คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เรื่อง

โครงงานคณิตศาสตร

(ตอนที่ 2)

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมือระหวาง

คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)

กระทรวงศึกษาธิการ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1    

สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย

1. SET50

2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

3. การถอดรากที่สาม

4. เสนตรงลอมเสนโคง

5. กระเบื้องที่ยืดหดได

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู

และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่องและ

ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี ้

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2    

เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร

หมวด โครงงานคณิตศาสตร

ตอนที่ 2 (2/5)

หัวขอยอย -

จุดประสงคการเรียนรู

เพื่อใหผูเรียนเห็นตัวอยางการสรางคําถามหรือปญหาใหม โดยการขยายเงื่อนไขของปญหาเดิม รวมทั้ง

เรียนรูวิธีการสรางปญหาใหมดังกลาวและตวัอยางของวิธีการแกปญหานั้น ๆ ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื้อหาของโครง-

งานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้นมิใชสาระที่คาดหวังใหนกัเรียนตองเรียนรูอยางจริงจัง หากเปนเพียงพาหนะ

เพื่อชวยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งของการขยายปญหาเทานั้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3    

โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร

โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบของ ปญหาทางคณิตศาสตร

สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยกุตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจําแนกแยกแยะ และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงานคณิต-ศาสตร คือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง

วัตถุประสงคของสื่อตอนนี ้ สื่อการสอนตอนนีน้ําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่กําหนดปญหาขึ้นใหมโดยการขยายจาก ปญหาเดิม ในที่นี้ปญหาเดิมคือปญหาการวางควีนจํานวนมากที่สุด ลงบนตารางขนาด NxN โดยที่ควีน เหลานี้ไมสามารถกินกันไดเลย ซึ่งก็คือการวางควีนจํานวนมากที่สุดลงบนตารางขนาด NxN โดยที่มี ควีนอยางมากหนึ่งตัวในแตละแถว หลัก และแนวทแยง และปญหาใหมที่กําหนดขึ้นนั้น คือปญหาการ วางควีนจํานวนมากที่สุดลงบนตารางขนาด NxN โดยที่มีควีนอยางมากสองตัวในแตละแถว หลัก และ แนวทแยง

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4    

เนื้อหาในสื่อการสอน สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:40) 2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:48) 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 15:10)

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5    

1. ชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6    

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:40)

ในชวงเปดตอน ดังแสดงในรูปที่ 1 ผูบรรยายใชตัวอยางจากการเลนลูกบาศกของรูบิค (Rubik's Cube) ขนาด 3x3 และขยายไปสูลูกบาศกของรูบิคขนาด 4x4 และ 5x5 เพื่อชวยในการอธิบายเชิงเปรียบเทียบวา ในคณิตศาสตรนั้น เมื่อประสบความสําเร็จในการตอบคําถามหนึ่ง ๆ แลว มนุษยมักขยายเงื่อนไขของ คําถามนั้น ๆ และสรางปญหาใหมที่นาสนใจและทาทายมากกวาเดิม ซึ่งคําตอบของปญหาใหมนี้ยังอาจ สามารถนำไปประยุกตใชไดกวางขวางกวาเดิมดวย ดังเชนในการเลนลูกบาศกของรูบิคขนาด 3 คูณ 3 นั้น สําหรับผูเลนที่เลนไดคลองแคลวแลว อาจเกิดคําถามในใจวาถาเปนลูกบาศกของรูบคิขนาด 4 คูณ 4 แลว จะมีวิธีทั่วไปในการเลนเพื่อใหไดสีเดียวในแตละดานหรือไม และถามีจะเลนอยางไร สื่อฯตอนนีจ้ะนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่พิจารณาคําถามที่ขยายมาจากปญหาบนกระดานหมากรุกที่เปนที่รูจักกันอยางกวางขวางปญหาหนึ่ง

รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7    

2. ชวงสารคด ี

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8    

2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:48)

ชวงสารคดีนี้ตองการอธิบายความรูพื้นฐาน ที่จําเปนในการทําความเขาใจแนวคิดและรายละเอียดของ โครงงานคณิตศาสตรที่จะนําเสนอตอไป ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้

(ก) (ข)

(ค) (ง) รูปที่ 2 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติศาสตรของหมากรุก

(ก) (ข) รูปที่ 3 ภาพประกอบคําอธิบายเรื่องกติกาของหมากรุก

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9    

2.1. ประวัติศาสตรของหมากรุกโดยสังเขป (เริ่ม ณ 01:48) เลาประวัตศิาสตรของหมากรุกตั้งแตกําเนิดของหมากรุกที่เชื่อกันวา เริ่มมีทีแ่รกในประเทศอินเดีย (รูปที่ 2(ก)) และแพรผานเปอรเซีย (รูปที่ 2(ข)) เขาสูยุโรป รวมทั้งยังกลาวถึงหมากรุกที่มีการเลนกันใน ประเทศ จีน เกาหลี ญี่ปุน และไทย ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวในรูปที่ 2(ค-ง)

