PRIJELAZ TOPLINE

PRIJELAZ TOPLINE

UvodIzmjena energije izmeu dva sustava koja nastupa zbog njihovih razliitih temperatura, naziva se prijelaz topline. Ako nema drugih uzroka mijenjat e se stanja promatranih sustava sve dok se ne uspostavi toplinska ravnotea, tj. dok se ne uspostavi jednaka temperatura u oba sustava. Tada prestaje izmjena topline. Pri tome ne treba zaboraviti da je u realnom svijetu materije toplinska ravnotea relativan pojam, vezan na stanje materije u ogranienom prostoru i vremenu.

Na koji nain se odvija prijenos topline izmeu dva sustava i unutar samih sustava?

Pri izmjeni topline, dva sustava mogu, ali ne moraju biti u neposrednom dodiru, iz ega se moe zakljuiti da su mehanizmi prijenosa topline u tim sluajevima bitno razliiti.

Prijenos topline unutar i izmeu dva sustava odvija se na dva naina:

- posredstvom materije, kada su sustavi u neposrednom dodiru. Pri tome se, u ovisnosti o agregatnom stanju sustava, energija (toplina) prenosi kroz sustave ili provoenjem (kruta tijela), ili konvekcijom (fluidi), prema ili od dodirne plohe dvaju sustava.

- elektromagnetskim valovima, kada se sustavi ne dodiruju. Ovaj efekt se naziva toplinsko zraenje ili radijacija, a o njemu e biti govora u kasnijim razmatranjima.

Slika 1. Sustavi i naini izmjene topline

Prijenos topline posredstvom materijeKada se prijenos topline vri posredstvom materije tada na njega utjee molekularna graa i agregatno stanje materije. Fizikalno ponaanje materije ovisi o obliku i veliini njenih molekula, te mehanikim, elektromagnetskim i kemijskim silama koje djeluju meu molekulama. Pri izmjeni energije s okolinom mijenja se pokretljivost molekula, pa se transport energije unutar materije (sustava) odvija putem sudara susjednih molekula. Ovaj molekularni ili mikroskopski transport postoji unutar materije bilo kakvog agregatnog stanja.

Krute tvari. Kod krutih tvari, zbog jakih meumolekularnih sila, molekule se nalaze u neposrednoj blizini, pa je njihovo gibanje praeno uestalim sudaranjem. Kod materija u krutom agregatnom stanju to je jedini nain transporta energije (topline), koji se naziva provoenje ili kondukcija. Kod istih metala (kovina) postojanje slobodnih elektrona pojaava ovaj transport.

Tekuine (fluidi). Kod kapljevina, a posebno kod plinova, molekule se gibaju slobodnije, pa je i uestalost sudaranja manja. Srazmjerno tome e molekularni transport topline biti manji nego kod krutih tvari. Toplinska neravnotea s okolinom uzrokuje nastanak makroskopskog gibanja estica materije, koje sadre ogroman broj molekula. Makroskopski ili molarni transport odvija se putem sudaramakro estica, unutar kojih se na nivou molekula odvija molekularni transport. Ova dva nivoa transporta uvijek postoje u tekuinama i nazivaju se zajednikim imenom konvekcija.

Temperaturno poljeTemperatura je, kao i druge veliine stanja, skalarna veliina koja se opisuje samo s numerikom vrijednou i pripadnom dimenzijom temperaturne skale. Za razliku od modela klasine termodinamike koji pretpostavlja materiju u unutarnjoj toplinskoj ravnotei, teorija prijelaza topline polazi od injenice da pri izmjeni topline s okoliem estice materije nemaju jednaku temperaturu. U materiji postoji trodimenzijsko skalarno temperaturno polje koje se tijekom izmjene topline vremenom mijenja. Takvo temperaturno polje u pravokutnom koordinatnom sustavu oznaava se kao T = T(x, y, z, t), a u cilindrinom koordinatnom sustavu kaoT = T(r, , z, t). Zbog ovisnosti o vremenskoj koordinati t takva se polja nazivaju nestacionarnim temperaturnim poljima. Ako se temperaturno polje s vremenom ne mijenja tada otpada ovisnost o t, pa se takva polja nazivaju stacionarnim poljima.

Slika 2. Temperaturno polje u pravokutnom i cilindrinom koordinatnom sustavu

Za opis trodimenzijskih prostora najee se koriste ortogonalni koordinatni sustavi. Za probleme koji e se kasnije razmatrati koristit e se pravokutni ili cilindrini koordinatni sustav koji su opisani na slici 2. Pripadni jedinini vektori oznaeni su slovom e i indeksom smjera koordinate.

Pri opisu polaznog modela esto se koristi procjena da su promjene temperature u odnosu na neke koordinate prostora zanemarivo malene u odnosu na dominantne promjene temperature samo u jednom smjeru. Na primjer, umjesto stvarnog polja T = T(x, y, z, t) moe se pretpostaviti jednodimenzijsko nestacionarno polje T = T(x, t), ako su promjene temperature u smjerovima y i z zanemarive.

