116

บทที่ 7 แรงเฉือน และโมเมนต์ดัดในคาน

7.1 ความน า ในการออกแบบโครงสร้างใดๆ นั้นจ าเป็นต้องทราบขนาดของคานเสียก่อน ซึ่งการหาขนาดของคานน้ัน อาจจะพิจารณาได้จากค่าของโมเมนต์ดัดและแรงเฉือนสูงสุดที่กระท าต่อคานตามจุดต่างๆ ตลอดความยาวของคาน และจะต้องเขียนแบบภาพของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดให้ได้เพื่อใช้ในการวิเคราะห์โครงสร้างต่อไป 7.2 แรงเฉือนในคาน แรงเฉือน ( Shearing Force) คือแรงที่พยายามจะเฉือนส่วนของโครงสร้างในลักษณะที่จะท าให้ขาดออกจากกัน แรงเฉือนในหน้าตัดใดหน้าตัดหน่ึงบนส่วนของโครงสร้างสามารถหาได้จากผลรวมพีชคณิตของแรง หรือน้ าหนักจากภายนอกที่กระท าในแนวต้ังฉากกับส่วนของโครงสร้างทางด้านใดด้านหน่ึงของหน้าตัดนั้น แรงเฉือนสามารถพิจารณาจากรูปที่ 7.1 ซึ่งแสดงถึงคานอย่างง่ายที่อยู่ภายใต้แรง P1, P2 และ P3

และมีแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ คือ RA และ RB จุด Q เป็นจุดที่จะหาขนาดของแรงเฉือนกระท า

รูปท่ี 7.1 แรงเฉือนที่ท าให้ด้าน QB ของหน้าตัดที่ Q สมดุล คือ RB - P3 แรงที่ท าให้ด้าน QA ของหน้าตัดที่ Q สมดุล คือ P1 + P2 - RA ระบบสมดุล จะได้ว่า แรงเฉือนทางซ้ายมือ = แรงเฉือนทางขวามือ RB - P3 = P1 + P2 - RA ดังนั้นที่จุด Q สมดุลอยู่ได้ด้วยแรงขนานที่มีขนาดเท่ากันสองแรงแต่ทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งพยายามจะเฉือนวัตถุให้ขาดจากกันที่จุด Q ดังแสดงในรูปที่ 7.1 (b) และจะได้ว่า

P1 P2 P3

RA RB

A B Q

117

ด้านขวามือ VR = RB - P3 ……………………… 7.1 ด้านซ้ายมือ VL = P1 + P2 - RA ……………………... 7.2 นั่นคือ การที่จะหาแรงเฉือนเกิดขึ้นในคาน จะต้องทราบแรงภายนอกและแรงปฏิกิริยาทั้งหมดที่เกิดขึ้นต่อคาน จึงจะหาแรงเฉือนต่อไป แรงเฉือนในคานจะเกิดขึ้นทุกๆ หน้าตัด

7.2.1 เครื่องหมายของแรงเฉือน แรงเฉือนในคานเกิดจากผลรวมทางพีชคณิตของแรงภายนอกในแนวดิ่งจึงก าหนดเคร่ืองหมายของแรงภายนอก ดังนี้ แรงที่กระท าในแนวด่ิงมีทิศทางขึ้น มีเคร่ืองหมายเป็นบวก และมีทิศทางลงเป็นลบ ฉะนั้นเคร่ืองหมายของแรงเฉือนก็ควรจะมีทั้งบวกและลบด้วย จึงก าหนดได้ว่า แรงเฉือนที่พยายาม ท าให้คานทางด้านซ้ายเคลื่อนที่ขึ้นให้เป็นบวก และลงให้เป็นลบ ดังแสดงในรูปที่ 7.2

