8.6 โมเมนต(Moment) โมเมนต คอ ผลหมนของวตถมขนาดเทากบ ผลคณของแรงกบการขจดจากจดหมนตงฉากกบแนว

แรง เปนปรมาณเวกเตอร มทงขนาดและทศทาง หนวยของโมเมนตคอนวตนตอตารางเมตร ทศทางของ โมเมนตไดแก ทศการเคลอนทของตะปเกลยวนนเอง

การหาโมเมนต แยกพจารณาได 2 แบบ คอ

8.6.1 โมเมนตเนองจากแรงใดๆ โดยทวไปการหาโมเมนตเนองจากแรงใดๆ เรามกจะแตก

แรงใหตงฉากกบแนวคานทกระทำา ดงตวอยางในรป ตองการหาโมเมนตรอบจด O อนเนองจากแรง P กระทำากบประแจเลอน

วธทำา แตกแรง P ใหอยในแนวราบและแนวดง

ดงนน ผลรวมโมเมนตรอบจด O จะได OM = (Pcos)l + (Psin)O OM = Plcosมทศพงเขากระดาษ

8.6.2 โมเมนตเนองจากแรงคควบ โมเมนตเนองจากแรงคควบมคาเทากบผลคณของแรง กบการขจด ตงฉากระหวางแนวแรงทงสอง

กำาหนดใหคาน AB ยาว l ถกกระทำาดวยแรงคควบ P ตองการหาโมเมนตเนองจากแรงคควบ

ถาจด O เปนจดทอยระหวาง AB จะได OM = P(AO) + P(OB) OM = P(AO+OB)

= P.AB = P.lมทศทวนเขมนาฬกา

นนคอ โมเมนตแรงคควบมคาเทากบแรงคณดวยการขจดตงฉากระหวางแนวแรงทงสอง

ถาจด O เปนจดทอยภายนอก AB จะได OM = P(OB) - P(AO) OM = P(OA+AB) - P(AO)

= P.AB = P.lมทศทวนเขมนาฬกา

แสดงวาโมเมนตแรงคควบมคาเทากบแรงคณดวย การขจดตงฉากระหวางแนวแรงทงสอง ดงนนโมเมนตจากแรงคควบจงเปนโมเมนตรอบจดใดๆ กไดยอมมคาเทากบแรงคณดวยการขจด

ระหวางแนวแรงทงสอง

8.7 สมดลตอการหมน คอ สภาวะการไมหมนของวตถ ณ สภาวะนโมเมนตของวตถจะตองมคาเทากบศนย

สภาพสมดล สภาพสมดลทสมบรณของวตถใด ๆ จะเกดขนไดตอเมอวตถนนจะตองไมเคลอนทและ

ไมหมน ดงนนวตถจะอยในสภาวะสมดลทสมบรณไดตอมอเงอนไขของแรงและโมเมนตจะเปนศนย ( F

= 0, M = 0)

8.8 การคำานวณสมดลตอการหมนและการเคลอนทโดยทวไปการสมดลของโจทยในลกษณะนมกจะเปนการสมดลของระบบทมแนวแรงตดกนหลายจด

หรอเปนการสมดลของระบบทถกกระทำาดวยแรงคควบ การคำานวณโจทยลกษณะนตองใชสมการคำานวณ 3 สมการ คอ M = 0, xF = 0 , yF = 0 โดยมขนตอนการคำานวณดงน

1. หยบวตถทตองการหาแรงออกมาเขยนแรงกระทำาตางๆ ใหครบ

2. เลอก take moment รอบจดทไมทราบคาแรงมากทสดเสยกอน3. คำานวณหาคาทตองการจากสมการ xF = 0 และ yF = 04. ตองการหาแรงปฏกรยาทใดใหรวมกนแบบ เวกเตอรได

ขนาดของแรง R = 2y

2x RR

ทศทาง tan = x

y

RR

ตวอยางท40 AC เปนทอนไมทอนหนงโตเทากนตลอดหนก 30 กก. ทปลาย A มบานพบยดไม AC นอยในระดบนอนและทปลาย C มลวดทำามม 600 กบไม ใหหาแรงดงในลวดและแรงปฏกรยาของบานพบ

