8vo Matematica2 Profesor (1)

MatemáticaGUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

INCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

8ºEducación Básica

Autores del Texto del Estudiante

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

Autoras de la Guía Didáctica del Docente

MARIBEL DONOSO SILVALICENCIADA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN,PROFESORA DE ESTADO EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN,

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.

LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ

LICENCIADA EN EDUCACIÓN,PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

La Guía del Docente Matemática 8, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

bajo la dirección general de:MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER

EDICIÓN: CAROLINA HENRÍQUEZ RIVAS

AUTORES DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE: EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

AUTORAS DE LA GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE: MARIBEL DONOSO SILVA

LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ

CORRECCIÓN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA

GABRIELA PRECHT ROJAS

DOCUMENTACIÓN: PAULINA NOVOA VENTURINO

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA: CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: XENIA VENEGAS ZEVALLOS

JEFA DE DISEÑO ÁREA MÁTEMÁTICA: MARIELA PINEDA GÁLVEZ

DIAGRAMACIÓN: XIMENA MONCADA LOMEÑA

ILUSTRACIONES: MARTÍN OYARCE GALLARDO

FOTOGRAFÍAS: ARCHIVO SANTILLANA

CUBIERTA: LA PRÁCTICA S.P.A.

PRODUCCIÓN: GERMÁN URRUTIA GARÍN

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal opar cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por WorldColor S.A.ISBN: 978-956-15-1763-9

Inscripción N˚: 198.046Se terminó de imprimir esta XX edición de XX ejemplares, en el mes de XX del año XX.

www.santillana.cl

Referencias de las Guías Didácticas Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Mineduc, de los autores: Rossana Herrera Concha, Francisco Rojas Sateler, Jaime Ávila Hidalgo, Ana Rojas Fernández, Javiera Setz Mena, Lorna Jiménez Martínez, Florencia Darrigrandi Navarro.

Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003 y 2010.

Índice

3 Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Introducción 6

Propósito de la Unidad 34

Esquema de la Unidad 34

Relación entre los CMO tratados en la Unidad

y los de otros años 35

Propuesta de planificación de la Unidad 36

Errores frecuentes 38

Referencias teóricas y consideraciones sobre

algunos contenidos 39

Bibliografía 41

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio,

desarrollo y cierre (páginas 10 a 35 del Texto del Estudiante) 42

Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable 75

Evaluación. Números enteros 76

Números enteros 34

Organización de la Guía Didáctica 8

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) 10

Hipertexto 16

Habilidades del pensamiento 17

Evaluación en Matemática 19

Instrumentos de evaluación 20

Razonamiento matemático y Resolución de problemas 24

Estructura del Texto del Estudiante 28

Índice del Texto del Estudiante 32

1Unidad










Bibliografía 85




Evaluación. Potencias 130

Potencias 782Unidad









Bibliografía 139




Evaluación. Geometría y medición 178

Geometría y medición 1323Unidad









Bibliografía 187




Evaluación. Movimientos en el plano 224

Movimientos en el plano 1804Unidad

Solucionario (páginas 200 a 219 del Texto del Estudiante) 336

Índice temático (páginas 220 a 222 del Texto del Estudiante) 346

Bibliografía de la Guía Didáctica 349










Bibliografía 233




Evaluación. Datos y azar 276

Datos y azar 2265Unidad









Bibliografía 285




Evaluación. Funciones y relaciones proporcionales 330

Funciones y relaciones proporcionales 2786Unidad

Bibliografía (páginas 223 a 224 del Texto del Estudiante) 347

Evaluación final 332

IntroducciónEl año 2007, el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, pararesponder a diversos requerimientos sociales y poder mantener su vigencia y rele-vancia. En este contexto, el Ministerio ha elaborado una propuesta de AjusteCurricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacionalpara responder a problemas detectados, así como a diversos requerimientos so-ciales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico. Aunque es un pro-ceso de ajuste de mayor envergadura que las modificaciones realizadas a lafecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum siguemanteniendo su enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos,habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal,social y laboral de los sujetos en la sociedad actual.

Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática requiere consolidar, sis-tematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alum-nas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en losniveles anteriores. Busca, asimismo, promover el desarrollo de formas de pen-samiento y de acción que posibiliten a los y las estudiantes procesar informaciónproveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella; el desa-rrollo de su confianza en las propias capacidades para aprender; la generación deactitudes positivas hacia el aprendizaje de la Matemática; apropiarse de formasde razonar matemáticamente; adquirir herramientas que les permitan reconocer,plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y seguridad en sí mismos,al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.

La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Ob-jetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivelestablecidos en el Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Edu-cación (CSE) el año 2009, e integra y articula el tratamiento de Objetivos Fun-damentales Transversales con los contenidos y actividades centrales, dandoénfasis especialmente a los siguientes: aceptación y valoración de la diversidadetaria, cultural, socioeconómica, de género, condición física, opinión u otras; respe-to a la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes detodas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente;desarrollo de habilidades de pensamiento.

Tanto el Texto del Estudiante Matemática 8 como la Guía Didáctica del Docentese organizan a partir de los cuatro ejes temáticos considerados para el sector:Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar, considerando como eje transversalel de razonamiento, que incluye tanto la resolución de problemas, exploraciónde caminos alternativos y modelamiento de situaciones o fenómenos como eldesarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de

conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones, y discusión de la validez delas conclusiones.

Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular, visite: www.curriculum–mineduc.cl/curriculum/marcos–curriculares/educacion–regular/

Desde esta perspectiva, esta Guía Didáctica del Docente es un instrumento com-plementario al Texto del Estudiante Matemática 8 y ha sido elaborada con elpropósito de orientar el trabajo de los contenidos, recursos y actividades pre-sentes a lo largo del Texto, apoyando la activación de experiencias y conocimientosprevios; el desarrollo, aprendizaje, consolidación y aplicación de los contenidos;la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa, y reforzando y profundizandoel aprendizaje.

El acercarse al conocimiento matemático implica un proceso de construcción social,en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados, sino en continuaconstrucción, y en el que los y las estudiantes son considerados protagonistas fun-damentales, otorgando significado a los conocimientos desde su experiencia. Apartir de este fundamento, las actividades que se plantean en el Texto del Estu-diante y en esta Guía son significativas y cercanas a la realidad y a las experienciasde los y las estudiantes.

Así, al inicio de cada Unidad se presenta una imagen en la cual se pueden observarsituaciones y contextos cotidianos o familiares, a través de los que se invita a lasalumnas y alumnos a comentar, opinar y participar a través de preguntas orientado-ras relacionadas con ella, que permiten activar sus experiencias y conocimientosprevios con respecto al contenido que se trabaja. Del mismo modo, durante el de-sarrollo de cada Unidad se presentan situaciones de la vida cotidiana y actividadesrelacionadas con la misma, que promueven el razonamiento y la comprensión delos contenidos.

Considerando que el razonamiento matemático constituye un eje central de laactividad matemática y, en consecuencia, debe ocupar un lugar importante deesta disciplina desde los niveles más elementales, es que todos los contenidosson trabajados a partir de situaciones que promueven el razonamiento y desa-rrollan las habilidades relacionadas con la resolución de problemas. Enfatizandolo anterior, cada Unidad del Texto incluye la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS,donde se trabajan específicamente las habilidades de resolución de problemas,intencionando los pasos o etapas necesarios para su desarrollo. A partir de lasactividades propuestas en el Texto y en esta Guía, se potencia el desarrollo de lashabilidades, entendidas como el proceso mental o el conjunto de operacionesmentales por medio de las cuales una persona opera sobre una realidad o sobreun conjunto de conocimientos, de tal modo de integrarlos dándoles un sentido.


Es así como el desarrollo de las habilidades es intencionado en la Guía y en el Textoa través de actividades que desafían a el o la estudiante a poner en interacciónsus capacidades con los contenidos a trabajar, de manera de ir potenciando e in-tegrando las distintas habilidades.

En general, podemos resumir los objetivos generales de nuestra propuesta enlos siguientes:

• Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que losalumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio ylo realizado en cursos anteriores.

• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través delaprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitanintervenir activamente en ella.

• Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamientomatemático como deducir, argumentar, realizar operaciones concretas, in-volucrados en diversas situaciones.

• Aplicar habilidades propias del proceso de resolución de problemas, a travésde diversas situaciones que permitan la integración entre diversos registrosde representación semiótica de la matemática (algebraico, lenguaje natural,gráfico, tablas, etc).

• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la matemática,desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poderde la matemática, la confianza en el uso de la matemática y la perseveranciaen la resolución de problemas.

En cuanto a la metodología de la propuesta, esta se basa en la concepción deaprendizaje constructivista y en el concepto de evaluación para el aprendizaje. Eneste sentido, los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:

• Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, enun nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivelseñaladas en los Ajustes Curriculares y en el Mapa de Progreso de Apren-dizaje de Números.

• Presentar los contenidos en contextos significativos.• Conectar las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes con

los nuevos contenidos, promoviendo, además, operaciones concretas y/o ar-gumentaciones espontáneas respecto del nuevo contenido.

• Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los pro-cesos involucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos.

• Incluir justificaciones simples de los conceptos y procedimientos, cuandosea pertinente.

• Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada con-tenido, a través de un discurso formal, pero en un lenguaje adecuado al nivelde los estudiantes.

• Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitannaturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan conver-tirse en instancias de evaluación permanente.

• Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan laaplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situacionesnuevas y diversas.

• Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemáticoen la resolución de problemas en particular, como son la selección y análisisde los datos, la búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución yla interpretación de resultados en función del contexto, de forma integradacon las actividades de aprendizaje.

• Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollenla heurística de la resolución de problemas.

• Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar loscontenidos y procedimientos centrales estudiados.

• Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitantomar conciencia de los procesos y sus resultados y monitorear el proceso depensamiento propio durante la resolución de problemas.

• Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales, de formaintegrada con el tratamiento de los contenidos.

• Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la matemática, de formaintegrada con el tratamiento de los contenidos.

• Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas en las cualesse evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientarestas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos,a través de actividades diversas y desafiantes.

• Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobrelos propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desa-rrollo de la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes.

• Incluir problemas que permitan al alumno o alumna, en la resolución, integrarmás de un registro de representación semiótico (gráfico, algebraico, lenguajenatural, tablas, etc.).


Para organizar con mayor claridad el año escolar, se presenta una propuesta deplanificación por Unidad, la cual contempla los Contenidos Mínimos Obligatorios,los Aprendizajes esperados, los recursos didácticos utilizados y las evaluacionescorrespondientes en cada una de ellas. Esta propuesta de planificación permitetener una mirada global del trabajo correspondiente al Octavo Año Básico, asícomo también, permite al profesor o profesora organizar y preparar las activi-dades sugeridas, contemplando los recursos didácticos especificados en dichaplanificación. Finalmente, es importante considerar que el aprendizaje es un pro-ceso dinámico y gradual, que evoluciona desde lo más simple a lo más complejo.

Por ello se han tomado como referentes, antes de realizar la planificación y la or-ganización del Texto, los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA), ya que enestos se definen los distintos niveles del aprendizaje y se explicitan los apren-dizajes a lograr en cada uno de ellos. Del mismo modo, la secuencia de lasUnidades y de las actividades propuestas en esta Guía tienen un carácter progre-sivo en cuanto a complejidad de los contenidos y de las mismas actividades.

Fuente: Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgadopor el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la Repúblicade Chile el 19 de agosto de 2009.

Organización de la Guía DidácticaLa Guía Didáctica del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones.

• Propósito de la Unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo quese debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad.

• Propuesta de planificación: en una tabla se organizan y vinculan los CMO, loscontenidos de la Unidad, los aprendizajes esperados, las actividades asociadas(incluidas las de evaluación), los recursos didácticos y los indicadores de eva-luación de cada Unidad. Además, se indican los tiempos estimados para sudesarrollo.

• Relación de los aprendizajes de la Unidad y los de otros años: en un diagramase relacionan los CMO desde Quinto a Octavo Año Básico, que tienen relacióncon los de la Unidad y que permiten al docente visualizar qué debieran sabersus estudiantes y en qué utilizarán posteriormente los aprendizajes que se es-pera que logren en la Unidad.

• Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidostrabajados en la Unidad.

• Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus es-tudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlas o evitarlas.

• Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos, que pueden apo-yar el trabajo de los contenidos de la Unidad.

• Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos: se incluye unapresentación teórica de apoyo que le permite actualizar los conocimientos respectode los contenidos que se trabajan en la Unidad, conocer estrategias para lograr unmejor aprendizaje de los contenidos, aclarar dudas conceptuales, etc.

Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad,se distinguen:

Páginas de inicio

• Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permitenorientar la activación de los conocimientos previos de los y las estudiantes conrespecto a los contenidos de la Unidad. Esto se complementa con un cuadroen donde se detallan las habilidades que se desarrollan en la actividad inicial,llamada CONVERSEMOS DE…

• Actividades complementarias: se presentan actividades que complementanlas del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica: tiene como objetivo orientar a el o la docente en laidentificación de los aprendizajes previos de los y las estudiantes, a partir de lasactividades de la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto del Estudiante. Detalla lashabilidades que se evalúan en cada actividad, sugerencias para evaluar lasrespuestas de los y las estudiantes y las posibles dificultades en la evaluacióny remediales.


Páginas de desarrollo

• Contenidos Mínimos Obligatorios: se especifican los Contenidos MínimosObligatorios que se trabajan en las actividades propuestas, extraídos delAjuste Curricular.

• Actividad inicial: se plantean orientaciones que permitan detectar los cono-cimientos de entrada de sus alumnos y alumnas, relacionados con los contenidos atrabajar, a partir de la situación de inicio.

• Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican lashabilidades que se trabajan en cada actividad.

• Orientaciones para el desarrollo de las actividades: se dan indicaciones conrespecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso derecursos, estrategias pedagógicas, etc., para potenciar de mejor manera eldesarrollo de las habilidades en los y las estudiantes.

• Indicaciones respecto del contenido: en esta sección se plantean sugerenciaso aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como defini-ciones, propiedades, formalizaciones, etc.

• Actividades complementarias: para cada página del Texto se plantean activi-dades que permiten reforzar y profundizar el contenido y las habilidadesque se están trabajando. Además, podrá encontrar dos páginas con activi-dades de refuerzo y de profundización, después de las orientaciones que sesugieren para cada Evaluación Formativa, que podrá utilizar según losavances de sus estudiantes.

• Evaluación formativa: esta sección tiene como objetivo orientar la evalu-ación del logro de los aprendizajes referidos a los contenidos específicosque se hayan trabajado hasta el momento. Se presenta en la sección MIPROGRESO, del Texto del Estudiante, e incluye un cuadro de las habilidadesque se evalúan en ella.

Páginas de cierre

• Buscando estrategias: en esta sección se plantean orientaciones para trabajarla resolución de problemas, paso a paso, a partir de las actividades de esta sec-ción del Texto del Estudiante. Además, se especifican las habilidades que sedesarrollan y se proponen actividades complementarias que permiten reforzary/o ampliar el contenido trabajado, cuando es pertinente.

• Conexiones: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades deesta sección y actividades complementarias que potencian el establecimientode vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.

• Síntesis: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar loaprendido, a través de las actividades presentadas en esta sección del Texto delEstudiante. Además, se propone otra técnica de estudio para organizar loscontenidos trabajados en la Unidad.

• Evaluación sumativa: se orienta la evaluación de las actividades presentadas enla sección ¿QUÉ APRENDÍ?, permitiendo evaluar los logros alcanzados por susalumnos y alumnas en la Unidad. Se explicitan también posibles dificultadesy remediales.

• Evaluación fotocopiable: se incluye una evaluación sumativa al final de cadaUnidad de la Guía, de forma complementaria a la presentada en el Texto delEstudiante. Además, se sugiere una rúbrica para cada ítem.


Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a dis-posición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son uninstrumento de apoyo al y a la docente para monitorear el progreso en el apren-dizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Losniveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnosy alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzadoaprendizajes que les permitirán abordar bien los del nivel siguiente, cuántos seencuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciandoese proceso.

Ya sabemos que todos somos distintos y, por lo mismo, no todos aprendemos dela misma manera o al mismo ritmo; por esto, el conocer el nivel en el que se en-cuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidadde estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender yorientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organizaciónde nuestra propuesta fueron considerados los niveles de logro de los Mapas deProgreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que pro-mueven el logro de los aprendizajes en forma gradual, proponiéndose, además,evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer losavances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades espera-dos en el nivel.

A continuación, se presentan los niveles 2, 3, 4 y 5 (correspondientes a los nive-les de 3º y 4º Básico, 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico y 1º y 2º Medio, respectiva-mente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momentopor la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de losejes: Números y Operaciones, Álgebra y Datos y Azar.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones,progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:

• Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significadode los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los quepertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/opermiten resolver.

• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del signifi-cado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, lasrelaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva in-formación a partir de información dada.

• Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selec-ción, aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas;la argumentación y la comunicación de estrategias y resultados.


Nivel Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numéricoen el que es posible resolver problemas que no admiten soluciónen los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en elque es posible resolver problemas que no admiten solución en losracionales, y a los reales como la unión entre racionales e irra-cionales. Interpreta potencias de base racional y exponenteracional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entreellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza opera-toria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos ylos aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando es-trategias que implican descomponer un problema o situacionespropuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategiaso procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificarla validez o falsedad de conjeturas.

Nivel 4

Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico endonde se pueden resolver problemas que no admiten solución en losnúmeros naturales, reconoce sus propiedades y los utiliza para or-denar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece proporciones ylas usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional.Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros.

Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias debase fraccionaria positiva, decimal positivo o entero y exponente natu-ral en la solución de diversos desafíos. Resuelve problemas y formulaconjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer rela-ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturasformuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedi-mientos y relaciones matemáticas.

Mapa de Progreso de Álgebra

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan con-siderando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:

• Comprensión y uso del lenguaje algebraico. Se refiere a las habilidades para in-terpretar el significado y escribir expresiones algebraicas haciendo uso de lasconvenciones del álgebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en ladesignación de números, variables, constantes u otros objetos matemáticos.

• Comprensión y uso de relaciones algebraicas. Se refiere a la habilidad para es-tablecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante igualdades, ecua-

ciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar reglas y proce-dimientos que permitan transformarlas en expresiones equivalentes.

• Razonamiento matemático. Involucra habilidades relacionadas con el re-conocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de situaciones ofenómenos y la argumentación matemática.


Nivel Descripción

Nivel 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar comoproducto de factores. Comprende el significado de potencias debase y exponente natural, y las aplica en situaciones diversas. Uti-liza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar,comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado deporcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones onúmeros decimales, para calcular porcentajes. Comprende y rea-liza las cuatro operaciones con números positivos escritos tanto enforma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelveproblemas y formula conjeturas en diversos contextos, que re-quieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobrela validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

Nivel 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar,comparar, estimar y calcular. Comprende que las fracciones simplesy los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto,una colección de objetos o una unidad de medida. Realiza compara-ciones entre números decimales o entre fracciones y establece equiva-lencias entre ambas notaciones. Multiplica y divide (por un solo dígito)con números naturales, comprendiendo el significado de estas ope-raciones y la relación entre ellas y con la adición y sustracción. Reali-za estimaciones y cálculos mentales de adiciones, sustracciones,multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias sim-ples. Resuelve problemas en contextos familiares en que los datos noestán necesariamente explícitos o requieren seleccionar informacióndel enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicando su razona-miento. Formula conjeturas y las verifica a través de ejemplos.

Nivel Descripción

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal,afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa através de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expre-siones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso deconvenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones linealesen forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucrancomposición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas deecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado yde las soluciones obtenidas.

Nivel 4

Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemáticoy viceversa. Reduce expresiones algebraicas por medio de la apli-cación de propiedades de las operaciones. Resuelve problemas endiferentes contextos que involucran ecuaciones de primer gradocon la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizandopropiedades y convenciones del álgebra. Reconoce funciones encontextos cotidianos y sus elementos constituyentes, distinguiendoentre variables independientes y dependientes. Resuelve proble-mas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional,explicando la relación entre las variables. Justifica la pertinencia delos procedimientos aplicados aludiendo a la situación que modela.

Nivel 3

Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden re-presentar distintos valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expre-siones algebraicas que representan las propiedades de las operacionese interpreta expresiones algebraicas que representan la generalizaciónde una operación matemática. Comprende que una misma expresióntiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelveecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a unsolo lado de la igualdad, utilizando estrategias informales. Justificasus soluciones explicitando las estrategias utilizadas.

Mapa de Progreso de Datos y Azar

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarro-llan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan.

• Procesamiento de datos. Se refiere a las habilidades para clasificar, organizar,resumir y representar datos en distintos formatos, tales como tablas y gráficos.

• Interpretación de información. Se refiere a las habilidades para analizar críti-camente y para obtener información a partir de datos organizados en tablasy gráficos.

• Comprensión del azar. Se refiere a la comprensión y uso de un lenguaje deprobabilidades, y a la habilidad para determinar la probabilidad de ocurren-cia de eventos, en forma experimental y teórica, a partir de fenómenos aleato-rios y el análisis de sus resultados.

• Razonamiento matemático. Se refiere a la habilidad para resolver problemas,reconocer patrones, formular preguntas pertinentes y hacer conjeturas a partirde datos o situaciones en las que interviene el azar, así como a la capacidadpara argumentar acerca de la validez de respuestas a las preguntas formu-ladas y acerca de las conjeturas propuestas.


Nivel Descripción

Nivel 2

Expresa relaciones de orden utilizando la simbología correspon-diente. Determina el valor desconocido en situaciones de multipli-cación y división. Identifica, describe y continúa patrones numéricosy geométricos con figuras conocidas, mencionando alguna reglaque genere la secuencia. Explica las estrategias aplicadas en la de-terminación de un valor desconocido y justifica la regla elegidapara continuar un patrón aludiendo a los términos dados.

Nivel Descripción

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuen-cia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta informa-ción haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Comparados o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posi-ción. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igualtamaño, desde una población finita, el promedio de las medias arit-méticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asignaprobabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuenciasrelativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelveproblemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas deárbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma yproducto de las probabilidades.

Nivel 4

Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones,ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extraee interpreta información desde tablas de frecuencias con datosagrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representa-tividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusionese inferencias acerca de una población determinada. Comprendeque a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor dela probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el ex-perimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabili-dades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplacey también las frecuencias relativas.

Nivel 3

Reconoce aquellas variables que aportan información relevantepara resolver un problema y organiza datos en gráficos de línea, cir-culares y barras múltiples. Extrae información respecto de situa-ciones o fenómenos presentados en los gráficos anteriores y calculamedidas de tendencia central. Comprende los conceptos depoblación y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras alrealizar estudios para caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidadde ocurrencia de un evento en contextos cotidianos como posible,imposible, probable o seguro, a partir de su experiencia y la obser-vación de regularidades en experimentos aleatorios simples. Con-jetura acerca de las tendencias que se desprenden desde ungráfico, desde la lectura de medidas de tendencia central o de losresultados de un experimento aleatorio simple, justificando en basea la información disponible.

Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que in-grese a www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/

Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías deInformación y Comunicación (TIC). Con relación a ellas, el Ajuste Curricular pos-tula fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades deuso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el docu-mento Aprendizajes K-12 funciona como un Mapa de Progreso del Aprendizajede las TIC y es considerado al momento de formular las actividades ya que, porun lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces dehacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desa-rrollar en un nivel determinado.

El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones.

• Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuel-van las necesidades de información y comunicación dentro del entorno socialreal/ inmediato/ próximo (no virtual).

• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales yevaluación de su pertinencia y calidad.

• Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportescreativos propios.

• Ética. Uso responsable de la información y comunicación.

Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles, y para cadauno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alum-nos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, pordimensión, son:

Dimensión Tecnológica


Nivel Descripción

Nivel 2

Organiza datos simples relativos a situaciones o fenómenos diver-sos, en gráficos de barras simples. Extrae información respecto deun fenómeno o situación desde tablas y gráficos de barras sim-ples. Saca conclusiones y verifica afirmaciones que requieren inte-grar los datos disponibles, o bien realiza algunas operacionessimples. Justifica dando cuenta del procedimiento utilizado.

Extraído de: Mapas de Progreso del Aprendizaje.Ministerio de Educación. Julio de 2009. www.curriculum-mineduc.cl

Niveles Variables Indicadores

Nivel 513 – 14 años 1º y 2º medio

Utiliza y combina distintosprogramas como procesadorde texto, planillas de cálculo,plantillas de presentación, ydispositivos periféricos, paradesarrollar productos multi-mediales simples.

• Produce hipertextos.• Traspasa/incorpora video

o sonido a presentaciones PowerPoint.

• Incorpora movimiento en sus presentaciones.

• Graba y edita videos.

Nivel 411 – 12 años 7º y 8º básico

Utiliza diversos programascomo procesador de texto,planillas de cálculo y deplantillas de presentación,para escribir, editar y ordenarinformación, exportando in-formación de un programaa otro y de algunos disposi-tivos periféricos.

• Exporta gráficos a formato de procesador de texto.

• Utiliza cámara digital.• Crea presentaciones con

incorporación de movimiento en plantillas de PP.

• Vincula información en las presentaciones.

• Mezcla música con imágenes estáticas y en movimiento en sus presentaciones.

• Utiliza corrector ortográfico.

Nivel 39 – 10 años

5º y 6º básico

Utiliza diversos programascomo procesador de texto,planillas de cálculo y deplantillas de presentación,para escribir, editar y or-denar información.

• Crea presentaciones combi-nando textos con fotografíaso dibujos en plantillas de PP.

• Crea tablas en el procesadorde texto para ordenar información.

• Ordena datos en planillas de cálculo.

• Utiliza distintos tipos de gráfi-cos (barras, torta, lineales).

Dimensión Información




3º y 4º básico

Utiliza programas en formaelemental, como proce-sador de texto para escribirilustrar y editar textos sim-ples y planillas de cálculopara ordenar datos y elabo-rar gráficos simples.

• Crea y guarda archivos.• Utiliza los comandos de cortar,

copiar y pegar.• Chatea con sus amigos.• Compone y edita

textos simples.• Usa aplicaciones gráficas para

ilustrar información.• Utiliza los nombres de los com-

ponentes y capacidades delcomputador (teclado, mouse,funciones como guardar).


Nivel 513 – 14 años1º y 2º medio

Recupera, guarda y orga-niza información en dis-tintos formatos, obtenidade Internet en formaautónoma utilizando bus-cadores, metabuscadores ybúsqueda avanzada.

• Utiliza operadores booleanospara buscar información.

• Evalúa con diversos criterios lacalidad de una página web.

• Sabe utilizar un tesauro.• Realiza búsquedas

en metabuscadores.



Recupera, guarda y orga-niza información en dis-tintos formatos, extraídade sitios web recomenda-dos por el profesor y nave-gación libre en Internet.Identifica y utiliza los crite-rios básicos de evaluaciónde la información: la actua-lidad, autoría, pertenencia.

• Utiliza diversos buscadores electrónicos.

• Guarda URL que le interesan.• Busca música y videos en

sitios especializados.• Busca elementos que le

permiten analizar la validez de la información (autor, fecha, fuente).

• Busca fuentes de informaciónen catálogos por autor, materia o título.

• Identifica en los datos de laURL la relevancia e interés delsitio (extensiones).

• Identifica fuentes primarias y secundarias.

• Diferencia hechos de opiniones.


5º y 6º básico

Recupera, guarda y orga-niza información extraídade algunas fuentes off line,y navegación en Internetcon criterios de búsquedadefinidos previamente.

• Identifica palabras clave parabuscar información.

• Selecciona textos específicospara responder a sus preguntas.


3º y 4º básico

Recupera y guarda infor-mación extraída de algu-nas fuentes off line o sitiosweb seleccionados por el profesor.

• Identifica en forma precisa la información que necesita a través de una pregunta específica.

• Selecciona y guarda la información en carpetas.

• Navega por un sitio web acotando las búsquedas.

Dimensión Comunicación Dimensión Ética



Nivel 513 – 14 años1º y 2º medio

Publica información propiaen plataformas virtuales,como blogs y retroalimentaa otros.

• Mantiene actualizado su sitio(blog, fotolog o página web).

• Inicia debates virtuales.


Participa en espacios inter-activos de sitios web, dedebate e intercambio de in-formación y produce docu-mentos en forma colectiva.

• Utiliza el control de cambios.• Participa en foros de curso.


5º y 6º básico

Intercambia información através de herramientas decomunicación para la gene-ración de documentos sim-ples en forma colaborativao colectiva.

• Envía mensajes electrónicos a varios destinatarios.

• Reconoce y sabe utilizar los archivos adjuntos de un mensaje electrónico.

• Ocupa técnicas simples paraaportar en la construcción de documentos (letras decolor, subrayados).

• Adjunta archivos en correo electrónico.


3º y 4º básico

Mantiene conversacionesvirtuales en forma autóno-ma con sus compañeros,por ejemplo, a través del Chat.

• Organiza listas de direccionesde correo electrónico.

• Se conecta a Messenger.• Activa y desactiva su

participación en el Chat.• Activa y desactiva a los inte-

grantes de una sala de Chat.


Nivel 513 – 14 años 1º y 2º medio

Conoce la regulación legalde utilización del espaciovirtual y las normas de se-guridad de la red. (Claves,pirateo, hackeo) y aplica cri-terios de buenas prácticas.

• Conoce las consecuencias le-gales de interferir en la comu-nicación on line.

• Identifica en el contenido delas páginas mensajes discrimi-natorios o ilegales.

• Emplea buenas maneras al usarcorreo electrónico (Netiquette).


Cita las fuentes desde don-de ha extraído informacióny utiliza convenciones bi-bliotecológicas básicas pa-ra registrarlas. (bibliografíao linkografía). Discrimina yse protege de la informa-ción y ofertas de serviciosque pueden ser perjudi-ciales para él/ella.

• No abre correos desconocidos.• Borra los spam.• Cita correctamente las fuentes

virtuales de información (im-plica conocer nociones de pro-piedad intelectual, derechosde autor, plagio).


5º y 6º básico

Identifica la fuente desdedonde es extraída la in-formación. Autolimita eltiem- po dedicado a lanavegación e intercam-bios virtuales.

• Se programa para limitar el tiempo de uso del computa-dor y desarrollar otro tipo de actividades.

• Declara la fuente desde dondeextrae la información.

• Utiliza cremillas para citar.


3º y 4º básico

Identifica y aplica las nor-mas de seguridad básicaspara evitar la contami-nación virtual. Identifica yaplica las normas de cui-dado personal y respetopor el otro en la comuni-cación virtual.

• Actualiza los programas antivirus.

• Copias de seguridad.• No descarga software ilegales.• Elimina información innecesaria.• Utiliza la papelera de reciclaje

del sistema.

Extraído de: Aprendizajes K-12. Ministerio de Educación. Agosto de 2009. http://portal.enlaces.cl

Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentesgrados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar anuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presen-tan algunos criterios que le permitirán a usted y a sus alumnos y alumnas evaluarfuentes de información provenientes de sitios web.

Información sobre la Web

Para evaluar si la información que se localiza en Internet es confiable, se puedenplantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL):

• ¿Reconoce el Nombre de Dominio?• ¿Cuál es la extensión del Nombre de Dominio?

Por ejemplo: .edu: hace referencia a instituciones educativas..gov: corresponde a sitios web de instituciones gubernamentales.

• ¿La página localizada es personal?Si presentan caracteres especiales como ~, % indican que a partir de esecarácter la información corresponde a la opinión personal de una persona.

Información sobre el contenido de la página

Es pertinente hacerse preguntas como las siguientes para evaluar una página web:

• ¿Es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o queestoy investigando?

• ¿En qué fecha se publicaron los contenidos?, ¿son actuales, están vigentes? • ¿Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, se

citan estas correctamente?

Información sobre los autores y editores

Para evaluar la validez de la autoría de una página, se pueden utilizar las siguien-tes preguntas:

• ¿En la página aparece el nombre del autor o autores?• ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor?

Fuente: Artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro“Web Literacy for Educators”, escrito por el Dr. Alan November.

Para saber más sobre este tema puede visitar www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php

HipertextoJunto al Texto escolar, los y las estudiantes tendrán a su disposición el apoyo deun Hipertexto, que es un conjunto de recursos multimedia que se estructuran apartir del Texto del Estudiante y que incorporan elementos que permiten alusuario utilizar el recurso, con una secuencia de lectura dinámica, combinandoimágenes fijas y en movimiento, animaciones y sonidos.

Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momen-tos pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada Unidad del Texto im-preso: inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos se presentan diversosrecursos que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas, actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados altratamiento de los contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagó-gicas de estos recursos destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar con-ductas de entrada, enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos yaplicarlos en contextos distintos, evaluar sumativamente y sintetizar.

La propuesta didáctica que presentamos se muestra en el siguiente cuadro:


Momento pedagógico

Recurso

Inicio

– Introducción: animación que motiva el aprendizaje de la Unidad.

– Diagnóstico: evaluación interactiva que permite conocer losconocimientos previos de los estudiantes.

– Links de apoyo: vínculos a sitios webs que enriquecen la actividad inicial de la unidad y que activan los conocimientosprevios de los estudiantes.

Desarrollo

– Recursos digitales vinculados con el contenido de la Unidad y que enriquecen las actividades del Texto.

– Recursos digitales que permiten ejercitar y/o profundizar loscontenidos tratados en el Texto.

– Recursos digitales que permiten consolidar a partir de la aplicación en un contexto distinto, los contenidos tratados en el Texto.

Cierre

– Mapa conceptual: actividad interactiva que permite sinteti-zar, organizar y jerarquizar los contenidos tratados en el Texto.

– Autoevaluación: se presentan dos autoevaluaciones, una in-teractiva y otra imprimible que permitirá evaluar, en cadaUnidad, el nivel de logro de sus estudiantes.

Habilidades del pensamiento

El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es degran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesi-dad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y delámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividadesa desarrollar por los alumnos y alumnas de Octavo Año Básico, propuestas en elTexto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promover el de-sarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propiciansu adquisición.

Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados hanjugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio in-ternacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto dela Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA).

Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían mani-festar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación deesta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores.

A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en estapropuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos yprocedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales yRazonamiento, los cuales están formados por las descripciones de las destrezasy habilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primerashabilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde elconocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de esteconocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad nodebe confundirse con la de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta tam-bién depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.


RecordarRecordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéri-cos; propiedades de los números; propiedades de las figurasplanas; convenciones matemáticas.

Reconocer/Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equiva-lentes, es decir, áreas de partes de figuras para representarfracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajesequivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figurasgeométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, mul-tiplicar, dividir o una combinación de estas operaciones;conocer procedimientos para aproximar números, estimarmedidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas,dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o dis-minuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, des-componer en factores, expandir expresiones algebraicas ynuméricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leerescalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especi-ficaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla ycompás para construir la mediatriz de una línea, la bisectrizde un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan endeterminadas condiciones; tener una apreciación de concep-tos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad deprobabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinali-dad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones eideas según propiedades comunes; tomar decisiones correc-tas con relación a la pertenencia a una clase; ordenarnúmeros y objetos según sus atributos.

Representar

Representar números mediante modelos; representar infor-mación matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros,gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidado relación matemática dada.

FormularFormular problemas o soluciones que puedan ser represen-tados por ecuaciones o expresiones dadas.

DistinguirDistinguir preguntas que se pueden plantear con informacióndada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que nose pueden plantear así.

Utilización de conceptos

Conocimiento de hechos y procedimientos

Resolución de problemas habituales

Razonamiento


Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para re-solver problemas en los que haya un algoritmo o método desolución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabríaesperar que resultase conocido para los y las estudiantes.Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

RepresentarGenerar una representación apropiada, por ejemplo, unaecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

InterpretarInterpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones,diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instruc-ciones matemáticas.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptospara resolver problemas matemáticos habituales (incluidosproblemas de la vida real), es decir, problemas similares a losque probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un pro-blema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Formularhipótesis,conjeturar o predecir

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutirideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturaso predecir datos; especificar un resultado (número, patrón,cantidad, transformación, etcétera) que resultará de una ope-ración o experimento antes de que se lleve a cabo.

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u ob-jetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticosunivariantes; descomponer figuras geométricas para simpli-ficar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólidodado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de in-formación dada.

EvaluarDiscutir y evaluar críticamente una idea matemática, conje-tura, estrategia de resolución de problemas, método,demostración, etcétera.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado delpensamiento matemático y la resolución de problemas me-diante la reexposición de resultados en términos más gene-rales y más aplicables.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos exis-tentes; hacer conexiones entre diferentes elementos deconocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideasu objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para es-tablecer resultados; combinar resultados para llegar a un re-sultado ulterior.

Resolverproblemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos ode la vida real de los que es muy poco probable que los estu-diantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedi-mientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la ver-dad de un enunciado mediante referencia a propiedades oresultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticospara demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada lainformación relevante.

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación(INCE), Madrid, 2002.

Evaluación en Matemática

La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiendecomo un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento dejuicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas apartir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres ac-ciones: medición, evaluación y calificación.

Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estruc-turación. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categoríasa partir de la observación o la comparación de comportamientos observablescon categorías o escalas conocidas.

Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la quepertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resulta-dos de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostradopor el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado.

Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indicauna posición en una escala dada) el resultado de ese juicio.

El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y apren-dizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acercade cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al edu-cando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje yqué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los apren-dizajes de los y las estudiantes.

Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el profesor crea un plande acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a través de actividadesremediales o de reforzamiento de los contenidos.

Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guíala aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación diagnóstica. Se integra al inicio de cada Unidad, para identificar losconocimientos previos con los cuales los y las estudiantes se enfrentarán a losnuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logrode aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales.

En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo decada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES?

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y, dado su carácterprocesal, permitirá a cada estudiante retroalimentar su desempeño, y al o ladocente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logrode los aprendizajes.

La evaluación formativa también es considerada dentro de cada Unidad deesta Guía en la sección MI PROGRESO, en la cual se busca monitorear el pro-ceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados.

• Evaluación sumativa. Entrega información acerca del nivel de logro alcanzadorespecto de los aprendizajes esperados al término de la Unidad, dando la posi-bilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles, a travésde la aplicación de actividades remediales.

Al finalizar cada Unidad de la Guía se presenta una evaluación fotocopiablede carácter sumativo, que evalúa el aprendizaje de los contenidos trabajadosa lo largo de toda la Unidad.

Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes buscadeterminar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad pararesolver problemas y comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamientoempleado, identificar los conceptos que manejan, los procedimientos que aplicany la actitud presentada frente al problema a resolver; además, permite aproximarseal estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes.

Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, separte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos: el conceptual yel procedimental. El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informa-ciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo quese denomina estructura conceptual.

El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecuciónde tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos.

En él se distinguen tres niveles:

• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezasaritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación.

• Razonamiento matemático: conjunto de argumentaciones y procesos asocia-dos que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datoso premisas y reglas de inferencia.

• Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de unaestructura conceptual; implica tener una gran creatividad e imaginación.


Instrumentos de evaluación

En el proceso de Evaluación es importante considerar distintos instrumentos quepermitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, sepresentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación del apren-dizaje matemático.

Procedimientos evaluativos

El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas; sin embargo, noes el único existente. A continuación le presentamos otros procedimientos eva-luativos complementarios a las pruebas y su posible uso.



Propósitos

Ensayo

Para comprobar la calidad de la expresión escrita, uso dereferencias, la habilidad para desarrollar un argumentocoherente, la comprensión y transferencia del conocimientoy la evaluación crítica de ideas.

Observaciónespontánea oestructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico,para juzgar desempeños tales como expresión oral, crea-ción plástica, manipulación en laboratorio, y en general,para evaluar la forma en que el alumno actúa mientrasdesarrolla su aprendizaje.

Entrevistaespontánea oestructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, paraaclarar asuntos que surgen de documentos o revisar laprofundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar laaplicación de estrategias a una tarea de aprendizaje.

Desempeño

Para evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto es-tructurado (puede ser en un ambiente simulado, en eltaller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habili-dades (ej. de resolución de problemas), aplicación deconocimientos y habilidades.

PresentaciónPara verificar la capacidad de presentar información aten-diendo a la audiencia y al tema. Para comprobar com-prensión del tema.


Propósitos

Informes, críticas,artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habili-dades de análisis y de expresión escrita sobre asuntos varios,p. ej. de actualidad.

Trabajo realizadoo proyecto detrabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia enfunción del propósito, la originalidad de la producción.(A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

Carpeta

Para validar el aprendizaje del alumno a través de un con-junto de materiales que reflejen sus progresos. Incluye sutrabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y eviden-cias de otras personas calificadas para hacer comentarios.

Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo:Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Santiago, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluaciónserá valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, losconocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes es-perados que el docente haya seleccionado.

En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permi-tan evaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo seenfoquen en que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que seutiliza. A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos yfundamentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.

Rúbricas para mapas conceptuales


Indicadores Logrado Medianamente logrado Por lograr

Conceptos y terminología

Muestra un entendimiento del concepto oprincipio matemático y una notación y unaterminología adecuada.

Comete algunos errores en la terminologíaempleada y muestra algunos vacíos en elentendimiento del concepto o principio.

Comete muchos errores en la terminologíay muestra vacíos conceptuales profundos.

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

Construye un mapa conceptual apropiado ycompleto, incluyendo ejemplos, colocandolos conceptos en jerarquías y conexionesadecuadas y colocando relaciones en todaslas conexiones, dando como resultado finalun mapa que es fácil de interpretar.

Coloca la mayoría de los conceptos en unajerarquía adecuada, estableciendo rela-ciones apropiadas la mayoría de las veces,dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

Coloca solo unos pocos conceptos en unajerarquía apropiada y usa solo unas pocasrelaciones entre los conceptos, dando comoresultado un mapa difícil de interpretar.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos los conceptos importantesy demuestra un conocimiento de las rela-ciones entre estos.

Identifica importantes conceptos, pero rea-liza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Rúbricas para trabajos escritos

Indicadores Logrado Medianamente logrado Por lograr

Ideas y contenido

El escrito es claro, enfocado e interesante.Mantiene la atención del lector. El tema ohistoria central se enriquece con anécdotasy detalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado; sin embargo,el resultado general puede no captar la aten-ción. Hay un intento por sustentarlo, peropuede ser limitado, irreal o muy general.

El escrito carece de una idea o propósito cen-tral. El lector se ve forzado a hacer inferenciasbasándose en detalles muy incompletos.

Organización

La organización resalta y focaliza la idea otema central. El orden, la estructura o lapresentación comprometen y mueven allector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo que va a suceder enla historia, pero, en general, la organizaciónpuede ser, en algunos casos, inefectiva omuy obvia.

La organización es casual y desarticulada.La escritura carece de dirección, con ideas,detalles o eventos que se encadenan unoscon otros, atropelladamente.


Logrado Medianamente logrado Por lograr

Voz

El escritor habla directamente al lector enforma directa, expresiva y que lo compro-mete con el relato. El escritor se involucraabiertamente con el texto y lo escribe paraser leído.

El escritor parece sincero, pero no está com-pletamente involucrado en el tema. El resul-tado es ameno, aceptable y a veces di-recto, pero no compromete.

El escritor parece completamente indife-rente, no involucrado o desapasionado. Como resultado, la escritura es plana, sin vida, rígida o mecánica. Y, dependi-endo del tema, resulta abiertamente técnica o incoherente.

Elección de palabras

Las palabras transmiten el mensaje pro-puesto en forma interesante, natural yprecisa. La escritura es completa y rica,pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, perotransmite el mensaje. Es funcional, aunquecarece de efectividad. Frecuentemente, elescritor decide por comodidad o facilidadde manejo, producir una especie de “docu-mento genérico”, colmado de frases y pala-bras familiares.

El escritor hace esfuerzos con un vocabulariolimitado, buscando a ciegas las palabras quetransmitan el significado. Frecuentemente,el lenguaje es tan vago y abstracto o tan re-dundante y carente de detalles que sola-mente el mensaje más amplio y general llegaa la audiencia.

Fluidez en las oraciones

La escritura fluye fácilmente y tiene buenritmo cuando se lee en voz alta. Las ora-ciones están bien construidas, son muy co-herentes y la estructura variada hace que, alleerlas, sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a ser más mecánicasque fluidas. El texto se desliza eficiente-mente durante la mayor parte del escrito,aunque puede carecer de ritmo o gracia,tendiendo a ser más ameno que musical. Ocasionalmente, las construcciones inade-cuadas hacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguir o de leer en vozalta. Las oraciones tienden a estar cor-tadas, incompletas, inconexas, irregulareso muy toscas.

Convenciones

El escritor demuestra una buena compren-sión de los estándares y convenciones de laescritura (gramática, puntuación, utilizaciónadecuada del lenguaje, ortografía) y los usaefectivamente para mejorar la facilidad delectura. Los errores tienden a ser muy pocosy de menor importancia.

Hay errores en las convenciones para es-cribir que, si bien no son demasiados, per-judican la facilidad de lectura. Aun cuandolos errores no bloquean el significado,tienden a distraer.

Hay numerosos y repetidos errores en la uti-lización adecuada del lenguaje, en la es-tructura de las oraciones, en la ortografía ola puntuación que distraen al lector y hacenel texto difícil de leer. De hecho, la grave-dad y frecuencia de los errores tiende a sertan notoria que el lector encontrará muchadificultad para concentrarse en el mensaje ydeberá releerlo para entender.

Bien MalNecesita mejorar

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación.

Plantea en forma clara el problema a investigar.

Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo).

Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.

Form

ulac

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ón d

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sulta

dos

Rúbricas para presentaciones orales

Pauta de proyectos realizados por estudiantes


Logrado Medianamente logrado Por lograr

PreparaciónBuen proceso de preparación, muestra profundidad en el desarrollo del tema.

Cumplido en la presentación de los resúmenes aprovecha el tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividadplaneada sucintamente.

Sustentación teóricaDomina el tema propuesto, logra conectarloy explicarlo en sus diferentes aspectos. Laevaluación logra analizar el tema.

Logra explicar el tema, relacionando losdiferentes aspectos de éste. La evaluacióntiene en cuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra ex-plicar los puntos planteados. La actividadde evaluación es poco adecuada.

Manejo de la discusiónBien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada; puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta los puntos más impor-tantes, no llega a conclusiones.

ParticipaciónPertinente. Activa; es fundamental para elbuen desarrollo de cada uno de los temas.

Oportuna, aporta buenos elementos, prestaatención a las distintas participaciones.

Está presente. Presta poca atención a lasdistintas participaciones.

Extraído de: Matriz de Valoración en www.eduteka.org

Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).

Discute con otros compañeros y compañeras acerca de los avances de su investigación.

Presenta avances parciales de su trabajo.

Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación.

Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto.

Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo.

Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada.

Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

Razonamiento matemático y Resolución de problemasEn la interacción con el entorno y con los otros, las personas nos enfrentamosdiariamente a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la mane-ra más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia,la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver unproblema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situa-ciones o que impliquen un desafío.

Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica enla que el o la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnaspuedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar,analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos,aprender procedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos.

Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante,interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente coopera-tivo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas deestas situaciones pueden ser:

• Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto ogenerar procedimientos para buscar y reconocer una solución.

• Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objetode aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto queformule preguntas.

• Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información queinvolucre el uso de modelos matemáticos.

En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento matemático y Resoluciónde problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y consideracinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, acti-tudes y metacognición.

• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para re-solver problemas matemáticos.

• Habilidades: son las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean ca-paces de desarrollar en cada contenido.

• Procesos: apunta al razonamiento y la heurística involucrados en la resoluciónde problemas matemáticos.

• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática.

• Metacognición: consiste en la habilidad de monitorear el proceso de pensa-miento propio durante la resolución de problemas.

Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan queconsiste en cuatro pasos.

1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponiblesdentro del contexto del problema.

¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?, ¿cuál es la pre-gunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a quéquieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver elproblema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema?

2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido.

¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamentela pregunta?

3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrate-gias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que lamisma acción sugiera tomar un nuevo curso.

Al desarrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro de quecada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto?

4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida.¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?,¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la res-puesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimientopara resolver otro problema?

Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividadesa través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de lospasos descritos.

En la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS (del Texto del Estudiante) se plantean pro-blemas en contextos cercanos y familiares a los alumnos y alumnas, con el objetivode que sean recepcionados por ellos y ellas como un desafío y los estimule a uti-lizar todos los recursos de los cuales dispongan. Además, se determina una estruc-tura clara de los pasos a seguir para resolverlos.

Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla, que especifica los indicadores de logro de acuerdo con cada etapa de la Resoluciónde problemas.


No comprende En proceso, logro parcial Logro, aplicación

Comprensión delproblema o de lasituación

• No intenta entender el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina, pide explicaciones.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que malinterprete parte

del problema.• Puede que tenga alguna idea acerca

del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras ointerpretar coherentemente el problema.

• Comprende las condiciones principales.• Elimina la información innecesaria.• Tiene una idea acerca de la respuesta.

Comprensión de conceptos

• No modela los conceptos rutinarios correctamente.

• No puede explicar el concepto.• No intenta resolver el problema.• No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcial osatisfactorio.

• Puede encontrar y explicar usando unavariedad de modos.

• Está listo para hacer conexiones acercade cómo y por qué.

• Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores.

• Puede crear problemas relacionados.• Realiza las tareas cada vez con

menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué.• Aplica el concepto a problemas o

situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

Medición (longitud,masa, capacidad)

• Hace comparaciones directas entre objetos.• No puede ordenar objetos de acuerdo a

su medida.• No distingue diferencias entre distintas

unidades de medida.

• Puede ordenar y comparar usandounidades no estándares.

• Puede estimar y medir usando unidadesno estándares.

• Puede resolver algunos problemas relacionados con medida.

• Puede estimar y medir usando unidadesestándares.

• Puede utilizar incrementos fraccionarios para medir.

• Puede resolver problemas relacionados.

• Hace conjeturas poco realistas.• No usa estrategias para refinar la

estimación.• No puede modelar o explicar la

estrategia especificada.• No puede aplicar estrategias unidas

a explicaciones.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones/comparaciones.

• Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan.

• Usa estimación cuando es apropiado.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones, comparaciones.

• Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan.

• Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan.

• Usa estimación cuando es apropiado.




Verificación de resultados y/o progresos

• No revisa cálculos ni procedimientos.• No reconoce si su respuesta es o

no razonable.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si

existen dudas.

• Chequea racionalidad de los resultados.• Reconoce sinrazones.

Recolección y organización de datos

• No hace planteamientos.• No puede proceder sin instrucciones

ni asistencia.• Comete graves errores al recolectar

o mostrar datos.

• Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos.

• Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos.

• Puede corregir errores en momentos críticos.

• Puede recolectar y desplegar en forma organizada.

• Clasifica en forma exacta y apropiada.

Interpretación y síntesis de resultados

• No hace planteamientos para resumir y describir datos.

• Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos, si es requerido.

• No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Resume y describe datos apropiadamente.

• Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos.

• Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Expresa conclusiones e interpretaciones válidas.

• Hace generalizaciones.• Comunica resultados en forma clara

y lógica.

Aplicación de conceptos, procedimientos y estrategias

• No lo intenta.• Se apoya en otros para seleccionar

y aplicar estrategias.• Su trabajo no es comprensible.• No puede explicar su trabajo o

estrategia adecuadamente.• Selecciona estrategias inadecuadas.• Su implementación no es lógica

ni ordenada.

• Usa estrategias si se lo piden.• Reconoce estrategias.• Puede explicar estrategias.• Usa un limitado número de estrategias.• Puede seleccionar una estrategia,

pero necesita ayuda en su implementación.

• Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

• Genera nuevos procedimientos.• Extiende o modifica la estrategia.• Conoce o usa diversas estrategias.• Usa estrategias en forma flexible.• Reconoce cuando una estrategia

es aplicable.• Presenta su trabajo en forma lógica

y coherente.


Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Fuentes consultadas:

• Chamorro, C. (1991). El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Madrid: Alambra Longmam.

• Sternberg, R., Spears-Swerling, L. (1996). “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. de R. Llavori. Enseñar a pensar. Madrid: Santillana.


Disposiciones (valores, actitudes)

• Demuestra ansiedad o disgusto.• Se retira o es pasivo durante la clase.• Cede fácilmente y se frustra en la clase.• Necesita un apoyo frecuente, atención

y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea.• Participa activamente en las actividades

de aprendizaje.• Está dispuesto a intentar nuevos métodos.• Responde si le preguntan, pero puede

que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo.• Es persistente cuando intenta

varios enfoques.• No se da por vencido.• Es curioso, muestra flexibilidad.• Hace muchas preguntas.

Generalización yconexiones

• No intenta hacer conexiones.• No hace conexiones.• No puede extender ideas en

nuevas aplicaciones.• Hace el mínimo esperado.

• Puede reconocer problemas o aplicaciones similares.

• Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones.• Puede crear problemas paralelos

variando las condiciones del problema original.

• Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

Estructura del Texto del EstudianteEn la estructura del Texto del Estudiante se muestran las dife-rentes páginas y secciones que componen cada Unidad, consu respectiva descripción, distinguiéndose en su estructuradidáctica los tres momentos pedagógicos presentes en ellas(inicio, desarrollo y cierre).

• En las páginas de inicio se explicitan los aprendizajes que seespera que logren los y las estudiantes con el desarrollo dela Unidad; además, se presentan actividades de motivacióny activación de experiencias y conocimientos previos, juntocon una evaluación diagnóstica que le permitirá conocerlos conocimientos que tienen sus alumnos y alumnas y queserán el punto de partida para el trabajo de la Unidad.



• Las páginas de desarrollo incluyen variadas actividades deexploración, construcción y aplicación de los contenidos; al-gunas para desarrollarlas en forma individual, otras para co-mentar y discutir, y otras para realizar con metodología detrabajo colaborativo. En estas páginas se destacan las ideaso conceptos fundamentales a través de una formalización.


Además, las páginas de desarrollo contienen secciones que per-mitirán que sus estudiantes aprendan estrategias de cálculo men-tal y otras en que deberán utilizar herramientas tecnológicascomo calculadora y computador. También presentan páginas conactividades específicas para la resolución de problemas, que, apesar de que se trabajen transversalmente, acá se muestran es-trategias específicas para que los y las estudiantes las aprendany apliquen en otras situaciones. Las evaluaciones formativas queaquí se presentan le permitirán obtener información sobre el pro-ceso de aprendizaje de sus estudiantes.


• En las páginas de cierre se presentan actividades de conso-lidación a partir de una noticia de actualidad y de síntesis,y finalizan con una evaluación sumativa que integra loscontenidos tratados a lo largo de la Unidad e incluye unaautoevaluación que permite que los y las estudiantes seanconscientes del logro de sus aprendizajes y que reflexionensobre cómo aprenden, las dificultades que encontraron ycómo las superaron. Además, encontrarán talleres de eva-luación propuestos para el cierre de cada semestre, en losque se plantean actividades que integran contenidos traba-jados en las Unidades desarrolladas.

Para facilitar el aprendizaje y el trabajo con el Texto, se esperaque los alumnos y alumnas logren distinguir con claridad estaspáginas y secciones, para lo cual es conveniente que, antesde iniciar el trabajo en las Unidades del Texto, revise con ellosy ellas esta organización, deteniéndose en cada una de laspáginas y secciones correspondientes y realizando preguntasque le permitan verificar la comprensión de sus estudiantesrespecto del tipo de información que encontrarán en cadatipo de página y sección.

Índice del Texto del Estudiante


El índice del Texto permite distinguir las Unidades en que seencuentra dividido este y los contenidos que se trabajan encada una de ellas.

En cada Unidad es posible observar que hay páginas agru-padas por colores; estas corresponden a las evaluaciones quese presentan en la Unidad.


Es conveniente revisar este índice con los alumnos y alumnas,de modo que logren visualizar las diferentes Unidades quetrabajarán a lo largo del año escolar y cómo estas incorporandiferentes instancias de aprendizaje y evaluación. Para ello,puede pedirles que formulen preguntas que se puedan res-ponder a partir de la información que entrega el índice, y lascompartan con sus compañeros y compañeras.

34 Unidad 1 – Números enteros Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

En esta Unidad se plantean distintas actividades que promueven el logro de estrate-gias mentales, sistematización de procedimientos, definición y aplicación de algorit-mos para multiplicar y dividir números enteros. También se utilizan herramientastecnológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentestipos de problemas.

Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno o alumna analice ycomprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendo lautilidad de los números enteros y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversasestrategias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbitomatemático, en que estén involucradas la adición, sustracción, multiplicación y di-visión de números enteros.

Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podráponer a prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuálesfueron sus errores y cómo superarlos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Números enterosUnidad1

Operatoria

Adición Sustracción

La prioridad de las operaciones

Operaciones combinadas

Multiplicación División

Números enteros

se debe respetaraplicaciones en aplicaciones en

en el cálculo que involucra

puedeninvolucrar

Resoluciónde problemas

Situaciones delmundo real

por ejemplo, en

Distancias (bajo y sobreel nivel del mar)

Temperaturas(bajo y sobre 0)

Ganancias ypérdidas de dinero

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS

7º básico

Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito delos números enteros, empleo de proce-dimientos de cálculo de dichas opera-ciones, argumentación en torno al usodel neutro e inverso aditivo y su apli-cación en la resolución de problemas.

8º básico

Empleo de procedimientos de cálculopara multiplicar un número natural porun número entero negativo y extensiónde dichos procedimientos a la multipli-cación de números enteros.

Extensión del algoritmo de la división denúmeros naturales a la división de nú-meros enteros. Discusión y aplicación dedicho algoritmo.

Resolución de problemas en contextosdiversos y significativos que involucran las4 operaciones aritméticas con númerosenteros, […], enfatizando en el análisiscrítico de los procedimientos de resolu-ción y de los resultados obtenidos.

1º medio

Identificación de situaciones que mues-tran la necesidad de ampliar el conjuntode los números enteros al conjunto de losnúmeros racionales y caracterización deestos últimos.

Sistematización de procedimientos decálculo escrito y con ayuda de herramien-tas tecnológicas de adiciones, sustrac-ciones, multiplicaciones y divisiones connúmeros racionales y su aplicación en laresolución de problemas.

Resolución de problemas en contextosdiversos que involucran números racio-nales […], enfatizando el análisis críticode los procedimientos de resolución y delos resultados obtenidos.

2º medio

Identificación de situaciones que mues-tran la necesidad de ampliar los númerosracionales a los números reales, recono-cimiento de algunas de las propiedadesde los números y de las operaciones y suuso para resolver diversos problemas.

Resolución de problemas en contextosdiversos y significativos en los que se uti-lizan adiciones y sustracciones con nú-meros enteros, […], enfatizando enaspectos relativos al análisis de las es-trategias de resolución, la evaluación dela validez de dichas estrategias enrelación con la pregunta, los datos y elcontexto del problema.



PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas

CMO ContenidosAprendizajes

esperadosActividades asociadas

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

Empleo deprocedimientos decálculo para multiplicarun número natural porun número enteronegativo y extensiónde dichos procedi-mientos a lamultiplicación denúmeros enteros.

Extensión delalgoritmo de la divisiónde números naturalesa la división denúmeros enteros.

Discusión y aplicaciónde dicho algoritmo.

Multiplicación de unnúmero natural por unnúmero entero negativo.

Multiplicación denúmeros enteros.

División exacta denúmeros enteros.

División inexacta denúmeros enteros.

• Determinar y emplearprocedimientos paramultiplicar un númeronatural por un númeroentero negativo.

• Ampliar los proce-dimientos de cálculopara multiplicarnúmeros enteros.

• Emplear procedimientosde cálculo en divisionesexactas de números enteros.

• Analizar la validez de los resultadosobtenidos en divisiones exactas de números enteros.

• Ampliar el algoritmode la división denúmeros naturales a la división denúmeros enteros.

• Aplicar el algoritmo de la división denúmeros enteros.

En el TextoDe exploración:páginas 14, 16 y 18.

De construcción deconceptos: páginas 15,17, 19 y 20.

De consolidación:página 32.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 47,49, 51, 54, 72 y 73.

De profundización:páginas 47, 49, 51, 54 y 73.

En el TextoDe exploración:páginas 22 y 24.

De construcción deconceptos: páginas 23,25, 26 y 27.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 57,61, 64, 72 y 73.

De profundización: páginas 57, 61, 64, 65y 73.

• Calculan el producto denúmeros enteros.

• Calculan el cociente dedos números enteros.

• Aplican el algoritmo dela división de números en-teros en divisiones exactas.

• Resuelven problemas queinvolucran multiplicacióny división de números enteros.

• Aplican el algoritmo dela división de númerosenteros en divisionesinexactas.

• Calculan operacionescombinadas con números enteros.

• Resuelven problemasque involucran las 4 operaciones con números enteros.

Diagnóstica:páginas 12 y 13del Texto delEstudiante.

Formativa: páginas 21 y 29del Texto delEstudiante.

Sumativa:páginas 34 y 35del Texto delEstudiante, y 76y 77 de la GuíaDidáctica del Docente.

• Lápices decolores.

• Tabla dedatos.

• Pirámidecon númerosenteros.

• 6 tarjetasazules y6 tarjetasrojas.

• Unamoneda.

• Un plumón.

• Computadorcon planillade cálculo.







Resolución deproblemas encontextos diversos ysignificativos queinvolucran las 4 opera-ciones aritméticas connúmeros enteros, […],enfatizando en elanálisis crítico de losprocedimientos deresolución y de losresultados obtenidos.

Operaciones combinadas.

Buscando estrategias.

• Determinar y aplicarestrategias paracalcular operacionescombinadas connúmeros enteros.

• Resolver problemasque involucran las4 operacionesaritméticas connúmeros enteros.

• Aplicar habilidadesbásicas del procesode resolución deproblemas en contex-tos diversos.

• Analizar la validez delos procedimientosutilizados y de losresultados obtenidos.

En el TextoDe exploración:página 30.De construcción deconceptos: página 31.De consolidación:página 32.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 67,72 y 73.De profundización:páginas 67 y 73.

• Resuelven problemasque involucran las4 operaciones connúmeros enterosempleando diversasestrategias.


ERRORES FRECUENTES

Errores frecuentes Cómo subsanarlos

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• En la multiplicación de números enteros, el alumno o alumna resuelve la multi-plicación sin considerar el signo de los factores, ignorándolo completamente.

• En la multiplicación de números enteros negativos, los y las estudiantes resuel-ven la multiplicación, manteniendo el signo de los factores, confundiéndolocon los procedimientos de la adición.

• En la multiplicación de números enteros de distinto signo, los y las estudiantesresuelven la multiplicación, manteniendo el signo del número mayor,confundiéndolo con los procedimientos de la adición.

• A través de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y expe-riencias previas de los y las estudiantes. Si los conocimientos no son sufi-cientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presen-ten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidosde la Unidad.

• Es conveniente recordar la multiplicación de números naturales como adiciónde sumandos iguales.

• Comparar, de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo emplea-dos para resolver adiciones y multiplicaciones de números enteros.

• Usar colores para diferenciar adiciones y multiplicaciones. Ejemplo: (–4) + (–7) = –11 (–4) • (–7) = 28

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar loserrores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, asícomo también argumentar cuando crean que están correctos.

En la división de números enteros es posible encontrar los siguientes inconvenientes:

• En la división de números enteros, los y las estudiantes resuelven la división sinconsiderar el signo del dividendo y divisor.

• En la división de números enteros negativos, los y las estudiantes resuelven ladivisión, manteniendo el signo del dividendo o divisor, confundiéndolo con losprocedimientos de la adición.

• En la división de números enteros de distinto signo, los y las estudiantesresuelven la división, manteniendo el signo del número mayor, confundiéndolocon los procedimientos de la adición.

• En la aplicación del algoritmo de la división de números enteros, los y lasestudiantes olvidan que el resto debe ser positivo.

• Comparar de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo emplea-dos para resolver adiciones y divisiones de números enteros.

• Usar colores para diferenciar adiciones y divisiones. Ejemplo: 24 + (–3) = 21 24 : (–3) = –8

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar loserrores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, asícomo también argumentar cuando crea que están correctos.

• Es conveniente aplicar el algoritmo de la división de números naturales endivisiones con resto mayor que cero, previo a la extensión del algoritmo paranúmeros enteros.

En las operaciones combinadas de números enteros, pueden aparecer las siguientes dificultades:

• En las operaciones combinadas de números enteros, los y las estudiantes igno-ran la prioridad de las operaciones.

• En las multipliaciones y divisiones combinadas, los y las estudiantes resuelvenprimero las multiplicaciones, no considerando el orden en que aparecen dichas operaciones.

• En la operatoria combinada de números enteros, en que sí aparece paréntesis,los y las estudiantes olvidan resolver primero el paréntesis.

• Enmarcar con colores la prioridad de las operaciones.• Destacar la presencia de un paréntesis.• Desarrollar un cuadro de procedimientos, en el cual se especifique de acuerdo

al ejercicio, cuál es el primer paso, después el segundo paso a seguir etc., hasta obtener el resultado final.

• Fomentar la utilización de la prioridad de las operaciones, tanto dentro comofuera de un paréntesis.

• Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar loserrores cometidos en ejercicios resueltos y realizar el correcto desarrollo deellos, argumentando cada paso.

La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis,modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendorelacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta cienciaayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategiaspara resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo.

Es por ello que los números han sido un tema fundamental. Uno de los conjuntosnuméricos que se estudian durante este período corresponden a los números en-teros, en particular la multiplicación y división, así como también la resolución deproblemas en diversos contextos que involucran las cuatro operaciones aritméti-cas con dicho conjunto.

A continuación se presentan algunas referencias teóricas acerca del conjunto de losnúmeros enteros:

• El conjunto de los números enteros (�) está formado por:- Los números enteros positivos (�+): 1, 2, 3, …- El cero: 0.- Los números enteros negativos (�–): –1, –2, –3, …- El conjunto de los números enteros se denota por:

� = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ....}

• El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, infinito y sinprimer elemento.

• En el conjunto de los números enteros se pueden definir las mismas relacionesde orden que en los números naturales: menor que, mayor que o igual que. Es

así que dado dos números enteros cualesquiera, siempre hay uno menor y otromayor, salvo que ambos números sean iguales.

• Los números enteros se representan de forma ordenada en la recta numérica,como se observa:

• La distancia que hay entre un número entero y el cero la representaremos a travésdel valor absoluto. El valor absoluto de un número a se representa por a .Ejemplo:

3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero.

–3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero.

Algunas propiedades del valor absoluto de dos números enteros a, b, son:

- a • b = a • b

- –a = a

- = ; b ≠ 0

- a 2 = a2


REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

ab

ab

En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo unabuena interpretación y su posterior resolución.

• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado.• Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema.• En problemas que involucran más de una operación, los y las estudiantes

confunden las operaciones que permiten resolver el problema.• Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar,resolver, responder y revisar. De este modo, los y las estudiantes identificarán losdatos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así comoresponder y analizar la veracidad de la solución.

• Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en elproblema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4


• Propiedades en los números enteros

Las propiedades de la adición y la multiplicación sobre � son:

AdiciónOperaciones

PropiedadesMultiplicación

ClausuraClausura

Conmutatividad

Asociatividad

Elemento neutro

Elemento inverso

Al sumar dos números enteros, su resultado también será un númeroentero.∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a + b = c, con c ∈�.

∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a + b = b + a

∀ a ∈�, ∀ b ∈� y c ∈�

(a + b) + c = a + (b + c)

∀ a ∈�, ∃ 0 ∈�, tal que a + 0 = 0 + a = a

∀ a ∈�, ∃ –a ∈�, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0

Al multiplicar dos números enteros, su producto también será unnúmero entero.∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a • b = c, con c ∈�

∀ a ∈� y ∀ b ∈�,a • b = b • a

∀ a ∈�, ∀ b ∈� y c ∈�

(a • b) • c = a • (b • c)

∀ a ∈�, ∃ 1 ∈�, tal que a • 1 = 1 • a = a

No se cumple.

Distributividad ∀ a ∈�, ∀ b ∈� y c ∈�, a • (b + c) = a • b + a • c

• Para los números enteros, están definidas las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división.

• Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolver-las es la siguiente:

1º Paréntesis.

2º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

3º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

• El CMO 2 propuesto en el Ajuste Curricular dice: “Extensión del algoritmo de ladivisión de los números naturales a la división de los números enteros. Discusióny aplicación de dicho algoritmo”. El algoritmo de la división dice lo siguiente:Dado dos enteros a y b, con b ≠ 0, existen únicos enteros q y r, tal que:

a = b • q + r y 0 ≤ r < b

Observación: el número q es el cociente de a dividido por b y r es el resto o residuo.

Fuente: Kumanduri, R. (1998). Number theory with computer applications (p. 9).Department of Mathematics, Columbia University: Prentice Hall.

Al aplicar el algoritmo de la división de números enteros, se tiene que: el dividendoes igual al divisor por el cociente más el resto, teniendo en consideración que elresto es mayor o igual a cero. Este algoritmo fue estudiado en cursos anteriores paranúmeros naturales: es frecuente aplicarlo para comprobar si el resultado de una di-visión exacta de números naturales es correcta. Por ejemplo: 10 : 5 = 2; luego, paraverificar que el resultado es correcto se tiene que: 10 = 5 • 2 + 0.

En los casos en que la división de números naturales no es exacta, como en:

10 : 4 = 2, se aplica el algoritmo de la división: 10 = 4 • 2 + 22

En este curso, el algoritmo se extiende a los números enteros, para lo cual se debetener en consideración que, al igual que la división de números naturales, esta puedeo no ser exacta. Si es exacta (el resto es cero), al aplicar el algoritmo, el dividendoes igual al divisor por el cociente (previamente se estudió multiplicación de númerosenteros). Por ejemplo:

–10 : 5 = –2, entonces –10 = 5 • –2 + 0.

Si la división no es exacta, al aplicar el algoritmo se debe tener en consideraciónque el resto es mayor que cero; entonces, el cociente dependerá de los signos deldividendo y divisor. En estos casos, deja de ser intuitivo (como en los números natu-rales). Por ejemplo:

Si el dividendo es 10 y el divisor 4, entonces: 10 = 4 • 2 + 2. Además, 10 : 4 = 2,5.

Si el dividendo es –10 y el divisor 4, entonces: –10 = 4 • (–3) + 2. Además, –10 : 4 = –2,5.

Si el dividendo es –10 y el divisor –4, entonces: –10 = (–4) • 3 + 2. Además, –10 : –4 = 2,5.

Si el dividendo es 10 y el divisor –4, entonces: 10 = (–4) • (–2) + 2. Además, 10 : –4 = –2,5.

Es importante que los y las estudiantes sepan que en cursos posteriores calcularán elcociente (racional) en divisiones inexactas de números enteros. Por otro lado, el hechode extender el algoritmo de la división a los números enteros permitirá que los y lasestudiantes comprendan la relación entre dividendo, divisor y cociente, pues muchasveces la enseñanza de este contenido se remite a la aplicación de la regla de los sig-nos, que, si bien sirve de apoyo, no debería ser el objetivo central.

Más información acerca de los números enteros y ejercicios:• Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra, (pp. 48–55). Santiago de

Chile: Santillana.

Bibliografía• Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental.

Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática-Un modelo de jerarquía de enseñanza.

Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs• De forma interactiva, todo sobre números enteros.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/index.htm

• Operatoria con números enteros: multiplicación y divisiónhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros2/

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.


La atmósfera es un concepto conocido para el o la estudiante; han escuchado, vistoo leído sobre el tema y la importancia que adquiere debido al tema del agujero enla capa de ozono o el calentamiento global. Con esto, se pretende utilizar el propioentorno como medio de exploración y análisis, para activar sus conocimientos yexperiencias previas.

TEXTO DEL ESTUDIANTE 10 Y 11


HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Conversemos de...Ítems 1, 2 y 3: analizar, calcular y determinar.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD

En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en voz altay, luego, puede preguntarles qué saben sobre los números enteros, la operatoria condichos números y la resolución de problemas.

Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquemao mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto desus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabaja-dos en años anteriores, que les servirán para lograr los aprendizajes esperados deesta Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan pregun-tas como las siguientes:

• ¿qué significa que la temperatura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro?

• ¿cuál era la temperatura a un kilómetro de altura?, ¿por qué?

Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una deellas, con una tabla que muestre la temperatura por kilómetro, o bien, utilizando unarecta numérica o utilizando la función: y = 24 – 6 • x, donde x representa los kilóme-tros e y es la temperatura (las funciones se estudiarán más adelante). Por ejemplo,si utiliza el procedimiento con tabla:

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar las siguien-tes preguntas:

• ¿Cuál fue la temperatura mínima ayer en tu cuidad?, ¿y la máxima?, ¿cómo lo supiste?

• El cerro Tololo se ubica en el Valle del Elqui, a unos 80 km de La Serena, a unaaltura de 2200 metros sobre el nivel del mar. Un día de verano, la temperaturaen el valle del Elqui fue de 33 ºC; ¿crees que la temperatura en la cúspide del cerroTololo es la misma?

• ¿Qué sucederá con la temperatura a mayor altura?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?

Se pretende que, a través de la imagen, la información entregada al respecto, las pre-guntas planteadas y su propia experiencia, los alumnos y alumnas reconozcan que, enciertos casos, la temperatura disminuye con la altura. Además, se espera que los y lasestudiantes descubran que en algunas situaciones es necesario emplear procedimien-tos de multiplicación de números enteros para facilitar los cálculos.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES

Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos parael desarrollo de la actividad exploratoria:

• La atmósfera está constituida por una mezcla de gases, como nitrógeno, oxígeno,vapor de agua, ozono, entre otros.

• La atmósfera se puede dividir en capas en función al comportamiento de la tem-peratura con la altura. Estas son:- Tropósfera: desde la superficie terrestre hasta los 18 km de altura en el Ecuador.

La temperatura del aire disminuye con la altura.- Estratósfera: hasta una altitud de 50 km, aprox. La temperatura aumenta con

la altura.- Mesósfera: hasta una altura de 80 km. La temperatura vuelve a disminuir con

la altura.- Termósfera o Ionósfera: hasta los 700 km de altitud, aprox. La temperatura

aumenta con la altura.- Exósfera: es la zona de transición entre nuestra atmósfera y el espacio interplanetario.

• Podría reflexionar con sus estudiantes en torno a la destrucción de la capa de ozonoy los efectos en seres humanos, animales y plantas. También podría plantear pregun-tas sobre el cambio climático. Algunas fuentes para obtener información al respectoson: Dirección General de Aeronáutica Civil, Ayuda al estudiante (2009). Agujero deozono y Cambio climático, [en línea]. Dirección Meteorológica de Chile. Disponibleen: www.meteochile.cl/ayudaest.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera, sobre una zona en que la tempera-

tura de la superficie es de 36 ºC. Si la temperatura disminuye a razón de 8 ºC porkilómetro, determina:

a) ¿cuál era la temperatura a 10 km?b) ¿a qué altura volaba el avión si la temperatura del aire varió a 4 ºC?, ¿y a –12 ºC?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular y determinar).

De profundización1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera a una altura de 10 km. Si la tempera-

tura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro, determina:

a) si la temperatura a la altura que vuela el avión era de –48 ºC, ¿qué temperaturahay en la superficie?

b) si en la superficie hay 24 ºC, ¿a qué altura la temperatura empieza a ser bajo cero?

(Habilidades que desarrolla: comprender, analizar y calcular).


Altura (km) 0 1 2Temperatura (°C) 24 – 6 • 0 = 24 24 – 6 • 1 = 18 24 – 6 • 2 = 12



EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimien-tos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, e incluyelos siguientes criterios:

Ítem 1: comparar pares de números enteros, involucrando el valor absoluto y utilizandolos signos <, > o =.

Ítem 2: ordenar de menor a mayor conjuntos con números enteros.Ítem 3: ubicar un conjunto de números enteros con sus respectivos inversos aditivos

en la recta numérica.Ítems 4 y 6: calcular mentalmente operaciones con números enteros.

Ítem 5: resolver diversos problemas que involucran cálculos de adiciones o sustrac-ciones y explicar la estrategia utilizada.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: reconocer, identificar y clasificar.Ítem 3: representar.Ítems 4 y 6: calcular.Ítem 5: analizar, resolver problemas y justificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

• En los ítems 1, 2 y 3, podrían ordenar de forma errónea los números negativos.Es recomendable recordar la relación de orden en �. Además, es convenienteque represente los números enteros en una recta numérica.

• En el ítem 1, debido a que se involucran valores absolutos de números enteros, esposible que sus estudiantes ignoren dicho concepto. Es recomendable recordar

que el valor absoluto de un número entero a se puede relacionar con la distanciaen la recta numérica entre a y el cero.

• En los ítems 4 y 6, es posible que calculen incorrectamente. Es conveniente queverifiquen usando calculadora científica.

• En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría sercomplejo para el alumno o alumna. Para ello, se recomienda que continuamentejustifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo queestán realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argumentar,exponer ideas y opiniones bien fundamentadas.

• Se sugiere corregir en conjunto con los alumnos y alumnas la sección ¿CUÁNTOSABES? y analizar los errores cometidos. De este modo, podrá evidenciar los apren-dizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aún no se adquieren.


A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes.

Ítem Completamente logrado Logrado Medianamente logrado Por lograr

1

Compara correctamente los pares denúmeros dados, por medio de larelación de orden y considerando quetodo valor absoluto de un número es positivo, asignándoles así el símbolo correspondiente.

Compara correctamente los pares denúmeros dados, teniendo que calcularcada valor absoluto y, luego, comparando, asignándoles así el símbolo correspondiente.

Compara erróneamente algunos de lospares de números dados, confundiendola relación de orden en los númerosnegativos, asignándoles así el símbolo incorrecto.

Compara erróneamente los pares denúmeros dados, confundiendo la relaciónde orden en los negativos y comparandolos valores absolutos sin distinguir queson siempre positivos, asignándoles asíel símbolo incorrecto.

2

Ordena correctamente, de menor amayor, los conjuntos de número dados,por medio de la relación de orden deforma eficiente.

Ordena correctamente, de menor amayor, los conjuntos de número dados,por medio de la relación de ordenteniendo que separar por negativos ypositivos y, luego, ordenarlos.

Ordena erróneamente, de menor amayor, algunos de los conjuntos denúmeros dados, confundiendo larelación de orden en los negativos,asignándoles así una ubicación invertida.

Ordena erróneamente, de menor amayor, los conjuntos de número dados,confundiendo la relación de orden enlos negativos y los positivos, ordenán-dolos de mayor a menor.

3

Ubica correctamente los númerosdados, por medio de la relación deorden, y establece de forma eficientesus inversos aditivos.

Ubica correctamente los números dados,teniendo primero que determinar susinversos aditivos y, luego, ubicarlos pormedio de la relación de orden.

Ubica erróneamente alguno de los nú-meros dados, confundiendo la relaciónde orden en los números negativos,asignándoles así una ubicación invertida.

Ubica erróneamente los números dados,confundiendo la relación de orden enlos negativos y los inversos aditivos, ordenándolos de forma invertida.

4 y 6

Calcula correctamente los ejercicios,por medio de diversas estrategias mentales y respetando la prioridad delas operaciones.

Calcula correctamente los ejercicios,por medio de una única estrategiamental y respetando la prioridad de las operaciones.

Calcula erróneamente algunos de los ejercicios, por medio de una estrategia mental.

Calcula erróneamente los ejerciciosdados, por medio de una estrategiamental; no respeta la prioridad de las operaciones.

5

Resuelve correctamente cada uno delos problemas dados, indicando deforma detallada cada uno de sus pasosy justificando cada uno de ellos.

Resuelve correctamente cada uno delos problemas dados, indicando deforma detallada cada uno de sus pasos,sin justificarlos.

Resuelve erróneamente alguno de losproblemas dados, calculando de formainadecuada y sin responder todas laspreguntas planteadas.

Resuelve erróneamente cada uno de losproblemas dados, calculando de formainadecuada, sin responder todas las pre-guntas planteadas en cada uno de ellos,y no justifica cada uno de sus pasos.



CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por unnúmero entero negativo […].


Para discutirÍtem 1: analizar, recordar y justificar.Ítem 2: analizar, conectar y justificar.Ítem 3: calcular, analizar y justificar.Ítem 4: analizar y generalizar.

ActividadesÍtem 1: representar y calcular.Ítem 2: conectar, calcular y representar.Ítem 3: conectar y representar.Ítem 4: analizar y justificar.


De refuerzo

1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, calcula usando larecta numérica:

a) 2 • 3 =

b) (–5) • 2 =

c) 3 • (–4) =

d) (–1) • 6 =

(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar y calcular).

De profundización

1. En cada uno de los siguientes problemas, representa la multiplicación que se debeutilizar y, luego, resuelve:

a) En la Antártica, la temperatura ha disminuido 7 ºC cada hora durante 5 horas.¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura durante las últimas 5 horas?

b) En una ciudad ubicada en el norte de América, es común que en período deinvierno, desde las 22:00 horas, la temperatura disminuya 3 ºC por hora,aproximadamente. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura hasta las4:00 horas del día siguiente?

c) Un día de invierno en Santiago la temperatura bajó 2 ºC por hora desde las00:00 horas. ¿Cuántos grados disminuyó la temperatura hasta las 5:00 horas?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a introducir la multiplicación de un número natural por un número en-tero negativo. Esta actividad pretende que el alumno o alumna relacione susconocimientos previos, relacionados con la multilplicación de números naturales, y losutilice para multiplicar un número natural por un número entero negativo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

• Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escri-birían en forma de adición algunas multiplicaciones con números naturales y, luego,las resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser similares a las propuestas en el Textodel Estudiante (por ejemplo: 3 • 5; 4 • 6 y 9 • 4). Luego, permítales que comparenlas respuestas obtenidas.Para apoyar a los o las estudiantes que presentan dificultades en el cálculo de unaadición iterada de sumandos iguales, sugiérales utilizar la recta numérica paraefectuar dichas operaciones.

• En el ítem 2, para comprobar que los factores encontrados por los y las estudiantesson correctos, pídales que escriban las multiplicaciones como adiciones y, luego, calculen.

• En el ítem 3, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, pídalesa los y las estudiantes que calculen las adiciones con calculadora, así como tam-bién las multiplicaciones encontradas y, luego, las comparen.

• En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas que den tres ejemplos encada caso, pues, por medio de esos ejemplos concretos (inicialmente), se facilitaríala abstracción en cada caso.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Podría generalizar la multiplicación de un número natural por un número enteronegativo, realizando la siguiente demostración:Por demostrar: (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b �+

Demostración:

Como (–a) ∈ �–, entonces:

a + (–a) = 0 / • b

[a + (–a)] • b = 0 • b / aplicamos la propiedad distibutiva

a • b + (–a) • b = 0 / sumamos el inverso aditivo de (a • b)

a • b + (–a) • b + –(a • b) = 0 + –(a • b) / reducimos términos semejantes

∴ (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b ∈ �+




CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por unnúmero entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicaciónde números enteros.


Para discutir ActividadesÍtem 1: interpretar y calcular. Ítem 1: calcular.Ítem 2: analizar y clasificar. Ítem 2: representar, conectar y calcular.Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 3: analizar y calcular.

Ítem 4: analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter explorato-rio y están orientadas a ampliar los procedimientos anteriores a la multiplicación denúmeros enteros. Para complementar las preguntas de la sección, se sugiere plantearal curso preguntas como las siguientes:

• ¿es posible determinar con cuántos puntos terminó cada jugador usando el pro-cedimiento de la página anterior?, ¿cómo lo harías?

• utilizando la recta numérica, ¿es posible calcular la cantidad de puntos obtenidospor Cristián?, ¿cómo lo harías?

• ¿por qué Gonzalo obtuvo 0 puntos?

Además, sería conveniente destacar que (–12) • 5 = 12 • (–5) = –(12 • 5) = –60.


• Previo a la resolución del ítem 1, se recomienda destacar la multiplicación de unnúmero natural por un número entero negativo, estudiada anteriormente.Además, sería pertinente mencionar que la regla de los signos se utiliza para mul-tiplicar (y dividir) números enteros y no en adición y sustracción. Por ejemplo:3 • (–2) = –6 y 3 – 2 = 1.

• En los ítems 2 y 3, pídales a los y las estudiantes que utilicen calculadora paracomprobar que los resultados obtenidos son correctos.

• En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas elaborar otra pirámide, convalores distintos a los que aparecen en el Texto; por ejemplo, podría decirles elnúmero de la cúspide y uno de la base y, luego, podría preguntarles las estrate-gias empleadas para que las compartan con el resto del curso.


Podría generalizar la multiplicación de dos número enteros negativos realizando lasiguiente demostración:

Por demostrar: (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ �+

Demostración:

Como (–a) ∈ �– y (–b) ∈ �–, entonces:

a + (–a) = 0 / • (–b)

[a + (–a)] • (–b) = 0 • (–b) / aplicamos la propiedad distibutiva

a • (–b) + (–a) • (–b) = 0

Por otra parte, ya se demostró: a • (–b) = –(a • b), luego:

–(a • b) + (–a) • (–b) = 0 / sumamos el inverso aditivo de –(a • b)

–(a • b) + (–a) • (–b) + (a • b) = 0 + (a • b) / reducimos términos semejantes

∴ (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ �+


De refuerzo

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) (–3) • 6 =b) (–10) • 8 =c) (–2) • (–9) =d) 10 • (–8) =

2. Expresa como producto de tres factores los siguientes números.

a) –64b) –36c) 100

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar).

De profundización

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) (–2) • 5 • (–3) =b) (–4) • (–5) • (–2) =c) (–1) • 7 • 3 =

2. Completa con el resultado correspondiente.

a) Al multiplicar el inverso aditivo de (–3) por el sucesor de (–2), resulta: b) Al multiplicar el inverso aditivo de 7 por el antecesor de (–5), resulta:c) Al multiplicar el antecesor de (–11) por el sucesor de 5, resulta:

(Habilidades que desarrollan: calcular, conectar y representar).





• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de númerosenteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.


Para discutirÍtem 1: relacionar y justificar.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: analizar, calcular y justificar.Ítem 4: comprobar.

ActividadesÍtem 1: calcular y verificar.Ítems 2 y 3: analizar, conectar y calcular.Ítem 4: analizar, evaluar, conjeturar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a ampliar el algoritmo de la división (exacta) de números naturales ala división (exacta) de números enteros. Para ello, se presenta una situación relacionadacon los ingresos y gastos mensuales de una familia. En esta actividad se pretende quelos alumnos y alumnas observen que al dividir dos números enteros (las divisiones sonexactas) se puede comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizando elmismo procedimiento que utilizaban en años anteriores para números naturales, esdecir, el algoritmo de la división.

Al finalizar esta sección, se sugiere relacionar el signo del cociente (al aplicar el algo-ritmo de la división) con la regla de signos, para facilitar en cálculo mental.


• En el ítem 1, además de verificar los resultados obtenidos aplicando el algoritmode la división, por ejemplo 270 : (–27) = –10, luego, 270 = (–27) • (–10), es con-veniente que relacione la regla de los signos con el signo del cociente al aplicarel algoritmo de la división.

• En los ítems 2 y 3, luego de resolver las actividades, se sugiere comprobar que losnúmeros obtenidos son los correctos; de este modo, no solo aplicará el algoritmode la división, sino que relacionará un procedimiento que aplicaban en años an-teriores con este contenido nuevo.

• En el ítem 4, puede pedirles a los alumnos y alumnas que expliquen sus estrate-gias empleadas; de este modo, las pueden compartir, comparar y, además,analizar cuál de ellas les parece más adecuada.


• Para comenzar esta sección, se sugiere recordar a los y las estudiantes que en unadivisión exacta de números naturales a : b = c, a es el dividendo, b el divisor y cel cociente.

Es pertinente recordar que para comprobar que una solución es correcta, sepuede cacular a = b • c.

Además, como el resto es cero, a es divisible por b. Por ejemplo: 30 : 6 = 5, luego,al comprobar: 30 = 6 • 5, entonces, 30 es divisible por 6.

• Para evitar que el aprendizaje de este contenido se transforme en un procedimientomecánico, el énfasis debe centrarse en el algoritmo de la división (exacta) de

números enteros y en comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizandodicho algoritmo, por ejemplo: (–45) : 9 = (–5), luego (–45) = 9 • (–5). La regla delos signos es solo un mecanismo que facilita el cálculo mental.

• Se sugiere tener presente algunas propiedades del valor absoluto y ejemplificarcon valores numéricos. Por ejemplo, en la propiedad: a • b = a • b , en este caso

puede ejemplificar con: 2 • (–3) = –6 = 6 y 2 • –3 = 2 • 3 = 6. Luego, para

y (–8) : 2 = 8 : 2 = 4.


De refuerzo

1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.

a) (–12) : 3 = b) (–32) : (–4) = c) 45 : (–5) = d) (–24) : (–8) =

2. Expresa como división los siguientes números.

a) +4 b) +3 c) –15 d) –12

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar).

De profundización

1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.

a) [450 : (–10)] : (–9) = c) [80 : 4] : (–4) =

b) [(–20) : (–2)] : (–5) = d) 48 : [16 : (–2)] =

2. Completa con el resultado correspondiente.

a) Al dividir el inverso aditivo de (–40) con el sucesor de (–6), resulta: b) Al dividir el inverso aditivo de 60 con el sucesor de (–11), resulta: c) Al dividir el sucesor de (–46) con el antecesor de (–8), resulta: d) Al dividir el antecesor de 10 con el antecesor de (–2), resulta:

3. Completa con el número correspondiente.

a) Si el dividendo es (–10) y el divisor es 2, entonces el cociente es .b) (–8) es divisor de 24, porque 24 = (–8) • .c) es divisor de (–63), porque (–63) = • 7.d) Si el dividendo es (–26) y el divisor es , entonces el cociente es 2.

(Habilidades que desarrollan: interpretar, representar, calcular, aplicar y analizar).


ejemplificar la propiedad = , con b ≠ 0, puede calcular: (–8) : 2 = –4 = 4 ab

ab




• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de númerosenteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.


Actividades En equipoÍtem 5: evaluar, aplicar y calcular. Calcular.Ítem 6: analizar y conjeturar.Ítem 7: resolver problemas y representar.


• Luego de completar la tabla del ítem 5, los alumnos y alumnas responderán laspreguntas del ítem 6 relacionadas con propiedades del valor absoluto, el cual esun conocimiento previo y que puede ser aplicado en la división de números en-teros. Se sugiere que promueva la discusión en estos casos, para que sean los ylas estudiantes quienes generalicen. Al finalizar esta actividad, podría destacarlos resultados obtenidos en la pregunta c del ítem 6 y mencionar que se trata deuna propiedad del valor absoluto. Además, puede indicar que en el caso de lamultiplicación, es decir, a • b = a • b , también corresponde a una propiedaddel valor absoluto; ejemplifique con 3 ó 4 casos numéricos en este caso.

• En el ítem 7, mencione a los y las estudiantes que para representar la profundi-dad (bajo el nivel del mar), en este caso, usaremos números negativos.

• En la actividad EN EQUIPO podría proponer a los y las estudiantes, después que realicen la actividad, cambiar los valores de las tarjetas y seguir jugando a partir delas instrucciones; si alguna de las divisiones no es exacta con los valores que esco-gieron, plantee preguntas como: ¿qué sucederá en estos casos?, ¿cómo lo resol-verás? Luego, indique que estos casos se estudiarán en cursos posteriores.

EVALUACIÓN FORMATIVA

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad,se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.


Mi progresoÍtem 1: analizar, identificar y calcular.Ítem 2: analizar, conjeturar y evaluar.Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular y analizar.Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar y calcular.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es re-comendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo corres-pondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no erroresen las estrategias empleadas.

• En el ítem 3, debido a que se involucra valor absoluto, es posible que los alum-nos y alumnas ignoren u olviden dicho concepto y no lo apliquen. Para ello, esnecesario recordar el valor absoluto con algunos casos particulares.

• El los ítems 4 y 5 es posible que los y las estudiantes confundan qué operacionesestán asociadas. Para evitarlo, es conveniente que sugiera una estrategia a emplear.

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podráplantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.



3

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla, analizandocada respuesta de forma general.

Evalúa, aplica, calcula y completacorrectamente la tabla. Analizandocada respuesta con casos particulares.

Evalúa, aplica, calcula y completaerróneamente partes de la tabla,analiza y responde erróneamentealguna pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completaerróneamente partes de la tabla,confundiendo los signos y sin respondercada pregunta.

4Analiza y calcula correctamente elproblema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente elproblema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, elproblema, confundiendo el signo delresultado y su valor.

5Analiza y calcula correctamente elproblema, empleando más deuna estrategia.


Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3, 4 y 5.


De refuerzo

1. Completa la siguiente tabla.

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿obtienes los mismos signos en los resultados de a • b y a : b?, ¿por qué?b) ¿en qué casos a • b = a : b?, ¿por qué?

2. Una sustancia química que está a 30 ºC bajo cero se calienta en un mechero,aumentando su temperatura a razón de 2 ºC por minuto.

a) ¿Qué temperatura alcanza después de 25 minutos?, ¿y después de 1 hora?b) ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que alcance una temperatura de

–12 ºC?, ¿y 14 ºC?

3. Un submarino se encuentra en la superficie del mar. Si cada una hora desciende50 metros:

a) ¿qué profundidad alcanza después de 3 horas?b) ¿cuánto tiempo ha transcurrido después de haber bajado 350 metros?c) al situarse a 600 metros bajo el nivel del mar, el submarino comienza a subir a

razón de 40 metros por hora. ¿Cuánto demora desde esa ubicación en llegara la superficie?

4. En un juego inventado por un grupo de 4 amigos (Macarena, Camila, Carlos yLuis), al responder ciertas preguntas se anotaban puntos positivos si respondíancorrectamente y puntos negativos en caso de error. Si Carlos terminó el juegocon 90 puntos y Camila con –20 puntos:

a) ¿Con cuántos puntos terminó Macarena, si obtuvo un tercio de los puntosde Carlos?

b) ¿Con cuántos puntos terminó Luis si hasta la mitad del juego tenía la mismacantidad de puntos con que terminó Camila, y en la otra parte del juego ganóla mitad de puntos con que Carlos terminó?

De profundización


A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿en qué casos el producto es igual al cociente?; ¿ocurrirá siempre lo mismo enesos casos?, ¿por qué?

b) ¿en qué casos el cociente es igual a 1 ó –1?; ¿ocurrirá siempre lo mismo enesos casos?, ¿por qué?

2. Si a es un número entero positivo (distinto de 1) y b es su inverso aditivo, ubicaen la recta numérica: a, b, 2 • a, 2 • b


a b a • b a : b

–12 3

21 –7

–4 –2

10 –5

–32 –2

13 –1

–42 6

25 –5

–100 4

17 1

a b a • b a : b

–48 –3

12 1

–3 –5

–9 –81

100 20

–4 32

–29 –29

30 30

–16 –1

0

55 Unidad 1 – Números enteros

a • b a : b

–36 –4

–147 –3

8 2

–50 –2

64 16

–13 –13

–252 –7

–125 –5

–400 –25

17 17

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 54 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1.

a) Sí, ya que la regla de los signos es igual en ambos casos.b) Cuando a = 13, b = –1 y a = 17, b = 1, el producto es igual al cociente. Esto

ocurre cuando b = 1 o b = –1.

2. a) 20 ºC, 90 ºC

b) 9 min, 22 min

3. a) 150 mb) 7 hc) 15 h

4. a) 30 puntos. b) 25 puntos.

a b a • b a : b12

–12–44

–48 –3

12 12 144 1

15 –3 –45 –5

–9 9 –81 –1

100 5 500 20

–8 –4 32 2

29–29

–11

–29 –29

30–30

1–1

30 30

4–4

–44

–16 –1

De profundización

1.

a) En las filas 8 y 9. Sí, ocurre si el divisor (segundo factor) es 1 ó –1.b) En las filas 3, 5 y 10. Sí, pues si se divide un número por sí mismo o por su

inverso aditivo, el cociente es 1 ó –1, respectivamente.

2.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

0 a 2 • ab2 • b




• Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división denúmeros enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.


Para discutirÍtem 1: analizar y justificar.Ítem 2: recordar y comprobar.Ítems 3 y 4: analizar, conectar y justificar.

ActividadesÍtem 1: aplicar.Ítem 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, generalizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a ampliar el algoritmo de la división de números naturales (cuandoel resto es mayor que cero) a la división de números enteros. Para ello, se recuerda, pormedio de un ejemplo, el algoritmo de la división de números naturales. En esta activi-dad se pretende que los alumnos y alumnas analicen qué sucede con el cociente y elresto cuando el dividendo o divisor es un número entero negativo, es decir, que notenque, al ampliar dicho algoritmo, se deben respetar ciertas condiciones que hasta estemomento se aplicaban sin ser formalizadas.

Al finalizar esta sección, se sugiere indicar a los y las estudiantes que el cociente(racional) de divisiones inexactas con números enteros se estudiará el próximo año, yel cociente estudiado (según el algoritmo) es en el ámbito de los números enteros.


• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente que destaque las condiciones delalgoritmo de la división cuando esta es inexacta, es decir, que el resto es mayorque cero y menor que el valor absoluto del divisor.

• En el ítem 2, guíe a los alumnos y alumnas, para que descubran que el cocientey resto son únicos en cada caso.

• En el ítem 3, si los alumnos o alumnas tienen dificultad para justificarutilizando el algoritmo de la división, muestre algunos casos particulares, como12 : 0 y 0 : 12, y, a partir de estos, guíe a los alumnos y alumnas para que anali-cen lo que sucede en cada caso.


• Podría explicar por qué 1 : 0 no tiene solución, o bien, no está definido. Aplicandoel algoritmo de la división, se tiene:Si x es el cociente, entonces 1 = 0 • x, luego no hay ningún número que al multi-plicarse por cero dé como resultado 1.

• Podría explicar por qué 0 : 1 = 0. Si aplicamos el algoritmo de la división, tenemosque: 0 = 1 • 0, y se concluye que cualquier número multiplicado por cero da porresultado cero.En ambos casos, observe que no es necesario considerar el resto, ya que debe sermayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.


De refuerzo

1. Completa con el número correspondiente en cada caso.

a) Si el dividendo es 19 y el divisor es 5, entonces, el cociente es yel resto es .

b) Si el dividendo es y el divisor es 3, entonces, el cociente es (–7) yel resto es 1.

c) Si el dividendo es (–33) y el divisor es , entonces, el cociente es 9 yel resto es 3.

d) Si el dividendo es –90 y el divisor es 3, entonces, el cociente es yel resto es .

e) Si el dividendo es y el divisor es (–8), entonces, el cociente es 6 yel resto es 7.

(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular).

De profundización


Dividendo Divisor Cociente Resto El dividendo es igual a

–20 –20 = (–6) • + 4

15 –2

10 –5

37 7 2

–28 –28 = • (–10) + 2

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, calcular y representar).





• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las4 operaciones aritméticas con números enteros [...], enfatizando en el análisis críticode los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.


Para discutirÍtem 1: analizar, representar y calcular.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: conectar.

ActividadesÍtems 1, 2 y 3: calcular.

Ítem 4: evaluar y calcular.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a resolver problemas que involucran las operaciones aritméticas deadición y multiplicación. En esta situación, relacionada con la temperatura de unaciudad, se pretende que los alumnos y alumnas analicen y determinen cuál es la tem-peratura a cierta hora del día, planteando la expresión que permite resolver cadacaso y utilizando diversas estrategias en la resolución.

Es conveniente que los y las estudiantes observen que en la actividad inicial se presen-tan dos estrategias para resolver y, en ambos casos, se obtienen los mismos resultados:la primera, respetando la prioridad de las operaciones y, la segunda, aplicando lapropiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.


• Antes de comenzar el ítem 1, en conveniente que recuerde a los y las estudian-tes la prioridad de las operaciones, ya que en los ítems 1 y 3 aparecen opera-ciones combinadas.

• En el ítem 2, los y las estudiantes aplicarán la propiedad distributiva de la multipli-cación respecto de la suma. Una vez terminada esta actividad, se sugiere que pidaa los alumnos y alumnas que resuelvan estas operaciones utilizando otra estrategia(aplicando la prioridad de las operaciones). De este modo, no solo compro-barán que sus soluciones son correctas, sino que evidenciarán que muchasveces en Matemática es posible seguir más de un camino en la resolución deun ejercicio o problema.

• En el ítem 4, permítales a los y las estudiantes, si es posible, que resuelvan cadaoperación mentalmente, utilizando la estrategia que ellos escojan. Por ejemplo,en la tercera columna podrían aplicar la prioridad de las operaciones o lapropiedad distributiva.


• Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinadacon paréntesis, si dentro del paréntesis hay más de una operación, entonces, seaplica la prioridad de las operaciones en dichas operaciones. Por ejemplo:

–24 : (–4 + 5 • 2)= –24 : (–4 + 10)

= –24 : 6= –4

• Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinada,si hay paréntesis en el interior de otro paréntesis, estos se resuelven de adentrohacia afuera, respetando la prioridad de las operaciones. Por ejemplo:

–3 • [–2 + (12 : (–4) • 2) – 1]= –3 • [–2 + (–3 • 2) – 1]

= –3 • [–2 + (–6) – 1]= –3 • [–9]

= +27







ActividadesÍtems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular.Ítems 7 y 8: representar, aplicar y calcular.Ítem 9: evaluar y calcular.Ítem 10: analizar, generalizar y justificar.

Ítem 11: identificar y calcular.Ítem 12: formular y resolver problemas.

Estrategia mentalAplicar y calcular.


• En los ítems 5 y 6 es conveniente que pida a los alumnos y alumnas que escribanla estrategia y las operaciones empleadas. Luego, un o una estudiante explicacómo resolvió la pregunta 5 a otro compañero o compañera, y este último explicacómo resolvió la 6 a su compañero o compañera (que explicó la 5). De este modo,permite que discutan sobre la pertinencia de los resultados obtenidos, así comotambién sobre los procedimientos empleados.

• En los ítems 7 y 8, es conveniente que analice en la pizarra las expresiones matemáti-cas que permiten resolver cada caso, pues el objetivo de ambos problemas no solotiene relación con las operaciones combinadas y la prioridad para resolverlas, sinoque es una primera aproximación a las funciones, que es un contenido que setratará más adelante.

• Luego de completar la tabla del ítem 9, los alumnos y alumnas reponderán las pre-guntas del ítem 10 relacionadas con la prioridad de las operaciones. Se sugiere quepromueva la discusión en estos casos, para que sean los y las estudiantes quienesgeneralicen. Al finalizar esta actividad podría destacar que en el caso de la pre-gunta b, del ítem 10, se trata de la propiedad asociativa de los números enteros.

• En el ítem 11, luego que los y las estudiantes escriban el número que falta, podríancomprobar utilizando calculadora científica y verificar que la operación da comoresultado, efectivamente, el número que aparece en el Texto.

• En el ítem 12, se sugiere que los y las estudiantes expongan las preguntas que es-cribieron, pues de este modo conocerán y compararán las diversas preguntas quesurgieron espontáneamente para una misma situación; además, podrían analizar lapertinencia de estas.

• En la sección ESTRATEGIA MENTAL, es conveniente destacar que dicha estrate-gia se puede emplear no solo en esta Unidad, sino que en las potencias, que seestudiarán en la Unidad siguiente, pues permite saber de forma rápida el signodel resultado.


De refuerzo

1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a) –36 : (–18 : 3) =

b) 14 – 2 • (–5) + 18 : (–2) =

c) 28 : [(–12 • 2) : (54 : –9)] =

d) 2 • [(11 • 3 – 5) + (16 : –4)] =

2. Resuleve utilizando dos estrategias distintas, en cada caso.

a) [(–10 – 4) • 3 – 2] –1 =b) 25 • (5 • –10) • 2 =

3. Calcula mentalmente, indicando la estrategia utilizada en cada caso.

a) (–10 • –3) • –6 =b) –30 • (–15 + 10) =c) 4 • (–5 + 3) =

(Habilidades que desarrollan: calcular, aplicar y formular).

De profundización

1. Determina el o los errores en cada caso y, luego, resuelve correctamente.

a) (–18) + 4 • (–2) + 35 : (–7) = –14 • –2 + 5= –14 • 3= –42

b) (–4) : (–1) + 20 : (–5) + 13 = –4 + 4 + 13= 0 + 13= 13

c) (–4) • [–12 : –3 – 18 : –2] = (–4) • [4 – 18 : –2]= (–4) • [–14 : –2]= (–4) • 7= –28

2. Un día de julio, en una ciudad del norte del país, la temperatura registrada a las 6:00 horas fue de –5 ºC; tres horas más tarde subió 4 ºC. Dos horas después, subió6 ºC. A las 12:30 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura registradaa las 11:00 horas. La temperatura máxima del día se registró tres horas después yfue el doble de la temperatura registrada a las 12:30 horas.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la temperatura registrada alas 12:30 horas?, ¿y a las 15:30 horas?

b) ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 horas?c) ¿Cuál fue la máxima temperatura de ese día?

(Habilidades que desarrollan: analizar, calcular e identificar).






HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

Herramientas tecnológicasÍtems 1 a 8: usar herramientas. Ítem 9: analizar, generalizar, justificar y usar herramientas.


• Al utilizar la planilla de cálculo, debe tener en consideración que los símbolosempleados: +, –, *, /, corresponden a las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división, respectivamente.

• Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en eldesarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que re-quieran de su ayuda y orientación.

• Se recomienda que recuerde a sus estudiantes que al ingresar una función se antepone el símbolo =.

• Al finalizar la actividad, destaque que en “Operación 1” el resultado siempre escero, pues A2*B2 = B2*A2, por la propiedad conmutativa.


De refuerzo

1. Realiza lo siguiente en una planilla de cálculo.

Dividan por dos los números de la columna “Positivo” y, luego, escríbanlos endicha columna (en remplazo de los que estaban). Luego, vuelvan a repetir lospasos realizados anteriormente y respondan las preguntas del ítem 9.

(Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar).

De profundización

1. Para cualquier par de números enteros a y b, con b ≠ 0:

a) La expresión: a • b – b • a, ¿es siempre igual a cero? Justifica.b) Las expresiones: (a : b – b) y (a : b + |b|), ¿son iguales? Justifica.

(Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar).




Mi progresoÍtem 1: analizar y representar.Ítem 2: analizar y evaluar.Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular, analizar y generalizar.Ítem 4: analizar y calcular.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; estodificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendablepedirles que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo quefacilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas.

• En el ítem 2, se debe analizar la pertinencia de afirmaciones; como no se trata decasos concretos, el alumno o alumna podría confundirse en dichos casos. Es con-veniente que visualicen casos particulares que se relacionen con cada afirmación,para luego analizar su veracidad a través de estos.

• En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas ignoren la prioridad de las ope-raciones; es conveniente recordarla.

• En el ítem 4, recuerde a los y las estudiantes que para representar una distanciabajo el nivel del mar, se pueden usar los números negativos. Por ejemplo, 32 mbajo el nivel del mar, lo representaremos como –32.




3

Evalúa, aplica, calcula y completacorrectamente la tabla. Responde cada pregunta correctamente.

Evalúa, aplica, calcula y completacorrectamente la tabla. Responde cada pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente algunas partes de la tabla.Responde algunas de las preguntas.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente la tabla.No responde las preguntas.

4Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.


Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signodel resultado.

Analiza y calcula erróneamente, elproblema, confundiendo el signo delresultado y su valor.

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4.

6. Felipe trabaja como vendedor en una casa comercial; su sueldo base es de$ 180 000. Por cada producto vendido que tiene un valor superior o igual a$ 40 000, recibe una comisión de $ 5000. Durante el mes de agosto vendió losproductos que se detallan en la siguiente tabla con sus respectivos costos:

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será el sueldo de Felipe co-rrespondiente al mes de agosto?

b) ¿Cuál será su sueldo ese mes?

7. El frigorífico de una empresa de productos congelados se encuentra a 30 ºC bajocero durante todo el día. Un día la máquina presentó fallas, provocando un au-mento de la temperatura a razón de 3 ºC por hora; ¿cuál será la temperatura delfrigorífico despues de 6 horas?

8. Un equipo sumergible, provisto de cámaras sensibles a la oscuridad, descubriórestos de un barco a 2000 metros de la superficie.

a) Si el equipo sumergible descendió 100 metros cada media hora, ¿cuánto tardóen llegar a los restos del barco, aproximadamente?

b) Si enviaron otro equipo sumergible, que tardó 5 horas en llegar a los restos delbarco, ¿a cuántos metros por hora descendía, aproximadamente?

De profundización

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.

1. Si a, b y c son números enteros, b ≠ 0 y b es divisor de a, ¿cuál de las siguientesexpresiones resulta siempre cero?

A. a • c – |a • c|

B. (a : b) • c – c • (a : b)

C. (a : b) – c

D. (a : b) • c + c • (a : b)



De refuerzo


1. Si el dividendo es (–37) y el divisor es 5, entonces:

A. el cociente es 8 y el resto es 3.B. el cociente es (–8) y el resto es 3.C. el cociente es (–7) y el resto es (–2).D. el cociente es 7 y el resto es 2.

2. Las transacciones de dinero de Carla en el mes de septiembre fueron: $ 45 000en agua, luz, teléfono y gas, $ 100 000 de dividendo, $ 380 000 de sueldo y enmercadería gasta la mitad de lo que gasta en dividendo. ¿Qué expresión permitecalcular cuánto dinero le queda a Carla para otros gastos?

A. 380 000 – 45 000 + 100 000 + 100 000 : 2B. (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2) – 380 000C. 380 000 – 45 000 – 100 000 + 100 000 : 2D. 380 000 – (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2)

3. Un pez que se encuentra a 10 metros bajo el nivel del mar, desciende 2 metroscada 2 minutos, ¿a qué profundidad se encuentra después de 16 minutos?

A. 26 metros bajo el nivel del mar. C. 6 metros bajo el nivel del mar.B. 18 metros bajo el nivel del mar. D. –36 metros bajo el nivel del mar.


5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) Aplica otra estrategia para resolver en cada caso.

b) Si cambiaras los números de la columna b, ¿con qué número entero es posibleobtener resultado cero en (b + c) : a?


Cantidad Producto Costo ($)

2 Plancha 20 000

3 Celular 40 000

2 Microondas 75 000

4 DVD 45 000

5 Televisor 90 000

a b c (b + c) : a c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c)

2 10 –2

3 –10 –5

–2 –8 4

4 26 –2

–1 –1 –9

a b c c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c) a : b • c

12 3 –2

–9 3 –5

–22 11 4

42 6 –2

–1 –1 –8

c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c) a : b • c

18 7 –72 –8

–60 –17 135 15

132 –29 –968 –8

72 34 –504 –14

0 –8 –8 –8

a 3 3 11 6 –1

a 5 8 7 8 7

2. Al resolver 12 – 7 • 3 – 24 : (–6) resulta :

A. 29

B. –13

C. –5

D. 37

3. En la expresión: (–60) : x = –12, el valor de x es:

A. –5

B. 12

C. 5

D. 1

4. Completa la siguiente tabla:

5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿Puedes aplicar alguna propiedad de los números enteros para resolver encada caso?, ¿cuál?

b) Si cambiaras los números de la columna a, ¿con qué número entero es posi-ble obtener resultado cero en c • (b – a)?, ¿y en (a – b) + c?

6. Camilo y Lorena son hermanos. Camilo ahorró en enero $ 12 500 y en febrero$ 18 600. Lorena en enero ahorró el doble que su hermano ese mismo mes y enfebrero la tercera parte de lo ahorrado por su hermano en febrero. En marzo,entre los dos, juntaron $ 21 500.

a) ¿Qué expresión permite calcular cuánto ahorraron el primer trimestre de ese año?

b) ¿Cuánto ahorraron el primer trimestre?


b 2 5 –4 2 9

(b + c) : a c • (b – a) (a – b) + c a • (b • c)

4 –16 –10 –40

–5 65 8 150

2 –24 10 64

6 –44 –24 –208

10 0 –9 –9

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 64 Y 65 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1. B 2. D 3. A

4.

5. b)

6. a) 180 000 + 5000 • 14 b) $ 250 000

7. –12 ºC.

8. a) 10 horas. b) A 400 metros por hora.

De profundización

1. B 2. C 3. C

4.

5. a) Sí, la propiedad distributiva y propiedad asociativa. En la última columna apli-camos la prioridad de las operaciones.

b) Para c • (b – a) = 0, se tiene

Para (a – b) + c = 0, se tiene

6. a) (12 500 + 18 600) + (12 500 • 2 + 18 600 : 3) + 21 500

b) $ 83 800





HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, formular, aplicar y calcular.Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar, resolver problemas y evaluar.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin em-bargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnosy alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras es-trategias de resolución.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO

Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-suelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante essolo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordarel problema podría ser la siguiente: Plantear la situación como un ejercicio combi-nado y, luego, aplicar la prioridad de las operaciones, es decir (en miles):

–12 000 – (2 • 12 000) + 3 • (12 000 + 2 • 12 000) + 18 000 + [3 • (12 000 + 2 • 12 000)] : 2 = –12 000 – 24 000 + 108 000 + 18 000 + 54 000

= 144 000


De refuerzo

1. Un grupo de 6 personas (Pablo, Francisca, Pedro, Felipe, Lorena y Cecilia) estáreuniendo dinero para realizar un paseo. Han determinado que cada personanecesita $ 9500 para asistir a dicha actividad.

Pablo ha juntado $ 3500, Francisca el doble de lo que ha reunido Pablo, Pedro$ 2000 más que lo reunido por Francisca, Felipe la tercera parte de lo reunido porPedro, y Lorena y Cecilia ya juntaron el dinero necesario.

a) ¿Cuánto dinero deben juntar en total?b) Si consideras el dinero reunido por el grupo de amigos, ¿cuánto les falta

por reunir?Utiliza la estrategia propuesta en la página 30.

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular).


Logro, aplicación En proceso, logro parcial No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabrase interpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Puede que interprete mal parte del problema.• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.• Entiende mal el problema.• Como rutina pide explicaciones.




a situaciones nuevas.• Hace y explica conexiones.• Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.• Puede demostrar y explicar usando una variedad de

modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y

por qué.• Relaciona el concepto con conocimiento y

experiencias anteriores.• Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarioscorrectamente.


Verificación de resultadosy/o progreso

• Chequea la racionalidad de los resultados.

• Reconoce sin dar argumentos.

• Revisa cálculos y procedimientos.• Puede investigar razones si existen dudas.


no razonable.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.





ConexionesÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: calcular.Ítem 3: evaluar.Ítem 4: relacionar.

Ítem 5: calcular, verificar y justificar.Ítem 6: interpretar.

SíntesisRecordar y conectar.

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los númerosenteros con los fenómenos que ocurren en nuestro entorno, en este caso relaciona-dos con la astronomía.

Durante esta actividad puede comentar y discutir con sus estudiantes sobre temasrelacionados con el cometa Halley, el Sol, los planetas, así como también sobre otroscometas que no podemos ver a simple vista.

Más información sobre astronomía puede encontrar en la revista Astronomía Digital: www.astro-digital.com/11/cometas.html

TÉCNICA DE ESTUDIO

A continuación, presentamos una técnica de estudio que le puede enseñar a losalumnos y alumnas: el cuestionario.

El cuestionario consiste en plantear preguntas sobre un tema, y a través de las res-puestas a esas preguntas obtener toda la información necesaria para saber de quése trata el contenido que estudiamos, destacando las ideas fundamentales.

• La creación del cuestionario debe realizarse individualmente y se sugiere que sehaga en clases, para que oriente y guíe a los y las estudiantes en su trabajo.

• Se deben confeccionar al menos 6 preguntas relacionadas con los temas incluidosen la Unidad, con un ejemplo numérico o un problema de aplicación en cada caso.

• Las preguntas deben ser claras.• Puede revisar los cuestionarios en el curso guiando con preguntas como las siguien-

tes: ¿cómo encuentran las preguntas planteadas?, ¿faltó alguna pregunta?, ¿cuál?


De refuerzo

1. En relación al Sol, los cometas y los planetas, responde:

a) ¿Sabes a qué distancia está nuestro planeta del Sol?, ¿cómo lo supiste?b) ¿Conoces otros cometas aparte del Halley?, ¿cuáles?c) ¿Haz escuchado hablar de otros planetas?, ¿cuáles?

(Habilidades que desarrollan: conectar y justificar).

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Estamanera de sintetizar es una técnica de estudio que permite a los y las estudiantes con-solidar, organizar y clasificar sus aprendizajes.


De refuerzo

1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad.2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos.

3. Inventa un ejercicio que involucre las 4 operaciones aritméticas con números ente-ros; luego, resuélvelo, respetando la prioridad de las operaciones.

4. Menciona y aplica dos estrategias para calcular: [(–2) + 4 – 6] • 3. 5. ¿Cómo jutificarías que (–36) : 9 = (–4)?

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Construye un cuadro resumen sobre la multiplicación de números enteros.Da tres ejemplos.

2. Construye un cuadro resumen sobre la división de números enteros, involucrandoel algoritmo de la división. Da tres ejemplos.

3. Inventa un problema que involucre las operaciones aritméticas con números ente-ros. Luego, resuélvelo, indicando la estrategia a utilizar.

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular, aplicar y calcular).





¿Qué aprendí?Ítem 1: analizar, conjeturar y evaluar.Ítems 2 y 3: analizar, interpretar y calcular.Ítem 4: analizar, conjeturar y evaluar.Ítem 5: analizar y evaluar.

Ítem 6: evaluar y calcular.Ítem 7: calcular.Ítem 8: analizar e identificar.Ítems 9 y 10: analizar, interpretar y calcular.

EVALUACIÓN SUMATIVA

En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquiridolos alumnos y alumnas en la Unidad de Números enteros, y con esta informaciónseguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenidoo realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que sepretendían con el desarrollo de esta Unidad.

Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es reco-mendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondienteal lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantes que una vezcomprendido el problema y planificada la estrategia, sean ordenados en el desa-rrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañeros y compañerasque tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facilitará detec-tarlos y corregirlos.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzaro profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles lasactividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtenganen la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


La siguiente se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10.


9

Resuelve correctamente cuántoaumenta por minuto, utilizando diversasestrategias que permiten realizar untrabajo más eficientemente.

Resuelve correctamente cuántoaumenta por minuto, utilizandouna estrategia.

Resuelve erróneamente cuánto aumentapor minuto, aplicando la prioridad de lasoperaciones y confundiendo los signos.

Resuelve erróneamente cuántoaumenta por minuto, sin respetar laprioridad de las operacione ni la reglade los signos.

10

Resuelve correctamente los valorespedidos, utilizando diversas estrategiasque permiten realizar un trabajomás eficientemente.

Resuelve correctamente los valorespedidos, sin explicar la estrategia usada.

Resuelve erróneamente alguno de losvalores pedidos, por medio de laaplicación inadecuada de la prioridad delas operaciones, respetando los signos.

Resuelve erróneamente los valorespedidos, por medio de la aplicacióninadecuada de la prioridad de lasoperaciones, sin respetar los signos.


Fecha Temperatura mínima Temperatura máxima

27 de febrero 8 °C

13 de junio –8 °C

11 de noviembre 25 °C


De refuerzo


1. Al resolver (–12) : 4 • (–5) – 20 : (–2) resulta:

A. 25B. –5C. –25D. 5

2. Si el dividendo es –360 y el divisor es 4, entonces el cociente es:

A. 90B. –9C. –90D. –1 440

3. El resultado de (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) es:

A. 20B. –16C. –20D. 16

4. ¿Qué número dividido por –9 resulta 3?

A. 3B. –27C. –3D. 27

5. Si x es un número entero negativo, entonces el doble de x es:

I. mayor que cero.II. menor que cero.III.menor que x.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. II y III

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. (–18 : 3 – 4) • 2 = –20II. (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = 8 • 4III. (10 – 2 • 5) : 2 = 0

A. Solo IB. Solo IIC. I y IIID. II y III

7. En una ciudad del sur del país se registraron las siguientes temperaturas en las fechasque se indican a continuación. Completa la tabla según la información entregada.

a) El 27 de febrero la temperatura máxima fue el triple de la mínima.b) El 13 de junio la temperatura máxima fue 14 ºC más que la mínima.c) El 11 de noviembre la temperatura mínima fue la quinta parte de la máxima.

8. Un buzo está a 200 metros bajo el nivel del mar; luego, baja 50 metros más y,finalmente, desciende la mitad de lo que había bajado hasta ese momento.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la profundidad alcanzada porel buzo?

b) ¿A cuántos metros de la superficie se encontraba?

9. Martina, Andrea y Guillermo realizaron los siguientes cálculos:

Martina Andrea Guillermo9 + (–14) • 5 16 : [–2 – 6] 20 : –5 • 2 = –5 • 5 = –8 – 6 = –4 • 2= –25 = –14 = –8

• En los tres procedimientos realizados, ¿observas algún error?; ¿cuál? Corrígelo.


4. Si a es un número entero positivo, entonces el triple de a es:

I. mayor que cero.II. menor que cero.III.mayor que a.

A. Solo I

B. Solo II

C. I y III

D. II y III

5. Completa la siguiente tabla. Utiliza dos estrategias para resolver en cada caso.

6. Completa las secuencias numéricas.

: (–5) • (–3) : (–2) • 6

a)

: (–7) : 4 • (–3) : (–1)

b)

• 4 : (–2) • (–4) : (–1)

c)

7. Obtén el número –8 utilizando números del conjunto A = {–3, –2, –1, 1, 2, 3} yal menos dos operaciones aritméticas. Escribe dos formas distintas de obtenerel número.


a b c a • (b – c) a • (b • c) c : a – c • b c : b • a

–5 10 20

–3 4 –12

–2 –3 –18

–50

–9

8

10. Calcula:

a) (–2 –8) : (1 – 3) =b) [–4 • (3 – 7) + 1] • (–2) =c) (–36) : 4 • (–6) : (–3) : 2 • (–4) =d) (–3) • [–1000 : (–10 – 90) – 50] =


De profundización


1. Al resolver [(–4) • 7 – 45 : (–9) + 5] • (–2), resulta:

A. –36B. 46C. 56D. 36

2. El resultado de la expresión (–120) : (–5) • 4 es:

A. 96B. –96C. 6D. –6

3. Si x y z son números enteros, x es el antecesor de z y –4 es el antecesor de x.¿Cuál es el sucesor de (x • z)?

A. 6B. –7C. –5D. 7


a b c a • (b – c) a • (b • c) c : a – c : b (b • a) – (c + a)

–5 3 –30

–2 –4 –16

7 4 –28


a • (b – c) a • (b • c) c : a – c • b c : b • a

50 –1 000 –204 –10

–48 144 52 9

–30 –108 –45 –12

a • (b – c) a • (b • c) c : a – c : b (b • a) – (c + a)

–165 450 16 20

–24 –128 4 26

224 –784 3 49

De profundización

1. D 2. A 3. D 4. C

5.

6.: (–5) • (–3) : (–2) • 6

a)

: (–7) : 4 • (–3) : (–1)

b)

• 4 : (–2) • (–4) : (–1)

c)

7. Algunas formas: (–3) • 2 + (–2) ó (–2) • 2 + (–2) • 2.


De refuerzo

1. A 2. C 3. C 4. B 5. D 6. B

7. a) 24 ºCb) 6 ºCc) 5 ºC

8. a) –200 – 50 –250 : 2b) 375 metros.

9. Martina Andrea 9 + (–14) • 5 16 : [–2 – 6] = 9 – 70 = 16 : –8 = –61 = –2

10. a) 5 b) –34 c) 36 d) 120

11.

250 –50 150 –75 –450

–84 12 3 –9 9

–4 –16 8 –32 32

Ítem Habilidades que se evalúan Puntaje Total

I Analizar, aplicar y calcular. 2 puntos cada una 16 puntos

IIAnalizar, evaluar, representar,aplicar y calcular.

6 puntos cada una 18 puntos



9Calcula correctamente cada expresión,empleando más de una estrategia.

Calcula correctamente cada expresión. Calcula érronemente una de lasexpresiones, pues confunde los signosdel resultado.

Calcula érronemanete cada expresión,sin respetar la prioridad de las operaciones.

10Analiza, evalúa, calcula y completacorrectamente la tabla, verificando lassoluciones con otra estrategia.

Analiza, evalúa, calcula y completacorrectamente la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completaerróneamente partes de la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completaerróneamente la tabla.

11

Calcula correctamente cada expresión,interpretando mentalmente el sucesorde, el antecesor de y el inverso aditivo.Aplica el algoritmo de la división.

Calcula correctamente cada expresión yaplica el algoritmo de la división.

Calcula erróneamente algunas expre-siones, confundiendo el sucesor de o elantecesor de o el inverso aditivo. Aplicael algoritmo de la división, confundiendosus condiciones.

Calcula erróneamente las expresiones,confundiendo el sucesor de, el ante-cesor de y el inverso aditivo. Aplica elalgoritmo de la división, confundiendosus condiciones.

EVALUACIÓN FINAL

En las páginas 76 y 77, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puedeutilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Númerosenteros, y con esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver aenseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos losaprendizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta:

Puntaje total de la evaluación: 34 puntos

Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzadosen la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente 6 ó 7 preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente 4 ó 5 preguntas.Por lograr, si contesta correctamente menos de cuatro preguntas.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10 y 11.


Se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cadapregunta, para detectar en qué se equivocan, y ayudarlos a alcanzar los aprendiza-jes que se espera que logren, si fuera necesario.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LASPÁGINAS 76 Y 77

1. D 2. D 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. A

9. a) –27 b) –200

10.

11. a) –49 b) 6 c) –6 d) –5 y 2 e) –162 f) –5 y 0

a b c a • (b + c) a • (b • c) c : a • b

–5 4 –20 80 400 16

2 3 –10 –14 –60 –15

–3 –2 –9 33 –54 –6

4 4 –12 –32 –192 –12

–4 2 20 –88 –160 –10

EVALUACIÓNNúmeros enteros

Nombre: Curso: 8º Fecha:

Puntaje: Nota:

I. Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta.

1. Si x es un número entero distinto de cero, el resultado de (–6) • x es:

I. mayor que cero si x > 0II. menor que cero si x > 0III. mayor que cero si x < 0

A. Solo IB. Solo IIC. Solo I y IID. Solo II y III

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. (–5) • 4 + 12 = –8II. 15 : (–3) + 20 : (–5) = –3III. (–7) • (–4) = –28

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y III

3. Un alpinista asciende una montaña 22 metros por hora durante 5 horas. Luego, durante 3 horas, asciende 28 metros por hora.¿Cuántos metros asciende durante ese período?

A. 194 mB. 26 mC. 50 mD. 400 m

4. Si a y b son números enteros, a es el sucesor de b y –7 es el sucesorde a, ¿cuál es el antecesor de (a • b)?

A. 71B. 72C. 73D. –73

5. ¿Qué número dividido por –4 resulta –20?

A. 5B. –5C. 80D. –80

6. Al calcular: –4 – (–25 : 5) + 2 – 15 : 3, resulta:

A. –2B. –12C. 2D. –4

7. Don Felipe es dueño de un negocio. El primer trimestre del añopasado obtuvo una ganancia de $ 1 500 000; el segundo trimestreperdió $ 650 000; el tercer trimestre ganó el doble de lo obtenidoel primer trimestre y el cuarto trimestre obtuvo ganancias iguales ala mitad de las ganancias del primer periodo. ¿Cuál fue el saldofinal del año pasado?

A. $ 6 650 000B. $ 5 900 000C. $ 4 600 000D. $ 5 350 000

Guía Didáctica del Docente – Matemática 876 Unidad 1 – Números enteros – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

a b c a • (b + c) a • (b • c) c : a • b

–5 4 –20

2 –10 –14

–3 –2 –54

4 –12 –32

–4 20 –10

8. La temperatura mínima registrada en Santiago un día de invierno alas 7:00 horas fue –5 ºC. Si la temperatura aumentó 4 ºC por hora(aproximadamente), hasta llegar a la máxima del día, que fue 27 ºC,¿a qué hora se registró la temperatura máxima?

A. A las 15:00 horas.B. A las 14:00 horas.C. A las 13:00 horas.D. A las 16:00 horas.

II. Resuelve los siguientes ejercicios, mostrando su desarrollo.

9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a) 12 : (–4) – 15 • 2 – 30 : (–5) =

b) [–6 • (3 – 10) – 2] • (–5) =


11. Completa con el número correspondiente en cada caso.

a) Al multiplicar el sucesor de –8 por el inverso aditivo de (–7),

resulta .

b) Al dividir el inverso aditivo de 48 con el sucesor de (–9),

resulta .

c) Al dividir el antecesor de 25 con el inverso aditivo de 4,

resulta .

d) Si el dividendo es (–23) y el divisor es 5, entonces, el cocientees y el resto es .

e) Al multiplicar el antecesor de 19 por el inverso aditivo de 9,

resulta .

f) Si el dividendo es (–45) y el divisor es 9, entonces, el cociente

es y el resto es .


78 Unidad 2 – Potencias Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


En esta Unidad se plantean diversas actividades que promueven el logro de estrategiasde cálculo mental, sistematización de procedimientos, determinación y aplicación depropiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera, frac-cionaria o decimal positiva y exponente natural. También se utilizan herramientas tec-nológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentes tiposde problemas. Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno y alumnaanalice y comprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendola utilidad de las potencias y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversas estrate-gias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbitomatemático en que estén involucradas las potencias y la aplicación de sus propiedades.

Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podrá ponera prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuáles fueron suserrores y cómo superarlos.


PotenciasUnidad2

Multiplicacióny división depotencias deigual base

Potencias de basefraccionaria positiva yexponente natural.

Potencias de basedecimal positiva y

exponente natural.

Multiplicacióny división depotencias de

igual exponente

Potencia de unapotencia

Figuras planas Cuerposgeométricos

Crecimientoexponencial

Decrecimientoexponencial

Potencias de base enteray exponente natural

Resolver problemasse extienden a

permiten

permiten

asociados a

se aplican las propiedades


7º básico

Interpretación de potencias que tienencomo base un número natural, una frac-ción positiva o un número decimal posi-tivo y como exponente un númeronatural, establecimiento y aplicación ensituaciones diversas de procedimientosde cálculo de multiplicación de potenciasde igual base o igual exponente, formu-lación y verificación de conjeturas relati-vas a propiedades de las potenciasutilizando multiplicaciones y divisiones.

8º básico

Utilización de estrategias de cálculo men-tal y escrito que implican el uso de po-tencias de base entera y exponentenatural, determinación y aplicación depropiedades relativas a la multiplicacióny división de potencias que tienen baseentera y exponente natural, y extensión apotencias de base fraccionaria o decimalpositiva y exponente natural.

Resolución de problemas en contextos di-versos y significativos que involucran […],potencias de base entera, fraccionaria odecimal positiva y exponente natural, en-fatizando en el análisis crítico de los pro-cedimientos de resolución y de losresultados obtenidos.

1º medio

Extensión de las propiedades de poten-cias al caso de base racional y exponenteentero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

Resolución de problemas en contextos di-versos que involucran […] potencias debase racional y exponente entero, enfati-zando el análisis crítico de los procedi-mientos de resolución y de los resultados obtenidos.

2º medio

Análisis de la existencia de la raíz enésimaen el conjunto de los números reales, surelación con las potencias de exponenteracional y demostración de algunas desus propiedades.

Interpretación de logaritmos y su relacióncon potencias y raíces, deducción de suspropiedades y aplicaciones del cálculo delogaritmos a la resolución de problemasen diversas áreas del conocimiento.

Elaboración de estrategias de cálculomental y escrito que implican el uso depotencias de 10 con exponente entero ysu aplicación para representar númerosdecimales finitos como un producto deun número natural por una potencia de10 de exponente entero.

Resolución de problemas en contextos di-versos y significativos en que se utilizan[…] potencias […], enfatizando en aspec-tos relativos al análisis de las estrategiasde resolución, la evaluación de la validezde dichas estrategias en relación con lapregunta, los datos y el contexto del problema.










Utilización de estrate-gias de cálculo mentaly escrito que implicanel uso de potenciasde base entera yexponente natural,determinación y apli-cación de propiedadesrelativas a la multipli-cación y división depotencias que tienenbase entera y expo-nente natural, yextensión a potenciasde base fraccionariao decimal positiva yexponente natural.

Potencia de base enteray exponente natural.

Valor de la potencia.

Multiplicación de poten-cias de igual base.

División de potencias deigual base.

Multiplicación de poten-cias de igual exponente.

División de potencias deigual exponente.

Potencia de una potencia.

Potencia de basefraccionaria positiva yexponente natural.

Potencia de base decimalpositiva y exponentenatural.

• Emplear estrategias decálculo mental y escritoque implican el uso de potencias de base entera y exponente natural.

• Determinar y aplicarpropiedades relativasa la multiplicación ydivisión de potenciasque tienen base enteray exponente natural.

• Aplicar propiedadesrelativas a la multipli-cación y división de potencias que tienenbase fraccionaria odecimal positiva y exponente natural.

En el TextoDe exploración:páginas 40, 42, 44, 46,48, 50 y 52.

De construcción deconceptos: páginas 41,43, 45, 47, 49, 51 y 53. De consolidación:página 68.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 87,91, 93, 95, 97, 99, 101,103, 105, 106, 126 y 127.