รูปท่ี 7.2 แรงเฉือน

7.2.2 แผนภาพแรงเฉือน (Shearing Force Diagram : SFD) การวเิคราะห์และการออกแบบโครงสร้าง จ าเป็นต้องทราบค่าของแรงเฉือนตรงบรเิวณหน้าตัดตลอดความยาวของโครงสร้างส่วนน้ัน ว่ามีการเปลี่ยนแปลงค่าแรงเฉือน เป็นอย่างไร และตรงบริเวณหน้าตัดใดมีค่าของแรงเฉือนมากที่สุด ดังน้ัน การเขียนแผนภาพ ( Diagram) ของค่าแรงเฉือน จึงช่วยในการพิจารณาได้เป็นอย่างดี แผนภาพที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าแรงเฉือนและความยาวของโครงสร้าง (คาน) เรียกว่า แผนภาพแรงเฉือน มักนิยมเรียกย่อ ๆ ว่า SFD การเขียนแผนภาพแรงเฉือน ปกติแล้วจะให้จุดซ้ายมือสุดของส่วนของโครงสร้าง (คาน) เป็นจุดเร่ิมต้น โดยให้แนวแกนของคานตลอดความยาวเป็นแกนนอน (Base Line) ส่วนค่าของแรงเฉือนตลอดความยาว ให้เขียนเป็นแกนต้ังในแต่ละหน้าตัดของคาน ส าหรับเคร่ืองหมายให้คิดว่า ถ้าเป็นแรงเฉือนที่มีค่าเป็นบวกให้วัดค่าขึ้นเหนือแกนนอนและค่าที่เป็นลบให้วัดลงใต้เส้นแกนนอนดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 7.1 AB เป็นคานแบบง่าย ซึ่งพาดอยู่ระหว่างฐานรองรับ A และ B รับน้ าหนักบรรทุกต่างๆ ดังแสดงในรูปที่ 7.3 จงหาแรงเฉือนในคาน และเขียนแผนภาพแรงเฉือน

(a) บวก (b) บวก

118

รูปท่ี 7.3 วิธีท า 1) ค านวณหาแรงปฏิกิริยา ซึ่งโครงสร้างนี้อยู่ในสมดุล จึงใช้สมการของการสมดุลได้ดังนี้ 1.1 ผลรวมของแรงตามแนวแกน X เท่ากับ ศูนย์ คือ Fx = 0 จะได้ RAX – 10 cos 60 = 0 RAX = 5 N 1.2 ผลรวมของโมเมนต์รอบจุด A เท่ากับศูนย์ คือ MA = 0 จะได้ ( 2 x 2) (1) + (20)(3) + (10 Sin 60)(4) – (RBY)(5) = 0 RBY = 19.73 N 1.3 ผลรวมของแรงตามแนวแกน Y เท่ากับศูนย์ คือ จะได้ RAY – (2 x 2) – 20 – (10) Sin 60+ 19.73 = 0 RAY = 12.93 N

2) การเขียนภาพแรงเฉือน 2.1 ค านวณแรงเฉือนที่จุดต่าง ๆ ได้ - ให้ที่ฐานรองรับ A ซึ่งตรงกับจุด A เป็นจุดเร่ิมต้น ดังนั้นแรงเฉือนที่สุด A ได้ VAY = +12.93 N

- ที่จุด C เน่ืองจากช่วง AC มีแรงกระท าอย่างสม่ าเสมอด้วยขนาด 2 ตันต่อเมตรและให้ แกน X อยู่บนความยาวของคาน ดังน้ันแรงเฉือนในช่วง AC นี้ จะเป็นไปตาม VAY – 2X เพราะฉะนั้นจะได้แรงเฉือนที่จุด C เป็น VCY = +12.93 – (2) (2) = + 8.93 N

X

2 N/m 20 N

RAY RBY

A B C

Y

0

10 N

D E RAX

1 m 1 m 1 m 2 m

119

ดังนั้น จะเห็นว่าแรงเฉือนในช่วงนี้จะลดลงอย่างสม่ าเสมอจาก + 12.93 ตัน จนถึง + 8.93 ตัน - ที่จุด D มีแรงภายนอกขนาด 20 ตัน กระท า แต่ก่อนจะถึงจุด D เพียงเล็กน้อยนั้น คือ ช่วง CD ช่วงนี้ไม่มีแรงกระท า ดังนั้นขนาดของแรงเฉือนตลอดความยาวของช่วงนี้จึงมีค่าคงที่เท่ากับแรงเฉือนที่จุด C แต่ ณ ที่จุด D ทางด้านขวามือ จะมีแรงเฉือนขนาด VDY = +8.93 – 20 = - 11.07 N

- ที่จุด E มีแรงภายนอกขนาด 10 ตัน กระท าในแนวที่ท ามุม 60 กับแกน X (แนวของ คาน) จึงสามารถแยกแรงกระท านี้ตามแนวแกน Y (แนวดิ่ง) ได้ว่า 10 sin 60 และก่อนจะถึงจุด E เพียงเล็กน้อย (ด้านซ้ายมือของจุด E) คือช่วง DE ช่วงนี้ ไม่มีแรงกระท า ดังนั้น ขนาดของแรงเฉือนในช่วงนี้จึงมีค่าคงที่เท่ากับแรงเฉือนที่จุด D แต่ ณ ที่จุด E ด้านขวามือ จะได้แรงเฉือนมีขนาด VEY = - 11.07 – 10 sin 60 = - 19.73 N

