ +

maka persamaan (2) dapat didekati dengan skema

ji

jijijijijijif

k

uuu

h

uuu,2

1,,1,

2

,1,,1 22=

++

+ ++

atau

+

+

++

=

++

22

,2

1,1.

2

,1,1

,11

2kh

fk

uu

h

uu

uji

jijijiji

ji . (3)

Persamaan (3) merupakan skema untuk mencari upada titik-titik grid yang terletak

pada bagian dalam domain, jadi berindeks i=2,3,...,I-1 j=2,3,...,J-1. Adapun untuk titik-

titik grid yang terletak pada batas domain dalam hal inijiu , dengan salah satu atau kedua

indeksnya adalah i=1, i=I,j=1,j=1,j=J, dibutuhkan modifikasi persamaan (3) sesuai syarat

batas yang diberikan (Robin atauNeumann). Pada batas bertipe Dirichlet, nilai u telah

diketahui, sehingga tidak dibutuhkan skema numerik untuk mencari nilai u pada batas

tersebut. Pada sudut batas yang dibentuk oleh dua batas bertipe Dirichlet, nilai u

diasumsikan sama dengan nilai urata-ratanya. Jika sudut batas dibentuk oleh batas bertipeDirichlet dan batas lainnya bertipe Robin atau Neumann maka nilai u pada sudut batas

tersebut diasumsikan mengikuti nilai udari batasDirichlet.

Nilai-nilai upada batas bertipeRobinatauNeumannbelum diketahui, oleh karena

itu dibutuhkan skema numerik untuk mencari nilai upada batas-batas tersebut.

Diketahui bentuk umum syarat batas merupakan tipeRobin, yaitu


5/20


6/20


Gambar 3. Domain dengan syarat batasRobinatauNeumann

Misalkan domain pada Gambar 3.4 dengan batas batas kiri bertipe Robin, yaitu

33 ),(),(

+=

yxu

x

yxu, ,0=x qy 0 (5)

dengan33 , bilangan konstan.

Persamaan (5) dapat ditulis menjadi

J,211,,)( 3,3, ,...,jiux

ujiji ==+=

. (6)

Jika digunakan rumus pendekatan

h

uu

x

u jijiji

2)(,1,1

,

+

maka persamaan (6) dapat didekati dengan skema

3,3

,1,1

2 +=

+

ji

jijiu

h

uu; i=1;j=1,2,...,J. (7)

44 +=

u

x

u

22 +=

u

y

u

X

q

0 p

33 +=

u

u

11 +=

u

y

u

Y


7/20


Jika i=1 digunakan pada skema PD Poisson dan Laplace 2D (3) dan persamaan (7) maka

akan dijumpai ju ,0 dengan j=1,2,...,J. Sedangkan diketahui bahwa indeks terkecil untuki

adalah 1, ini berarti ju ,0 adalah titik-titik fiktif . Oleh karena itu u0,j tidak dapat digunakan

secara langsung.

Persamaan (3) untuk i=1, diperoleh

+

+

++

=

+

22

,12

1,11.1

2

,2,0

,111

2kh

f

k

uu

h

uu

u

j

jjjj

j . (8)

Persamaan (7) untuk i=1, diperoleh

3,13

,0,2

2 +=

j

jju

h

uu

atau

jjj uhhuu ,133,2,0 22 = . (9)

Persamaan (9) disubstitusi pada persamaan (8), diperoleh

2111

2

22

3222

,12

1,11.1

2

3,2

,1

hhkh

fk

uu

h

hu

uj

jjj

j

+

+

+

+

=

+

. (10)

Persamaan (10) merupakan skema untuk mencari ju ,1 , j=2,3,..., J-1. Sedangkan skema

untuk mencari1,1u dan Ju ,1 belum dapat ditentukan, karena melibatkan syarat batas lain

yang membentuk sudut-sudut tersebut.

Misalkan domain pada Gambar 3.4, batas bagian atas domain juga bertipe

Robin,yaitu

22 ),(),(

+=

yxu

y

yxu, qypx = ,0 (11)


8/20


dengan 22 , bilangan konstan.

