Upload
tonctonc
View
40
Download
16
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Membrane
Citation preview
UVOD U TEORIJU LJUSAKA Definicija ljuskastog kontinuuma Ljuska je dio kontinuuma koji je omeen s dvije zakrivljene plohe, a razmak izmeu ploha mali je u odnosu na ostale dimenzije. Razmak izmeu ploha predstavlja debljinu ljuske koja moe biti konstantna ili promjenjiva. Ploha koja raspolavlja debljinu naziva se srednja ploha. Svaka ljuska moe biti zatvorena ili omeena rubom. Srednja ploha, debljina i rub u potpunosti odreuju geometriju ljuske.
Pretpostavke o deformiranju
Nakon deformacije normale na srednju plohu ostaju ravne i okomite uz nepromijenjenu duljinu (Kirchhoff-Loveova hipoteza).
Debljina stijenke ljuske h mala je u odnosu na polumjere zakrivljenosti
1hR , (Hipoteza tankostjenih ljusaka).
Debljina stijenke ljuske konstantna je ili se neznatno mijenja 1h hR
Naprezanja u pravcu normale na srednju plohu ljuske zanemaruju se u odnosu na ostala naprezanja.
Pretpostavljaju se mali pomaci i male deformacije. Materijal je linearno elastian, izotropan i homogen. Optereenje je statiko
Gaussova zakrivljenost srednje plohe
1 2
1KR R
0K - eliptina ploha
0K - parabolina ploha
0K - hiperbolina ploha Srednja zakrivljenost srednje plohe
1 2
1 1 12
HR R
Posebne geometrije ljusaka plitke ljuske osnosimetrine ljuske
Osnovne relacije u teoriji tankih ljusaka
srednja ploha
n
h
R2
2
1R1
Ljuskasti kontinuum
sfera osnosimetrini paraboloid
osnosimetrini hiperboloid
hiperbolini paraboloid
cilindar konus ploa torus
a) b)
c) d)
Podjela ljusaka prema Gaussovoj zakrivljenosti: a) pozitivna zakrivljenost; b) negativna zakrivljenost; c) zakrivljenost je jednaka nuli; d) zakrivljenost je pozitivna i
negativna.
Pretpostavke:
normale na srednju plohu nakon deformiranja ostaju ravne i okomite uz nepromijenjenu duljinu (Kirchhoff-Loveova hipoteza), debljina stijenke mala je u odnosu na polumjere zakrivljenosti
1h R
, debljina stijenke konstantna je ili se neznatno mijenja
1h h R
, naprezanje u pravcu normale na srednju plohu zanemaruje se u odnosu na ostala naprezanja, pretpostavljaju se mali pomaci i male deformacije, materijal je linearno elastian, izotropan i homogen.
Vektor pomaka
T u v wu . Komponente naprezanja
n
hz
21
e1 e2en
13222111 12
dz 23
Komponente tenzora naprezanja na elementu ljuske
Unutarnje sile
1 112
1 d
h 2
h- 2
zN z R
, 2 22 11 dh 2
h- 2
zN zR
,
12 122
1 d
h 2
h- 2
zN = z R
, 21 21 11 dh 2
h- 2
zN zR
,
132
1 d
h 2
1h- 2
z z QR
, 23 11 dh 2
2h- 2
z zQR
.
Tankostjene ljuske: 1 2
, 1z z R R
1 11 d
h 2
h- 2
N z , 2 22 dh 2
h- 2
N z ,
12 12 d
h 2
h- 2
N = z , 21 21 dh 2
h- 2
N z ,
13 d
h 2
1h- 2
z Q , 23 dh 2
2h- 2
zQ .
Momenti savijanja i uvijanja
1 112
1 d
h 2
h- 2
zM z zR
, 2 2211 dh 2
h- 2
zM z zR
,
12 122
1 d
h 2
h- 2
zM z zR
, 21 2111 dh 2
h- 2
zM z zR
.
Tankostjene ljuske: 1 2
, 1z z R R
1 11d
h 2
h- 2
M z z , 2 22dh 2
h- 2
M z z ,
12 12d
h 2
h- 2
M z z , 21 21dh 2
h- 2
M z z .
a) b)Q2
N2 N21 N12 N1M2
M1M12
M21
21 1 2
Q1
Unutarnje veliine na elementu srednje plohe ljuske: a) unutarnje sile b) unutarnji momenti
Membranska teorija osnosimetrinih ljusaka Osnosimetrina ljuska dvostruke zakrivljenosti
Osnosimetrina ljuska Srednja ploha osnosimetrine ljuske nastaje rotacijom krivulje oko nepomine osi. Meridijan je presjek srednje plohe s ravninom koja prolazi kroz os ljuske Paralela je presjek srednje plohe s ravninom okomitom na os ljuske. Membranska teorija razmatra problem kada na elementu ljuske unutarnje sile djeluju tangencijalno na srednju plohu pri emu su momenti savijanja, momenti uvijanja te poprene sile jednake nuli.