วธทำา เขยนแรงกระทำาทงหมดทคาน AC เพราะจด A มแรงทไมทราบคามากทสด ดงนนTake โมเมนตทA

AM = 0 จะได (Tsin600)AC = 300 x 2AC

23T = 2

300

T = 173.2 นวตนจาก xF = 0 จะได RX = Tcos600

และ yF = 0 จะได Tsin600 + R y = 30023T + R y = 300

232.173 + R y = 300

R y = 150RA = 2

y2x RR = 22 6.86150 = 173.2 นวตน

ตอบ

ตวอยางท 41 ตามรป xy เปนแทงไมยาว L มขนาดสมำาเสมอและมมวล m กรม ปลายคานใน ยนกำาแพงซงมสมประสทธความเสยดทาน ไวเฉยๆ ในแนวตงไดฉากกบกำาแพงโดยการผกปลายดานนอก

ไวดวยเชอกy จงหามม อยางเลกสด ททำาใหอยในสมดลไดพอด

วธทำา เขยนแรงทคาน xy

จาก xF = 0 จะได Nx = Tsin…………… (1)และ M = 0 จะได Nx(xo) = (Tcos)(oy)

Nx = Tcos…………… (2)

(1) / (2) 1 = tan

= tan-11

ตอบ

ตวอยางท42 เสาสมำาเสมอตนหนงสง 6 เมตร หนก 120 กก. กวางและหนาเทากนคอ 1 เมตรวางตงอยบนพนดน ชายคนหนงเอาเชอกคลองทยอดเสาแลยนอยหางโคนเสา 8 เมตร ถาเขาจะดง

เชอกใหเสานนลม เขาจะตองออกแรงดงอยางนอยทสดเทาใด

วธทำา เขยนแรงกระทำาทงหมดทเสา

เนองจากเสาลมทจด D ดงนนแรงปฏกรยาของพนกระทำาตอเสา จงเลอนมาอยท D เนองจากท D มแรงกระทำามากทสด

เพราะฉะนนให DM = 0 จะได (Tsin) x 6 = 1200 x 21

T x 108 x 6 = 600T = 125 นวตน

ตวอยางท43 ถงหนกใบหนงกวาง 1 เมตร วางตงบนพนระดบไมคานเบายาว 3 เมตร ปลายบนม นำาหนกกอนหนงแขวนไว เมอคานอยในภาวะสมดล จงหามมทไมคานกระทำากบแนวระดบ สมมตแรงเสยด

ทานทคานกระทำากบถงนอยมาก

วธทำา เขยนแรงทคาน

AM = 0 จะได RC( cos1 ) = (Wcos)3RC = 3Wcos2

………….. (1)yF = 0 จะได RCcos = W

………….. (2)(2) / (1) cos=

2cosW3W

cos3 = 31

cos= 331

= cos-1 331

ตอบ

ตวอยางท 44 คานสมำาเสมอ AB ยาว 4 ฟต หนก 10 กก. ปลาย A ตดบานพบกบกำาแพงทจด C เหนอจด A 4 ฟต มมวลดงคานใหอยในแนวระดบทจดซงหางจากจด A เปนระยะ 3 ฟต ดงรปม

กอนนำาหนก10 กก. ผกทปลาย B จงหาแรงตงในเชอกและแรงปฏกรยาท A

วธทำา เขยนแรงทกระทำาทคาน ABAM = 0

3Tsin = (100 x 4) + (100 x 2)

3 T x 54 = 600

T = 250 นวตนxF = 0 จะได HA = Tcos = 250 x 5

3

= 150 นวตนyF = 0 จะได VA + Tsin = 100 + 100

VA + (250 x 54 ) = 200

VA = 0 RA = 2

A2A HV = 2

AH0

RA = HA = 150 นวตน

ตวอยางท 45 รถบรรทก 10 ลอ มการกระจายนำาหนกทเพลาดงแสดงในรป แรงปฏกรยาของตอมอ B จะมคาเทากบ

วธทำา เขยนแรงกระทำาทคาน AB

หาแรงทตอมอB จาก AM = 0 จะได20RB = 2 x 10 + 10 x 15 + 10 x

16= 20 + 150 + 160

RB = 233

นวตน ตอบ

ตวอยางท46 คาน ขค ยดรงไวดวยลวด กค คำานวณหาแรงตงในลวด กค เมอมแรงกระทำาในแนวดงท

จด ค P = 200 กโลกรม

วธทำา พจารณาแรงทคาน ขค

AM = 0 จะได (Tsin300)L = 200 x L

2T = 200

T = 400 kg.

