พีชคณิตบูลีน Boolean Algebramaths.sci.ku.ac.th/suriya/417271/Slide/Chapter 5 Boolean Algebra.pdf · 1 y 1 x 2 y 2 x 0 c 0 c 1 c 2 s 2 s 0 F.A . s 1 F.A . H

8/18/2014

1

พชคณตบลน Boolean Algebra Discrete Mathematics

Introduction to Boolean Algebra

8/18/2014

2

Boolean Operator

Boolean Expressions and

Boolean Functions

8/18/2014

3

Boolean Expressions and

Boolean Functions

Example: Boolean Functions

8/18/2014

4

Equal of Boolean Functions

Equivalent Boolean Expressions

8/18/2014

5

Complement of Boolean Functions

Laws of Boolean Algebra

𝒇 = 𝒇 𝒙 = 𝒙

Law of the Double Complement

𝒇 + 𝒈 = 𝒇 ∙ 𝒈 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 ∙ 𝒚

𝒇 ∙ 𝒈 = 𝒇 + 𝒈 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒙 + 𝒚

De Morgan’s Laws

𝒇+ 𝒈 = 𝒈+ 𝒇 𝒙+ 𝒚 = 𝒚+ 𝒙

𝒇 ∙ 𝒈 = 𝒈 ∙ 𝒇 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒚 ∙ 𝒙

Commutative Laws

8/18/2014

6


𝒇+ 𝒈+ 𝒉 = 𝒇+ 𝒈 + 𝒉 𝒙+ 𝒚+ 𝒛 = 𝒙+ 𝒚 + 𝒛

𝒇 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 = 𝒇 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒛 = 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒛

Associative Laws

𝒇+ 𝒈 ∙ 𝒉 = 𝒇+ 𝒈 ∙ (𝒇+ 𝒉) 𝒙+ 𝒚 ∙ 𝒛 = 𝒙+ 𝒚 ∙ (𝒙+ 𝒛)

𝒇 ∙ 𝒈+ 𝒉 = 𝒇 ∙ 𝒈 + (𝒇 ∙ 𝒉) 𝒙 ∙ 𝒚+ 𝒛 = 𝒙 ∙ 𝒚 + (𝒙 ∙ 𝒛)

Distributive Laws


𝒇+ 𝒇 = 𝒇 𝒙+ 𝒙 = 𝒙

𝒇 ∙ 𝒇 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝒙

Idempotent Laws

𝒇 + 𝟎 = 𝒇 𝒙+ 𝟎 = 𝒙

𝒇 ∙ 𝟏 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝟏 = 𝒙

Identity Laws

8/18/2014

7


𝒇 + 𝒇 = 𝟏 𝒙+ 𝒙 = 𝟏

𝒇 ∙ 𝒇 = 𝟎 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟎

Inverse Laws

𝒇+ 𝟏 = 𝟏 𝒙+ 𝟏 = 𝟏

𝒇 ∙ 𝟎 = 𝟎 𝒙 ∙ 𝟎 = 𝟎

Dominance Laws


𝒇+ 𝒇𝒈 = 𝒇 𝒙+ 𝒙𝒚 = 𝒙

𝒇 ∙ 𝒇+ 𝒈 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒙+ 𝒚 = 𝒙

Absorption Laws

8/18/2014

8

Proof of some Law

Proof of some Law

8/18/2014

9

Using Laws of Boolean Algebra

Boolean Function Construction

8/18/2014

10

พจารณาแถวทคาของฟงกชนเปน 1


โดยนยามของตวด าเนนการการคณ จะใหคาเปน 1 เมอตวถกด าเนนการทกตวมคาเปน 1 เพอเปลยน 0 ใหเปน 1 และใชนยามการคณ จะตองใชตวด าเนนการเตมเตมมาชวย


8/18/2014

11


โดยนยามของตวด าเนนการววก ถาตวถกด าเนนการตวใดตวหนงมคาเปน 1 จะท าใหผลลพธมคาเปน 1

Disjunctive Normal Form

8/18/2014

12

Example: Disjunctive Normal Form

พจารณาแถวทคาของฟงกชนเปน 1

𝒙 𝒚 𝒛

𝒙 𝒚𝒛

𝒙𝒚𝒛

𝒙𝒚𝒛

𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒙 𝒚 𝒛+ 𝒙 𝒚𝒛+ 𝒙𝒚𝒛 + 𝒙𝒚𝒛


8/18/2014

13


Boolean Input code

8/18/2014

14

Sum of Minterms

minterms เปนการใชเพอเนนวา “การเชอมมลฐานแบบใดบาง ท าใหคาฟงกชนเปน 1”

𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚𝒛+ 𝒙𝒚𝒛 + 𝒙 𝒚𝒛+ 𝒙 𝒚 𝒛

111 110 011 001

Sum of Minterms

1101 1100 0111 0110 1111 0101 13 12 7 6 15 5

8/18/2014

15

Duality แปลเปนไทยไดวา ภาวะคกน

การสรางคกนจะท าไดโดย เปลยนตวด าเนนการคณเปนบวก เปลยนตวด าเนนการบวกเปนคณ เปลยน 0 เปน 1 และเปลยน 1 เปน 0

ภาวะคกนของ Disjunctive Normal Form คอ Conjunctive Normal Form

Conjunctive Normal Form

8/18/2014

16

Conjunctive Normal Form การเลอกมลฐานนจะใหคาเปน 0 เพยงกรณเดยว คอ กรณททก Literal มคาเปน 0 ดงนน ผลคณของการเลอกมลฐาน กคอ กรณตางๆ ของ input ทฟงกชนใหคาเปน 0

กรณทฟงกชนใหคาเปน 0

𝒙 + 𝒚+ 𝒛

𝒙 + 𝒚+ 𝒛

𝒙+ 𝒚+ 𝒛

Product of Maxterms

การเขยนเพอระบแถวของฟงกชนทเปนตวกอใหเกด maxterm เรยกวา ผลคณของ maxterm (Product of maxterms)

แถวของฟงกชนทเปนตวกอใหเกด maxterm คอ แถวทใหคาฟงกชนเปน 0 ซงสอดคลองกบการสราง conjunctive Normal Form

8/18/2014

17

Product of Maxterms

เขยนในรป Product of Maxterms ไดเปน

Example: Conjunctive Normal Form

8/18/2014

18



8/18/2014

19


ภาวะคกนของ Disjunctive Normal Form คอ Conjunctive Normal Form


8/18/2014

20

Gating Network

• หนวยพนฐานของวงจรกคอ ประตสญญาณ (Gates) โดยประตสญญาณ คอ ตวด าเนนการพชคณตบลน

• ขอมลเขาและออก (สญญาณเปดหรอปด) เทยบไดกบ 0 หรอ 1 • ประตสญญาณนเสธ (Inverter gate) รบคาสญญาณเขาจาก 1 ตวแปรบลน

และใหสญญาณออกเปนการกลบสถานะของสญญาณเขา

𝒙 𝒙

Gating Network

• ประตสญญาณออร (OR Gate) มสญญาณเขาจากอยางนอย 2 ตวแปรบลน ซงอาจจะมมากกวากได และใหสญญาณออกเปนผลบวกบลนของสญญาณเขาทงหมด

𝒙

𝒚

𝒙+ 𝒚

• ประตสญญาณแอนด (AND Gate) มสญญาณเขาทมาจาก 2 ตวแปรบลนเปนอยางนอย โดยทจะใหสญญาณออกเปนผลคณบลนของคาทไดจากตวแปรบลนทงหมด

𝒙

𝒚

𝒙 ∙ 𝒚

8/18/2014

21

Gating Network Drawing

• เสนของสญญาณเขาสามารถแยกออกเพอเปนสญญาณเขาส าหรบประตสญญาณมากกวา 1 ประตได

• เสนสญญาณเขาและเสนสญญาณออกจะตองวงเขาสประตสญญาณเทานน • จะไมมสญญาณยอนกลบ

สญญาณออกจากประตสญญาณ G จะไมกลายเปนสญญาณเขาของ G หรอประตสญญาณทอยกอน G ไมวาจะทางตรงหรอทางออม

• เครอขายประตสญญาณนจะไมขนกบเวลา คาสญญาณออกจากวงจรจะถกค านวณรวมในครงเดยวพรอมกนทงวงจร เชนเดยวกบ Finite State Machine

Example: Gating Network

8/18/2014

22



8/18/2014

23



8/18/2014

24



8/18/2014

25


xy

x

y

x

y

yxxy

yx


8/18/2014

26



8/18/2014

27

Adder Circuit การววกแตละหลก ผลลพธทไดกคอ ผลววก และคาทถกทด

Adder Circuit

8/18/2014

28

Adder Circuit

yx

y

x

xyyxs

xy

xyc

Adder Circuit

iy

ix

iii yxs

iii yxc

1ic

iii yxc 1

iiiiii yxcyxc 1

1 iii css

H.A.

H.A.