De profundización:páginas 87, 91, 93, 95,97, 99, 101, 103, 105,106, 107 y 127.

En el TextoDe exploración:páginas 56, 58, 60 y 62.De construcción deconceptos: páginas 57,59, 61 y 63.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas109, 111, 113, 115, 117,118, 126 y 127.

De profundización:páginas 109, 111, 113,

• Calculan potencias debase entera y exponente natural.

• Aplican propiedadesrelativas a la multipli-cación y división depotencias que tienenbase entera y exponente natural.

• Analizan y resuelvensituaciones queinvolucran potencias debase entera y exponente natural.

• Aplican propiedades rela-tivas a la multiplicación ydivisión de potencias quetienen base fraccionariao decimal positiva yexponente natural.

• Analizan y resuelvensituaciones que involu-cran potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponentenatural.

• Resuelven problemassobre crecimiento y de-crecimiento exponencial.

Diagnóstica:página 38 delTexto delEstudiante.


Sumativa:páginas 70 y 71del Texto delEstudiante, y130 y 131 de laGuía Didácticadel Docente.

• Tabla dedatos

• Computador.• Calculadora

científica.• 36 cubos de

cartulina.• Tijeras.• Pegamento.• Regla.• Cartulina.• Hoja

tamañocarta.







Resolución deproblemas encontextos diversos ysignificativos queinvolucran […]potencias de baseentera, fraccionaria odecimal positiva yexponente natural,enfatizando en elanálisis crítico de losprocedimientos deresolución y de losresultados obtenidos.

Crecimiento exponencial

Decrecimientoexponencial

Buscando estrategias

• Aplicar estrategias pararesolver problemas queinvolucran crecimientoy decrecimientoexponencial.

• Resolver problemasque involucranpotencias de baseentera, fraccionaria odecimal positiva yexponente natural.

• Aplicar habilidadesbásicas del procesode resolución deproblemas encontextos diversos.

• Analizar la validez delos procedimientosutilizados y de losresultados obtenidos.

115, 117, 118 y 127.

En el TextoDe exploración:página 66.

De construcción deconceptos: página 67.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas121, 126 y 127.

De profundización:páginas 121 y 127.

• Resuelven problemas queinvolucran potencias debase entera y exponentenatural, empleandodiversas estrategias.


ERRORES FRECUENTES


En el concepto de potencia pueden aparecer los siguientes errores:

• En las potencias que la base es un número entero negativo, el alumno o alumnale asigna al valor de la potencia signo negativo, sin considerar si el exponente espar o impar.

• En las potencias que la base es una fracción o decimal positiva, el alumno oalumna, al calcular, puede tener dificultades en la multiplicación o división.

• En las potencias de base negativa, el o la estudiante podría no diferenciar casoscomo: –22 y (–2)2.

• Es conveniente recordar el cálculo de potencias de base entera, fraccionaria odecimal positiva y exponente natural.

• Comparar y calcular de forma paralela las potencias de base entera negativa yexponente par e impar. Destacar con distinto color, cuando los exponentes parese impares.

Por ejemplo:(–2)2 = (–2) • (–2) = 4(–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejerci-cios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos.

• Diferenciar y calcular casos como:–22 = – 2 • 2 = –4(–2)2 = –2 • –2 = 4

En la multiplicación y división de potencias de igual base o igual exponente, puedenaparecer los siguientes errores:

• En la aplicación de las propiedades de potencias de multiplicación o división depotencias de igual base o exponente, el alumno o alumna confunde dichaspropiedades y aplica ambas a la vez.Por ejemplo: 24 • 34 = 68.

• En los casos que se puede aplicar cualquiera de estas dos propiedades, el alumnoo alumna aplica ambas, sin notar que puede aplicar cualquiera de las dos.Por ejemplo: 32 • 32 = 94.

• A través de actividades que le permitan al alumno o alumna comparar de formaparalela las distintas aplicaciones de las propiedades que se utilizan para resolvermultiplicaciones y divisiones con igual base o exponente.

• Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejerci-cios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos.

• Resolver ejercicios sin aplicar las propiedades, paso a paso y, luego, aplicar lapropiedad correspondiente para comprobar los resultados obtenidos.

Por ejemplo:24 • 34 = 16 • 81 = 1296Comprobación: 24 • 34 = 64 = 1296.

• Resolver ejercicios en los que el alumno o alumna pueda escoger una de las dospropiedades para resolver y, luego, aplicar la otra propiedad para comprobar losresultados obtenidos. Por ejemplo: 32 • 32 = 32 + 2 = 34 = 81.Comprobación: 32 • 32 = (3 • 3)2 = 92 = 81.

En la potencia de una potencia puede aparecer el siguiente error:

• El alumno o alumna confunde la propiedad y en vez de multiplicar los expo-nentes, los suma.

Por ejemplo: (22)3

= 25.

• Se sugiere resolver, paso a paso, por medio de casos particulares, para explicarla propiedad. Por ejemplo:

(22)3

= (2 • 2)3 = (2 • 2) • (2 • 2) • (2 • 2) = 26.

La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis,modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendorelacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta cienciaayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategiaspara resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico yautónomo. Es por ello que las potencias han sido un tema fundamental. En laUnidad anterior se estudió multiplicación de números enteros, contenido funda-mental para estudiar potencias de base entera y exponente natural, estudiado enesta Unidad. Luego, se aplican las propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde dichas potencias y se extienden a potencias de base fraccionaria y decimal posi-tiva y exponente natural. Estos aprendizajes son utilizados para resolver problemasen contextos diversos y significativos por medio de diversas estrategias de resolución.

En esta Unidad es posible utilizar calculadora científica como una herramienta útily práctica que permite al alumno o alumna comprobar los resultados obtenidos.

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas acerca de las potencias ysus propiedades.

• Una potencia es la multiplicación de un factor por sí mismo, tantas vecescomo indique el exponente. Es decir,

an = a • a • … • a con a número entero y n número natural

• El factor repetido (a) se denomina base y el número que indica la cantidad deveces que se multiplica (n) se llama exponente.

• La potencia an se lee “a elevado a n”. El producto resultante se denominavalor de la potencia.

Ejemplo: (–4)3 = (–4) • (–4) • (–4) = –64

• El concepto de potencia se puede ampliar a potencias de base y exponenteentero o potencias de base racional y exponente entero o exponente racional.

Para extender el concepto de potencia, a continuación profundizaremos en losdos primeros casos.

Potencia de base y exponente enteroSi a y b son números enteros con a ≠ 0, entonces se tiene que:

ab = a • a • … • a a–b = (a–1)b

=

Ejemplos:

1. (–3)5 = –3 • –3 • –3 • –3 • –3 = –243

1 1 1a a a

b b

b b( ) = =



En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y su posterior resolución.

• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado.

• Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema.• Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar,resolver, responder y revisar. Con estos pasos, los y las estudiantes identificaránlos datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así comoresponder y analizar la veracidad de la solución.

• Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en elproblema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta.

n factores

Exponente

Base Valor de la potencia

b factores


2. 8–3 =

Potencia de base racional y exponente enteroSi a y b son números enteros distintos de cero y n un número entero, entonces:

Ejemplo:

• El valor de una potencia de exponente cero y base distinta de cero es 1. Es decir,

a0 = 1, a ≠ 0

Ejemplos: 20 = 1

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Para todo a, b ∈� y n, m ∈�, se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicación de potencias de igual baseEl producto de dos o más potencias de igual base equivale a una potencia con lamisma base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir,

an • am = an + m

División de potencias de igual baseEl cociente de dos potencias de igual base equivale a una potencia con la misma base yexponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Es decir,

an : am = an – m

Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponenteEl producto de dos o más potencias de distinta base e igual exponente equivale auna potencia de igual exponente y base igual al producto de las bases de los fac-tores. Es decir,

am • bm = (a • b)m

1

8

18 8 8

15123 = =i i

34

43

169

2 2( ) = ( ) =−

División de potencias de distinta base e igual exponenteEl cociente de dos potencias de distinta base e igual exponente equivale a una po-tencia de igual exponente y de base igual al cociente entre la base del dividendo yla base del divisor. Es decir,

am : bm = (a : b)m

Potencia de una potenciaLa potencia de una potencia equivale a la base elevada al producto de los exponentes.Es decir,

(an)m

= an • m

• Al calcular potencias es importante que tenga en cuenta algunas consideraciones:

– La adición iterada de un mismo número puede escribirse en forma de producto,por ejemplo: 5 + 5 + 5 = 5 • 3 = 15. En cambio, la multiplicación de factoresiguales, como: 5 • 5 • 5, puede escribirse como potencia, es decir,5 • 5 • 5 = 53 = 125.En general: n • a ≠ an

– No son distributivas respecto a la adición y sustracción, por ejemplo:(2 + 4)2 = 62 = 36. En cambio: 22 + 42 = 4 + 16 = 20.En general: (a ± b)n ≠ an ± bn

– No son conmutativas, excepto cuando la base y el exponente tienen el mismovalor (como 33), por ejemplo: 23 = 8. En cambio 32 = 9.En general: ab ≠ ba

– Observe y diferencie los siguientes casos:

a) b)

• Las propiedades de las potencias, estudiadas en este curso, se pueden aplicar encasos en que, para facilitar los cálculos, es conveniente representar númerosgrandes como un producto de un número natural por una potencia de 10 deexponente natural, estudiado en 7º Básico. Por ejemplo:

20 • 109 – 7 = 20 • 102 = 2 • 101 • 102 = 2 • 103

En estos casos, en que se pueden escribir los números de forma abreviada, utilizandopotencias de base 10, se puede usar notación científica.

2 2 642 63( ) = =2 2 2562 83= =

3. (–2)–2 = 12

12 2

142−( )

= − − =i

ab

ab

ab

ab

a

b

n n

n( ) = =i i i. . .

35 1

0( ) =

4000 5 000 00010 000 000

4 10 53i i i i

=( ) 10

1 10

20 10

10

6

7

9

7( )

= =i

i

ab a

bab

b

a

ba

n

n n

n

n

n

n( ) =

( )= = = ( )− 1 1

n factores

• Un número real x escrito en notación científica, es de la forma:

x = a • 10n, con 1 ≤ a < 10 y n un número entero

Ejemplos:

400 000 000 = 4 • 108

0,0005 = 5 • 10–4

Más información acerca de las potencias y ejercicios:• Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra (p. 104–117).

Santiago: Santillana.

En las páginas 60, 61, 62 y 63 del Texto del Estudiante se trabajan los conceptos decrecimiento y decrecimiento exponencial. Cabe destacar que dichos conceptos sontratados de forma simple, pues se estudiarán con profundidad en cursos posterio-res. En estas páginas se mencionan algunas funciones exponenciales, como f(x) = 2x

y g(x) = � �x

, con dominio en los números naturales más el cero. Además, se men-

cionan algunos conceptos relacionados a las funciones, como variables dependien-tes e independientes, pero se introducen sin ser definidos formalmente, pues la ideaes que el alumno o alumna se familiarice con ellos de forma natural e intuitiva.

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas sobre función exponen-cial, crecimiento y decrecimiento exponencial.

Función exponencialUna función exponencial es toda función cuya variable se encuentre en el exponentede una potencia. En general, una función exponencial es de la forma f(x) = ax, cona ∈ �+ – {1} y x ∈ �. Esta función posee las siguientes características:

• El dominio de la función son los números reales. • El recorrido de la función son los números reales positivos.• La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).• Si a > 1, la función es creciente y si 0 < a < 1, la función es decreciente.

Una función se dice creciente si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2). En cambio, si cuando

x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2), la función se dice que es decreciente.

13

En los siguientes ejemplos, se muestran dos funciones exponenciales y su repre-sentación gráfica.

f(x) = 2x con x ∈ �, es creciente g(x) = � �x

con x ∈ �, es decreciente

El caso particular p(x) = 1x, con x ∈ �, corresponde a una función constante, por loque no se habla de función exponencial.

Crecimiento exponencialSi el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f(x) = c • ax,con c > 0, a > 1, se dice que crecen exponencialmente, o bien, que presentan uncrecimiento exponencial.

Por ejemplo: el número de un tipo de bacterias de un cultivo está dado por la fórmulaB(t) = 600 • e0,55 • t, donde t se mide en horas.

Decrecimiento exponencialSi el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la funcióng(x) = c • ar • x, con c > 0, a > 1 y r < 0, se dice que decrecen exponencialmente,o bien, que presentan un decrecimiento exponencial.

Por ejemplo: la cantidad de un tipo de sustancia radiactiva en un organismo muertoque queda después de x años está dada por P(t) = 500 • e–0,000115 • x mg.

Bibliografía• Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México:

Grupo Editorial Iberoamérica.• Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Cali: Universidad del Valle.

13


Las bacterias son los organismos más abundantes del planeta; crecen en el suelo,en desechos radioactivos, incluso en las profundidades del mar; están presentes entodo hábitat de la Tierra. En la industria, son importantes para producir queso, yogur, mantequilla, entre otros. Algunas de ellas pueden causar graves enfer-medades infecciosas; para estudiar las bacterias causantes de enfermedades y los



antibióticos sensibles a dichas bacterias, se siembran en medios de cultivo especiales.Con esto, se pretende utilizar el propio entorno como medio de exploración y análisis,activar sus conocimientos y experiencias previas.

Estas preguntas se enmarcan en una situación real, que requiere reflexión y asociacióncon la actividad inicial de la Unidad. Se pretende que, a través de la imagen, la infor-mación entregada al respecto, las preguntas planteadas y su propia experiencia, losalumnos y alumnas reconozcan que, en ciertos casos, se pueden usar las potenciaspara resolver problemas y facilitar los cálculos.


Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos para eldesarrollo de la actividad exploratoria.

Las bacterias son los seres vivos más pequeños y más simples desde el punto de vistaestructural. A pesar de su simplicidad estructural, las bacterias son seres complejos y di-versificados desde un punto de vista bioquímico, lo que ha permitido su adaptación alas más variadas condiciones de vida.

Aunque muchas especies tienen formas irregulares, en general, las bacterias presentanalgunas formas básicas: las cocáceas o cocos (forma esférica); los bacilos (forma cilín-drica); las espiroquetas (forma de espiral), y los vibriones (forma de coma).

Las bacterias se reproducen por simple división. De esta manera, a partir de una bac-teria progenitora se generan dos bacterias hijas y, si cada una de estas se duplica, luegoexistirán cuatro. La cantidad de bacterias presentes en un medio determinado, dondeexistan condiciones óptimas de nutrientes, temperatura, luminosidad, entre otros fac-tores, puede aumentar en el tiempo en forma exponencial (1, 2, 4, 8, 16, etc.).


De refuerzo

1. Un cultivo se inicia con 4000 bacterias, las que se duplican cada dos horas.

a) ¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas?b) ¿Después de cuantas horas hay 128 000 bacterias?


De profundización

1. En un laboratorio de microbiología un cultivo de bacterias comenzó a las 9:30 horasy se inicia con 500 bacterias, las que se duplican cada una hora.

a) ¿Cuántas bacterias hay a las 12:30 horas del mismo día?b) ¿A qué hora hay 256 000 bacterias?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, conectar y calcular).

87 Unidad 2 – Potencias

Período detiempo (30 min)

0 1 2

Cantidad debacterias 10 000 • 20 = 10 000 10 000 • 21 = 20 000 10 000 • 22 = 40 000


Conversemos de...Ítems 1, 2 y 3: analizar, representar y calcular.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en vozalta y, luego, puede preguntarles qué saben sobre las potencias, el cálculo de estasy la resolución de problemas.

Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquemao mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto desus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabaja-dos en años anteriores, los que les servirán para lograr los aprendizajes esperadosde esta Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan pregun-tas como las siguientes:

• ¿Qué significa que el número de bacterias se duplica cada media hora?• ¿Cuál será la cantidad de bacterias al cabo de media hora?, ¿por qué?

Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una deellas, con una tabla que muestre la cantidad de bacterias por período de tiempo(30 min), o bien, utilizando la función: y = 10 000 • 2x, donde x representa los pe-ríodos de tiempo, que son de media hora e y es la cantidad de bacterias (las fun-ciones se estudiarán más adelante); también podría explicar el crecimiento de lapoblación bacteriana utilizando un gráfico. Por ejemplo, si utiliza el procedimientocon tabla:

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar lassiguientes preguntas:

• ¿Qué enfermedades pueden causar las bacterias?• ¿Existen enfermedades mortales causadas por bacterias?, ¿cuáles?• ¿Para qué se utilizan los antibióticos?





Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientosprevios de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye lossiguientes criterios:

Ítem 1: representar como potencia expresiones en lenguaje natural.Ítem 2: representar como multiplicación una potencia.

Ítem 3: representar como multiplicación una potencia y calcular su valor.Ítem 4: analizar igualdades con potencias e identificar el exponente que falta.Ítem 5: resolver problemas que involucran potencias y justificar la estrategia empleada.Ítem 6: resolver un problema que involucra una potencia de base y exponente natural.


¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: representar.Ítem 3: representar y calcular.Ítem 4: analizar e identificar.Ítem 5: analizar, resolver problemas, calcular y justificar.Ítem 6: analizar y calcular.


• En los ítems 1, 2 y 3, pueden confundir la base con el exponente. Es recomendablerecordar que el exponente indica la cantidad de veces que se repite el factor.

• En el ítem 4, la incógnita está en el exponente. Es conveniente que escriban el valorde la potencia, como potencia, pues de este modo encontrarán el exponente que

falta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se estudia-rán en cursos posteriores.

• En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría sercomplejo para el alumno o la alumna. Para ello, se recomienda que continua-mente justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprendenlo que están realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argu-mentar, exponer ideas y opiniones bien fundamentadas.

• En el ítem 6, el número de personas podría ser un distractor para los y las estu-diantes. Si es necesario, sugiera que empleen diversas estrategias, como dibujos,o bien, un diagrama de árbol.

• Se sugiere corregir en conjunto con los y las estudiantes la sección ¿CUÁNTOSABES? y analizar los errores cometidos para corregirlos. De este modo, podrá evi-denciar los aprendizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aúnno se adquieren.




1Escribe correctamente las potenciascorrespondientes, agregando otrosejemplos pertinentes.

Escribe correctamente las potenciascorrespondientes, aplicando su definición.

Escribe erróneamente algunas de laspotencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe erróneamente todas laspotencias, confundiendo la base con el exponente.

2Escribe correctamente el desarrollo delas potencias, agregando otros ejemplos pertinentes.

Escribe correctamente el desarrollo delas potencias, aplicando la definiciónde potencia.

Escribe erróneamente el desarrollo dealgunas de las potencias, confundiendola base con el exponente.

Escribe erróneamente el desarrollo de todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

3

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula correcta-mente las potencias, empleando unaestrategia mental.

Escribe como multiplicación de factoresiguales y calcula correctamente laspotencias, aplicando la definición de potencia.

Escribe como multiplicación de factoresiguales y calcula erróneamente algunade las potencias, confundiendo la basecon el exponente.

Escribe como multiplicación de factoresiguales y calcula erróneamente todas las potencias, confundiendo la base conel exponente.

4Identifica correctamente los expo-nentes, usando una estrategia mental.

Identifica correctamente losexponentes, aplicando la definiciónde potencia.

Identifica correctamente algunos delos exponentes, aplicando la definiciónde potencia.

Identifica erróneamente todos losexponentes, aplicando la definición de potencia.

5

Resuelve correctamente los problemasdados, indicando de forma detalladacada uno de sus pasos y justificando laestrategia empleada.

Resuelve correctamente los problemasdados, indicando de forma detalladacada uno de sus pasos sin justificar laestrategia empleada.

Resuelve erróneamente uno de losproblemas dados, calculando de formaincorrecta y sin responder todas laspreguntas planteadas en cada uno de ellos.

Resuelve erróneamente cada uno de losproblemas dados, calculando de formaincorrecta, sin responder todas las pre-guntas planteadas en cada uno de ellos,y no justifica la estrategia empleada.

6Resuelve correctamente el problema,indicando detalladamente los pasos de resolución.

Resuelve correctamente el problema;no indica todos los pasos de resolución.

Resuelve erróneamente el problema,calculando de forma incorrecta la potencia.

Resuelve erróneamente el problema,confundiendo la base con el exponenteal calcular.




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural […].


Para discutirÍtem 1: calcular y justificar.Ítem 2: representar y analizar.Ítem 3: analizar, representar y justificar.Ítem 4: representar, calcular y justificar.

Se lee PotenciaMultiplicación defactores iguales

Valor de lapotencia

Menos cuatro elevado a tres

–32

(–7) • (–7) • (–7) • (–7) • (–7)

27

a b (a + b)2 a2 + b2 (a – b)2 a2 – b2

3 –2

–4 3

–2 –5

1 –1

ActividadesÍtem 1: representar.Ítem 2: representar y calcular.Ítem 3: analizar e identificar.Ítem 4: evaluar, calcular, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a ampliar el concepto de potencia a los números negativos, es decir,a las potencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que elalumno o alumna relacione sus conocimientos previos, asociados a las potencias debase y exponente natural, y los utilice para calcular y escribir potencias de base enteray exponente natural. Además, aplicarán lo aprendido en la Unidad 1 sobre multipli-cación de números enteros.


• Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escribiríanen forma de potencia algunas multiplicaciones de factores iguales y, luego, pídales quelas resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser: 2 • 2 • 2 y 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5. Permítalesque comparen las respuestas obtenidas.

• En el ítem 2, puede pedir a los y las estudiantes que comparen los valores de las po-tencias con el resto de sus compañeros y compañeras y, luego, determinar cuál es lasolución correcta en cada caso.

• En el ítem 3, al no tratarse de un cálculo de potencias propiamente tal, sino que,deben encontrar el exponente, podrían confundirse. Es conveniente que es-criban el valor de la potencia, como potencia, para encontrar el exponente quefalta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se es-tudiarán en cursos posteriores.

• En el ítem 4, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan dar respuesta a las pre-guntas planteadas mostrando, si es necesario, algunos ejemplos concretos. Luego,comparen las respuestas en conjunto para llegar a una puesta en común.


• Recuerde a los y las estudiantes el diagrama de árbol, pues les servirá para resolverla situación inicial propuesta u otras similares; incluso su utilidad va más allá delas potencias; servirá para las probabilidades, más adelante.

Podría hacer una parte del diagrama de árbol en la pizarra, para que los alum-nos y alumnas lo terminen en sus cuadernos. Por ejemplo:


Menú

• Destaque la diferencia entre casos como: –42 y (–4)2, pues –42 = –16 y (–4)2 = 16.Para generalizar, puede escribir: Si a es un número natural y b es un número natu-ral y par, entonces:

–ab ≠ (–a)b


De refuerzo


(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular).

De profundización


(Habilidades que desarrolla: evaluar y calcular).


crema

consomé

ensalada

pescadocarne pollo

pescadocarne pollo

pescadocarne pollo




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural […].


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, generalizar y justificar.Ítem 4: analizar y justificar.

ActividadesÍtem 1: calcular.Ítem 2: analizar y justificar.Ítem 3: calcular y clasificar.

Herramientas tecnológicasUsar herramientas y verificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter explorato-rio y están orientadas a emplear estrategias de cálculo mental y escrito en el uso depotencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que el alumnoo alumna generalice respecto de la relación del exponente con el signo del valor dela potencia, cuando estas tienen base entera.


• En el ítem 1, si algunos alumnos o alumnas no pueden realizar el cálculo mental,permítales que escriban las potencias como multiplicaciones de factores igualesy, luego, calculen.

• En el ítem 2, puede perdirles a los y las estudiantes que expliquen sus estrategiasempleadas al resto del curso; cómo determinaron si las expresiones son o no ver-daderas, promueva el debate entre los alumnos y alumnas. Si es necesario, sugie-ra que evalúen casos particulares, por ejemplo, en la primera afirmación, podríananalizar a partir de: 24 = 16 y (–2)4 = 16.

• En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas si pueden comparar las potenciassin calcular su valor, solo analizando cada una, para favorecer el cálculo mental.Luego, pregunte cómo lo hicieron y, si es necesario, escriba más ejercicios de estetipo en la pizarra.


Recuerde a los alumnos y alumnas la diferencia entre adición de sumandos iguales(estudiada en la Unidad 1) y multiplicación de factores iguales. Puede utilizar lossiguientes ejemplos:

a) 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 4 = 8 b) 2 • 2 • 2 • 2 = 24 = 16

Para gereralizar en estos casos, puede mencionar que, si a es un número entero y bun número natural, entonces:

a • b ≠ ab


(–3)2

33

(–3)3

34

(–2)3

–8

9

–27

81

27

Base Exponente Potencia Valor de la potencia

–2 64

2 121

5 –243

–4 256

–5 –125


De refuerzo

1. Calcula el valor de cada potencia y, luego, ordena los valores obtenidos enorden creciente.

a) 42 =b) (–1)10 =c) (–2)7 =d) (–2)2 =e) (–11)3 =f) 1003 =

2. Une cada potencia con el valor correcto.

(Habilidades que desarrollan: calcular, ordenar y relacionar).

De profundización


(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y calcular).




• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedadesrelativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y expo-nente natural, […].


Para discutirÍtem 1: formular y justificar.Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: representar, analizar y justificar.

ActividadesÍtem 1: aplicar y calcular.Ítem 2: reconocer.Ítem 3: representar y aplicar.Ítem 4: aplicar y calcular.Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando semultiplican potencias de igual base. Esta actividad pretende que el alumno o alumnaaplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, queanalice si se puede ampliar a potencias de base entera negativa y exponente natural.


• Antes de comenzar el ítem 1, se sugiere que plantee a los y las estudiantes expre-siones con potencias de base y exponente natural, pues, a partir de susconocimientos previos, podrán integrar el conocimiento nuevo.

• En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, losalumnos y las alumnas pueden utilizar calculadora científica para calcular el valorde cada potencia.

• En el ítem 3, recuerde que si el valor de la potencia es positivo, la base puede serpositiva o negativa; si se trata de este último caso, el exponente es par, como en:25 • (–125) = (–5)2 • (–5)3 = (–5)5.

• En el ítem 4, mencione a los alumnos y alumnas que la propiedad de potenciasestudiada se aplica en la multiplicación de potencias de igual base, y no en laadición de potencias de igual base. Por ejemplo: 22 + 23 ≠ 22 • 23, pues22 + 23 = 4 + 8 = 12 y 22 • 23 = 25 = 32.

• En el ítem 5, mencione a los alumnos y alumnas que las situaciones se podríanresolver empleando otros procedimientos, como el diagrama de árbol, pero queen casos como estos, es más conveniente usar potencias y sus propiedades parafacilitar los cálculos.


Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desa-rrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base paraexplicar dicha propiedad. Por ejemplo:

52 • 53 = (5 • 5) • (5 • 5 • 5) = 55 = 52 + 3

(–7)4 • (–7)2 = (–7 • –7 • –7 • –7) • (–7 • –7) = (–7)6 = (–7)4 + 2


De refuerzo

1. Escribe cada multiplicación como una sola potencia.

a) 3 • 35 • 33 =

b) (–10)3 • (–10)5 • (–10)4 =

c) (–9)6 • (–9)9 • (–9)5 =

d) 114 • 119 =

2. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como unasola potencia.

a) 64 • (–512) =

b) 10 • 100 • 10 000 =

c) 64 • (–32) • 16 =

d) (–216) • 36 =

(Habilidades que desarrollan: representar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Determina el valor de x para se cumpla cada igualdad.

a) 4x • 42 = 4096

b) 5 • 5x • 52 = 3125

c) (–2)3 • (–2)x = –128

d) (–3)x • (–3)3 = 729

e) (–2)4 • (–2)3 • (–2)x = 256

f) (–6)x • (–6) = –216

(Habilidades que desarrolla: aplicar, identificar y calcular).







Para discutirÍtem 1: calcular y justificar.Ítem 2: representar y relacionar.Ítem 3: analizar y justificar.

para explicar dicha propiedad. Además, destaque que una división también puedeescribirse como fracción. Por ejemplo:

55 : 52 = 53 = 55 – 2

• Mencione que en este curso aplicarán la propiedad solo cuando el exponente deldividendo es mayor que el exponente del divisor. La ampliación a potencias debase racional y exponente entero la estudiarán en 1º Medio. Por ejemplo:


De refuerzo

1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

a) 37 : 33 =

b) (–11)7 : (–11)4 =

c) 125 : 125 =

d) (–8)10 : (–8)8 =

2. Resuelve las siguientes divisiones, usando las potencias y la propiedad aprendida.

a) 1000 : 102 =

b) 64 : (–32) =

c) 81 : (–9) =

d) (–216) : 36 =

(Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

De profundización

1. Determina el valor de x, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) 54 : 5x = 25

b) (–2)8 : (–2)x = –32

c) (–10)x : (–10)4 = 1000 000

d) 83 : 8x = 64

e) (–2)x : (–2)5 = –8

f) (–2)x : (–2)5 = 16

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

5

5

5 5 5 5 55 5

5

2 = =i i i ii


ActividadesÍtem 1: aplicar, calcular y usar herramientas.Ítem 2: analizar e identificar.Ítem 3: representar y aplicar.Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando sedividen potencias de igual base. Esta actividad pretende que el alumno o alumnaaplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, queanalice si se puede ampliar a potencias de base entera negativa y exponente natural.


• En el ítem 1, los y las estudiantes deben comprobar los resultados obtenidos usando calculadora científica. Para calcular usando dicha herramienta teconoló-gica, deben calcular el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, dividirestos valores.

• En el ítem 2, los alumnos y alumnas pueden verificar usando calculadora cientí-fica; puede enseñarles a ingresar la expresión completa en la calculadora, en vezde calcular el valor de cada potencia una a una. Debe ingresar la expresión de lasiguiente forma:

No olvide que si la potencia tiene base negativa, debe usar los paréntesis de la calculadora.

• En el ítem 3, es conveniente que recuerde a los y las estudiantes que si el valor dela potencia es positivo, la potencia puede ser de base negativa con exponente par.Por ejemplo: 25 = (–5)2.

• En el ítem 4, deben calcular el área de los rectángulos; para ello, recuerde que elárea de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho. Además, paracalcular el área del rectángulo azul debe aplicar la propiedad estudiada anterior-mente, es decir:

24 • 23 = 27


• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que de-sarrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base

7 ∧ 10 ÷ 7 ∧ 4 =

� �2

: � �4

= � �2 – 4

= � �–21

212

12

12






Para discutirÍtem 1: analizar. Ítem 2: representar y conectar.Ítem 3: calcular y conectar.Ítem 4: calcular, reconocer y justificar.

ActividadesÍtem 1: aplicar.Ítem 2: aplicar y calcular.Ítem 3: calcular y analizar.Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando semultiplican potencias de igual exponente. Esta actividad pretende que el alumno oalumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego,que analice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.

Es conveniente que antes de analizar la actividad inicial, recuerde que para calcular elvolumen de un paralelepípedo se multiplica el ancho por el largo por el alto. Por otrolado, recuerde que la multiplicación entre dos números enteros es conmutativa, esdecir, (2 • 2) • (3 • 3) = (2 • 3) • (2 • 3).


• En el ítem 1, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos al aplicarla propiedad estudiada, pídales a los y las estudiantes que resuelvan paso a pasocada expresión, sin aplicar la propiedad. Por ejemplo:

34 • 44 = (3 • 3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4 • 4) = (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) = (3 • 4)4 = 124

• En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que losresultados obtenidos son correctos, usando calculadora científica. Para calcular,usando dicha herramienta teconológica, deben calcular el valor de cada poten-cia con la calculadora y, luego, multiplicar los valores obtenidos.

• En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas la estrategia empleada para res-ponder; discutan al respecto para hacer una puesta en común. En los casos en que las bases son iguales y los exponentes también lo son, sepueden aplicar ambas propiedades, pues, si a es un número entero y n un númeronatural, entonces:

ab • ab = ab + b = a2b (multiplicación de potencias de igual base)

ab • ab = (a • a)b = (a2)b

= a2b (multiplicación de potencias de igual exponente)

• En el ítem 4, deben calcular el área y volumen del rectángulo y prisma recto, res-pectivamente; para ello, recuerde que el área de un rectángulo se calcula multi-plicando el largo por el ancho y el volumen multiplicando el ancho por el largopor el alto.


• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarro-lle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponente paraexplicar dicha propiedad. Por ejemplo:

a) 72 • 52 = (7 • 7) • (5 • 5) = (7 • 5) • (7 • 5) = (7 • 5)2 = 352

b) (–2)3 • (–5)3 = (–2 • –2 • –2) • (–5 • –5 • –5)= (–2 • –5) • (–2 • –5) • (–2 • –5) = (–2 • –5)3 = 103

• Es importante recordar que un prisma es un poliedro que tiene dos caras basalesparalelas e iguales y sus caras laterales son paralelógramos. La línea que se formaal intersectarse dos caras es una arista. Los puntos donde concurren tres aristasse llaman vértices. Los prismas rectos son aquellos en que sus caras basales sonperpendiculares a sus caras laterales.


De refuerzo


a) 27 • 37 =

b) (–11)5 • (–10)5 =

c) 125 • 125 =

d) (–10)10 • (–1)10 =

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones usando las potencias y la propiedad aprendida.

a) 1000 • 53 =

b) 64 • 36 =

c) 92 • 16 =

d) (–216) • (–2)3 =


De profundización

1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) 54 • x4 = 10 000

b) (–2)3 • x3 = –216

c) x2 • (–6)2 = 3600

d) 23 • x3 = 64






• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de poten-cias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedadesrelativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponentenatural, […].


Para discutirÍtem 1: calcular y justificar.Ítem 2: representar y calcular.Ítem 3: calcular y conectar.Ítem 4: calcular, reconocer y justificar.

ActividadesÍtem 1: aplicar.Ítems 2 y 3: aplicar y calcular.Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando sedividen potencias de igual exponente. Esta actividad pretende que el alumno o alumnaaplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, queanalice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.


• En el ítem 1, para verificar que la potencia obtenida es correcta al aplicar lapropiedad, pida a los alumnos y alumnas que resuelvan paso a paso las expresiones,sin aplicar la propiedad.

• En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que losresultados obtenidos son correctos usando calculadora científica. Para calcular usan-do dicha herramienta teconológica, deben determinar el valor de cada potenciacon la calculadora y, luego, dividir los valores obtenidos.

• En el ítem 3, se sugiere recordar a los y las estudiantes la prioridad de las ope-raciones, es decir, primero paréntesis, luego, multiplicación y división y, finalmente,adición y sustracción.

• En los ítems 4 y 5, una vez resueltos los problemas, pida a los alumnos y alumnasque verifiquen las soluciones obtenidas; para ello deberán aplicar una de laspropiedades de potencias estudiada en las páginas anteriores (multiplicación de po-tencias de igual exponente), o bien, las pueden verificar usando un diagrama de árbol.


• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarro-lle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponentepara explicar dicha propiedad. Por ejemplo:

202 : 52 = = (20 : 5)2 = 42

(–12)3 : (–3)3 = = 43

20

5

20 205 5

205

205

205

2

2

2= = = ( )i

i i

−( )−( )

= − − −− − − = −12

312 12 12

3 3 3123

3i ii i −−

−−

−− = −

−( )3123

123

123

3i i


De refuerzo


a) 126 : 36 =

b) 1105 : (–10)5 =

c) 125 : 125 =

d) (–10)6 : (–1)6 =

2. Resuelve las siguientes divisiones usando las potencias y la propiedad aprendida.

a) 1000 : 53 =

b) –216 : 23 =

c) (–16)2 : 4 =

d) (–100 000) : (–2)5 =


De profundización


a) 104 : x4 = 625

b) (–12)3 : x3 = –27

c) x6 : 26 = 1 000 000

d) (–20)3 : x3 = –64








Para discutirÍtem 1: evaluar y comprobar.Ítem 2: analizar y seleccionar.Ítem 3: calcular y conectar.

ActividadesÍtem 1: representar y aplicar.Ítem 2: aplicar y calcular.Ítem 3: aplicar e identificar.Ítem 4: aplicar y representar.Ítem 5: analizar, justificar y verificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; la poten-cia de una potencia. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dichapropiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si sepuede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.


• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente recordar que un cubo es un prismaformado por 6 caras cuadradas e iguales. Dibuje un cubo en la pizarra y preguntea los y las estudiantes cuántos vértices y aristas tiene e identifíquelos.

• En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, permítalesa los alumnos y alumnas utilizar calculadora científica, calculando como multiplicación de factores iguales, por ejemplo, en la expresión (32)

4, calcular

3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3.

• En el ítem 3, para verificar que el exponente encontrado es correcto, pídales a losy las estudiantes que resuelvan paso a paso cada expresión y, luego, comparen elvalor obtenido al multiplicar los factores iguales con el valor de la potencia usandocalculadora científica.

• En el ítem 4, para comprobar los resultados obtenidos, es conveniente que los alum-nos y alumnas usen calculadora científica. Pueden calcular cada expresión sin aplicarlas propiedades de las potencias y, luego, calcular el valor de la potencia obtenida,por ejemplo: (82 : 22)

3= (64 : 4)3 = 163 = 4096 y 212 = 4096.

• En el ítem 5, pida a los y las estudiantes que expliquen al resto del curso la estrate-gia empleada para responder la pregunta. Escoja a algunos alumnos y alumnaspara que escriban sus ejemplos en la pizarra.


• Para evitar confusiones en los y las estudiantes, recuerde que un poliedro es uncuerpo geométrico cuyas caras son figuras planas. Un prisma es un poliedro quetiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras laterales son paralelogramos.El cubo es un prima recto.

• Sobre los prismas rectos es importante tener presente lo siguiente: si la base tienen lados, entonces el número de caras del prima es n + 2, el de aristas es 3n y elnúmero de vértices es 2n.

• El volumen de un cuerpo indica la medida que ocupa dicho cuerpo en el espacio.

• Recuerde que se deben igualar las unidades de medida antes de resolver un ejer-cicio o problema.

• El área de cada cara de un cubo cuya arista mide a, es igual a2.

• El área total de un cubo cuya arista mide a, es igual es 6 • a2.

• El volumen de un cubo cuya arista mide a, es igual a3.


De refuerzo


a) (42)4

= d) �(–2)5�

2

=

b) [(–3)3]2

= e) ��(–1)6�2�3

=

c) [(–7)2]3

= f) ��(–4)2�3�2

=

2. Escribe como potencia de una potencia de base 2, (–2), 3 ó (–3), segúncorresponda.

a) 93 =

b) 163 =

c) (–8)4 =

d) (–27)3 =


De profundización


a) (36)3

= (32)x

b) [(–6)x]4

= (–6)24

c) �(42)x�

6= 436

d) [(–16)2]x

= (–16)22







• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […],potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, en-fatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resulta-dos obtenidos.


Estrategia mentalConectar y calcular.

En equipoÍtems 1 y 2: representar.Ítem 3: integrar, analizar y calcular.Ítem 4: analizar y aplicar.


• En la sección ESTRATEGIA MENTAL, guíe a los alumnos y alumnas para que puedanaplicar la estrategia presentada. Mencione que la estrategia es muy útil para deter-minar con mayor rapidez los valores de las potencias de base entera y exponente 2.

• En la sección EN EQUIPO, es conveniente que constate que en los cubos construi-dos por los y las estudiantes la arista efectivamente mide 4 cm, pues si necesitanmedir para completar la tabla, las medidas de los cubos deben ser las indicadas.


De refuerzo

1. Calcula mentalmente aplicando la estrategia aprendida.

a) (–10 005)2 = b) (–195)2 = c) (–2005)2 = d) 1152 =

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

De profundización

1. Si tienes 64 cubos de arista 8 cm, y con ellos forman un cubo grande, responde:

a) ¿Cuál es la medida de la arista del cubo grande?b) ¿Cuál es el área de cada cara del cubo grande?, ¿cuál es su área total?

c) ¿Cuál es el volumen del cubo grande?d) Si elevas a 3 el volumen del cubo grande, ¿cómo lo expresarías en forma de

una sola potencia de base 2?

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, representar y calcular).


Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, sepresenta la evaluación formativa MI PROGRESO.


Mi progresoÍtem 1: aplicar.Ítem 2: analizar y representar.Ítem 3: analizar y aplicar.


• En los ítems 1, 2, 3 y 4, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomen-dable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente allado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En el ítem 5, es posible que los y las estudiantes no distingan qué operacionesdeben realizar. Para guiarlos, puede construir un diagrama de árbol en la pizarra,en el cual sea posible deducir el número de poleras para poder formar 64 tenidas.

• En el ítem 6, recuerde a los alumnos y alumnas que la arista se duplica y, luego,deben expresar la arista como potencia de base 2, para calcular el volumen.




5Analiza y aplica correctamente lapropiedad de potencias en el problema,empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamente lapropiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partesdel problema, sin usar potencias para resolver.

Analiza y calcula erróneamente elproblema, confundiendo las potencias ysus propiedades.

6Analiza y aplica correctamente lapropiedad de potencias en el problema,empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamentela propiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partesdel problema, sin expresar el resultadocomo potencia de base 2.

Analiza y calcula erróneamente elproblema, sin expresar el resultadocomo potencia de base 2.

Ítem 4: calcular.Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.Ítem 6: analizar y aplicar.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 5 y 6.


5. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) 62 : (–2)2 + (–3)3 = i) (–3)3 • (–2)3 =

b) 52 : 52 – 113 : 113 = j) 43 • (–1)3 • 33 =

c) (–30)2 : 32 + 32 • 22 = k) (–25)3 • (–25)3 =

d) 253 : (–5)3 = l) 3 • 32 – 4 • 42 =

e) (–14)8 : (–14)5 = m)(–5)2 • (–1)2 + 4 • 42 =

f) (–100)3 : 253 = n) 62 : 62 – 112 : 11 =

g) 324 : 84 = ñ) [(–10)2]4

– 10052 =

h) 72 • (–3)2 = o) �(22)2�

2– ��(–2)2�2�

2=

6. Resuelve los siguientes problemas, usando potencias para resolver.

a) En un edificio de 32 pisos, cada piso tiene 8 departamentos y en cada depar-tamento hay 2 baños. ¿Cuántos baños hay en total?

b) En una tienda de ropa hay 25 zapatos de distinto tipo, 125 diseños de blusasy 25 tipos de pantalones. Si se quiere escoger una tenida cualquiera, ¿cuán-tas opciones hay?

c) La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica, ¿cuál es el volumen del nuevocubo expresado como potencia de base 3?

d) El área de un rectángulo es 216 cm2. Si el ancho mide 8 cm, ¿cuánto mideel largo?

e) El volumen de un paralelepípedo es 602 cm3. Si el ancho mide 32 cm, el largomide 42 cm, ¿cuánto mide el alto?

De profundización

Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.

1. La expresión (–5)3 • (–5)3 equivale a:

A. 256

B. 253

C. (–25)3

D. 259

a b c a6 : a2 a3 • b3 • c3 (c2)3

a4 : b4

8 2 –4

25 5 10

27 27 3

–64 8 –4

–1000 –100 –10

–1 1 1

50 –2 10


De refuerzo


1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. Al dividir potencias de igual exponente (natural), se conserva la base (entera)y se restan los exponentes.

II. Al multiplicar potencias de igual base (entera), se conserva la base y los expo-nentes (naturales) se suman.

III. Al dividir potencias de igual exponente (natural), las bases (enteras) se divideny se conserva el exponente.


2. Para que la igualdad: [(–2)x]3

= –512, sea verdadera, el valor de x es:

A. 6 C. 3 B. 9 D. 2

3. La expresión (–14)6 : 26, equivale a:

A. (–7)6

B. –76

C. (–7)12

D. 1

4. Completa la siguiente tabla, escribiendo cada expresión como una sola potencia.




I. (–12)4 : (–12)4 = 1II. (–6)5 • (–6)5 = 3610

III. 22 • 23 – (–10)2 : 52 = 28

A. Solo IB. Solo IIC. I y IIID. II y III

3. Completa la siguiente tabla escribiendo cada expresión como una sola potenciade base 2, (–2), 3 ó (–3), según corresponda.

4. Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado: un sabormás una salsa por $ 500. ¿Cuántas combinaciones de helado distintas ofrece lagelatería en la promoción, si los sabores de helado y las salsas son las siguientes?Usa potencias para resolver.

Sabor de helado Salsa - chocolate - chocolate- coco - manjar- frutilla - frutilla- vainilla - mora- manjar - piña - frambuesa - lúcuma

a b c a6 : a2 a3 • b3 • c3 (c2)3

a4 : b4

8 2 –4 84 (–64)3 (–4)6 44

25 5 10 254 12503 106 54

27 27 3 274 21873 36 14

–64 8 –4 (–64)4 20483 (–4)6 (–8)4

–1000 –100 –10 (–1000)4 1 000 0003 (–10)6 104

–1 1 1 (–1)4 (–1)3 16 (–1)4

50 –2 10 504 (–1000)3 106 (–25)4

a b c a8 : a5 a2 • b2 • c2 (b2)4

–8 2 –4 (–2)9 212 28

16 2 4 212 214 28

–27 –3 9 (–3)9 312 (–3)8

3 3 3 33 36 38

81 9 –3 312 (–3)14 316

–2 –2 –2 (–2)3 (–2)6 (–2)8

9 3 3 36 38 38

a b c a8 : a5 a2 • b2 • c2 (b2)4

–8 2 –4

16 2 4

–27 –3 9

3 3 3

81 9 –3

–2 –2 –2

9 3 3


De refuerzo

1. D 2. C 3. A

4.

5. a) –18 e) –2744 i) 216 m) 89b) 0 f) –64 j) –1728 n) –10c) 136 g) 256 k) 244 140 625 ñ) 98 989 975d) –125 h) 441 l) –37 o) 0

6. a) 512 b) 78125 c) 312 d) 27 cm e) 25 cm

De profundización

1. B 2. C

3.

4. 25 opciones.




• […], determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias debase fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.


Para discutirÍtem 1: analizar y conectar.Ítem 2: aplicar y calcular.Ítem 3: conectar y justificar.

ActividadesÍtem 1: identificar, aplicar y calcular.Ítem 2: aplicar e identificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base frac-cionaria positiva y exponente natural.


• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que recuerde en la pizarra laspropiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es un número enteroy el exponente es un número natural, pues es parte de los conocimientos previosnecesarios para desarrollar las actividades. Si es necesario, escriba más ejercicios deeste tipo en la pizarra.

• En el ítem 2, para comprobar que el exponente encontrado es correcto, pida alos y las estudiantes que calculen el valor de la potencia y, luego, que calculenpaso a paso las expresiones, sin aplicar propiedades, para que comparen los valo-res obtenidos.


• Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potenciasde igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir fracciones.Es por ello que sería conveniente que recuerde dichas operaciones con fracciones.

• El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corres-ponde al producto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus

numeradores. Por ejemplo: • =

• Dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por

el recíproco de la fracción. Por ejemplo: 7 : = 7 • = =

• Dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el

recíproco de la segunda. Por ejemplo: : = • = = 3 • 54 • 2

52

34

158

25

34

352

7 • 52

52

25

635

37

25

• Al aplicar la propiedad en la división de potencias de igual exponente, resulta:

� �3

: � �3

= � : �3

= � • �3

= � �3

= =


De refuerzo

1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de unasola potencia y calcula su valor.

a) � �5

: � �3

= f) � �2

• � �2

=

b) � �3

• � �4

= g) �� 2

�3

=

c) � �4

: � �4

= h) � �10

: � �8

=

d) � �3

: � �3

= i) � �2

• � �2

=

e) � �6

: � �2

= j) �� 4

�2

=


De profundización

1. Determina el valor de x para que se cumpla cada igualdad.

a) � �x

• � �2

= d) � �x

• � �3

=

b) �� x

�2

= e) � �x

: � �8

=

c) � �2

: � �x

= f) � �x

• =


23

12

23

12

23

21

43

43

336427

12

23

162 401

27

16625

25

25

25900

35

110

35

27125

35

27512

34

436

12

1112

23

1112

910

25

13

16

16

15

15

23

89

14

27

37

37

23

23


En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: • = a • cb • d

cd

ab

En general: si a, b, c son números naturales, entonces: a : = a • = a • cb

cb

bc

En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: : = • = ab

ab

a • db • c

dc

cd




• […], determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación ydivisión de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión apotencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.


Para discutirÍtem 1: analizar y conectar.Ítem 2: analizar, evaluar y justificar.Ítem 3: conectar.Ítem 4: conectar y justificar.

ActividadesÍtem 1: aplicar, analizar y justificar.Ítem 2: identificar, aplicar y clasificar.Ítem 3: aplicar, calcular, generalizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y divisiónde potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base deci-mal positiva y exponente natural.


• Antes de comenzar a desarrollar los ítems, sería conveniente que recuerde en lapizarra las propiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es unnúmero entero y el exponente es un número natural. Además, mencione que laspropiedades se extienden a las potencias de base fraccionaria positiva y exponentenatural y pregunte: ¿ocurrirá lo mismo si la base es decimal positiva?

• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deberán reconocer cuál propiedaddeben aplicar; es por esto que las propiedades anteriormente estudiadas debenser parte de sus conocimientos previos.

• En el ítem 3, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan deducir que losnúmeros, a pesar de estar escritos en distintos registros de representación (frac-ción y número decimal), en algunos casos, representan el mismo valor; por lotanto, las potencias con dichas bases también representarán el mismo valor.

Por ejemplo: (0,5)2 = � �2

.

Es conveniente que les recuerde cómo escribir un número decimal (finito) enforma de fracción y viceversa.


• Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potenciasde igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir númerosdecimales. Es por ello que sería conveniente que les recuerde dichas operacionescon estos números.

• Para multiplicar dos números decimales se pueden multiplicar como si fuerannúmeros naturales y en el producto escribir la coma según la cantidad de cifrasdecimales que tengan en total ambos factores. Por ejemplo: 2,24 • 1,3 = 2,912.

12

• Para dividir dos números decimales o un número decimal por un entero o viceversa,se puede multiplicar el dividendo y divisor por una potencia de base 10 (10, 100,1000, etc.), de tal forma que los números obtenidos sean enteros. Por ejemplo:14 : 0,2 = ? / se multiplica por 10, pues 0,2 tiene una cifra decimal140 : 2 = 70 → 14 : 0,2 = 70


De refuerzo

1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de unasola potencia y calcula su valor.

a) (0,2)3 • (0,2)2 = f) 1,1 • (1,1)3 =

b) (0,4)2 • (0,3)2 = g) (2,5)7 : (2,5)4 =

c) (0,3)10 : (0,3)8 = h) 1002 • 0,62 =

d) 104 : (0,5)4 = i) (0,2)3 : (0,5)3 =

e) [(0,4)3]2 = j) (1,2)2 • (0,3)2 =


De profundización

1. Une el valor correspondiente a cada expresión, expresado como fracción.

[(0,4)3]2

(2,5)2 : (0,2)2

(0,5)2 • 0,5

(0,3)3 • (0,1)3

(0,1)8 : (0,1)2

(Habilidades que desarrolla: identificar, generalizar, aplicar y calcular).

271 000 000

11 000 000

6254

6415 625

18







Para discutirÍtem 1: analizar, calcular y justificar.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: conectar y justificar.Ítem 4: analizar y representar.


Díastranscurridos

Númerode personas

Número de personascomo potencia

Cantidad de dinerorecaudado por día

0 1 30 100 • 30

1

ActividadesÍtem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio yestán orientadas a resolver un problema que involucra potencias de base entera y ex-ponente natural. Esta situación está relacionada con el crecimiento exponencial, enparticular, el crecimiento de una población de bacterias en una hortaliza infectada.


• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el grá-fico del crecimiento de una población de bacterias, propuesto en la página 61 delTexto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos en gráfico dela actividad.

Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de repre-sentación: con una tabla, con gráfico, con un diagrama de árbol, con funciones.Esta última se estudiará más adelante, por lo que no es necesario que se repre-sente. Pida a sus alumnos y alumnas que construyan el diagrama de árbol querepresenta la situación.

• Para responder la segunda pregunta del ítem 1, el concepto de variable dependientee independiente aún no se ha formalizado. Los alumnos y alumnas deberán respon-der de acuerdo a su intuición y experiencia.


Mencione a los y las estudiantes que el crecimiento exponencial es una función en laque se utilizan potencias con base mayor que uno, que estudiarán en cursos poste-riores y que es usada para describir el crecimiento de una población de animales obacterias. Algunos ejemplos de situaciones que pueden representar crecimientoexponencial son:

• El aumento de la población del mundo, la cual crece a una determinada tasa.

• Un cultivo de bacterias que crece bajo condiciones favorables.

• Una población de ranas que crecen en un estanque.


De refuerzo

1. Pedro organiza una campaña solidaria con el fin de recaudar dinero para unaprotectora de animales; el primer día, le informa a 3 amigos: cada uno dona $ 100y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 100 a otras 3 amistadesdiferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 100 aotras 3 personas diferentes el tercer día, y así, sucesivamente, los siguientes días.

Completa la siguiente tabla y responde.

a) ¿Cuánto dinero juntaron el tercer día?, ¿y el sexto?b) ¿Qué variable depende de la otra?, ¿por qué?

(Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calculary representar).

De profundización

1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento:

a) construye el gráfico que relaciona los días transcurridos con el número de personas.

b) construye el diagrama de árbol correspondiente.

2. ¿Cuánto dinero juntaron en total al finalizar el quinto día?, ¿y el sexto?, ¿cómolo supiste?

(Habilidades que desarrollan: conectar, analizar, calcular y representar).







Para discutirÍtem 1: analizar, calcular y justificar.Ítem 2: conectar y justificar.Ítem 3: calcular, analizar y representar.Ítem 4: calcular.

Añostranscurridos

Factor dedecrecimiento

Masa de la sustancia

0


16 777 216 • � �0

= 16 777 21614

ActividadesÍtem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy están orientadas a resolver un problema que involucra potencias de fraccionariapositiva y exponente natural. Esta situación está relacionada con el decrecimientoexponencial, en particular, el decrecimiento de los contagiados por un virus respira-torio al ser vacunada la población.


• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el grá-fico del decrecimiento de una población de contagiados, propuesto en la página 63del Texto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos el gráficode la actividad.

Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de repre-sentación: con una tabla, con gráfico, con funciones. Esta última se estudiarámás adelante, por lo que no es necesario que se represente.

• Para responder la última pregunta del ítem 1, es necesario que los y las estudiantessigan calculando el tamaño de la población; para ello, sugiera que extiendan la tabla.


Mencione a los y las estudiantes que el decrecimiento exponencial es una funciónque utiliza potencias con base mayor que 0 y menor que 1 y que estudiarán encursos posteriores. Un ejemplo de ello lo podemos observar en las sustancias radiac-tivas que se desintegran a medida que pasa el tiempo.


De refuerzo

1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuartode su masa cada un año. Completa la siguiente tabla y responde.

a) ¿Cuánto tardará para que la sustancia se desintegre hasta tener una masa de65 536 mg?

b) Determine la masa que queda después de 7 años.

(Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calcular y representar).

De profundización

1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento:

a) construye el gráfico correspondiente.b) ¿después de cuantos años se desintegrará este tipo de sustancia?

(Habilidades que desarrolla: conectar, analizar, calcular y representar).







Herramientas tecnológicasUsar herramientas, analizar, conectar y justificar.


• Al utilizar la planilla de cálculo, debe considerar que los valores de las potencias quedeben escribir son aquellos cuya base es 3 y el exponente, 0, 1, 2, 3, ..., 10.Los valores se escriben sin puntos ni espacios en la planilla.

• Para seleccionar los valores debe partir desde 1, y sin dejar de presionar el botónizquierdo del mouse hasta el útimo valor, es decir, hasta 59 049.

• La función graficada es 3x, con x ∈ �0.• Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en el de-

sarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que requierande su ayuda y orientación.

• Se recomienda que, una vez desarrollada la actividad, discutan y compartan lasrespuestas obtenidas para hacer una puesta en común.


De refuerzo

1. Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 6 y exponente, par-tiendo desde 0 hasta 10. Luego, responde las preguntas a y b.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar).

De profundización

1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuartode su masa cada un año.

a) En la columna A escribe la masa que queda hasta el 6º año, partiendo por16 777 216 (considera los valores de la tabla de la página 115).

b) Luego, repite los pasos de la página 64 del Texto del Estudiante y responde laspreguntas a y b.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar).




Mi progresoÍtem 1, 2 y 3: identificar y aplicar.Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar y justificar.Ítem 5: resolver problemas, analizar, aplicar y representar.


• En los ítems 1, 2 y 3, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta,esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomen-dable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente allado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no relacionen la situación con elcrecimiento exponencial, para evitarlo, sugiérales que construyan una tabla paraanalizar qué sucede con las bacterias, o bien, un diagrama de árbol.

• En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas no puedan determinar el pun-taje obtenido por Mario expresándolo como potencia, para ello mencione que

dividir por 2, es equivalente a multiplicar por .


12



4

Analiza y conecta adecuadamente lasituación con el crecimiento exponencial.Responde cada pregunta correctamente.

Analiza y conecta adecuadamente lasituación con el crecimiento exponen-cial. Responde cada pregunta sin justificar la a).

Analiza y conecta adecuadamente lasituación con el crecimiento exponencial.Responde correctamente una de las preguntas.

No conecta la situación con elcrecimiento exponencial. Respondeerróneamente las preguntas.

5Aplica las propiedades de potencias yresponde correctamente el problema,empleando más de una estrategia.

Aplica las propiedades de potencias y responde correctamente el problema.

Aplica las propiedades de potencias y responde el problema expresando erróneamente la potencia de la solución.

No aplica las propiedades de potencias y responde el problema erróneamente.


3. La población en una ciudad el año 1960 era de 100 000 habitantes. Si a partirde esa fecha el ritmo de crecimiento de la población se ha duplicado cada 20 años, determina:

a) la cantidad de habitantes 40 años después. b) la cantidad de habitantes que se espera hayan en el año 2020.c) ¿qué tipo de crecimiento representa la relación entre los años transcurridos y

la cantidad de habitantes?

4. Una población de aproximadamente 9 765 625 peces decrece por la contami-nación de las aguas a un quinto de su población anualmente.

a) ¿Cuántos peces hay el tercer año?b) ¿Después de cuántos años la población es de 15 625 peces?c) ¿Cómo se relacionan las variables involucradas?, ¿cuál depende de la otra?

De profundización

1. Une cada expresión con la potencia correspondiente expresada como fracción onúmero decimal.

(0,75)2 • (0,75)3 � �11

: � �9

� �2

: � �2

(0,7)4 • 34

(1,5)2 � �4

(0,25)2 � �5

2. Responde observando el gráfico de la imagen.

a) ¿Qué tipo de crecimiento observas?, ¿por qué?b) ¿Con qué potencia lo relacionas?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente?c) ¿Cómo se relacionan las variables?, ¿cuál depende de la otra?, ¿por qué?

34

2110

14

14

12

34


a b b(con base a)

a2 • b(con base a)

b2 : a2

(con base a)b5

(con base a)

0,1 0,001

0,4 0,0256

1,3 1,69

12

116

35

81625

45

1625


De refuerzo

1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como unasola potencia.

2. Une cada expresión con el valor de la potencia correspondiente.

(0,5)5 • 45

� �7

: � �5

32

(0,26)3 : (1,3)3 0,000001

(0,8)14 : (0,8)11 0,008

[(0,1)2]3 256

2 401

19

19

181


� �2

• � �2

0,51247

47

1 2 3 4

50

100

150

b(con base a)

a2 • b(con base a)

b2 : a2

(con base a)b5

(con base a)

(0,1)3 (0,1)5 (0,1)4 (0,1)15

(0,4)4 (0,4)6 (0,4)6 (0,4)20

(1,3)2 (1,3)4 (1,3)2 (1,3)10



De refuerzo

1.

2. (0,5)5 • 45 = 32

� �7

: � �5

=

(0,26)3 : (1,3)3 = 0,008

(0,8)14 : (0,8)11 = 0,512

[(0,1)2]3

= 0,000001

3. a) 400 000 habitantes.

b) 800 000 habitantes.

c) Crecimiento exponencial.

4. a) 78 125 peces.

b) 4 años.

c) La cantidad de peces disminuye exponencialmente a medida que pasan los años. La cantidad de peces depende de los años.

181

19

19

De profundización

1. (0,75)2 • (0,75)3 = � �5

� �2

: � �2

= (1,5)2

2. a) Crecimiento exponencial, pues a medida que aumenta una variable, la otra aumenta exponencialmente.

b) Con la potencia de base 5 y exponente �0.

c) El valor de la potencia (eje Y) depende del exponente (eje X) de la potencia cuya base es 5.

12

34

34


� �43

5 � �63

5 � �63

5 � �203

5

� �41

2 � �61

2 � �61

2 � �201

2

� �24

5 � �44

5 � �24

5 � �104

5

� �2

• � �2

= 2562 401

47

47

� �11

: � �9

= (0,25)214

14

(0,7)4 • 34 = � �421

10




• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […]potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, en-fatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resulta-dos obtenidos.


Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, aplicar y calcular.Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar y evaluar.Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar, comprobar y calcular.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin em-bargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnosy alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras es-trategias de resolución, considerando los siguientes pasos: comprender, planificar,resolver y revisar.


Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resueltode distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante es solo una formade dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podríaser la siguiente: Agrupar las potencias (usando una propiedad) de tal forma que permitacalcular fácilmente su valor y, finalmente, multiplicar dichos números. Así, encontramosel último dígito, por ejemplo:

415 = 44 • 44 • 44 • 43 = 256 • 256 • 256 • 64 = 1 073 741 824


De refuerzo

1. Considera las potencias 421 y 456, ¿cuál es el último dígito de la expresión(421 + 456)?

2. Considera las potencias 229 y 478, ¿cuál es el último dígito de la expresión(229 • 478)?Utiliza la estrategia propuesta en la página 66 (del Texto del Estudiante).

(Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Crea un problema similar a los vistos en el libro y, luego, utiliza la estrategia quetú quieras, explicando los pasos de ella. No olvides responder a la pregunta del problema.

(Habilidades que desarrolla: formular, aplicar y calcular).




• Puede expresar en sus propias palabras einterpretar coherentemente el problema.

• Identifica la información necesaria.

• Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que interprete mal parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.



• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.• Puede demostrar y explicar usando una variedad

de modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y




• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.




• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.


no razonable.







ConexionesÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: evaluar, analizar y justificar.


La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las potenciascon una situación recurrente en nuestro país: el consumo de alcohol, sus efectos yel riesgo de sufrir accidentes por conducir bajo sus efectos.

El alcohol es la droga más consumida en nuestro país, por lo tanto, durante el desa-rrollo de esta actividad, sería conveniente conversarlo con sus estudiantes respecto delas afecciones producidas por el consumo de alcohol y contrástelo con los beneficiosde hacer deporte para nuestro organismo.

Más información sobre drogas y prevención en: www.conacedrogas.cl


De refuerzo

1. En relación al consumo de alcohol y su prevención:

a) ¿Qué puedes hacer para prevenir el consumo de alcohol en la juventud?b) ¿Qué beneficios produce el deporte en nuestro organismo?c) Haz un listado de las afecciones producidas por el consumo de alcohol y otro,

con los beneficios del deporte.

(Habilidades que desarrolla: conectar y justificar).


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.

Esta manera de sintetizar es una técnica de estudio, pues los estudiantes consolidan,organizan y clasifican sus aprendizajes.

TÉCNICAS DE ESTUDIO

Sintetizar un tema por medio de un esquema es una forma efectiva de resumir y es-tudiar sobre los principales tópicos de una Unidad; sin embargo, existen muchasotras. A continuación, presentamos una de ellas: fichas de resumen.

Las fichas de resumen consisten en distinguir la información más relevante de cadatema trabajado y escribirlo en fichas o tarjetas. Para confeccionarlas y, posterior-mente utilizarlas, se deben considerar los siguientes puntos:

• La creación de las fichas debe ser realizada en forma individual y en clases, para quepueda orientar y guiar el trabajo de los y las estudiantes.

• Se deben confeccionar fichas para cada uno de los temas incluidos en la Unidady en cada uno de estos se deben ocupar como máximo dos fichas, procurandoque logren determinar los aspectos más importantes de cada tema.

• Se sugiere que los y las estudiantes incluyan en cada una de las fichas un título,la descripción del tema, ejemplos numéricos resueltos, un problema relacionadocon el tema abordado en la ficha y conclusiones.

• Es fundamental que la forma de abordar los contenidos de las fichas sea lo sufi-cientemente claro, de tal modo que pueda ser comprendido por cualquier per-sona, conocedora o no del tema.

Sería interesante complementar el trabajo con las fichas pidiendo la opinión deotros compañeros y compañeras del curso, y de esta forma mejorar el trabajo decada estudiante con la ayuda de sus pares y, además, fomentar en el curso eltrabajo colaborativo.


De refuerzo

1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad.

2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos.

3. Inventa un ejercicio que involucre potencias de igual base y, luego, resuélvelo.

4. Menciona dos estrategias para calcular: (0,3)2 • (0,3)5.

5. ¿Cómo justificarías que (–4)5 : (–4)2 = (–4)3?

6. ¿Cómo justificarías que �� 3

�4

= � �12

?

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular).

34

34





¿Qué aprendí?Ítem 1: identificar y aplicar.Ítem 2: analizar y aplicar.Ítem 3: analizar y generalizar.Ítem 4: aplicar.

Ítem 5: analizar y aplicar.Ítem 6: representar, aplicar y calcular.Ítem 7: analizar, calcular y representar.Ítem 8: analizar y aplicar.Ítems 9 y 10: analizar, aplicar, representar y calcular.


En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿Quéaprendí? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la Unidad de Potencias, y con esta información seguir deter-minadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar unaactividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendíancon el desarrollo de esta Unidad.

Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta;esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomen-dable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente allado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrate-gias empleadas.

• En los problemas de los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantesque una vez comprendido el problema y planificada la estrategia a utilizar, sean ordenados en el desarrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañerosy compañeras que tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facili-tará su detección y corrección.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar oprofundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las activi-dades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en laevaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10.


9

Resuelve correctamente cuánto quedadespués de los cortes, utilizando diversasrepresentaciones, entre otras, un gráfico,que permitan realizar un trabajo más eficientemente.

Resuelve correctamente cuántoqueda después de los cortes yconstruye adecuadamente el gráfico.

Resuelve correctamente cuánto quedadespués de los cortes y confundeel gráfico.

Resuelve erróneamente cuántoqueda después de los cortes y confunde el gráfico.

10Resuelve correctamente aplicando lapropiedad adecuada, usando potenciaspara resolver y para responder.

Resuelve correctamente, expresando lasolución como potencia.