- ที่จุด B พิจารณาในช่วง EB ซึ่งช่วงนี้ไม่มีแรงจากภายนอกอื่นมากระท าเลย ดังนั้น ช่วงนี้จึงมีแรงเฉือนขนาดคงที่เท่ากับจุด E เพราะฉะนั้นแรงเฉือน ณ จุดนี้ จึงมีค่า VBY = - 19.73 N 2.2 จากขั้นตอนการพิจารณาหาช่วงแรงเฉือนในข้อ (2.1) ดังกล่าวแล้วก็สามารถเขียนแผนภาพแรงเฉือนได้ดังรูปที่ 7.4

x (m)

2 N/m 20 N

RAY RBY

A B C

Y (T)

10 N

D E RAX

0

12.93 8.93

-11.07 -19.73 (b)

(a)

รูปท่ี 7.4 แผนภาพแรงเฉือน

120

ข้อสังเกต 1) แผนภาพแรงเฉือนที่เกิดจากแรงกระท าเป็นจุด (Concentrated Load) จะได้รูปภาพของแรงเฉือนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังเช่น ในช่วง C ถึง B ในรูปที่ 7.4 (b)

2) แผนภาพแรงเฉือนที่เกิดจากแรงกระท าแบบแผ่เฉลี่ยสม่ าเสมอ (Uniformly Distributed Load) จะได้รูปภาพเป็นรูปแบบเฉียงคล้ายรูปสามเหลี่ยม ดังเช่น ช่วง A ถึง Cในรูปที่ 7.4 (b)

7.3 โมเมนต์ดัดในคาน (Bending Moment)

เมื่อมีแรงกระท าต่อคานจะเกิดการแอ่นตัว หรือโก่งงอ ซึ่งจะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับขนาดของแรง ขนาดของคาน และชนิดของวัสดุที่ใช้ท าคานนั้นๆ อย่างไรก็ตาม เพื่อให้เกิดการสมดุลของหน้าตัด หรือให้คานนั้นอยู่ในภาวะสมดุล จึงเกิดโมเมนต์ต้านทานต่อการแอ่นตัว หรือการโก่งงอ ดังกล่าวนั้นไว้ หรืออาจกล่าวได้ว่า โมเมนต์ดัด หมายถึง โมเมนต์ที่พยายามจะต้านทานการดัด หรือหมุนส่วนของโครงสร้างให้โก่งงอ ซึ่งโมเมนต์ดัด ณ ที่หน้าตัดส่วนใดส่วนหนึ่งบนคาน สามารถหาได้จาก ผลรวมของพีชคณิตของโมเมนต์ที่ได้จากการกระท าของแรงซึ่งผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดนั้น

รูปท่ี 7.5 แสดงโมเมนต์ดัดที่จุด C

7.3.1 การก าหนดเคร่ืองหมายส าหรับโมเมนต์ดัดในคาน โมเมนตใ์ดที่พยายามท าให้คานแอ่นหรือโก่งงอ ตามรูปที่ 7.5 (a)ให้ค่าโมเมนต์ดัด (BM) เป็นค่าบวก และถ้าโมเมนต์ดัด (M) ท าให้คานแอ่นหรือโก่งงอ ตามรูปที่ 7.5 (b) ให้ค่าเป็นค่าลบ

7.3.2 แผนภาพโมเมนต์ดัด ( Bending Moment Diagram : BMD ) ความจ าเป็นอีกอันหน่ึงที่จ าเป็นต้องทราบเพื่อประกอบในการวิเคราะห์ หรือออกแบบโครงสร้าง นอกจากแรงเฉือนในคานแล้ว คือ โมเมนต์ดัดในคาน และแผนภาพที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดัดกับความยาวของคาน เรียกว่า ภาพโมเมนต์ดัด มักนิยมเขียนย่อๆ ว่า BMD สุดของคานเป็นจุดเร่ิมต้น ให้แกน X เป็นแกนสะเทินอยู่บนแนวตามยาวของคาน และค่าของโมเมนต์ดัด ณ ที่หน้าตัดส่วนใดๆ ที่ระยะ x จะเขียนตามแนวแกน Y

(b)

(a)

M M

M M

121

ตัวอย่างที่ 7.2 จงหาโมเมนต์ดัดที่จุด A, B และ C ของคานอย่างง่าย ตามรูปที่ 7.6 และเขียนแผนภาพโมเมนต์ดัดด้วย

รูปท่ี 7.6 แสดงเคร่ืองหมายโมเมนต์ดัด วิธีท า 1) ค านวณหาแรงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ A และ B ได้จาก Fx = 0 ได้ RAX = 0 MA = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงรอบจุด A) ได้ (4000) (2) – (RBY) (4) = 0 RBY = 2000 N และ Fy = 0 ได้ RAY + RBY – 4000 = 0

