6.1 Predavanje - Geometrijske Karakteristike

8/16/2019 6.1 Predavanje - Geometrijske Karakteristike

1/32

Mehanika materijala 1 (130, 140)

6. GEOMETRIJSKE

KARAKTERISTIKE RAVNIHPRESJEKA ŠTAPA


2/32

Mehanika materijala 1 (130, 140) Geometrijske karakteristike ravnih presjeka štapa

2

6 .1. Statički momenti površine, momenti tromosti

(inercije) z

y

z

y

T

d A

yT

z T

A

Površina poprečnog presjeka:

d A

A A

Statički momenti površine:

d ; d y z A A

S z A S y A

Koordinate težišta:

; y z

T T

S S y z

A A

Aksijalni i devijacijski momenti tromosti za osi y i z :

2 2d ; d y z A A

I z A I y A d d yz zy A A

I yz A zy A I


3/32


3

Polarni moment tromosti:

2 2 2d ( )d p A A

I A z y A

p y z I I I Uz uvjet y z bez obzira na

orijentaciju osi!

0, 0, 0

0 ili 0 ili 0

y z p

yz yz yz

I I I

I I I

I yz > 0 I yz < 0

Ako koordinatni sustav

zakrenemo za 90o promijenit

će se predznak devijacijskogmomenta tromosti.

2 2 2 2 2( )d p A

z y I z y A

Važno:

Rotacija koordinatnog sustava za 90o:


4/32


4

Ako je makar jedna od koordinatnih osi, os simetrije presjeka, devijacijski

moment tromosti u odnosu na ove osi jednak je nuli.

1 1 1 2 2 2

d d d yz

I y z A y z A

2 1

2 1 2 1

d d d A A A

y y z z

d 0 yz I

d 0 yz yz A

I I

Simetrični poprečni presjeci:


5/32


5

Pravilo o zbrajanju momenata tromostiMoment tromosti složenog presjeka u odnosu na neku os jednak je zbroju momenata

tromosti pojedinih dijelova u odnosu na istu os.

2 d y A

I z A 1 2 3 A A A A

1 2 3

2 2 2d d d y A A A

I z A z A z A

1 2 3 y y y y I I I I

1 1 1

n n n

y yi z zi yz yzii i i

I I I I I I


6/32


6

1 2 3 4 5 y y y y y y I I I I I I

1 2 y y y I I I


7/32


7

Pravilo o paralelnom pomaku presjeka Moment tromosti presjeka oko neke osi neće se promijeniti ako čitav presjek ili jedan

njegov dio pomaknemo paralelno toj osi.

. y I konst


8/32


8

M.A.1. The centroids game


9/32


9

Primjer

Odrediti momente tromosti I y, I z , I yz i I p punog i šupljeg pravokutnog presjeka

prema slici za osi koje prolaze kroz težište presjeka. Zadano: b, h, b1, h1, b2, h2


10/32


10

Rješenje:

d A = bd z

22 3 33 32 2

2 2

d d3 3 2 2 12

hh

y

A h h

z b h h bh I z A b z z b

3

12 y

bh I

2 32

2

d12

b

z

b

hb I h y y

I yz = 0

2 2

12 p y z

b h I I I bh

Šuplji pravokutnik:

3 32 2 1 1

12 12 y

b h b h I

3 32 2 1 1

12 12 z

h b h b I I yz = 0, I p = I y + I z


11/32


11

Primjer

Na slici je prikazan puni i šuplji kružni presjek. Odrediti polarni moment tromosti

I p i aksijalne momente tromosti I y i I z .Zadano: d , d 1, d 2


12/32


12

Rješenje:

d A = 2 d

4 42 3

0 0

d 2 d 24 2

r r

p

A

r I A

r = d /2: 4

32 p

d I

p y z I I I 4

2 64

p y z

I d I I

Šuplji presjek (cijev):