Postojanje temperaturnog polja ukazuje na postojanje razlike temperatura susjednih estica, pa je to uzrok nastanku transporta topline kroz materiju u smjeru pada temperature. Openito, pad temperature nije jednak u smjeru svih koordinata, pa ni vektori toplinskog toka u tim smjerovima nisu jednaki. Maksimalni toplinski tok odvija se u smjeru maksimalne promjene temperature koji se naziva gradijent temperature. U odnosu na odabrani koordinatni sustav on se moe razloiti na tri vektorske komponente. U pravokutnom koordinatnom sustavu je:

, (1)

dok je u cilindrinom koordinatnom sustavu:

. (2)

PROVOENJE TOPLINE (KONDUKCIJA)Provoenje topline karakteristino je za krute tvari u kojima nema razlike u makroskopskom gibanju estica, pa se transport topline odvija samo na nivou molekula. Toplinski tok, , J/s, koji se odvija kroz plohu s normalom nii povrine A m2, naziva se gustoa toplinskog toka, qi, W/m2, a ima smisao vektora jer njegova numerika vrijednost ovisi o smjeru i, tj. orijentaciji promatrane plohe Ai. Prema Fourierovom iskustvenom stavku je gustoa toplinskog toka provoenjem:

, W/m2 ,(Fourierov stavak). (3)

Gustoa toplinskog toka qi proporcionalna je promjeni temperature u promatranom smjeru i, a koeficijent proporcionalnosti , W/(m K), je fizikalno svojstvo ovisno o molekularnoj grai krute tvari. Openito je ovisan o temperaturi, = (T), a kod nekih materijala (npr. drveta) ovisi i o smjeru.

Vrijednosti za odreuju se eksperimentalno, to znai da predstavlja makroskopski odraz molekularnih zbivanja na nametnutu razliku temperature. Na taj nain, kada raspolaemo s podacima za neke tvari, ne moramo vie voditi rauna o njenoj molekularnoj grai. Ovu pogodnost koriste inenjeri u praktikim proraunima.

Negativan predznak na desnoj strani Fourierove jednadbe (3) je zbog toga to je smjer vektora gustoe toplinskog toka suprotan gradijentu temperature, tj. provoenje topline usmjereno je od podruja vee, prema podruju manje temperature. Ujedno je dogovoreni smisao toplinskog toka suprotan orijentaciji plohe Ai.

Kod jednodimenzijskog temperaturnog polja, T = T(x), postoji promjena temperature samo u smjeru x, to znai da sve toke neke plohe Ax koja je okomita na smjer x imaju istu temperaturu. Gustoa toplinskog toka qx u smjeru koordinate x je prema Fourierovom zakonu:

, W/m2,(lokalna vrijednost), (4)

dok za ukupni toplinski tok kroz plohu Ax vrijedi:

, W.(jednodimnezijski sluaj). (5)

Slika 3. Gustoa toplinskog toka, qx, jednodimenzijskog temperaturnog polja, T = T(x)

U opem sluaju trodimenzijskog temperaturnog polja, T = T(x, y, z), u pravokutnom koordinatnom sustavu moe se vektor gustoe toplinskog toka razloiti na komponente u smjeru koordinata x, y, z.

. (6)

Diferencijalna jednadba provoenja topline

Ukoliko se temperaturno polje mijenja s vremenom t, tada govorimo nestacionarnom temperaturnom polju, T = T(x, y, z, t). Zbog promjena temperature diferencijalne mase krute tvari, dm = dV = dxdydz, doi e do promjene njene unutarnje energije, .

Slika 4. Bilanca energije elementa krute tvari

Uzrok ove promjene je razlika toplinskog toka koja se provoenjem dovodi i odvodi susjednim elementima mase, . Na slici 4. prikazan je jedan smjer molekularnog transporta topline, koji se odvija kroz granine plohe elementa u smjeru osi x. Slino vrijedi i za kondukciju u smjerovima z i y.

U opem sluaju, unutar diferencijalnog volumena, dV = dAxdx = dAydy = dAzdz, moe postojati izvor ili ponor topline izdanosti ip, W/m3, koji rezultira toplinskim tokom . Pretpostavit emo da su , c i konstantni, tj. neovisni o temperaturi.

Primjenom I. zakona termodinamike (zakon odranja energije) dobivamo jednadbu:

(7)

povrinski efekti + volumenski efekti = akumulacija

pri emu zbog zanemarive promjene volumena (pretpostavka = konst.) nema mehanikog efekta. Na osnovi slike 4. moe se napraviti bilanca energije po principu:

ulaz + izvor (- ponor) = izlaz + akumulacija,

ili kao

(izlaz - ulaz) + akumulacija = izvor (-ponor) .

Uzevi u obzir da je dV = dAxdx = dAydy = dAzdz, dobiva se nakon sreivanja jednadba odranja energije za nestacionarno trodimenzijsko temperaturno polje s izvorom/ponorom u krutom tijelu:

. (8)

Komponente vektora gustoe toplinskog toka za sva tri smjera dobivamo primjenom Fourierovog stavka:

(9)

pa nakon uvrtavanja u jednadbu (8) slijedi:

. (10)

Dijeljenjem cijele jednadbe s c dobiva se konani oblik diferencijalne jednadbe provoenja topline:

, (11)

gdje se ispred zagrade na desnoj strani jednadbe (11) nalazi koeficijent temperaturne vodljivosti, a = /(c), m2/s.

Jednadba (11) moe se krae zapisati pomou Gibbsove (simbolike) notacije:

, (12)

gdje je 2 Laplaceov operator, koji u pravokutnom koordinatnom sustavu ima oblik:

, (13)

a u cilindrinom koordinatnom sustavu:

. (14)

Stacionarno provoenje topline

U mnogim praktikim problemima transport topline kroz krutu tvar odvija se preteno u jednom smjeru, npr. smjeru x. Takvi sluajevi nastaju onda kada su dimenzije krute tvari u drugim smjerovima, y i z, bitno vee, ili kada je toplinski tok u tim smjerovima namjerno sprijeavan postavaljanjem toplinske izolacije - materijala kroz koje je provoenje topline vrlo slabo zbog malog koeficijenta vodljivosti topline, .