ตวอยางท 47 จากรปทกำาหนดให จะตองออกแรง F เทาใดเพอทจะยกรถเขนทรายทบรรทกทรายหนก 700 นวตน โดยตำาแหนงของนำาหนกปรากฏดงรป ใหตอบในเทอมของ a และb

วธทำา เขยนแรงกระทำาทรถ

จากรป BM = 0 จะได F(a + b)= 700b

F = bab700

ตวอยางท 48 คานสมำาเสมอยาว 8 เมตร หนก 500 นวตน อยในแนวระดบ โดยผกเชอกหาง

จากปลายทตดบานพบ 3 เมตร ดงรป ชายคนหนงหนก 500 นวตนเดนบนคาน ถาเชอกรบแรงดงได

เตมท2000 นวตน ชายคนนจะเดนไปไดไกลเทาใดจงปลอดภย

วธทำา เขยนแรงทกระทำาทคานดงรป และใหคนเดนหางจาก A = X จากรป AM = 0 จะได

500X + 500x 4 = (Tsin530)x 3500X + 2000= 2000 x 5

4 x 3X = 5.6 เมตร

ตวอยางท 49 ใชแรง F ดงปลายเชอกทพนรอบทรงกระบอกอนหนงเพอใหทรงกระบอกอยน งสมผสกบ ผนงแนวดงไดดงรป ถา F ทำามม กบแนวระดบ จงหาสมประสทธของความเสยดทานสถตทนอยทสด

ระหวางทรงกระบอกกบผนงขณะนน

วธทำา เขยนแรงทเกดกบทรงกระบอก

แตกแรง F ในแนวราบและดงOM = 0 จะได F.r = Nr

F = N……….. (1)

xF = 0 จะได Fcos = N…………. (2)(1) / (2) cos

1 = = sec ตอบ

ตวอยางท50 จงหาขนาดของแรง P ทมากทสดทกระทำากบทรงกระบอกมวล m แลวทรงกระบอกไม หมน กำาหนดคาสมประสทธของความเสยดทานทกผวสมผสเทากบ รศมของทรงกระบอกยาว R คานจ

ของความโนมถวงของโลกเทากบ g

วธทำา เขยนแรงกระทำาททรงกลม ถาทรงกลมหมนมนจะหมนทวยเขมนาฬกา ดงนนแรงเสยดทานมทศตามเขมนาฬกา

จาก OM = 0 จะได P x r = f1 x r + f2 x r

P = N1 + N2……….. (1)

xF = 0 จะได N2 = N1 ….……. (2)

yF = 0 จะได f2 + P + N1 = mgN1 + P + N1= mg

แทนคา N2 จะได (N1) + P + N1 = mgN1(2 + 1) = mg - P

N1 = 1Pmg

2

แทนคา (2) จะได N2 = 1)Pmg(

2

แทนคา N1 และ N2 ใน (1) จะได P = 1Pmg

2 + .

1)Pmg(

2

P (2+1)= mg - P + 2mg - 2P

P(22 + + 1) = mg( 1 + )

P = 12)1(mg

2

ตอบ

ตวอยางท 51 จงหาขนาดของแรง P ทจะดงกลองมวล 2000 นวตน ดงรป ใหมความเรง 1 เมตร/วนาท2 เมอ P กระทำาผานจดศนยกลางมวล จงหาตำาแหนงของแรงกระทำาตงฉากกบพนทกระทำาตอวตถดวยวธทำา เขยนแรงทเกดขนกบกลอง

F = maP - f = ma

P - mg = ma P - (0.3 x 200 x 10) = 200x 1

P = 800 นวตน M.CM = 0

N.x = f x 402000x = mg.40

= 0.3 x 200 x 10x 40x = 12 cm

ตำาแหนงแรงกระทำาตงฉากหางจากขอบฐานดานทแรง P กระทำาเปนระยะ = 20 - 12 = 8 cm

8.9 จดศนยกลางมวล (C.M) และจดศนยถวง(C.G) จดศนยกลางมวลของวตถ (C.M) คอ ตำาแหนงทมวลรวมของวตถอยซงจดนอาจจะอยใน