Resuelve erróneamente, ya que,confunde la propiedad depotencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usapotencias para resolver.


De refuerzo


1. El resultado de (–6)2 • (–6)5 • –6, es:

A. –68 C. (–6)7

B. (–6)8 D. 66

2. Para que la igualdad: [(0,2)x]2

= 0,0016, sea verdadera, el valor de x es:

A. 4 C. 1B. 3 D. 2

3. ¿Cuál es el valor de y para que se cumpla la igualdad?

� �7

: � �y

=

A. 3 C. 7B. 4 D. 10

4. El resultado de � �3

: � �3

, es:

A. C.

B. D. 1

5. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es 1?

I. (–4)4 • (–4)4

II. (0,2)2 • 52

III. � �10

: � �10

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. II y III

59

59

18

51227

27512

23

14

8125

25

25


6. La expresión {[(–10)3]5}

3escrita como una sola potencia es:

A. (–10)45

B. 1045

C. (–10)11

D. (–10)18

7. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.

a) (–2)7 = e) (–45)2 =

b) (–3)4 = f) � �2

• 62

d) (0,1)2 • 0,1 = h) 1052 =

8. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

a) (–8) • 53 = –64 000 g) (–7)2 • (–7) = 2401

b) (0,5)3 • (0,6) = 0,027 h) (–5) • (–5)4 = –78 125

d) (1,1)2 • (0,2) = 0,0484 j) �� 2

=

e) ��(–2)2� �2

= 256 k) �(0,1) �3 = 0,000000001

f) �� 2

� = l) (–12) : (–12)22 = 144181

13

6415 625

25

12


c) �� 2

�4

= g) (–5)3 =12

c) � �9

: � � = i) 33 • 0,4 = 1,7288125

25

25


a b a3 • b3 a2 • 32 a3 : b3 b12 : b10

0,9 2

11 11

0,7 0,1

14 –2

–50 10

91014

15

12

9. Remplaza los valores de a y b en cada caso; realiza los cálculos correspondientesy completa la tabla con los valores de las potencias.

10. Calcula el área de las siguientes figuras. Usa potencias para resolver.

a) b)

De profundización


1. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es mayor que 1?

I. [(0,1)3 • 103] • 2 II. (–2)4 • (–2)2 III. � �8

: � �2

A. Solo I C. I y IIB. Solo II D. II y III


I. (–8)12 : (–8)5 = (–8)7 II. (0,5)3 : 23 = 23 III. {[(–5)4]3}7 = (–5)14

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. II y III

86

12

3. Para que la igualdad: 614 : 6x = 62, sea verdadera, el valor de x es:

A. 16 C. 2B. 12 D. 7

4. ¿Cuál es el valor de z para que se cumpla la igualdad?

(–27) • 9 • (–3) • 81 • (–243) = (–3)z

A. 13 C. 15B. 14 D. 16

5. Calcula el valor de las siguientes expresiones, aplicando las propiedades delas potencias.

a) 25 : 22 – 72 • 42 = e) (–100)5 : 105 + [(–10)3]2

=

b) [(–3)2]2

– 203 : 23 = f) � �8

: � �5

+ � �4

• � �4

=

c) (0,2)5 : (0,2)2 + 0,12 = g) (42)2

+ (–3)5 =

d) � �2

: � �2

– �� 2

�2

= h) 53 • (0,1)3 – (0,5)3 =

6. Calcula el volumen de los siguientes cubos. Usa potencias para resolver.

a) b)

7. Una empresa que fabrica cajas de cartón de distintos tamaños, ha sacado al mercado una caja cuyo volumen es 1 728 000 cm3. Si su ancho mide 64 cm, sualto 216 cm, ¿cuánto mide el largo? Usa potencias para resolver.

8. Un grupo de investigadores estudia un tipo de bacteria que produce una enfermedad.Para ello, usaron un cultivo de bacterias que se inició con 3000 microorganismos. Sisu número se duplica cada una hora, responde:

a) ¿cuántas bacterias hay al cabo de 5 horas?, ¿y al cabo de 7 horas?b) ¿después de cuántas horas hay 3 072 000 bacterias?c) ¿qué tipo de crecimiento observas en este caso?, ¿por qué?

94

49

27

27

15

35

12


32 cm

32 cm

72 cm

52 cm

24 cm 32 cm

a3 • b3 a2 • 32 a3 : b3 b12 : b10

5,832 7,29 0,091125 4

1 771 561 1089 1 121

0,000343 4,41 343 0,01

–21 952 1 764 –343 4

–125 000 000 22 500 –125 100

De profundización

1. C 2. A 3. B 4. C

5. a) –776 d) g) 13

b) –919 e) 900 000 h) 0

c) 0,018 f)

6. a) 212 cm3 b) 36 cm3

7. 53 cm

8. a) 96 000 en 5 horas y 384 000 en 7 horas.

b) 10 horas.

c) Crecimiento exponencial, pues, a medida que pasa el tiempo, lasbacterias aumentan exponencialmente.

351343

7144



De refuerzo

1. B 2. D 3. B 4. A 5. D 6. A

7. a) –128 e) 2025

b) 81 f) 9

c) g) –125

d) 0,001 h) 11 025

8. a) 3 g) 2

b) 3 h) 3

c) 6 i) 3

d) 2 j) 3

e) 2 k) 3

f) 2 l) 24

9.

10. a) 34 cm2 b) 352 cm2

1256

18000

916

125

12564

729100

729125

14

7298000


IAnalizar, aplicar, representar y calcular.


IIAnalizar, representar, aplicary calcular.


Puntaje total de la evaluación: 40 puntos.Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados porsus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.

Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


1. B 2. C 3. A 4. A 5. C 6. D 7. B 8. B

9. a) 4096 ranas. b) 4 años. c) A partir del 6° año, aproximadamente.

10. 27 opciones.

11. Volumen = (0,2)6 cm3

12. 33 lápices.


EVALUACIÓN FINAL

En las páginas 130 y 131, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puedeutilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Potencias, ycon esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar uncontenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los apren-dizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempopuede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere uti-lizar la siguiente pauta:

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12.


9

Analiza y calcula correctamente sobre lacantidad de ranas, utilizando representa-ciones que permiten realizar un trabajomás eficientemente.

Analiza y calcula correctamente sobrela cantidad de ranas, utilizando una estrategia.

Analiza y calcula erróneamente algunode los problemas.

Analiza y calcula erróneamente los problemas.


Resuelve correctamente, expresandola solución como potencia.

Resuelve erróneamente, ya que confunde la propiedad de potencias utilizada.


11Resuelve correctamente aplicando lapropiedad adecuada, expresando larespuesta con la base indicada.

Resuelve correctamente, expresandola respuesta con base distinta a 0,2.

Resuelve erróneamente confundiendola propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no consideraque la arista se duplica y no usapotencias para resolver.


Resuelve correctamente, expresandola solución como potencia.

Resuelve erróneamente, ya queconfunde la propiedad de potencias utilizada.


EVALUACIÓNPotencias


Puntaje: Nota:



I. Las potencias que tienen exponente par tienen el mismo signode la base.

II. Si la base de la potencia es negativa, el valor de la potenciapuede ser positivo.

III. Las potencias de exponente impar son siempre negativas.


2. La expresión: 25 • (–125) • 625 • (–5), escrita como una sola potenciaes igual a:

A. 511

B. 59

C. (–5)10

D. (–5)9

3. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A. (0,4)2 • 4 = (1,6)2 C. � �2

• � �2

= � �2

B. (–60)3 : 123 = –125 D. [(–3)2]4

= 6561

164

18

18

4. El volumen de un paralelepípedo cuyas medidas son: 22 cm deancho, 24 cm de largo y 26 cm de alto es:

A. 212 cm3

B. 236 cm3

C. 23 cm3

D. 248 cm3

5. Para que la igualdad: (0,5)x : (0,5)9 = 0,25, sea verdadera, el valorde x es:

A. 9 B. 7 C. 11 D. 2

6. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 0,09 m?

A. (0,3)5 m3

B. (0,09)2 m3

C. (0,3)3 m3

D. (0,3)6 m3

7. El valor de la expresión: (–45)3 : 53, es:

A. 729 B. –729 C. –9 D. –1

8. La expresión: • • , escrita como una sola potencia, es:

A. � �10

C. � �3

B. � �10

D. � �92

7

27

27

449

3216 807

8343

449


II. Resuelve los siguientes ejercicios mostrando su desarrollo.

9. Una población de aproximadamente 1 048 576 ranas que habitanuna laguna decrece por la acción de un depredador a un cuarto desu población semestralmente.

a) ¿Cuántas ranas hay al finalizar el 2º año?

b) ¿Después de cuántos años la población es de 16 ranas?

c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se extinguirán las ranas de la laguna?

10. En el casino de una empresa se ofrece a la hora de almuerzoun menú con plato de fondo, postre y algo para beber. Si hay4 opciones de bebidas, 8 platos de fondo distintos y 4 postres,¿cuántos menús diferentes se pueden escoger? Usa potenciaspara resolver.

11. La arista de un cubo mide 0,02 m. Si se duplica, ¿cuál es el volumendel nuevo cubo expresado como potencia de base 0,2?

12. El centro de alumnos de un colegio ha decidido regalar a los y lasestudiantes lápices de distintos colores. Compraron 3 cajas quecontienen 34 estuches cada una y cada estuche tiene una cantidadde lápices. Si en total hay 38 lápices, ¿cuántos lápices vienen encada estuche? Usa potencias para resolver.


132 Unidad 3 – Geometría y medición Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al estudio de la circunferencia, el círculo y sus elementos, yalgunos cuerpos geométricos. Se pretende que los y las estudiantes utilicen susconocimientos previos y la propia experiencia para calcular la longitud de una circunfe-rencia, el área del círculo, por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia,y el área total y volumen del cilindro y cono.

También se espera que los y las estudiantes sean capaces de resolver problemas ensituaciones y contextos significativos que involucren los contenidos mencionados anteriormente.

Durante el desarrollo de esta Unidad, se realizarán actividades exploratorias y se uti-lizará la calculadora. Además, se emplearán dos procesadores geométricos, uno paracalcular área y perímetro de figuras planas, y otro para calcular área total y volumendel cilindro y cono.


Geometría y mediciónUnidad3

Arco

Área total

Volumen

Cuerda

Secante

Tangente

Radio

Diámetro

Círculo Cuerposgeométricos

Cuerposredondos

Área

Polígonosregulares

Geometría y medición

se relaciona con

pueden ser

como

estudio de

sus elementos

sonCircunferencia

Longitud

Número π

se relaciona con

cálculo de cálculo de

por medio de

Cono Cilindro

cálculo de


7º básico

Verificación, en casos particulares, en formamanual o mediante el uso de un proce-sador geométrico del teorema de Pitágoras,del teorema recíproco de Pitágoras y suaplicación en contextos diversos.

8º básico

Caracterización de la circunferencia y elcírculo como lugares geométricos y surepresentación mediante lenguaje con-juntista e identificación de sus elementos:arco, cuerda, secante y tangente.

Definición del número pi y su relacióncon el diámetro y la longitud de una cir-cunferencia. Cálculo de la longitud deuna circunferencia y estimación del áreadel círculo por medio de polígonos regu-lares inscritos en la circunferencia.

1º medio

Relación del concepto de congruencia defiguras planas con las transformacionesisométricas, formulación y verificación deconjeturas, en casos particulares, acercade criterios de congruencia en triángulos yutilización de estos criterios en la resolu-ción de problemas y en la demostraciónde propiedades en polígonos.

2º medio

Aplicación de la noción de semejanza a lademostración de relaciones entre segmen-tos en cuerdas y secantes en una circunfe-rencia y a la homotecia de figuras planas.

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia,demostración del teorema que relacionala medida del ángulo del centro con ladel correspondiente ángulo inscrito.

Establecimiento de estrategias para la ob-tención del volumen de prismas rectos debase rectangular o triangular y depirámides, cálculo del volumen en dichoscuerpos expresando el resultado enmilímetros, centímetros y metros cúbicosy aplicación a situaciones significativas.

Formulación de conjeturas relativas a loscambios en el perímetro de polígonos yvolumen de cuerpos geométricos, alvariar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y verificación, encasos particulares, mediante el uso de unprocesador geométrico.

Formulación de conjeturas relacionadascon el cálculo del volumen del cilindro ycono; cálculo del área de la superficie delcilindro y cono, y verificación, en casosparticulares, mediante el uso de unprocesador geométrico.

Resolución de problemas en situacionessignificativas que involucran el cálculo dela longitud de la circunferencia, el áreadel círculo, la superficie del cilindro, conoy pirámide y el volumen del cilindro y cono.










Caracterización de la circunferencia y elcírculo como lugaresgeométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco,cuerda, secante y tangente.

Definición del númeropi y su relación con eldiámetro y la longitudde una circunferencia.Cálculo de la longitudde una circunferencia y estimación del áreadel círculo por mediode polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

• Circunferencia y círculo como lugar geométrico.

• Elementos de la circunferencia.

• Número π y surelación con la circunferencia.

• Longitud de la circunferencia.

• Área del círculo.

• Identificar la circunferencia y el círculocomo lugar geométrico yrepresentarlos conlenguaje conjuntista.

• Identificar el arco, cuerda,secante y tangente enuna circunferencia.

• Relacionar el número πcon el diámetro y la longitud de la circunferencia.

• Calcular la longitud de una circunferencia.

• Estimar el área del círculo mediante el cálculodel área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.


De construcción deconceptos: páginas 77 y 79.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas141, 145 y 147.

De profundización:páginas 141, 145 y 147.


De construcción deconceptos: páginas 81,83 y 85.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas149, 151, 153, 155 y 156.

De profundización:páginas 149, 151, 153,156 y 157.

• Reconocen la circunferen-cia y el círculo como lugar geométrico.

• Representan la circunferencia y el círculocon lenguaje conjuntista.

• Identifican el arco,cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

• Relacionan el número πcon el diámetro y la longitud de la circunferencia.

• Calculan la longitud deuna circunferencia.

• Estiman el área del círculo mediante el cálculodel área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Diagnóstica:páginas 74 y 75del Texto delEstudiante.


Sumativa:páginas 100 y101 del Textodel Estudiante, y178 y 179 de laGuía Didácticadel Docente.

• Regla.• Compás.• Transportador.• Calculadora.• Computador

con conexióna Internet.

• Lana.• Tijeras.• Cartulina.• Pegamento.• Arena.







Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumendel cilindro y cono; cálculo del área de lasuperficie del cilindro y cono, y verificación,en casos particulares,mediante el uso de un procesador geométrico.

Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculode la longitud de la circunferencia, él áreadel círculo, la superfi-cie del cilindro, cono ypirámides y el volumendel cilindro y cono.

• Área del cilindro y cono.

• Volumen del cilindro y cono.

• Buscando estrategias.

• Conjeturar respectodel volumen del cilindro y cono.

• Calcular el área delcilindro y cono.

• Verificar el área total y volumen del cilindroy cono usando unprocesador geométrico.

• Resolver problemas encontextos diversos queinvolucran el cálculodel área total y volumen del cilindro,cono y pirámide.


De construcción deconceptos: páginas 90 y91, 93 y 94.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas159, 161, 165 y 166.


En el TextoDe exploración:páginas 96.



En la Guía DidácticaDe refuerzo: página 169.

De profundización:página 169.

• Calculan el volumen delcilindro y cono.

• Calculan el área del cilindro y cono.

• Calculan elementos delcilindro y cono, talescomo base y altura, a partir de su área total y volumen.

• Resuelven problemas queimplican el cálculo delárea total y volumen delcilindro, cono y pirámide.


ERRORES FRECUENTES


Si los conocimientos previos sobre elementos básicos de geometría, como puntos,rectas, ángulos y polígonos, son insuficientes, se pueden presentar dificultades en elaprendizaje del círculo, la circunferencia y sus elementos.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, para prevenir dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad.

• Se sugiere que después de la evaluación diagnóstica realice un repaso de loscontenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las actividades que involucran el cálculo del área de diversos polígonos regulares,es posible encontrar los siguientes inconvenientes:

• No recuerdan cómo realizar dichos procedimientos.• Confunden la apotema de un polígono regular con los lados de este, o bien, con

el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

• Para evitar errores y/o confusiones, es conveniente repasar el cálculo de áreas depolígonos regulares, ya que son necesarios para estimar el área de un círculo y elvolumen de algunos cuerpos geométricos.

Al calcular el área total y volumen del cono, puede ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden cómo aplicar el teorema de Pitágoras.

• Para evitar este inconveniente, es recomendable recordar el teorema de Pitágoras y su recíproco, ya que será utilizado en el estudio del área total y volumen del cono.

Si los conocimientos previos de los y las estudiantes sobre números decimales y su operatoria no son suficientes, o bien, no los recuerdan, es posible que tengan dificultades al realizar diversos cálculos empleando estos números.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente realizar unrepaso de las cuatro operaciones básicas con números decimales.

A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para undesarrollo conceptual más profundo o amplio de los temas tratados en la Unidad.

CÍRCULO Y SUS REGIONES

• El círculo es la región del plano delimitada por una circunferencia.El área del círculo está dada por la expresión:

Á = π • r 2; donde r es el radio.

• El semicírculo corresponde a la parte del círculo delimitado por un diámetro y unade las semicircunferencias definidas por él. Dos semicírculos forman un círculo completo.

• Un sector circular es la región del círculo delimitada por dos radios y uno de losarcos comprendidos entre ellos.

El perímetro del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión:

P = 2 • r +

El área del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión:

Á =

• Una corona circular es la región del plano delimitada por dos círculos concéntricos.

El perímetro de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión:

P = 2 • π • (R + r)

El área de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión:

Á = (R2 – r 2) • π

POLÍGONOS INSCRITOS

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella.

• Si un polígono regular está inscrito en una circunferencia, entonces:

– El radio de la circunferencia (r) se llama también radio del polígono regular.

– El segmento trazado desde el centro al punto medio de un lado se llamaapotema (ρ) del polígono regular.

– El ángulo formado por dos radios consecutivos de un polígono regular se llamaángulo central del polígono.

– Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes (de igualmedida) y suman 360º.

• Un polígono se dice inscriptible si se puede inscribir en una circunferencia.

• Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia si sus ángulos opuestos sonsuplementarios (suman 180º).

• En todo triángulo inscrito, el centro de la circunferencia coincide con el circuncentro(punto de intersección de las simetrales del triángulo).


REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONESSOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

O

Oα

r

O

O

O

F

G

H

A

B C

D

E

F

G

r

ρ

r

R

2 • r • π • a360°

r2 • π • a360°

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Formado por 4 triángulosequiláteros.

Formado por 6 cuadradoscongruentes.

Formado por 8 triángulosequiláteros.

Formado por12 pentágonosregulares.

Formado por20 triángulosequiláteros.


POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

• Un polígono está circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentesa la circunferencia.

• Un polígono se dice circunscriptible si se puede circunscribir en una circunferencia.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS INSCRITOS

Usando regla, compás y transportador, es posible inscribir cualquier polígono regularen una circunferencia. A continuación, realizaremos el procedimiento para inscribir unoctágono regular.

Para inscribir un octágono regular en una circunferencia, podemos seguir los siguientes pasos:

1. Con el compás, dibujamos una circunferencia de cualquier radio.2. Para determinar la medida del ángulo central, divide 360º por el número de lados

del polígono, es decir, 360º : 8 = 45º. 3. Usando un transportador y con vértice en el centro, dibuja los ocho ángulos del

centro, que miden 45º cada uno. 4. Prolonga los lados de los ángulos, de tal forma que intersequen a la circunferen-

cia, determinando los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.5. Finalmente, une los puntos, obteniendo el octágono regular.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

• Los cuerpos geométricos están limitados por superficies planas o curvas y, a diferenciade las figuras geométricas, poseen volumen.Ejemplo:

• Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en: poliedros regulares o no regularesy cuerpos redondos.

• En un cuerpo poliedro se pueden distinguir los siguientes elementos: caras, aris-tas y vértices.

Las caras son figuras planas que delimitan el cuerpo geométrico.Las aristas son segmentos de rectas comunes entre dos caras.Los vértices son puntos en los que se unen tres o más aristas.

• Los poliedros regulares están delimitados por polígonos regulares congruentesentre sí. También son conocidos como sólidos platónicos. Existen cinco poliedrosregulares, estos son:

• Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadasbases, y sus otras caras son paralelogramos. Para nombrar un prisma se utilizanlos polígonos que forman sus bases.Ejemplo:

Cuerpo geométrico

(tres dimensiones)

Figura plana

(dos dimensiones)

Prisma triangular Prisma pentagonal

O

DE

F

A B

C

C

D

EF

G

H

A B

45º

45º

45º45º

45º

45º

45º45º

U3 (PAG 132-166):Maquetación 1 2/12/10 11:32 Página 138

En los prismas se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales, carasbasales, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre los planos quecontienen a las bases).

Si las aristas laterales son perpendiculares a las caras basales, se dice que el prismaes recto. En caso contrario, es oblicuo.

• Las pirámides son poliedros que tienen como base un polígono cualquiera y suscaras laterales son triángulos que concurren en un vértice común, llamado cúspide.

Ejemplo:

En las pirámides se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales,cara basal, cúspide, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre lacúspide y el plano que contiene a la base).

Si todas las caras laterales de una pirámide son triángulos isósceles o equiláteros,la pirámide es recta. En caso contrario, es oblicua.

• Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos delimitados por superficies curvaso superficies planas y curvas. Los cuerpos redondos más conocidos son: el cilindro,el cono y la esfera.

BIBLIOGRAFÍA

• Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental.Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 2, Geometría Elemental. Geometría y Trigono-metría. (pp. 30–158). Santiago: Santillana.

• Rencoret M., (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza.Santiago: Andrés Bello.


Pirámide triangular Pirámide hexagonal

La imagen inicial presentada en el texto muestra diversos envases de hojalata, losque son familiares para sus estudiantes. Su propósito es motivarlos en el estudio dela Geometría, especialmente activar sus conocimientos sobre el círculo, la circunferen-cia y sus elementos, conos y cilindros, y algunos cálculos importantes, como longitud,área y volumen, aplicados a la resolución de diversos problemas en contextos variadosy significativos.



Con la introducción y actividad inicial podrá activar los conocimientos y experienciasprevias de sus estudiantes, ya que algunos de los contenidos fueron trabajados enaños anteriores.

Producto u objeto Cuerpo geométricoasociado Sus caras son

Cilindro Planas y curvas

141 Unidad 3 – Geometría y medición


Conversemos de...Ítems 1 y 2: analizar y conjeturar.Ítem 3: recordar.Ítem 4: conectar.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en vozalta y, luego, puede preguntarles lo siguiente:

• ¿Qué diferencias hay entre círculo y circunferencia?, ¿y qué semejanzas?• ¿Han escuchado hablar de arco, cuerda, secante o tangente?, ¿cómo relacionarías

estos conceptos con la circunferencia?• ¿Qué diferencias observan entre el radio y el diámetro de una circunferencia?,

¿cómo se relacionan?• ¿Qué semejanzas hay entre el cono y el cilindro?, ¿y qué diferencias?

Con estas preguntas y con las respuestas de sus alumnos y alumnas puede realizarun esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtenerinformación sobre las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas,y partir de ellos guiar el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Para motivar el desarrollo de la actividad inicial y la Unidad, podría llevar a la clase latasde conservas de distintas dimensiones, o bien pedir a sus alumnos y alumnas (en laclase anterior) que traigan envases que tengan forma de cono o cilindro. A partir dela observación que hagan de ellas podría plantear a sus estudiantes preguntas comolas siguientes:

• ¿Qué formas geométricas observan en cada envase?• ¿Cómo son las caras laterales de las conservas o de los envases que trajeron?• ¿Con qué figura geométrica relacionas la base del envase?• ¿Qué otros cuerpos geométricos conoces?

Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes le permitirán motivarlos e introducir el estudio de la Unidad. Además, están relacionadas con lacircunferencia, el círculo, el cilindro y el cono.

La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con contenidos trabaja-dos en años anteriores, tales como figuras geométricas, cuerpos geométricos y cálculo del volumen.


La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con los alimentos y susformas de conservación. Para evitar la descomposición de ellos, y también para im-pedir la pérdida de vitaminas, se utilizan los envases de hojalata.

En muchos países, debido a diversos factores, por ejemplo climáticos, es común queno sea posible producir algunos alimentos. Por esto la población acostumbra con-sumir alimentos en envases de hojalata o conservas, traídos de otras cuidades opaíses del mundo.

Podría aprovechar este tema para conversar con sus estudiantes sobre la importanciade tener una alimentación equilibrada y saludable. El INTA (Instituto de Nutrición yTecnología de los Alimentos) es un centro de investigación que depende de laUniversidad de Chile, se encarga de investigar y dar solución a los problemas alimen-tario-nutricionales del país, desde lo molecular hasta lo poblacional.

Interesante información sobre los alimentos y nutrición en general puede encontraren el sitio web del INTA: www.inta.cl.



De refuerzo

1. Completa la siguiente tabla. Guíate por el ejemplo

(Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer).





Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una eva-luación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular el perímetro de los polígonos dados.Ítem 2: calcular el área de los polígonos dados.

Ítem 3: calcular el área total y volumen de los cuerpos geométricos dados. Ítem 4: calcular el perímetro de un triángulo y determinar si sigue siendo equilátero al

variar la medida de uno de los lados del triángulo inicial.Ítem 5: calcular área y perímetro de un triángulo rectángulo.Ítem 6: determinar la cantidad de metros necesarios para cercar un terreno cuadrado,

sabiendo su área.


¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: calcular y justificar. Ítem 3: calcular.Ítem 4: analizar, calcular y justificar.Ítems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes hayan olvidado cómo calcular el perímetro de los polígonos dados. Recuérdeles que el perímetro es la medidade la longitud del contorno de una figura, y se obtiene sumando las medidas desus lados.

• En el ítem 2, si tienen dudas respecto a cómo calcular el área de algunos de los polí-gonos dados, recuérdeles que el área corresponde a la medida de la superficie deuna figura. Por otro lado, podrían tener problemas para determinar la medida del

cateto faltante en el triángulo rectángulo. Si ocurre esto, presénteles un ejemplo endonde deban encontrar la medida de algún cateto o de la hipotenusa.

• En el ítem 3, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para determinarel área total y el volumen del prisma y de la pirámide, debido a que no recuerdancómo hacerlo. Para ayudarlos, explique en la pizarra cómo hacer los cálculos enambos casos.

• En el ítem 4, los alumnos y alumnas se podrían confundir al pensar que cada ladodel triángulo equilátero se aumenta en 3 cm. En este caso, enfatice a sus estudiantesque solo aumenta en 3 cm un lado.

• En el ítem 5, podría ocurrir que sus alumnos se confundan y determinen prelimi-narmente que el área del triángulo rectángulo se duplica si se duplican las medidasde los catetos. Para corregir este error, pídales que hagan el ejercicio y, luego, con-cluyan, a partir de los resultados obtenidos, que el área se cuadriplica.

• En el ítem 6, podrían dividir el área por 2 en vez de calcular la raíz cuadrada. Paraevitarlo recuérdeles el proceso inverso y pregunte ¿qué operación deben hacerpara obtener el área de un cuadrado?



1 y 2

Calcula correctamente todos losperímetros y áreas de los polígonos pedidos, justificando de forma detallada cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente todos losperímetros y áreas de los polígonos pedidos, sin justificar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente dos o tres de los perímetros o áreas de los polígonospedidos, sin justificar sus pasos.

Calcula erróneamente más de tres delos perímetros o áreas de los polígonospedidos, sin justificar sus pasos.

3

Calcula correctamente todas las áreas yvolúmenes de los cuerpos geométricospedidos, indicando de forma detalladasus pasos.

Calcula correctamente todas las áreas yvolúmenes de los cuerpos geométricospedidos, sin indicar sus pasos.

Calcula erróneamente una o dos de lasáreas o volúmenes de los cuerpos geo-métricos pedidos, sin indicar sus pasos.

Calcula erróneamente más de dos delas áreas o volúmenes de los cuerposgeométricos pedidos, sin indicar sus pasos.

4

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, justificando por qué nocorresponde a un triángulo equilátero.

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equiláterosin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equilátero,sin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que sí corresponde a un triángulo equilátero.

5

Calcula correctamente el perímetro yárea pedidos, aplicando el teorema dePitágoras, indicando cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro y área pedidos, aplicando el teoremade Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro o área, aplicando el teorema dePitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro yárea, aplicando de forma incorrecta elteorema de Pitágoras, sin indicar cadauno de sus pasos.

6

Calcula correctamente el perímetro delcuadrado, indicando detalladamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro delcuadrado, sin indicar cada uno desus pasos.

Determina la medida del lado pero calcula erróneamente su perímetro.

Calcula erróneamente el perímetro delcuadrado, sin indicar cada uno de sus pasos.





• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su re-presentación mediante lenguaje conjuntista […].


Para discutirÍtem 1: analizar y justificar.Ítems 2 y 3: analizar, conectar y justificar.Ítem 4: analizar, conectar, reconocer y justificar.

Nombre Dibujo Definición

Circunferencia

Círculo

ActividadesÍtem 1: analizar y reconocer.Ítem 2: analizar e identificar.

ACTIVIDAD INICIAL

La situación presentada en el Texto es muy familiar para sus estudiantes, pues estárelacionada con conexiones a Internet, tema muy actual. A partir de la contextuali-zación y de las preguntas exploratorias planteadas en la sección PARA DISCUTIR, sepretende que los alumnos y alumnas descubran las características de la circunferenciay del círculo.

Para complementar la situación presentada, podría dibujar en la pizarra algo simi-lar al dibujo de la página y sacar a algunos o algunas de sus estudiantes al pizarrónpara que realicen la actividad en conjunto. A otros estudiantes podría pedirles quelean las preguntas, procurando la participación del resto de los alumnos y alumnasy, luego, respondan las preguntas entre todos.

Para complementar el tema y la información, podría plantear preguntas como las siguientes:

• ¿Sabes qué es un círculo?, ¿y qué es una circunferencia? • ¿La circunferencia y el círculo corresponden a la misma figura?, ¿por qué?• ¿Conoces los elementos de una circunferencia?, ¿cuáles son?


• En el ítem 1, podría pedir a sus alumnos y alumnas que, usando sus cuadernos, es-criban las características de un círculo y de una circunferencia, para que respondancon más facilidad las preguntas planteadas. Al finalizar esta actividad, pregunte alos y las estudiantes qué respondieron y si están de acuerdo, para que finalmente,puedan llegar a una puesta en común.

• En el ítem 2, para evitar confusiones, puede pedirles que lean cada una de las ora-ciones dadas y, luego, las opciones. De esta forma podrán completar con menosdificultad las expresiones. Además, si es necesario, permítales que utilicen reglapara medir el radio.


• Muchos objetos que utilizamos tienen forma circular. Como tarea, podría pedirlesa sus estudiantes que observen qué objetos que nos rodean tienen dicha forma.De este modo, podrá conectar un contenido matemático con la realidad.

En el arte es posible observar circunferencias y círculos en maravillosas creaciones,como pinturas, esculturas, construcciones, etc. Podría pedir, como tarea, quebusquen en Internet obras de arte, esculturas o construcciones con estas formas.


La próxima clase (después de la tarea), invítelos a que expongan al resto del cursolos resultados obtenidos de la observación y de la exploración en Internet.

• Es importante que sus estudiantes noten la diferencia entre círculo y circunferencia,ya que, en muchos casos, suelen pensar que ambos conceptos son equivalentes.Podría aclarar, en términos simples, la diferencia entre cada figura.

• Es posible que los alumnos y alumnas no estén muy familiarizados con el tipo denotación matemática en lenguaje conjuntista. Por ello es importante mencionarlo que representa cada símbolo, por ejemplo:

<: menor que >: mayor que ∈: pertenece

≤: menor o igual que ≥: mayor o igual que ∉: no pertenece

De esta forma se familiarizarán con este tipo de lenguaje matemático. La idea esintroducirlo de manera progresiva, para que los y las estudiantes noten que esposible usar otra notación sin que se transforme en una dificultad.


De refuerzo


(Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar).

De profundización

1. Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Justifica tus respuestas.

a) Círculo y circunferencia son conceptos equivalentes.

b) La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano

que están a igual distancia del centro.

c) El círculo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya

distancia al centro es menor que el radio.

d) El radio se puede medir considerando dos puntos de la circunferencia.

(Habilidades que desarrolla: recordar y analizar).





• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos […] eidentificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.


Para discutirÍtem 1: usar herramientas y analizar.Ítem 2: analizar y justificar.Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

Ítem 4: analizar.Ítem 5: usar herramientas.Ítem 6: analizar y justificar.

Elemento de lacircunferencia (rojo) Nombre Característica

ActividadesÍtem 1: usar herramientas y analizar.Ítem 2: reconocer.Ítem 3: analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de esta actividad es mostrar a los y las estudiantes los elementos de lacircunferencia y las propiedades de cada uno de ellos. La idea es que midan los seg-mentos pedidos y respondan las preguntas planteadas y, a partir de esto, puedan deducir las características de cada elemento.

Sería conveniente que analicen las preguntas de la sección PARA DISCUTIR en conjuntoy, luego, hagan una puesta en común.


• En el ítem 1, los alumnos y alumnas deben dibujar los ele-mentos de una circunferencia. Por ello, es recomendableque lean cuidadosamente las instrucciones de lo que debenrealizar para evitar confusiones. Además, en la actividadc), deben dibujar una recta tangente; en este caso puedeguiarlos al momento de usar la escuadra. Entonces,pueden hacer algo similar a la imagen del lado derecho.

• En el ítem 2, mencione a sus estudiantes que deben colocar las nomenclaturasmatemáticas correspondientes de segmentos, rectas y arcos, y con las letras ade-

cuadas. Por ejemplo, recta AB: ; radio OA: OA; arco CF: .• En el ítem 3, recuerde a sus estudiantes que deben justificar por escrito aquellas

oraciones que consideren falsas. Se sugiere que revisen esta actividad leyendo envoz alta cada expresión y determinando en conjunto si son verdaderas o falsas,incluyendo las justificaciones.


• Algunos elementos de la circunferencia (radio y diámetro), que ya se han estudia-do en cursos anteriores, en este semestre se formalizan. Con respecto a losnuevos elementos (arcos, cuerdas, rectas secantes y rectas tangentes), es impor-tante que queden consolidados, pues en niveles posteriores estudiarán relacionesentre cuerdas y rectas en la circunferencia, entre otras cosas.

• Es importante que tenga en consideración la siguientepropiedad: toda recta tangente a una circunferencia es per-pendicular al radio trazado desde el punto de tangencia (T).



De refuerzo


(Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar).

De profundización

1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica.

a) El radio y la tangente forman un ángulo de 90º en el punto de tangencia.

b) El diámetro de una circunferencia siempre pasa por el centro de esta.

c) Una recta secante corta a la circunferencia en dos puntos.

d) Una recta tangente no interseca a la circunferencia.

e) El diámetro es la mayor cuerda de una circunferencia.

2. Dibuja, usando regla y escuadra, en la siguiente circunferencia:

– el centro (O).– un radio (OA).– una cuerda (AB).– una recta tangente (que pase por B).– una recta secante (BC).– un diámetro (CD).

(Habilidades que desarrollan: recordar, analizar, reconocer y usar herramientas).

AB� ��

CF�

O

O

T

W

U

P

R




• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circun-ferencia […].


En equipoÍtems 1, 2 y 3: usar herramientas.Ítem 4: clasificar.

Para discutirÍtem 1: justificar.Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: reconocer.

Circunferencia Radio (m) Diámetro (m) Longitud (m)

1 4

2 12

3 94,2

4 157

ActividadesÍtem 1: usar herramientas y reconocer.Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: calcular y usar herramientas.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de la actividad EN EQUIPO es que los alumnos y alumnas, por medio dela exploración, puedan establecer que el valor de la razón entre la longitud y eldiámetro de una circunferencia es aproximadamente 3,14. De este modo, se darápaso a un valor constante, que se denomina número π.

Es importante que todos los alumnos y alumnas tengan los materiales necesariospara el desarrollo de la actividad, supervise que en los grupos todos la realicen.

Además, procure que trabajen con precisión, pues de esta manera lograrán resulta-dos esperados. Al final de la actividad, podría realizar una revisión general con elcurso sobre los resultados obtenidos, para luego hacer una puesta en común.


• En el ítem 1, si es necesario, recuerde a sus estudiantes que la mejor aproximaciónal número π debe ser verificada con las cifras que coinciden en la misma posición,partiendo desde la parte entera hasta las cifras decimales.

• En el ítem 2, podría sugerir a sus estudiantes que verifiquen la afirmación deAgustín utilizando los datos de la tabla de la actividad inicial.

• En el ítem 3, si es necesario, puede recordarles la relación entre el radio y eldiámetro de una circunferencia. De esta forma, será más sencillo analizar la relaciónentre la longitud de una circunferencia y el radio. Además, sugiera analizar la tablade la actividad inicial.

• En el ítem 4, si lo estima conveniente, realice, a modo de ejemplo, algunos de losejercicios planteados en el Texto.


• Es importante que mencione a sus estudiantes que el número π es un número irracional. Es decir, no se puede expresar como fracción y tiene infinitas cifrasdecimales no periódicas. Sus primeras cifras son:

π = 3,14159265358979…

• En las calculadoras científicas existe una tecla destinada a entregar una aproxi-mación al número π, sin embargo, en el texto utilizaremos la aproximación 3,14.

• Para obtener el valor del número π en una calculadora científica, se deben presionarlas teclas:


De refuerzo

1. Usando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera π = 3,14.

(Habilidad que desarrolla: calcular y usar herramientas).

De profundización

1. Usando calculadora, responde las siguientes preguntas. Escribe, paso a paso,cómo llegaste a la solución. Considera π = 3,14.

a) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 314 cm?

b) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 62,8 m?

c) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su diámetro es 23 mm?

d) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su radio es 17 cm?

e) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su diámetro es 19 cm?

f) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 34,54 cm?

g) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 78,5 cm?

(Habilidades que desarrolla: calcular y justificar).


Shift π =




• […]. Cálculo de la longitud de una circunferencia […]


Para discutirÍtems 1 y 2: reconocer y justificar.Ítem 3: analizar.

la función del software que calcula perímetros, determine los perímetros de lascircunferencias y de los polígonos para que observen que, efectivamente, losperímetros se aproximan mientras más lados tiene el polígono regular.

Esta manera de probar lo mencionado anteriormente respecto de los polígonos,es una instancia que puede aprovechar para mostrarles a sus estudiantes cómofunciona GeoGebra, ya que tendrán que trabajar con él en la página 86.

• Es conveniente reforzar la multiplicación y división con números decimales antesde comenzar a estudiar la longitud de la circunferencia. Por otro lado, también esimportante que permita a sus alumnos y alumnas trabajar con calculadora. Lo im-portante es no centrarse en una sola forma de resolver, sino que combinar ambas.


De refuerzo

1. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14.

a) b)

(Habilidades que desarrolla: calcular).

De profundización

1. Determina la longitud de la circunferenciainscrita en el cuadrado, considerando que elperímetro del cuadrado es 60 cm. Consideraπ = 3,14.

2. El perímetro de la siguiente figura es 41,12 cm. Determina la medida del diámetro EG. Considera π = 3,14.

(Habilidades que desarrollan: analizar y calcular).


ActividadesÍtems 1, 2 y 3: calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es presentar el estudio del cálculode la longitud de una circunferencia, a partir de un hexágono regular inscrito en ella. Laidea es que sus estudiantes relacionen el perímetro de este polígono con la longitud dela circunferencia.

De acuerdo con el ejemplo mostrado en la actividad inicial, se concluye que la longitudde la circunferencia es tres veces mayor que la medida del diámetro.

Luego de responder las preguntas, podría plantear lo siguiente, para complementarlas:

• Si inscribimos en una circunferencia un pentágono regular, ¿qué sucederá con lalongitud de la circunferencia y la de este polígono regular?, ¿sus valores serán mássimilares?, ¿y si inscribimos un octágono regular?


• En el ítem 1, pida a sus estudiantes que revisen las respuestas obtenidas, utilizandocalculadora. Además, podrían chequearlas en conjunto, para que los alumnos oalumnas que tengan algún error lo corrijan inmediatamente.

• En el ítem 2, pídales que planteen la ecuación que permite encontrar el radio; porejemplo, en la actividad a), sería:

2 • 3,14 • r = 28,266,28 • r = 28,26 / : 6,28

∴ r = 4,5

Pregunte si existe otra forma de resolver, para que la compartan y discutan conlos demás.

• En el ítem 3, propóngales que realicen los cálculos de forma manual, para quepractiquen la multiplicación con números decimales y, luego, comprueben con la calculadora.


• Es importante destacar que un polígono está inscrito en una circunferencia sitodos sus vértices pertenecen a ella.

• Es importante mencionar a sus estudiantes que a medida que aumenta el númerode lados del polígono regular, el perímetro de este se aproxima a la longitud de lacircunferencia circunscrita. Si dispone de un proyector y un procesador geométrico(como GeoGebra), podría dibujar tres circunferencias con radios de igual medida einscribir un polígono regular en cada una, que sean distintos entre sí. Luego, con

O

E G

3,5 cm

5 cm




• […] estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos enla circunferencia.


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar.Ítem 3: analizar y justificar.

ActividadesÍtem 1: usar herramientas, calcular, analizar y justificar.Ítem 2: usar herramientas y calcular.Ítem 3: calcular.Ítem 4: calcular y analizar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial es presentar a los y las estudiantes el cálculo del áreadel círculo, a partir de diversos polígonos regulares inscritos en una circunferencia.La idea es que sus estudiantes relacionen el área de cada polígono regular con el áreadel círculo, en donde la apotema de cada polígono regular se aproxima al radio dela circunferencia a medida que aumenta el número de lados del polígono. La inten-ción de esta actividad es que descubran que mientras más lados tenga el polígonoregular inscrito, su área será una mejor aproximación del área del círculo.

Luego de realizar la actividad, podría plantear la siguiente pregunta:

• Si inscribimos un pentágono regular y un octágono regular en una circunferencia,¿qué sucederá con el área del círculo y la de cada polígono regular?, ¿sus valoresserán similares?, ¿cuál de las áreas de los polígonos será una estimación mejor delárea del círculo?, ¿por qué?


• En los ítems 1 y 2, es conveniente recordarles a los y las estudiantes que laapotema es perpendicular al lado del polígono en su punto medio.

• En los ítems 1, 2 y 3, si considera necesario reforzar la multiplicación con númerosdecimales, pida a sus estudiantes que resuelvan algunos de los ejercicios sin calcu-ladora y que la utilicen para revisar sus resultados.

• En el ítem 3, pregúnteles cuáles fueron sus conclusiones. De este modo, podránllegar a una puesta en común.

• En el ítem 4, solicite que realicen los cálculos, en sus cuadernos, cuando el radiose duplica y cuando se triplica, pues, en muchos casos, suelen creer a priori queel área se duplica y triplica también.


• Es importante que recuerde a sus estudiantes que la apotema de un polígonoregular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; además, es perpen-dicular a dicho lado.

• Para evitar futuras confusiones, es conveniente que al finalizar el estudio de estecontenido, mencione que la obtención del área de un círculo estudiada es a travésde polígonos regulares inscritos en la circunferencia; por lo tanto, se trata de unaestimación del área real. Luego, el área del círculo se calcula con la fórmula πr 2.

• Si bien es importante que los alumnos y alumnas trabajen con calculadora, no esconveniente centrarse en una sola forma de resolver; también permítales realizarlos cálculos mentalmente.


De refuerzo

1. Utilizando escuadra, dibuja el apotema de cada polígono. Mide los lados y elapotema dibujado. Luego, aproxima el área de cada círculo. Considera π = 3,14.

a) b)

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas y calcular).

De profundización

1. Calcula el área de las siguientes figuras, usando la fórmula área = πr2. Consideraπ = 3,14.

a) c)

b) d)



apotema del pentágono

T U

A

J G

C

7 cm11 cm

6 cm8,2 cm




• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circun-ferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del cír-culo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas y analizar.


• Esta actividad debe ser desarrollada con el software GeoGebra, por lo cual sesugiere que la realice antes de trabajar con sus estudiantes.

• Para el correcto desarrollo de la actividad, solicíteles que trabajen de manera indivi-dual; solo en caso de que no cuente con la cantidad de computadores necesarios,propóngales trabajar en grupos.

• La primera parte de la actividad, sobre longitud de la circunferencia y área del círculo,como se trata de contenidos que fueron trabajados en las páginas anteriores delTexto, es una buena instancia para consolidar los aprendizajes y aclarar posibles dudas.

• En la segunda parte se muestra a los alumnos y alumnas cómo construir una coronacircular usando GeoGebra y, luego, determinar su área y perímetro. Es convenienteque, en este caso, comenten sus conclusiones y puedan llegar a una puesta encomún. Además, sería interesante que les planteara un ejemplo en la pizarra, dondedeban determinar dichos cálculos, sin usar el software computacional.


De refuerzo

1. Determina el área y perímetro de la siguientecorona circular, AB = 18 cm y DB = 3 cm(considera π = 3,14). Explica cómo lo hiciste.

2. ¿Es posible escribir una fórmula para determinar el área y otra para el perímetrode una corona circular?, ¿cuál?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, calcular y generalizar).




Mi progresoÍtem 1: analizar.Ítems 2, 3 y 4: analizar y calcular.Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.


• En los ítems 1, 2 y 3, deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídalesque realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que estole facilitará detectar si hay o no errores en la estrategia empleada.

• En el ítem 4, puede que sus estudiantes se confundan y dividan el área delcuadrado en 2, en vez de sacar la raíz cuadrada. Para evitar este inconveniente,recuérdeles que deben aplicar la operación inversa de elevar al cuadrado.

• En el ítem 5, puede que tengan problemas para abordar el problema. Si es nece-sario, oriéntelos diciéndoles que calculen la cantidad de metros de tubo plásticopara una argolla y, luego, que calculen el total pedido.

• Es posible que no recuerden aspectos específicos de los contenidos aprendidoshasta acá. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual ocuadro resumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento.También se sugiere una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantesconozcan las respuestas correctas y una forma de resolución.




4

Calcula correctamente el área pedida,justificando detalladamente cada unode sus pasos.

Calcula correctamente el área pedida,pero no justifica de manera adecuadalos pasos de resolución.

Calcula erróneamente el área pedida,confundiendo el radio como el lado del cuadrado.

Calcula erróneamente el área pedida,confundiendo el radio como el lado delcuadrado y no calcula correctamente laraíz cuadrada de 16.

5

Calcula correctamente los metrosde tubo plástico, justificando detalladamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente los metros detubo plástico, pero no justifica de manera adecuada los pasos de resolución.

Calcula erróneamente los metros detubo plástico, confundiendo eldiámetro con el radio.

Calcula erróneamente los metros detubo plástico, confundiendo eldiámetro con el radio, y no consideraque son quince argollas.


A

B

D

Conceptomatemático Definición

1. Circunferencia

2. Círculo

3. Radio

4. Cuerda

5. Diámetro

6. Arco

7. Secante

8. Tangente

9. Número π


2. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)

3. Determina el área de los siguientes círculos. Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)


Recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

Segmento que une dos puntos de la circunferencia,pasando por el centro.

Razón entre la longitud de una circunferencia ysu diámetro.

Parte de la circunferencia comprendida entredos puntos de ella.

Segmento que une cualquier punto de la circunferenciacon el centro.

Lugar geométrico de los puntos del plano que estána igual distancia de un punto fijo llamado centro.

Segmento que une dos puntos cualesquiera dela circunferencia.

Recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

Lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distanciaa otro punto fijo, llamado centro, es menor o igualque la longitud del radio.

A C

6 cm

O4,8 cm

O6,7 cm

8 cm

A C

11 cm12 cm

O23 cm

O

17 cm


De refuerzo

1. En cada línea de la columna “definición” escribe el número correspondiente,según el concepto matemático relacionado.


4. Una circunferencia tiene una longitud de 106,76 m. ¿Cuánto mide su radio?Considera π = 3,14.

5. Un círculo tiene un área de 1133,54 m2. ¿Cuánto mide su radio? Consideraπ = 3,14.

De profundización

1. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14.

a) b)

2. Determina el perímetro y el área de la siguiente corona circular, sabiendo que ladiferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es 1 cm, y el diámetro delcírculo menor mide 9 cm. Considera π = 3,14.

3. El radio del círculo de la figura mide 7 cm. Si el círculo está inscrito en el cuadrado,¿cuál es el área sombreada? Considera π = 3,14.


De refuerzo

1. Los números (ordenados) son: 8, 5, 9, 6, 3, 1, 4, 7, 2.

2. a) l = 37,68 cmb) l = 30,14 cm c) l = 25,12 cm d) l = 53,38 cm

3. a) Á = 379,94 cm2

b) Á = 140,95 cm2

c) Á = 113,04 cm2

d) Á = 415,27 cm2

4. r = 17 m

5. r = 19 m

De profundización

1. a) l = 12,495 cm Á = 9,62 cm2

b) l = 33,41 cm Á = 66,33 cm2

2. l = 62,8 cm Á = 31,4 cm2

3. El área sombreada es 42,14 cm2.

E

K

3,5 cm

13 cm




• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].


Para discutirÍtem 1: analizar y justificar. Ítem 4: analizar y reconocer.Ítem 2: analizar e identificar. Ítem 5: analizar y justificar.Ítem 3: analizar y conjeturar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad propuesta en la sección PARA DISCUTIR es que los alum-nos y alumnas observen y analicen las redes del cilindro y cono, y que sean capacesde deducir qué cuerpos geométricos se forman con las redes. Además, se espera quesean capaces de imaginar qué sucede si se hace rotar un rectángulo y un triángulorectángulo en torno a uno de sus lados y catetos, respectivamente. Para motivaresta actividad, podría proponer a sus estudiantes que la realicen con rectángulos ytriángulos rectángulos de papel o cartulina y, luego, que escriban sus conclusionesen sus cuadernos.

A partir de este trabajo inicial se pretende lograr que los alumnos y alumnas descubrancómo calcular el área total de conos y cilindros, utilizando contenidos previamenteaprendidos en esta Unidad y en años anteriores.


• Puede mostrar a sus estudiantes distintas redes asociadas al cono y al cilindro, paraque, por medio de la observación e imaginación, analicen algunas características deestos cuerpos. Además, podrán visualizar la relación entre las fórmulas para calcularlas áreas totales de dichos cuerpos y las redes.

• Esta forma de iniciar el contenido, permitirá que las alumnas y los alumnos anali-cen y reflexionen respecto de cómo deducir fórmulas y no simplemente memo-rizarlas; asimismo, estará facilitando en ellos el razonamiento matemático y elaprendizaje significativo.


De refuerzo

1. Dados los siguientes polígonos, indica:

a) ¿Con qué figuras es posible generar cilindros o conos rectos, si los hicierasrotar en torno a uno de sus lados?

b) Alrededor de qué lado rotarías la figura seleccionada. ¿Hay más de una posi-bilidad para formar con ese polígono un cilindro o un cono?, ¿por qué?

c) Esboza, en tu cuaderno, cómo quedaría cada cuerpo geométrico.

(Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y representar).





• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].


ActividadesÍtems 1 y 2: calcular. Ítem 5: aplicar y calcular.Ítem 3: analizar y calcular. Ítems 6, 7, 8 y 9: analizar y calcular.Ítem 4: calcular. Ítem 10: aplicar y calcular.


• Para que sus estudiantes continúen practicando la operatoria con números decimales,pídales, en algunos ejercicios, que los resuelvan sin calculadora y que utilicen estaherramienta para revisar sus soluciones.

• Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo completo y or-denado de los procedimientos que aplican en cada ejercicio. De esta forma com-prenderán mejor lo que están realizando y, además, será más sencillo detectarposibles errores.

• Es importante que recuerde a sus alumnos y alumnas el teorema de Pitágoras,pues en esta Unidad es fundamental para el cálculo de áreas y volúmenes de loscuerpos geométricos. Si es necesario, podría recordarlo en la pizarra y realizar al-gunas aplicaciones. Por ejemplo:

• En el ítem 1, puede que sus alumnos y alumnas no recuerden cómo calcular elárea total de una pirámide. Ayúdelos pidiendo que hagan un bosquejo de la redde este cuerpo, así podrán deducir cómo calcular esta área. Señale que la basede dicha pirámide es cuadrada.

• En el ítem 2, sus estudiantes deben tener cuidado al asignar los valores de r y h;en este caso r es el ancho y h es su largo.

• En el ítem 3, es posible que tengan dificultades para abordar el problema. Oriéntelosdiciendo que a partir del área del círculo pueden obtener el radio, luego el diámetroy finalmente la altura (que es igual al diámetro). Situación similar ocurre en el ítem 6,con el área de cada base de un cilindro circular recto. En el ítem 3, si sus alumnos yalumnas tienen dificultad para obtener el radio (r) de la base del cilindro, propón-gales que resuelvan la siguiente ecuación: π • r 2 = 452,16.Al resolverla, se obtiene:

3,14 • r 2 = 452,16 / : 3,14

r 2 = 144 /

r = 12• En el ítem 4, para evitar errores o confusiones, pídales que realicen los procedi-

mientos, paso a paso, y de manera ordenada.

• En el ítem 5, al saber la medida del ángulo del sector circular (60º), pueden

obtener la generatriz resolviendo la ecuación: .604 360

ºº= i

g

• En los ítems 6 y 9, puede suceder que sus estudiantes no comprendan qué es elárea lateral de un cuerpo geométrico. Explique que en este caso no se contem-plan las áreas de las bases, es decir, es el área total menos el área de las bases.

• En el ítem 7, los alumnos y alumnas se podrían confundir, ya que el ejercicio tratade un cilindro y uno de los datos es la medida de la generatriz. Aclare que en uncilindro recto la generatriz es igual a la altura.

• En el ítem 8, si tienen problemas para calcular él área de la base, recuérdeles que,al ser un polígono regular, su área (Á) se calcula multiplicando su perímetro (P)por su apotema (a) y, luego, se divide por dos, es decir:

• En el ítem 10, para facilitarles el cálculo de la generatriz del cono, recuérdeles queun cono se genera el girar un triángulo rectángulo con respecto a uno de suscatetos; por lo tanto, la generatriz es la hipotenusa de este triángulo rectánguloy se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, donde el radio y la altura son loscorrespondientes catetos.


De refuerzo

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos. Considera π = 3,14.



radio = 9 cmaltura = 16 cm

altura = 36 cmgeneratriz = 39 cm



122 + 162 = x 2 / T. de Pitágoras144 + 256 = x 2

400 = x 2 / 20 = x

ÁP a= i

2

A

B C

x

16 cm

12 cm




• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; […] y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.


Para discutirÍtem 1: conjeturar.Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar.Ítem 5: conjeturar.


ActividadesÍtem 1: calcular.Ítems 2, 3 y 4: calcular y predecir.Ítems 5 y 6: analizar, calcular y justificar

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial, EN EQUIPO, propuesta en el Texto, es que los alum-nos y alumnas observen la relación entre el volumen del cilindro y cono (el volumende un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro, con el radio de la base yaltura de igual medida que el cilindro). Adicionalmente, basándose en contenidosaprendidos previamente en la Unidad y en cursos anteriores con respecto al volumende otros cuerpos geométricos, se pretende que los alumnos y alumnas, por mediode la experimentación y sus conocimientos previos, sean capaces de deducir y en-tender las fórmulas.

Es importante que todos sus estudiantes participen en la actividad, formen gruposde trabajo, para que compartan ideas y experiencias, respeten opiniones, y el trabajosea colaborativo.


• Permítales a sus estudiantes que utilicen calculadora en algunos casos; así podránahorrar tiempo e invertirlo en otras actividades o nuevos contenidos.

• Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo, paso a paso, yordenado de los procedimientos en cada ejercicio. De este modo, comprenderánde mejor forma lo que están realizando y será más fácil detectar posibles erroresy corregirlos.

• En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para esta actividad, pídalesque hagan el dibujo del cilindro, en sus cuadernos, asignándole las medidas indi-cadas. Para algunos, es más fácil realizar los cálculos correspondientes visualizandola figura.

• En los ítems 2, 3 y 4, es posible que sus alumnos y alumnas tengan dificultad parapredecir qué sucede con el volumen si alguna de las medidas del cono o cilindroaumenta o disminuye. Si esto ocurre, pídales que calculen dichos volúmenes conlos valores numéricos correspondientes y, a partir de los resultados obtenidos,saquen conclusiones.

• En el ítem 5, según el volumen del cilindro y del radio de la base deben determinarla medida de su altura. Como es el proceso inverso, deben tener especial cuidadoen las operaciones que realizan para obtener la respuesta correcta. Si es necesario,oriéntelos diciendo que pueden plantear una ecuación, como la siguiente:3,14 • 32

• h = 240,21.

• En el ítem 6, a partir del volumen del cono y del área de la base deben determi-nar la medida de la altura y del radio de la base. Como es el proceso inverso,deben tener especial cuidado en las operaciones que realizan para obtener la res-puesta correcta. En este caso, pueden plantear dos ecuaciones, una para determinar

la altura, y la otra para el radio, como las siguientes: y

3,14 • r 2 = 254,34, respectivamente.

Solo si es necesario, muéstreles las ecuaciones anteriores, ya que la idea es quesurjan de sus propios estudiantes.


• Sabemos que el volumen de un cuerpo es la medida que este ocupa en el espacio.Mostrar a sus estudiantes el volumen de conos y cilindros a través de la cantidadde arena que puede contener cada uno de ellos, clarifica este contenido. La ideade la actividad exploratoria, es que puedan llegar a la conclusión:

y, luego, mediante sus conocimientos previos, puedan llegar a la fórmula:

Vcilindro = área base • altura

Por lo tanto, si el radio de la base y la altura del cono miden lo mismo que elradio de la base y altura del cilindro:

Vcono = • área base • altura

• Podría aprovechar esta instancia para recordar a sus estudiantes que los prismasy las pirámides también se relacionan respecto a su volumen. El volumen de unapirámide es igual a la tercera parte del volumen de un prisma con base y alturade igual medida.

Volumen pirámide = • Volumen prisma

Por lo tanto:Vprisma = área base • altura

Vpirámide = • área base • altura13

13

13


13

254 34 1017 36, ,i i h =

Volumen conoVolumen cilindro=

3




• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro ycono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casosparticulares, mediante el uso de un procesador geométrico.


ActividadesÍtem 7: usar herramientas.

Herramientas tecnológicasUsar herramientas y verificar.

Cuerpo Radio Altura Área Volumen

Cilindro 7 m 9 m

Cono 5 cm 12 cm

Cilindro 8 m 11 m

Cono 9 cm 12 cm



• Para realizar la actividad del ítem 7, recuerde que, para obtener el valor delnúmero π en una calculadora científica, se deben presionar las teclas:

• Es conveniente que sus estudiantes realicen individualmente la sección HERRAMIEN-TAS TENOLÓGICAS. Si no cuenta con los computadores suficientes, formen gruposde no mas de tres integrantes. Procure la participación de cada uno, para que todosaprendan a utilizar este nuevo software.

• Esta actividad computacional permitirá a sus estudiantes verificar las respuestasobtenidas en el ítem 7 del Texto del Estudiante. A futuro podrá trabajar con este pro-grama para calcular áreas y volúmenes de variadas figuras y cuerpos geométricos.


De refuerzo

1. Usando el software Limix Goemetric 1.2.16, calcula el área y el volumen de lossiguientes cuerpos, considerando los datos entregados. Completa la tabla conlos resultados obtenidos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, aplicar y calcular).




Mi progresoÍtems 1 y 2: calcular.Ítems 3 y 4: analizar y calcular.Ítem 5: resolver problemas y calcular.


• Indique que los resultados se deben redondear a los centésimos (dos cifras decimales).• En los ítems 1 al 3, deben seleccionar la alternativa correcta, por lo tanto, pídales

que escriban los desarrollos al lado de cada pregunta.• En el ítem 4, sus estudiantes podrían pensar que la medida 20 cm, que aparece en

la red, corresponde a la altura. Para evitar este tipo de errores, si es necesario, podríadibujar en la pizarra un cono recto indicando cuál es la altura, la generatriz y el radio.

• En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener dificultades al calcular el áreaen el envase A, pues deben calcular solo el área lateral. Mencione, en este caso,que para cubrir un envase de conservas, solo se cubre la parte lateral, y no lasbases. Además, destaque que se pide determinar cuánto material más se nece-sita, es decir, deben calcular la diferencia entre ambas áreas.

• Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisiónindividual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corre-girlas. También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que susestudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución.



Shift π =


4

Calcula correctamente el área y volumen pedido, indicando detalladamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y volumen pedido, pero no indica deforma adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente en uno de losdos casos (área total o volumen),confundiendo los pasos de resolución.

Calcula erróneamente el área y volumenpedido, confundiendo la generatriz conla altura, y los procedimientos paraobtener el área y volumen.

5Resuelve correctamente ambos problemas, indicando detalladamentecada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de maneraadecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente solo uno de los problemas, confundiendo lospasos de resolución.

Resuelve erróneamente, en ambos casos,confundiendo los pasos de resolución

A continuación, se presenta una rúbrica para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5.

Radio Altura GeneratrizÁrea sector

circularÁrea total Volumen

4 cm 5 cm7,6 mm 9 mm

4 m 5 m12 cm 753,6 cm3

4,57 mm 31,57 mm2

8 mm 301,44 mm3

3 cm 7 cm12 cm 314 cm3

3,8 m 10 m30 cm 40 cm

Radio Altura Área lateral Área total Volumen

4 cm 86 cm2

5 mm 7,6 mm8 cm 144 cm2

6 cm 500 cm2

3 mm 5 mm26,5 cm 16 309,16 cm3

10 cm 3000 cm3

6,5 cm 10 cm13 cm 734,76 cm2

2,2 m 3,5 m



De refuerzo

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos.

1. Calcula el área total de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que:

a) r = 4 cm y h = 12 cmb) r = 11 m y h = 8 mc) d = 10 mm y h = 9,5 mmd) d = 8 cm y h = 4,6 cm

2. Calcula el área total de los siguientes conos rectos, sabiendo que:

a) r = 8 cm y g = 10 cmb) r = 30 mm y h = 40 mmc) r = 5 m y h = 12 md) r = 7 cm y h = 9 cm

3. Calcula el volumen de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que:

a) r = 4 cm y h = 8 cmb) r = 7 m y h = 9 mc) d = 10 mm y h = 10 mmd) d = 12 cm y h = 5 cm

4. Calcula el volumen de los siguientes conos rectos, sabiendo que:

a) r = 6 cm y h = 7 cmb) r = 8 mm y h = 9 mmc) r = 13,6 m y g = 20 md) r = 10,5 cm y h = 13 cm

De profundización

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos.

1. Completa la siguiente tabla asociada al cilindro recto.

2. Completa la siguiente tabla asociada al cono recto.


Radio Altura Área lateral Área total Volumen

4 cm 3,42 cm 86 cm2 186,48 cm2 171,82 cm3

5 mm 7,6 mm 238,64 mm2 395,64 mm2 596,6 mm3

8 cm 2,87 cm 144 cm2 545,92 cm2 576,76 cm3

6 cm 7,27 cm 273,92 cm2 500 cm2 821,8 cm3

3 mm 5 mm 94,2 mm2 150,72 mm2 141,3 mm3

14 cm 26,5 cm 2329,88 cm2 3560,76 cm2 16 309,16 cm3

10 cm 9,55 cm 599,74 cm2 1227,74 cm2 3000 cm3

6,5 cm 10 cm 408,2 cm2 673,53 cm2 1326,65 cm3

9 cm 13 cm 734,76 cm2 1243,44 cm2 3306,42 cm3

2,2 m 3,5 m 48,36 m2 78,75 m2 53,19 m3


3. Determina la medida de la altura de un cilindro cuyo radio mide 2 m y el áreatot al es 38 m2.

4. Determina la medida de la generatriz de un cono, cuya área del sector circulares 20 cm2 y su radio mide 3 cm.

5. Determina la medida del radio de un cono, cuyo volumen es 700 m3 y su alturamide 7 m.

6. Determina la medida de la altura de un cilindro, si su volumen es 300 cm3 y suradio mide 3 cm.

7. Determina la medida del radio de un cilindro, si su volumen es 120 mm3 y sualtura mide 7 mm.

8. Determinar la medida de la altura de un cono cuyo volumen es 250 m3, y suradio mide 5 m.

9. El volumen de un cilindro es 452,16 cm3, y el diámetro de la base mide 12 cm.¿Cuál es su área total?

10. La altura de un cilindro mide 8 m y su radio 6 m. Si se quiere pintar el cilindrocompleto, ¿cuál es su costo, si el metro cuadrado tiene un valor de $ 1100?

Radio Altura GeneratrizÁrea sector

circularÁrea total Volumen

4 cm 5 cm 6,4 cm 80,38 cm2 130,62 cm2 83,73 cm3

4,82 mm 7,6 mm 9 mm 136,21 mm2 209,16 mm2 184,86 mm3

4 m 3 m 5 m 62,8 m2 113,04 m2 50,24 m3

12 cm 5 cm 13 cm 489,84 cm2 942 cm2 753,6 cm3

2,2 mm 4 mm 4,57 mm 31,57 mm2 46,77 mm2 20,26 mm3

6 mm 8 mm 10 mm 188,4 mm2 301,44 mm2 301,44 mm3

3 cm 7 cm 7,62 cm 71,78 cm2 100,04 cm2 65,94 cm3

5 cm 12 cm 13 cm 204,1 cm2 282,6 cm2 314 cm3

3,8 m 9,25 m 10 m 119,32 m2 164,66 m2 139,8 m3

30 cm 40 cm 50 cm 4710 cm2 7536 cm2 37 690 cm3

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 166 Y 167 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1. a) 401,92 cm2 b) 1312,52 m2 c) 455,3 mm2 d) 216,03 cm2

2. a) 452,16 cm2 b) 7536 mm2 c) 282,6 m2 d) 404,43 cm2

3. a) 401, 92 cm3 b) 1384,74 m3 c) 785 mm3 d) 565,2 cm3

4. a) 263,76 cm3 b) 602,88 mm3 c) 2838,05 m3 d) 1500,14 cm3

De profundización

1.

2.

3. h = 1,03 m 5. r = 9,77 m 7. r = 2,34 mm 9. Á = 376,8 cm2

4. g = 2,12 cm 6. h = 10, 62 cm 8. h = 9,55 m 10. $ 580 272




• Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo dela longitud de la circunferencia, él área del círculo, la superficie del cilindro, cono ypirámides y el volumen del cilindro y cono.


Buscando estrategiasAnalizar, aplicar y calcular.



