เนื้อหาการสอน - building.cmtc.ac.thbuilding.cmtc.ac.th/main/images/stories/jiraporn/Streng of material/8.pdf · A คือพ้ืนที่ลอ้มรอบด้วยเส้นผ่านศูนยก์ลางความหนาท่อ

เนือ้หาการสอน

สปัดาห์ท่ี

8

หนา้ท่ี

8

รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่

เม่ือแรงบิดเท่ากนั มุมบิดจะไม่เท่ากนัเพราะขนาดต่างกนั

มุมบิดรวม = มุมบิดของท่อน A = มุมบิดของท่อน B รวม = A + B

(ข) ปลายเพลาท้ังสองข้างโดนยึดแน่น แสดงดงัรูปท่ี 3.9

รูปท่ี 3.8




8


9


เม่ือปลายทั้งสองขา้งถกูยึดแน่น เพลาจะบิดไปเท่ากนัตลอดความยาวของเพลา แต่แรงบิดของแต่ละท่อนจะไม่เท่ากนัคือ

แรงบิดรวม = แรงบิดของท่อน A + แรงบิดของท่อน B Tรวม = TA + TB

ส่วนบิดรวม = มุมบิดของท่อน A = มุมบิดของท่อน B รวม = A = B

3.6.2 เพลาหลายอนัต่อกนัแบบขนาน เพลาหลายอนัต่อเขา้ดว้ยกนัแบบขนานหรือเพลาสองเพลามีแกนร่วมกนั แต่ขนาดไม่เท่ากนัสวมเขา้ดว้น

กนั แสดงดงัรูปท่ี 3.10


เน่ืองจากปลายทั้งสองขา้งของเพลาบิดไปดว้ยกนั ดงันั้นมุมบิดของเพลาทั้งสองจึงตอ้งเท่ากนัเราจะไดมุ้ม

บิดรวมเท่ากบัมุมบิดของท่อน A เท่ากบัมุมบิดของท่อน B รวม = A = B

แต่แรงบิดท่ีเกิดข้ึนในกรณีน้ีจะมีค่าท่ีไม่เท่ากนั ซ่ึงจะมีค่าดงัน้ี แรงบิดรวม = แรงบิดของท่อน A + แรงบิดของท่อน B

Tรวม = TA + TB

3.7 แรงบิดบนวสัดุผนังบาง (Torsion of Twin – Walled Members) วสัดุผนงับางเป็นวสัดุรูปทรงกระบอกท่ีมีหนา้ตดัไม่กลม ผนงับาง และความหนาไม่คงท่ีรับโมเมนตบิ์ด

T ให ้ เป็นความเคน้เฉือนอนัเน่ืองจากแรงบิดท่ีเกิดข้ึน ณ จุดใด ๆ บนหนา้ตดั แรงบิดต่อหน่ึงหน่วยความยาวของเสน้รอบรูปของรูปตดัผนงับางเรียกวา่ การไหลของแรงเฉือน q (Shear Flow)

A

A

B

A

B



8


10


q t = ค่าคงท่ี

1

2dA r dL

A dA

2

rdL

T qrdL 2 2q A t A

2

T

At

ในการหาค่ามุมบิดของวสัดุผนงับางน้ี เราจะตอ้งใชค่้าของพลงังานความเครียดซ่ึงเกบ็อยูใ่นท่อและให้เท่ากบังานท่ีกระท าโดยแรงบิด ในการบิดของท่อบาง เม่ือวสัดุมีความเคน้เฉือนกระท าจะมีพลงังานต่อหน่ึงหน่วยปริมาตร