Sile na elementu ljuske za stanje osnosimetrine deformacije
Element osnosimetrine ljuske optereene osnosimetrino
Cirkularne sile u meridijalnoj ravnini
Cirkularne sile u ravnini okomitoj na os z
Cirkularne sile u ravnini
okomitoj na os z
Meridijalne sile u meridijalnoj ravnini
Postavljanje uvjeta ravnotee
u meridijalnom pravcu:
0F :
1 1
dd d d dd
d d cos d d 0
N r N r N r
N r p r r
(1)
u pravcu normale:
d cosN r N r p rr 1 1d
0nF
1 n 1
d d dd sin d d d sin2 d 2
d d sin d d 0
N r N r N r
N r p r r
(2)
sin nNN p
1r r
1 2n
NN pr r
Iz (2) slijedi:
22
1rn
rN p r N (1)
22 11
d cosd n
rN r p r N r p r rr
1
.
22 1d sin cos sin sind nN r p p r r 2
ko je
1 22 22 2sin sin
nr r 1 cos sin sin d CN p p r r
0p A dobiva se
1 22 2
2 2sin sinnr r
1 sin cos d CN r r p
NOdreivanje iz uvjeta ravnotee ljuske
Osna sila na osnosimetrinoj ljusci
Osna sila na elementarnoj osnosimetrinoj plohi
d ( ) 2 d cosF r ns p , d ( ) 2 siF r2 1n d cosnr p ,
1 2( ) 2 sin cos dn
F r r p C
Uvjet ravnotee :
0zF 22 sin sin 0r N F
2 1 22 sin cos d 0nr r p C 2 sin sinr N ,
Uvoenjem odreenog integrala, osna sila je jedna
1 22 22
1 sin cos dsinnCN r r p
2 sinr r
ka
0
1 2( ) 2 sin cos dnF r r p
.
Ako je p konst.p in, 2 sr rn , 1 cos d dr r , dobiva se
0
( ) 2 dr
r
F p r r ,
2 20( )F p r r , 2 ( )sinr N F ,
( )2 sin
FNr
,
2 202 sin
p r rN
r
Za , 0 0r p2sinrN 2p
2rN
irkularna normalna sila
C
n
N N
2 1
pr r
22
rN p r N 1r
Membranski pomaci Za sluaj membranskog stanja naprezanja dvije su komponente pomaka u i w: u - pomak u pravcu tangente na meridijan, w - pomak u pravcu normale na meridijan.
Pomaci du meridijana ljuske
Poveanje elementarne duljine 1 dAB r uslijed tangencijalnog pomaka
d d+ d dd d
u uu u . Poveanje elementarne duljine uslijed normalnog pomaka
1 1d d dr w r w . Meridijalna deformacija
1
d d dd
d
u w
r
,
1
1 dd
u wr
.
Cirkularna deformacija
rur
gdje je
cos sinru u w , 2 sinr r , pa vrijedi
cos sinu w
r ,
2
1 ctgur
w .
Budui da se pretpostavlja ravninsko stanje naprezanja, vrijedi
1E , 1E . Uvrtavanjem izraza za membranska naprezanja
Nh
i Nh
, dobiva se
1 N NEh , 1 N NEh .
Radijalni pomak srednje plohe ljuske
1ru N Nr Eh , r ru NEh N
Kut zakreta tangente na meridijan Kut zakreta odreuje se superpozicijom kuta zakreta uslijed tangencijalnog pomaka u i promjene normalnog pomaka w
Kut zakreta uslijed tangencijalnog pomaka
Kut zakreta uslijed promjene normalnog pomaka
1
ur
,
1 1
d d1 dd
d d
ww ww
r r
1 1
1 dd
u wr r
,
1
1 dd
w ur
s Uz supstituciju 1d dr , dobiva se
1
ddw us r
.
Izraunavanje pomaka i kuta zakreta kada su poznate deformacije i
sin ( )d sinu f C
2 cos ( )d cosw r f C
2 2 2
1 1 1
d1 d ctgd d
r r rr r r
gdje je
2 1
2
( )sin
r rfr
C - konstanta integracije.
UVOD U TEORIJU LJUSAKATeorija ljusaka.pdfOsnovne relacije u teoriji tankih ljusaka