A P2 SERÁ NO DIA 29-OUT

Ondas em meios limitados

Ondas se propagam

https://www.youtube.com/watch?v=jmYemuXCC6Y

Ondas sofrem reflexão

https://www.youtube.com/watch?v=1GyiHMj67JE

Ondas propagantes unidirecionais, 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 ± 𝑣𝑡 ,só podem existir em meios INFINITOS

Em meios FINITOS há ondas indo e vindo, 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝑓 𝑥 + 𝑣𝑡 + 𝑔(𝑥 − 𝑣𝑡)

Ondas Estacionárias

Resultado da adição de ondas HARMÔNICAS contra-propagantes (de mesmo 𝜆 e 𝐴)

https://www.youtube.com/watch?v=lisLZtm-v7w

Applet “standingwavereflection” (fixed end

e free end. Observar onda incidente, refletida e resultante)

A matemática ...

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝜙/2 cos 𝜔𝑡 − 𝜙/2

cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos (𝑎 + 𝑏)/2 cos (𝑎 − 𝑏)/2

𝑡 = 0

𝑡 = 𝑇4

𝑡 = 𝑇2

𝑡 = 3𝑇4

𝑡 = 𝑇

𝜆/4

𝑣 =𝜆

𝑇

On

da

pro

pag

ante

du

ran

te 𝑇

𝑡 = 𝑇2

𝑡 = 𝑇

𝑡 = 0

𝑡 = 3𝑇4

𝑡 = 𝑇4

On

da

esta

cio

nár

iad

ura

nte

𝑇

ANTI NODOS

NODOS

Applet “waves_types_App” (ondas longitudinais apenas)

Contrastar a evolução temporal da onda propagante e da onda estacionáriaDestacar Nodos e Anto-nodos da onda estacionária

É possível encontrar qualquer tipo de onda estacionária (com

qualquer 𝜆) no violão?

Ondas estacionárias em meios FINITOS

𝐿

𝜆Esse 𝜆 só pode existir no violão acima caso 𝐿 = {𝐿1, 𝐿2, 𝐿3, … }

NODOS

𝐿1𝐿2

𝐿3

Ou, esse 𝐿 só admite certos 𝜆′s e 𝑓′s...

𝐿 = 𝑛𝜆

2

𝜆 =2𝐿

𝑛𝑓 =

𝑛𝑣

2𝐿𝑛 = {1, 2, 3, … }

Fixo (NODO)

Outros 2 tipos de CONDIÇÕES DE CONTORNO para uma corda de tamanho 𝐿

Misto 𝐿 = 𝑛𝑖𝜆

4

𝜆 =4𝐿

𝑛𝑖𝑓 =

𝑛𝑖𝑣

4𝐿𝑛𝑖 = {1, 3, 5, … }

𝜆 =2𝐿

𝑛𝑓 =

𝑛𝑣

2𝐿

𝑛 = {1, 2, 3, … }

𝐿 = 𝑛𝜆

2

Livre (ANTI-NODO)

https://www.youtube.com/watch?v=V_KOpEOb1KE

𝑓0 2𝑓0 3𝑓0 4𝑓0

12𝑓0

32𝑓0

52𝑓0

72𝑓0

MODOS NORMAIS de vibração de uma corda

Ouça os modos normais...https://www.youtube.com/watch?v=Ew0fZh9INbQ

Como faço para gerar um modo normal em uma corda ?

Modos normais de vibração

A corda “gosta” de vibrar nas frequências:

Nesses MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO, todos os elementos da corda oscilam com a mesma frequência

𝑓0, 2𝑓0, 3𝑓0, 4𝑓0,⋯

𝑓0 =𝑣

2𝐿

Uma analogia…

f = 1,15 x 1014 Hzf = 0,49 x 1014 Hz f = 1,18 x 1014 Hz

Ressonância

Se a frequência de uma perturbação harmônica coincide com uma das frequências

normais, o modo normal correspondente entra em ressonância

Applet “stat_wave_App”

Modos normais de uma membrana circular

𝑓0 2,30 𝑓0 3,60 𝑓0

1,59 𝑓0 2,92 𝑓02,14 𝑓0

https://www.youtube.com/watch?v=v4ELxKKT5Rw

https://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w

Uma corda de violão está sempre em algum modo

normal?

Nem sempre, mas ela está sempre em uma SUPERPOSIÇÃO de modos

normais

Isso é um dos modos normais?

http://eaulas.usp.br/portal/video.action;jsessionid=90E5534257EC938ECF2E320503960239?idItem=6601

Applet “loadedstring” (selecionar DISPLAY MODES)

SEM damping:1. Mostrar alguns modos normais isolados (use CLEAR para

zerar modo anterior)2. Mostrar uma combinação de modos normais

COM damping modesto:1. STOPPED2. PLUCK com mouse esquerdo em 3L/43. UNSTOPPED

A energia de uma onda estacionária

No caso da onda propagante, 𝑑𝐾 = 𝑑𝑈

𝑣

Na onda estacionária, 𝑑𝐾 ≠ 𝑑𝑈

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡

𝑑𝑈 =1

2(𝜏𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

𝑑𝐾 =1

2(𝜇𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2

=1

2(𝜏𝑑𝑥) 𝐴2𝑘2sin2(𝑘𝑥)cos2(𝜔𝑡)

=1

2(𝜇𝑑𝑥) 𝐴2𝜔2cos2(𝑘𝑥)sin2(𝜔𝑡)

𝜇𝜔2 = 𝜏𝑘2Mostre que:

𝑡 = 𝑇4

𝑡 = 𝑇2

𝑡 = 0

𝑡 = 3𝑇8

𝑡 = 𝑇8

𝑈

𝐾

𝑈

𝐾,𝑈

𝐾, 𝑈

Energia elástica 𝑈 se localiza nos NODOS

Energia cinética 𝐾 se localiza nos ANTI-NODOS

Ambas oscilam com período 𝑇/2

SUPLEMENTOS

https://www.youtube.com/watch?v=BTCZmOpCxtI

𝑓 =𝑛𝑣

2𝐿

Explicações

(até 00:40) 𝐿 fixo, relaxando a tensão diminui 𝑣 aumenta 𝑛

𝑓 =𝑛𝑣

2𝐿

(até 01:30) tensão fixa, diminui 𝐿 diminui 𝑛

https://www.youtube.com/watch?v=BTCZmOpCxtI

Ondas estacionárias vistas com estroboscópio

https://www.youtube.com/watch?v=5ICHZjnxgTs