พลงังานต่อหน่ึงหน่วยปริมาตร = 1

1 12

2 2

TAr r

AL AL L

แต่ r

L


2

dL




8


11


และ G

แทนในสมการขา้งบนจะได ้


2 2G G

พลงังานสะสมทั้งหมด 2

2U dU t ds L

G

พลงังานภายนอกจากการบิดเป็นมุม ; 1

2W T

จากกฎของพลงังาน

พลงังานภายนอก = พลงังานสะสมภายในเน้ือวสัดุ 21

2 2T t ds L

G

2

2

q L ds

G t

2q L ds

GT T

2

24

T L ds

GT tA

24

TL ds

tA G

ถา้ความหนาของผนงัคงท่ีสม ่าเสมอตลอดไปจะได้

มุมบิด 24

TL s

tA G

เม่ือ คือมุมบิดของเพลาท่ีบิดไป

T คือแรงบิดท่ีกระท ากบัท่อนั้นหรือเพลากลวงนั้น L คือความยาวของท่อ A คือพ้ืนท่ีลอ้มรอบดว้ยเสน้ผา่นศูนยก์ลางความหนาท่อ s คือเสน้รอบรูปของวสัดุท่อ t คือความหนาของท่อ G คือโมดูลสัของการเฉือน

หรือ มุมบิด TL

GJ (ในเม่ือ

24A tJ

s )



8


12

รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ 3.8 แรงบิดบนรูปหน้าตดัแบบต่าง ๆ

1. รูปหน้าตดัส่ีเหลีย่มผนืผ้า ส าหรับรูปตดัส่ีเหล่ียมผืนผา้ตนัท่ีมีความกวา้ง b ความลึก h และยาว L รับโมเมนตบิ์ด T จะได ้

ความเคน้เฉือนเน่ืองจากการบิดมากท่ีสุด จะเกิดตรงจุดก่ึงกลางของดา้นลึก h เสมอ ซ่ึงจะได ้

max 2 2

1.8 3b hT

b h

มุมบิด 2 2

3 3

7

2

TL b h

b h G

(เม่ือ

3 3

2 2

2

7

b hJ

b h

)

สูตรน้ีใชไ้ดท้ั้งส่ีเหล่ียมผืนผา้และส่ีเหล่ียมจตุัรัสดว้ย 2. รูปตดัส่ีเหลีย่มผนืผ้าผนังบาง ส าหรับรูปตดัส่ีเหล่ียมผืนผา้ผนงับางท่ีมีความหนา t ความลึก h และ

ความยาว L รับโมเมนตบิ์ด T จะได ้

max 2

3T

t h


3TL

t hG

3. รูปตดัรูปตวัแอล ส าหรับรูปหนา้ตดัตวัแอลท่ีมีความยาวของส่วนโครง L และรับโมเมนตบิ์ด T มีความหนา t และมีความกวา้งเท่ากบั b จะได ้

แรงบิด 31

3

GT t b

L

max GTL


3TL

t b G



8


13


4. รูปตดัแบบวงแหวนผ่า ส าหรับรูปหนา้ตดัแบบวงแหวนผา่ยาว L ความหนา t รับโมเมนตบิ์ด T เสน้ผา่นศูนยก์ลาง d จะไดค่้า

max 3

3T

t d

2

3

2

T

rt


3

2

T

rt G

ตวัอย่างที่ 3.1 จงหาค่าแรงบิดท่ีจะท าใหเ้พลากลมตนัขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลาง 80 mm ยาว 1.85 m บิดไป 2.5 องศา

ก าหนดใหค่้าโมดูลสัของการเฉือนของวสัดุเท่ากบั 95 GN/mm2 วิธีท า

จากสูตร TL

GJ

เม่ือ 2.5 0.04363180

เรเดียน, G = 95 x 103 N/mm2, L = 1.85 x 1000 mm,

4

8032

J

= 4021238.597 mm4

แทนค่า 3

1.85 10000.04363

95 10 4021238.597

T

395 10 4021238.597 0.04363

1.85 1000T

= 9009422.054 N – mm = 9.0094 kN - m

แรงบิดท่ีกระท ามีค่าเท่ากบั 9.0094 kN – m Ans



7


14

รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ ตวัอย่างที่ 3.2

ถา้เพลาตนักลมมีขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลาง 50 mm ยาว 2.5 m ขณะท่ีหมุนดว้ยความเร็วรอบ 145 รอบ/นาที มุมบิด 0.5 องศา จงหาก าลงัท่ีส่งได ้ ก าหนด G ของวสัดุเท่ากบั 95 GN/m2 วิธีท า