U stacionarnom stanju ne mijenja se oblik temperaturnog polja u krutoj tvari, iako ona nije u toplinskoj ravnotei s okolinom. To znai da svaka materijalna toka krute tvari, prima jednaku energiju (toplinu) od toplijih susjednih materijalnih toaka, koliko predaje hladnijim susjednim materijalnim tokama. Stacionarno stanje opisujemo iskazom da je U nastavku e se razmotriti karakteristini fizikalni modeli koji se mogu pojednostavljeno raunati kao problemi jednodimenzijskog stacionarnog provoenja topline. Za njih priblino vrijedi:, dok su i teorijska pretpostavka, mogua samo uz idealnu izolaciju u smjerovima y i z. Takoer, pretpostavit emo da unutar krute tvari ne postoji izvor/ponor topline, tj. .

Ravna stijenkaZa ovaj fizikalni model je karakteristino da je povrina A plohe kroz koji prolazi toplinski tok konstantna. U stacionarnom stanju je , pa je i gustoa toplinskog toka

Slika 5. Temperaturno polje u jednoslojnoj stijenci za sluaj q = konst.

U skladu s ranije usvojenim pretpostavkama cijela ploha A1 na lokaciji x1 ima jednaku temperaturu T1, a cijela ploha A2 na lokaciji x2 ima temperaturu T2. Fourierova jednadba za diferencijalni sloj debljine dx glasi:

, (15)

odnosno

. (16)

Uzimajui u obzir da je q = konst. i pretpostavljajui takoer = konst. moe se jednadba (16) integrirati,

, (17)

nakon ega se dobiva:

. (18)

Kako je x2 x1 = , to konani rezulta glasi:

, W/m2, (19)

Uoimo da je redosljed indeksa prema matematikim pravilima, tj. u smjeru pozitivne osi x, pa je iz tog razloga > 0, a pozitivan smjer vektora gustoe toplinskog toka, q, poklapa se sa smjerom x. To znai da bi u sluaju kada je T1 < T2 dobili q < 0, sa smjerom prema negativnoj osi x. Obino se pri proraunima na mjestu T1 upisuje vea, a na mjestu T2 manja temperatura (obje u oC ili K), tako da je rezultat q > 0, smjer toplinskog toka je jasan iz fizikalne situacije.

Jednadba (19) moe se se napisati u obliku:

, (20)

gdje je T = T1 T2 uzrok, a (/) otpor provoenju topline. Temperature se mogu pisati i s Celsiusovim, kao i Kelvinovim stupnjevima: T = T1 T2 = = 1 2.

Vieslojna ravna stijenkaProvoenje topline kroz vieslojnu ravnu stijenku moe se odrediti primjenom jednadbe (19) na svaki pojedinani sloj. Na primjer, za troslojnu stijenku prikazanu na slici 6. mogu se napisati tri jednadbe:

, (21)

, (22)

. (23)

Mnoenjem jednadbi s odgovarajuim / na desnim stranama ostaju samo razlike temperature. Zbrajanjem jednadbi dokidaju se temperature meu slojevima, T2 i T3, a nakon sreivanja dobiva se:

, (24)

gdje se u brojniku nalazi razlika temperatura krajnjih ploha, a u nazivniku ukupni otpor provoenju topline.

Slika 6. Temperaturno polje u troslojnoj stijenci ( = konst.).

Za vieslojnu stijenku s proizvoljnim brojem slojeva, i = 2, 3,..., n, i krajnjim temperaturama, T1 i Tn+1, vrijedi jednadba:

, W/m2, (25)

gdje se u nazivniku na desnoj strani nalazi suma pojedinanih otpora provoenju topline svih slojeva stijenke.

Kako svaka ploha, Ai, u svim tokama ima istu temperaturu, Ti, ma kakva ona bila, tada se ukupni toplinski tok moe izraunati prema: Napomena: Budui da se razmatraju samo jednodimenzijski problemi indeks i ne oznaava vektorsku prirodu (gustoe toplinskog toka qi i orjentiranu plohu Ai), ve se koristi za oznaavanje razliitih lokacija.

Cijevna stijenkaZa razliku od ravne stijenke ovdje je povrina, A = A(r) = 2rL, u smjeru toplinskog toka promjenljiva. U stacionarnom je stanju toplinski tok konstantan: (26)

Razdvajanjem varijabli r i T i integracijom po cijelom presjeku cijevi,

, (27)

dobiva se:

, (28)

te konano:

. (29)

Slika 7. Temperaturna polja u cijevnoj stijenci

O nagibu tangente na profil temperature u cilindrinom sloju cijevi moe se zakljuiti na osnovi jednadbe (26), prema kojoj je:

(30)

To znai da je na manjem radiusu nagib tangente (prema horizontali r) vei i obratno. Sukladno tome su prikazani profili temperature u cijevnoj stijenci na slici 7.