หรอนอกวตถกได

จดศนยถวงของวตถ (C.G) คอ ตำาแหนงทนำาหนกรวมของวตถอย ซงจดน อาจจะอยในหรอนอกวตถกได

โดยทวไป ถาวตถมความสงไมมากนกจด C.G และจด C.M จะอยทตำาแหนงเดยวกน และถา

วตถมความสงมากๆ จด C.M และจด C.G จะอยคนละจด โดย C.G จะอยตำาแหนงตำากวาจด C.M เสมอ เชน จด C.M และจด C.G ของภเขา เปนตน

จดC.M หรอจดC.G ของวตถรปทรงเรขาทควรทราบ

การคำานวณจด C.G และจดC.M การคำานวณโจทยเกยวกบจด C.G และจด C.M แยกการคำานวณโจทยไดเปน 2 แบบ

คอ

1. การหาตำาแหนงจด C.G ของวตถ2.การพจารณาเงอนไขการลมของวตถ

8.9.1 การหาตำาแหนงจดC.G ของวตถ ในทางปฏบตเราสามารถทำาการหาจด C.G ของแผนวตถรปทรงใดๆ กได โดยนำาแผนวตถผกเขา

กบเชอกแลวแขวนไวดงรป (ก) เมอแผนวตถหยดนงจะไดแนวแรง T และ mg อยในแนวเดยวกน คอ

แนวเสนประ A เมอเปลยนจดทผกเชอกเปนจดอนๆ เชน B และ C ดงรป (ข) และ (ค) แลวลากเสน ตรงตามเสนเชอกแตละครง จะพบวาแนวเสนเชอกมาตดกนทจดหนง เนองจากแนวเสนเชอกอยในแนว

เดยวกนกบแนวนำาหนก ดงนนจดตดของแนวเสนเชอก คอจดศนยรวมของนำาหนกแผนวตถ เรยกจดนวา จดศนยถวง (C.G)

การคำานวณหาตำาแหนงจด C.G หรอจด C.M ของวตถ แยกการพจารณาไดเปน 2 แบบดวยกนคอ

1. การหาจดC.G ของวตถทรงคาน ทรงกระบอกอนหนงประกอบดวยโครงสรางสามสวน มมวล m1 , m2 และ m3 โดย

ตำาแหนงของมวลทงสามหางจากปลายเปนระยะ x1 , x2 และ x3 ตามลำาดบ ดงรป จะไดตำาแหนง

ของจด C.G ดงน

จากรป หา x ไดจากสมการ AM = 0

จะได (

x)mg( = (m1g1)x1 + (m2g)x2 + (m3g)x3

x =

mxmxmxm 332211

=

mmx

2. การหาจดC.G ของวตถทรปรางไมสมมาตร ใหหาตำาแหนงจด C.G เทยบกบแกน x และแกน y ดงรป ตองการหาจด C.G ของ

ระบบทประกอบดวยมวล m1 , m2 และ m3

จากรป จะได

yM = 0 จะไดx =

321

332211

mmmxmxmxm

=

mmx

xM = 0 จะไดy =

321

332211

mmmymymym

=

mmy

ขอสงเกต : เนองจากมวลวตถมคาแปรผนตามพนทของวตถ(A) ซงเขยนเปนความสมพนธได

ดงน m A หรอ m = kA ดงนนสมการของตำาแหนงจด C.G เขยนใหมได

x =

mmx =

AAx

y =

mmy =

AAy

8.9.2 การพจารณาเงอนไขการลมของวตถวตถจะลมกตอเมอแนวนำาหนกของวตถตกผานขอบฐานดงรป

ถาวตถอยดงรปท 1. และ 2. วตถจะยงไมลมเพราะแนวนำาหนกวตถอยในฐาน ถาวตถอยดงรปท 3 วตถสมดลครงสดทาย ถาแนวนำาหนกเลยตำาแหนงนออกไปแมเพยงเลก

นอยจะลมทนท

ถาวตถอยดงรปท 4 วตถจะลมทนท ดงนนการคำานวณ ถาวตถอยในตำาแหนงทพอดลม แสดงวานำาหนกตกผานขอบฐานพอด