ก าลงัท่ีส่งได ้ 2

60

NTP

แต่ GJT

L

เม่ือ 0.5 0.0087266180

เรเดียน, L = 2.5 x 1000 mm, G = 95 x 103 N/mm2

และ 4

5032

J

= 613592.3152 mm4 395 10 613592.3152 0.0087266

2.5 1000T

= 203473.8385 N – mm = 203.4738 N – m 2 145 203.4738

60P

= 3089.62 w ก าลงัท่ีส่งไดมี้ค่าเท่ากบั 3.0896 kw Ans

ตวัอย่างที่ 3.3 เพลาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลาง 20 mm หมุนดว้ยความเร็วรอบ 1000 รอบ/นาที จงหาก าลงัสูงสุดท่ีเพลา

น้ีส่งไดอ้ยา่งปลอดภยั ถา้ใหค้วามเคน้ใชง้านในเพลาเท่ากบั 50 N/mm2 วิธีท า

3

16T

D

เม่ือ D = 20 mm และ = 50 N/mm2

แทนค่า

3

1650

20

T

3

50 20

16T

= 78539.8163 N – mm

= 78.5398 N – m

จากสูตร 2

60

NTP

2 1000 78.5398

60P

= 8224.67 w

ก าลงัสูงสุดท่ีเพลาน้ีส่งไดมี้ค่าเท่ากบั 8.22467 kw Ans



8


15


The stress distribution in a solid shaft has been plotted along three arbitrary radial lines as shown in Fig. 3 – 10 a. Determine the resultant internal torque at the section.

Fig. 3 - 10

SOLUTION The polar moment of inertia for the cross – sectional area is

4

22

J in

= 25.13 in4

Applying the torsion formula, with max = 8 ksi, Fig. 5 – 10 a, we have

max

Tc

J

2

4

28 /

25.13

T inksi in

in

T = 101 kip – in. Ans SOLUTION

The same result can be obtained by finding the torque produced by the stress distribution about the centroidal axis of the shaft. First we must express f . Using proportional triangles, Fig. 3.10b, we have

8

2

ksi

in

4



8


16


The stress acts on all portions of the differential ring element that has an area

2dA d . Since the force created by is dF dA , the torque is dT dF dA 4 2 d

38 d For the entire area over which acts, we require

23

08T d

2

4

0

18

4

= 101 kip – in. Ans ตวัอย่างที่ 3.5

จงค านวณหาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของแพลาตนัท่ีใชส่้งก าลงั 250 kw ท่ีความเร็วรอบ 4200 รอบ/นาที ถา้ใหค้วามเคน้เฉือนใชง้านของวสัดุเท่ากบั 50 N/mm2 วิธีท า

60

2

PT

N

เม่ือ P = 250 x 103 w, N = 4200 rpm, = 50 N/mm2

แทนค่า 360 250 10

2 4200T

= 568.410 N – m

จากสูตร max 3

16T

D

3

3

16 568.410 1050

D

3

3 16 568.410 10

50D

= 57897.819 mm3

38.6718D mm ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของเพลาเท่ากบั 38.6718 kw Ans



8


17


เพลาเหลก็กลวงยาว 3.5 m ใชส่้งก าลงัโดยมีแรงบิด 30 kN – m มุมบิดทั้งหมดไดไ้ม่เกิน 2 องศา และความเคน้เฉือนไม่เกิน 120 N/mm2 จงหาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายในและขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายนอก ก าหนดให ้ G = 83 GN/m2 วิธีท า