El problema presentado en el Texto pretende que sus estudiantes apliquen parte delos contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollen habilidades propiasde la resolución de problemas.

Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-suelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una formade dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema po-dría ser usando el software Limix Goemetric 1.2.16, para calcular el volumen delcilindro y del cono y, luego, sumarlos. Además, podría cambiar las medidas delradio y altura del cilindro (por ende, variarán las del cono) para calcular el volumende este nuevo cuerpo geométrico.

Monitoree constantemente a sus estudiantes para que realicen un trabajo orde-nado, escribiendo, paso a paso, los procedimientos. Esto les permitirá detectar ycorregir errores, si los tuvieran.


De refuerzo

1. Determina el volumen y el área total de la siguiente figura.

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular).

De profundización

1. Inventen un problema que integre uno o más de los contenidos de la Unidad.Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo, utilizando lasestrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra.Revisen ambos problemas en conjunto y discutan sobre los resultados obtenidos.

(Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar, calcular y verificar).












• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio.• Puede demostrar y explicar usando una variedad de

modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y










no razonable.




4 cm

4 cm

6 cm




ConexionesConectar, analizar y aplicar.


INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los cuerposgeométricos estudiados en esta Unidad, y otros ya conocidos, como el cubo, conuna técnica que se usa para dibujar objetos, llamada encaje. Además, con esta téc-nica se puede aproximar la medida que ocupa el objeto en el espacio.

La técnica de encaje permite dibujar cualquier objeto, ya sea una figura plana otridimensional, pues se puede encerrar dentro de una figura o cuerpo geométrico,o bien combinaciones de varias formas.

Antes de encajar el objeto, debemos observarlo atentamente para escoger las figuraso cuerpos geométricos adecuados.

En el ejemplo, podemos observar que la estructurageométrica de la hoja es análoga a un triángulo.

Más información sobre dibujos, búsquela en el manual Forma, Encaje y Perspectivas,del sitio web sugerido a continuación.

Un interesante archivo bibliográfico online, donde se pueden encontrar libros, manualesy talleres (de consulta) centrados en la cultura y el arte, está disponible en el sitio web:www.purpuraplastika.org/eventos/biblioteca.html


De refuerzo

1. En relación con la técnica para dibujar llamada encaje, responde las siguientespreguntas:

a) ¿Consideras que la técnica aprendida es una forma sencilla de dibujar figuras?,¿por qué?

b) Escoge tres figuras de tu entorno y, luego, utiliza la técnica de encaje paradibujarlas en tu cuaderno.

c) Usando una huincha para medir, determina el volumen aproximado de cada una.

(Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar, usar herramientas y justificar).


Los mapas conceptuales son un recurso visual muy atractivo y efectivo para los alumnosy alumnas, ya que les permite organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los con-ceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.


A continuación, proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados enesta Unidad: el resumen.

Para que el resumen de la Unidad esté completo sería apropiado que indique cuálesson los contenidos que deben incluir. Asimismo, podría presentar al curso uno rea-lizado por usted y revisarlo en conjunto con el curso, guiados por preguntas comolas siguientes:

• ¿Es correcta la definición dada?, ¿está completa?• ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna?• ¿Es adecuado el ejemplo propuesto?• ¿Es adecuado el problema de aplicación?


De refuerzo

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

1. ¿En qué objetos de la realidad podemos encontrar círculos, circunferencias, conosy cilindros?

2. Construye en tu cuaderno un cuadro resumen con los principales temas de esta Unidad.

3. Inventa un problema que involucre cálculo de la longitud de la circunferencia y,luego, resuélvelo.

4. Inventa un problema que incluya el área del círculo; luego, resuélvelo.5. Inventa un problema referido al volumen del cilindro y cono; luego, resuélvelo.6. ¿Cómo justificarías que la fórmula para calcular el área total de un cilindro es

(2 • π • r • h) + (2 • π • r 2)?7. ¿Cómo calcularías el área total de un cono cuya altura mide 13 cm y el radio de

la base mide la mitad?

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, justificar y calcular).

De profundización

1. Construye un cuadro resumen sobre: la circunferencia, su longitud y sus elemen-tos; el círculo y la estimación de su área. Da tres ejemplos.

2. Construye un cuadro resumen sobre el cono y cilindro, su área total y volumen.Da tres ejemplos.

3. Inventa un problema que implique calcular el volumen de un cuerpo formado pordos o más cuerpos geométricos; luego, resuélvelo, indicando la estrategia utilizada.

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular y calcular).





¿Qué aprendí?Ítems 1 y 2: recordar y analizar.Ítems 3, 4, 5, 6, 7 y 8: analizar y calcular.Ítems 9, 10, 11 y 12: analizar, aplicar y calcular.


En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquiridolos alumnos y alumnas en la Unidad de Geometría y medición, y con esta informaciónseguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido orealizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pre-tendían con el desarrollo de esta Unidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas eslimitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen,que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras. Para evitar este inconveniente, en los ítems de selección múltiple, se

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, pues de estemodo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar losaprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, sus estudiantes podrían confundirse al determinar cuánto papel se nece-sita, ya que no se pide explícitamente el área o volumen. Con este problema podráapreciar quiénes comprenden dichos conceptos y sus aplicaciones en situaciones sig-nificativas. Si es necesario, muestre con un envase cilíndrico qué deben calcular.

• En los ítems 10 y 11, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para responder,es conveniente pedirles que dibujen los cuerpos geométricos en sus cuadernos y,además, que sean ordenados en el desarrollo de su estrategia, pues, si cometen errores, será más fácil corregirlos y detectarlos.

• En el ítem 12, podrían tener dificultades para determinar la medida del radio de lacircunferencia mayor, considerando la razón entre ellos. Puede guiarlos pidiendoque determinen el término que falta en la proporción 1 : 3 = 4 : x, para determi-nar el radio desconocido.



La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12.


9

Calcula correctamente el área de lacara lateral, indicando adecuadamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área de lacara lateral, pero no indica de maneraadecuada cada uno de sus pasos.

Calcula solo el área total del cilindro;además, no indica de manera adecuadacada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el área solicitada;además, no indica de manera adecuadacada uno de sus pasos.

10

Calcula correctamente el área y cobropedido, indicando adecuadamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y cobropedido, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área a pintar yerróneamente el cobro pedido; además,confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente el área y cobropedido, confundiendo procedimientospara obtener el área.

11

Calcula correctamente las áreas pedidas, indicando adecuadamentecada uno de sus pasos.

Calcula correctamente las áreas pedidas, pero no indica de maneraadecuada cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente alguna de lasáreas pedidas, ya sea el área de la baseo el área total; además, confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente las áreas pedidas, confundiendo los procedimientos para obtener ambas.

12

Calcula correctamente la longitud, el área y la razón pedidas, indicandoadecuadamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente la longitud, el área y la razón pedidas, pero no indica de manera adecuada cada unode sus pasos.

Calcula erróneamente ya sea la longitud, el área o la razón pedidas;además, confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente la longitud, el área y la razón pedidas, confundiendolos procedimientos para obtener los resultados.


De refuerzo

1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) Una recta tangente interseca en un único punto a la circunferencia.

b) El radio es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasandopor el centro.

c) Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la cir-cunferencia.

d) Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntosde ella.

e) El área de un círculo es la razón entre la longitud de una circunferenciay su diámetro.

f) El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distanciaa otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

2. Completa la siguiente tabla, redondeando tus resultados a los centésimos.Considera π = 3,14.


3. Aproxima el área de cada círculo por medio de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

a) c)

b) d)

4. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)


Radio Longitud de la circunferencia Área del círculo

7 cm

5,4 m

3 mm

4,3 cm

6 m

O O

O

C E

E

C

O

2 cm

3,08 cm

14 cm 9 cm

4 cm

3,7 cm

1,73 cm

2 cm1,54 cm

2,12 cm

1,54 cm

1 cm


5. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos rectos.Considera π = 3,14.

a) c)

b) d)

De profundización

Resuelve los siguientes problemas considerando π = 3,14.

1. Determina el área y el perímetro de la siguiente corona circular, sabiendo que lacircunferencia menor tiene un diámetro que mide 7 cm, y el diámetro de la mayormide el doble que el diámetro de la menor.

2. El radio de la circunferencia que se muestra a continuación mide 19 cm. Si estáinscrita en el cuadrado, ¿cuál es el valor del área sombreada?

3. Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado, si el perímetrode dicho polígono es 80 cm.

4. La longitud de una semicircunferencia es 131,88 m. ¿Cuánto mide su radio?

5. La longitud de una circunferencia es 28,26 cm. Determina la medida de su diámetro.

6. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro recto para que suárea lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales?

7. Hallar la altura de un cono recto si el área lateral mide 62,8 cm2 y el radio basalmide 4 cm.

8. Calcula el área total de un cono recto cuya generatriz mide 25 cm y el radio basalmide 15 cm.

9. Para la fiesta de cumpleaños de Luisa, sus padres quieren fabricar gorros de car-tulina con forma de cono. Estimaron que el diámetro de estos debe medir 20 cmy la altura 25 cm. Si en total serán 30 personas, ¿cuántos metros cuadrados decartulina necesitan, aproximadamente?

10. Un comerciante vende helados bañados en chocolate. Si el diámetro de la basedel cono mide 5 cm y la altura del cono mide 12 cm, ¿cuál es el volumen delcono de helado?


radio = 60 mgeneratriz = 100 m



altura = 24 mmradio = 10 mm

O

W

P

Radio Longitud de la circunferencia Área del círculo

7 cm 43,96 cm 153,86 cm2

5,4 m 33,91 m 91,56 m2

3 mm 18,84 mm 28,26 mm2

4,3 cm 27 cm 58,06 cm2

6 m 37,68 m 113,04 m2

De profundización

1. P = 65,94 cm; Á = 115,4 cm2

2. Á = 310,46 cm2

3. L = 62,8 cm

4. r = 42 m

5. d = 9 cm

6. Deben ser de igual medida.

7. h = 3 cm

8. Á = 1884 cm2

9. Se necesitan 25 368,06 cm2, aproximadamente.

10. V = 78,5 cm3



De refuerzo

1. a) Verdadero.b) Falso.c) Verdadero.d) Verdadero.e) Falso.f) Verdadero.

2.

3. a) Á = 10,38 cm2

b) Á = 30,8 cm2

c) Á = 14,69 cm2

d) Á = 7,7 cm2

4. a) L = 71,96 cm; Á = 307,72 cm2

b) L = 19,02 cm; Á = 21,49 cm2

c) L = 32,13 cm; Á = 63,59 cm2

d) L = 26,84 cm; Á = 37,68 cm2

5. a) Á = 30 144 m2; V = 301 440 m3

b) Á = 2486,88 cm2; V = 9498,5 cm3

c) Á = 3108,6 cm2; V = 12 717 cm3

d) Á = 1130,4 mm2; V = 2512 mm3


IIdentificar, analizar, recordar ycalcular.


IIResolver problemas, aplicar y calcular.


entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, sesugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues deeste modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcan-zar los aprendizajes que se espera que logren.

• En los ítems de desarrollo, monitoree constantemente el trabajo de los y las alumnas,con la finalidad de que trabajen según las instrucciones. Pídales a sus estudiantesque lean detalladamente cada problema, para evitar confusiones.

Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evalua-ción, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadasen esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudasque tengan.

Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aque-llos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.


I.1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. D 8. C

II.9. 6437 cm2 10. 56 viajes 11. 314 m 12. 490,625 m2

13. a) 20 cm y 26 cm, respectivamente.

b) 816,4 cm2


EVALUACIÓN FINAL

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Geometría ymedición. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Estetiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.


Puntaje total de la evaluación: 52 puntos.

Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados porsus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:



• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudianteses limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que come-ten (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem II.


IIResuelve correctamente ambos problemas, indicando de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de formaadecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente uno de losdos problemas; además, no indica deforma adecuada todos sus pasos.

Resuelve erróneamente ambosproblemas, y no indica de forma adecuada cada uno de sus pasos.

EVALUACIÓNPotencias


Puntaje: Nota:

I. Marca la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza eldesarrollo al lado de cada pregunta. Considera π = 3,14.

1. El lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual dis-tancia de un punto fijo, llamado centro, corresponde a:

A. cuerda.B. círculo.C. radio.D. circunferencia.

2. El área sombreada de la figura es:

A. 28,26 cm2

B. 19,74 cm2

C. 12,8 cm2

D. 9,42 cm2

3. Si la altura del cilindro recto de la figura mide 15 m y su radio 5 m,¿cuál es su volumen?

A. 1157 m3

B. 1175 m3

C. 1177,5 m3

D. 177,5 m3

4. Si el radio del cono recto de la figura mide 3 cm y su altura es eltriple del radio, ¿cuál es su volumen?

A. 18,84 cm3

B. 28,26 cm3

C. 84,78 cm3

D. 254,34 cm3

5. La longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 24 mm es:

A. L = 75,36 mmB. L = 37,68 mmC. L = 150,72 mmD. L = 452,16 mm

6. Si el perímetro del polígono regular verde de la figura es 36 cm y suapotema mide 5,5 cm, y el perímetro del polígono regular naranjo es36,3 cm y su apotema mide 5,7 cm, entonces la mejor estimacióndel área del círculo de centro O es:

A. 99 cm2

B. 103,46 cm2

C. 198 cm2

D. 206,91 cm2


3 cm6 cm

8 cm

O

7. El área total del cono recto de la figura, de altura 3 cm y radio 4 cm es:

A. 62,8 cm2

B. 50,24 cm2

C. 87,92 cm2

D. 113,04 cm2

8. El área total del cilindro recto de la figura, de altura 10 cm y radio7 cm es:

A. 439,6 cm2

B. 307,72 cm2

C. 747,32 cm2

D. 1067,6 cm2

II. Resuelve los siguientes problemas. Considera π = 3,14.

9. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con forma cilíndrica, sisu radio basal mide 5 cm y su largo 2 m?

10. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros conforma de cono recto cuyo radio mide 40 m y su altura 10 m. Si elsalitre acumulado debe ser transportado en un camión con capaci-dad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes deberá realizar el camiónpara transportar el mineral de un cerro?

11. Don Luis quiere cercar con alambre un terreno de forma circular,como se observa en la imagen. Si requiere que el alambre dé 4 vueltas y el terreno tiene un diámetro de 25 m, ¿cuántos metrosde alambre necesita?

12. Considerando la pregunta anterior: Si Don Luis quiere sembrarlechugas en el terreno circular, ¿de cuántos metros cuadradosdispone, aproximadamente?

13. El gorro que usó Andrés para su cumpleaños tiene forma de conorecto. Si su altura mide 24 cm y el volumen es 2512 cm3, responde:

a) ¿Cuánto mide su diámetro?, ¿y su generatriz?b) ¿Cuál es su área lateral?


25 m

Ampliación Reducción

como

180 Unidad 4 – Movimientos en el plano Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al estudio de transformaciones isométricas de figurasgeométricas planas y a la aplicación de dichas transformaciones en contextos diversos.Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos sobre puntos,rectas, ángulos, polígonos y construcciones para la realización de transformacionesisométricas (traslaciones, rotaciones, y reflexiones) de diferentes polígonos (regularese irregulares), así como también, que sean capaces de reconocer y discutir respecto delos aspectos que se mantienen y de los que varían luego de la aplicación de una trans-formación isométrica en el plano.

En la segunda parte de la Unidad son presentadas las teselaciones regulares y semi-rregulares, como una aplicación concreta de las transformaciones isométricas.

El objetivo de esta Unidad es que los alumnos y alumnas caractericen y efectúentransformaciones isométricas de figuras geométricas planas con regla y compás, empleando un procesador geométrico; además, que construyan algunas teselacionesy argumenten respecto de las transformaciones isométricas involucradas en ellas.


Movimientos en el planoUnidad4

Transformacionesde polígonos

Isométricas No isométricas

Traslación

Vector detraslación

Eje desimetría

Polígonoregular

Reflexión

Teselaciones

Regulares Semirregulares

Rotación

pueden ser

tipos

respecto de

pueden ser

contienendos o más

contienenun

según un

se p

uede

n cr

ear

respecto de

Centro derotación

Ángulo derotación


7º básico

Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices deángulos, construcción de rectas paralelasy perpendiculares, mediante regla y com-pás o un procesador geométrico.

8º básico

Realización de traslaciones, reflexiones yrotaciones de figuras geométricas planasa través de construcciones con regla ycompás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las in-variantes que se generan al realizarestas transformaciones.

Construcción de teselaciones regulares ysemirregulares y argumentación acercade las transformaciones isométricas uti-lizadas en dichas teselaciones.

1º medio

Identificación del plano cartesiano y su usopara representar puntos y figuras geométri-cas manualmente y haciendo uso de unprocesador geométrico.

Notación y representación gráfica de vec-tores en el plano cartesiano y aplicaciónde la suma de vectores para describirtraslaciones de figuras geométricas.

Formulación de conjeturas respecto delos efectos de la aplicación de trasla-ciones, reflexiones y rotaciones sobre fi-guras geométricas en el plano cartesianoy verificación, en casos particulares, dedichas conjeturas mediante el uso de unprocesador geométrico o manualmente.

Aplicación de la noción de semejanza a lademostración de relaciones entre segmen-tos en cuerdas y secantes en una circunfe-rencia y a la homotecia de figuras planas.

Relación del concepto de congruencia defiguras planas con las transformacionesisométricas, formulación y verificación deconjeturas, en casos particulares, acercade criterios de congruencia en triángulosy utilización de estos criterios en la reso-lución de problemas y en la demostraciónde propiedades en polígonos.

2º medio

Exploración de diversas situaciones queinvolucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

Identificación y utilización de criterios desemejanza de triángulos para el análisis dela semejanza en diferentes figuras planas.










Realización de traslaciones, reflexio-nes y rotaciones de figuras geométricasplanas a través de construcciones conregla y compás y empleando un proce-sador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizarestas transformaciones.

Construcción deteselaciones regularesy semirregulares y argumentación acerca de las transfor-maciones isométricasutilizadas en dichas teselaciones.

• Transformaciones defiguras y objetos.

• Traslaciones de figuras planas.

• Reflexiones de figuras planas.

• Rotaciones de figuras planas.

• Teselaciones.• Teselaciones regulares

y semirregulares.

• Efectuar traslaciones,reflexiones y rotacionesde figuras geométricasplanas por medio deconstrucciones conregla y compás.

• Realizar traslaciones,reflexiones y rotacionesde figuras geométricasplanas por medio de un procesador geométrico.

• Reconocer los aspectosque se mantienen alrealizar transforma-ciones isométricas.

• Construir teselaciones regulares y semirregulares.

• Reconocer y argumen-tar respecto de lastransformacionesisométricas utilizadasen teselaciones regu-lares y semirregulares.

En el TextoDe exploración:páginas 106, 108, 110 y 112.

De construcción deconceptos: páginas 107,109, 111, 113, 114, 115 y 116.

De consolidación:páginas 126 y 127.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas193, 195, 197, 199, 201,204 y 205.

De profundización:páginas 193, 195, 197 y 199.

En el TextoDe exploración:páginas 154 y 156.De construcción deconceptos: páginas 155,157 y 158.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas207, 209, 211, 212y 213.

De profundización:207, 209, 212 y 213.

• Identifican característicasde figuras que represen-tan una transformaciónisométrica.

• Determinan si ciertas figuras se pueden obteneraplicando una transfor-mación isométrica.

• Construyen con regla ycompás la imagen de unafigura al aplicar una trans-formación isométrica.

• Realizan transformacionesisométricas empleando unprocesador geométrico.

• Determinan los elemen-tos que no varían, alaplicar una transforma-ción isométrica a unafigura plana.

• Construyen teselacionesregulares.

• Construyen teselacionessemirregulares.

• Distinguen las transfor-maciones isométricas involucradas en una teselación.

Diagnóstica:páginas 104 y 105 del Textodel Estudiante.

Formativa: páginas 117 y 123 del Textodel Estudiante.


• Regla.• Compás.• Transportador.• Computador

con softwareGeogebra.

• Cartón piedrade 40 cm x30 cm.

• Pegamento.• Tijeras.• Papeles de

colores.







Realización de trasla-ciones, reflexiones yrotaciones de figurasgeométricas planas através de construc-ciones con regla ycompás […].

• Buscando estrategias. • Resolver problemas encontextos diversos queinvolucran la aplicaciónde transformacionesisométricas.

• Analizar la validez delos procedimientos utilizados y de losresultados obtenidos.






• Resuelven problemas queinvolucran traslaciones,reflexiones o rotaciones.


ERRORES FRECUENTES


Si los conocimientos sobre puntos, rectas, ángulos, polígonos y sus característicasson insuficientes, se pueden producir complicaciones en el aprendizaje de los polígonos y sus transformaciones en el plano.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante recordar los conceptos necesarios, clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en elaprendizaje de los contenidos de la Unidad.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos dondedetectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las construcciones con regla y compás es posible encontrar los siguientes Inconvenientes:

• Realización incorrecta de la copia de trazos y ángulos.• Construcción incorrecta de rectas paralelas y perpendiculares.

• Para aclarar cómo se transportan segmentos y ángulos, sería conveniente que recuerde en la pizarra cómo se realizan estas construcciones geométricas.

• Para que los alumnos y alumnas construyan rectas paralelas al vector detraslación, es aconsejable que recuerde en la pizarra o usando un procesador geométrico esta construcción. De forma similar, recuerde la construcción de rec-tas perpendiculares en la reflexión. Además, puede pedir a sus estudiantes que describan en sus cuadernos, paso a paso, los procedimientos empleados.

En la construcción de teselaciones regulares y semirregulares, se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Dificultades para identificar qué polígonos regulares teselan el plano.• Problemas para argumentar respecto de las transformaciones isométricas

utilizadas en algunas teselaciones.

• Para ayudar a que los y las estudiantes identifiquen cuándo es posible teselar el plano usando uno o más polígonos regulares, es conveniente recordar quela suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º, y constatarlo calculando la suma de dichos ángulos.

• Para que los alumnos y alumnas distingan correctamente las transformacionesisométricas empleadas en una teselación, es conveniente que muestre en la pizarra, a partir de la figura inicial, cómo se construye una teselación, identificando con distintos colores las traslaciones, rotaciones y reflexiones presentes en ella.

A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un de-sarrollo conceptual más amplio de los temas tratados en la Unidad.

POLÍGONOS Y SUS ELEMENTOS BÁSICOS

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentosrectos consecutivos no alineados, llamados lados.

Los elementos básicos de un polígono son:

• Lados: segmentos que delimitan el polígono. Si están trazados uno a continua-ción del otro son lados consecutivos.

• Vértices: puntos de intersección entre dos lados consecutivos de un polígono.

• Ángulos: estos pueden ser interiores o exteriores.

• Diagonales: segmentos que unen cada uno de los vértices no consecutivos.

Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados. Por ejemplo:

Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono se denomina cóncavo, si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º; se denomina convexo, si cada uno de sus ángulos interiores mide menosde 180º.

Polígono cóncavo Polígono convexo

Ángulos interiores y exteriores de un polígonoLa suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados, estádada por la expresión:

180º • (n – 2)

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera essiempre igual a 360º.

Polígonos regulares e irregulares

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus ángulos y lados de igual medida;de lo contrario, es un polígono irregular.

La expresión que permite obtener la medida de un ángulo interior de un polígonoregular de n lados está dada por:

α: medida de cada ángulo interior

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICASPrevio a la construcción con regla y compás de rectas paralelas y perpendiculares,copiaremos un segmento y un ángulo dados.

• Copiar un segmento AB dado

1° Se dibuja una recta L y se elige unpunto A sobre ella.

2° Se mide con el compás el segmentoy, luego, con centro en A y esta medida, se construye un arco quecorte a la recta L. El punto de intersección corresponde al punto B.

• Copiar un ángulo AOB dado

1° Se copia el segmento OB sobre unarecta L.

2° Con centro en O, se dibuja un arcocon el mismo radio de medida OA.

3° Con centro en B, se dibuja un arcocon radio de medida AB.

4° Donde se intersecan ambos arcos estará el punto A. Se une O con A,para obtener el ángulo pedido.

= ° ( )180 2i nn


REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONESSOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

Nº de lados 3 4 5 6 7

Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

A B

A B L

O

A

B

O B L

O B

A

L


A continuación, veremos cómo se construyen, paso a paso, rectas paralelas y perpendiculares.

• Construir una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un punto Pque no pertenece a dicha recta.

1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L.

2° Se dibuja un punto O cualquiera en la recta L.

3° Con centro en O y radio OP se dibuja una circunferencia. A y B son los puntosde intersección entre la recta L y la circunferencia de centro O.

4° Se mide AP con el compás y, luego, se dibuja un arco con centro en B y radioAP que interseque a la circunferencia de centro O, determinando el punto Q.

5° Se une P con Q, obteniendo la recta PQ paralela a la recta L, como se observa en la imagen.

Construir la perpendicular a una recta L dada, desde un punto P que no pertenecea dicha recta.

1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L.

2° Se dibuja un arco con centro en P que interseque a la recta L en dos puntos,que denominaremos A y B (AP ≅ PB).

3° Con la misma abertura del compás y con centro en A y, luego, en B, se dibujandos arcos que se intersequen en un punto (distinto de P) que denominaremos C.

4° Se une P con C, obteniendo la recta PC perpendicular a la recta L.

TESELACIONES

Una teselación es un patrón de figuras que cubre una superficie sin dejar espaciosni sobreponer figuras.

Las teselaciones se obtienen a partir de la aplicación de transformaciones isométri-cas sucesivas sobre una figura inicial.

En una teselación con figuras planas, la suma de todos los ángulos que concurrena un vértice es 360º.

Teselaciones regulares

Las teselaciones regulares son aquellas que cubren una superficie utilizando solo unpolígono regular.

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana sonel triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Por ejemplo:

Teselación utilizando cuadrados

O B LA

O B LA

P

P

B LA

P

B LA

P

C

Q

Teselaciones semirregularesUna teselación semirregular es aquella que está formada por 2 o más polígonos regu-lares. Algunas teselaciones semirregulares se pueden realizar utilizando:

• Octágonos y cuadrados (como la imagen)

• Cuadrados y triángulos equiláteros

• Hexágonos y triángulos equiláteros

• Hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros

Teselación no regular

Una teselación no regular es aquella que está formada por polígonos irregulares.Por ejemplo:

Teselación usando romboides

Construcción de una teselación

A partir de cualquier polígono que permita teselar una superficie, se pueden formarplantillas de diseño para realizar distintos modelos. Los pasos para crear unateselación son:

1° Elegir un polígono

2° Determinar el diseño

3° Determinar las transformaciones isométricas a utilizar.

Rotación de arco Teselación

Bibliografía

• Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México:Grupo Editorial Iberoamérica.


• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría.(pp. 130 y 131). Santiago: Santillana.

• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría (pp. 30–51). Santiago: Santillana.

• Rencoret, M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de ense-ñanza. Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs

• Construcciones de rectas y trazos:www.fisica.usach.cl/~ctoledo/licfismat/guia1geom.doc

• Transformaciones Isométricas en la Educación General Básica. XIII JornadasNacionales de Educación Matemática, SOCHIEM:www.sochiem.cl/jornadas2006/talleres_nacionales/06.pdf

• Teselaciones del artista M. C. Escher (página en inglés). Disponible en:www.mcescher.com/



La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus estudiantes en el es-tudio de la Geometría, específicamente en las transformaciones isométricas y tesela-ciones. Para muchos de sus alumnos y alumnas, puede parecer extraño que laMatemática esté vinculada con el arte; sin embargo, el autor de esta obra es un granexponente de la relación entre estas dos distintas áreas del saber. Por años, muchosartistas y matemáticos se han inspirado en los maravillosos trabajos de M. C. Escher.




Conversemos de...Ítems 1 y 2: reconocer. Ítem 3: analizar e identificar.

Escher fue un observador del mundo, siendo este su fuente de inspiración. Sus obrastratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios de 2 ó 3 dimen-siones. Es por esto que su trabajo ha sido del interés de muchos matemáticos.

Actualmente sus trabajos se pueden encontrar en diversos sitios web:

• www.mcescher.com/ (página en inglés)

• www.uv.es/buso/escher/escher.html


De refuerzo

1. Observa la siguiente imagen y, luego, responde.

a) ¿Observas alguna regularidad?b) ¿Cuál es el movimiento de las figuras?c) ¿A partir de qué figura geométrica crees que se formó la imagen anterior?,

¿por qué?

(Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y justificar).

189 Unidad 4 – Movimientos en el plano


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que seespera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean envoz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente:

• ¿Qué es una transformación?, ¿observas ejemplos presentes en la naturaleza?• ¿Han escuchado hablar de traslación, rotación o reflexión?• ¿Qué tipo de embaldosamientos han visto a su alrededor?

Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos yalumnas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener información acerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos yalumnas; a partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada enel Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes:

• ¿Hay figuras que no se repiten?, ¿cuáles?• ¿Las imágenes repetidas están a igual distancia?• ¿Hay espacios sin cubrir en la imagen?• ¿Hay algunas figuras superpuestas (una sobre otra)?• ¿Tiene algún nombre especial este tipo de imagen?

Estas preguntas están relacionadas con la obra del artista Escher y la geometría. Laobra que aparece corresponde a una teselación.

Pida a sus estudiantes que copien algunas mariposas y en una hoja blanca laspeguen para que descubran cuál es la regularidad de la obra y, además, constatenempíricamente que las figuras no se sobreponen. De esta forma podrán responderpor medio de la experiencia las preguntas del primer y segundo punto.

La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores,tales como las figuras geométricas y sus características.


Maurits Cornelis Escher (1898-1972) ha sido uno de los artistas gráficos más rele-vantes del mundo, y hoy, a casi cuatro décadas de su muerte, continúa maravillandoa miles de personas con su arte.

Escher no fue un estudiante brillante en la escuela. Posteriormente, al estudiar artegráfico, motivado por un profesor, explotó todo su potencial, convirtiéndose en unartista reconocido.





Para identificar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una eva-luación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: calcular medidas de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal.Ítem 2: recordar el nombre de figuras geométricas planas, y medir sus ángulos y lados

con regla y transportador.

Ítem 3: construir con regla y compás un triángulo, dados dos ángulos, un lado y unacircunferencia circunscrita al triángulo.

Ítem 4: construir con regla y compás una recta paralela a la recta L dada, y una per-pendicular a la recta L.


¿Cuánto sabes?Ítem 1: analizar y calcular.Ítem 2: recordar y usar herramientas.Ítems 3 y 4: usar herramientas y representar.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden las igualdades de me-didas de los ángulos entre paralelas cortados por una transversal. Para corregir estaposible dificultad, presente un esquema general que ilustre cuáles ángulos tienenigual medida y cuáles son suplementarios. Es recomendable no presentar ejemplosnuméricos, pues con esto se perdería la intencionalidad del ítem.

• En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden el nombre delpolígono de seis lados (hexágono) o el nombre específico del cuadrilátero (rectán-gulo). En cuanto a los triángulos, puede que los alumnos y alumnas no recuerden




1

Calcula correctamente los valores de losángulos incógnitos por medio de lasigualdades de medidas de los ángulos entre paralelas cortados poruna transversal.

Calcula correctamente los valores delos ángulos incógnitos, utilizando el suplemento de un ángulo.

Calcula erróneamente uno de los valores de los ángulos incógnitos, confundiendo la relación entre los ángulos.

Calcula erróneamente todos los valoresde los ángulos incógnitos, confundiendola relación entre los ángulos.

2

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas, obteniendo las medidas de los lados y ángulos, así como también recuerda los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas, obteniendo las medidasde los lados y ángulos, pero no recuerda todos los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente alguna de las herramientas geométricas, obteniendolas medidas incorrectas de uno o dos delos lados o ángulos; no recuerda todoslos nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas, obteniendo todas las medidas incorrectas de los lados y ángulos, y no recuerda los nombres de las figuras involucradas.

3

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, copiando el segmento y ángulos para construir el triángulo y, luego,la circunferencia circunscrita al triángulo,justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas, copiando el segmento yángulos para construir el triángulo y,luego, la circunferencia circunscrita altriángulo, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas, copiando de formaincorrecta el trazo, o bien, los ángulos,sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas, copiando de formaincorrecta el trazo, y también losángulos, sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

4

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientasgeométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas y construye de forma incorrecta la recta paralela, o bien, la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientasgeométricas y construye de forma incorrecta ambas rectas, sin justificarsus pasos.

el nombre específico del triángulo, considerando su clasificación según sus lados ysus ángulos. Por ejemplo: triángulo escaleno obtusángulo, triángulo isóscelesacutángulo, triángulo isósceles rectángulo. Para ayudar a sus estudiantes, podríapresentar una breve clasificación general o mapa conceptual de los polígonos y delos tipos de triángulos y cuadriláteros. Es conveniente que no presente ejemplosnuméricos, pues se podría perder la intención del ítem.

• En los ítems 3 y 4, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para cons-truir rectas paralelas, rectas perpendiculares, triángulos y circunferencias circunscritas,utilizando regla y compás, ya que estas construcciones involucran conocimientos pre-vios y práctica. Podría ocurrir que los alumnos y alumnas construyan mecánicamente,sin justificar o entender los procedimientos empleados. Para solucionar este inconve-niente, y verificar si los y las estudiantes logran o no construir las figuras solicitadas,se recomienda mostrar en la pizarra un ejemplo para cada tipo de construcción, y unabreve argumentación de cada una. Es conveniente que destaque que en las cons-trucciones realizadas son más importantes las propiedades o definiciones puestas enjuego que la precisión de la representación.





• […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transforma-ciones.


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, justificar y reconocer.Ítem 4: analizar y justificar.

Figura original ¿Qué cambió?¿Qué se

mantuvo?

¿Es unatransformación

isométrica?

ActividadesÍtem 1: reconocer, analizar y justificar.Ítem 2: analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR es de carácterexploratorio y tiene por objetivo que los alumnos y alumnas analicen figuras y reconoz-can cuáles de ellas corresponden a la aplicación de una transformación isométrica.Para motivar a sus estudiantes, sería interesante tener distintas figuras geométricas,semejantes y congruentes, pegarlas en la pizarra y hacer preguntas en relación aellas. Además, podría anotar las observaciones que van aportando y, luego, discu-tir respecto de ellas. De esta forma mostraría y analizaría las transformacionesisométricas y no isométricas.

Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas como las siguientes:

• ¿Ampliar o reducir una imagen es una transformación isométrica?, ¿por qué?• ¿Mover un objeto de un lugar a otro, sin que varíen sus medidas, es una trans-

formación isométrica?, ¿por qué?, ¿qué cambió?, ¿qué se mantuvo igual?


• En el ítem 1, complemente la pregunta del Texto con otras como las siguientes:¿cambió la posición?, ¿y el tamaño? Al contestar estas preguntas les podría resul-tar más fácil identificar si cada fotografía corresponde o no a una transformaciónisométrica. En el caso de las imágenes de los palafitos y la mariposa, sugiera a susestudiantes que constaten que se trata de una transformación isométrica, do-blando la hoja por un eje imaginario justo en la mitad.

• En el ítem 2, es importante recordar a sus estudiantes las características de unatransformación isométrica: la imagen mantiene la forma y el tamaño de la figuraoriginal. De este modo, los alumnos y alumnas podrán identificar con mayor facili-dad cuáles imágenes se obtuvieron a partir de una transformación isométrica.

• Permita que los y las estudiantes compartan sus ideas, razonamientos y procedi-mientos al finalizar la actividad, pues esto les permitirá ampliar sus conocimientos,al conocer otros puntos de vista y métodos de resolución.


• Es fundamental que sus estudiantes comprendan la diferencia entre transforma-ciones isométricas y no isométricas, así como los elementos que se mantienen ylos que cambian luego de aplicar cada transformación, ya que estos conocimien-tos serán la base para los temas que se tratarán en la Unidad.


• En el caso de las figuras 3 y 4 de la actividad inicial se trata de una homotecia,concepto que estudiarán en cursos posteriores.Una homotecia es una transformación geométrica que permite obtener un polí-gono semejante a otro dado. En cambio, una transformación isométrica permiteobtener un polígono congruente a otro dado.

• Es importante considerar que una transformación geométrica asocia cada puntodel plano con otro punto del mismo plano, de modo que una figura, siendo unconjunto de puntos, queda asociada a su figura imagen.


De refuerzo

1. Completa el siguiente cuadro.

(Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer).

De profundización

1. Dibuja un polígono en tu cuaderno usando regla y, luego, una imagen que podríasobtener al aplicar una transformación isométrica a la figura. Explica cómo lo hiciste.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y justificar).





• Realización de traslaciones […] de figuras geométricas planas a través de construc-ciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generanal realizar estas transformaciones.


Para discutirÍtem 1: analizar.Ítems 2, 3 y 4: usar herramientas y analizar.

ActividadesÍtems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar.Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudian-tes las características que presenta una traslación de figuras planas. Esto se realiza através de preguntas que permiten explorar y analizar lo que sucede cuando se realizantraslaciones. Para ello, se presenta un cuadrilátero y su imagen, luego de aplicar unatraslación. Para reforzar la comprensión del tema por los alumnos y alumnas con másdificultades, podría presentarles una nueva figura (que no sea cuadrilátero) con su corres-pondiente imagen, y pedirles que identifiquen los elementos que varían y los que noal aplicar una traslación, y también que midan la distancia entre cada vértice y su imagen respectiva.

Para analizar las características de la traslación presentada, es de gran ayuda quecada alumno y alumna utilice una regla para realizar las mediciones respectivas.


• Antes de comenzar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantesla construcción de una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un puntoP exterior a la recta L que encontrará en la página 186 de esta Guía. Si algúnalumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto no le permitirá alcanzarcompletamente los objetivos de la Unidad.

• En el ítem 3, es importante que los alumnos y alumnas concluyan que al trasladaruna figura según un vector y, luego, la imagen obtenida según otro vector, es posi-ble trasladar la figura inicial y obtener la segunda imagen aplicando una traslaciónsegún un solo vector. La dificultad es determinar cuál es ese vector de traslación. Acontinuación, se muestra una posibilidad (gráfica) para determinar el vector:

1° Se dibujan ambos vectores, de manera que

el origen de b→

coincida con el extremo de

a→

, obteniendo el vector c→

.

2° La suma de los vectores a→

y b→

será el vector

c→

, cuyo origen coincide con el origen de a→

y cuyo extremo coincide con el extremo de b→

.

• Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparenlos resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.



• Para una mejor comprensión de la realización de la traslación de una figura conregla y compás es recomendable que cada alumno y alumna copie en su cuadernoun cuadrilátero como el que aparece en el Texto y que los guíe en la realización decada uno de los pasos que se proponen en él.

• Es importante supervisar el trabajo de cada uno de los y las estudiantes para deter-minar si trasladan y realizan las construcciones geométricas correctamente.Recuerde que los conceptos de transformaciones isométricas y de traslación sonimportantes para que los alumnos y alumnas los apliquen al momento de realizarlas actividades. De no ser así, las construcciones con regla y compás serán solo procedimientos mecánicos.

• Es fundamental tener presente que para trasladar una figura, basta con trasladarlos vértices de la figura, en la dirección, sentido y magnitud que indica la flechao vector de traslación y, luego, unir estos vértices.

• Para los alumnos y alumnas que tienen dificultad alrealizar las traslaciones con regla y compás, seríaconveniente que previamente trabajen concuadrículas para contar cuántos cuadraditos setraslada la figura según un determinado vector. Porejemplo: traslada el cuadrado una unidad a laderecha y, luego, tres unidades hacia arriba. Dibujael vector de traslación.


De refuerzo

1. Realiza la traslación de la siguiente figura, usando regla y compás, según el vector MN.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y representar).

De profundización

1. Construye en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 6 cm ytrasládalo usando regla y compás, según un vector que escojas.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

c→

b→

a→

A

BM

N

C

D




• Realización de […] reflexiones […] de figuras geométricas planas a través de construc-ciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan alrealizar estas transformaciones.


Para discutirÍtems 1, 2 y 3: analizar.Ítems 4 y 5: usar herramientas y analizar.


ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial tiene como propósito introducir los conceptos referentes a unatransformación isométrica: las reflexiones. En esta actividad se plantean diversas pre-guntas para que los alumnos y alumnas puedan concluir sobre las características deesta transformación y, además, analizar qué aspectos cambian y cuáles se mantienenen la imagen de la figura inicial. En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso apaso, la reflexión de uno de los vértices de un pentágono, usando regla y compás.

Para comenzar el estudio de este contenido, es de gran ayuda que doblen la hoja porla recta o eje de simetría para que verifiquen que en una reflexión las figuras coin-ciden al realizar este procedimiento y, además, que las medidas de lados y ángulosse mantienen. Por otro lado, es conveniente que copien la figura 1 (ubicada al ladoinferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso a paso, reflejen el vértice D,como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cada alumno y alumna podría re-flejar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores, para que sean ellosquienes apliquen reflexión a la figura usando regla y compás.


• Antes de realizar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantesla construcción de una recta perpendicular a una recta dada que pasa por unpunto P exterior a la recta L que se muestra en la página 186 de esta Guía. Sialgún alumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto será un impedi-mento para alcanzar completamente los objetivos de la Unidad.

• En el ítem 2, al reflejar el triángulo respecto de la recta MN, los alumnos y alum-nas deberán reflejar solamente el vértice R, obteniendo como imagen el ΔMNR .

• En el ítem 3, los alumnos y alumnas deben generalizar respecto del cuadriláteroque se formó en el ítem anterior; este es un rombo, pues el ΔMNR es isóscelesde base MN. Sería conveniente que pregunte a sus estudiantes las característicasde un rombo y que las relacionen con la figura inicial y la imagen obtenida.

• Es importante que una vez finalizada la actividad los y las estudiantes comparenlos resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.


• Podría mostrar a sus estudiantes que una forma de observar la reflexión es usandoun espejo. Para ello pídales que dibujen un polígono en sus cuadernos y, luego,que pongan el espejo como eje de simetría. Además, puede mencionar que paraconstatar que una figura es el reflejo de la otra, al doblar la hoja por el eje desimetría, estas debiesen coincidir.


De refuerzo

1. Dada la siguiente figura, dibuja su eje de simetría. Explica cómo lo hiciste.

2. Realiza la reflexión de la siguiente figura, usando regla y compás, según la recta L.

(Habilidades que desarrollan: reconocer, usar herramientas, aplicar y representar).

De profundización

1. Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga dos lados de medidas 6 cm y4 cm y que el ángulo formado por ellos mida 36º. Luego, aplícale una reflexión, us-ando regla y compás, respecto del lado cuya medida es 6 cm.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

197 Unidad 2 – Potencias – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8 Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

O

P

A

D

C

B

L

N N’

O’

P’

Eje de simetría

2,5 cm

2,5 cm




• Realización de […] rotaciones de figuras geométricas planas a través de construc-ciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generanal realizar estas transformaciones.


Para discutirÍtems 1 y 2: analizar y justificar.Ítem 3: analizar, identificar y justificar.

• En importante que una vez finalizada esta actividad, los y las estudiantes com-paren las respuestas y puedan llegar a concluir que la imagen final se puedeobtener mediante una rotación a la figura inicial de centro O y ángulo α + β, queen este caso mide 180º.


• Para cualquier transformación, es recomendable asignar letras a los vértices y asu correspondiente imagen (con los apóstrofos) para evitar confusiones. Si unafigura no tiene asignada letras, etiquete cada vértice antes de comenzar a aplicarcualquier transformación isométrica.

• Es conveniente que monitoree constantemente los procedimientos y resultadosobtenidos por sus estudiantes. Si lo considera necesario, podría trabajar concuadrículas en las primeras rotaciones y con ángulos sencillos como 90º, 180º,45º, 270º y, posteriormente, utilizando regla y compás, sobre todo, para aque-llos estudiantes que tienen mayor dificultad.

• Sería conveniente que trabaje con sus alumnos y alumnas algunas rotacionespara que concluyan lo siguiente (como actividad de refuerzo):

– Al rotar una figura en 360º en sentido positivo o negativo se obtiene la misma imagen.

– Una rotación en 270º en sentido positivo es equivalente a una rotación en 90ºen sentido negativo.

– Una rotación en 270º en sentido negativo es equivalente a una rotación en 90ºen sentido positivo.


De refuerzo

1. Realiza la rotación de la siguiente figura, usando regla y compás, respecto del centro O en 180º.

2. Rota el cuadrilátero del ítem anterior en 180º pero en sentido negativo (sentidohorario). ¿Qué puedes concluir al rotar una figura en 180º en sentido horario yantihorario?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, aplicar, analizar y conjeturar).

De profundización

1. Construye en tu cuaderno un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 6 cm y8 cm. Luego, aplícale una rotación, usando regla y compás, respecto del vérticedel ángulo recto.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas y representar).



ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es introducir el estudio de rota-ciones de figuras planas y su realización a través de construcciones con regla y com-pás. Antes de trabajar en esta actividad, podría motivar a sus alumnos y alumnasmostrando distintas figuras sencillas y su imagen rotada con distintos ángulos derotación y respecto de centros distintos. Luego, preguntar qué características obser-van entre la figura inicial y su imagen. De este modo podrá observar si los alumnosy alumnas identifican las características de una rotación y, además, los aspectos quevarían y los que se mantienen.

Luego de realizar las preguntas de la sección PARA DISCUTIR presentada en el Texto,podría plantear las siguientes preguntas: Al rotar una figura, ¿se mantiene la medidade los ángulos de la figura?, ¿se mantiene la medida de los lados de la figura?,¿cómo lo supieron?

En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso a paso, la rotación de uno de los vér-tices de un triángulo usando regla y compás. Por lo tanto, es conveniente que copienla figura 1 (ubicada al lado inferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso apaso, roten el vértice C, como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cadaalumno y alumna podría rotar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores,para que sean ellos quienes apliquen la rotación a la figura usando regla y compás.


• Antes de realizar el ítem 1, es conveniente que recuerde a sus estudiantes cómocopiar ángulos, como se muestra en la página 185 de la Guía, pues si algún alumnoo alumna no recuerda cómo se realiza, será un impedimento para alcanzar comple-tamente los objetivos de la Unidad.

• En el ítem 1, pida a sus estudiantes verificar que la rotación de cada vértice estácorrectamente realizada, midiendo con un transportador los ángulos formadospor cada vértice, el centro de rotación y sus imágenes. Por ejemplo, si rotó untriángulo ABC respecto del vértice B en 120º; pídales que midan los ángulosABA y CBC y verifiquen que miden 120º.

• En el ítem 2, no se especifica que el sentido de la rotación es positivo; por lotanto, es conveniente que mencione a sus estudiantes que en estos casos debe-mos asumir que el sentido es positivo (antihorario).

• En el ítem 3, sería interesante plantear a los alumnos y alumnas que roten primerocon centro en O y ángulo β‚ y, luego, la imagen obtenida rotarla con centro O y án-gulo α y preguntar: ¿Se obtiene la misma imagen que en el orden propuesto en elTexto en el ítem 2?, ¿siempre ocurrirá lo mismo?, ¿por qué?

OB

CD

A




• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas[…] empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes quese generan al realizar estas transformaciones.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas, analizar y justificar.


• La actividad propuesta debe desarrollarse usando el software geométricoGeoGebra. Para ello, los computadores deben contar con conexión a Internet.Para descargar el programa, pueden ingresar a www.geogebra.at y en el menúde la izquierda, seleccionar Webstar-TeleInicio y, luego, el botón Webstar.

• Si no conoce el programa, es fundamental que practique y realice la actividadpreviamente, para que al momento de la clase pueda ayudar a sus estudiantes.

• Cada vez que utilice el software, es conveniente que seleccione la herramienta ,pues permitirá que mueva las figuras o textos de su archivo.

• Para que la actividad se realice de manera correcta, se sugiere que sus estudiantestrabajen de manera individual o en parejas si no cuentan con la cantidad suficientede computadores. Lo importante es que todos los alumnos y alumnas puedan trabajar en la actividad propuesta.

• Si considera conveniente, no seleccione la cuadrícula, pues así la pantalla estaráen blanco.

• La primera parte de la actividad consiste en trasladar un triángulo. Al finalizaresta parte, pida a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente:

– mueve un vértice del triángulo original, ¿qué sucedió con la imagen del trián-gulo?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de ambos triángulos?, ¿porqué crees que sucede eso?

• La segunda parte de la actividad consiste en reflejar un cuadrilátero con respectoa una recta (eje de simetría). Al término de esta parte podría pedir a los alumnosy las alumnas que realicen lo siguiente:

– mueve un punto del cuadrilátero original, ¿qué sucedió con la imagen delcuadrilátero?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de amboscuadriláteros?, ¿por qué crees que sucede eso?

– mueve la recta o eje de simetría, ¿qué sucedió con la imagen del cuadrilátero?,¿por qué crees que sucede eso?

• La tercera parte de la actividad consiste en rotar un triángulo con respecto a unpunto. Al finalizar esta parte, podría pedir a los alumnos y las alumnas que reali-cen lo siguiente:

– mueve el centro de rotación, ¿qué sucedió con la imagen del triángulo?, ¿el trián-gulo sigue rotado según el mismo ángulo?, ¿por qué crees que sucede eso?


De refuerzo

1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrado usando la herramienta Polígono Regulary un vector usando Vector entre Dos Puntos .

a) Traslada el cuadrado en el vector indicado.

b) ¿Qué sucede con la imagen, si se mueven uno o más vértices del cuadrado?

c) ¿Qué sucede con la imagen si se modifica el vector, ya sea en magnitud o sentido?

2. Dibuja en la cuadrícula un triángulo usando la herramienta Polígono y unarecta usando Recta que pasa por Dos Puntos .

a) Refleja el triángulo con respecto a la recta.

b) Si se mueven uno o más vértices del triángulo original, ¿qué sucede con la imagen?

c) ¿Qué sucede con la imagen si se mueve la recta?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas y analizar).

De profundización

1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono ydos vectores de traslación distintos en cualquier parte de la cuadrícula, usandoVector entre Dos Puntos .

a) Traslada el cuadrilátero con respecto a uno de los vectores.

b) Traslada la imagen obtenida en a respecto del segundo vector.

c) Si quisieras trasladar el cuadrilátero en un solo vector y obtener la misma imagen

de b), ¿cuál sería ese vector? Dibújalo en la cuadrícula y comprueba tu respuesta.

d) ¿Qué sucede si se invierte el orden de los vectores para trasladar?, ¿se obtiene

la misma imagen final? Haz la prueba y explica.

2. Dibuja en la cuadrícula un pentágono usando la herramienta Polígono , y

una recta (eje de simetría) usando Recta que pasa por Dos Puntos .

a) Refleja el pentágono con respecto al eje de simetría.

b) Modifica la figura inicial moviendo alguno de sus vértices, ¿qué sucedió con

la imagen?

c) Mueve el eje de simetría, ¿qué sucede con la figura inicial y su imagen?

d) ¿Qué ocurre si el eje de simetría coincide con uno de los lados del pentágono?

3. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono , y unpunto usando Nuevo Punto .

a) Rota el cuadrilátero en un ángulo de 90º, selecciona la opción Sentido Antihorario.

b) Rota el cuadrilátero con un ángulo de 270º, selecciona la opción Sentido Horario.

c) ¿Qué puedes concluir sobre las imágenes obtenidas en a) y b)?

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y conjeturar).





• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas através de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico,discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.


En equipoUsar herramientas, analizar y justificar.


• Esta actividad debe ser desarrollada con el software computacional GeoGebra,por lo cual se sugiere que realice la actividad antes de trabajar con sus estudiantes.

• Para el correcto desarrollo de la actividad se sugiere que trabajen en grupos detres integrantes como máximo; solo en caso que no cuente con la cantidad decomputadores necesarios, se sugiere que trabajen en grupos de más integranteso por turnos. En este caso, asegúrese de que todos los alumnos y alumnas ten-gan la posibilidad de realizar la actividad y que no ocurra que un integrante decada grupo utiliza el computador y el resto solo mira.

• Si algún estudiante aún no comprende alguno de estos temas, es un buen mo-mento para reforzar y así lograr adquirir los aprendizajes esperados. El uso deGeoGebra ayudará bastante, ya que facilita el trabajo en Geometría. También puedeapoyarse en la actividad complementaria que se presenta a continuación.

• Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparenlos resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

De refuerzo

1. Realiza las mismas reflexiones que hiciste con el programa computacionalGeoGebra con regla y compás en tu cuaderno. Verifica la respuesta de la pre-gunta 14, usando regla y compás.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y verificar).




Mi progresoÍtem 1: analizar e identificar.

Ítem 2: analizar, conjeturar e identificar.Ítem 3: analizar.Ítem 4: usar herramientas, aplicar y representar.


• En los ítems 1, 2 y 3, es posible que sus estudiantes no recuerden, no relacionen oconfundan las características de una traslación, reflexión y rotación, respectiva-mente. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual o un cuadroresumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento.

En estos casos deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídales que reali-cen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que esto les facilitarádetectar si hay o no errores en la estrategia empleada.

• En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se confundan al tener querealizar una composición de transformaciones isométricas (es la aplicación suce-siva de transformaciones isométricas sobre una misma figura). Para ayudarlos,sugiérales que lean con detención las instrucciones, fijándose en cada una de lastransformaciones que deben realizar. Además, es importante enfatizar en la im-portancia de poner las letras con los apóstrofos a los vértices de las imágenesobtenidas, para evitar confusiones.

• Al término de la evaluación formativa, es fundamental que realice una revisión in-dividual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corregirlas.También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantesconozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. Además, con esta instancia de revisión los alumnos y alumnas pueden realizar aportes significativosal desarrollo de la corrección de la evaluación, y así pueden reforzar y potenciar susconocimientos. Luego de la revisión, pida que reflexionen acerca de los contenidosque han aprendido, y que realicen un listado con los conceptos que entendieron,que escriban y aclaren las dudas, si aún las tienen.




4

Utiliza la regla y compás, aplicando deforma correcta la traslación, rotación yreflexión a la figura dada, justificandosus pasos de construcción.

Utiliza la regla y compás, aplicando deforma correcta la traslación, rotación yreflexión a la figura dada, pero no justi-fica de manera adecuada los pasos dela construcción.

Utiliza la regla y compás, aplicando, deforma incorrecta, ya sea la traslación,rotación o reflexión a la figura dada.

Utiliza la regla y compás, aplicando deforma incorrecta las 3 transforma-ciones isométricas a la figura dada.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4.


De refuerzo

1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) Al aplicar una transformación isométrica a una figura, puede cambiar eltamaño de la figura, pero no su forma.

b) Para reflejar una figura es necesario conocer el vector que determina la reflexión.c) Para trasladar una figura, es necesario conocer el vector de traslación.d) La distancia desde cualquier punto de una figura al eje de simetría es igual a

la distancia desde cualquier punto de su imagen al eje.e) Para rotar un triángulo, solo es necesario conocer el ángulo de rotación. f) Rotar una figura en 180º en sentido positivo es equivalente a rotar la misma

figura en 180º en sentido negativo.

2. En cada caso, identifica qué trasformación isométrica se aplicó a las siguientes figurasy, luego, dibuja el vector de traslación o el eje de simetría o el centro y ángulo derotación, según corresponda.

a) d)

b) e)

c) f)


3. Usando regla y compás, traslada el cuadrilátero RSTU según el vector AB.

4. Usando regla y compás, aplica unareflexión al triángulo ABC respectode la recta DE.

5. Usando regla y compás, aplica una rotación al pentágono ABCDEen torno al punto O en el ángulo α = 115º.

De profundización

1. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo rectángulo HIJ respecto de la recta HI.

• ¿Qué tipo de triángulo es el ΔJ JH?, ¿por qué?


I J

H

U

T

S

R

A

B

C

B

A

D

E

EB

A

D

CO

α


2. Usando regla y compás, aplica una rotación al cuadrilátero ABCD en torno al vértice C en el ángulo β = 90º.

3. Usando regla y compás, refleja el ΔTVW respecto de la recta TV. Luego, a la imagen obtenida, traslada según el vector AB y, finalmente, a esta última imagen,rota en torno al vértice T en el ángulo α = 80º.


De refuerzo

1. a) Falsa. c) Verdadera. e) Falsa.

b) Falsa. d) Falsa. f) Verdadera.

2. a) Reflexión, rotación y traslación. d) Traslación.

b) Traslación. e) Reflexión.

c) Dos reflexiones. f) Reflexión y rotación en 180°.

3. 5.

4.

De profundización

1. El ΔJ’JH es isósceles, pues HJ’ ≅ HJ.

2. 3.

A D

C

W

A B

W

T V

JJ

H

I

A

T TV

VW

W W

V

WB

C

D

B

A

D

β

α

E`

A`

A`

C`

B`

D

B

A

C

S´

T´

U´

R

U

T

B

A

R´

E

B`

C`

D` B

CD

E

A

O

115º




• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acercade las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.


Para discutirÍtems 1, 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 4: analizar, reconocer y justificar.

ActividadesÍtems 1 y 2: analizar, identificar y justificar.Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas comprendan qué es unateselación, estudien sus características, analicen y argumenten respecto de las trans-formaciones isométricas que se pueden utilizar en ellas y, además, que descubrancon qué polígonos es posible teselar el plano.

Es importante que en esta actividad sus estudiantes observen que, a partir de un trián-gulo equilátero, es posible teselar el plano al aplicar transformaciones isométricas.Sería conveniente que realice en la pizarra, o bien que les pida que dibujen en suscuadernos las transformaciones isométricas que permiten teselar. Podría preguntarles:

• ¿Es posible teselar el plano con triángulos equiláteros, pero aplicando otras trans-formaciones isométricas?, ¿cómo lo harías?

Además, se pretende que analicen y verifiquen que, para construir teselaciones, lasuma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 360º. En este caso lasuma es: 60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º, pues se trata de triángulos equiláteros.

Luego, podría preguntarles:

• ¿Es posible teselar con un hexágono regular?, ¿cómo lo harías?, ¿qué transfor-maciones isométricas utilizarían?

• ¿Cuánto suman los ángulos interiores que concurren en un vértice?, ¿ocurrirásiempre lo mismo?


• En el ítem 1, es importante que los alumnos y alumnas expliquen cada una de susrespuestas, argumentando, por ejemplo, en la primera (letra a), que no se tratade una teselación, ya que quedan espacios con esa figura. Pídales que midan suslados para que verifiquen que el pentágono utilizado es regular, pues así podrán

calcular cuánto mide cada ángulo interior con la fórmula: = 108º

y, luego, sumar los ángulos interiores que concurren en un vértice, esto es: 108º + 108º + 108º = 324º.

Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados;de esta forma, podrán ver distintas estrategias de resolución y, además, fomentaráel trabajo en equipo.

• De manera similar, en el ítem 2, es importante que sus estudiantes justifiquen cadauna de sus respuestas. Pídales que calculen la suma de los ángulos interiores queconcurren en un vértice para determinar si es posible o no teselar el plano.

5 1805

( ) °2 i

• En el ítem 3, podría pedirle a los y las estudiantes que presenten más dificultades quecalquen las figuras de cada ejercicio en papeles de distintos colores, para que tengan,por ejemplo, cuadrados de distintos colores y, luego, realicen las teselaciones pegandolas figuras en sus cuadernos, como la que se muestra a continuación:


Si sus estudiantes cometen algún error al determinar con qué figuras es posible tese-lar el plano, o si un diseño es o no una teselación, es importante que lo detecten eidentifiquen cuál fue el error, de modo que puedan corregirlo. Considérela como unainstancia de reflexión y construcción del conocimiento.


De refuerzo

1. ¿Con cuál de las siguientes figuras se puede teselar el plano? Justifica tus respuestas.

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar).

De profundización

1. Construye teselaciones a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior y,luego, indica las transformaciones isométricas que usaste.

2. Diseña en tu cuaderno, baldosas cuadradas para algún lugar de su casa, con-siderando el tamaño de la superficie que quieren embaldosar y el tamaño decada baldosa. Presenta tu trabajo en clases, elijan los tres mejores, justificando laelección, y expongan en el diario mural de su sala de clases, indicando las tesela-ciones utilizadas en cada caso.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, reconocer y representar).







Para discutirÍtems 1 y 2: analizar e identificar.Ítems 3 y 4: analizar, identificar y justificar.

ActividadesÍtem 1: identificar.Ítems 2, 3 y 4: aplicar, usar herramientas e identificar.Ítem 5: analizar, identificar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de esta actividad es que los y las estudiantes sean capaces de: diferenciarentre teselaciones regulares y semirregulares; que puedan construirlas; que descubrancon qué tipo de polígonos es posible realizar cada tipo de teselaciones, considerandoque la suma de los ángulos que concurren en un vértice sea 360º; y, además, queidentifiquen las transformaciones isométricas utilizadas en cada caso.

Para guiar el análisis de sus alumnos y alumnas en esta actividad, podría plantear lassiguientes preguntas:

• ¿Cuántas figuras distintas tiene la primera teselación?, ¿y la segunda?• ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la primera teselación?,

¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman estos los ángulos?• ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la segunda teselación?,

¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman los ángulos?


• En el ítem 1, es importante que aclare a sus estudiantes que deben indicar lastransformaciones usadas en cada teselación (traslaciones, reflexiones o rotaciones)y no construirlas o indicar aspectos más específicos, como eje de simetría, vectorde traslación o ángulo y centro de rotación.

• En los ítems 2 y 3, es fundamental que trabajen aplicando lo aprendido en pági-nas anteriores: uso de regla y compás; realización de construcciones geométricaspara trasladar, rotar o reflejar figuras geométricas planas; construir las tesela-ciones regulares.

• En el ítem 4, si es necesario, oriente a sus estudiantes para que puedan formarlas bases de las teselaciones. En el caso del ejercicio b), es posible formar dosteselaciones diferentes a partir de los mismos polígonos; guíelos para que surjanambos casos y los muestren al resto del curso.

• En el ítem 5, para orientar a sus alumnos y alumnas, puede recordar que los ángu-los interiores que concurren en un vértice deben sumar 360º. Es conveniente queconcluya junto con sus estudiantes que es posible construir teselaciones regularessolo con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares y, en el caso deteselaciones semirregulares, existen solo ocho tipos.


• Al estudiar las teselaciones regulares y semirregulares, es conveniente que enfaticeque no todos los polígonos teselan el plano. Por ejemplo, no es posible teselar el

plano solo con pentágonos regulares, pues los ángulos que concurren en un vér-tice no suman 360º.

• Las teselaciones semirregulares son aquellas que se construyen usando combina-ciones de dos o más polígonos regulares. Es importante destacar que existenocho teselaciones semirregulares. Estas son:

• Para construir teselaciones regulares y semirregulares, puede realizar una activi-dad que involucre el uso del software geométrico GeoGebra y sus herramientaspara realizar transformaciones isométricas: Refleja Objeto en Recta, Refleja Objetopor Punto (rotación en 180º), Rota Objeto en torno a punto, el Ángulo Indicadoy Traslada Objeto por un Vector.


De refuerzo

1. Determina el tipo de teselación en cada caso. Justifica tu respuesta.

a) d)

b) e)


De profundización

1. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regu-lares. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

2. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con dodecágonos regu-lares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, analizar y justificar).







En equipoAplicar, usar herramientas, identificar y justificar.

Herramientas tecnológicasUsar herramientas y analizar.


3

Analiza e identifica correctamente la olas transformaciones isométricas que seutilizaron, justificando su respuesta.

Analiza e identifica correctamente la o las transformaciones isométricasque se utilizaron, pero no justificatodas sus respuestas.

Analiza e identifica erróneamente alguna de las transformacionesisométricas que se utilizaron.

Analiza e identifica erróneamente lastransformaciones isométricas que se utilizaron.

4

Utiliza herramientas geométricas eidentifica las transformacionesisométricas involucradas en la construc-ción, justificando su respuesta.

Utiliza herramientas geométricas e iden-tifica las transformaciones isométricasinvolucradas en la construcción, pero nojustifica todas sus respuestas.

Utiliza herramientas geométricas eidentifica de forma incorrecta algunade las transformaciones isométricas involucradas en la construcción.

Utiliza herramientas geométricas eidentifica de forma incorrecta las transformaciones isométricas involu-cradas en la construcción.



• La actividad EN EQUIPO propuesta debe desarrollarse usando diversos materiales(cartón, pegamento, tijeras, papeles de colores, regla y compás). Para el correctodesarrollo de la actividad, asegúrese de que sus estudiantes cuentan con los ma-teriales necesarios. Es importante que supervise que todos los integrantes de cadagrupo trabajen. Por otro lado, es importante que no todos los grupos trabajen conla misma teselación, pues, en caso contrario, el ítem 4, en el cual deben exponer;solo bastaría con que un grupo muestre el trabajo al resto del curso y, la idea esque compartan sus trabajos.

• La actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS debe desarrollarse en computadoresque tengan conexión a Internet. Para el correcto desarrollo de la actividad, se su-giere que trabajen individualmente o en parejas. En caso que no cuente con loscomputadores necesarios, puede realizar el trabajo por turnos. Si es así, asegúreseque todos sus estudiantes tengan la posibilidad de realizar la actividad. Además, esuna instancia para que discutan y analicen algunas obras del artista Escher.


De refuerzo

1. Utiliza la misma técnica (sacar una parte del polígono, moverla y ponerla enotro lado) de la actividad EN EQUIPO para teselar utilizando un hexágono regu-lar. Puedes guiarte por las teselaciones de Escher vistas en la actividad HE-RRAMIENTAS TECNOLÓGICAS.

Luego, identifiquen y describan las transformaciones isométricas utilizadas en la teselación.

(Habilidades que desarrolla: aplicar, usar herramientas e identificar).





Mi progresoÍtem 1, 2 y 3: analizar e identificar.Ítem 4: aplicar, usar herramientas e identificar.


• En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes no reconozcan con qué tipo depolígonos regulares se puede teselar el plano. Para ayudarlos, puede sugerirlesque hagan un pequeño bosquejo de cada opción. Con ello podrán respondercon mayor claridad.

• En el ítem 3, es posible que sus estudiantes presenten dificultades para determinarlas transformaciones isométricas involucradas en las teselaciones dadas. Para facil-itar el trabajo de sus alumnos y alumnas, sugiérales observar aquellas figuras quetienen igual color para encontrar la figura inicial. De esta manera será más fácil verlos movimientos realizados. Por ejemplo, en la pregunta a) la figura inicial puede serla que se observa al lado derecho, y, a partir de ella, se aplican traslaciones.

• En el ítem 4, deben encontrar la figura base para luego teselar con ella. Podríamencionar que es posible formar una combinación de polígonos para teselar conlas figuras dadas (en el caso semirregular). Además, es importante que los alum-nos y alumnas constaten que no quedan espacios o figuras superpuestas. Paraello supervise que las teselaciones estén bien construidas.