Vieslojna stijenka cijeviZa vieslojne stijenke cijevi primjenjuje se za svaki sloj jednadba (29). Na primjer, za dvoslojnu stijenku su toplinski tokovi kroz slojeve: , W, (31)

, W. (32)

Pretpostavljajui stacionarno stanje: mogu se ove jednadbe napisati u obliku:

, (33)

. (34)

Zbrajanjem se dobiva izraz za dvoslojnu stijenku: Slika 8. Dvoslojna cijevna stijenka

, W. (35)

Openito, za vieslojnu stijenku sa i = 1, 2,..., n slojeva vrijedi izraz

. (36)

PRIJENOS TOPLINE U FLUIDIMA (KONVEKCIJA)

Za fluide je karakteristian prijenos topline koji se istovremeno odvija na dva nivoa: na makroskopskom nivo izmjenom mjesta i sudaranjem estica fluida, unutar kojih se istovremeno odvija mikroskopski transport sudaranjem molekula.

Budui da ovaj molekularni transport nije neovisan o makroskopskom gibanju fluida to, strogo uzevi, nije korektno poistovjetiti ga s provoenjem topline kroz krute tvari, kod kojih ne postoji razlika u makroskopskom gibanju estica.

Naziv konvekcija opisuje istovremenost makroskopskog i mikroskopskog prijenosa energije (topline) kod fluida.

Uzroci i vrste makroskopskog gibanja fluida

Slobodna konvekcija - prirodna konvekcijaTemperaturno polje u fluidu, T = T(x, y, z, t), uzrokovano razlikom temperatura, T, izmeu promatranog fluida i njegove okoline dovodi do preraspodjele mase u prostoru, tj. do nastanka polja gustoe, = (x, y, z, t).

Pod djelovanjem lokalno homogenog gravitacijskog polja svakoj je masi pridrueno gravitacijsko ubrzanje, g m/s2, pa nehomogena distribucija mase u prostoru ujedno znai nehomogeno polje sila u smjeru gravitacije.

Unutar fluida se uspostavlja makroskopsko gibanje estica s razliitim brzinama. Oblik prostora u kojem se nalazi fluid obino je barem djelomice ograen krutim stijenkama, koje spreavaju gibanje estica fluida prema zemlji i na ijim se plohama nehomogeno polje sila transformira u nehomogeno polje tlaka. estice mijenjaju smjer kretanja prema podruju nieg tlaka, a njihovo daljnje gibanje ovisi o obliku ograenog prostora.

Kako gibanje fluida nije izazvano nikakvom prisilom - mehanikim utjecajem okoline - to se prijenos topline ostvaren pri tome naziva slobodna ili prirodna konvekcija.

Slika 9. Uzrok gibanja slobodnom konvekcijom

Kako je reeno, uzrok gibanja je razlika temperature, T, fluida i okolia, pa je pri veim T slobodna konvekcija intenzivnija. Osim toga, fizikalna svojstva fluida imaju znatan utjecaj na gibanje estica.

Potrebno je naglasiti da slobodna konvekcija postoji uvijek kada se u fluidu uspostavi temperaturno polje. Ipak, efekti slobodne konvekcije mogu postati raunski zanemarivi ako se pod utjecajem vanjskih sila uspostavi prisilno strujanje fluida.

Prisilna konvekcijaU tehnikoj praksi najee se makroskopsko gibanje fluida ostvaruje prisilno, tj. pod djelovanjem nekog tehnikog ureaja: pumpe, ventilatora i sl. Pokretni dijelovi ovih ureaja (lopatice) potiskuju estice fluida prema podruju nieg tlaka, pa je razlika tlaka p uzrok strujanja fluida.

Obino je u takvim sluajevima slobodno gibanje fluida pod utjecajem temperaturnog polja sasvim potisnuto. Prijenos topline odvija se konvektivnom nainom, tj. makroskopskim i molekularnim transportom, koji je pod utjecajem brzine bitno pojaan u odnosu na slobodnu konvekciju.

Mjeovita konvekcijaPostoje sluajevi kod kojih je gibanje fluida pod priblino jednakim utjecajemi T ip. U tom sluaju se prijenos topline naziva mjeovita konvekcija.

Oblici makroskopskog gibanja fluidaI kod slobodne i kod prisilne konvekcije moe se uspostaviti jedan od dva karakteristina oblika strujanja.

Slika 10. Oblici strujanja fluida - prema Reynoldsovom pokusu

Laminarno strujanje. Bez obzira na oblik strujnica (zamiljeni put estica) nema preskakanja estica iz jedne strujnice u drugu, tj. nema mijeanja. Ipak, zbog razliitih brzina, estice nisu u kontaktu cijelo vrijeme s istim esticama susjednih strujnica. Zbog toga je molekularni transport energije (topline) direktno pod utjecajem makroskopskog gibanja. Kod laminarnog strujanja uspostavlja se stalan (stacionaran) profil brzine, ukoliko se vanjski uvijeti ne mijenjaju.Turbulentno strujanje. Gibanje estica je nesreeno i sluajno. U fiksnoj toki prostora mijenja se i smjer i veliina brzine tijekom vremena. ak i kada bi mogli izmjeriti brzine u svim tokama nekog presjeka, taj trenutni profil ve slijedeeg trenutka ne bi postojao. Zbog toga se pod profilom brzine turbulentnog strujanja podrazumijeva vremenski srednji profil brzine. Efekti stvarnog kolebanja (fluktuacija) brzine oko vremenski srednje vrijednosti vidljivi su u bitnom poveanju makroskopskog transporta topline.

Prijelaz topline izmeu fluida i krute stijenkeU praksi se najee susreu problemi prijelaza topline na dodirnoj plohi (faznoj granici) krute tvari (stijenke) i fluida (kapljevine ili plina). Stoga e se osnovni pojmovi razmotriti na primjeru prisilnog strujanja pored horizontalne ravne stijenke.