2.2. วิธีเลนหมากรุกสากล (เริ่ม ณ 04:30) อธิบายกติกาการเลนหมากรุกสากลอยางคราว ๆ รวมถึงวิธ ีการเดินและกินของตัวหมากรุกแตละตัว อันไดแก คิง ควีน บิชอพ มา เรือ และเบี้ย และปดทายดวย การนําเสนอความซับซอนของเกมหมากรุกโดยอางถึงจํานวนวิธีการเลนที่เกิดขึ้นไดทั้งหมด ดังแสดงตัวอยาง ภาพจากสื่อฯไวในรูปที ่3 2.3. คำถามจากหมากรุก (เริ่ม ณ 08:38) คือปญหาลับสมองและคําถามทาทายที่เกิดขึ้นจากหรือเกี่ยวกับหมากรุก ซึ่งมีอยูมากมาย เชน ปญหามาเดิน ทั่วกระดาน (Knight’s tour) ปญหาการวางเรือ และปญหาการวางควีน N ตัว (N-queen problem) ดังตัวอยาง ภาพจากสื่อฯที่แสดงไวในรูปที ่ 4 ปญหาการวางควีนนี้คือปญหาที่เราสนใจเปนพิเศษ ผูที่ถามและสนใจ ปญหานี้เปนคนแรกคือนาย Max Bezzel เมื่อประมาณป พ.ศ. 2391 นอกจากนั้นยังไดกลาวถึง จำนวนคําตอบของปญหาบนกระดานจัตุรัสขนาดตาง ๆ และปดทายดวยประโยชนจากคําตอบของปญหานี ้ในวิทยาการคอมพิวเตอร

(ก) ปญหามาเดินทั่วกระดาน (ข) ปญหาการวางเรือ

(ค) ปญหาการวางควีน 8 ตัว (ง) จํานวนคําตอบของปญหาการวางควีน 4 ตัว

รูปที่ 4 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องคําถามจากหมากรุกตาง ๆ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10    

ตารางที่ 1 แสดงจํานวนวิธใีนการวางควีน N ตัวลงบนตารางขนาด NxN โดยไมกินกันเลย ขนาดกระดาน 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 10x10 11x11 12x12 จํานวนวิธี 2 10 4 40 92 352 724 2680 14200

(ก) (ข)

รูปที่ 5 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องปญหาการวางควีน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 15:10)

ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญ จนถึงสรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี ้

รูปที่ 6 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี ้

3.1. รายละเอียดของโครงงาน (เริ่ม ณ 15:10)

โครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การวางตัวเบี้ยที่มีจํานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด NxN โดยที่ไมมีตัวเบี้ย 3 ตัวใด ๆ อยูบนแนวเสนตรงเดียวกัน ในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง ที่ยกมา เปนตวัอยางในสื่อตอนนี ้ เปนโครงงานคณิตศาสตรที่จัดทําโดย นายวศิน วิพิศมากูล ขณะเปน นักเรียนโรงเรียนบดินทรเดชา (สิงห สิงหเสนี) ระดับมัธยมศึกษาปที่ 6 ปการศึกษา 2545 ในโครงการ พัฒนาและสงเสริมผูมีความสามารถพิเศษทางวิทยาศาสตร และเทคโนโลย ี และมีอาจารยที่ปรกึษาคือ อาจารยราตรี คําเทียนทอง และ รศ.ดร.พิเชฐ ชาวหา ดังแสดงในรูปที่ 7

3.2. ที่มาและความสําคัญ (เริ่ม ณ 15:42) จากปญหาการวางควีน N ตัว ซึ่งเปนคําถามจากหมากรุกที่ไดพบในชวงสารคดี เราสามารถปรับ เปลี่ยน หรือเพิ่มองคประกอบตางๆ เพื่อสรางปญหาใหมขึ้นมาไดมากมาย เชน

1. เปลี่ยน ควีน เปน บิชอพ หรือ มา หรืออาจจะเปนตัวหมากที่เปนไดทั้ง ควีน และ มา 2. เปลี่ยนเปนตัวเดนิหมากรุกไทย เชน โคน หรือ เม็ด 3. เปลี่ยนขนาดกระดาน เปน MxN

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13    

4. เปลี่ยนกฎการเดิน ใหสามารถเดินออกจากกระดานดานขาง และวกกลับเขาอีกขางหนึ่งของกระดาน หรือยอมใหเดินออกจากกระดานดานหนึ่งแลววกกลับเขากระดานฝงตรงขาม

5. เปลี่ยนลักษณะกระดานจากสี่เหลี่ยม เปนสามเหลี่ยม 6. เปลี่ยนลักษณะคําถาม เชน วางควีนอยางนอยกี่ตัวจึงจะคลุมกระดาน 8x8 ไดทุกชอง

3.3. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 17:40)

เนื้อหาคณิตศาสตรที่จําเปนตองใชในการทําความเขาใจโครงงานนี้คือเรื่อง หลักการรังนกพิราบ (Pigeonhole principle) ซึ่งกลาววา หากจะวางนกพิราบ n ตัว ในรัง m รัง โดยที่ n>m แลว จะตองมีรังอยางนอย 1 รังที่มีนกพิราบมากกวา 1 ตัว ในกรณีทั่วไปซึ่งเปนกรณีที่จะนํามาใชในโครงงานนีน้ั้น เราสามารถสรุปไดวา จะตองมีรังอยางนอย 1 รังที่มีนกพิราบอยางนอย n/m ตัว รูปที่ 7 แสดงตัวอยางภาพขณะอธิบายหลักการรังนกพิราบ