RAY + 2000 – 4000 = 0 RAY = 2000 N

2) ค านวณหาโมเมนต์ดัดที่จุดต่าง ๆ ได้ ที่จุด A :

AM = 0 ที่จุด D :

DM = (RAY)(1) = (2000)(1) = + 2000 N.m ที่จุด C :

CM = (RAY)(2) = (2000)(2) = + 4000 N.m ที่จุด E :

EM = (RAY)(3) – (4000)(1) = (2000)(3) – (4000)(1)

X

1 m

4000 N

RAY RBY

A B C

Y

0

1 m

D E RAX

2 m 2 m

122

= + 2000 N.m ที่จุด B :

BM = 0 3) น าค่าที่ค านวณได้ในข้อ 2) มาเขียนแผนภาพ จะได้ดังแสดงในรูปที่ 7.7

รูปท่ี 7.7 ตัวอย่างที่ 7.3 รูปที่ 7.8 แสดงคานอย่างง่าย ซึ่งมีน้ าหนักแผ่เฉลี่ยอย่างสม่ าเสมอขนาด 2000 N/m กระท าตลอดความยาวของคาน AB จงหาค่าโมเมนต์ดัดในคาน และเขียนภาพโมเมนต์ดัดด้วย

รูปท่ี 7.8

X

1 m RAY RBY

A B C

Y

0 1 m

D E RAX

1 m 1 m

2000 N/m

x (m)

1 m

RAY RBY

A B

C

Y

0

1 m

D E RAX

1 m 1 m

4000

2000 2000

4000 N

123

วิธีท า 1) ค านวณหาแรงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ A และ B ได้

RAY = RBY = 2

42000 = 4000 N

2) ค านวณหาโมเมนต์ที่จุดต่างๆ ได้

AM = 0

CM = (+RAY)(1) – (2000)(1)

2

1

= + 3000 N.m

MD = (+RA)(2) – (2000)(2)

2

2

= + 4000 N.m

ME = (+RA)(3) – (2000)(3)

2

3

= + 3000 N.m และ MB = 0 3) เขียนภาพโมเมนต์ดัด จะได้ดังแสดงในรูปที่ 7.9

รูปท่ี 7.9 แสดงภาพโมเมนต์ดัดของแรงแผ่อย่างสม่ าเสมอ ข้อสังเกต 1) ถ้าน้ าหนักกระท าต่อคานเป็นแบบจุด (Concentrated Load) ภาพโมเมนต์ จะได้เป็นรูป

สามเหลี่ยม 2) ถ้าน้ าหนักกระท าต่อคานเป็นแบบแผ่สม่ าเสมอ ภาพของโมเมนต์ดัด จะได้รูปเส้นโค้ง ก าลังสองขึ้นไป

x (m)

RAY RBY

A B

C

Y

0

D E RAX

+4000 +3000 +3000

2000 N/m

124

ตัวอย่างที่ 7.4 รูปที่ 7.10 แสดงน้ าหนักบรรทุกเป็นจุดกระท าที่ปลายคานแบบยื่น จงหาค่าของแรงเฉือน โมเมนต์ดัด เขียนภาพแรงเฉือน และเขียนภาพโมเมนต์ดัด

รูปท่ี 7.10 วิธีท า 1) ค านวณแรงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ A ได้ RAY = 4000 N 2) ค านวณแรงเฉือนที่จุด A, B และ C ได้ + VAY = + RAY = + 4000 N + VCY = + RAY = + 4000 N + VBY = + RA = 0

3) ค านวณหาโมเมนต์ดัดที่จุด A, B และ C ให้ B เป็นจุดเร่ิมต้น MA = - (4000)(2) = - 8000 N.m

MC = (+ RAY)(1) – 8000 = - 4000 N.m

และ MB = (+ RAY)(2) – 8000 = 0

4) เขียนภาพแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ได้ดังแสดงในรูปที่ 7.11

4000 N

2.0 m

125

รูปท่ี 7.11

ตัวอย่างที่ 7.5 รูปที่ 7.12 แสดงน้ าหนักบรรทุกที่แผ่เฉลี่ยสม่ าเสมอกระท าตลอดช่วงความยาวของ คานยื่น จงหาแรงเฉือน โมเมนต์ดัด เขียนภาพแรงเฉือน และภาพโมเมนต์ดัด

รูปท่ี 7.12

วิธีท า 1) ค านวณหาแรงปฏิกิริยา จะได้ RAY = (200) (3) = 600 N 2) โมเมนต์ดัดรอบจุด A ได้