8.10 การสมดลของเทหวตถในลกษณะตางๆ

ลกษณะการสมดลของวตถ แบงออกไดเปน 3 ประเภท คอ

1.สมดลแบบเสถยรภาพ (stable equilibrium) คอ การสมดลของวตถซงม ฐานรองรบอยางมนคง เมอไดรบความกระทบกระเทอนใหเอยงเซ ไปเลกนอยกไมลม คงกลบเขาสสภาพเดม

ไดเมอหยดแรงกระทำาแลว เชน กรวยควำาบนพน ตกตาลมลก เปนตน

2.สมดลแบบไมเสถยรภาพ (unstable equilibrium) คอ การสมดลของ วตถซงเมอไดรบความกระทบกระเทอนเพยงเลกนอย วตถนนจะอยในตำาแหนงอนไมกลบมาอยในตำาแหนง

สมดลดงเดม เชน รปกรวยทเอายอดลง เหรยญบาททเอาขอบตง เปนตน

3.สมสมดลแบบสะเทน (neutral equilibrium) คอการสมดลของวตถ ซง เมอไดรบความกระเทอน วตถจะเปนเพยงเปลยนตำาแหนงทสมผสกบพน และวตถจะยงคงอยในลกษณะเดม

เชน รปกรวยทเอาขางลง ทรงกระบอกทวางตามแนวนอน เปนตน

ขอสงเกต : เสถยรภาพของวตถจะมมากขน เมอ

ก. จดC.G อยตำาข. ฐานกวางค. นำาหนกวตถมาก

ถาวตถไดรบแรงเพอจะใหเปลยนสมดล

1. ถาจด C.G สงจากเดม เปนสมดล แบบเสถยรภาพ

2. ถาจด C.G ตำาจากเดม เปนสมดล แบบไมเสถยรภาพ

3. ถาจด C.G อยในระดบเดม เปนสมดล แบบสะเทน

ตวอยางท52 คานสมำาเสมออนหนงยาว 3 เมตร หนก 20 นวตน ทปลาย A และปลาย B ตดนำา หนกไว 30 นวตน และ 40 นวตน ตามลำาดบ ทจดหางจากปลาย A เปนระยะ 1 เมตร และ 2 เมตร

ตดนำาหนกไว20 นวตน และ40 นวตน ตามลำาดบ จงหาตำาแหนงของจดศนยถวงวธทำา สงเกตรปและกำาหนดตำาแหนงตางๆ ของแรงดงรป

mg = 30 + 20 + 40 + 40 = 150 นวตน จาก AM = 0 จะได

x (mg ) = 20 x 1 + 20 x 1.5 +40x2 + 40 x

3

x .150 = 20 + 30 + 80 + 120x = 1.66 m

เพราะฉะนนอยหางจากปลายA = 1.66 เมตร

ตวอยางท53 แทงเหลกแทงหนงหนาตดดงรป จงหาตำาแหนงของจดศนยถวง

วธทำา แบงพนทเหลกออกเปนสวนตางๆ แลวกำาหนด co-ordinate ของแตละสวนจงสราง ตารางเพอหาตำาแหนง C.G ;

x = 0สวน A y Ay12

6 x 1 = 64 x 1 = 4

52.5

3010

3

4 x = 212

0.25 0.540.5

y =

AAy = 12

5.40 = 3.375”

เพราะฉะนนจด C.G อยหางจากจดกงกลางฐาน 3.375 นว ตอบ

ตวอยางท 54 แผนโลหะแบบสมำาเสมอแผนหนงเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 30 ซม. เสนทะ แยงมมทงสองแบงแผนโลหะนออกเปนรปสามเหลยม 4 รป

ก. ถาตดสามเหลยมนนออกหนงรป จดศนยถวงของแผนทเหลอจะอยทใด

ข. ถานำาสามเหลยมทตดออกมาวางทบสามเหลยมรปทเคยมดานขางตดกน ใหซอนกนสนท จดศนยถวงของแผนโลหะจะอยทใด