Temeljne karakteristike tog modela su slijedee: fluid struji brzinom w = konst. pored mirujue stijenke, ws = 0. Temperatura fluida dovoljno daleko od stijenke T = konst. razliita je od temperature stijenke, Ts = konst.. Zbog razlike brzina (mehanika neravnotea) i razlike temperatura (toplinska neravnotea) nastupa promjena brzine i temperature slojeva fluida uz stijenku.

Podruje unutar fluida u kojem se odraava utjecaj stijenke naziva se granini sloj. Na slici 11. prikazan je profil brzine i dva mogua sluaja profila temperature unutar graninog sloja. Debljina hidrodinamikog graninog sloja, (x), kao i debljina toplinskog graninog sloja, T(x), definiraju se po nekom aproksimativnom kriteriju. Obino se pod debljinom graninog sloja smatra udaljenost od stijenke na kojoj su vrijednosti brzine, odnosno temperature, neznatno razliite od referentnih vrijednosti u podruju izvan graninog sloja: na primjer w = 0,99 w i .

Slika 11. Profili brzine i temperature i pripadni granini slojevi, i T

Pod utjecajem adhezije izmeu estica fluida i stijenke na stijenci se formira tanki mirujui sloj fluida debljine par promjera molekula. Hipoteza o adheziji indirektno je potvrena u brojnim eksperimentima. Na slici 11. ovaj hipotetiki mirujui sloj oznaen je s HMS. Vana posljedica ove hipoteza je da se tom sloju pripisuje ponaanje krute tvari, jer je u nepostojanju makroskopskog gibanja estica mogu transport samo na nivou molekula.

Za transport topline kroz hipotetiki mirujui sloj moemo pisati Fourierov izraz:

, (gustoa toplinskog toka na stijenci), (37)prema kojem je vidljivo da je za odreivanje gustoe toplinskog toka, qs, nuno poznavanje profila temperature, T(x, y, z). Odreivanje tog profila zahtijeva matematiko rjeavanje esto vrlo zamrenog sustava jednadbi.

Umjesto toga se u inenjerskim proraunima koriste empirijske (iskustvene) formule, koje su dobivene analizom eksperimentalnih rezultata na promatranom fizikalnom modelu. Za opis modela koriste se globalna (integralna), a ne lokalna svojstva.

Proraun prijelaza topline na graninoj plohi izmeu fluida i okolia (kruta stijenka ili fazna granica) poiva na pojmu koeficijenta prijelaza topline, W/(m2 K), koji je definiran Newtonovim stavkom:

, (Newtonov zakon hlaenja). (38)Ovdje je faktor proporcionalnosti izmeu uzroka, (Ts T) , i posljedice, qs. esto je temperaturna razlika (Ts T) promjenljiva po povrini stijenke, A, pa jednadba (38) definira lokalni koeficijent prijelaza topline, (A). Prosjena vrijednost za cijelu povrinu, m, dobiva se prema relaciji

. (39

U tom sluaju se gustoa toplinskog toka odreuje prema relaciji:

, (40)

gdje je Tlog srednja logaritamska ralika temperatura,

, (41

gdje su: T1 = (Ts1 Tf1) i T2 = (Ts2 Tf2) razlike temperatura stijenke (indeks "s") i fluida (indeks "f") na poetku (indeks "1") i kraju (indeks "2") promatrane povrine. Na slici 12. prikazan je sluaj hlaenja fluida na stijenci ija temperatura nije konstantna. U praksi se ovakav sluaj ne razmatra, jer je on samo dio cjelovitog fizikalnog modela u kojem uestvuje i fluid s druge strane stijenke.

Slika 12. Djelomini model prijelaza topline na stijenci

Uzimanje u obzir cjelovitog modela s dva fluida i stijenkom dovodi do prorauna koji se primjenjuje na izmjenjivae topline. O tome e biti rijei u posebnom poglavlju.

Po svom obliku je Newtonov stavak vrlo jasan i jednostavan, ali se sve specifine osobine pomatranog sluaja, kao to su: geometrijski i fizikalni uvjeti, oblik strujanja, smjer toplinskog toka, fizikalna svojstva fluida i druge, odraavaju na vrijednost koeficijente prijelaza topline, .

Kod slobodne konvekcije je neposredno ovisan o temperaturi, pa ta injenica umanjuje pogodnosti njegovog uvoenja u raun.

Povezivanjem Fourierovog i Newtonovog stavka, jednadbe (37) i (38), slijedi da je lokalna vrijednost koeficijenta prijelaza topline:

, (42)Za prijenos topline bitna je samo razlika temperatura T = T Ts. Na stijenci je T = 0, a na granici graninog sloja prema slobodnoj struji, T = T Ts. Profil temperature moe se zamijeniti s bezdimenzijskim profilom nadtemperature, , definirane kao:

, (43)

koji unutar graninog sloja poprima vrijednosti u intervalu 0 1. Takoer, umjesto udaljenosti od stijenke, y, moe se definirati bezdimenzijska koordinata u tom smjeru (smjer normale), Y =y/L, pri emu je L karakteristina linearna veliina. U promatranom sluaju L predstavlja duinu stijenke u smjeru strujanja.

Slika 13. Uz definiciju koeficijenta prijelaza topline,

Uvoenjem i Y u jednadbu (43) i uvaavajui pri tome da je na lokaciji x:

, (44)

dobiva se bezdimenzijska relacija:

, (45)

s kojom se definira Nusseltov broj, Nu = L / , kao bezdimenzijska znaajka prijelaza topline. Prema jednadbi (45) Nu je jednak nagibu tangente bezdimenzijskog profila nadtemperature, , na stijenci, tj. za Y = 0.