4 42 132

p I d d

4 42 164

y z I I d d

y z I I


13/32


13

Primjer

Potrebno je odrediti aksijalni moment tromosti I y i devijacijski moment tromosti I yz

trokuta zadanog prema slici.Zadano: b0, h

Rješenje:

b:b0 = z :h 0 z

b bh

0d db A z z h

342 30 0 0

0 0

d d4 4

hh

y

A

b b b h z I z A z z

h h

d d2

yz

A A

b I yz A z A 2 2 2 24

30 0 02 2

0 0

d4 82 2

hh

yz

b b b h z I z z

h h


14/32


14

6.2. Promjena momenata tromosti pri translaciji

koordinatnog sustava

Poznato: I y, I z , I yz (za težišne osi y i z )Traži se: I' y, I' z , I' yz (za translatirane osi y' i z' )

2

d y A

I z A 2

d z A

I y A

d yz A

I y z A y y a z z b

2 2 2d d 2 d d y

A A A A

I z b A z A b z A b A

2 2 2d d 2 d d z

A A A A

I y a A y A a y A a A

d d d d d yz A A A A A

I y a z b A yz A b y A a z A ab A


15/32


15

2 2d , d , d , d

zd 0, d 0

y z yz

A A A A

y z

A A

A A I z A I y A I yz A

S A S y A

2

2

y y

z z

yz yz

I I b A

I I a A

I I abA

Steinerovo pravilo

Aksijalni moment tromosti oko osi koja ne prolazi kroz težište jednak jemomentu tromosti oko paralelne težišne osi uvećanom za produkt površine presjeka i kvadrata udaljenostui težišta od zadane osi.

Devijacijski moment tromosti u odnosu na zadani koordinatni sustav jednak jedevijacijskom momentu tromosti u odnosu na paralelni težišni koordinatnisustav uvećanom za produkt površine presjeka i i koordinata težišta u zadanomkoordinatnom sustavu.

za težišne osi y i z


16/32


16

PrimjerOdrediti težišne momente tromosti I y, I z i I yz .

Zadano: b, h

Rješenje:

3

4 y

bh I

2 2

8 yz

b h I

2

2 23

2

3

2 2 1

3 4 3 2

y y

y y

I I h A

bh I I h A h bh

3

36 y

bh I

3

36 z

hb I

2 2 2 1

8 3 3 2 yz yz

b h b h I I abA bh

2 2

72 yz

b h I


17/32


17

Odrediti težišne momente tromosti polovinekruga prema slici.

Rješenje:

4 41

2 64 128 y

d d I

2 4 2 2

2

2 4 1

3 128 2 49

y y

d d d d I I A

40,00686 y I d

4 41

2 64 128 z

d d I

0 yz I

Primjer

2 12 sin 22

;3 2 33

2

T T

d r d

z z


18/32


18

M.A.4. The moment of inertia game


19/32


19

6.3. Transformacija tenzora tromosti pri rotaciji

koordinatnog sustava2

2

d

d

d

y

A

z

A

yz

A

I z A

I y A

I y z A

cos sin

sin cos

y y z

z y z

2

2

( sin cos ) d

( cos sin ) d

( cos sin )( sin cos )d

y

A

z

A

yz

A

I y z A

I y z A

I y z y z A


20/32


20

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

sin d cos d 2sin cos d

cos d sin d 2sin cos d

(cos sin ) d sin cos ( d d )

y

A A A

z

A A A

yz

A A A

I y A z A yz A

I y A z A yz A

I yz A z A y A

2 2d , d , d y z yz A A A

I z A I y A I yz A

2 2

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

( )sin cos (cos sin )

y y z yz

z y z yz

yz y z yz

I I I I

I I I I

I I I I

, ,

, ,

x y y z xy yz

x y y z xy yz

I I I

I I I

, ,

, ,

x y y z

x y y z


21/32


21

, ,

, ,

x y y z xy yz

x y y z xy yz

I I I

I I I

, ,

, ,

x y y z

x y y z

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

y z y z y yz

y z y z z yz

y z yz yz

I I I I I I

I I I I I I

I I I I

1 2

2 2

. y z y z

y z yz y z yz

I I I I I I konst

I I I I I I

2

21,2

2 2

y z y z yz

I I I I I I

0tg2

( ) / 2

yz

y z

I

I I


22/32


22

6 .4. Mohrova kružnica tromosti

2

2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

y z y z y yz

y z yz yz

I I I I I I

I I I I

2 2

2 2

2 2

y z y z y yz yz

I I I I I I I

2 2 2( ) ( ) x p y q R

Jednadžba kružnice:

K oordinate središta: ; 02

y z I I p q

2

2

2

y z yz

I I R I

Polumjer:

Za crtanje Mohrove kružnice tromosti treba poznavati 3 podatka: aksijalne idevijacijski moment tromosti.