วธทำา กำาหนดตำาแหนงของ C.G แตละสวนแลวสรางตารางเพอหาตำาแหนง C.G รวม

สวน A y AyABCD-DEC

ABCED

30 x 30 = 900

- x 15 x 30 = -225

675

1525

13500-56257875

y =

AAy = 675

7875 = 11.66 เพราะฉะนนจด C.G อยสงจากจดกงกลางฐาน 11.66 cm

สวน A x Ax y AyAEDAEBBEC

450225225900

51525

2250337556251125

0

155

15

6750112533751125

0

พนท AED = 2 x( x30x15) = 450พนทAEB = x30x15 = 225พนทBCE = x30x15) = 225

x =

y = 90011250 = 12.5 cm

ตวอยางท55 แผนโลหะรปตว L ดงรป จงหาตำาแหนงจด C.G ของแผนโลหะ

วธทำา แบงแผนโลหะรปตว L ออกเปนรปทรงเรขา 2 รป แลวกำาหนดจดพกดเทยบกบแกน x และ y

สวน A x Ax y Ay12

5 x 1 = 56 x 1 = 611

0.54

2.524

26.5

2.54.5

12.527

39.5

x =

AAx = 11

5.26 = 2.41 นวy =

AAy = 11

5.39 = 3.59 นว

ตวอยางท56 แทงโลหะทรงกระบอกอนหนงยาว 3 ฟต เสนผานศนยกลาง 8 นว วางตงไวบนพนราบ ยกขอบของแทงโลหะนนสงจากพนไดเทาใด จงทำาใหแทงโลหะนนลมพอด

วธทำา เราสามารถยกแทงโลหะไดสงสดเมอแนวนำาหนกตกผานมมฉากพอด

จากรป1 จะได tan = 368 = 9

2

เขยนรป จาก tan = 92

ไดรปขวามอ

จากรป 2 จะได sin = 2.92

8h = sin = 2.9

2

h = 2.98x2 = 1.74 นว

เพราะฉะนนตองยกขอบสง 1.74 นว

ตวอยางท57 ถาเอาเหรยญทมเสนผานศนยกลาง d หนา 20d

มาวางซอนบนพนเอยงซงมฐานยาว

L สง L/6 จะวางเหรยญไดกอนกอนทกองเหรยญจะลมลง กำาหนดใหแรงเสยดทานมคามาก ซงกองเหรยญจะลมกอนไถลลง

วธทำา เราวางเหรยญไดมากสดตอเมอแนวนำาหนกของเหรยญตองไมเลยมมฐาน ดงรป

สมมตวาใหวางเหรยญได = n อนเพราะฉะนนกองเหรยญสง = 20

nd

จากกองเหรยญจะได tan = ndd20 = n

20

จากพนเอยงจะได tan= 61

สมการทงสองเทากน จะได n20 = 6

1

n = 120 เหรยญ ตอบ

ตวอยางท 58 วตถทรงกระบอกตนสมำาเสมอสง 10 ซม. เสนผานศนยกลาง 5 ซม. หนก 1 กก. วางตงบนพนเอยงทเปลยนมมได ถาสมประสทธของความเสยดทานของพนเอยง = 0.45 จง

หาวาเมอยกพนเอยงขนชาๆ

ก. วตถจะเรมเคลอนทลงเมอพนเอยงเปนมม tan เทากบเทาไรข. วตถจะเรมลมเมอยกพนเอยงเปนมม tan เทากบเทาไร (ถาวตถไมเลอนลงเสยกอน)ค. กรณขางบนวตถจะลมกอนเมอเลอนลงหรอเลอนลงกอนจะลม

วธทำา

ก. วตถเรมไถลลงจากพนเอยงจะไดแรงตางๆ ดงรป เอยงF = 0

จะได f = mgsin mgcos = mgsin

= tan มมพนเอยงจะได tan = = 0.45 ตอบ

ข. ถาวตถลมแสดงวาแนวนำาหนกตกทมมฐานพอด ดงรป

จากรปจะได tan = 105 = 0.5

ดงนนมมพนเอยง tan = 0.5

ค.จากกรณขางบนแสดงวาวตถไถลลงกอนทจะลม

ตวอยางท 59 โตะจตรสตวหนงม 4 ขา อยทกงกลางของดานทง 4 ตามลำาดบ จงหานำาหนกทมาก ทสดทจะเอามาวางทมมมมหนง เพอทำาใหโตะตวนนยงไมลม