De refuerzo

1. Identifica con cuál de los siguientes polígonos es posible teselar el plano. Justificatu respuesta.

a) b) c) d)

2. Copia cada figura en tu cuaderno y realiza una teselación con ellas. Explica porqué es posible teselar con cada figura.

a) b) c)

3. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego,usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explicapor qué es posible teselar con estas figuras.

4. En la casa de Luis, el patio es un terreno de forma rectangular de 10 m de anchoy 12 m de largo. Si quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 25 cmpor lado, responde:

a) ¿en este caso se trata de una teselación?, ¿es regular o semirregular?, ¿por qué?b) ¿cuántas baldosas necesita en total?, ¿por qué?c) ¿y si las baldosas cuadradas miden 20 cm por lado?, ¿cuántas necesitaría?

5. Indica las transformaciones isométricas involucradas en cada teselación. En elcaso de que la teselación sea semirregular, identifica su base.

a) b)

c) d)

De profundización

1. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 1,5 cm por lado y, a par-tir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformacionesisométricas utilizadas.

2. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular. Luego,usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explicapor qué es posible teselar con estas figuras.

3. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 2 cm por lado y un trián-gulo equilátero de 2 cm por lado. Con estas figuras, forma la base de unateselación semirregular y construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indicalas transformaciones isométricas utilizadas.

4. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con triángulos equi-láteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

5. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regu-lares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación.

6. La sala de clases del 8º básico de un colegio de Rancagua es un terreno cuadradode 10 m por lado. Si se quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 20 cmpor lado, responde:

a) ¿la teselación en este caso es regular o semirregular?, ¿por qué?b) ¿cuántas baldosas se necesitan en total?, ¿por qué?c) si las baldosas fueran rectangulares de 10 cm de ancho y 20 cm de largo, ¿la

teselación sería regular o semirregular?, ¿por qué?, ¿cuántas baldosas necesitarían?



De refuerzo

1. a) Es posible.b) Es posible.c) Es posible.d) No es posible.

2. En cada caso es posible teselar, porque los ángulos interiores que concurren enun mismo vértice suman 360º.

3. En este caso, se pueden formar dos teselaciones diferentes a partir de los mismospolígonos regulares; estas son:

En ambos casos, es posible teselar porque los ángulos interiores que concurrenen un mismo vértice suman 360º: en el primer caso 120º + 60º + 120º + 60º y,el segundo caso 60º + 60º + 60º + 60º + 120º.

4. a) Corresponde a una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas.b) Se necesitan 1920 baldosas.c) 3000 baldosas.

5. a) Una posibilidad es: traslación y reflexión.b) Una posibilidad es: traslación.c) Una posibilidad es: traslación y rotación.d) Una posibilidad es: traslación y reflexión.

De profundización

1. Se puede utilizar: traslación o reflexión.

2. La teselación es:

En este caso es posible teselar, ya que la suma de los ángulos interiores que con-curren en un vértice es 150º + 120º + 90º = 360º.

3. Se puede utilizar traslación.

4. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurrenen un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º).

5. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurrenen un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 120º o también, 120º + 60º + 120º + 60º).

6. a) Una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas.b) 2500 baldosas.c) Ninguna de las dos, ya que el rectángulo no es un polígono regular.

Necesitarían 5000 baldosas.




• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planasa través de construcciones con regla y compás […].


Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, usar herramientas, formular, aplicar y verificar.Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, usar herramientas y evaluar.


De refuerzo

1. Lorena tiene una hoja blanca con dos puntos, A y B. Ella quiere rotar el punto Aen 180º respecto del punto B, pero no cuenta con ningún material para hacerlo.¿Es posible realizar esa rotación?, ¿cómo lo harías?

(Habilidades que desarrolla: seleccionar, analizar y aplicar).

De profundización

1. Inventen un problema que involucre uno o más de los contenidos de la Unidad.Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra.

(Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).




• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.









de modos.• Está listo para hacer conexiones acerca de cómo

y por qué.• Relaciona el concepto con conocimiento y





• Chequea la racionalidad de los resultados.• Reconoce sin dar argumentos.



no razonable.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin embargo,en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnos y alum-nas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras estrategiasde resolución.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTOEs importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-

suelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de

dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser

usando el software geométrico GeoGebra para encontrar el punto que determina el

camino más corto (C) reflejando el punto A en la recta. Luego, unir A con B y con la

herramienta Intersección de Dos Objetos se puede determinar el punto C.

Además, podría verificar que el camino es más corto

ubicando un punto cualquiera en la recta (D) y usando

las herramientas del software para medir trazos

Distancia o Longitud . Puede pedirle a sus estu-

diantes que muevan el punto D para que constaten que

C determina el camino más corto.

cm


INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASA continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados.




ConexionesConectar, analizar y aplicar.


Para que la tabla incluya todos los contenidos necesarios, sería apropiado que les in-dique cuáles son los contenidos que deben ubicar en la primera columna.

A continuación, se presenta un ejemplo para el contenido de traslación trabajadoen la Unidad:


De refuerzo

1. Piensa y responde.

a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar transformaciones isométricas?

b) ¿Qué transformaciones aprendiste en esta Unidad?

c) ¿Se puede realizar más de una transformación a una figura?

d) ¿Qué datos necesitas para trasladar una figura?

e) ¿Qué datos necesitas para rotar una figura?

f) ¿Qué datos necesitas para reflejar una figura?

g) ¿Qué es una teselación?

h) ¿Qué tipos de teselaciones existen?, ¿cuáles son la características de cada una?

i) ¿Todos los polígonos regulares se pueden utilizar para realizar una teselación?Justifica y da algunos ejemplos.

j) ¿Qué condición deben cumplir los polígonos regulares para que formen unateselación regular?

k) ¿Se puede realizar una teselación con más de un polígono regular? Da unejemplo.

(Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).



La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las transfor-maciones isométricas y las teselaciones con el arte, en particular con la arquitectura,pintura y escultura de los museos.

En nuestro país existen diversos museos. En el Palacio de La Alhambra de Santiagoes posible observar algunas teselaciones de distinto tipo, donde nos podemosdeleitar con la maravilla que se produce al combinar arte y geometría.

La artista Matilde Pérez es una reconocida pintora y escultora chilena. Su trabajo sedestaca por sólidas estructuras, rigor de composición y control racional del color yla línea.

Interesante información sobre la artista; su vida, trayectoria, entrevistas y obras,disponible en el sitio web: www.portaldearte.cl/autores/perez_matilde.htm.


De refuerzo

1. En relación a la arquitectura morisca presente en el Palacio de La Alhambra deSantiago, busca imágenes del palacio y, luego, responde las siguientes preguntas:

a) ¿te gustó su arquitectura?, ¿por qué?b) ¿qué figuras geométricas observaste en su arquitectura?c) ¿encontraste transformaciones isométricas en la arquitectura?, ¿cuáles?

(Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).


Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estu-diantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.


La tabla es otra técnica de estudio que le puede enseñar a sus alumnos y alumnas.Consiste en organizar los contenidos que hemos visto en la Unidad de la siguiente forma:

• Hacer una tabla con cuatro columnas y el número de filas, según la cantidad decontenidos que quiera ubicar en ella.

• Las columnas deben incluir los contenidos, definición, datos y un ejemplo decada contenido.

Contenido Definición Datos Ejemplo

Traslación Una traslación es el desplazamientode todos los puntos de unafigura en la mismamagnitud, dirección y sentido.

Para realizar una traslaciónnecesitamos lafigura que queremos trasladary el vector detraslación.




¿Qué aprendí?Ítems 1, 2, 3, 5 y 7: analizar.Ítems 4, 6 y 8: recordar.Ítems 9 y 10: aplicar, usar herramientas e identificar.


En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la Unidad de Movimientos en el plano, y, con esta información,seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o rea-lizar una actividad adicional, con el objetivo de aprender los contenidos de esta Unidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas eslimitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen,que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá de-tectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que seespera que logren.

• En el ítem 9, sus estudiantes se podrían confundir debido a que no se especificael sentido de orientación de la rotación. Mencione que siempre que ocurra estose entiende que es en sentido positivo; es decir, contrario a los punteros del reloj.

• En el ítem 10, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se equivoquen al realizarla teselación, porque no construyen la base que utilizarán de forma adecuada. Paraevitarlo, es recomendable que no la realicen de inmediato; primero pueden hacerel bosquejo de la teselación; y, luego, hacerla en el cuaderno. Además, pídales quecubran toda la plana del cuaderno para que puedan apreciar la teselación.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzaro profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles lasactividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obten-gan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.




9

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta la rotacióny reflexión a la figura dada, justificandosus pasos.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta la rotacióny reflexión a la figura dada, sin justificartodos sus pasos.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta, ya seala rotación o reflexión a la figura dada.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta larotación y reflexión a la figura dada.

10

Construye correctamente la teselaciónsemirregular, identificando lasisometrías involucradas y justificandosus pasos.

Construye correctamente la teselaciónsemirregular, identificando lasisometrías involucradas, sin justificartodos sus pasos.

Construye de forma incorrecta lateselación semirregular, identificandoalguna de las isometrías involucradas.

Construye de forma incorrecta lateselación semirregular, sin identificarlas isometrías involucradas. Además,no justifica los pasos.


De refuerzo


1. Una transformación isométrica se caracteriza por:

A. cambiar el tamaño y posición de la figura.B. cambiar el tamaño y forma de la figura.C. conservar el tamaño y forma de la figura.D. conservar el tamaño y cambiar la forma de la figura.

2. La imagen de una circunferencia coincide exactamente con la circunferencia original al aplicar:

A. una traslación cuyo vector de traslación tiene la misma magnitud que un radio.B. una reflexión cuyo eje de simetría no pase por el centro de la circunferencia.C. una rotación cuyo centro de rotación coincida con el centro de la circunferencia.D. todas las anteriores.

3. Al aplicar una rotación la imagen puede coincidir exactamente con la figura original si se rota en:

A. 180º B. 90º C. 270º D. 360º

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

A. El eje de simetría es perpendicular a los trazos que unen cada punto y su imagen. B. Al aplicar dos rotaciones sucesivas a una figura, siempre se obtiene la

figura original.C. Al aplicar una rotación, todos los puntos se mueven en torno a un punto fijo.D. Al aplicar una reflexión a una figura sobre una recta L y, luego, reflejar la

imagen sobre una recta paralela a la recta L, equivale a la traslación de la figura geométrica.

5. Es posible teselar un plano usando:

A. hexágonos regulares.B. octágonos regulares.C. pentágonos y cuadrados.D. hexágonos y cuadrados.


6. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular?

A. C.

B. D.

7. ¿Cuál de las siguientes opciones no representa una transformación isométrica?

A. C.

B. D.



8. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación en 180º respecto del vértice B?

A. C.

B. D.

9. Usando regla y compás, dibuja la base de una teselación semirregular y, luego,construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformacionesisométricas utilizadas y explica por qué es posible realizar la teselación.

10. Usando regla y compás, traslada el siguiente cuadrilátero según el vector EF.Luego, rota la imagen obtenida respecto del vértice C en el ángulo α = 125º(utiliza transportador).

De profundización


1. Una teselación es regular cuando:

A. se construye usando solo un tipo de polígono.B. se construye usando combinaciones de polígonos regulares.C. se construye usando uno o dos polígonos regulares.D. se construye usando solo un polígono regular.

2. En una traslación:

A. se desplazan todos los puntos de una figura respecto de un eje de simetría.B. se mueven todos los puntos de una figura en un ángulo determinado.C. se desplazan todos los puntos de una figura según un vector de traslación.D. cambia la posición y forma de la figura inicial.

3. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es regular?

A. C.

B. D.

4. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una reflexión respecto de la recta AB?

A

AB

C

AB

CA

B

C

AB

CC

C

C

C

A

A

A

B

C

D

EF

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 220, 221 Y 222 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De refuerzo

1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. D9. Puede ser cualquiera de los ocho tipos de teselaciones semirregulares.10.

De profundización

1. D2. C3. A4. A

5.

6. a) Sí es posible, se traslada el centro y un punto cualquiera de la circunferencia, según un vector de traslación.

b) Dos puntos, el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.


A. C.

B. D.

5. Usando regla y compás, refleja el cuadradoABCD respecto de la recta E.

6. Observa la circunferencia de centro O que se observa a continuación y responde.

a) ¿Es posible trasladar una circunferencia?, ¿cómo lo harías?

b) ¿Cuántos puntos de la circunferencia debes trasladar para obtener la imagen?, ¿cuáles son?

c) Traslada la circunferencia de centro O según el vector TV.

A

A B

C

AB B

C

C

BA

A B

A

E

O

T

V

O

O

T

V

B

CD

A E BA

B

C

CD D

B

B

C

C C

A

A

B

B

D

A

C

D

B

C

D

EF

múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta,pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos aalcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En los ítems de desarrollo, podría ocurrir que sus estudiantes trabajen sin regla ycompás. Para evitarlo, recuérdeles, una clase antes de la evaluación, que traigandichos materiales. Además, durante el desarrollo de la evaluación monitoree cons-tantemente el trabajo de los y las alumnas, con la finalidad que trabajen segúnlas instrucciones.La importancia de las construcciones geométricas radica en las definiciones ypropiedades puestas en juego al efectuarlas.

Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evalua-ción, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadasen esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudasque tengan.

Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aquelloscontenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.


I.1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. B 7. D 8. A

II.9. Las respuestas para a) y b) es que las rotaciones conservan

las distancias y las medidas de los ángulos.10. No se obtiene la misma imagen final en a) y b).11. La transformaciones isométricas involucradas

pueden ser traslaciones.


EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad deMovimientos en el plano. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes.



Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanza-dos por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1a 8), considere:



• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudianteses limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores quecometen (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la al-ternativa, entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II.


I Analizar e identificar. 2 puntos cada una 16 puntos

IIUsar herramientas, aplicar,analizar y justificar.



III

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta las trans-formaciones isométricas a las figurasdadas, justifica sus pasos y respondecorrectamente las preguntas.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma correcta las trans-formaciones isométricas a las figurasdadas y, responde correctamente las preguntas.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta algunastransformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde correcta-mente algunas de las preguntas.

Utiliza las herramientas geométricas,aplicando de forma incorrecta lastransformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde incorrecta-mente las preguntas.

EVALUACIÓNMovimientos en el plano


Puntaje: Nota:


1. ¿Cuáles de estas figuras corresponden a una traslación?

A. F1 y F2 B. F2 y F4 C. F1 y F3 D. F2 y F3

2. La figura base de la siguiente teselación es:

A. C.

B. D.

3. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación de lafigura en 45º con centro en O?

A. B. C. D.

4. Dado el eje R y el punto M de la figura, ¿qué transformaciónisométrica hay que aplicar en la mitad izquierda para obtener lamitad derecha del dibujo?

A. Una rotación en 90º y centro M.B. Una reflexión con respecto al eje R.C. Una rotación en 180º y centro M.D. Una traslación.

5. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I. Es posible teselar solo con rectángulos.II. Los círculos no permiten construir teselaciones.II. En una teselación con heptágonos regulares los ángulos que

concurren en un mismo vértice suman 360º.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I, II y III


F1 F2 F3 F4

O

O’ O’

O’

O’

M

R

6. En la figura, la imagen reflexivadel punto E, con respecto al ejede simetría T, es el punto:

A. CB. KC. MD. I

7. Las teselaciones regulares son aquellas que:

A. están compuestas por cualquier polígono regular.B. son deformaciones del triángulo equilátero.C. están formadas por hexágonos y cuadrados.D. están formadas solo por un polígono regular.

8. El ángulo de rotación usado para pasar de T a T es:

A. 270ºB. 180ºC. 45ºD. 90º

II. Resuelve los siguientes ejercicios usando regla y compás, en cada caso.

9. Aplica una rotación al cuadriláteroIJKL con centro en O y en un ángulo β = 95º. Luego, respondelas preguntas.

a) ¿Qué sucede con las distancias de cada vértice al centro derotación?, ¿se conservan o varían?

b) ¿Qué sucede con los ángulos interiores de las figuras?

10. Realiza las siguientes transformaciones isométricas con regla y compás y,luego, responde la pregunta c).

a) Refleja el triángulo FHG respecto de la recta R. Luego, traslada laimagen obtenida según el vector LK.

b) Repite el proceso anterior pero en forma inversa sobre el triángulo FHG.

c) ¿Obtienes la misma imagen final en a) y b)? Justifica tu respuesta.

11. A partir de la técnica presentada, aplicada alcuadrado de la figura (eliminando partes delados del cuadrado para añadirlas en otro),construye una teselación con ella. Indica lastransformaciones isométricas utilizadas.


O

T

T’

O

C

D J

K

L

M

N

E

F

G

H

I

T

I J

R

F

G

H

L

K

KL

Experimentosaleatorios

Espaciomuestral

Principiomultiplicativo

estudio de

seusa

se identifica

se determina

se usa

en

226 Unidad 5 – Datos y azar Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al análisis e interpretación de datos provenientes de diver-sas fuentes y en contextos diversos; a comprender el concepto de aleatoriedad enel uso de muestras; a determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia deeventos, usando el modelo de Laplace.

En el desarrollo de esta Unidad los alumnos y alumnas observarán y analizarán infor-mación obtenida del Censo 2002, así como también extraída de otros contextos, comoeducación, medios de comunicación, cultura, entre otros.

El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes utilicen los conocimientosadquiridos en años anteriores para la comprensión y el aprendizaje de los nuevos con-tenidos que serán enseñados, por ejemplo tablas de frecuencia, cálculo de medidas detendencia central y cálculo de probabilidades, conocimientos que son ampliados y profundizados en este nivel. Además, se realizan actividades en las que son utilizadasherramientas tecnológicas.

En esta Unidad los alumnos y alumnas aprenderán, entre otras cosas, a construire interpretar tablas de frecuencias para datos agrupados en intervalos. Además,aprenderán a calcular medidas de tendencia central, como la moda y la media arit-mética, en dichos casos. Por otro lado, determinarán la probabilidad de ocurrencia deeventos en experimentos aleatorios, para resultados finitos y equiprobables, aplicandoel modelo de Laplace.


Datos y azarUnidad5

Población Encuesta

Probabilidad

Datos Azar

estudio de

Muestra

Tablas defrecuencia

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Sucesosequiprobables

Regla deLaplace

Sucesos noequiprobables

Medidas de tendencia central

se selecciona

se construyen

para

y

Datos noagrupados

Datos agrupados

Mediaaritmética

Moda Mediana

se determinan

son

serealiza


7º básico 8º básico

Resolución de problemas en los cuales es nece-sario interpretar información a partir de tablasde frecuencia con datos agrupados en interva-los, tomados de diversas fuentes o recolectadosmediante experimentos o encuestas.

1º medio 2º medio

Establecimiento y aplicación de crite-rios para la selección del tipo de tablaso gráficos a emplear para organizar ycomunicar información, obtenida desdediversas fuentes, y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas. Construcción de tablas de frecuencia con datos

agrupados en intervalos, en forma manual ymediante herramientas tecnológicas, a partir dediversos contextos y determinación de la mediaaritmética y la moda en estos casos.

Determinación del rango, varianza ydesviación estándar, aplicando criteriosreferidos al tipo de datos que se estánutilizando, en forma manual y medianteel uso de herramientas tecnológicas.

Análisis de las características de dos omás muestras de datos, haciendo uso deindicadores de tendencia central, posi-ción y dispersión.

Caracterización de la representatividadde una muestra, a partir del tamaño ylos criterios en que ésta ha sido selec-cionada desde una población. Discusiónacerca de cómo la forma de escogeruna muestra afecta las conclusiones re-lativas a la población.

Discusión respecto de la importancia de tomarmuestras al azar en algunos experimentosaleatorios para inferir sobre las característicasde poblaciones, ejemplificación de casos.

Análisis de una muestra de datos agru-pados en intervalos, mediante el cál-culo de medidas de tendencia central(media, moda y mediana) y medidas deposición (percentiles y cuartiles), en di-versos contextos y situaciones.

Empleo de elementos básicos del mues-treo aleatorio simple, en diversos experi-mentos, para inferir sobre la media deuna población finita a partir de muestras extraídas.

Discusión acerca de la manera en que lanaturaleza de la muestra, el método deselección, y el tamaño de ella, afectanlos datos recolectados y las conclusionesrelativas a la población.

Análisis del comportamiento de una muestrade datos, en diversos contextos, usando me-didas de tendencia central y argumentaciónacerca de la información que ellas entregan.

Uso de técnicas de combinatorias pararesolver diversos problemas que involu-cren el cálculo de probabilidades.

Análisis de ejemplos en diversas situacionesdonde los resultados son equiprobables, a par-tir de la simulación de experimentos aleatoriosmediante el uso de herramientas tecnológicas.

Identificación del conjunto de los resultadosposibles en experimentos aleatorios simples(espacio muestral) y de los eventos o sucesoscomo subconjuntos de aquél, uso del principiomultiplicativo para obtener la cardinalidad delespacio muestral y de los sucesos o eventos.

Asignación en forma teórica de la probabilidadde ocurrencia de un evento en un experimentoaleatorio, con un número finito de resultadosposibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Utilización y establecimiento de estrate-gias para determinar el número demuestras de un tamaño dado, que sepueden extraer desde una población detamaño finito, con y sin reemplazo.

Formulación y verificación de conje-turas, en casos particulares, acerca dela relación que existe entre la mediaaritmética de una población de tamañofinito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamañoextraídas de dicha población, con y sin remplazo.

Resolución de problemas en contextosde incerteza, aplicando el cálculo deprobabilidades mediante el modelo deLaplace o frecuencias relativas, depen-diendo de las condiciones del problema.

Aplicación del concepto de variablealeatoria en diferentes situaciones que in-volucran azar e identificación de éstacomo una función.

Predicción respecto a la probabilidad deocurrencia de un evento en un experi-mento aleatorio simple y contrastaciónde ella mediante el cálculo de la fre-cuencia relativa asociada a dicho eventoe interpretación de dicha frecuencia apartir de sus formatos decimal, comofracción y porcentual.

Exploración de la Ley de los GrandesNúmeros, a partir de la repetición de ex-perimentos aleatorios, con apoyo de her-ramientas tecnológicas y su aplicación ala asignación de probabilidades.

Resolución de problemas de cálculo deprobabilidades aplicando las técnicas delcálculo combinatorio, diagramas deárbol, lenguaje conjuntista, operatoriabásica con conjuntos, propiedades de lasuma y producto de probabilidades.










Resolución de problemas en loscuales es necesariointerpretar informacióna partir de tablas defrecuencia con datosagrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes orecolectados medianteexperimentos o encuestas.

Interpretación de tablasde frecuencia.

• Analizar información a partir de tablas de frecuencia, condatos agrupados en intervalos.


De construcción deconceptos: página135.



• Interpretan informacióna partir de tablas de frecuencia, con datosagrupados en intervalos.

Construcción de tablasde frecuencia condatos agrupados en intervalos, en formamanual y medianteherramientas tecnoló-gicas, a partir de diversos contextos ydeterminación de lamedia aritmética y lamoda en estos casos.

Construcción de tablaspara datos agrupados.

• Construir tablas de frecuencia con datosagrupados en intervalos, en formamanual y medianteuna planilla de cálculo.

• Interpretar la información que entregan las tablas.




En la Guía DidácticaDe refuerzo: página 249.De profundización:página 249.

• Construyen tablas defrecuencia con datosagrupados en intervalos,en forma manual y mediante herramientastecnológicas.

Diagnóstica:páginas 132 y133 del Textodel Estudiante.

Formativa: páginas 149 y157 del Textodel Estudiante.


• Calculadora.• Computador

con planillade cálculo yconexión aInternet.

• Bolsa• Hojas blancas.• Regla.• Tijeras.• Lápices de

colores.

Discusión respecto de laimportancia de tomarmuestras al azar en algunos experimentosaleatorios para inferirsobre las característicasde poblaciones, ejemplificación de casos.

Censo y muestreo. • Analizar situacionesdonde es necesariotomar muestras al azar en experimen-tos aleatorios.

• Determinar el comportamiento de una población,usando medidas detendencia central.






• Discuten respecto de laimportancia de tomarmuestras al azar en experimentos aleatorios.

• Analizan el comportamiento de una población, usando medidas de tendencia central.







Construcción de tablasde frecuencia condatos agrupados enintervalos, en formamanual y medianteherramientas tecnoló-gicas, a partir de diversos contextos ydeterminación de lamedia aritmética y lamoda en estos casos.

Análisis del compor-tamiento de unamuestra de datos, endiversos contextos, usando medidas detendencia central y argumentación acercade la información queellas entregan.

Media aritmética paradatos agrupados.

Moda para datos agrupados.

Análisis de encuestas.

• Analizar muestras dedatos, determinar lamedia aritmética ymoda en estos casospara estudiar su comportamiento.


De construcción deconceptos: páginas 139,141, 145, 146, 147 y 148.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 251,253, 257, 259 y 261.


• Analizan muestras dedatos en experimentosaleatorios, y estudian su comportamiento, determinando la mediaaritmética y la moda.

Análisis de ejemplos endiversas situacionesdonde los resultadosson equiprobables, apartir de la simulaciónde experimentosaleatorios mediante eluso de herramientastecnológicas.

Sucesos equiprobables. • Analizar situacionesdonde los resultadosson equiprobablesen experimentosaleatorios, en diversassituaciones y medianteel uso de herramientastecnológicas.






• Analizan situacionesdonde los sucesos sonequiprobables, en diversas situacionesy mediante el uso de herramientas tecnológicas.







Identificación del con-junto de los resultadosposibles en experimen-tos aleatorios simples(espacio muestral) y delos eventos o sucesoscomo subconjuntosde aquél, uso del principio multiplicativopara obtener la cardinalidad del espa-cio muestral y de lossucesos o eventos.

Espacio muestral y principio multiplicativo.

• Identificar el espaciomuestral en experi-mentos aleatorios, yusar el principio multi-plicativo para obtenersu cardinalidad.

En el TextoDe exploración:página 150.De construcción deconceptos: página 151.De consolidación:páginas 160 y 161.


• Identifican el espaciomuestral en experimentosaleatorios, y usan el principio multiplicativopara obtener su cardinalidad.

Asignación en formateórica de la probabili-dad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio,con un número finitode resultados posiblesy equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Regla de Laplace. • Asignar la probabilidadde un evento en un experimento aleatorio,usando la Regla de Laplace.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 269y 271.De profundización:página 269.

• Asignan la probabilidadteórica de un evento enun experimento aleatorio.

Discusión respecto dela importancia detomar muestras al azaren algunos experimen-tos aleatorios para inferir sobre las características depoblaciones, ejemplifi-cación de casos.

Buscando estrategias. • Analizar informaciónproveniente de diversasencuestas, para inferirsobre las característicasde una población.

• Aplicar habilidadesbásicas del proceso de resolución de pro-blemas en contextosdiversos y significativos.





• Resuelven problemas queimplican el análisis dedatos e interpretación dediversos gráficos estadísti-cos, provenientes de diversas fuentes.


ERRORES FRECUENTES


Es posible que sus estudiantes tengan problemas para:

• Expresar números decimales como fracción, porcentaje, y viceversa.• Amplificar o simplificar una fracción.• Calcular porcentajes.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los temas que provocan confusiones o errores en sus estudiantes.

Puede que sus estudiantes tengan dificultades para realizar el análisis e interpretación de información proveniente de diversos medios y fuentes.

• Para desarrollar estas habilidades, es importante que continuamente los alumnosy alumnas se vean enfrentados a situaciones en donde tengan que analizar, inferir, interpretar y concluir. De este modo, se acostumbrarán a desarrollar estas habilidades y en situaciones futuras, este tipo de trabajo no provocará complicaciones.


• Determinar la media aritmética en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la media se calcula de igual forma que para datosno agrupados, es decir, suman todas las frecuencias absolutas y dividen el resultado por el total de observaciones.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que men-cione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula lamedia aritmética correctamente en datos agrupados en intervalos. Si lo estimaconveniente, puede pedirles que utilicen calculadora, para facilitar los cálculos.


• Determinar la moda en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la moda en estos casos corresponde a la marca de clase de la categoría con mayor frecuencia.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que men-cione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula lamoda correctamente en datos agrupados en intervalos.

Es posible que los alumnos y alumnas tengan problemas para:

• Calcular la probabilidad de eventos simples, debido a que determinan de formaincorrecta el espacio muestral y la cantidad de resultados posibles.

• Para ayudar a sus estudiantes, permita que organicen la información en tablas, obien, que usen diagramas de árbol, ya que esta forma visual permite clarificar lasituación y les ayuda a obtener las probabilidades correctamente.

En la resolución de problemas se pueden presentar los siguientes inconvenientes:

• Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación yposterior resolución.

• Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema.• Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta asociada.• Aplicación incorrecta de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.

• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental que los contenidos de laUnidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para quesus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas.

• Incentivar la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar,resolver y revisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datos disponibles, loque deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución,dar solución al problema y analizar la solución.



ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Conceptos básicos

La estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos que permitenrecoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que, a partir deellos, se puedan inferir conclusiones.

Población y muestra

La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea estudiar y que,a su vez, presentan una característica que interesa medir. Generalmente, el tamañode la población se denota con la letra N.

Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que se desea es-tudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la letra n.

Variables estadísticas

Una variable estadística corresponde a la o las características que se miden en lamuestra. Las variables pueden ser cuantitativas o cualitativas.

• Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente,están relacionadas con características. Los valores que toma este tipo de variableson etiquetas que representan una categoría o cualidades.Una variable cualitativa puede ser nominal u ordinal.

Las variables nominales corresponden a aquellas en las cuales no existe ninguna ordenación.

Por ejemplo: estado civil.

Las variables ordinales son aquellas en las cuales existe un orden intuitivo.Por ejemplo: nivel educacional (básico, medio, superior).

• Variables cuantitativas son aquellas que se pueden medir numéricamente, esdecir, los valores que toma este tipo de variables son números.

Una variable cuantitativa puede ser discreta o continua.

Las variables discretas son aquellas en las cuales los posibles valores surgen fre-cuentemente de un conteo. En cada tramo o intervalo la variable solo puedetomar un número determinado de valores (enteros).

Por ejemplo: número de hijos, número de páginas de un libro.

Las variables continuas son aquellas en las cuales los posibles valores surgenfrecuentemente de una medición. Estas variables pueden tomar tanto valoresreales como sea posible en un intervalo.

Por ejemplo: la estatura de una persona, la masa de alguien.En resumen:

PROBABILIDAD Y AZAR

Conceptos básicos

• Experimentos determinísticos: en este tipo de experimentos, se conoce de an-temano el resultado.

• Experimentos aleatorios: este tipo de experimentos, repetidos una cierta canti-dad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes.En los experimentos aleatorios no se conocen los resultados de antemano.

Espacio muestral y eventos

• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llamaespacio muestral (Ω) y cada uno de estos resultados es conocido como sucesoo evento elemental.

• Un evento puede ser:

Evento seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento.Coincide con el espacio muestral y siempre ocurre.

Evento imposible: nunca ocurre. No se presenta al realizar un experimento aleatorio. Se denota por el símbolo ∅.

Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos que no pueden suceder simultáneamente.

Por ejemplo: si se lanza un dado, se puede obtener cualquier número enteroentre 1 y 6. Entonces, el experimento es aleatorio, su espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los sucesos elementales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un eventoseguro sería obtener un número entre 1 y 6, y un evento imposible, obtener unnúmero mayor que 6.


Variable estadística

Nominal

Ordinal

Discreta

Continua

Cuantitativa

Cualitativa

Probabilidad de un suceso

Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones, la probabilidad deque el evento A ocurra se denota por P(A) y corresponde a un valor comprendidoentre 0 y 1.

Eventos equiprobables

Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, sedice que los sucesos son equiprobables.

Si en un experimento aleatorio los sucesos son equiprobables, entonces, la proba-bilidad de que el evento A ocurra está dado por la expresión:

Este modelo es conocido como la Regla de Laplace.

Ley de los grandes números

Se refiere a que a medida que aumenta el número de repeticiones de un experi-mento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A se aproxima cada vez más asu probabilidad.

Bibliografía

• Iglesias Z., P., Del Pino M., G., y Aravena C., R. (2003). Análisis estadístico:Interpretando problemas de la vida cotidiana. Santiago: Ministerio de Educación.


• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza.Santiago: Editorial Andrés Bello.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 2: Estadística. Estadística, probabilidad y precálculo.(pp. 34–45). Santiago: Santillana.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 3: Probabilidad y combinatoria. Estadística,probabilidad y precálculo. (pp. 86–89). Santiago: Santillana.

• Morris, K.(1992). Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México:Fondo de Cultura Económica.

• Gardner, M. (1985). Carnaval Matemático. España: Alianza Editorial.

• Guzmán, M. (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. BuenosAires: Red Olímpica.

• Matemáticas y Olimpíadas (1994). Santiago: Sociedad de Matemáticas de Chile.

• Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo EditorialIberoamérica.

Sitios webs

En los siguientes sitios web puede encontrar distintos resultados de estudios públi-cos que puede utilizar en sus clases:

• www.ine.cl

• www.cepchile.cl

• www.sernam.gov.cl

• www.fundacionfuturo.cl



P(A) = número de casos favorables al suceso Anúmero de casos posibles

La imagen inicial presentada en la Unidad está destinada a introducir a sus alumnos y alum-nas en un estudio muy común en la sociedad: el Censo. Además, se muestra una tabla querelaciona el nivel de instrucción alcanzado hasta el año 2002 por los habitantes de laProvincia de Valdivia, según su edad.

El censo es una encuesta nacional que se realiza cada 10 años y su objetivo es obtener in-formación de toda la población en relación con diversas variables, como por ejemplo: edad,



estado civil, integrantes del grupo familiar, tipo de vivienda, años de escolaridad, etc. Esta actividad introductoria permitirá activar los conocimientos y experiencias previas desus estudiantes relacionados con este tema, y además podrá aproximarse al estudio de losnuevos contenidos de la Unidad.


Conversemos de...Ítems 1 y 2: analizar y calcular.Ítem 3: recordar y conectar.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego,podría plantear preguntas como las siguientes:

• ¿Qué es una tabla de frecuencias?• ¿Qué es la moda?, ¿cómo la determinas?• ¿Qué es la media aritmética?, ¿cómo la determinas?• ¿Qué es un experimento aleatorio? Cita dos ejemplos.• ¿Qué diferencias existen entre población y muestra?

Con estas preguntas, y con las respuestas de sus alumnos y alumnas, puede realizarun esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtenerinformación sobre sus experiencias y conocimientos previos. A partir de ellos, podráguiar de mejor forma el trabajo que se realizará.

ACTIVIDAD INICIAL

Para motivar el desarrollo de la actividad inicial, puede complementar las preguntasdel texto con las siguientes:

• ¿Qué es un censo?• ¿Cada cuántos años se realiza en Chile?, ¿por qué no se realiza cada año?• ¿Cuál es el objetivo de un censo?• ¿Cuántas personas entre 30 y 49 años terminaron la Educación Media?• ¿Cuántas personas tienen 2 años de Educación Media?• ¿Por qué crees que terminaron la Educación Media más personas entre 20 y 29

años que entre 50 años y más?• La tabla presentada, ¿corresponde a una muestra o a la población de Valdivia?,

¿cómo lo supiste?

Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes, le permitirán moti-varlos e introducirlos en el estudio de la Unidad de manera más profunda.


El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de las estadís-ticas públicas del país en el área económica, social, demográfica, medioambiental ycensal. Por ejemplo, el INE se encarga de los Indicadores de Empleo y también del

Índice de Precios al Consumidor (IPC), entre otros.

El INE cuenta con más de 600 encuestadores que aumentan a 400 000 para losCensos de Población y Vivienda. Ellos recorren el territorio nacional en busca dedatos relevantes, que luego serán procesados, analizados y difundidos para las políti-cas públicas y los proyectos privados.

El INE trabaja con las más modernas tecnologías y metodologías disponibles. En elaño 2012 tendrá estándares de calidad y transparencia comparables a las mejoresprácticas de los países miembros de la Organización para la Cooperación y elDesarrollo Económico (OCDE), tanto en el desarrollo de su capital humano como enla cobertura de sus productos y servicios.

Para más información, visita el sitio web del INE en: www.ine.cl.


De refuerzo

1. Según el Censo de 2002, la población con discapacidad por sexo y tipo de dis-capacidad fue resumida en la siguiente tabla:

a) ¿Cuántas personas presentan sordera total?b) ¿Cuántas personas presentan mudez o deficiencia mental?c) ¿Cuántos hombres presentan ceguera o sordera?d) ¿Cuántas mujeres presentan deficiencia mental o ceguera?e) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea ciega?f) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga

más de una discapacidad?g) Si se elige un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mudo?h) ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿qué puedes concluir?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, recordar y conectar).


Tipo de discapacidad Hombre Mujer

Ceguera total 20 341 22 590

Sordera total 35 280 31 244

Mudez 6037 5053

Lisiado / parálisis 73 988 61 041

Deficiencia mental 53 041 45 108

Con más de 1 discapacidad 178 563 155 814

Total 367 250 320 850




Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evalua-ción diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

Ítem 1: completar tabla de frecuencias y analizar la información que entrega, deter-minar las medidas de tendencia central e interpretar los resultados.

Ítem 2: analizar la información de un gráfico circular y completar la tabla de frecuencias,determinar e interpretar las medidas de tendencia central.

Ítem 3: determinar la población de interés para un estudio y la muestra apropiadapara este caso. Determinar variable de estudio y su tipo.

Ítem 4: realizar un experimento aleatorio y construir una tabla de frecuencias para losresultados obtenidos.


¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: representar, interpretar, calcular y analizar.Ítem 3: analizar y reconocer.Ítem 4: representar, interpretar y calcular.


• En los ítems 1 y 2, es posible que los y las estudiantes no recuerden la frecuenciaabsoluta, relativa y porcentual, y que por ello no puedan completar la tabla de fre-cuencias y contestar de manera adecuada las preguntas planteadas en la evaluación.Para evitar este posible inconveniente recuérdeles cada uno de estos conceptos.Podría hacerlo con un ejemplo sencillo, pero no con los ejercicios planteados en laevaluación, porque de esa forma no podría determinar correctamente el nivel deconocimientos previos de los alumnos y alumnas.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes no recuerden qué significa poblacióny qué muestra, y la diferencia entre ambas. Para evitar este posible inconveniente re-cuérdeles que la población se refiere a los objetos en estudio, y la muestra se refierea tomar una parte de la población para analizarla y extraer conclusiones de toda lapoblación. Si es necesario, muestre algunos ejemplos.

• En el ítem 4, los alumnos y alumnas podrían calcular las frecuencias relativas decada uno de los resultados posibles al lanzar un dado, o bien, la probabilidadteórica de que salga un número al lanzar un dado. Si es necesario, explique ladiferencia entre ambos casos.

• Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación diag-nóstica, para detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismomodo, también es conveniente realizar la pauta de la evaluación en la pizarra, paraque sus alumnos y alumnas conozcan las respuestas y procedimientos correctos, demodo que puedan detectar y corregir sus errores. Con estas instancias podrá deter-minar las áreas más débiles de sus estudiantes, y preparar un plan de reforzamientopara corregirlas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8237 Unidad 5 – Datos y azar



1 y 2

Interpreta correctamente los valores dela tabla, los porcentajes y las medidasde tendencia central, justificando cadauno de sus pasos.

Interpreta correctamente los valores dela tabla, los porcentajes y las medidasde tendencia central, sin justificartodos sus pasos.

Interpreta erróneamente uno o dos valores de la tabla, confundiendo losporcentajes y/o las medidas de tendencia central.

Interpreta erróneamente todos los valores de la tabla, confundiendo los porcentajes y las medidas de tendencia central.

3

Reconoce correctamente la población,muestra y variable de estudio, justificando cada uno de sus pasos.

Reconoce correctamente la población,muestra y variable de estudio, sin justificar todos sus pasos.

Reconoce erróneamente la población y muestra, o bien la variable de estudio, sin justificar sus pasos.

Reconoce erróneamente la población,la muestra y variable de estudio.

4

Representa correctamente la tabla defrecuencias e interpreta la informaciónque entrega, justificando cada uno desus pasos.

Representa correctamente la tabla de frecuencias e interpreta la información que entrega, sin justificartodos sus pasos.

Representa erróneamente alguno de los elementos de la tabla de frecuencias, confundiendo la soluciónen una o dos preguntas.

Representa erróneamente la tabla defrecuencias, confundiendo la soluciónen todas las preguntas.




• Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partirde tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversasfuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.


Para discutirÍtem 1: analizar.Ítems 2, 3 y 4: calcular

ActividadesÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: analizar e interpretar.


Las tablas de frecuencias se utilizan para resumir la información de un conjunto dedatos. Las frecuencias incluidas en esta tabla son:

• La frecuencia absoluta, que corresponde al número de observaciones de unadeterminada clase. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamañode la muestra.

• La frecuencia relativa, que corresponde a la razón entre la frecuencia absolutade una clase y el tamaño muestral. La suma de todas las frecuencias relativas esigual a 1.

• La frecuencia absoluta acumulada, que corresponde al número de datos cuyovalor es menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamentelas frecuencias absolutas.

• La frecuencia relativa acumulada, que corresponde a la razón entre la frecuenciaabsoluta acumulada y el número total de datos.

• En algunas tablas también se incluye la frecuencia relativa porcentual, que corres-ponde a la frecuencia relativa de un evento, expresada en porcentaje. Se calculamultiplicando la frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias relativasporcentuales da como resultado 100%.

• El hecho de que en cualquier conjunto de datos la suma de las frecuencias relati-vas es 1 y que la suma de las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la mues-tra, es un indicador para verificar si los cálculos que han realizado son correctos.


De refuerzo

1. Los datos que aparecen a continuación corresponden a las estaturas (en m) de losy las estudiantes de Segundo Medio de un colegio de Santiago.

1,62 1,59 1,70 1,57 1,64 1,50 1,48 1,68 1,621,50 1,72 1,83 1,71 1,62 1,79 1,57 1,70 1,651,78 1,64 1,67 1,78 1,68 1,76 1,72 1,51 1,73

a) Organiza estos datos en una tabla de distribución de frecuencias.

b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

c) ¿En cuál intervalo hay más personas?

d) ¿Cuántas personas miden 1,74 cm o menos?

(Habilidad que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

ACTIVIDAD INICIAL

La preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorioy tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presen-tada en la tabla de frecuencias, para luego interpretarla. A partir de esta situación,se inicia el estudio de las tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.

Para motivarlos, podría pedirles que realicen una encuesta a sus compañeras y com-pañeros de curso, sobre el número de hermanos que tienen. A partir de estos datos,mostrarles cómo se construye una tabla de frecuencias, explicando qué significan ycómo se calculan cada una de las frecuencias que ahí se incluyen. Debe notar que susestudiantes deben tener una tabla con los mismos resultados, ya que todos estántrabajando con datos del mismo curso. Es interesante que haga el paralelo con elejemplo que presenta el texto sobre el número de primos y el uso de intervalos, yexplicar por qué en el caso de la cantidad de hermanos no es necesario formar inter-valos en la tabla de frecuencia.

Para complementar la actividad inicial del Texto podría plantear preguntas comolas siguientes:

• ¿Qué cantidad de primos es más frecuente?, ¿a qué intervalo corresponde?• Al sumar todas las frecuencias absolutas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo?• Al sumar todas las frecuencias relativas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo?• ¿Cuál es el valor de la frecuencia absoluta acumulada en la última categoría?,

¿siempre ocurre lo mismo?• ¿Cuál es el valor de la frecuencia relativa acumulada en la última categoría?,

¿siempre ocurre lo mismo?


• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultad para responder correctamente,recuerde que pueden utilizar la frecuencia absoluta acumulada, en estos casos.Por otro lado, recuerde que pueden simplificar las fracciones obtenidas de lasprobabilidades solicitadas. Además, mencione que esta probabilidad es empírica,pues corresponde a la frecuencia relativa de la categoría pedida.

• En el ítem 2, recuérdeles que para verificar que su tabla está completada correc-tamente, deben fijarse que la suma de las frecuencias absolutas sea igual al tamañode la muestra, que la suma de las frecuencias relativas sea igual a 1 y también, quela suma de todas las frecuencias relativas acumuladas hasta la última categoríasean iguales a 1. Si es necesario, pueden comparar las tablas con las de otros com-pañeros, para detectar errores y corregirlos de inmediato.





• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en formamanual […] a partir de diversos contextos […].


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 2: analizar. Ítems 1 y 2: analizar, representar, interpretar Ítem 3: analizar y calcular. y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes,que en determinados casos resulta necesario agrupar los datos en intervalos para poderresumirlos y analizarlos de una manera óptima, debido a la cantidad de datos que tienela muestra, o porque el rango de los datos es muy amplio.

Sería conveniente que junto con sus estudiantes, confeccionen una tabla similar a la pre-sentada en el Texto, definiendo una cantidad de intervalos distinta a la allí propuesta.

De esta forma, los alumnos y alumnas observarán que para un mismo caso es posibleobtener distintas soluciones.


• En los ítems 1 y 2, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el con-teo de datos correspondientes a cada categoría, pues errores de este tipo provocaránresultados incorrectos en toda la tabla.

• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes formen intervalos de distintaamplitud, indíqueles que la cantidad de intervalos está propuesta en el Texto (8 y4, respectivamente). Además, es posible que sus alumnos y alumnas incluyan datosen dos categorías, límites de los intervalos. Para evitar este tipo de inconvenientesrecuerde a sus estudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud, a excep-ción de los datos extremos en algunas situaciones especiales.

Por otro lado, para evitar confusiones, procure que sus alumnos y alumnas nodefinan intervalos del tipo a - b, b - c, c - d, por ejemplo.


Para evitar confusiones, es conveniente que considere lo siguiente:

• El rango de un conjunto de datos corresponde a la diferencia numérica entre eldato de mayor valor y el de menor valor.

• La amplitud de un intervalo se obtiene dividiendo el rango por el número de in-tervalos que se quieren.

• En una tabla de frecuencias, la amplitud de los intervalos debe ser igual. En al-gunos casos, el primer y último intervalo tienen una amplitud diferente.

• De una tabla de frecuencias también se puede obtener otro tipo de información,como las medidas de tendencia central, que se estudiarán en páginas siguientes.


De refuerzo

1. La profesora jefe del 8º Básico de un colegio de Calama hizo un estudio sobre la edadde las mamás de sus alumnos y alumnas, obteniendo los siguientes resultados:

a) Construye una tabla de frecuencia cuyos datos estén agrupados en 5 intervalos,partiendo del intervalo 28 – 32.

b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo obtuviste?c) ¿Cuántas mamás tienen entre 33 y 37 años?d) ¿Cuántas mamás tienen entre 43 o más años?e) ¿Qué porcentaje de mamás tienen entre 33 y 42 años?f) Si escoges a una mamá al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 37 años

o menos?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

De profundización

1. Los siguientes datos corresponden a un estudio realizado por una compañía detelefonía móvil entre los trabajadores de una empresa, sobre la cantidad de minu-tos que ocupan mensualmente en sus teléfonos móviles.

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 8 interva-los, partiendo de 50 min.

b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo supiste?c) ¿Cuántas personas hablaron menos de 300 min mensuales?d) ¿Qué porcentaje de personas habló entre 200 min y 249 min?e) Si escoges una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable entre 400

min y 449 min mensuales?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).


107 120 279 125 446 305 256204 115 120 446 347 276 324169 118 135 440 412 235 388100 224 116 401 375 321 10582 325 227 237 386 125 57

109 209 308 238 392 170 115108 206 421 431 291 402 260210 310 407 302 178 274 449

46 31 36 41 4930 45 46 29 3631 36 48 36 3632 45 46 42 4647 49 47 45 4548 44 49 44 36




• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en formamanual […] a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética […]en estos casos.

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando me-didas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.


Para discutirÍtem 1: analizar y calcular.Ítem 2: recordar, analizar y justificar.Ítem 3: analizar.

ActividadesÍtems 1 y 2: analizar, representar, interpretar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y lasestudiantes en el concepto y cálculo de la media aritmética para datos agrupadosen intervalos. El cálculo de la media aritmética es familiar para los estudiantes, puesya han lo han visto en cursos anteriores, para datos no agrupados, además, conti-nuamente suelen calcular su promedio de notas en las distintas asignaturas.

En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a cal-cular la media aritmética en este tipo de casos.

Para iniciar este tema, podría mostrarles un ejemplo simple del cálculo e inter-pretación de la media aritmética en datos que no estén agrupados en intervalos.


• En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el conteo dedatos que realizarán para cada categoría, pues errores de este tipo producen resul-tados incorrectos en el cálculo de la media y en la construcción de la tabla de fre-cuencias. Además, podrían formar intervalos de diferente amplitud, obteniendotambién resultados erróneos. Para evitar este tipo de inconvenientes, recuerde a susestudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud en los casos planteados,y verifique que cada uno de sus estudiantes haya definido bien cada uno de estos.

• En el ítem 2, los alumnos y alumnas se podrían confundir y calcular la media aritméticacon la frecuencia absoluta acumulada, en vez de la frecuencia absoluta. Evite esteposible inconveniente, recordando que esta medida de tendencia central se obtienecon las frecuencias absolutas. Por otro lado, puede que sus estudiantes se compliquenal momento de analizar el resultado obtenido. Ayúdelos con algunos ejemplos de in-terpretación relacionados con la situación presentada en la actividad.


Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos es uti-lizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana.

• La media aritmética es el promedio entre todos los valores de la variable y se calculasumando todos estos y dividiendo por el número total de ellos.

• Si los datos están organizados en una tabla de frecuencias, la media aritméticase calcula sumando los productos de la variable por la frecuencia correspondiente,y dividiendo por el tamaño de la muestra. Si además los datos están agrupadosen intervalos, el promedio se calcula sumando los resultados de la multiplicaciónentre cada marca de clase y su correspondiente frecuencia absoluta y dividiendo

por el total de datos, en donde la marca de clase de un intervalo es el promediode los extremos del intervalo.

• La media aritmética tiene diversos comportamientos, dependiendo de los datosde la muestra o población de estudio. Estas características las pueden visualizarfácil y rápidamente con una planilla de cálculos como Excel, ya que pueden variaralgunos datos de un conjunto y verán cómo se altera la media aritmética.

• La media aritmética solo puede determinarse en datos cuantitativos, ya que noes posible determinar un valor numérico a categorías o atributos.


De refuerzo

1. En una librería se hizo un estudio sobre la cantidad de libros de ciencia ficción quese venden durante 25 días.

4 17 12 23 4223 53 24 56 3935 45 36 44 4847 37 8 36 4551 26 58 24 16

a) Completa la tabla de frecuencias.

b) ¿Qué porcentaje de personas compraron menos de 20 libros?c) Calcula e interpreta la media aritmética.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, analizar y calcular).


Cantidadde libros

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

0 - 9

10 - 19

20 - 29

30 - 39

40 - 49

50 - 59




• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma ma-nual […] a partir de diversos contextos y determinación de la […] moda en estos casos.

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usandomedidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 2: analizar. Ítem 1: analizar, representar, interpretarÍtem 3: recordar, interpretar y justificar. y calcular.

Ítem 2: calcular e interpretar.

ACTIVIDAD INICIAL

La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y lasestudiantes en el cálculo e interpretación de la moda para datos agrupados en intervalos. El cálculo de la moda es familiar para los estudiantes, ya que en años anteriores han calculado la moda para conjuntos de datos que no están agrupadosen intervalos.

En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a cal-cular la moda en este tipo de datos.

Para introducir a los alumnos y alumnas en este tema, podría mostrarles un ejemplosimple del cálculo de la moda en datos que no estén agrupados en intervalos.


• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas calculen la moda deforma incorrecta, porque no comprenden la fórmula de esta. Para evitar este tipode inconvenientes, antes de la actividad recuérdeles a qué corresponde cada valorde dicha fórmula. Si es preciso, anote la fórmula en la pizarra para que sus estu-diantes la visualicen y no se confundan. Además, se podrían confundir con las pri-oridades de las operaciones. Para evitar esta dificultad, indíqueles cuáles son estasprioridades y, en particular, cuál es el orden de los procedimientos que debenaplicar para calcular la moda. Luego, sería conveniente que ejemplifique con otrosdatos numéricos cómo obtener la moda, cuál es el orden que deben seguir, y porotro lado, qué procedimientos son incorrectos.


Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos, es uti-lizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana.

• La moda, como medida de tendencia central, corresponde al valor de una variableque se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Cuando se trabajacon datos agrupados en intervalos, la moda que se obtiene es una estimación de la moda real, la cual se consigue directamente del conjunto de datos sin agru-par en intervalos.

• Es posible que en datos sin agrupar en intervalos se presenten dos modas (bi-modal) o más (multimodal). En el caso de datos agrupados en intervalos, esto noocurre, ya que solo es una estimación de la moda real.

• Para que la media aritmética y la moda sean representativas del conjunto de datosque se está estudiando, es fundamental que estas se obtengan utilizando unbuen método de muestreo. Más sobre esto aparece en las próximas páginas.


De refuerzo

1. La siguiente tabla resume la cantidad de reclamos que recibe una empresa detelefonía fija durante 316 días.

a) Completa la tabla de frecuencias.

b) Calcula e interpreta la moda. c) Calcula e interpreta la media aritmética.d) ¿Cuántos días se recibieron 16 o más reclamos?e) ¿Cuántos días se recibieron menos de 26 reclamos?f) ¿Qué porcentaje de los días se realizaron entre 21 y 25 reclamos?

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).

De profundización

1. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por 50 personas enun test de habilidades.

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 6 intervalos.b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda. c) ¿Cuántas personas se encuentran en el intervalo con mayor puntaje?, ¿a qué

porcentaje corresponde?

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).


102 110 130 140 132 128 126 112 106 144104 112 136 106 144 132 142 132 116 146106 114 106 116 146 150 142 148 118 128108 116 108 118 128 142 144 106 106 114110 118 110 112 120 152 150 108 108 116

Cantidadde reclamos

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

1 - 5 32

6 - 10 44

11 - 15 51

16 - 20 89

21 - 25 70

26 - 30 30




• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experi-mentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificaciónde casos.


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 2: analizar. Ítem 1: analizar, calcular e interpretar.Ítem 3: analizar y justificar.

A 32 31 29 30 31

B 28 30 28 31 27

C 25 23 23 23 26

D 32 30 32 31 32

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto, es introducir a los y las estudian-tes en el estudio del censo y muestreo. Para ello se presenta una situación que escomún para sus estudiantes, ya que continuamente escuchamos en los medios de co-municación sobre campañas de vacunación para prevenir diversas enfermedades. Porejemplo, en invierno el Ministerio de Salud realiza campañas de vacunación contra lainfluenza estacionaria, en donde la población de riesgo, niños y los adultos mayores,es vacunada gratuitamente.

Para motivar a sus alumnos y alumnas, converse sobre las características y objetivosde un censo poblacional, cuáles son sus ventajas y desventajas, cómo se realiza elcenso, cada cuánto tiempo se realiza, para qué sirve, entre otros.

Puede acceder a más información en: www.ine.cl/cd2002/index.php


• En el ítem 1, es posible que sus estudiantes se confundan con la estructura de latabla de frecuencias, ya que estas aparecían anteriormente por columnas, y eneste caso aparecen por fila. Acláreles que se tomó una muestra de 54 botellas decada máquina. Las frecuencias absolutas presentadas corresponden a la cantidadde botellas que tienen cierta capacidad (en centímetros cúbicos), para cada una delas máquinas. Por otro lado, enfatice en que el cálculo de la media aritmética y lamoda se debe realizar a cada máquina por separado, y no a la tabla completa.

• En la actividad en equipo, verifique que sus estudiantes accedan a la página websolicitada; es la que aparece más arriba (www.ine.cl/cd2002/index.php). Luego,deben seleccionar: una Región, Provincia, Comuna, Población y, finalmente, hacerclic en “Abrir”.


Es importante que tenga presente lo siguiente:

• Una muestra se toma cuando la población es muy grande y no es posible realizar unestudio con todos los integrantes de esta. Es importante que la muestra se escojacorrectamente, pues de lo contrario, las conclusiones obtenidas no serán represen-tativas de la población.

• Puede comentarles a sus estudiantes los siguientes aspectos históricos relaciona-dos con la Estadística: en el año 2000 a. C., en China ya se realizaban estudios es-tadísticos relacionados con el censo de la población. Por otro lado, los romanos,cada cinco años, realizaban un recuento de la población, que consideraba canti-dad de nacimientos, defunciones, ganado, entre otros datos.


De refuerzo

1. Se quiere determinar el porcentaje de calcio presente en 4 marcas de yogur. Paraesto se tomó una muestra de 5 cajas de cada marca. Se supone que el porcentajepromedio de calcio es 31,6%. Los resultados de la muestra son:

a) Determina la moda de cada marca. Explica los resultados obtenidos.b) Determina la media aritmética de cada marca. Explica los resultados obtenidos.c) Según los resultados y conclusiones obtenidas, ¿qué marca de yogur

comprarías?

(Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y analizar).

De profundización

1. Utiliza Internet para averiguar información sobre el Censo 2002, ingresando a lapágina web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE): www.ine.cl/cd2002/index.php.

a) Selecciona información sobre Viviendas, indicando la Región, la Provincia, laComuna, el tipo de información, para una comuna.

b) Indica el tipo de variable que se estudia.c) Realiza un resumen de la información que aparece y coméntala con el resto

del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, seleccionar y analizar).





• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la informaciónque ella entrega.


Para discutirÍtem 1: representar.Ítem 2: interpretar.Ítem 3: analizar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantescómo se analiza una encuesta y la información que podemos extraer de ella. Para ello,se presenta una situación relacionada con los hábitos deportivos de una muestra de120 estudiantes de un colegio, donde la población es 1200 estudiantes. La informa-ción se agrupa en tres tablas de frecuencias: edad de los alumnos y alumnas, horas se-manales que destinan a hacer ejercicios y su actividad deportiva favorita. Además, lainformación recopilada es resumida en dos gráficos de barras y uno circular.

Es importante que sus alumnos y alumnas completen las tablas de frecuencias queaparecen en el texto, también que expliquen los diversos gráficos presentados, la in-formación que proporcionan y establezcan en conjunto, las principales conclusionesdel estudio estadístico planteado.

Para complementar la información que aparece en el Texto, plantee a sus estudianteslo siguiente:

• ¿Qué otros aspectos relacionados con el deporte podrías preguntar en una en-cuesta?, ¿cómo lo harías?

• Construyan, en sus cuadernos, para las dos primeras tablas, gráficos circulares ypara la tercera tabla, un gráfico de barras.


• Los gráficos nos permiten obtener información de forma ordenada y resumidasobre las variables en estudio. Los gráficos más utilizados son:

Gráfico de barras: es un diagrama con barras rectangulares, cuya altura de cadabarra indica la frecuencia absoluta de cada valor de la variable. Las barras puedenestar orientadas de forma horizontal o vertical. Estos gráficos se usan para com-parar dos o más valores. Este gráfico sirve para representar variables cualitativasy cuantitativas.

Gráfico circular: es un gráfico formado por un círculo dividido en sectores. Se uti-liza para representar cualquier tipo de frecuencia aunque, generalmente, se uti-liza para frecuencias relativas porcentuales. Este gráfico sirve para representarvariables cualitativas y cuantitativas.

Histograma: es un gráfico cuya altura es proporcional a la frecuencia absoluta,frecuencia relativa o frecuencia porcentual, y la base está formada por segmen-tos cuyos extremos representan los extremos de cada intervalo. Este gráfico sirvepara representar variables cuantitativas.

Polígono de frecuencias: se obtiene al unir los puntos medios de los intervalosrepresentados por cada barra en un histograma, es decir, al unir la marca de clasede cada intervalo mediante una línea poligonal.

• La elección del gráfico más adecuado para representar cierto tipo de variable,dependerá de si esta es cualitativa o cuantitativa. Generalmente:

• Para analizar e interpretar información debemos tener presente el contexto en elque se desarrolla determinada situación, ya que de ello dependerá si nuestrosanálisis y conclusiones son acertadas y coherentes.

• Es importante obtener información de medios de comunicación confiables, puesellos permitirán encontrar datos verdaderos en distintos contextos. En Internetpodemos encontrar mucha información, pero debemos ser cuidadosos con ella,ya que muchos sitios la entregan en forma imprecisa o errónea.


De refuerzo

1. Realiza una encuesta en tu curso sobre los lugares favoritos para vacacionar(playa, campo, lago, montaña, etc.) y las actividades que realizan durante esteperíodo (nadar, andar en bicicleta, visitar lugares turísticos, leer, hacer excursiones,etc.). Luego, sigan las siguientes instrucciones:

a) Diseñen un cuestionario que responda a los objetivos del estudio.b) Recopilen la información en tablas de frecuencias.c) Representen la información en gráficos e interprétenlos.d) Presenten las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar).

De profundización

1. Realiza una encuesta a 50 personas sobre su fruta favorita y la cantidad de estasque consumen al día. Luego, sigue las siguientes instrucciones:

a) Diseña un cuestionario que responda los objetivos del estudio.b) Recopila la información en tablas de frecuencias.c) Representa la información en gráficos e interprétalos.d) Presenta las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar).


Variable Cualitativa Cuantitativa discreta Cuantitativa continua

GráficoCircular

Gráfico de barras

Circular

Polígono de frecuencias

Histograma

Polígono de frecuencias




• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando me-didas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega.

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] medianteherramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la mediaaritmética y la moda en estos casos.


Actividades En equipoÍtem 1: analizar, justificar e interpretar. Representar, identificar, analizar

e interpretar.


• En el ítem 1, es conveniente que analicen en conjunto las tablas y puedan sacarconclusiones de ellas. Si lo estima conveniente, puede buscar otro tipo de en-cuestas en la página web: www.fundacionfuturo.cl, en la opción Banco deEncuestas y, luego, en Buscador de Encuestas, seleccione la encuesta que es desu interés para trabajar con sus estudiantes.

• En la actividad En equipo, es importante que los y las estudiantes tengan algunosdías para realizarla, podría darles como plazo de entrega una semana. Esta activi-dad podrían desarrollarla en forma de ensayo. Finalmente, pueden presentar lasconclusiones al resto del curso.

• La actividad Herramientas tecnológicas, es conveniente que la realice antes dela clase que trabajará con sus estudiantes, de este modo, estará más preparado/apara las preguntas que puedan surgir. Recuerde que al digitar cada función, esfundamental que aparezca el signo “=” para que se ejecute; por ejemplo, paradeterminar el promedio de los datos que se encuentran desde la celda A2 hastala celda A43 debe digitar:

=PROMEDIO(A2,A43)


En Excel se puede calcular el promedio, la moda y la mediana. Para mostrar cómose aplican estas funciones estadísticas, se utilizarán como ejemplo las estaturas de10 personas.

Antes de comenzar, escriba en B1 “Altura” y, luego, ingrese las siguientes alturas:1,54; 1,86; 1,74; 1,86; 1,66; 1,70; 1,88; 1,59; 1,63; 1,77.

1. Para calcular el promedio, ubicarse en B12y pulsar sobre el comando Insertar fun-ción. Seleccionar la categoría Estadísticasy la función Promedio. Luego, pulsar enAceptar. Seleccionar los datos correspon-dientes a las celdas B2 a B11 y, luego,Aceptar. En la celda B12 aparecerá elpromedio de las alturas.

2. Para calcular la moda, ubicarse en B13 y pulsar sobre el comando Insertar fun-ción. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Moda. Luego, pulsar enAceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego,Aceptar. En la celda B13 aparecerá la moda de las alturas.

3. Para calcular la mediana, ubicarse en B14 y pulsar sobre el comando Insertarfunción. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Mediana. Luego, pul-sar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y,luego, Aceptar. En la celda B14 aparecerá la mediana de las alturas.

En la imagen se encuentran los resultados obtenidos para este caso.


De refuerzo

1. Utiliza una planilla de cálculo para la siguiente actividad:Las estaturas (en metros) de los 25 integrantes de un equipo de básquetbol son:

a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 3 intervalosy sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto.

b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpretalos valores obtenidos.

c) ¿Cuál es la estatura mínima?, ¿y cuál es la máxima?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretary analizar).


1,78 1,82 1,79 1,84 1,96

1,81 1,91 1,94 1,90 1,88

1,80 1,87 1,92 1,89 1,89

1,81 1,92 1,89 1,86 1,91

1,83 1,85 1,88 1,79 1,86




• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, us-ando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información queella entrega.

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] mediante

herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.


Herramientas tecnológicasAplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar.



• Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual, o en parejas, segúnla disponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importanteque el primer ejemplo que presenta el Texto se realice en forma simultánea portodo el curso junto con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado demanera autónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y elapoyo entre los alumnos y alumnas.

• Por otro lado, es importante que los alumnos y alumnas sean cuidadosos y orde-nados en el desarrollo de esta actividad, ya que ubicar o seleccionar mal los datos,produce resultados incorrectos.

• Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevasfunciones que les permiten obtener los mismos resultados, utilizando un métodoalternativo. Es conveniente que compartan sus procedimientos y respuestas conel curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión indi-vidual y colectiva del trabajo realizado.


De refuerzo

1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar la siguiente actividad.En una academia de ballet están preocupados por el Índice de Masa Corporal(IMC) de sus bailarinas. Los rangos normales van desde 18,5 hasta 24,9. Porello, se calculó el IMC a las 60 bailarinas de la academia. Los resultados son lossiguientes:

a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 4 intervalos;luego, sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto.

b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpretalos valores obtenidos.

c) ¿Qué puedes concluir sobre el IMC de estas bailarinas?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretary analizar).




Mi progresoÍtems 1, 2, 3: analizar y calcular.Ítem 4: aplicar, representar, calcular, interpretar y analizar.


• En los ítems 1, 2 y 3, sus estudiantes deben marcar la alternativa correcta, estodificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es convenienteque les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hay erroresen el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos.

• En el ítem 2, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que debencalcular la media aritmética de datos agrupados en intervalos, y no sumar las fre-cuencias absolutas y dividir por el total.

• En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que debencalcular la moda de datos agrupados en intervalos y no buscar la categoría quetiene mayor frecuencia.

• En el ítem 4, es importante que sus estudiantes noten que cada intervalo tieneuna categoría asignada dependiendo del puntaje obtenido. Si lo estima conve-niente, permítales utilizar calculadora para facilitar los cálculos.