Oblik profila temperature T(x, y, z), pa tako i profila nadtemperature (X,Y, Z), mijenja se pod utjecajem strujanja fluida. Pri veim brzinama bit e profil blie stijenci, tj. poveat e se nagib tangente na stijenci, ( /Y)Y=0, a to prema jednadbi (45) znai poveanje Nu broja, odnosno poveanje koeficijenta prijelaza topline, .

Iako se kroz hipotetiki mirujui sloj (HMS) trensport topline odvija samo mehanizmom molekularnog gibanja, na taj transport bitno utjee makroskopsko gibanje koje mijenja gradijent temperature (pokretaku silu). Oita je povezanost mikro i makro gibanja, pa se kod fluida moe govoriti o jedinstvenom, zajednikom efektu koji se naziva jednim imenom - konvekcija.

EMPIRIJSKE FORMULE

Empirijske formule, temeljene na rezultatima eksperimentalnih ispitivanja, omoguuju u pravilu odreivanje prosjene vrijednosti Nusseltovog broja, Num, na cijeloj povrini stijenke. Zatim se prosjeni koeficijent prijelaza topline moe odrediti iz relacije:

, W/(m2 K), (prosjeni koeficijent prijelaza topline). (46)

Toplinski tok kroz cijelu povrinu:, odreuje se uz upotrebu jednadbe (38):

, (47)

ili jednadbe (40):

, (48)

Poseban nain prorauna izmjenjivaa topline, kod kojih toplinski tok bitno ovisi o promjenama temperatura du povrine A, bit e opisan kasnije.

Radi pravilne upotrebe empirijskih formula potrebno je razmotriti faktore koji utjeu na vrijednost Nusseltovog broja. Na prijelaz topline utjee: - geometrija strujanja; pri emu se bitno razlikuju otvorena ili vanjska strujanja (pored ravne stijenke, oko snopa cijevi ili tijela raznih oblika) od zatvorenih strujanja (kroz cijevi, kanale ili tehnike ureaje razliitih oblika),

- vrsta strujanja; slobodna ili prisilna konvekcija,

- oblik strujanja; laminarno ili turbuleno strujanje,

- smjer toplinskog toka; grijanje ili hlaenje fluida,

- fizikalna svojstva fluida: , cp, , .

Na svakom fizikalnom modelu moe se prepoznati cijeli niz karakteristinih parametara. To su nezavisne varijable (koordinate x, y, z), zavisne varijable (brzina w, temperatura T, pad tlaka p i sl.) i vei broj konstanti. Konstante su: karakteristina linearna veliina za geometriju strujanja (npr. duljina ploe ili promjer cijevi), karakteristina brzina (protona brzina ili brzina slobodne struje), karakteristina temperaturna razlika, gravitacijsko ubrzanje, fizikalna svojstva fluida, i druge. Meu konstante spada i prosjeni koeficijent prijelaza topline, m.

Ispitivanje utjecaja svakog parametra na prijelaz topline bilo bi vrlo komplicirano, ako ne i nemogue, jer bi to zahtijevalo velik broj eksperimenata u razliitim uvjetima i s razliitim fluidima. Takoer, od posebne je vanosti da se dobiveni rezultati mogu primijeniti i na druge fizikalne modele, koji su slini eksperimentalnom modelu.

Jasno je da se broj zavisnih i nezavisnih varijabli ne moe mijenjati, jer bi se time proizvoljno promijenio i opis promatranog problema, ali se broj konstanti moe bitno smanjiti ako se one grupiraju u bezdimenzijske grupe. Ove bezdimenzijske znaajke postaju karakteristine konstante promatranog fizikalnog modela. Zbog toga su nazvane po imenima poznatih znanstvenika. Navest emo samo one koje su posebno znaajne pri rjeavanju problema prijelaza topline. Vano je zapamtiti da se sva fizikalna svojstva (, cp, , , , a) odnose na fluid.

Budui da se u standardnim inenjerskim proraunima ne koristi lokalni, ve samo prosjeni koeficijent prijelaza topline, to je u narednim razmatranjima on oznaen s bez indeksa m.

Nusseltov broj , (49)

predstavlja znaajku prijelaza topline. Prema jednadbi (45) Nu je jednak nagibu tangente na bezdimenzijski profil nadtemperature, , na stijenci. Ovaj nagib pod utjacajem je vrste i oblika strujanja fluida. Koeficijent je prosjeni koeficijent prijelaza topline, W/(m2 K).

Prandtlov broj , (50)

predstavlja znaajku fizikalnih svojstava fluida. Dinamika viskoznost fluida, Ns/m2, definirana je s Newtonovim zakonom:

, N/m2, (Newtonov zakon trenja), (51)

slino kao to je koeficijent vodljivosti topline, W/(m K), definiran ve spomenutim Fourierovim zakonom:

, W/m2, (Fourierov zakon provoenja). (52)

Newtonov zakon vrijedi za veinu fluida, kod kojih je deformacija fluida, izraena s dw/dy, linearno zavisna o tangencijalnom (sminom) naprezanju, N/m2. Fluidi, kod kojih ovaj zakon ne vrijedi, nazivaju se nenjutnovski fluidi. esto se umjesto koristi kinematika viskoznost, = / , m/s2.

Kao to je povezan s molekularnim transportom topline, tako je povezan s molekularnim transportom impulsa. Prandtlov broj izraava odnos ova dva molekularna transporta.