23/32


23

1. Nacrta se koordinatni sustav kojem na osi apscisa nanosimo aksijalne momente

tromosti, a na osi ordinata devijacijske momente tromosti.Pozitivni I yz nanosi se iznad osi apscisa, a negativni ispod osi apscisa.

2. U tom koordinatnom sustavu ucrtaju se točke A( I y, I yz ) i B( I z , I yz ).3. Kroz točke A i B crta se kružnica kojoj se središte nalazi na osi apscisa u točki S.4. Kružnica siječe os apscisa u točkama C i D. Apscise ovih točaka predstavljaju

glavne momente tromosti I 1 i I 2.

5. Kroz točku A povlači se paralela s osi y, a kroz točku B paralela s osi z .Presjecište ovih paralela P nalazi se na kružnici i naziva se pol Mohrove kružnicetromosti.

6. Spojnica pola P i točke C definira os na koju se odnosi glavni moment tromosti I 1.Spojnica pola P i točke D definira drugu glavnu os tromosti.

7. Žele li se naći momenti tromosti oko neke osi , povlači se iz pola P paralela stom osi. Ova paralela siječe kružnicu u točki E. Apscisa ove točke predstavljamoment tromosti , a ordinata moment tromosti .

y

y I yz I

Konstruiranje Mohrove kružnice tromosti:


24/32


24

A( I y, I yz )

B( I z , I yz )

I y > 0

I z > 0

I yz < 0

O

A

I yz

I y

I yz

I z

I yz

B

I yz I y ,I z


25/32


25

O

A

I yz

I y

I yz

I z

I yz

B

I yz

2 z y

I I

S

2 z y

I I

I y ,I z


26/32


26

O

A

I yz

I yz

B

S

I 2

I 1

I y ,I z 2 0'

2 0''C

D

A( I y, I yz )

B( I z , I yz )C( I 1, 0)

D( I 2, 0)


27/32


27

O

A

I yz

I yz

B

P

S I y ,I z

y

z

2 0'

2 0''C

D


28/32


28

O

A

I yz

I yz

B

P

S I y ,I z

y

z

1

2 0'

0'

0''

2 0''C

D

2


29/32


29

O

A

I yz

I yz

B

P

S I y ,I z

y

z

CD

y

2

E

F

y I

yz I

y I yz I

A( I y, I yz )

B( I z , I yz )

C( I 1, 0)

D( I 2, 0)

E( , )

F( , ) y I yz I


30/32


30

Iz Mohrove kružnice tromosti slijedi:

1. Postoje dvije točke, C i D, ukojima Mohrova kružnica siječeos apscisa, tj. točke u kojima jedevijacijski moment tromosti

jednak nuli. Aksijalni momenti

tromosti u ovim točkama imajuekstremne vrijednosti

I 1 = I max I 2 = I min

2. Veličina glavnih momenatatromosti iznose

2

21,2

2 2

y z y z yz

I I I I I I

3. Kut glavnih momenata tromosti

0tan2( ) 2

yz

y z

I

I I

O

A

I yz

I y

I yz

I z

I yz

B

I yz

2

z y I I

S

I 2

2

z y I I

I 1

I y ,I z 2 0'

2 0''CD

2

E

F

y I

yz I


31/32


31

5. Zbroj aksijalnih momenata tromosti za dva međusobno okomita presjeka jeinvarijanta, tj.

1 2 . y z y z I I I I I I konst 6. Za dvije međusobno okomite osi, pravac momenta tromosti I 1 čini kut manji od

/4 s pravcem većeg momenta tromosti.


32/32

Mehanika materijala 1 (130 140) Geometrijske karakteristike ravnih presjeka štapa

32

6.5. Polumjer tromosti

Polumjeri tromosti: ;

y z

y z

I I

i i A A

Glavni polumjeri tromosti: 1 21 2; I I

i i A A

Documents

6.1 Predavanje - Geometrijske Karakteristike