วงจรตรรกศาสตรของตวววกเตม (Full-Adder)

8/18/2014

29

Adder Circuit

เลขฐานสอง 2 ต วซ งม ความยาวบ ตสตร งเท าก บ 3 น นค อ � �� และ � �� เราจะได ผลบวกเป น ��

0y

1x

1y

2x

2y

0x

0c

1c

2c

2s

0s

1s F.A.

F.A.

H.A.

Minimization of Logic Gates ฟงกชนบลนในรป d.n.f. หรอ c.n.f. สามารถเขยนเปนวงจรตรรกศาสตรได แตอาจจะตองใชประตสญญาณจ านวนมาก ท าใหคาใชจายเพมขน นอกจากนยงอาจท าใหวงจรเทอะทะของและสงผลกบความเรว

8/18/2014

30

Minimization of Logic Gates

เปาหมายการลดรป คอ ผลบวกของผลคณทเลกทสด (minimal-sum-of-products)


8/18/2014

31


Karnaugh maps Maurice Karnaugh ไดพฒนา แผนทคารนอฟ (Karnaugh maps) ในปค.ศ. 1953 วธการนจะชวยสรางเครอขายประตสญญาณ 2 ระดว แตขอจ ากดของวธการนกคอสามารถลดรปของ d.n.f. ทมตวแปรวลนไมเกน 6 ตว

8/18/2014

32

Karnaugh maps

แผนทคารนอฟแทนฟงกชนทประกอวดวย 2 ตวแปร 𝒚 𝒚

𝒙

𝒙

แตละชองทตดกน (adjacent) วนแผนทคารนอฟ เปรยวไดกว การเชอมมลฐานทแตกตางกนเพยง 1 literal

แผนทคารนอฟแทนฟงกชนทประกอวดวย 3 ตวแปร 𝒚𝒛 𝒚𝒛 𝒚 𝒛 𝒚 𝒛

𝒙

𝒙

Karnaugh maps

1 1 1

8/18/2014

33

Karnaugh maps

Karnaugh maps

8/18/2014

34

Karnaugh maps

Karnaugh maps

8/18/2014

35

Karnaugh maps การเลอกชองตารางทจะยบรวมกนนน จะตองเลอกจากชองตารางทเรยงชดตดกนทใหญทสด

Karnaugh maps

8/18/2014

36

Karnaugh maps

Karnaugh maps

𝑦𝑧 𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧

𝑤𝑥

𝑤𝑥

𝑤 𝑥

𝑤 𝑥

1 1 1 1

1 1 1

8/18/2014

37

Karnaugh maps

1 1 1 1

1 1 1

00-- -00- -0-0

Karnaugh maps

𝒚𝒛 𝒚𝒛 𝒚 𝒛 𝒚 𝒛

𝒘𝒙

𝒘𝒙

𝒘 𝒙

𝒘 𝒙

1 1 1 1

1

1

1

1 1

Not good

𝒘𝒚𝒛+𝒘𝒙𝒛 +𝒘𝒙 𝒚 +𝒘 𝒙 𝒚+𝒘 𝒙𝒚𝒛

8/18/2014

38

Karnaugh maps


𝒘𝒙

𝒘𝒙

𝒘 𝒙

𝒘 𝒙

1 1

1

1 1

1

1

𝒚 𝒛 𝒙 𝒛 𝒘𝒙 𝒚

𝒇 𝒘,𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒚 𝒛 +𝒘𝒙 𝒚+ 𝒙 𝒛

Karnaugh maps


𝒘𝒙

𝒘𝒙

𝒘 𝒙

𝒘 𝒙

1 1

1

1 1

1

1

1 1

𝒇 = 𝒘𝒙𝒚𝒛 +𝒘𝒙𝒚 𝒛 +𝒘𝒙 𝒚𝒛+𝒘𝒙 𝒚𝒛 +𝒘𝒙 𝒚 𝒛 +𝒘 𝒙𝒚𝒛+𝒘 𝒙𝒚𝒛

+𝒘 𝒙𝒚 𝒛 +𝒘 𝒙𝒚 𝒛+𝒘 𝒙 𝒚𝒛 +𝒘 𝒙 𝒚 𝒛

1 1

𝒛 𝒘 𝒙 𝒘𝒙 𝒚

8/18/2014

39

Documents

พีชคณิตบูลีน Boolean Algebramaths.sci.ku.ac.th/suriya/417271/Slide/Chapter 5 Boolean Algebra.pdf · 1 y 1 x 2 y 2 x 0 c 0 c 1 c 2 s 2 s 0 F.A . s 1 F.A . H