Persamaan (11) dapat ditulis menjadi

2,2,)( +=

jiji u

y

u, i=1,2,...,I, j=J. (12)

Jika digunakan rumus pendekatan

k

uu

y

u jijiji

2)(

1,1,

,

+

maka persamaan (12) dapat didekati dengan

2,2

1,1,

2 +=

+

ji

jijiu

k

uu; i=1,2,...,I;j=J

atau

221J,1J, 2 ++= + kuu ii , i=1,2,...,I . (13)

Diketahui indeks terbesar untukjadalah J. Jadi 1J, +iu , i=1,2,3,...,I adalah titik-titik

fiktif.

Skema PD Poisson (3) untuk j = J adalah

+

+

++

=

++

22

J,2

1J,1J.

2

J,1J,1

J,11

2kh

fk

uu

h

uu

ui

iiii

i (14)

Persamaan (13) disubstitusi ke persamaan (14) diperoleh skema untuk J,iu yaitu

2222

J,2

21J.

2

J,1J,1

J,

2111

2

22

kkkh

fk

ku

h

uu

u

iiii

i

+

+

+

=

+

(15)

dengan i=2,3,...,I-1. Untuk J,1u dan JI,u ( u pada sudut batas domain) masih memerlukan

informasi tambahan dari syarat batas yang lain yang membentuk sudut-sudut tersebut.

Karena diketahui domain pada Gambar 4, batas kiri dan batas kanan domain bertipeRobin,


9/20


maka skema u pada sudut kiri atas ( J,1u ) diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (9)

dan (13) ke persamaan (3), diperoleh

223222

J,12

21J.

2

3J,2

J,1

21

2111

2

2222

kk

hhkh

fk

ku

h

hu

u

i

+

+

+

+

=

. (16)

Khusus untuk sudut batas yang dibentuk oleh batas-batas Dirichlet, nilai u pada

sudut diasumsikan sama dengan nilai u rata-ratanya. Jika sudut batas dibentuk oleh batas

bertipe Dirichlet dan batas yang lainnya bertipe Robin atau Neumann maka nilai u pada

sudut tersebut diasumsikan mengikuti nilai udari batas bertipeDirichlet.

Setelah semua skema untuk u tersedia, maka untuk u yang belum diketahui

nilainya diberikan sebarang nilai awal)0(u , selanjutnya diiterasi menggunakan skema

SOR, yaitu

1

,,, )).(1(.)(

+=v

jiji

v

ji uuu

(17)

dengan v nomor iterasi (v = 1,2,3,...), jiu ,

adalah ui,j dari skema titik grid pada bagian

dalam domain (persamaan (3)) dan skema batas Robinatau Neumann. Parameter SOR

dipilih 20


10/20


fprintf('\n Syarat batas sisi ke');fprintf('%2d ',(s));fprintf('\n 1. Dirichlet ');fprintf('\n 2. Neumann ');fprintf('\n 3. Campuran (Robyn)\n');

tipe = input(' * pilih 1-3 : ');switch tipecase 1,

TipeBC(s)=1; % syarat batas sisi ke s bertipe DirichletBC(s)=input(' u = ');

case 2,TipeBC(s)=3; % syarat batas bertipe Neummann dianggap

alfa(s)=0; % syarat batas bertipe Robyn dgn alfa=0 switch scase 1,

fprintf(' du/dy ');case 2,

fprintf(' du/dy ');case 3

fprintf(' du/dx ');case 4,

fprintf(' du/dx ');otherwise

% tidak ada lagi sisiend %switch sBC(s)=input(' = ');

%syarat batas sisi ke s bertipe Robynotherwise,

TipeBC(s)=3;switch s

case 1,disp(' dU/dy=alfa.u+betta');

case 2,disp(' dU/dy=alfa.u+betta');

case 3disp(' dU/dx=alfa.u+betta');

case 4,disp(' dU/dx=alfa.u+betta');

otherwise % tidak ada lagi sisi Robynend %switch s

alfa(s)=input(' alfa =');BC(s)=input(' betta = ');

end % switch tipeend; %for s


11/20


% inisialisasi U pada batasfor i=1:I

U(i,1)=0;U(i,J)=0;

end;for j=1:J

U(1,j)=0;U(I,j)=0;

end;