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podráplantear a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

253 Unidad 5 – Datos y azar


4

Representa e interpreta correctamentela tabla de frecuencias, y calcula lamedia aritmética y la moda, justificacada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamentela tabla de frecuencias, y calcula lamedia aritmética y la moda, sin justificar todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamentealguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética o la moda.

Representa e interpreta erróneamentealguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética ytambién la moda.


19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3

20,3 19,1 16,9 18,4 17,9 18,4 19,1 16,9 18,4 17,9 20,3 19,1

17,3 17,9 16,7 18,6 18,3 17,3 17,9 16,3 18,1 18,3 17,3 17,9

19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 18,6 18,4

18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3

Usos deInternet

Entretención Trabajo ComprasBúsquedas deinformación

Frecuencia 200 360 300 140


a) ¿Cuál es la mínima edad observada?

b) ¿Cuál es la máxima edad observada?

c) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias.

d) ¿Cuántas personas tienen más de 32 años?e) ¿Qué porcentaje de personas tienen más de 42 años?f) Determina e interpreta la moda de este conjunto de datos.g) Calcula e interpreta la media aritmética del conjunto de datos.

De profundización

1. Una empresa salmonera del sur de Chile está interesada en conocer la masa (enkg) de sus salmones. Para ello tomó una muestra de 50 salmones obteniendolos siguientes resultados:

a) ¿Cuál es la mínima masa observada?, ¿y cuál es la máxima?

44 36 34 38 3240 37 38 37 4232 39 33 39 3033 38 30 39 3335 45 39 37 3132 29 39 38 36

Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual

28 - 32

33 - 37

38 - 42

43 - 47

TOTAL

3,9 3,2 4,5 4,1 4,22,7 2,8 3,8 3,6 3,53,3 3,3 3,3 3,7 4,23,8 2,8 3,2 2,9 3,92,8 3,1 2,7 3,8 3,63,8 3,6 3,4 4,0 3,23,9 3,2 3,2 3,8 4,03,3 3,4 2,8 3,2 2,83,6 3,5 3,2 2,8 3,34,3 3,1 4,1 3,1 4,5


De refuerzo

1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada sobre los usosde Internet a un grupo de personas de entre 15 y 30 años.

Según los datos obtenidos, responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?b) ¿Cuál es el uso más frecuente de Internet?c) ¿Cuál es el uso menos frecuente de Internet?d) Si una de las personas encuestadas se escoge al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que use Internet para trabajar?

2. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de personas que asisten a unbanco durante 30 días.

113 108 104 103 110

92 85 88 92 98

80 94 90 96 83

98 84 94 86 96

87 92 89 77 86

90 78 101 88 98

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 4 interva-los, partiendo del intervalo 75 - 84.

b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

3. Una salsoteca está interesada en obtener información de la edad de sus clientespara organizar nuevas actividades y promociones. Para ello encuestaron a 30 per-sonas, obteniendo los siguientes resultados:


Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual

2,6 - 3,2 2,9 19 19 0,38 38%

3,3 - 3,9 3,6 22 41 0,44 44%

4,0 - 4,6 4,3 9 50 0,18 18%

TOTAL 50 1


b) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias.

c) ¿Qué porcentaje de los salmones tiene una masa menor a 4,0 kg?

d) Si escogieras uno de estos salmones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sumasa esté entre 2,6 kg y 3,2 kg?

e) Determina e interpreta la media aritmética y la moda de este conjunto de datos.


De refuerzo

1. a) 1000 personas. c) Búsqueda de información.b) Trabajo. d) 36%

2. a)

b) x– = 92,5; Mo = 90,4

3. a) 29 años. b) 45 años.

c)

d) 23 personas. e) 7% f) Mo = 38,4 g) x– = 36,33

De profundización

1. a) 2,7 kg y 4,5 kgb)

c) 82% d) 38% e) x– = 3,476 ; Mo = 3,2

Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual

2,6 - 3,2

3,3 - 3,9

4,0 - 4,6

TOTAL

Cantidad depersonas

Marca de claseFrecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

porcentual

75 - 84 79,5 5 0,17 17%

85 - 94 89,5 14 0,47 47%

95 - 104 99,5 8 0,27 27%

105 - 114 109,5 3 0,1 10%

Edad(años)

Marcade clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

porcentual28 - 32 30 7 7 0,23 23%

33 - 37 35 10 17 0,33 37%

38 - 42 40 11 28 0,37 37%

43 - 47 45 2 30 0,07 7%

TOTAL




• Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatoriossimples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél,uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral yde los sucesos o eventos.


Para discutir ActividadesÍtem 1: analizar y justificar. Ítem 1: reconocer y calcular.Ítems 2, 3 y 4: calcular. Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto tiene como propósito que losalumnos y alumnas sean capaces de determinar el número de posibilidades en diver-sos experimentos aleatorios, a través del principio multiplicativo.

Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y comple-mentar la actividad propuesta en el Texto, podría utilizar fichas de diversos coloresy colocarlas en un recipiente o en una bolsa, por ejemplo: 3 fichas rojas, 2 fichasamarillas y 4 azules, y realizar el experimento aleatorio de extraer una ficha. Luego,lanzar un dado y anotar en una tabla las combinaciones de color de ficha y númerode dado que van saliendo. Repita el experimento varias veces y permítales partici-par a distintos alumnos y alumnas, para que observen que se pueden obtener diver-sos resultados. A partir de esta experiencia, explíqueles los conceptos de experimentoaleatorio, espacio muestral, su cardinalidad y principio multiplicativo.


• En el ítem 1, para los ejercicios a) y b), aclare a sus estudiantes que las patentesdeben ser aquellas con esas letras y en ese orden. Para aclarar estas actividades,puede dibujar en la pizarra lo siguiente (para ejercicio b):

Usando el principio multiplicativo: 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 10 = 10 (maneras distintas).

• En el ítem 1, para los ejercicios c), d) y e) sugiérales a sus estudiantes realizar algunatabla o diagrama de árbol para determinar los espacios muestrales y los resultadosposibles; y a la vez, que utilicen el principio multiplicativo. Ambas formas de trabajoayudarán a aclarar y a consolidar los conceptos aprendidos en esta parte de laUnidad. Por ejemplo, en la d), para sumar los puntajes obtenidos al lanzar dosdados, pueden completar una tabla como la siguiente:

En este caso, no es necesario usar principio multiplicativo, pues los posiblesresultados son:

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

• En el ítem 2, sugiérales a sus estudiantes traducir el enunciado del ejercicio a números,para que no se confundan con toda la información que entrega el problema yapliquen posteriormente, el principio multiplicativo.

• En el ítem 3, permítales a sus alumnos y alumnas realizar algún esquema paragraficar la situación presentada; esto les ayudará a ver con claridad el problema,para luego aplicar el principio multiplicativo.

• En el ítem 4, mencione a sus estudiantes que en el ejercicio a), los alumnos debendeterminar la cantidad de resultados posibles y en el ejercicio b), listar todos losresultados posibles. Si es necesario, sugiérales que utilicen diagrama de árbolpara visualizar las posibilidades de menú.


• Un experimento aleatorio es aquel experimento en cual no se puede predecir elresultado. Los juegos de azar son un tipo de experimento aleatorio.

• Una forma de organizar los resultados obtenidos en experimentos aleatorios esa través de un diagrama de árbol. Por ejemplo, el diagrama correspondiente allanzamiento de dos monedas es:


De refuerzo

1. Indica el espacio muestral (Ω) y la cardinalidad (#) de los siguientes experimentos.Guíate por el ejemplo.

Ejemplo: Lanzar una moneda: Ω = {cara, sello}, # = 2

a) Lanzar dos monedas.b) Lanzar tres monedas.c) Lanzar un dado y una moneda.d) Lanzar dos monedas y un dado.

(Habilidades que desarrolla: reconocer y calcular).


Letra Letra Letra Letra Dígito Dígito

T B P R 5 0 al 9

Posibilidades 1 1 1 1 1 10

Moneda

Cara

Sello

Cara

Sello

Sello

Cara

+ 1 2 3 4 5 61 22 43 64 85 106 12




• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables,a partir de la simulación de experimentos aleatorios […].


Para discutir ActividadesÍtem 1: analizar y justificar. Ítem 1: reconocer, analizar y justificar.Ítem 2: reconocer. Ítems 2 y 3: analizar y justificar.Ítem 3: analizar.

En equipoAplicar, usar herramientas, calcular, reconocer, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante, es intro-ducir el estudio de los sucesos equiprobables. Para ello, se presenta una situaciónproblemática que ilustra este tipo de eventos.

Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y complemen-tar la actividad propuesta en el Texto, podría hacer papelitos con los nombres de susalumnos y alumnas, echarlos en una bolsa, y preguntarles quién creen que saldrá,quién tiene más posibilidades etc. De esta forma podrá introducirlos en el conceptode sucesos equiprobables, al concluir que todos tienen la misma probabilidad de salir.


• En el ítem 1, sugiérales a sus estudiantes realizar alguna tabla o esquema en loscasos que considere necesario, para determinar los espacios muestrales y sus resul-tados posibles y, luego, que utilicen el principio multiplicativo. Esta forma de trabajoayudará a aclarar y consolidar los conceptos aprendidos.

• En los ítems 2 y 3, pídales que busquen ejemplos para ilustrar las situacionesplanteadas, de este modo podrán obtener sus conclusiones con mayor facilidad.

• En la actividad EN EQUIPO, sus estudiantes necesitarán diversos materiales, es porello que se los debe pedir anticipadamente, para que el día de la actividad todosdispongan de los materiales y puedan realizar la experiencia sin dificultades.


• Los experimentos determinísticos son aquellos en que se conoce de antemanoel resultado.

Por ejemplo, en un laboratorio se mezclan en proporciones adecuadas hidrógenoy oxígeno, resultando agua. Se sabe de antemano el resultado, por lo tanto, esun experimento determinístico.

• Los experimentos aleatorios son aquellos que, repetidos una cierta cantidad deveces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En losexperimentos aleatorios no se conocen de antemano los resultados.

Por ejemplo, si se introducen bolitas en una tómbola y se extrae una, no se sabede antemano cuál va a salir, por lo tanto, este tipo de experimentos es aleatorio.


De refuerzo

1. En los siguientes experimentos, indica el espacio muestral (Ω) y si sus resultadosson equiprobables. Explica tu decisión.

a) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 10 fichas blancas, 10 fichasnegras y 10 amarillas.

b) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 9 fichas blancas y 10fichas negras.

c) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 2 fichas blancas, 2 fichasnegras, 2 azules y dos amarillas.

d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés.e) Lanzar dos monedas.f) Lanzar tres monedas.g) Lanzar un dado y una moneda, simultáneamente.h) Lanzar dos monedas y un dado, simultáneamente.i) Lanzar dos monedas y dos dados simultáneamente.

(Habilidades que desarrolla: reconocer, analizar y justificar).

De profundización

1. Menciona 3 experimentos en que sus resultados sean equiprobables. Indica elespacio muestral.

2. Menciona 3 experimentos en que sus resultados no sean equiprobables. Justificaen cada caso.

(Habilidades que desarrollan: formular, identificar y justificar).





• Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en unexperimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables,usando el modelo de Laplace.


Para discutir ActividadesÍtem 1: analizar y justificar. Ítems 1 y 2: analizar, calcular y representar.Ítem 2: calcular y justificar. Ítem 3: analizar y calcular.Ítem 3: analizar y justificar.Ítem 4: analizar, calcular, representar y justificar.

Carolina Jorge Isabel Felipe

18 9 8 10

ACTIVIDAD INICIAL

El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante es introducira los alumnos y alumnas en el concepto de probabilidad usando el modelo de Laplace.Para ello, se presenta una situación que ilustra cómo obtener probabilidades de even-tos equiprobables.

Para complementar esta actividad, podría considerar a 2 mujeres del curso y a 2 hom-bres, anotar sus nombres en una tabla en la pizarra y preguntarles a quién escogeríancomo presidente, e ir registrando los resultados. Después de que todo el curso hayaparticipado, pregúnteles:

• Si se escoge uno de los candidatos del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad quesea hombre?

Finalmente, haga una confrontación entre la probabilidad empírica obtenida de losresultados experimentales y la probabilidad teórica empleando el modelo de Laplace.

Por ejemplo:

Este caso, la probabilidad empírica es 40%, mientras que la probabilidad teórica es 25%.


• En el ítem 1, mencióneles a sus estudiantes que deben considerar todas las letrasde la palabra PARALELEPíPEDO, incluyendo las que se repiten.

• En el ítem 2, recuérdeles a sus alumnos y alumnas, qué es un número par y dé al-gunos ejemplos si es necesario, ya que pueden haber olvidado este concepto.

• En el ítem 3, recuérdeles a sus estudiantes que deben considerar la cantidad de boli-tas de cada color, y con esto determinar la cantidad de casos favorables y totales,ya que pueden confundirse y considerar solamente que son 3 colores, y asignar

la probabilidad de a que sea de un color determinado y a que no sea de un

color determinado.


• La probabilidad de cualquier suceso puede tomar un valor entre 0 y 1.• La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0.• La probabilidad de que ocurra un suceso seguro es 1.• La probabilidad de que ocurra un suceso incierto es mayor que cero y menor que 1.

23

13

• Una probabilidad se puede expresar como número decimal, fracción o porcentaje;por ejemplo, si la probabilidad de un evento es 0,3, también podemos decir que

es ó 30%.

• La Regla de Laplace se debe al científico Pierre Simon Marqués de Laplace(1749 - 1827). Su primer trabajo fue sobre la aplicación de las matemáticas en lamecánica celeste. Posteriormente, realizó investigaciones sobre la naturaleza y eluniverso. En 1812 publicó su famosa obra Teoría analítica de las probabilidades.

Laplace fue admirado por sus conocimientos, pero también fue despreciado porsu oportunismo político. Laplace dijo: “El azar no se deriva de la realidad sino dela ignorancia acerca de esa realidad y la probabilidad, su extensión matemática”.


De refuerzo

1. Una caja contiene 6 botones azules, 5 botones verdes y 4 botones amarillos. Sise extrae un botón al azar, calcula la probabilidad de:

a) obtener un botón verde.b) obtener un botón amarillo.c) obtener un botón azul.

2. Una letra de la palabra MATEMATICA es elegida al azar. Determina la probabili-dad de seleccionar:

a) una A.b) una E.c) una C.

(Habilidad que desarrollan: calcular).

De profundización

1. Se escriben los números del 1 al 15 en tarjetas. Las 15 tarjetas se mezclan ycolocan hacia abajo. Se elige una tarjeta al azar. Determina la probabilidad de quela tarjeta elegida sea:

a) par.b) mayor que 8.c) menor que 10.d) divisor de 20.e) primo.

(Habilidad que desarrolla: calcular).

310





• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables,a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramien-tas tecnológicas.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

Herramientas tecnológicasAplicar, usar herramientas, identificar, calcular y justificar.

Puntuación 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa


• Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual o en parejas, según ladisponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importante queel primer ejemplo que presenta el texto sea realizado en forma simultánea por todoel curso con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado de manera másautónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y el apoyo entrelos alumnos y alumnas.

• Es conveniente que realice esta actividad, a modo de prueba, antes de llevarla acabo con sus alumnos y alumnas.

• Es importante que los alumnos y alumnas comprendan que los números aleatorioscambian cada vez que se abre el archivo; además sus estudiantes obtendrán resul-tados diferentes, por lo tanto sus frecuencias relativas también serán distintas.

• Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevasfunciones que les permitan obtener los mismos resultados, utilizando un métodoalternativo. Además, es bueno que compartan sus descubrimientos con el curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión individual ycolectiva del trabajo realizado.


De refuerzo

1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar el lanzamiento de un dado 40 veces.Luego, completa la tabla y responde:

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 6?, ¿cuál es laprobabilidad de que salga 6?, ¿se relacionan ambos valores?

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es par?, ¿cuál es la probabilidad de que salga par?, ¿se relacionan ambos valores?

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, calcular e identificar).




Mi progresoÍtem 1: reconocer. Ítem 3: analizar, identificar y justificar.Ítem 2: calcular. Ítem 4: calcular, identificar y justificar.


• En el ítem 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes no distingan todos los elementosdel espacio muestral. Para ayudarlos, sugiérales que realicen un esquema o una tablade doble entrada para representar todos los resultados posibles, o bien, con un dia-grama de árbol. De esta forma podrán responder correctamente con mayor facilidad.

• En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde qué significaque los sucesos sean equiprobables.

• En el ítem 4, recuérdeles a sus estudiantes el principio multiplicativo para determinartodos los casos posibles y con esto puede determinar la probabilidad pedida. Para de-terminar las posibles tenidas, pueden dibujar un diagrama de árbol en sus cuadernos.

Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisión indi-vidual para que conozca las realidades de cada estudiante, y pueda corregirlas.




3Identifica correctamente los sucesosequiprobables, justificando cada unode sus pasos.

Identifica correctamente los sucesosequiprobables, sin justificar todos sus pasos.

Identifica erróneamente uno de los sucesos equiprobables, sin justificartodos sus pasos.

Identifica erróneamente dos o mássucesos equiprobables, sin justificar sus pasos.

4Identifica y calcula correctamente lastenidas y la probabilidad, justificandocada uno de sus pasos.

Identifica y calcula correctamente lastenidas y la probabilidad, sin justificartodos sus pasos.

Calcula correctamente el número detenidas, pero confunde la probabilidad.

Calcula erróneamente todas las tenidas y confunde la probabilidad.


5. Se lanzan 3 monedas simultáneamente.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo sellos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más un sello?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

6. Alicia tiene una caja con 15 dulces de chocolate, 12 dulces de miel y 18 dulcesde anís. Si Alicia elige un dulce al azar, determina la probabilidad de que saque:

a) un dulce de anís.

b) un dulce de chocolate.

c) un dulce de miel.

d) un dulce que no sea de chocolate.

e) un dulce que no sea de miel.

f) un dulce que no sea de anís.

g) un dulce que sea de miel o chocolate.

h) un dulce que sea de anís o chocolate.

De profundización

1. Se lanzan 4 monedas simultáneamente.


b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de una cara?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro sellos?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más tres sellos?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos?



De refuerzo

1. Describe los espacios muestrales en cada caso e indica su tamaño.

a) Vania quiere ir al cine con un amigo y una amiga. Si tiene 4 amigos (Luis, Pablo,Hernán y José) y 3 amigas (Ana, Pía, Marta), ¿de cuántas formas puede ir acompañada?

b) Carolina tiene una fiesta y quiere elegir con qué ropa irá. Si tiene 5 poleras (P1,P2, P3, P4, P5), 3 pantalones (T1, T2, T3) y 2 pares de zapatillas (Z1, Z2), ¿decuántas maneras diferentes se podría vestir?

c) Un equipo de fútbol debe elegir su ropa deportiva para el próximo año. Unaempresa ofrece 4 marcas distintas de zapatos de fútbol (Z1, Z2, Z3, Z4), 2 po-leras (P1, P2) y 3 pantalones (T1, T2, T3). ¿Cuántas combinaciones de ropa sepueden formar?

d) Para mejorar la alimentación de niños y niñas, un jardín infantil ofrece para elalmuerzo 2 platos distintos (A1, A2), 2 postres diferentes (P1, P2) y 2 tipos dejugos (J1, J2). ¿De cuántas maneras se puede formar un almuerzo en estejardín infantil?

2. Un dado de seis caras es lanzado. Calcula las siguientes probabilidades:

a) obtener un número impar.

b) obtener un número mayor que 2.

c) obtener un 3 ó 6.

3. Dos monedas son lanzadas simultáneamente. Lista todos los resultados posiblesy determina la probabilidad de obtener:

a) dos sellos.

b) un sello y una cara.

c) ningún sello.

d) al menos un sello.

4. Una letra de la palabra DEMOCRACIA es elegida al azar. Determina la probabilidadde seleccionar:

a) una M. d) una R. g) una D o E o M.

b) una O. e) una A. h) una S.

c) una C. f) una I.


2. Se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, y se multiplicansus puntuaciones.


b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 18?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número al cuadrado?

3. Se lanza un dado y una moneda.


b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el dado?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda y un número par en el dado?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello en la moneda y un número mayor que 2 en el dado?


De refuerzo

1. a) Ω = {Luis Ana, Luis Pía, Luis Marta, Pablo Ana, Pablo Pía, Pablo Marta, Hernán Ana, Hernán Pía, Hernán Marta, José Ana, José Pía, José Marta}. Tamaño 12.

b) Ω = {P1 T1 Z1, P1 T1 Z2, P1 T2 Z1, P1 T2 Z2, P1 T3 Z1, P1 T3 Z2, P2 T1 Z1, P2T1 Z2, P2 T2 Z1, P2 T2 Z2, P2 T3 Z1, P2 T3 Z2, P3 T1 Z1, P3 T1 Z2, P3 T2 Z1,P3 T2 Z2, P3 T3 Z1, P3 T3 Z2, P4 T1 Z1, P4 T1 Z2, P4 T2 Z1, P4 T2 Z2, P4 T3Z1, P4 T3 Z2, P5 T1 Z1, P5 T1 Z2, P5 T2 Z1, P5 T2 Z2, P5 T3 Z1, P5 T3 Z2,}.Tamaño 30.

c) Ω = {Z1 P1 T1, Z1 P1 T2, Z1 P1 T3, Z1 P2 T1, Z1 P2 T2, Z1 P2 T3, Z2 P1 T1, Z2P1 T2, Z2 P1 T3, Z2 P2 T1, Z2 P2 T2, Z2 P2 T3, Z3 P1 T1, Z3 P1 T2, Z3 P1 T3,Z3 P2 T1, Z3 P2 T2, Z3 P2 T3, Z4 P1 T1, Z4 P1 T2, Z4 P1 T3, Z4 P2 T1, Z4 P2T2, Z4 P2 T3}. Tamaño 24.


d) Ω = {A1 P1 J1, A1 P1 J2, A1 P2 J1, A1 P2 J2, A2 P1 J1, A2 P1 J2, A2 P2 J1, A2P2 J2}. Tamaño 8.

2. a) b) c)

3. Cara: C, Sello: S. Ω = {CS, CC, SC, SS}a) 0,25 b) 0,5 c) 0,25 d) 0,75

4. a) 10% b) 10% c) 20% d) 10% e) 20% f) 10% g) 30% h) 0%

5. Cara: C, Sello: S.a) Ω = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}. Tamaño 8.

b) c) d) e) f)

6. a) 40% b) 33,3% c) 27% d) 67% e) 73,3% f) 60% g) 60% h) 73,3%

De profundización

1. Cara: C, Sello: S.a) Ω = {CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS,

SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS}. Tamaño 16.

b) 0,38 c) 0,69 d) 0,06 e) 0,94 f) 0,25 g) 0,38

2. a) Ω = {1 • 1, 1 • 2, 1 • 3, 1 • 4, 1 • 5, 1 • 6, 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6, 3 • 1, 3 • 2, 3 • 3, 3 • 4, 3 • 5, 3 • 6, 4 • 1, 4 • 2, 4 • 3, 4 • 4, 4 • 5, 4 • 6, 5 • 1,5 • 2, 5 • 3, 5 • 4, 5 • 5, 5 • 6, 6 • 1, 6 • 2, 6 • 3, 6 • 4, 6 • 5, 6 • 6}. Tamaño: 36.

b) 75% c) 17% d) 56% e) 25% f) 22% g) 22%

3. Cara: C, Sello: S.a) Ω = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6}. Tamaño 12.

38

12

18

78

18

13

23

12

b) c) d) 25% e)13

12

12




• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experi-mentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificaciónde casos.


Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, aplicar y seleccionar.Ítems 2 y 3: analizar, aplicar, seleccionar y justificar.



A través del problema presentado en el Texto se pretende que sus estudiantesapliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollenhabilidades propias de la resolución de problemas.

El problema planteado en el Texto tiene como objetivo que los alumnos y alumnasaprendan a leer e interpretar información proveniente de diversos tipos de gráficos.Para ello, se muestra la información que proporciona cada uno de los gráficos y se de-termina de cuáles se pueden extraer conclusiones relevantes, según el problemaplanteado, en este caso, obtener información sobre la vida de Felipe, en cuanto a susactividades cotidianas, dado que fue el ganador de la última competencia del colegiodonde también está Loreto. Con este análisis se puede determinar que son relevanteslos gráficos que están relacionados con el tiempo de entrenamiento diario y las horas que duerme diariamente. Sin embargo, el gráfico sobre las edades de loshermanos de Felipe no proporciona información relevante para que Loreto se preparepara correr en la competencia de su colegio.

Es importante que mencione a sus estudiantes que un mismo problema puede serresuelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una formade dar solución a las preguntas planteadas. El procedimiento detallado y ordenadoes fundamental en la resolución de problemas, ya que permite razonar sobre lo queestamos realizando y además es menos probable cometer errores.


De refuerzo

1. Los robos en un supermercado del país se han triplicado entre los años 2008 y2009. ¿Cuál de los siguientes gráficos permite extraer información al respecto?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y verificar).






• Copia el problema.• Identifica palabras clave.• Interpreta mal parte del problema.• Tiene alguna idea acerca de la respuesta.








por qué.• Relaciona conceptos con conocimiento y









no razonable.




Robos en supermercado entre el2008 y 2009

2008

5000

4000

3000

2000

1000

0

25%

75%200825%

200975%

2009

Robos en supermercado entre el2008 y 2009




ConexionesConectar, aplicar y analizar.


CONEXIONES es una sección del Texto que tiene como objetivo relacionar los contenidosaprendidos en la Unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad rela-cionada con una encuesta que se realizó sobre los principales usos de Internet en Chile.

Internet hoy en día es un medio que tiene innumerables utilidades, que hace unosaños atrás eran impensadas. Podemos comprar, informarnos de lo que sucede entodo el mundo, escuchar música, ver videos, comunicarnos con otras personas, etc.

Sin embargo, en Internet también es posible encontrarse con sitios poco confiablesque entregan información errónea, o sitios peligrosos que se encargan de realizaractividades ilícitas y muy reprochables. Esta instancia es una buena oportunidad paraconversar con sus estudiantes sobre los usos de Internet y los cuidados que debentener cuando la utilicen.


De refuerzo

1. Con relación a Internet y los usos que le damos:

a) ¿Cuáles son las actividades que comúnmente haces?b) ¿Utilizas Internet para tus tareas escolares?, ¿para cuáles?c) ¿Cuáles son los sitios que sueles visitar frecuentemente para tus tareas? d) ¿Cómo podrías incentivar el uso seguro de Internet?e) ¿Realizas actividades de ocio usando Internet?, ¿cuáles?, ¿cuántas horas

le dedicas diariamente?f) ¿Cuáles crees que son las ventajas y desventajas de Internet?



Los mapas conceptuales son un recurso visual muy atractivo y efectivo para los alumnosy alumnas, ya que les permite organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los con-ceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pueslos y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.


A continuación, proponemos otra forma de sintetizar los conocimientos trabajadosen esta Unidad: el esquema.

Para verificar que el esquema realizado por sus estudiantes sobre la Unidad estácompleto, haga usted uno y revísenlo en conjunto. Luego, pídales que analicen lassiguientes preguntas:

• ¿Es correcta la idea principal?• ¿Son correctas las ideas secundarias?, ¿falta alguna?• ¿Las definiciones son correctas?, ¿están completas?, ¿qué falta?• ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna?• ¿Los ejemplos son adecuados?


De refuerzo

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

1. ¿Para qué sirven los gráficos y las tablas de frecuencias?2. ¿Qué sucede si la cantidad de datos obtenidos en un estudio son muchos o tienen

un rango muy amplio?, ¿qué conviene en esos casos? Da un ejemplo.3. ¿Cómo puedes registrar la información recopilada de una muestra de datos?4. ¿Qué frecuencias conoces? Explica cada una de ellas.5. ¿Cómo se calcula la moda y la media aritmética con datos agrupados en inter-

valos? Da un ejemplo para cada caso.6. ¿En qué consiste el principio multiplicativo?, ¿para qué sirve?7. ¿Qué diferencia existe entre frecuencia relativa y probabilidad?8. ¿Qué significa que los sucesos sean equiprobables? Da un ejemplo.9. ¿En qué consiste la regla de Laplace?, ¿para qué sirve? Da un ejemplo.

(Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).





¿Qué aprendí?Ítem 1: calcular.Ítem 2: identificar.Ítem 3: analizar.Ítems 4 y 5: analizar e identificar.

Ítem 6: analizar e identificar.Ítems 7 y 8: calcular. Ítem 9: analizar, interpretar y calcular.


En estas páginas se presenta la evaluación sumativa ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo esanalizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas enla Unidad de Datos y Azar, y con esta información seguir determinadas líneas de ac-ción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional,para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo deesta Unidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas eslimitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen,que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, sesugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá de-tectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que seespera que logren.

• En el ítem 9, podría ocurrir que algunos de sus alumnos y alumnas presentendificultades para interpretar la información que entrega el gráfico. Si es necesarioresuelva sus dudas de manera individual, para que puedan responder correcta-mente las preguntas planteadas.

• Una vez terminada la actividad, permítales que revisen sus respuestas con dos otres compañeros o compañeras y, luego, que lleguen a una puesta en común. Podríapreguntarles qué información adicional pueden extraer del gráfico del ítem 9 y quelo discutan en conjunto.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar oprofundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las activi-dades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en laevaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.


La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 9.


9

Interpreta correctamente la informaciónque entrega el gráfico, justificando cadauno de sus pasos.

Interpreta correctamente la información que entrega el gráfico, sin justificar cada uno de sus pasos.

Interpreta erróneamente la informaciónque entrega el gráfico en una de las preguntas, sin justificar cada uno de sus pasos.

Interpreta erróneamente la información que entrega el gráfico encada una de las preguntas, sin justificarsus pasos.

Número de amigos

Marca de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada



De refuerzo

1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada a un grupo depersonas de distintos lugares del país sobre los noticieros en la televisión abierta. Lasrespuestas a la pregunta ¿qué noticiero ve a las 21.00 horas?, son las siguientes:

a) Organiza la información anterior en la siguiente tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?c) ¿Cuál es el noticiero con mayor audiencia?, ¿cuál es el noticiero menos visto?d) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que vea Informa TV?e) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que vea Noticias TV?

2. Daniela debe elegir bocadillos dulces para ofrecer el día de su matrimonio. Si unaempresa de banquetes le ofrece 5 tipos de postres, 6 tipos de torta y 8 tipos defruta, ¿cuántas opciones tiene de menú dulce?

3. Una letra de la palabra ALEATORIO es elegida al azar. Determina la probabilidadde seleccionar:

a) una A. e) una T.b) una E. f) una I.c) una O. g) una L.d) una R.

4. Si se lanzan dos dados simultáneamente y se suman sus puntuaciones:

a) ¿cuál el espacio muestral?b) ¿cuál es la probabilidad de obtener suma impar?c) ¿cuál es la probabilidad de obtener suma mayor que 10?d) ¿cuál es la probabilidad de obtener suma menor que 6?e) ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea un cuadrado perfecto?

5. Una caja contiene 7 tarjetas verdes, 8 tarjetas azules y 9 tarjetas amarillas. Si seextrae una tarjeta al azar, calcula la probabilidad de:

a) obtener una tarjeta azul.b) obtener una tarjeta amarilla.c) obtener una tarjeta verde.

6. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de amigos que cada integrantede Primero Medio de un colegio declaró tener:

a) Organiza los datos en la siguiente tabla de frecuencias. Agrúpalos en 3 intervalos,partiendo de 1 - 10.

b) ¿Cuántas personas tienen menos de 21 amigos?

c) ¿Qué porcentaje de personas tiene entre 11 y 20 amigos?

d) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.


28 12 15 20 12 7 1 3 5 616 18 5 6 8 11 13 14 21 1527 22 28 1 26 2 3 5 4 1116 17 18 14 13 20 10 9 1 27

NoticieroFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Noticias TV

Informa TV

Al día TV

Hoy TV

Noticieros Noticias TV Informa TV Al día TV Hoy TV

Frecuencia 480 600 360 960

2. Patricia tiene un bautizo y debe elegir con qué ropa irá. Si tiene 4 vestidos, 6 pañuelos, 5 pares de zapatos y 3 carteras, ¿de cuántas maneras diferentes sepodría vestir?

3. Los números del 1 al 30 son escritos en tarjetas. Las 30 tarjetas son mezcladas ycolocadas hacia abajo. Una tarjeta es elegida al azar. Determina la probabilidadde que la tarjeta elegida sea:

a) impar. b) mayor que 22.c) menor que 14.d) divisor de 30.e) primo.f) cuadrado perfecto.


De profundización

1. En una fábrica de productos congelados, el tamaño de los camarones se divide entres categorías: small, medium y large. Se registró el tamaño (en cm) de algunoscamarones. Los resultados obtenidos aparecen a continuación.

35 39 37 23 31 40 21 39 44 26

36 40 38 25 33 41 20 30 45 28

37 41 35 27 35 42 22 31 46 29

38 42 32 29 37 43 24 32 47 22

42 30 44 34 47 36 41 28 32 26

45 31 45 32 43 37 42 29 33 24

47 32 46 33 35 31 46 27 34 26

40 33 47 34 36 38 43 22 35 29

33 47 21 37 42 35 40 24 39 44

34 47 23 38 43 36 41 25 30 45

a) Organiza estos datos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias.

b) ¿Cuántos camarones fueron testeados?

c) ¿Cuántos camarones miden más de 29 cm?

d) ¿Cuántos camarones miden entre 20 y 39 cm?

e) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupados.

f) Calcula la moda de los datos agrupados.

g) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre30 cm y 39 cm?

h) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre 30 cm y 49 cm?


CategoríaTamaño

(cm)Marca

de claseFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Small 20 - 29

Medium 30 - 39

Large 40 - 49

Número de amigos

Marca de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada1 - 10 5,5 16 16 0,4 0,4

11 - 20 15,5 17 33 0,425 0,825

21 - 30 25,5 7 40 0,175 1


12

112

518

736

CategoríaTamaño

(cm)Marca

de claseFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Small 20 - 29 24,5 24 24 0,24 0,24

Medium 30 - 39 34,5 43 67 0,43 0,67

Large 40 - 49 44,5 33 100 0,33 1

5. a) 0,33 b) 0,38 c) 0,29

6. a)

b) 33 c) 42,5% d) x– = 12,75; Mo = 1

De profundización

1. a)

b) 100 camarones.c) 76 camarones.d) 67 camarones.e) 35,4 cm f) 35,9 cmg) 43%h) 76%

2. 360 maneras.

3. a) 0,5 d) 0,27b) 0,266 e) 0,333c) 0,433 f) 0,17

NoticieroFrecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Noticias TV 480 480 0,20 0,20

Informa TV 600 1080 0,25 0,45

Al día TV 360 1440 0,15 0,60

Hoy TV 960 2400 0,40 1


De refuerzo

1. a)

b) 2400 personas. c) Hoy TV y Al día TV, respectivamente.d) 25%e) 20%

2. 240 opciones.

3. a) 22,2% e) 11,1%b) 11,1% f) 11,1%c) 22,2% g) 11,1%d) 11,1%

4. a) Ω = {1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 4, 2 + 5,2 + 6, 3 + 1, 3 + 2, 3 + 3, 3 + 4, 3 + 5, 3 + 6, 4 + 1, 4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, 6 + 4, 6 + 5, 6 + 6}

b)

c)

d)

e)



I

Representa e interpreta correctamentelas tablas y las preguntas, justificandocada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamentelas tablas y las preguntas, sin justificartodos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamenteuna de las tablas y responde incorrec-tamente dos o tres preguntas. Además,no justifica todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamentelas dos tablas y responde incorrecta-mente las preguntas. Además, no justifica sus pasos.

EVALUACIÓN FINAL

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es determinar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Datos y azar.

El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos. Usted puedevariarlo de acuerdo al ritmo de trabajo de sus estudiantes.

Para facilitar la evaluación se sugiere aplicar la siguiente pauta:

Puntaje total de la evaluación: 46 puntos

Los ejercicios presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus es-tudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 a 8, la información que entregan las respuestas de los y las estudianteses limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que come-ten (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se


sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues deeste modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzarlos aprendizajes que se espera que logren.

• En la segunda parte se podrán presentar las siguientes dificultades:

Para completar la tabla con las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumu-ladas, permita que sus estudiantes trabajen con números decimales o fracciones,según lo que les resulte más fácil.

Aclare a sus estudiantes que deben responder las preguntas planteadas con base enlos datos agrupados en intervalos en la tabla de frecuencias. Enfatice esto, especial-mente para el cálculo de la moda y la media aritmética.


I.1. B 2. A 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 8. D

II.9. a)

b) 32 c) 32 d) 18% e) 32% f) 74,9 h g) 83,1 h

10. Actividad exploratoria.


IAnalizar, identificar, recordar ycalcular.


IIAplicar, interpretar, representar,calcular y analizar.

15 puntos cada una

30 puntos

Horasde estudio

Marcade clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

60 - 64 62 17 17 0,17 0,1765 - 69 67 15 32 0,15 0,3270 - 74 72 17 49 0,17 0,4975 - 79 77 13 62 0,13 0,6280 - 84 82 20 82 0,20 0,8285 - 90 87 18 100 0,18 1

EVALUACIÓNDatos y azar


Puntaje: Nota:


1. Se ha lanzado un dado 120 veces obteniéndose 18 veces 4. ¿Cuáles la frecuencia relativa de las veces que salió 4?

A. 0,17B. 0,15C. 0,22D. 0,03

2. La suma de todas las frecuencias relativas de cualquier conjunto dedatos es igual a:

A. 1

B. El número total de observaciones.

C.

D. 100%

3. La probabilidad de que salga un 6 al lanzar un dado es:

A. B. C. D.

4. Una caja contiene 10 fichas blancas, 20 fichas azules y 30 fichas rojas.Si se saca una ficha al azar de esta caja, ¿cuál es la probabilidad deque no sea azul?

A. 17% C. 33,3%B. 67% D. 50%

5. Se elige al azar una letra de la palabra EXPERIMENTO, ¿cuál es laprobabilidad de que sea E?

A. B. C. D.

6. La siguiente tabla muestra la cantidad de horas que los estudiantes de8º Básico de un colegio de Valdivia dedican a estudiar semanalmente.¿Qué porcentaje de estudiantes estudia menos de 10 horas semanales?

A. 15%B. 30%C. 47,5%D. 85%

7. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la moda?

A. 15 hB. 11,5 hC. 10,75 hD. 9,5 h

8. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la media aritmética?

A. 11,5 hB. 10,75 hC. 10 hD. 9,5 h


1100

56

311

13

19

911

136

12

16

Horas Frecuencia absoluta

2 - 5 7

6 - 9 12

10 - 13 15

14 - 17 6

II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resoluciónen cada caso.

9. Una universidad está interesada en conocer cuántas horas al meslos alumnos de medicina destinan a estudiar. Para ello tomaron unamuestra de 100 estudiantes de la carrera. Las respuestas obtenidasse encuentran en la siguiente tabla.

a) Completa la siguiente tabla.

b) ¿Cuántas personas estudian entre 65 y 74 horas al mes?

c) ¿Cuántas personas estudian menos de 70 horas al mes?

d) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de queestudie entre 85 y 90 horas al mes?

e) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de queestudie menos de 70 horas al mes?

f) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupadosen intervalos.

g) Calcula e interpreta la moda de los datos agrupados en intervalos.

10. Utiliza dos dados para realizar lanzamientos de estos simultáneamente50 veces y, luego, suma las puntuaciones. Completa la tabla y responde.

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando los números de ambos dadossuman 10?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 10?

c) ¿Qué relación tiene la frecuencia relativa cuando la suma de laspuntuaciones es 6, y la probabilidad de que la suma sea 6?, ¿yqué diferencias?


Horasde estudio

Marcade clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

60 - 64

65 - 69

70 - 74

75 - 79

80 - 84

85 - 90

63 70 65 89 60 81 75 72 60 6789 84 89 61 73 64 84 71 83 6778 72 83 88 68 70 86 72 73 7071 67 64 64 78 68 80 60 82 7777 62 84 66 84 86 87 85 87 9068 79 83 86 80 63 67 83 86 8963 67 82 73 68 78 66 86 83 8178 61 77 73 70 76 83 72 84 7270 64 60 60 84 85 61 61 68 6979 86 67 86 86 72 75 80 79 84

Resultado de la suma

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

278 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


Esta Unidad está orientada al estudio de las funciones en diversos contextos y al reco-nocimiento de sus elementos constituyentes. Se pretende que los y las estudiantesutilicen sus conocimientos previos sobre lenguaje algebraico, ecuaciones y su repre-sentación en situaciones diversas y significativas, así como también, en actividadesque involucran los conceptos de razón y proporción.

En la segunda parte de la Unidad se estudian situaciones que incluyen magnitudesproporcionales y no proporcionales, y relaciones de proporcionalidad directa e inversacomo una función.

El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes planteen y analicen algunasfunciones sencillas, comparen variables relacionadas en forma proporcional y noproporcional, y que representen como una función relaciones de proporcionalidaddirecta e inversa mediante tablas, gráficos, algebraicamente, o bien usando un software gráfico.


Funciones y relaciones proporcionalesUnidad6

Relaciones entredos variables

Funciones

Dominio

Ecuaciones

representan

pueden ser

pueden ser

se distinguen

susvalores

son

susvalores

son

Variablesindependientes (x)

Variablesdependientes (y) Recorrido

Variacionesproporcionales

Proporcionalidad directa

Función y = kx

Proporcionalidad inversa

Variacionesno proporcionales

pueden ser

se representa

Función y =

se representa

kx


7º básico

Traducción de expresiones algebraicasen lenguaje natural a lenguaje simbólicoy viceversa.

8º básico

Planteamiento de ecuaciones que repre-sentan la relación entre dos variables ensituaciones o fenómenos de la vida coti-diana y análisis del comportamiento dedichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Reconocimiento de funciones en diversoscontextos, distinción entre variables de-pendientes e independientes en ellas eidentificación de sus elementos consti-tuyentes: dominio, recorrido, uso e inter-pretación de la notación de funciones.

1º medio

Resolución de problemas cuyo mode-lamiento involucre ecuaciones literales deprimer grado.

Análisis de las distintas representacionesde la función lineal, su aplicación en laresolución de diversas situaciones pro-blema y su relación con la proporcionali-dad directa.

Resolución de problemas asociados a sis-temas de ecuaciones lineales con dos incóg-nitas, en contextos variados, representaciónen el plano cartesiano usando un softwaregráfico y discusión de la existencia y perti-nencia de las soluciones.

2º medio

Reconocimiento de sistemas de ecua-ciones lineales como modelos que surgende diversas situaciones o fenómenos.

Resolución de problemas que implican elplanteamiento de una ecuación deprimer grado con una incógnita, inter-pretación de la ecuación como la repre-sentación matemática del problema y dela solución en términos del contexto.

Reconocimiento y representación comouna función de las relaciones de propor-cionalidad directa e inversa entre dosvariables, en contextos significativos.Comparación con variables relacionadasen forma no proporcional y argumen-tación acerca de la diferencia con elcaso proporcional.

Análisis de diversas situaciones que repre-sentan tanto magnitudes proporcionalescomo no proporcionales, mediante el usode software gráfico.

Resolución de problemas en diversoscontextos que implican el uso de la rela-ción de proporcionalidad como modelo matemático.

Uso de un software gráfico en la inter-pretación de la función afín; análisis delas situaciones que modela y estudio delas variaciones que se producen por lamodificación de sus parámetros.

Estudio de la composición de funciones,análisis de sus propiedades y aplicación alas transformaciones isométricas.

Uso de software gráfico en la inter-pretación de funciones exponenciales,logarítmicas y raíz cuadrada, análisis delas situaciones que modela y estudio delas variaciones que se producen por lamodificación de sus parámetros.










Planteamiento deecuaciones querepresentan la relaciónentre dos variables en situaciones o fenómenos de la vidacotidiana y análisis delcomportamiento de dichos fenómenosa través de tablas y gráficos.

• Situaciones con dos variables.

• Plantear ecuacionesque representan larelación entre dos variables en diversoscontextos.

• Analizar situacionesa través de tablas y gráficos.


De construcción deconceptos: páginas 169,170 y 171.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas299 y 301.


• Plantean ecuaciones querepresentan diversassituaciones o fenómenosde la vida cotidiana.

• Resuelven ecuacionesque representan la relación entre dosvariables.

• Analizan situaciones cotidianas a través detablas y gráficos.

Diagnóstica:páginas 166 y167 del Textodel Estudiante.

Formativa: páginas 181 y193 del Textodel Estudiante.


• Palitos de fósforo.

• Computadorcon acceso aInternet.

• Regla.• Computador

con programaExcel.

Reconocimiento defunciones en diversoscontextos, distinciónentre variables dependientes e independientes enellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido,uso e interpretación de la notación de funciones.

• Noción de Función.• Variables

dependientes e independientes.

• Dominio y recorrido.

• Reconocer y representar funcionesen diversos contextos.

• Distinguir entre variables dependientese independientes enuna función.

• Identificar dominio y recorrido de una función.

• Utilizar notación de funciones.


De construcción deconceptos: páginas 173,175, 176, 177, 179 y 180.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas 303,305, 307 y 309.

De profundización:páginas 305, 307 y 309.

• Reconocen funciones encontextos diversos y significativos.

• Distinguen entre variables dependientes e independientes en funciones.

• Identifican el dominio y recorrido de una función.

• Usan e interpretan la notación de funciones.

Reconocimiento yrepresentación comouna función de lasrelaciones de propor-cionalidad directa e inversa entre dos

• Variaciones proporcionales y noproporcionales.

• Relación de proporcionalidad directa.

• Identificar variablesrelacionadas en formaproporcional y enforma no proporcional.

• Reconocer y representar,como una función,


De construcción deconceptos: páginas 183,185, 186, 187, 189, 190,

• Diferencian y analizanvariables relacionadas enforma proporcional y noproporcional.

• Analizan, usando unsoftware gráfico,

U6 (PAG 278-309):Maquetación 1 2/12/10 11:36 Página 280







variables, en contextossignificativos.

Comparación con variables relacionadasen forma no proporcional y argumentación acercade la diferencia con elcaso proporcional.

Análisis de diversassituaciones que representan tantomagnitudes proporcionales comono proporcionales, mediante el uso desoftware gráfico.

Resolución de problemas en diversoscontextos que implicanel uso de la relación deproporcionalidad comomodelo matemático.

Reconocimiento defunciones en diversoscontextos, […].

• Relación de proporcionalidad inversa.

situaciones que involucran relacionesde proporcionalidad directa e inversa.

• Analizar situaciones,sus gráficos o tablas,asociadas a variacionesproporcionales y no proporcionales, utilizando un software gráfico en algunos casos.

• Resolver problemasque involucranplanteamiento y análisis de funciones.

• Buscando estrategias.

191 y 192.De consolidación:páginas 196 y 197.

En la Guía DidácticaDe refuerzo: páginas315, 317, 319, 321 y 323.

De profundización:páginas 317, 319, 321 y 323.


En la Guía DidácticaDe refuerzo: página 329. De profundización:página 329.

situaciones que representan magnitudesproporcionales y no proporcionales.

• Representan como unafunción relaciones deproporcionalidad directae inversa.

• Representan, en gráficosy tablas, relaciones deproporcionalidad directae inversa entre dos variables.

• Resuelven problemasque involucran larelación de proporcionalidad directa e inversa.

• Resuelven problemasque involucran elplanteamiento de fun-ciones y su análisis.


ERRORES FRECUENTES


Si los conocimientos sobre lenguaje algebraico, planteamiento y resolución de ecuaciones son insuficientes, pueden producir complicaciones en el aprendizaje de las funciones y relaciones proporcionales.

• Por medio de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En la representación algebraica de situaciones de la vida cotidiana y en la resoluciónde ecuaciones pueden aparecer los siguientes inconvenientes:

• No se identifica la incógnita o término desconocido, planteando de forma incorrecta la ecuación correspondiente.

• Suman, restan, multiplican o dividen expresiones solo a un lado de la igualdad,obteniedo un resultado erróneo.

• Se sugiere que junto con sus alumnos y alumnas analicen, paso a paso, lasituación, realizando una lectura atenta del enunciado, para determinar cuálesson los datos y cuál sería la incógnita o pregunta del problema.

• Para que sus estudiantes con más dificultades puedan plantear y resolver ecuaciones, es conveniente que comience con problemas sencillos y, luego, aumente la dificultad gradualmente.

• Es aconsejable que recuerde a sus estudiantes lo siguiente: si a ambos lados deuna igualdad se suma, resta, multiplica o divide un mismo número, la igualdad se mantiene. Por ejemplo:

2x + 15 = 25 / – 152x + 15 – 15 = 25 – 15

2x = 10 / : 2

=

x = 5

En el reconocimiento de una función y en la distinción de sus variables, es posible que surjan los siguientes errores:

• Identificación incorrecta de la función que modela una situción.• Confusión entre las variables; la dependiente, con la independiente y viceversa.

• Es importante explicar el concepto de función, analizar ejemplos y las variables involucradas, comenzando con situaciones sencillas y, luego, con las más complejas.

• Se sugiere que para reconocer la variable dependiente e independiente en unafunción, pídales que anoten los valores en una tabla y, luego, puede hacer preguntas como: ¿qué variables están en juego?, ¿qué datos tengo?, ¿qué valores puede tomar x e y?, ¿qué caracteriza a estos valores?, ¿de qué dependeel valor de la variable y?

En la identificación del dominio y recorrido es posible que los y las estudiantes confundan el dominio con el recorrido de una función, y viceversa.

• Para que los alumnos y alumnas identifiquen y diferencien entre el dominio y recorrido de una función, es conveniente analizar junto con sus estudiantesprimero la variable independiente y la dependiente de funciones concretas sencillasy, a partir del análisis, determinar el dominio y recorrido en estas funciones.

2x2

102

Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal Grado

a3b2c 1 a3b2c 3 + 2 + 1 = 6

πr5 π r5 5

6x2y6 6 x2y6 2 + 6 = 8

57

57

Monomios Binomios Trinomios Polinomios

x4 2x + y 2x + y – z x + y + z + 3p

5a5b2 4a – 2b 9x2 – 12xyz + 4y2 4x7 – xy + y2

rn + 2 4x2 – y2 27a3 + bc + d5 21x2 + – s + 2t


Conceptos algebraicos básicos• Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más varia-

bles literales.

• En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye elsigno y constantes matemáticas) y la parte literal (que incorpora variables).

• Se define el grado como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal.

Ejemplos:

Expresiones algebraicas• Una expresión algebraica es la suma de dos o más términos algebraicos.

• De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica,estas se clasifican en: monomios (un término) y multinomios. A los multinomioscon dos términos se les llama binomios, y a los de tres términos, trinomios.

• Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresiónalgebraica polinomio.

Ejemplos:

• El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados delos términos que la componen.

Ejemplo: el grado del trinomio 3x4 + 5x4y6 – y9 es 10, ya que los términos tienengrados 4, 10 y 9, respectivamente.

Valoración de expresiones algebraicasValorar una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variableque aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondanpara obtener el valor numérico final de la expresión.

Ejemplo:

Al remplazar x = –2, en 5x2 + 3x3 – 4x4 – x5, resulta:

5x2 + 3x3 – 4x4 – x5 = 5 • (–2)2 + 3 • (–2)3 – 4 • (–2)4 – (–2)5= 5 • 4 + 3 • (–8) – 4 • 16 – (–32)= 20 – 24 – 64 + 32= –36

Luego, el valor numérico de 5x2 + 3x3 – 4x4 – x5 para x = –2 es –36.



En las situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, es posible que surjan los siguientes errores:

• No se relaciona que en las variaciones proporcionales el valor de la razón entre las variables sea un número constante.

• En ejemplos relacionados con la visualización, es posible que se guíen por la percepción en vez de analizar matemáticamente las imágenes.

• Es conveniente que guíe a sus estudiantes para que escriban las razones sincometer errores y, luego, calculen el valor de la razón correspondiente.

• Si es necesario, permítales utilizar instrumentos, como la regla, para que midanlas figuras en cuestión y, a partir de los resultados obtenidos, analicen si repre-sentan magnitudes proporcionales o no.

37

a3

2

Ecuación Incógnita Grado de una ecuación

3x + 2 = 5x x 1er grado

y3 + 2y – 1 = 3y2 y 3er grado


Ecuaciones de primer grado• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o más

variables desconocidas, llamadas incógnitas.

Ejemplos: 2x + 6 = 1 (una incógnita) x + 2y = –3 (dos incógnitas)

• El grado de una ecuación con una incógnita corresponde al mayor exponente dela incógnita.

Ejemplos:

• Resolver una ecuación es determinar los valores de la incógnita para los cuales secumple la igualdad. A estos valores se les llama soluciones de la ecuación.

Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando laspropiedades de la igualdad.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 3x – 8 = 16.Usando las propiedades de la igualdad, se tiene:

3x – 8 = 16 / + 8

3x – 8 + 8 = 16 + 8

3x = 24 / : 3

=

x = 8

Para verificar que la solución encontrada es correcta, basta con remplazar x = 8en la ecuación original. Es decir: 3 • 8 – 8 = 24 – 8 = 16. Como la igualdad secumple, la solución obtenida es correcta.

• Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios se puede transformarla ecuación en una con coeficientes enteros, multiplicando cada miembro de ella por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresiones fraccionarias.

Ejemplo:Al resolver la ecuación – = 2, se tiene:

15

x3

– = 2 / multiplicar por el m.c.m. (3,5) que es 15

5x – 3 = 30 / + 3

5x – 3 + 3 = 30 + 3

5x = 33 / : 5

• Para resolver ecuaciones literales se utilizan los mismos procedimientos de reso-lución para ecuaciones comunes, pero es fundamental identificar claramente quévariables son las incógnitas de la ecuación.

Ejemplo:

Al resolver la ecuación 4x + 2b = 3a, considerando x como la incógnita, se tiene:

4x + 2b = 3a / – 2b

4x + 2b – 2b = 3a – 2b

4x = 3a – 2b / : 4

Funciones• Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A

un único elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

• Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f,se escribe y = f(x).

Como en la expresión y = f(x) el valor de y depende del valor de x, se dice quey está “en función de x”, y se denomina a la variable x variable independiente,y a la variable y, variable dependiente.

Ejemplo: la función real que relaciona cada número con su doble más una unidadse puede representar por: f(x) = 2x + 1.

• Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valordeterminado de x.

Ejemplo:

Sea f una función real definida por la expresión f(x) = 6x – 9. Evaluar la funciónpara x = 5 es equivalente a calcular f(5). Es decir: f(5) = 6 • 5 – 9 = 30 – 9 = 21.Por lo tanto, f(5) = 21.

• Se llama dominio de una función (Dom (f )) al conjunto de todos los elementospara los que la función está definida, o sea, valores que la variable independiente(x) puede tomar.

Ejemplos:

1. Dada la función f(x) = x + 7, su dominio está definido por el conjunto de todoslos números reales. Se expresa por: Dom (f ) = �.

15

x3

3x3

243

2. Para la función f(x) = , su dominio está dado por todos los números reales

menos el 4, ya que para x = 4, la función se indetermina (4 – 4 = 0). Este se

denota por: Dom (f ) = {x ∈ � / x ≠ 4}.

• Se llama recorrido de una función (Rec (f )) al conjunto de los valores que tomala variable dependiente (y), es decir, todos los valores que son imagen de algúnvalor de la variable independiente.

Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de lafunción, la variable independiente (x) “en función” de la variable independiente (y).

Y luego evaluar para qué valores reales está definida esta expresión.

Ejemplo:

El recorrido de f(x) = x – 4 corresponde a todos los reales, ya que al despejar lavariable x, en función de y, se obtiene:

y = x – 4 ⇒ x = y + 4, y para esta expresión, la variable dependiente está definidapara cualquier valor real. Luego, Rec (f ) = �.

Representación gráfica de una funciónSi a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el parordenado (x,y) del plano cartesiano, obtenemos el gráfico de la función f.

En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje delas ordenadas (vertical), los valores de y.

Ejemplo: la representación gráfica de la función f(x) = 3x + 1 está en la imagen acontinuación.

2xx – 4

Algunas funciones

• Función lineal: su representación gráfica es una recta que pasa por el origen delplano cartesiano, cuya expresión está dada por f(x) = mx, con m un valor real.

En una función lineal, f(x) y x son directamente proporcionales, ya que = m

para cualquier valor de x.

Ejemplos:

1. f(x) = 2x 2. f(x) = x

• Función afín: su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen,cuya expresión está dada por g(x) = mx + n, con m y n números reales, y n distintode cero.

Ejemplos:

1. f(x) = 3x + 1 2. g(x) = –x – 2

• Función constante: si en una función afín f(x) = mx + n, m = 0 y n ≠ 0, se obtienef(x) = n, siendo esta la función constante. La gráfica de esta función es una rectaparalela al eje X.

Ejemplos:

1. g(x) = 6 2. f(x) = –3

BIBLIOGRAFÍA


• Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Álgebra. Aritmética y Álgebra. (pp. 182–241).Santiago: Santillana.

• Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Funciones. Aritmética y Álgebra. (pp. 286–372).Santiago: Santillana.

• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de en-señanza. Santiago: Andrés Bello.

15

f(x)x


La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus alumnos y alumnas en el estudio del Álgebra, específicamente el planteamiento de ecuaciones, análisis de fenó-menos que representan la relación entre dos variables y la representación algebraica de unafunción. Actualmente, un número importante de la población es sedentaria. En el caso dela gente que trabaja, muchos de ellos permanecen gran parte del día sentados, ya sea enoficinas o bien en automóviles. La población joven no es la excepción, pues muchos privi-legian la televisión o el computador en desmedro de la actividad física.




Conversemos de...Ítems 1, 2 y 3: analizar y calcular.Ítem 4: analizar y representar.


En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se es-pera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en vozalta y, luego, puede preguntarles lo siguiente:

• ¿Qué estrategia usaron para determinar la distancia que puede recorrer Carlos?• ¿Qué estrategia consideran más adecuada para definir el tiempo que tardará en lle-

gar a un lugar cualquiera?• Comparen la ecuación que permite representar la distancia que Carlos recorre en un

determinado período con la ecuación que permite definir el tiempo que se demoraen recorrer cierta distancia: ¿son iguales?, ¿tienen algo en común?, ¿representanlo mismo?, ¿por qué?

Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos y alum-nas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener informaciónacerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas; a partir deellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada enel Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes:• Después de dos horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos

si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?• Si la casa de sus padres está a 52,5 km, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproxi-

madamente en llegar a la casa de sus padres si no se detiene en ningún momento?

En el caso de la primera pregunta, puede guiar a sus estudiantes para que reconoz-can las variables en juego. Luego, si es necesario, puede mostrarles y analizar quela ecuación (función) que permite saber la distancia recorrida (y) cada cierto tiempo(x) es: y = 21 • x. Es decir, después de dos horas, la distancia recorrida se puede cal-cular: y = 21 • 2 = 42. Entonces, recorrerá 42 km/h en dos horas.

En el segundo caso, puede resolver 52,5 = 21 • x, esto es, x = 52,5 : 21 = 2,5. O sea,tardará dos horas y media en recorrer 52,5 km/h.La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, talescomo planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Además, antes de comenzar con esta actividad, podría preguntarles lo siguiente:

• ¿Eres una persona sedentaria?, ¿por qué?• ¿Realizas alguna actividad deportiva?, ¿cuál?• Organiza un horario semanal que te permita incluir una o más actividades rela-

cionadas con el deporte de al menos 30 minutos, tres veces a la semana. Puedesagregar caminatas.

Estas preguntas están orientadas a trabajar con la propia experiencia y conocimientosprevios de sus estudiantes para motivarlos y discutir sobre la salud, los beneficios deldeporte y de tener una vida sana.


El sedentarismo, según la Real Academia Española, se define como un modo de vida conpoca agitación o movimiento. Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), algunosde los factores que influyen en la propagación de estilos de vida sedentarios son:

• Dedicar demasiado tiempo a mirar la televisión, jugar con juegos informáticos yutilizar computadores.

• No practicar regularmente actividad física, debido a la falta de tiempo y de motivación,a los sentimientos de vergüenza o incompetencia, a la falta de instalaciones y localesseguros para la actividad física y a la ignorancia de las ventajas que proporciona.

Es muy importante promover la actividad física en los niños y en los jóvenes, pues tienemuchos beneficios, tales como:

• Beneficiar la salud física y mental y la integración social de los jóvenes. La prácticaregular de actividad física ayuda a los niños y a los jóvenes a desarrollar y a man-tener en buena salud los huesos, los músculos y las articulaciones, a controlar elpeso corporal, a reducir las grasas y al buen funcionamiento del corazón y de lospulmones. Contribuye, asimismo, al desarrollo del movimiento y de la coordinación,y ayuda a prevenir y a controlar los sentimientos de ansiedad y la depresión.

• La participación en actividades físicas y la práctica de deportes ayudan a no consumirtabaco, alcohol, drogas y los comportamientos violentos. Puede propiciar ademásuna dieta sana, un descanso adecuado y estilos de vida más seguros.

Para una mayor información sobre el sedentarismo y sus consecuencias en nuestrasalud, puede visitar los siguientes sitios web:

• Organización Mundial de la Salud: www.who.int/topics/physical_activity/es/

• Estrategia Global contra la Obesidad EGO-Chile: www.ego-chile.cl/index.html


De refuerzo

1. Fernando recorre en su vehículo un tramo de 360 km en una carretera de nortea sur a una velocidad promedio de 90 km/h.

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detieneen ningún momento?

b) Después de tres horas ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detieney mantiene el ritmo?

(Habilidades que desarrolla: analizar y calcular).





Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientosprevios de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye lossiguientes criterios:Ítem 1: representar en lenguaje algebraico diferentes expresiones en lenguaje natural.Ítem 2: representar en lenguaje algebraico el área y el perímetro de figuras geométricas.

Ítem 3: calcular el valor de la incógnita en diversas ecuaciones de primer grado conuna incógnita, explicando los procedimientos utilizados.

Ítem 4: formular y calcular ecuaciones de primer grado con una incógnita.Ítem 5: analizar una situación que involucra el cálculo de porcentajes.Ítem 6: resolver problemas enmarcados en contextos de la vida cotidiana.


¿Cuánto sabes?Ítems 1 y 2: representar.Ítem 3: calcular y justificar.Ítem 4: formular y calcular.Ítem 5: analizar y calcular.Ítem 6: resolver problemas, formular y calcular.


• En el ítem 1, es posible que confudan las expresiones en lenguaje natural y su repre-sentación en lenguaje algebraico. Es recomendable dar ejemplos sencillos antesde efectuar esta actividad, como “la mitad de un número”, “el doble de unnúmero”, etcétera.

• En el ítem 2, sus alumnas y alumnos pueden olvidar los procedimientos para determi-nar el área y el perímetro de las figuras dadas; si es necesario, recuerde cómo hacerlo.

• En el ítem 3, las y los estudiantes pueden realizar incorrectamente los pasos para de-terminar el valor de la incógnita. Es conveniente recordar cómo resolver ecuaciones

con un ejemplo concreto y sencillo. Se les solicita la justificación de cada procedi-miento; es aconsejable que pida continuamente que expliquen sus pasos.

• En el ítem 4, la dificultad está en plantear la ecuación correcta, o bien en los pro-cedimientos para su resolución. Es recomendable que exponga ejemplos sencillosen la pizarra para recordar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primergrado con una incógnita.

• En el ítem 5, es posible que no recuerden los porcentajes. Si es necesario, recuerdecómo calcular el tanto por ciento de una cantidad dada y cómo determinar quéporcentaje es una cantidad de otra.

• En el ítem 6, pídales a sus estudiantes que revisen las soluciones con sus compañeroso compañeras. Si surgen estrategias diversas para un problema, solicíteles que lascompartan y expliquen al resto del curso.

• Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación conel fin de detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismo modo,es conveniente resolver en conjunto la evaluación en la pizarra para que conozcanlas respuestas y procedimientos correctos, y puedan detectar y corregir sus errores.Así podrá detectar las áreas más débiles de sus estudiantes y podrá preparar unplan para corregirlas.




1Representa correctamente todas lasfrases en lenguaje algebraico.

Representa correctamente siete frasesen lenguaje algebraico.

Representa erróneamente cuatro omenos frases en lenguaje algebraico.

Representa erróneamente más de cuatro frases en lenguaje algebraico.

2Representa correctamente todas lasáreas y perímetros.

Representa correctamente las áreas y perímetros, confundiendo solo unade ellas.

Representa erróneamente dos o tresáreas o perímetros.

Representa erróneamente todas lasáreas y perímetros.

3Calcula correctamente el valor de lasincógnitas, justificando cada uno desus pasos.

Calcula correctamente el valor de lasincógnitas; no justifica todos sus pasos.

Calcula erróneamente uno o dos valores de las incógnitas sin justificarsus pasos.

Calcula erróneamente más de dos valores de las incógnitas sin justificarsus pasos.

4Formula correctamente las ecuacionesy calcula los números, justificando cadauno de sus pasos.

Formula correctamente las ecuacionesy calcula los números; no justificatodos sus pasos.

Formula, erróneamente una o dosecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

Formula erróneamente todas las ecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

5

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes, justificandocada uno de sus pasos.

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes; no justificatodos sus pasos.

Analiza y calcula erróneamente uno de los problemas, confundiendo el cálculo de porcentaje; justifica algunosde sus pasos.

Analiza y calcula erróneamente todoslos problemas, confundiendo el cálculode porcentajes; no justifica sus pasos.

6Resuelve correctamente cada uno delos problemas, justificando cada unode sus pasos.

Resuelve correctamente cada uno delos problemas, justificando algunos desus pasos.

Resuelve erróneamente uno de losproblemas, justificando algunos de sus pasos.

Resuelve erróneamente dos o tresproblemas sin justificar sus pasos.




• Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situa-ciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichosfenómenos a través de tablas y gráficos.


Para discutirÍtem 1: calcular.Ítem 2: formular.Ítem 3: calcular y justificar.Ítem 4: representar y justificar.

ActividadesÍtem 1: formular y calcular.

Frase Expresión algebraica

El triple de un número más cinco. 3x + 5

La suma de dos números consecutivos es 70. a + (a + 1) = 70

Cinco pasajes de bus desde Santiago a San Antoniotienen un costo de $17 500.

5 • x = 17 500

sintética y global del fenómeno observado y de las relaciones entre sus diversascaracterísticas o variables.

• Un gráfico se refiriere generalmente a las representaciones numéricas mediantesu equivalencia en relaciones en el plano o espacio. Entre las funciones quecumple un gráfico están: hacer más visibles los datos, evidenciar las relacionesentre dos o más variables y aclarar y complementar las tablas. En el caso de estaUnidad, se utilizarán gráficos como una forma de representar diversas funciones.