วธทำา โตะลมกตอเมอแนวนำาหนกรวมตกอยทฐานพอด

ใหออกแรงกดโตะทมม F = X GM = 0X x GF = W x GE

X = W ( GF = GE) ตองออกแรงกดโตะมากทสดเทากบนำาหนกโตะ

ตวอยางท 60 มอฐอยจำานวนหนงทกกอนเปนแผนสเหลยมและมขนาดเทาๆ กน ซงกวาง 4 นว ยาว 8 นว ถานำาอฐเหลานมาวางซอนกนใหดานขางเสมอกน แตเหลอมกนทางดานยาวแผนละ 1 นว ใหหาวาจะ

เรยงกอนอฐเหลานใหซอนกนไดอยางมากกแผน จงจะลมพอด

วธทำา ใหนำาหนกของอฐแตละแผน = W ใหเรยงอฐ = n แผน (ไมคดแผนลาง)

ใหอฐยาว = L และเหลยมกน = x อฐจะไมลมเมอนำาหนกอฐรวมตงแตแผนท2 เปนตนไปตกอยทจด B

AM = 0 จะได

L(nW) = W( 2L + x) + W( 2

L + 2x)+ ….. + W( 2

L + nx)nL = 2

nL + (x + 2x + 3x +….+ nx)

2nL = x 2

n (1+n) L = x (1+ n) n = x

L - 1L = 8 นว, x = 1 นว ; n = 1

18

= 7 เพราะฉะนนจำานวนแผนอฐทงหมดเทากบ 7 + 1 = 8 แผน

8.11 ตวอยางการใชหลกสมดล หลกสมดลของแรงและโมเมนตนนมอยมากมายในชวตประจำาวน เชน ใชกบเครองผอนแรงชนด

ตางๆ ไดแก ไขควง คมตดลวด กวาน ระบบรอก คานงด เปนตน การผอนแรงของเครองมอชนดตางๆ แยกพจารณาไดดงน

คมตดลวด

ให F1 คอ แรงทกระทำากบดามจบของคมตดลวด

F2 คอ แรงทลวดกระทำากบคม ณ จดทคมตดลวด

พจารณาแรงทรป ข. จะได OM = 0F1.D = F2.d

1

2FF = d

D

กรณไขควง

ให F1 คอ แรงทกระทำากบดามของไขควง และ R คอรศมของดามไขควงF2 คอ เปนแรงทตะปควงทำากบปลายไขควง และ r คอรศมของปลายไขควง

พจารณาแรงทรป ข. จะได OM = 0F1(2R) = F2(2r)

1

2FF = r

R

อตราสวนระหวาง1

2FF

ในคมตดลวด และไขควงเรยกวา การไดเปรยบเชงกล

การผอนแรงของกวาน

ใหออกแรง F ทแขนของกวานเพอยกนำาหนก W แขนของกวานยาว l และรศมของเพลาเทากบ r

จากรป ข. จะได OM = 0W. r = F . l

FW = r

l

อตราสวนระหวาง FW

เรยกวา การไดเปรยบเชงกล

ตวอยางท 61 มดควนออยอนหนง มดามจบหางจากจดหมน 25 เซนตเมตร ตำาแหนงทวางออยหาง

จากจดหมน 5 เซนตเมตร ถาออยแตละทอนตองใชแรงตด 30 นวตน เราตองใชแรงกดทมดควนออย

นอยทสดเทาไรจงจะทำาใหออยขาดพอด (ไมคดนำาหนกของตวมด)

วธทำา พจารณาแรงทรป ข. OM = 0F x 25 = 30 x 5 F = 25

5x30 = 6 นวตน

ตวอยางท62 กวานดงรปมแขนหมน 2 ฟต ถาไมคดความเสยดทาน การไดเปรยบเชงกลจะเปนเทาใด

ถาออกแรง 50 นวตน ยกนำาหนกไดจรง 150 นวตน ประสทธภาพเปนเทาใด ?

วธทำา การไดเปรยบเชงกล = rl = 25.0

2 = 8 เทา หานำาหนกทควรจะยกไดจาก OM = 0

จากรป W . r = F . l W x 0.25 = 50 x 2

W = 400 กวานดงรป ควรจะยกนำาหนกได = 400 นวตน

แตกวานนยกนำาหนกไดเพยง = 150 นวตนดงนนประสทธภาพ = 100x

400150 = 37.5 %