% set nilai U pada syarat batas bertipe Dirichlet

if TipeBC(1)==1,for i=1:IU(i,1)=BC(1);

end;A1=U(1,1); B1=U(I,1);

end; % if

if TipeBC(2)==1,for i=1:I

U(i,J)=BC(2);end;

C2=U(1,J); D2=U(I,J);end; % if

if TipeBC(3)==1,for j=1:J

U(1,j)=BC(3);end;

A3=U(1,1); C3=U(1,J);end; % if

if TipeBC(4)==1,for j=1:J

U(I,j)=BC(4);end;

B4=U(I,1); D4=U(I,J);end; % if

%----- nilai U pada titik pojok mengikuti sisi Dirichlet-----

% pojok Aif TipeBC(1)==1 & TipeBC(3)==1 ,

U(1,1)=(A1+A3)/2;end;if TipeBC(1)==1 & TipeBC(3)==3,


12/20


U(1,1)=A1;end;if TipeBC(1)==3 & TipeBC(3)==1,

U(1,1)=A3;end;

% pojok Bif TipeBC(1)==1 & TipeBC(4)==1,

U(I,1)=(B1+B4)/2;end;if TipeBC(1)==1 & TipeBC(4)==3,

U(I,1)=B1;end;

if TipeBC(1)==3 & TipeBC(4)==1,U(I,1)=B4;end;

% pojok Cif TipeBC(2)==1 & TipeBC(3)==1,

U(1,J)=(C2+C3)/2;end;if TipeBC(2)==1 & TipeBC(3)==3,

U(1,J)=C2;end;if TipeBC(2)==3 & TipeBC(3)==1,

U(1,J)=C3;end;

% pojok Dif TipeBC(2)==1 & TipeBC(4)==1,

U(I,J)=(D2+D4)/2;end;if TipeBC(2)==1 & TipeBC(4)==3,

U(I,J)=D2;end;if TipeBC(2)==3 & TipeBC(4)==1,

U(I,J)=D4;end;

% set tebakan awal U pada sisi dgn tipe Neumann atau Robyn

% sisi ke 1if TipeBC(1)==3 & TipeBC(2)==1,

for i=2:I-1U(i,1)=(BC(2)-tinggi*BC(1)-tinggi)/(1+tinggi*alfa(1));

end;end; % if


13/20



for i=2:I-1U(i,J)=BC(1)+tinggi*BC(2)/(1-tinggi*alfa(2));

end;end; % if


for j=2:J-1U(1,j)=BC(4)-lebar*BC(3)/(1+lebar*alfa(3));

end;end; % if


for j=2:J-1U(I,j)=BC(3)+lebar*BC(4)/(1-lebar*alfa(4));

end;end; % if

% Tebakan awal pojok yang dibentuk 2 sisi Neumann atu Robyn

% pojok Aif TipeBC(1)==3 & TipeBC(3)==3,A1=(U(1,2)-k*BC(1))/(1+k*alfa(1));A3=U(2,1)-h*BC(3)/(1+h*alfa(3));

U(1,1)=(A1+A3)/2;end;% tebakan awal pojok Bif TipeBC(1)==3 & TipeBC(4)==3,

B1=U(I,2)-k*BC(1)/(1+k*alfa(1));B4=U(I-1,1)-h*BC(4)/(1+h*alfa(4));U(I,1)=(B1+B4)/2;

end;

% tebakan awal pojok Cif TipeBC(2)==3 & TipeBC(3)==3,

C2=U(1,J-1)+k*BC(2)/(1-k*alfa(2));

C3=U(2,J)-h*BC(3)/(1+h*alfa(3));U(1,J)=(C2+C3)/2;end;

% tebakan awal pojok Dif TipeBC(2)==3 & TipeBC(4)==3,

D2=U(I,J-1)+k*BC(2)/(1-k*alfa(2));D4=U(I-1,J)+h*BC(4)/(1-h*alfa(4));U(I,j)=(D2+D4)/2;


14/20


end;