Reynoldsov broj , (53)

predstavlja znaajku prisilnog strujanja. Na osnovi brojnih eksperimenata strujanja fluida kroz razliite geometrije ustanovljene su kriterijske vrijednosti Re broja, Rek, prema kojima se procjenjuje oblik prisilnog strujanja u promatranom sluaju.

Na primjer, za promatrano prisilno strujanje u cijevi izrauna se Re broj, Re = wD/ , iz poznatih podataka za protonu brzinu, w m/s, fizikalnih svojstava zadanog fluida, = / m2/s, i karakteristine linearne veliine, unutarnjeg promjera cijevi, D m. Dobivena vrijednost za Re usporeuje se sa kriterijem, koji je za strujanja u cijevi postavljen na ovaj nain:

ako je Re < 2300, tada je strujanje laminarno,

za 2300 Re 104, tada je strujanje prijelazno (laminarno-turbulentno),

ako je Re > 104, tada je strujanje turbulentno.

Pri proraunu prijelaza topline obino se koristi pojednostavljenje gornjeg kriterija, tako da se uzima jedinstveni kriterijski broj Rek = 3000. Za Re Rek strujanje se smatra laminarnim, a ako je Re > Rek, pretpostavlja se turbulentno strujanje.

Kod drugaijih geometrija prisilnog strujanja vae drugaije kriterijske vrijednosti, Rek. Tako se za prisilno strujanje pored ravne stijenke (ploe) obino uzima jedinstveni kriterijski Rek broj.

Za Re Rek = 5105, strujanje je laminarno,

a za Re > Rek = 5105, strujanje je turbulentno.

Grashofov broj

, (54)

predstavlja znaajku gibanja slobodnom konvekcijom. Ona izraava uzrok gibanja (uzgon) estica fluida uslijed razlike gustoe. Indeks "s" ukazuje na vrijednost pri temperaturi stijenke, Ts, a indeks "" pri temperaturi dovoljno daleko od stijenke, T. Za gravitacijsko ubrzanje obino se uzima vrijednost g = 9,81 m/s2, dok je L karakteristina linearna veliina promatranog sluaja, npr. visina stijenke, H, ili vanjski promjer cijevi, D.

Kod plinova se obino pretpostavlja da vrijedi jednadba stanja idealnih plinova, pv = RT, pa je gustoa = 1/v = p/(RT). Tada se koristi oblik:

, (55)

Znaenje Gr broja je slino znaenju Re broja. Oni se meusobno ne iskljuuju, kako je to u sluaju mjeovite (slobodne i prisilne) konvekcije.

Navedene znaajke dovoljne su opis prijelaza topline u mnogim sluajevima. Tada je kriterijske jednadbe prijelaza topline mogu napisati na slijedei nain:

- prisilna konvekcija: Nu = Nu(Re, Pr), (56)

- slobodna konvekcija: Nu = Nu(Gr, Pr). (57)

Alternativno, mogu se uvesti i drugaije formirane bezdimenzijske znaajke.

Pecletov broj, Pe = RePr = wL/a, objedinjuje znaajku strujanja i znaajku svojstava fluida.

Rayleighov broj, Ra = GrPr, objedinjuje znaajku slobodnog gibanja i znaajku svojstava fluida.

Ukoliko se u promatranom sluaju moraju uzeti u obzir i drugi utjecaji, oni se takoer izraavaju pomou bezdimenzijskih veliina. Tako se, na primjer, pri proraunu prijelaza topline na ulaznom dijelu cijevi uzima u obzir i omjer unutarnjeg promjera i duine cijevi, D/L. U tom se sluaju moe formirati nova znaajka, Graetzov broj, Gz = Pe(D/L). Ako je strujanje laminarno, potrebno je uzeti u obzir i smjer toplinskog toka uvoenjem omjera dinamikih viskoziteta (/s); prema nekoj srednjoj temperaturi fluida (), odnosno temperaturi stijenke (s).

Ponekad se u literaturi koristi drukija znaajka prijelaza topline, koja se naziva Stantonov broj, St = /(wcp), a povezana je s Nusseltovom znaajkom na slijedei nain:

St = Nu/(RePr). (58)

Pri izboru empirijskih formula mora se posebna panja obratiti uvjetima u kojima se ona smije koristiti, kao i uputama o referentnoj temperaturi prema kojoj se uzimaju fizikalna svojstva fluida.

PROLAZ TOPLINE

Da bi se odredila toplina koju fluid predaje ili prima od stijenke nuno je poznavati temperature fluida f i stijenke s, jer je gustoa toplinskog toka opisana jednadbom prijelaza topline:

. (59)

Kako se u praksi ne vri mjerenje temperature stijenke, ve samo fluida, to jednadba (59) sadri dvije nepoznanice: qs i s. Stoga je potrebno proiriti fizikalni model tako da se ukljui i fluid s druge strane stijenke, ija se temperatura takoer moe mjeriti.

Slika 14. Uz definiciju koeficijenta prolaza topline, k W/(m2 K)

Koeficijent prolaza topline k definira se jednadbom prolaza topline:

, W, (uvjetna upotreba). (60)

Ova jednadba daje tonu vrijednost za toplinski tok Qs kroz stijenku povrine A samo u sluajevima kada su temperature oba fluida konstantne, pa je i razlika fA fB = konst. Ipak, ponekad se primjenjuje i na sluajeve kada se male varijacije temperatura fluida fA(x) i fB(x) du povrine A smiju aproksimirati s konstantnim srednjim temperaturama, fA i fA.