MA = - (200) (3)

2

3 = - 900 N.m

4000 N

SFD

BMD

200 N/m

3.0 m

M

126

3) ให้จุด B เป็นจุดเร่ิมต้น 4) หาแรงปฏิกิริยาที่จุดต่างๆ ได้

ที่จุด B : VBY = + RAY – (200)(3) = 0 ที่จุด D: VDY = + RAY – (200)(2) = + 200 N ที่จุด C: VCY = + RAY – (200)(1) = + 400 N ที่จุด A: VAY = + RAY = 600 N

5) หาโมเมนต์ดัดที่จุดต่าง ๆ

ที่จุด B : MB = - 900 + (RAY)(3) – (200)(2)

2

3

= 0

ที่จุด D: MD = - 900 (+RAY)(2) – (200)(2)

2

2

= - 100 N.m

ที่จุด C: MC = - 900 (+RAY)(1) – (200)(1)

2

1

= - 400 N.m ที่จุด A : MC = - 900 N.m

6) จากข้อ (4) และ (5) เขียนรูป SFD และ BMD จะได้ดังแสดงในรูปที่ 7.13

รูปท่ี 7.13

BMD

SFD

127

ตัวอย่างที่ 7.6 จงหาค่าของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดที่จุด A, B, C, D และ E ของคานอย่างง่ายใน

รูปท่ี 7.14 วิธีท า 1) หาแรงปฏิกิริยาที่จุด A และ E ได้จาก ME = 0 (+RAY) (4) – (50) (3) – (100) (2) – (40) (1) = 0 RAY = 97.5 N Fy = 0 + RAY + REY – 50 – 100 – 40 = 0 REY = 92.5 N 2) หาแรงเฉือนที่จุด A, B, C, D, และ E ให้จุด A เป็นจุดเร่ิมต้น ที่จุด A : VAY = RAY = +97.5 N ในช่วง AB : VAB = RAY = +97.5 N ที่จุด B : VBY = 97.5 – 50 = 47.5 N ในช่วง BC : VBC = + 47.5 N ที่จุด C : VCY = +47.5 – 100 = - 52.5 N ในช่วง CD : VCD = - 52.5 N ที่จุด D VDY = - 52.5 – 40 = -92.5 N ในช่วง DE : VDE = - 92.5 N ที่จุด E : VEY = - 92.5 N 3) หาโมเมนต์ดัดที่จุดต่าง ๆ ได้ โดยที่ A เป็นจุดเร่ิมต้น

X

1 m RAY RBY

A B C

Y

0 1 m

D E RAX

1 m 1 m

50 N 100 N 40 N

128

ที่จุด A : MA = 0 ที่จุด B: MB = (+ RAY)(1) = 97.5 N.m ที่จุด C: MC = (+ RAY) (2) – (50) (1) = 145 N.m ที่จุด D: MD = (+ RAY) (3) – (50) (2) – (100) (1) = 92.5 N.m ที่จุด E: ME = (+ RAY)(4) – (50)(3) – (100) (2) –(40)(1) = 0 4) เขียนรูป SFD และ BMD โดยอาศัยข้อมูลจากข้อ 2) และ 3) ได้ดังแสดงในรูปที่ 7.16

รูปท่ี 7.15

129

แบบฝึกหัดบทท่ี 7

จงหาค่าแรงเฉือนโมเมนต์ดัด และเขียนรูปภาพแรงเฉือน ( Shearing Force Diagram) และภาพโมเมนต์ดัด (Bending Moment Diagram) ต่อไปนี้ และให้บอกค่าแรงเฉือนและโมเมนต์มากที่สุด รูปที่ 7.16 – 7.33 1.

รูปท่ี 7.16 2.

รูปท่ี 7.17 3.

รูปท่ี 7.18

P

1400 N

400 N 500 N

130

4.

รูปท่ี 7.19

5.

รูปท่ี 7.20 6.

รูปท่ี 7.21 7.

รูปท่ี 7.22

600 N 200 N 100 N

1.00

w N/m

l

w N/m

l

400 N/m

6.00

131

8.

รูปท่ี 7.23 9.

รูปท่ี 7.24 10.

รูปท่ี 7.25 11.

รูปท่ี 7.26

400 N/m

P

w N/m

132

12.

รูปท่ี 7.27 13.

รูปท่ี 7.28 14.

รูปท่ี 7.29

133

15.

รูปท่ี 7.30 16.

รูปท่ี 7.31

17.

รูปท่ี 7.32

134

18.

รูปท่ี 7.33