De refuerzo

1. Plantea las ecuaciones y resuélvelas.

a) En un bolsillo, Mariana guarda p cantidad de dinero y en el otro, el doble. Si en total tiene $ 45 000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?

b) Isidora compró una caja de bombones por $ 3800 y 4 bebidas en lata. El valortotal de la compra es $ 6400. ¿Cuál fue el costo de cada bebida?

c) En un rectángulo, el largo mide el triple del ancho. Si el perímetro es 64 cm,¿cuánto mide cada lado?, ¿y su área?

d) Un bus viaja de norte a sur a velocidad constante. Si en seis horas recorre 510 km,¿a qué velocidad viaja?

e) En un triángulo isósceles, la medida de los lados no basales es el triple de labase, cada uno. Si el perímetro es 35 cm, ¿cuánto mide cada lado?

f) Un grupo de 14 amigos compró entradas para un concierto de rock chileno,que se realizará en una ciudad del sur del país. Si en total gastaron $ 95 200,y todas las entradas tenían el mismo valor, ¿cuánto les costó cada entrada?

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular y calcular).

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una actividad que repre-senta una relación entre dos variables, planteen una ecuación y sean capaces de construir y analizar la situación mediante tablas y gráficos. Es importante que losalumnos y alumnas manejen el lenguaje algebraico previamente, así como tambiénla resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Para complementar el tema y la información presentada en el Texto, así como tambiéniniciar a sus alumnos y alumnas en el reconocimiento y representación de funciones,plantee preguntas como las siguientes:

• ¿Cuánto costarán 15 kg de mandarinas?, ¿y 26 kg?

• ¿Es posible encontrar una expresión algebraica que permita determinar el precio(y) de x kg de mandarinas?, ¿cuál?


• Antes de desarrollar el ítem 1, si es necesario, escriba en la pizarra una tabla condos columnas en que aparezcan expresiones escritas en lenguaje natural en unacolumna y en la otra la expresión algebraica. Además, podría incluir expresionesque involucren el planteo de ecuaciones sencillas que los y las estudiantes com-pleten en sus cuadernos. Por ejemplo:

• Si sus alumnos y alumnas tienen dificultades relacionadas con las expresiones algebraicas, sería conveniente que recuerde qué es un término algebraico y,luego, presente términos semejantes para reducirlas, considerando la eliminaciónde paréntesis y las propiedades de las operaciones.


Es fundamental que sus estudiantes recuerden y comprendan qué es una tabla yqué es un gráfico.

• Una tabla es un cuadro que organiza la información en filas y columnas. Lastablas sistematizan los resultados cuantitativos y ofrecen una visión numérica,





• Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situa-ciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichosfenómenos a través de tablas y gráficos.


ActividadesÍtems 2 y 3: analizar, formular, representar y calcular.

b) ¿Cuánto obtiene, en promedio, en cinco horas y media?, ¿cuál es la ecuaciónque permite encontrar la solución?

c) ¿Cuántas horas necesita trabajar para ganar $ 24 750?d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de horas que trabaja Luis con

el dinero que obtiene.

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular, representar y calcular).

De profundización

1. Esteban compra los siguientes útiles escolares: 8 cuadernos a $ 800 cada uno, unatémpera a $ 1200, una acuarela a $ 600, y 4 cajas de lápices de colores iguales,gastando un total de $12 000.

a) ¿Cuánto cuesta cada caja de lápices de colores?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución?

b) ¿Cuánto gastaría si solo comprara 6 cuadernos, 2 témperas, una acuarela y 6 cajas de lápices de colores iguales?

c) Construye una tabla y un gráfico que relacionen la cantidad de cuadernoscomprados y su precio.

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).



• En los ítems 2 y 3, es conveniente que sugiera a sus estudiantes hacer una se-gunda tabla con los valores de x (segundos y cantidad de claveles, respectiva-mente) que aparecen en el eje de las abscisas, para que puedan construirlas demanera más sencilla.

• Los planes de compañías de teléfonos celulares considerados en el ítem 2 corres-ponden a los de dos compañías chilenas, con fecha diciembre de 2009.


De refuerzo

1. Carmen es una escritora de cuentos infantiles que redacta en su computador, enpromedio, una página cada cuatro minutos.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona cantidad de páginas con los minutos.b) ¿Cuántos minutos se demora en escribir 13 páginas?, ¿cuál es la ecuación que

permite encontrar la solución?c) ¿Cuántas páginas redacta en 68 minutos?, ¿cómo lo supiste?d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de páginas con los minutos.

2. Luis es un taxista que en promedio gana $ 2750 por hora.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de horas que trabajaLuis con el dinero que gana.

Cantidad de páginas Minutos

1

2

7

10

26

101

Horas Dinero ($)




• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] uso e interpretación de lanotación de funciones.


Para discutir ActividadesÍtems 1 y 3: calcular y justificar. Ítem 1: representar.Ítem 2: representar y formular. Ítem 2: analizar, evaluar y justificar.Ítem 4: analizar, calcular y justificar. Ítem 3: analizar, calcular y representar.

PizzeríaValor pizza napolitana

($)Valor ingrediente

adicional ($)

A 3590 540

B 3990 450

C 4490 400

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, ytienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación que presente larelación entre dos variables, de manera que a cada valor de x (cantidad de automóvilesvendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo recibido), es decir, esta relación esuna función. Dada esta función, los alumnos y alumnas pueden representarla y analizarlapor medio de tablas o gráficos, los que facilitan su comprensión y análisis.

Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas comolas siguientes:

• ¿Cuánto ganará Miguel si no vende automóviles en un mes?, ¿por qué?• ¿Cuántos automóviles vendió si su sueldo fue de $ 985 000?, ¿cómo lo calculaste?


• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente destacarles a sus estudiantes que unafunción puede ser representada mediante diversos registros, en nuestro caso, estu-diamos la representación algebraica, la tabla y el gráfico. Si sus estudiantes tienendificultades para construir el gráfico, solicíteles que agreguen filas a la tabla de lapágina 170. Podría preguntar lo siguiente: ¿qué forma tiene el gráfico?, ¿qué carac-terísticas observas en él?

• En el ítem 2 es importante que los alumnos y alumnas comprendan que en unafunción la relación entre las variables x e y se da de tal manera que a cada valorde x le corresponde un único valor de y. Por ejemplo, la relación b) no es función,pues puede ocurrir que una persona tenga más de un sabor preferido de helado.

• En el ítem 3 sería conveniente solicitarles a sus estudiantes que construyan en unmismo gráfico las funciones correspodientes a cada plan y, luego, que las com-paren y analicen. Podrían utilizar colores distintos para que las diferencien.


Es importante que comprenda que una función no es sino un tipo especial de relación.Además, destaque que para expresar funciones podemos usar otros nombres, distin-tos de f, como g, h. Por ejemplo, la función g(x) = 2x + 5.

A continuación, presentamos algunos conceptos importantes relacionados, que permitenampliar el concepto de función.

Producto cartesianoEl conjunto producto cartesiano de A y B se denota A x B, y está constituido por:

A x B = {(x,y) / x ∈A ∧ y ∈B}

Ejemplo:

Sean: A = {1,3,4}, B = {a,b}, entonces: A x B = {(1,a), (1,b), (3,a), (3,b), (4,a), (4,b)}

Definición: sean A, B conjuntos no vacíos. Un conjunto R se dice que es una relaciónde A en B si R es subconjunto de A x B. Es decir:

R ⊆ A x B ⇔ R es relación de A en B

• Si el par (x,y) pertenece a una relación R, se dice que x está en relación R con y.Se escribe x R y ; es decir:

(x,y) ∈R ⇔ x R y

Funciones

Definición: Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una relación f ⊆ A x B se dice quees una función de A en B, si y solo si:

(i) Dom f = A(ii) ∀ x ∈A, ∀ y ∈B (x f y ∧ x f z ⇒ y = z)

Por ejemplo:La relación f(x) = , donde x ≥ 0, no es una función, pues f (9) = 3 y f (9) = –3,es decir, x = 9 tiene dos imágenes diferentes, 3 y –3.

Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56).Santiago: Universidad de Santiago de Chile.


De refuerzo

1. Felipe compara las promociones de una pizza napolitana individual en difer-entes lugares.

a) ¿Cuánto costarán 3 pizzas en cada lugar?, ¿y 7 pizzas?b) ¿Cuál es la función que modela el precio de x pizzas para cada lugar?c) Si se quieren incluir 3 ingredientes adicionales, ¿cuánto costarán 5 pizzas en

cada lugar?, ¿dónde es más conveniente?d) ¿Cuál es la función que representa el precio con 3 ingredientes incluidos de

x pizzas para cada lugar?


± x





• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables depen-dientes e independientes en ellas [...], uso e interpretación de la notación de funciones.


Para discutir ActividadesÍtem 1: calcular y justificar. Ítem 1: identificar.Ítem 2: representar y formular.Ítem 3: representar y justificar.Ítem 4: analizar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los y las estudiantes analicen información presentada en unatabla y, luego, diferencien entre una variable independiente y dependiente de dichasituación, las que son representadas por medio de una función que relaciona la cantidad de empanadas y el precio. En esta actividad, asocian sus conocimientos pre-vios y los estudiados recientemente. La idea es que conecten lo aprendido con estosconceptos nuevos y que completar la tabla y analizarla contribuya a la comprensiónde los conceptos en cuestión.

Podría ayudar a sus estudiantes con más dificultad para identificar la función quemodela la situación, pidiéndoles que agreguen más filas a la tabla de la página 176y, luego, las completen. Para reforzar el concepto de función, podría preguntar:

• Si una persona gasta $ 19 550 en empanadas, ¿cuántas compró?, ¿cómo lo supiste?


• En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para identificar las varia-bles dependiente e independiente, pídales que escriban las funciones asociadas.Esto les permitirá reconocer las variables x e y.


Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importantetener en consideración lo siguiente:

• Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valordeterminado de x.Podría pedirles a sus estudiantes que evalúen algunas funciones en casos particu-lares. Puede escribir en la pizarra una función como f(x) = 2x + 2, y explicar que alevaluar la función en x = 3, resulta: f (3) = 2 • 3 + 2 = 6 + 2 = 8. Luego, f (3) = 8.

• En una función, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar elnúmero en la función.

• La preimagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtenerdicho número.


De refuerzo

1. Determina en cada función las variables dependiente e independiente.

a) Un número y su antecesor.b) El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos interiores.c) Un número y su triple.d) Los kilogramos de pan comprados diariamente y el valor total de la semana.

2. Eduardo compra x empanadas de pino y la misma cantidad de empanadas de queso.Las empanadas de pino tienen un costo de $ 860 cada una y las de queso $ 750.

¿Cuál es la función que permite determinar el precio final al comprar x empanadas depino y de queso?, ¿cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente en este caso?

(Habilidades que desarrolla: identificar, representar, formular y analizar).

De profundización

1. Determina en cada caso la función que modela la situación y, luego, identifica lasvariables dependiente e independiente.

a) El área total de un cubo y su arista.b) Un número y su inverso aditivo.c) El número de lados de un polígono regular y la cantidad de diagonales.d) La cantidad de kilogramos de pan y el total a pagar (a $ 760 el kg).e) La longitud del radio de una circunferencia y la longitud de la circunferencia.f) Un número y la suma de este con su sucesor.

(Habilidades que desarrolla: identificar, representar y formular).





• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas […], uso e interpretación de la notación de funciones.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:ActividadesÍtem 2: calcular, representar e identificar.Ítem 3: calcular, saber e identificar.Ítem 4: formular, identificar y representar.Ítem 5: identificar, representar, calcular y saber.Ítem 6: calcular, formular, identificar y representar.

Cantidad de bebidas 1 2 3 5 9 11

Costo ($)

Kilogramos de pan 8 24 30 32

Precio ($) 8160 20 400

En equipoAnalizar, representar e identificar.


• En el ítem 2, si es necesario, agregue valores adicionales a la tabla para que sea mássencillo graficar. Al finalizar esta actividad, pregunte a sus estudiantes: ¿cómo es elgráfico construido?, ¿qué forma tiene?, ¿qué sucedería con el gráfico si las en-tradas bajaran a mitad de precio?

• En el ítem 3, si tienen dificultades para determinar cuál es la variable dependientey cuál es la independiente, podría preguntarles: ¿de qué depende que el perímetrodel triángulo aumente o disminuya?Además, para continuar trabajando con este ejercicio, pregunte: ¿qué sucedecon la función que permite determinar el perímetro si la figura es un rectángulodonde el largo mide el doble del ancho?, ¿cuál será? Responde las preguntas by c para este caso.

• En el ítem 4, puede que sus estudiantes confundan la expresión que modela estasituación, pues a diferencia de la anterior, esta considera un valor fijo ($ 6800) quese suma al valor de los metros cuadrados pintados, es decir, la expresión algebraicaque representa el costo del trabajo completo al pintar x metros cuadrados pintadoses: f(x) = 5000x + 6800. Si es necesario, pídales que grafiquen la función en suscuadernos y, luego, la comparen con el gráfico del ítem 5.

• En el ítem 5, para determinar con mayor facilidad la expresión que modela estasituación, pídales que hagan una tabla similar a la del ítem 3, y que además com-paren este gráfico con el del ítem anterior. Esta es una buena instancia para referirse a las funciones lineal y afín.

• En el ítem 6, para completar, podría preguntarles qué técnica o estrategia utilizaron. Además, pídales que revisen con dos compañeros o compañeras sus resultadosobtenidos, pues de este modo pueden corregir errores si los tuvieran.

• En la actividad EN EQUIPO, supervice que todos dispongan de los materiales nece-sarios para trabajar. Si no cuentan con ellos, pueden dibujar, en sus cuadernos,los triángulos que se forman con los palitos de fósforo.

299 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales


De refuerzo

1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.

a) El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos exteriores.b) Un número y su mitad.c) La cantidad de boletos de bus comprados y su costo.d) Un número y su quinta parte.

2. En una botillería se venden a $ 1200 las bebidas desechables de 3 litros.

a) Completa la siguiente tabla.

b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?c) ¿Cuál es el precio de 9 litros?, ¿de 18 litros?, ¿y de 5 bebidas?d) ¿Cuál es la función que modela esta situación?e) ¿Cuántas botellas se pueden comprar con $ 8400?, ¿a cuántos litros corresponde?f) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, analizar, representar y formular).

De profundización

1. En una panadería se vende diariamente cierta cantidad de pan. Completa la siguientetabla que representa la relación entre los kilogramos de pan y su costo.

a) ¿Cuál es el precio de un kilogramo de pan?, ¿cómo lo supiste?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?d) ¿Cuántos kilogramos de pan se pueden comprar con $ 10 880?e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, analizar, calcular, representar y formular).





• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notaciónde funciones.


Para discutirÍtem 1: analizar, calcular y justificar.Ítem 2: representar y formular.Ítem 3: identificar y justificar.Ítem 4: analizar y justificar.

ActividadesÍtem 1: calcular, representar e identificar.Ítems 2 y 3: calcular, identificar, formular y representar.Ítem 4: analizar, identificar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIALLas preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, ytienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presentada enuna tabla, la que les permite comprender qué es el dominio y recorrido de una función.

Si sus alumnos y alumnas presentan dificultades para comprender estos conceptos,plantee otras funciones contextualizadas; por ejemplo: el valor de una bebida en lata es$ 600, la función que representa el valor (y) de una cierta cantidad de bebidas (x) es:

y = 600x, o bien f(x) = 600x, donde Dom (f) = �0 y Rec (f) = {600 • n / n ∈�0}.


• En el ítem 1, si es necesario, pídales a sus estudiantes que confeccionen una tablapara facilitar la identificación del dominio y recorrido de la función.

• En los ítems 2 y 3, es fundamental que hayan comprendido lo de las páginas ante-riores sobre funciones, pues se solicita determinar la función, identificar la variabledependiente y la independiente, además del dominio y recorrido. Al finalizar estasactividades, es conveniente que las revisen en conjunto para detectar y corregirposibles errores.

• En el ítem 4, si sus estudiantes tienen dificultades para responder, pídales quecomiencen por construir la tabla que representa la situación, pues al observar losvalores puede resultarles más sencillo analizar y responder las preguntas.


Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importantetener en consideración lo siguiente:

• En una función de A en B, cada elemento de A tiene una y solo una imagen enB. Por comprensión, lo anterior se escribe:

∀ x ∈A, ∃! y ∈B / f(x) = y

• Si f es una función de A en B, entonces f describe un proceso en donde los elementos de A se transforman en elementos del conjunto B. Luego, la expresiónf : A → B traduce dicha idea. Además, y = f(x) significa que y es el resultado de“procesar” al elemento x mediante la función f.

• Por definición de dominio de una función se tiene:

Dom (f) = {x ∈A / ∃ y ∈B : y = f(x)}

• Por definición de recorrido de una función se tiene:

Rec (f) = {y ∈B / ∃ x ∈A : y = f(x)}

Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56).Santiago: Universidad de Santiago de Chile.


De refuerzo

1. Una abuelita repartirá 120 caramelos entre los nietos que vayan a verla el sábadoa su casa. Todos recibirán la misma cantidad de caramelos.

a) Si la visitan tres de sus nietos, ¿cuántos caramelos les toca cada uno?b) Determina la expresión algebraica que modela esta situación.c) Determina el dominio y recorrido de esta función.

2. Roberto quiere repartir sus 150 cartas de mitos entre sus amigos presentes.Cuando las reparte, decide que todos recibirán la misma cantidad.

a) ¿Cuántas cartas les toca a cada uno si son 10 sus amigos presentes?b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, representar y formular).

De profundización

1. Observa la función que representa el área de un cuadrado dado su lado.

a) ¿Qué valor toma la variable y si la variable x es 3 cm?, ¿y si x es 7 cm?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a esta función?c) ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?

(Habilidades que desarrolla: interpretar, identificar, representar y formular).


Área (cm2)

Lado (cm)




• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables de-pendientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos consti-tuyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.


• Para realizar las actividades con sus estudiantes, es conveniente que realice todaslas actividades propuestas previamente. Además, es fundamental que identifiquelas funciones que se solicitan, pues no todas las representaciones gráficas sonuna recta. Por ejemplo, la primera función es f(x) = 2x, donde x ∈�, la segundaes g(x) = x2, donde x ∈�; y la tercera función es p(x) = 40x, donde x ∈�.

• Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnosy alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuday orientación.

• Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten losresultados obtenidos para hacer una puesta en común.


De refuerzo

1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICASen tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cadauno de tus pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar yrepresentar).

De profundización

1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar el problema 2 de la página 181, indicandocada uno de los pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).


Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.


Mi progresoÍtem 1: analizar, representar y formular.Ítem 2: analizar y distinguir.Ítem 3: analizar, calcular, identificar, representar y justificar.Ítem 4: analizar y formular.


• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta, loque dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es conve-niente que les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hayerrores en el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos.

• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar la función correcta,pídales que reconozcan primero las variables dependiente e independiente.

• En el ítem 2 es importante que les solicite que justifiquen aquellas afirmaciones queconsideran incorrectas; es decir, mencionar por qué cierta afirmación es falsa.

• En el ítem 3, cada pregunta está orientada a recordar y aplicar lo aprendido hastaahora, es por ello que debe monitorear las soluciones obtenidas, pues podrá de-tectar a aquellos alumnos y alumnas que tienen más dificultades. Se sugiere querevisen en la pizarra el desarrollo de las preguntas.

• En el ítem 4, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para reconocer la funciónque representa la situación, pídales que sigan completando la tabla, a fin de reco-nocer la regularidad.




3

Responde correctamente cada una delas preguntas, justificando sus pasos.

Responde correctamente cada unade las preguntas sin justificar todossus pasos.

Responde erróneamente una o dospreguntas; no justifica todos sus pasos.

Responde erróneamente más de dospreguntas; no justifica sus pasos.

4

Formula correctamente la función asociada de forma mental.

Formula correctamente la funciónasociada, recurriendo a la visualización de algún diagramapara obtenerla.

Identifica el comportamiento de la función, pero no identifica la expresiónalgebraica asociada.

No identifica el comportamiento de la función ni la expresión algebraica asociada.


Revista Precio unitario ($) Valor por ficha adicional ($)

A 2890 1000

B 3690 900

C 4790 500

Revista 4 5 6

A

B

C

3. Observa el siguiente gráfico, completa la tabla y responde.

a) ¿Qué expresión algebraica representan el gráfico y la tabla anteriores?

b) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido?

c) Si x = 4, ¿cuál es el valor de y?

4. En un kiosco se venden diferentes revistas de “ciencias”, las que traen diversasfichas anexas.

a) Completa la siguiente tabla con los valores que se pagarían por cada revista,según si traen 4, 5 ó 6 fichas.

b) ¿Qué revista conviene (por precio) si se compran 4, 5 ó 6 fichas?c) ¿Qué funciones representan el precio de cada revista si se compran x fichas?



De refuerzo

1. Claudio recorre en su bicicleta un tramo de 45 km, desde su casa al parque, a unavelocidad promedio de 10 km/h.

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detieneen ningún momento?, ¿por qué?

b) Después de 3 horas, ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detieney mantiene el ritmo?, ¿alcanza a llegar al parque?

c) ¿Qué expresión algebraica representa la distancia recorrida (y) por hora (x) transcurrida?

d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué?

e) Si Claudio recorrió 62,5 km sin realizar detenciones y a velocidad constante,¿cuánto tiempo tardó?

f) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.

g) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

2. Una persona, en promedio, quema 130 calorías por bailar durante media hora (sin parar).

a) Completa la tabla.

b) ¿Cuántas calorías quema si baila una hora y media?, ¿y dos horas con quince minutos?

c) ¿Cuál es la función que permite calcular la cantidad de calorías quemadas por hora?

d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué?

e) Si una persona quema 325 calorías bailando, ¿cuántos minutos bailó?


Minutos Calorías quemadas

30

60

90

120

150

180

x y = f(x)

1

2

2,5

3

3,5

4

Revista 4 5 6A 6890 7890 8890B 7290 8190 9090C 6790 7290 7790

Minutos Calorías quemadas30 130

60 260

90 390

120 520

150 650

180 780



De refuerzo

1. a) 4 h 30 minb) 30 kmc) y = 10xd) Variable independiente: horas; variable dependiente: distancia recorrida.e) 6 h 15 minf) El Dom (f) son los números positivos (�+) y el Rec (f) son los números positivos (�+).

2. a)

3. a) f(x) = xb) El Dom (f) son todos los números positivos y negativos, incluido el cero (�), y el

Rec (f) = �.c) y = 4

4. a)

De profundización

1. a) $ 13 500, x =

N° de blusas Precio ($)

1 5400

2

3

4

7

9

11

N° de blusas Precio ($)1 5400

2 10 800

3 16 200

4 21 600

7 37 800

9 48 600

11 59 400

b) 390 calorías y 585 calorías,respectivamente.

c) f(x) = 260x

d) Variable independiente: horas;variable dependiente: caloríasquemadas.

e) 1 h 15 min

5400 • 10040

2. a) 13

b) Variable independiente: cantidad de pollos; variable dependiente: dinero recaudado.

c) Dom (f) = �0 y

Rec (f) = {3790 • n / n ∈ �0}.

b) La revista C.c) A: f(x) = 2890 + 1000x

B: g(x) = 3690 + 900xC: p(x) = 4790 + 500x

b)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

55 000

50 000

45 000

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

Precio ($)

Cantidad de blusas

De profundización

1. Andrea compra una blusa en $ 5400, la que estaba rebajada en 60%.

a) ¿Cuánto costaba la blusa inicialmente?, ¿cuál es la ecuación que permite en-contrar la solución?

b) Completa la siguiente tabla y el gráfico que relaciona la cantidad de blusas, condescuento incluido, con el gasto asociado.

2. La función y = 3790x representa el dinero que se recauda en un día, según lacantidad de pollos asados vendidos en un local de comida rápida.

a) Si un día contabilizaron $ 49 270, ¿cuántos pollos asados vendieron?b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?c) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.d) Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función.




• […] Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argu-mentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relaciónde proporcionalidad como modelo matemático.


Para discutirÍtem 1: calcular.Ítem 2: identificar y justificar.Ítem 3: analizar y justificar.

Días del mesde diciembre 14 15 16 17 18 19 20 21

Juguetes vendidos 8

ActividadesÍtem 1: usar herramientas, analizar e identificar.Ítem 2: analizar, calcular y justificar.Ítem 3: identificar, analizar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter explorato-rio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de la vidadiaria en la que una de las fotografías está distorsionada con respecto a la original.Esto permite relacionar directamente la Matemática con actividades que realizamoshabitualmente y que muchas veces pasamos por alto.

Esta instancia es propicia para que comente sobre los dibujos a escala, que repre-sentan la realidad en un mapa o plano, es decir, relaciona las dimensiones reales ylas del dibujo; por ejemplo, la escala 1 : 5000 significa que 1 cm del plano equivalea 50 m en la realidad, pues el primer término (antecedente) indica el valor del plano,mientras que el segundo término (consecuente) señala el valor de la realidad.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMAS

• En el ítem 1, solicíteles a sus estudiantes que midan con regla y anoten las medidasrespectivas al lado del largo o ancho, según corresponda. Además, para determinarsi son proporcionales, monitoree que calculen el valor de la razón que corresponde,sin invertir los valores.

• En los ítems 2 y 3, pídales que justifiquen su decisión con ejemplos concretos.Mencione que para refutar una idea o afirmación, basta con dar un contraejemplo,mostrando que si no se cumple en uno de los casos, la afirmación no es cierta. Delo contrario, se debe probar si son verdaderas.


Es conveniente recordar y profundizar respecto de los conceptos de razón y proporción:• Se llama razón a la comparación por cociente entre dos cantidades a y b cualesquiera.

Una razón se puede expresar como:

a : b, o , ∀ a, b ∈�, b ≠ 0

Se lee “a es a b”.Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón. Así:

= k, k ∈� donde k es el valor de la razón.

• Se llama proporción a la igualdad entre dos razones. Dada una proporción

a : b = c : d, o bien = , donde a, b, c, d ∈� y b ≠ 0, d ≠ 0.

Se lee “a es a b como c es a d”.

cd

ab

ab

ab

• Los términos a y d se denominan téminos extremos, y c y d, términos medios.• Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de

los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir:

= ⇔ a • d = b • c, con b ≠ 0, d ≠ 0

Demostración:

Sean a, b, c, d ∈� y b ≠ 0, d ≠ 0, y tenemos que = .

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por “bd”, es decir:

= / • bd

a • d = c • b

∴ a • d = c • b ∀ a, b, c, d ∈� y b ≠ 0, d ≠ 0


De refuerzo

1. Don Manuel es un comerciante y vende juguetes en temporada de Navidad.Desde el 15 de diciembre, sus ventas aumentan en 4 juguetes más por cada día transcurrido, es decir, si un día normal vende 20, al otro, 24 y al siguiente, 28, etcétera.

a) Completa la siguiente tabla y responde:

¿Los días del mes de diciembre y los juguetes vendidos son proporcionales amedida que transcurren los días?, ¿por qué?

b) ¿Cuánto vendió el día 22 de diciembre?c) ¿Cuántos vendió en total hasta el 24 de diciembre?

(Habilidades que desarrolla: analizar, justificar, representar y calcular).

cd

ab

cd

ab

cd

ab


• bd = • bd / simplificandocd

ab




• Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de propor-cionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. […].



Para discutirÍtem 1: calcular.Ítem 2: representar.Ítem 3: identificar.Ítem 4: calcular y analizar.

x y

12 15

24 30

60 75

144 180

x y

5 6

10 14

55 65

500 600

x y

8 20

16 40

32 80

80 200

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entornoque se relaciona con actividades cotidianas. Además, sus conocimientos y experienciasprevias les facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucra-dos y de los modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas,como el que se les presenta en esta página.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué?• ¿Qué sucede si el boleto aumenta en $ 20?, ¿cómo representarías la función en

este caso?• ¿Qué ocurre ahora con la razón entre el total que se debe pagar y la cantidad de

boletos vendidos?


• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variablesse relacionan de manera directamente proporcional, pídales que les asignen valo-res en cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razónentre ellos es constante. Por ejemplo, para la actividad f, “la longitud del lado deun triángulo equilátero y su perímetro”, podemos darles los siguientes valores:

Comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es cons-

tante � = = = 3�. Por lo tanto, sí se relacionan de manera directamente

proporcional.


Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación deproporcionalidad directa:

Dadas dos variables, x e y, directamente proporcionales, con constante de propor-cionalidad k, se tiene que su gráfica está dada por y = k • x, es decir, el gráfico esuna línea recta que pasa por el origen.

3010

124

62

Ejemplo:

Un niño da un paseo en bicicleta a velocidad constante y, así, recorre8 kilómetros en una hora.

En este caso la constante de proporcionalidad es 8; por lo tanto, la gráfica que representa estasituación está dada por y = 8x.


De refuerzo

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente propor-cional. Justifica tu respuesta.

a) Lo que lee diariamente Carlos de un libro y lo que le falta para terminarlo.

b) El tiempo de encendido de un televisor y la energía que gasta.

c) La cantidad de harina que se necesita para hacer un número determinado de panes.

d) El total de artículos vendidos en una tienda y las ganancias adquiridas.


De profundización

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional.Determina la constante de proporcionalidad directa en los casos que lo sean.

a) b) c)

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar).


Longitud del lado (cm) Perímetro (cm)

2 6

4 12

10 30







ActividadesÍtems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar y justificar.Ítem 4: analizar, interpretar, calcular, identificar, formular y justificar.En equipoConectar y calcular.

Sobre de jugo 1 3 5 12 14 15

Gramos de azúcar

De profundización

1. Una empresa de turismo aventura formó dos grupos por edades (A: niños,B: adultos) para efectuar un paseo. Para el grupo A, se asignan 2 kg de alimentopor persona; y para el grupo B, se asignan 3 kg de alimento por persona.

a) Grafica los kilogramos de alimento de los dos grupos de turistas, A y B, segúnel número de personas.

a) ¿Cuántos kilogramos de alimento en total se necesitan para 25 personas delgrupo A y 12 del grupo B?

b) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el grupo A?, ¿y para elgrupo B?

c) ¿Cuántos turistas del grupo A necesitan 80 kilos?, ¿cómo lo supiste?

d) ¿Cuál es la función que representa los kilogramos de alimento del grupo A?,¿y del grupo B?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).


• En el ítem 2, para facilitar el desarrollo de la actividad, es conveniente que sus es-tudiantes comiencen por llenar la tabla, para luego responder las preguntas. Unavez identificada la expresión algebraica que modela la situación, es aconsejableque hagan el gráfico.

• En el ítem 3, si tienen dificultades para responder, pídales que le agreguen más valo-res a la tabla para que observen el comportamiento de la función más ampliamente.

• En el ítem 4, es importante que analicen la información entregada en la repre-sentación gráfica para completar la tabla correctamente, lo que facilitará la obtenciónde las respuestas a las preguntas planteadas sin mayores dificultadades ni errores.x

• En la actividad EN EQUIPO es necesario que sus estudiantes cuenten con un com-putador con conexión a Internet para encontrar la información requerida.


De refuerzo

1. En cada sobre de jugo en polvo de una marca cualquiera hay 5 gramos de azúcar.Completa la siguiente tabla y responde:

a) ¿Cuál es la razón entre los gramos de azúcar y los sobres de jugo?, ¿cuál es elvalor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

c) ¿Cuántos gramos de azúcar tendrán 20 sobres?, ¿y 45 sobres?

d) Completa el gráfico de esta función.

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular).


70

60

50

40

30

20

10

2 4 6 8 10 12 14 16

Gramos de azúcar

Sobres de jugo

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

kg de alimento

Número de personas







Actividades Para discutirÍtem 1: calcular. Ítem 1: analizar, identificar y justificar.Ítem 2: analizar y calcular.Ítem 3: representar e identificar.

x y

1 2

4 8

12 24

20 40

x y

1 36

2 18

4 9

30 120

x y

4 5

8 12

10 20

15 16

ACTIVIDAD INICIAL

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio,y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entornoque se relaciona con su diario vivir. Además, sus conocimientos y experiencias previasles facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucrados y delos modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas como elque se les presenta en esta página.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué?

• ¿Qué sucede con la cantidad de días que tardan si el número de obreros es 40?,¿y si es 60?


• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variablesse relacionan de manera inversamente proporcional, pídales que les asignen valoresen cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razón entreellos es constante. Por ejemplo, la actividad k) “la rapidez con la que se recorre uncamino y el tiempo en que se recorre” podemos darles los siguientes valores, con-siderando que se recorre a rapidez constante una distancia de 450 km:

Así comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es cons-tante (50 • 90 = 90 • 5 = 150 • 3 = 450). Por lo tanto, sí se relacionan de manerainversamente proporcional.


Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación deproporcionalidad inversa:

Dadas dos variables, x e y, inversamente proporcionales con constante de propor-

cionalidad k, su gráfica está dada por la expresión y = o x • y = k; es decir, el

gráfico es una curva llamada hipérbola.

kx


Rapidez (km/h) Tiempo (horas)

50 9

90 5

150 3

Ejemplo:

En una fábrica de alimentos envasados se embala una producción mensual (que es constante) de aceitunas en 3000 cajas que pueden contener 24 latas cada una.

Se quiere variar el tamaño de las cajas para que su capacidad sea de: 8 latas,12 latas, 48 latas y 72 latas.

Como las variables se relacionan de manera inversamente proporcional, la cons-

tante de proporcionalidad se obtiene por el producto de sus variables, que es

72 000. Luego, la gráfica está dada por la función y = .


De refuerzo

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente propor-cional. Justifica tu respuesta.

a) La cantidad de lados de un polígono y la medida de sus ángulos interiores.b) El número de albañiles y el tiempo que demoran en terminar una obra.c) Los litros de bencina en el estanque de un automóvil y los kilómetros recorridos.d) La rapidez con que Carolina camina a su colegio y el tiempo que demora.


De profundización

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente proporcional.Determina la constante de proporcionalidad inversa en los casos que lo sean.

a) b) c)

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar).

72 000x







ActividadesÍtems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar, formular y justificar.Ítems 4 y 5: analizar, identificar, calcular y formular.

x y

1

2 18

12

4

x y

1

2 60

3

20

x y

2

24

18

6 12

x y

9

12 30

15

20

x y

90

3 60

12

18Número de obreros 1 2 3 4 12

Tiempo que demoran (horas)


• En el ítem 2, es conveniente completar la tabla previamente para identificar la fun-ción, pues una vez planteada, es más sencillo construir el gráfico.

• En el ítem 3, si sus estudiantes tienen dificultades para completar las tablas, per-mítales trabajar con otro compañero o compañera, ya que así pueden discutir eintercambiar ideas. Al finalizar esta actividad, pregunte por los resultadosobtenidos y guíelos para que lleguen a una puesta en común.

• En el ítem 4, es conveniente recordar y comparar las relaciones de proporcionalidaddirecta e inversa; por ejemplo, identificar cómo se relacionan las variables en cadacaso al aumentar o disminuir, y, también, analizar la constante de proporcionalidad.

• En el ítem 5, es conveniente promover la lectura de los problemas planteados y crearun clima de concentración y discusión constructivo. Además, pídales que anoten ensus cuadernos la estrategia de solución. De este modo, al revisarlas en la pizarrapueden analizarlas y mostrarlas al resto del curso.


De refuerzo

1. Seis obreros cavan en dos horas una zanja. Completa la siguiente tabla y responde:

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?c) ¿Cuánto tiempo demoran tres obreros trabajando en las mismas condiciones?,

¿y nueve obreros?d) Completa el gráfico de esta función.

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular).

De profundización

1. En una empresa de agua mineral se envasan 200 litros diariamente. Para ellodisponen de botellas con capacidad de medio litro, un litro, dos litros y 2,5 litros.

a) ¿Cuántas botellas de medio litro se necesitarían al día?, ¿y de 2,5 litros?

b) ¿Cuál es la variable dependiente (y)?, ¿y la independiente (x)?, ¿por qué?

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste?

d) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

e) Construye una tabla con los datos dados.

f) Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función.

2. Las siguientes tablas muestran valores de x e y, que representan relaciones deproporcionalidad inversa. Determina los valores desconocidos de cada tabla.

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, identificar, representar y formular).


12

10

8

6

4

2

02 4 6 8 10 12

Tiempo (horas)

Número de obreros




• Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionalescomo no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.


Herramientas tecnológicasUsar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.


• Para efectuar la actividad con sus estudiantes, es conveniente que realicen todoslos ejercicios propuestos previamente. Además, es fundamental que identifiquenlas funciones que se solicitan, pues son de proporcionalidad directa e inversa. Porejemplo, la primera función es f(x) = 3x, donde Dom(f) = �, la segunda es

g(x) = x + 1, donde Dom(g) = �; y la tercera es p(x) = , donde

Dom(p) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

• Es importante que les indique a sus estudiantes que las funciones que aparecenen los ítems a y b se deben graficar usando la planilla de cálculo y siguiendo lospasos señalados en el Texto.

• Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnosy alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuday orientación.

• Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten losresultados obtenidos para hacer una puesta en común.


De refuerzo

1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICASen tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cadauno de tus pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar y representar).

De profundización

1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar los problemas del ítem 5 de la página 191.Indica cada uno de los pasos.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).

12x




Mi progresoÍtem 1: analizar e identificar.Ítem 2: distinguir y calcular.Ítem 3: analizar e identificar.Ítem 4: analizar, representar, formular y calcular.


• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes identifiquen de manera incorrecta laafirmación que es falsa. Por ello, se recomienda analizar comprensivamente dichasafirmaciones utilizando, si es necesario, casos particulares.

• En el ítem 2, es posible que los y las estudiantes expresen la solución en horas y minu-tos, sin convertir la parte decimal a minutos. Por ello es conveniente recordar la conver-sión de horas a minutos, y viceversa. Por ejemplo, si el resultado es 3,6 horas, podemosmultiplicar 0,6 • 60 = 36. Entonces, el resultado se puede escribir como 3 h y 36 min.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de propor-cionalidad. Por ello, si es necesario, recuérdeles las relaciones de proporcionalidadestudiadas en esta Unidad.

• En el ítem 4, se sugiere que guíe a sus estudiantes para que lean y analicen cada pre-gunta de forma individual. Además, pídales que anoten las soluciones y los gráficosen sus cuadernos, pues si cometen errores, es más fácil detectarlos y corregirlos.




4Representa, formula y calcula correcta-mente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

Representa, formula y calcula correc-tamente cada una de las preguntassin justificar todos sus pasos.

Representa, formula y calcula errónea-mente una de las preguntas y no justificatodos sus pasos.

Representa, formula y calcula errónea-mente dos o tres preguntas y no justificasus pasos.


Situaciones¿Es proporcional?

¿Por qué?La edad y la altura de las personas.

La cantidad de horas extras trabajadas y el pago de ellas.

La cantidad de llaves abiertas y el tiempo que demora en llenarse un estanque.

La cantidad de naranjas y su peso.

Los metros cuadrados de una sala y la altura de los muros.

La cantidad de litros de bencina y su precio.

La cantidad de dólares y su equivalente enmoneda nacional.

La altura de una persona y la sombra que proyecta a unadeterminada hora.

La estatura y el peso de las personas.

La cantidad de CD de un cantante y el precio de ellos.

La velocidad de un vehículo y el tiempo que demora en recorrer una distancia.

b) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =

c) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =

d) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =



De refuerzo

1. Completa cada una de las situaciones según si corresponden o no a una relación proporcional.

2. Completa las tablas que representan funciones de proporcionalidad directa o in-versa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) dondecorresponda. Luego, escribe la función que modele los datos de la tabla y construyeel gráfico que representa dicha tabla.

a) Relación de proporcionalidad .

k = f(x) =


x y

2 12

18

6 36

9

x y

4 36

24

12 12

16

Y

X

Y

X

x y

5 20

28

8 32

12

Y

X

x y

42

2 21

3 14

7

Y

X

Nº de páginas 50 60 75 100

Nº de líneas por páginas 60 50 40 30

x y

2 12

3 18

6 36

9 54

x y

4 36

6 24

12 12

16 9

x y

5 20

7 28

8 32

12 48

Nº de páginas 50 60 75 100

Nº de líneas por páginas



De refuerzo

1.

2. a) Relación de proporcionalidaddirecta.

k = 6f(x) = 6x

b) Relación de proporcionalidad inversa.

k = 144

f(x) =

De profundización

1.

a) k = 3000

b) f(x) = , el dominio y recorrido de la función son todos los números

c) 40 páginas.

3000x

144x

20 40 60 80 100 120 140

No Sí Sí Sí No Sí Sí Sí No Sí Sí

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Nº de líneas por página

Nº de páginas

c) Relación de proporcionalidaddirecta.

k = 4f(x) = 4x

d) Relación de proporcionalidadinversa.

k = 42

f(x) = 42x

naturales divisores de 3000.

x y

1 42

2 21

3 14

6 7

De profundización

1. Un libro tiene 75 páginas de 40 líneas cada una. Se quiere hacer una nueva edicióndel libro, con otra cantidad de páginas. Para ello se realizó el siguiente análisis:

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?

c) ¿Cuántas páginas tendrá un libro con 75 líneas por página?

d) Completa el gráfico de esta función.






Buscando estrategiasÍtem 1: analizar, identificar, formular, aplicar y calcular.Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, formular y calcular.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin em-bargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alum-nos y alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquennuevas maneras de resolución.


Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser re-suelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto es solo una manerade dar solución a las preguntas planteadas. Otro modo de abordar el problema po-dría ser planteando la función:

f(x) = 5000 – 100(x – 1). Luego aplicamos la propiedad distributiva, obteniendo:

f(x) = 5000 – 100(x – 1) / propiedad distributivaf(x) = 5000 – 100x + 100 / sumando se obtienef(x) = 5100 – 100x

Entonces, evaluamos la función f(x) = 5100 – 100x, en x = 20. Esto es:f (20) = 5100 – 100 • 20 = 5100 – 2000 = 3100.Finalmente, se obtiene el mismo resultado para la vigésima caja ($ 3100).


De refuerzo

1. En una tienda de mascotas se venden alimentos al por menor y al por mayor.Hasta 3 paquetes se venden al por menor, y si se compran más, al por mayor, con una rebaja de acuerdo al producto. Si el alimento para perros tiene un costode $ 2500 y al por mayor el primero cuesta $ 2400; el segundo, $ 50 menos queel anterior; el tercero, $ 50 menos que el anterior, y así sucesivamente, con unlímite de 20 paquetes:

a) ¿Cuánto paga Leticia por el último paquete si compra 20?

b) ¿Cuánto paga Fernanda en total si compra 7 paquetes?

(Habilidades que desarrolla: aplicar, verificar y calcular).

De profundización

1. Inventen un problema que involucre a uno o más de los contenidos de la Unidad.Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estra-tegias para la resolución de problemas que conozcan u otra.

(Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).




• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema.


• Copia el problema.

• Identifica palabras clave.

• Puede que interprete mal parte del problema.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema.

• Entiende mal el problema.

• Como rutina pide explicaciones.



• Conecta cómo y por qué.

• Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas.

• Hace y explica conexiones.

• Realiza lo pedido y va más allá.






• No puede explicar el concepto.

• No intenta resolver el problema.

• No hace conexiones.




• Revisa cálculos y procedimientos.

• Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos.• No reconoce si su respuesta es o no

razonable.







ConexionesConectar, analizar, formular y aplicar.


INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito relacionar las funcionescon una enfermedad muy común por estos días, el tabaquismo, pues afecta a una granparte de la población, produciendo graves enfermedades.

El tabaquismo es el cuarto factor de riesgo más importante en el mundo. Chile pre-senta uno de los índices de consumo más altos de Latinoamérica, con un promedio de1150 cigarrillos anuales por cada adulto del país. Los estudios de CONACE muestranque el 43% de la población chilena de 12 a 64 años es fumadora, siendo mayor laprevalencia en este grupo etario en los hombres (47,8%) que en las mujeres (39,6%),a diferencia del grupo de escolares entre 8° Básico y 4° Medio, donde las mujeres su-peran a los hombres (45% versus 38,7%). Es necesario recordar que el tabaco es unadroga de inicio y suele ser la puerta de entrada al consumo de otras drogas. Eltabaquismo es una enfermedad crónica, y constituye uno de los problemas de saludque se presentan con mayor frecuencia en la Atención Primaria.

Información relevante sobre el consumo de tabaco y cómo este afecta nuestra saludpuede encontrar en el sitio web: www.redsalud.gov.cl/portal/url/page/minsalcl/g_proteccion/g_tabaco/prev_tabaco.html


De refuerzo

1. En relación con el tabaquismo y cómo esta enfermedad afecta nuestra salud:

a) ¿Qué enfermedades están asociadas a su consumo?, ¿cómo se pueden prevenir?b) Comenta con tus compañeros o compañeras. ¿Qué actividades o programas

implementarían para evitarlo?c) ¿Existen programas y acciones para proteger a la población de la exposición

al humo de tabaco?, ¿cuáles?



Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alum-nas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estu-diantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.


La lectura comprensiva es otra técnica de estudio que les puede enseñar a sus alumnosy alumnas. Para hacer una lectura eficiente es importante:

• Leer por frases y no palabra a palabra.• Distinguir los párrafos importantes, pues no todo lo que leemos tiene la

misma trascendencia.• Colocar mayor atención en los puntos más relevantes.• Subrayar las ideas principales de un párrafo. Para diferenciar niveles de impor-

tancia o temas se pueden utilizar lápices de distintos colores.• Si al leer hay un párrafo que no se entiende, no continuar, hasta comprenderlo.• Es necesario aumentar la velocidad de lectura, sin dejar de lado la comprensión.• Variar la forma de leer: voz alta, en silencio, sentado, de pie, etc. De esta manera

el estudio no será tan aburrido.


De refuerzo

1. Piensa y responde.

a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar funciones proporcionales?,¿y no proporcionales?

b) ¿Qué aprendiste sobre funciones en esta Unidad?, ¿y sobre las relaciones deproporcionalidad directa e inversa?

c) ¿Cómo determinas el dominio de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué?d) ¿Cómo determinas el recorrido de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué?e) ¿En qué se diferencian las relaciones de proporcionalidad directa e inversa?f) ¿En qué se diferencian los gráficos de una relación directamente proporcional

de los de una inversamente proporcional? Da un ejemplo de cada una.g) ¿Qué caracteriza a las variables dependientes?, ¿y a las independientes?h) ¿Has escuchado hablar de funciones distintas a las estudiadas en esta

Unidad?, ¿cuáles?

(Habilidades que desarrolla: recordar, conectar y justificar).





¿Qué aprendí?Ítems 1 y 2: analizar y formular.Ítems 2 y 5: analizar y distinguir.Ítems 3 y 8: calcular.

Ítems 4 y 6: analizar e identificar.Ítems 9 y 10: calcular, analizar, representar y formular.


En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉAPRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido losalumnos y alumnas en la Unidad de Funciones y relaciones proporcionales, y con estainformación, seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar uncontenido o realizar una actividad adicional para que aprendan los contenidos de estaUnidad.




• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los alumnos y alum-nas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que come-ten, que pueden ser por falta de conocimiento o por equivocación al marcar laalternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selecciónmúltiple se sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, yaque así podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar losaprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla alaplicar equivocadamente procedimientos de proporcionalidad inversa. Es impres-cindible que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidad (k = 5),la que les permitirá determinar la función que representa la situación (y = 5x), y quecompleten la tabla. Con esta información, podrán construir el gráfico.

• En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspon-diente a una proporcionalidad inversa, o bien no interpreten correctamente la información que en él aparece, lo que les llevará a determinar erróneamente laconstante de proporcionalidad (k = 120) y la expresión algebraica que modela

necesario, construir una tabla que permita analizar la información mediante otroregistro para facilitar la solución del ítem.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzaro profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles lasactividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obten-gan en la evaluación sumativa, según los ritmos de aprendizaje de cada uno desus estudiantes.




9Calcula, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

Calcula, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Calcula, formula y representa erróneamente una de las preguntas,sin justificar todos sus pasos.

Calcula, formula y representa erróneamente dos o más preguntas,sin justificar sus pasos.

10

Analiza, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas,justificando cada uno de sus pasos.

Analiza, formula y representa correcta-mente cada una de las preguntas, sinjustificar todos sus pasos.

Analiza, formula y representa erróneamente una de las preguntas,sin justificar todos sus pasos.

Analiza, conecta, formula y representaerróneamente todas las preguntas,confundiendo la proporcionalidad querepresenta el gráfico y con ello la fun-ción asociada, la constante de propor-cionalidad y la expresión algebraica.

esta situación (y = ). Es por ello que se recomienda analizar el gráfico y, si es 120x

Cacao (kg) 20 30 60 90 130 150

Chocolate (kg)

Número de personas 2 3 6 8 12 18

Días

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8326 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8


De refuerzo


1. Una modista confecciona 6 blusas en 8 horas. ¿Cuántas horas tardará en con-feccionar 24 blusas?

A. 144 B. 32 C. 4 D. 3

2 Cinco llaves llenan un estanque en 4 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenarían 8 llaves?

A. 2 h y 30 min. C. 2 h y 50 min.B. 2 h y 5 min. D. 25 horas.

3. La sombra de una persona que mide 1,60 m es de 40 cm a una hora determinada.¿De cuánto será la sombra a la misma hora de una persona que mide 1,80 m?

A. 45 cm B. 50 cm C. 35 cm D. 60 cm

4. Alejandra necesita comprar 15 metros de elástico. En la tienda venden a $ 400los 6 metros. ¿Cuánto deberá pagar por los 15 metros de elástico?

A. $ 1600 B. $ 500 C. $ 800 D. $ 1000

5. Para terminar una ampliación en 15 días, se necesitan 4 obreros. Si solo se puedencontratar a 3 obreros, ¿cuántos días se demorarán?

A. 10 B. 11 C. 20 D. 12

6. En una relación de proporcionalidad inversa:

A. el gráfico es siempre una línea recta.B. el cociente entre las variables no es constante.C. se puede representar como una función de la forma y = , donde k es la

constante de proporcionalidad.D. si una de las variables aumenta, la otra aumenta en un mismo factor; y si una

de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor.

7. En un plano aparece la plaza de la ciudad, con un largo de 16 cm y un ancho de10 cm; en la realidad la plaza mide 120 m de largo. ¿cuál sería el ancho?

A. 192 m B. 384 m C. 150 m D. 75 m

kx

8. En una tienda de artículos de oficina, el precio de un archivador es de $ 1200. La función que relaciona la cantidad de archivadores y su costo es:

A. y = 1200 + x C. y =

B. y = 1200 – x D. y = 1200x

9. En una excursión, las provisiones para 12 personas durarán 6 días. Si la cantidad depersonas varía y la cantidad de alimentos es la misma, completa la tabla y responde.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste?b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Para cuántos días alcanza la provisión si son 9 personas?, ¿ y 24?e) Construye el gráfico de esta función.

10. Para fabricar 30 kg de chocolate se necesitan 10 kg de cacao. Completa la tablay responde.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste?b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Cuánto chocolate tendré con 70 kg de cacao? ¿y con 110?e) Construye el gráfico de esta función.

De profundización


1. Si x e y son variables directamente proporcionales, entonces podemos afirmar que:

A. la constante de proporcionalidad es k = .

B. la constante de proporcionalidad es k = xy.

C. la constante de proporcionalidad cambia según los valores de las variables.

D. es siempre un valor entero positivo.

yx

1200x

Cantidad de zapatos 3 5 8 13 19

Precio ($) 37 680

x y

3,5

6 7

5. Si x e y son variables inversamente proporcionales, entonces el valor que falta enla tabla es:

A. 6B. 24C. 12D. 4

6. El dominio de una función corresponde a:

A. todos los valores que puede tomar la variable independiente.

B. todos los valores que toman las variables dependientes o independientes,según corresponda.

C. todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

D. todos los valores que toman las variables.

7. Observa la siguiente tabla, complétala y responde.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

b) ¿Cuál es la función que representa a esta situación?

c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?

d) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y su recorrido?

e) Construye el gráfico que representa a esta función.

8. Los valores de x e y de la tabla son inversamente proporcionales. Completa latabla con los datos que faltan y responde.


b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

c) ¿Cuál es el valor de y si x = 4?, ¿y si x = 18?

d) Construye el gráfico que representa a esta función.


2. Dado el siguiente gráfico podemos afirmar que:

I. Representa una relación de proporcionalidad inversa.II. Mientras más llaves estén abiertas más tiempo tarda en llenarse el estanque.III.Se puede representar como y = 12x.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I y III

3. ¿Cuál de las siguientes situaciones representa a la función f(x) = ?

A. En un kiosco cada lápiz cuesta $ 140.B. Una piscina con veinte llaves se llena en 7 horas.C. En un almacén, cada paquete de papas fritas cuesta $ 140.D. Un ciclista recorre 140 m a 40 km/hr.

4. La sombra de un edificio que mide “a” metros es de “b” metros a una hora deter-minada. ¿De cuántos metros será la sombra de un poste que mide “c” metros a lamisma hora?

A.

B. abc

C.

D. Ninguna de las anteriores.

bac

140x

bca


x 2 6 9

y 72 36 27

x 2 3 6 8 9

y 108 72 36 27 24

Número de personas 2 3 6 8 12 18

Días 36 24 12 9 6 4


De profundización

1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. A

7.

a) k = 12 560

b) y = 12 560x

c) Variable independiente: cantidad de zapatos. Variable dependiente: precio.

d) Dom (f) = �0, Rec (f) = {12 560 • n / n ∈�0}.

8.

a) k = 216

b) f(x) =

c) 54 y 12, respectivamente.

216x


De refuerzo

1. B 2. A 3. A 4. D 5. C 6. C 7. D 8. D

9.

a) k = 72

b) Variable independiente: Nº de personas. Variable dependiente: Días.

c) f(x) =

d) 8 y 3 personas, respectivamente.

10.

a) k = 3

b) Variable independiente: kg de cacao. Variable dependiente: kg de chocolate.

c) y = 3x

d) 210 kg y 330 kg, respectivamente.

72x

Cantidad de zapatos 3 5 8 13 19

Precio ($) 37 680 62 800 100 480 163 280 238 640

Cacao (kg) 20 30 60 90 130 150

Chocolate (kg) 60 90 180 270 390 450


ICalcular, analizar, reconocer,identificar y formular


IIAnalizar, calcular, formular y representar

10 puntoscada una

30 puntos



II

Analiza, calcula, formula y representacorrectamente cada una de las preguntas, justificando cada uno desus pasos.

Analiza, calcula, formula y representacorrectamente cada una de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Analiza, calcula, formula y representaerróneamente cuatro o menos de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Analiza, conecta, formula y representaerróneamente más de cuatro preguntas y no justifica sus pasos.

EVALUACIÓN FINAL

En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizarcomo evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son losconocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Funcionesy relaciones proporcionales. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizarla siguiente pauta:


Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados porsus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.

Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.

Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.


• En los ítems 1 a 8, se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo dedesarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se estánequivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla.Es importante que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidadque les permitirá determinar de forma correcta los elementos desconocidos de latabla, así como la representación algebraica y con ello la construcción adecuadadel gráfico según la tabla.


• En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspon-diente a una proporcionalidad inversa, lo que les llevará a determinar erróneamentela constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. Es por ello que se re-comienda analizar el gráfico detalladamente y, luego, responder las preguntas.

• En el ítem 11, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de propor-cionalidad de las variables y por ello completen erróneamente la tabla y todos losdemás aspectos. Es necesario que analicen la tabla y observen qué relación es laque se mantiene según los datos que entrega y lo que significan, para definir eltipo de proporcionalidad y sus características.

Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evalu-ación se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas,con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan.Luego, puede utilizar como evaluación sumativa final la que le presentamos en laspáginas 332 a 335 de esta Guía.


I.1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C

II.9. a) k = 1,5

b) Variable independiente: comedores. Variable dependiente: días.c) y = 1,5x. Dom (f) = �0, Rec (f) = {1,5 • n / n ∈ �0}.d) 21 y 24 días, respectivamente.

10. b) k = 450

c) Variable independiente: rapidez.Variable dependiente: tiempo.

11. a) Proporcionalidad inversa. b) k = 288 c) f(x) = d) x = 2,4288x

d) f(x) =

e) 4 h y 30 min; 3 h y 36 min.

450x

EVALUACIÓNFunciones y relaciones proporcionales


Puntaje: Nota:


1. En un día, Macarena bebe tres vasos de leche. ¿Cuántos vasos deleche se toma en 8 días?

A. 11B. 24C. 12D. 5

2. Para preparar en 8 horas las tortas para una fiesta hacen falta 6 cocineros. ¿Cuántos cocineros se necesitan para prepararlas en 4 horas, si trabajan al mismo ritmo?

A. 3B. 12C. 6D. 8

3. Un automóvil gasta 30 litros de bencina para recorrer 450 kilómetros.¿Cuántos litros gastará al recorrer 960 kilómetros?

A. 32B. 24C. 36D. 64

4. Un conductor de maquinaria pesada traslada 60 toneladas de ripio en 8 viajes. Si debe transportar 180 toneladas, ¿cuántosviajes debe realizar?

A. 18B. 32C. 24D. 28

5. En una construcción, 12 trabajadores terminan una obra en 10 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajadoresmás se necesitarán?

A. 18B. 32C. 30D. 48

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la relación entre dosvariables inversamente proporcionales?

A. C.

B. D.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8330 Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

x 8 16 24 96

y 18 12 9

Comedores 2 4 6 8 10 12

Días

Cantidad de libros 5 7 10

Precio ($) 39 000 59 500 69 990

7. Un vendedor de calzado tiene un sueldo fijo mensual de $ 180 000más un bono de $ 1500 por par de calzado vendido. ¿Cuál es lafunción que representa el sueldo del vendedor?

A. y = + 180 000B. y = 1500x + 180 000C. y = 181 500 + xD. y = 181 500x

8. Dada la siguiente tabla, podemos afirmar que:

A. cada libro cuesta $ 6800.B. la cantidad de libros corresponde a la variable independiente,

y el precio a la dependiente.C. las variables no se relacionan proporcionalmente.D. las variables son inversamente proporcionales.

II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resolución,en cada caso.

9. En una empresa de muebles, al solicitar 4 comedores se demoran 6 días. Completa la tabla que relaciona los días que tarda la empresaen fabricar comedores y, luego, responde.


b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su do-minio?, ¿y su recorrido?

d) ¿Cuántos días se demorarán en hacer 14 comedores?, ¿y 16?

e) Construye el gráfico que representa esta función.

10. Observa el siguiente gráfico que relaciona la rapidez y el tiempo que unautomóvil tarda en llegar a un determinado lugar; luego, responde.

a) Construye la tabla correspondiente al gráfico.

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

d) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

e) ¿Cuánto tiempo demorará a 100 km/h?, ¿y a 125 km/h?

11. Los valores de x e y de la tabla tienen un relación de proporcionalidad.Completa la tabla con los valores que faltan y responde.

a) ¿Qué relación de proporcionalidad tienen las variables?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

d) ¿Cuál es el valor de x si y = 120?


10 20 30 40 50

50

40

30

20

10

Tiempo (min)

Rapidez (km/h)

9

25

1518

45

EVALUACIÓN FINAL


Puntaje: Nota:

Marca la opción correcta en las siguientes preguntas.

Unidad 1: Números enteros

1. La adición (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) se puede expresar como:

A. 5 • 4

B. 4 • (–4)

C. 5 • (–4)

D. (–5) • (–4)

2. El resultado de (–8) • 11 es:

A. 88 B. –88 C. –19 D. –11

3. En la expresión x • 4 = –20, el factor x es:

A. 5 B. –4 C. –80 D. –5

4. El resultado de (–12) • (–6) es:

A. 72 B. –72 C. –18 D. 18

5. El resultado de (–55) : 5 es:

A. –11 B. –275 C. 11 D. –60

6. El resultado de (–2) • [(–45) : 9 + 6] es igual a:

A. 2 B. –22 C. 22 D. –2

Unidad 2: Potencias

7. La expresión [(–2) + (–10)]2 es igual a:

A. –144 B. 144 C. 64 D. –64

8. En la expresión (–6)x

= –216 el valor de x es:

A. 3 B. –3 C. 2 D. 6

9. La expresión (–2) • (–2)2 • (–2) • (–2)5 escrita como una sola potencia es:

A. 29 B. (–2)8 C. (–2)7 D. (–2)9

10. La solución de (–5)2 • (–5) – (–3)2 • (–3)3 es:

A. 118 C. –368

B. –118 D. 368

11. La solución de (–7)12 : (–7)9 es:

A. 343 C. –49

B. –343 D. 49

12. La solución de (–2)7 • 57 es:

A. 10 000 000

B. –10 000 000

C. –100 000 000

D. –70 000 000

13. La expresión ((0,2)2)3

es igual a:

A. 0,00032

B. 0,00064

C. 0,000064

D. 64


Unidad 3: Geometría y medición

14. El número π es igual a:

A. La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

B. La razón entre el diámetro de una circunferencia y su longitud.

C. La razón entre la longitud de una circunferencia y su radio.

D. La razón entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo.

15. Si la longitud de una circunferencia es 59,66 cm, entonces, sudiámetro mide: (considera π = 3,14)

A. 9,5 cm B. 19 cm C. 38 cm D. 4,75 cm

16. El área de un círculo cuyo radio mide 3,5 cm es:(considera π = 3,14)

A. 21,98 cm2

B. 10,99 cm2

C. 19,23 cm2

D. 38,465 cm2

17. El volumen de un cono cuyo radio de la base mide 60 cm y su generatrizmide 100 cm, es: (considera π = 3,14)

A. 904 320 cm3

B. 452 160 cm3

C. 301 440 cm3

D. 376 800 cm3

18. El área total del cilindro de la figura es (considera π = 3,14):

A. 8138,88 cm2

B. 1582,56 cm2

C. 2260,8 cm2

D. 1808,64 cm2

19. El área pintada es (considera π = 3,14):

A. 7,74 cm2

B. 19,26 cm2

C. 28,26 cm2

D. 64,26 cm2

Unidad 4: Movimientos en el plano

20. ¿Cuál de las siguientes opciones representa la rotación del triánguloABC en 180º con centro en el vértice A?

A. C.

B. D.

21. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras corresponden a unatraslación?

A. R y S B. S y T C. R y T D. V y R


A

B

3 cm

12 cm

18 c

m

B’

B’

B

A

R S T V

A

A

B

B’

B’B

C’ C’

C’

C

C

C’

C

22. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano?

A. Círculo

B. Pentágono regular

C. Hexágono regular

D. Octágono regular

23. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones de polígonos regulares esposible teselar el plano?

A. Hexágono y triángulo

B. Hexágono y cuadrado

C. Pentágono y triángulo

D. Octágono y cuadrado

24. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular?

A. C.

B. D.

Unidad 5: Datos y azar

25. La siguiente tabla muestra el número de tíos que tienen los alumnos yalumnas de Primero Medio de un colegio de Arica. Complétala.

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de 16 tíos?

A. 26% B. 14% C. 69% D. 45%

26. De la situación anterior, la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo21 - 25 corresponde a:

A. 61 B. 77 C. 16 D. 27

27. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la media aritméticacorresponde a:

A. 16 B. 14,4 C. 16,6 D. 13,5

28. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la moda corresponde a:

A. 14,4 B. 16,6 C. 13 D. 23

29. De la tabla del ítem 25, ¿cuántos estudiantes tienen 21 tíos o más?

A. 27 B. 16 C. 11 D. 61

30. La cardinalidad del espacio muestral del experimento “lanzar un dadoy una moneda simultáneamente” es:

A. 8 B. 12 C. 24 D. 6


N° de tíos Marca de claseFrecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

1 - 5 56 - 10 1211 - 15 2316 - 20 2121 - 25 1626 - 30 11

31. En una urna hay 12 bolitas rojas, 10 blancas y 15 azules. Si se extraeuna bolita, sin mirar, la probabilidad de que no sea roja es:

A. B. C. D.

Unidad 6: Funciones y relaciones proporcionales

32. En una tienda, el precio de cada polera es de $ 4560. Si x representala cantidad de poleras e y su costo, ¿cuál es la función que representael precio de una cantidad de poleras?

A. y = 4560

B. y = 4560 + x

C. y =

D. y = 4560x

33. Del ítem anterior, ¿cuál es el dominio?

A. Dom ( f ) = �

B. Dom ( f ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

C. Dom ( f ) = {4560, 9120, 13 680, 18 240 , …}

D. Dom ( f ) = �0

34. Luis demoró tres horas en llegar a la playa con una rapidez constantede 80 km/h. ¿Con qué rapidez tendría que viajar para llegar en 4horas?

A. 32 km/h

B. 120 km/h

C. 70 km/h

D. 60 km/h

1237

1037

2537

1537

4560x

35. La función que relaciona el tiempo (x) y la rapidez (y) en la preguntaanterior es:

A. y =

C. y = 240x

D. y = 80x

36. Los pasajes para viajar desde Santiago a Valparaíso en una línea debuses tienen un costo de $ 5600. ¿Cuántos pasajes se pueden comprarcon $ 128 800?

A. 20

B. 21

C. 23

D. 25

37. Del ítem anterior, la función que permite determinar el costo de xpasajes es:

A. f(x) = 5600 + x

B. f(x) = 5600x

C. f(x) =

D. f(x) = 5600x + x

Solucionario

240x

5600x


B. y = x

240

1. C 5. A 9. D 13. C 17. C 21. B 25. D 29. A 33. D 37. B

2. B 6. D 10. A 14. A 18. C 22. C 26. B 30. B 34. D

3. D 7. B 11. B 15. B 19. A 23. A 27. C 31. C 35. A

4. A 8. A 12. B 16. D 20. A 24. B 28. A 32. D 36. C


























TEXTO DEL ESTUDIANTE 224

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• Centro Comenius. Patrocinado por la USACH.http://www.comenius.usach.cl

• Recursos matemáticos Redemat.http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Currículum Nacional del Ministerio de Educación de Chile.http://www.curriculum-mineduc.cl/

• Red Maestros de Maestros.http://www.rmm.cl

• Centro de perfeccionamiento, experimentación e investigaciones pedagógicas(CPEIP).http://www.cpeip.cl

• REDUC. Red Latinoamericana de información y documentación en educación. http://www.reduc.cl

• Sociedad de Matemática de Chile.http://www.sochiem.cl

• Servicio Europeo de Información Matemática (EMIS). http://www.emis.de

• Instituto Nacional de Estadísticas.http://www.ine.cl

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• Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes (Conace).http://www.conacedrogas.cl

• Dirección Metereorológica de Chile.http://www.meteochile.cl


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