Osim toga, produkt kA u jednadbi (60) ukazuje na povezanost koeficijenta prolaza topline i povrine, pa e odreivanje k ovisiti o geometriji promatranog fizikalnog modela. U nastavku e se razmotriti dva karakteristina modela stijenke.

Ravna ploa

Povrina A kroz koju prolazi toplina jednaka je za oba fluida. Za stacionarno stanje je , to znai da se temperaturno polje vremenom ne mijenja. Primjer takvog temperaturnog polja prikazan je na slici 15. Fizikalni model ima tri domene (podruja), dvije domene fluida A i B u kojima se odvija konvektivni prijenos topline, te domenu stijenke u kojoj se odvija provoenje topline.

Slika 15. Prolaz topline kroz ravnu stijenku

Toplinski tok jednak je za sve domene i opisuje se s odgovarajuim jednadbama:

, (prijelaz topline s fluida A na stijenku), (61)

, (provoenje kroz stijenku), (62)

, (prijelaz topline sa stijenke na fluid B). (63)

Preoblikovanjem tih jednadbi, tako da na desnim stranama ostanu samo razlike temperatura, te potom njihovim zbrajanjem, dobiva se:

, (64)

odnosno

. (65)

U nazivniku ove jednadbe je zbroj pojedinanih toplinskih otpora: (1/A) prijelazu topline s fluida A na stijenku, (s/s) provoenju topline kroz stijanku i (1/B) prijelazu topline sa stijenke na fluid B. Vei toplinski otpor u nekoj domeni praen je veom razlikom temperature u toj domeni. Prema izgledu temperaturnog polja na slici 15. slijedi da je najmanji toplinski otpor onaj od stijenke, jer je razlika temperatura te domene, 1 2, najmanja. Najvei toplinski otpor je na strani fluida B.

Jednadba (65) povezuje toplinski tok s razlikom temperatura dvaju fluida (A B), pa po svom obliku odgovara jednadbi (60). Stoga zakljuujemo da je koeficijent prolaza topline kroz ravnu plou definiran jednadbom:

, W/(m2 K), (koeficijent prolaza topline ravna stijenka). (66)

Odreivanje vrijednosti koeficijenta prolaza topline po toj jednadbi zahtijeva prethodno odreivanje koeficijenata prijelaza topline A i B, postupkom koji je opisan ranije. Budui da se pri odreivanju koeficijenata koristimo prosjenom temperaturom fluida, a ne vodimo rauna o stvarnoj distribuciji temperature u fluidu, to e izraunata vrijednost za k prema jednadbi (66) biti upotrebljiva i u sluajevima kada postoji znaajna promjene temperature fluida du povrine A. Razlika se javlja samo u nainu odreivanja toplinskog toka.

U sluajevima kada su temperature fluida konstantne: A = konst. i B = konst. dobiva je tona vrijednost toplinskog toka iz jednadbe:

, W. (toplinski tok kroz ravnu stijenku). (67)

Primjena ove jednadbe moe se tolerirati i u sluajevima zanemarivih varijacija temperatura, tj. kada je A(A) konst. i/ili B(A) konst.

U svim drugim sluajevima toplinski tok, ali ne i koeficijent k, odreuje se procedurom koja je posebno opisana u poglavlju o izmjenjivaima topline!

Cijevna stijenka

Kroz stijenku cijevi duine L, definiranu s radiusima r1 i r2, je u stacionarnom stanju toplinski tok Kako povrina kroz koju prolazi toplina ovisi o radiusu, A = 2rL, to je i gustoa toplinskog toka funkcija radiusa, qs = Qs/A = qs(r).

Slika 16. Temperaturno polje u fluidima i cijevi

U svakom od tri podruja vrijedi odgovarajua jednadba za toplinski tok:

, (prijelaz topline s fluida A na stijenku), (68)

, (provoenje kroz stijenku prema jedn. 29), (69)

, (prijelaz topline sa stijenke na fluid B). (70)

Preoblikovanjem tih jednadbi, tako da na desnim stranama ostanu samo razlike temperatura, te potom njihovim zbrajanjem, dobiva se:

, (71)

odnosno,

, W, (toplinski tok kroz cijev). (72)

Koeficijent prolaza topline k definira se jednadbom u kojoj se pored razlike temperatura fluida pojavljuje povrina A kroz koju prolazi toplinski tok, kako je to zapisano jednadbom(67).

Da bi definirali koeficijent k za cijevnu stijenku potrebno je toplinski tok prema jednadbi (72) izraziti uz neku povrinu A = 2rL. Logian izbor je jedna od dvije karakteristine povrine: A1 = 2r1L ili A2 = 2r2L.

Za toplinski tok sveden na povrinu A1,

, (73)

koeficijent prolaza topline je:

, W/(m2 K), (sveden na povrinu A1). (74)

Za toplinski tok sveden na povrinu A2,

, (75)

koeficijent prolaza topline je:

, W/(m2 K), (sveden na povrinu A2). (76)

Usporedbom jednadbi (73) i (75) vidi se da vrijedi: k1A1 = k2A2, tj. na manjoj povrini A je k vei i obratno.

Toplinski tok moe se raunati iz bilo koje prethodne jednadbe, ovisno o raspoloivim podacima temperatura, samo onda kada su te temperature konstantne, ili neznatno variraju du povrine A. U protivnom se mora koristiti proraun izmjenjivaa topline.

Suprotno tome, jednadbe (74) i (76) mogu se koristiti za odreivanje koeficijenta k u svim sluajevima.