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณติศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี ้

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14    

3.4. วิธีดําเนินงาน (เริ่ม ณ 21:36)

1. หาขอบเขตบนของจํานวนตัวเบี้ยที่สามารถวางบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด NxN โดยที่ไมมี ตัวเบี้ย 3 ตัวใดๆ อยูบนแนวเสนตรงเดียวกัน ในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง ซึ่งโดยหลักการ รังนกพิราบ เราสรุปไดวาสามารถวางเบี้ยไดอยางมาก 2N ตัวเทานั้น 2. เขียนโปรแกรมคอมพิวเตอรเพื่อใชหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการวางตัวเบี้ย 2N ตัวดังกลาว สําหรับ N = 3, 4, …, 8 3. พิสูจนวา สําหรับ N ใด ๆ ที่มากกวาหรือเทากับ 2 จะมีวิธีในการวางตัวเบี้ยบนกระดาน NxN ดังกลาว

3.5. ผลการวจิัย (เริ่ม ณ 23:18) 1. บนกระดานขนาด NxN ถาวางตัวเบี้ยในแตละแนวนอน (แถว) จํานวน 2 ตัว จะวางตัวเบี้ยได 2N ตัว และโดยหลักการรังนกพิราบ จะไดวาในการวางตัวเบี้ย 2N+1 ตัว ในแถว N แถว จะมีอยางนอย 1 แถวที่มีตัวเบี้ยอยางนอย 3 ตัว ดังนั้นจึงสรุปไดวาวางตัวเบี้ยไดไมเกิน 2N ตัว 2. ใชโปรแกรมคอมพิวเตอรหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการวางตัวเบี้ยบนกระดานขนาด 3x3, 4x4, 5x5, …, 8x8 ไดดังนี้ ตารางที่ 2 แสดงจํานวนวิธีในการวางตัวเบี้ย 2N ตัวลงบนกระดานขนาด NxN 3. จะแสดงวา สําหรับ N >= 2 ใด ๆ มอียางนอยหนึ่งวิธีในการวางตัวเบี้ย 2N ตัว ลงบนกระดาน NxN ดังกลาว ซึ่งแบงออกเปน 2 กรณี ไดแก กรณีที ่ N เปนจำนวนคู และกรณีที่ N เปนจำนวนคี ่ ซึ่ง สามารถศึกษาไดจากตัวอยางการวางดังแสดงในรูปที่ 8

รูปที่ 8 แสดงวิธีวางตัวเบี้ย 8 และ 10 ตัว ลงบนกระดานขนาด 4x4 และ 5x5 ตามลําดับ

ขนาดกระดาน 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 จํานวนวิธี 2 11 92 1097 19448 477136

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15    

3.6. สรุป (เริ่ม ณ 29:26) โครงงานนี้เปนตัวอยางที่ดีและไมยากเกินไปของการสรางปญหาใหม โดยการขยายเงื่อนไขในปญหา เดิม จึงหวังเปนอยางยิ่งวาถึงแมวาเราอาจรูคําตอบของคําถามหนึง่ ๆ แลว ผูเรียนจะไมหยุด ถามคําถามใหม ๆ ซึ่งอาจนําไปสูปญหาที่กวางขวางขึ้น และมีประโยชนมากขึ้นก็เปนได

. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นตั้งคําถาม .

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16    

กิตติกรรมประกาศ

ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ คุณกนัตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอ แนวคิดจนกอใหเกิดสื่อในรูปแบบนี้ขึ้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17    

เอกสารอางอิง

1. วศิน วิพิศมากูล, การวางตัวเบี้ยที่มากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด NxN โดยที่ไมมีตัวเบี้ย 3 ตัวใดๆ อยูบนแนวเสนตรงเดียวกัน ในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง, โครงงานคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนบดินทรเดชา (สิงห สิงหเสนี) ปการศึกษา 2545 ของนักเรียน ในโครงการพัฒนาและสงเสริมผูมีความสามารถพิเศษทางวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (พสวท)

2. http://www.thechessworld.com

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร

จํานวน 92 ตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

เซต บทนํา เรื่อง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง

จํานวนจริง

บทนํา เรื่อง จํานวนจริง

สมบัติของจํานวนจริง

การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ

เทคนิคการแกอสมการ

คาสัมบูรณ

การแกอสมการคาสัมบูรณ

กราฟคาสัมบูรณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ

ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ

(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก) ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย

ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20    

เรือ่ง ตอน

ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ

อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชัน

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ฟงกชันประกอบ

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

อสมการลอการิทึม

ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ

อัตราสวนตรีโกณมิติ

เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย

ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน

กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร

การหาคาสุดขีด

ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย

อนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21    

เรื่อง ตอน

การนับและความนาจะเปน

บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู

ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

การถอดรากที่สาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบื้องที่ยืดหดได