H=lebar/2; K=tinggi/2;r=sqrt(H*H+K*K);aver = (U(1,1)+U(I,1)+U(1,J)+U(I,J)-r*r*f)/4;%tebakan awal titik interiorfor i=2:I-1

for j=2:J-1U(i,j)=0;%aver

endend

Ukonv=0; % inisialisasi banyaknya titik konvergenbanyakU=I*J; % banyaknya U seluruhnyaepsilon=10.^(-6); % nilai toleransi perbedaan nilai UMj=(cos(pi/(I+1)) + cos(pi/(J+1)))/2;w= 1.5;%2/(1+sqrt(1-Mj.^2));

dh=1/(h*h); dk=1/(k*k); dhk= 2*(dh+dk);iter=0;%-------------------Bagian iterasi--------------------------while Ukonv1&i1&j1&i1&i1&j


15/20


U(1,j)= (dh*(2*U(2,j) - 2*h*BC(3))+dk*(U(1,j-1)+U(1,j+1))- f)/(dhk+dh*2*h*alfa(3));

elseif i==I & j>1&j


16/20


end % for j

end% for i

fprintf('\nIterasi ke'); fprintf('%5d ',iter);fprintf('banyak U konvergen');fprintf('%5d ',Ukonv);fprintf(' //');fprintf('%5d',banyakU);

if iter==100000, break; end %ifend % while--------------------End iterasi-----------------------

% plot nilai U pada domain

arsiran= U(1:I,1:J); pcolor(arsiran)colorbar vert

shading interptitle('Grafik Kontur Solusi Numerik');xlabel('x'); ylabel('y');

drawnow;fprintf('\nSelesai\n');

3. Simulasi

Diberikan PD Laplace 2D

( ) ( )0

,,2

2

2

2

=

+

y

yxu

x

yxu

dengan domain }10,10|),{( = yxyx dan syarat batas:

u(x,0)= 1, 21,

=

xy

u, 13

,0

+=

u

x

u

y

, 14,1

+=

u

x

u

y

Hasil program komputer diatas :

BENTUK UMUM : Uxx + Uyy = f-------------------------------Jenis Persamaan Differensial:1. Laplace2. Poisson* pilih 1-2 : ? 1


17/20


UKURAN DOMAIN--------------lebar = ? 1tinggi = ? 1I:indeks maks.pilahan pd arah sb-x. i=1,2,.,I. I = ? 33J:indeks maks.pilahan pd arah sb-y. j=1,2,.,J. J = ? 33

SYARAT BATAS------------ Syarat batas sisi ke 11. Dirichlet2. Neumann3. Campuran (Robyn)

* pilih 1-3 : 1u = 1

Syarat batas sisi ke 21. Dirichlet2. Neumann3. Campuran (Robyn)* pilih 1-3 : 2

du/dy = 2

Syarat batas sisi ke 31. Dirichlet2. Neumann3. Campuran (Robyn)

* pilih 1-3 : 3dU/dx=alfa.u+betta

alfa =3betta = 1

Syarat batas sisi ke 41. Dirichlet2. Neumann3. Campuran (Robyn)* pilih 1-3 : 3

dU/dx=alfa.u+bettaalfa =-4betta = 1

Iterasi ke 1 banyak U konvergen 33 // 1089Iterasi ke 1 banyak U konvergen 33 // 1089...Iterasi ke 892 banyak U konvergen 1047 // 1089Iterasi ke 893 banyak U konvergen 1062 // 1089Iterasi ke 894 banyak U konvergen 1078 // 1089Iterasi ke 895 banyak U konvergen 1089 // 1089Selesai


18/20


Gambar 4. Solusi numerik

Kebenaran solusi numerik diperlihatkan pada Gambar 5 yang menunjukan

bahwa solusi numerik sesuai dengan skema numerik dan syarat batas yang

diberikan.

Gambar 5. Kebenaran solusi numerik


19/20


DAFTAR PUSTAKA

[1] Bailey,W. 2003. The SOR algorithm & its Application to Numerical Solution of Eliptic Partial

Differential Equation. Ireland: Dublin Institute of Technology.

[2] Bassaruddin, T. 1994. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Differensial. Jakarta: Elex

Media Komputindo.[3] Constantinides, A. 1987.Applied Numerical Methods with Personal Computer. New York:Mc

Graw Hill Inc.

[4] Nakamura,S. 1991. Applied Numerical Methods with Software. New York: Prentice Hall Inc.

[5] Sturler E. 2003.Iterative Methods and Multigrid. http://www.cse.uiuc.edu/cs550/lectures.htm


20/20


Documents

5_Umar_Reky.pdf