จากสูตร TL

GJ

เม่ือ 2

180

= 0.0349 เรเดียน, T = 30 x 106 N – mm, L = 3.5 x 1000 mm, G =

83 x 103 N/mm2

6

4 4 3

30 10 35000.0349

83 1032

D d

6

4 4

3

30 10 3500

0.0349 83 1032

D d

4 4 369220879.3D d ……………………………....(1)


16T

D

เม่ือ = 120 N/mm2 และ T = 30 x 106 N – mm

6

4 4

16 30 10120

D

D d

4 4 1273240.62D d D ……………………………...(2) สมการ (1) = (2) จะได ้

1273240.62 369220879.3D 369220879.3

1273240.62D

= 289.985 mm จากสมการ (1) จะได ้

4 4289.985 369220879.3d d = 286.123 mm

ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายนอกเท่ากบั 289.985 mm Ans ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางภายในเท่ากบั 286.123 mm Ans



8


18


เพลาดงัรูปท่ียึดแน่นท่ีปลาย A ส่วนท่ีปลาย C มีแรงบิด 1500 N – m กระท า ท่ีก่ึงกลาง B มีแรงบิด 350 N – m กระท าในทิศทางตรงกนัขา้มกบัท่ีปลาย C โดยใหค้วามเคน้เฉือนสูงสุดตอ้งไม่เกิน 85 N/mm2 จงหาขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของเพลา

วิธีท า

พิจารณาสมการสมดุลของเพลา TA + TB = TC TA + 350 = 1500

TA = 1500 - 350 = 1150 N - m


16T

D

เพลาในช่วง AB 3 16T

D

เม่ือ T = 1150 x 103 N – mm , = 85 N/mm2 3

3 16 1150 10

85D

40.844D mm เพลาในช่วง BC

3 16TD

เม่ือ T = 1500 x 103 N – mm , = 85 N/mm2 3

3 16 1500 10

85D

44.623D mm ขนาดเสน้ผา่นศูนยก์ลางของเพลาคือ 44.623 mm Ans

C B

A

350 N - m

1500 N - m



8


19


ท่อผนงับางมีความหนา 2.5 mm มีรูปร่างดงัรูป จงหาค่าความเคน้เฉือนสูงสุด ถา้แรงบิดมีค่าเท่ากบั 690 N – m และ a เท่ากบั 75 mm วิธีท า


T

At

เม่ือ T = 690 x 103 N – mm, t = 2.5 mm, 2

12.5 75 25A

= 2365.8738 mm2

3690 10

2 2365.8738 2.5

= 58.3294 N/mm2 ความเคน้เฉือนสูงสุดเท่ากบั 58.3294 N/mm2 Ans

ตวัอย่างที่ 3.9

ท่อกลวงท าจากอะลมิูเนียมมีหนา้ตดัเป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากขนาด 60 x 100 mm ดงัแสดงในรูป (ก) และ (ข) โดยในรูป (ก) ท่อกลวงมีความหนาสม ่าเสมอ 4 mm โดยใชก้ระบวนการอดัรีด (Extrusion) รูป (ข) ผนงั AB และ AC หนา 3 mm และผนงั BD และ CD หนา 5 mm โดยใชก้ระบวนการดีเฟกทีฟแฟบริเคชัน่ (Defective Frabrication) จงหาความเคน้เฉือนในผนงัแต่ละดา้นของท่อกลวงภายใตท้อร์ก 3 kN – m

C D

B A

60 mm

100 mm

4 mm

C D

B A

60 mm 5 mm

3 mm

100 mm

(ก) (ข)



8


20

รหสัและช่ือวชิา : : 3100 0107 ความแขง็แรงของวสัดุ - - แผนกวชิา : ช่างก่อสร้าง ช่ือสถานศึกษา : วทิยาลยัเทคนิคเชียงใหม่ วิธีท า (ก) ส าหรับท่อกลวงท่ีมีความหนาสม ่าเสมอ

A = 100 4 60 4

1000 1000

= 5.376 x 10-3 m2

2

T

At

3

3 3

3 10

2 5.376 10 4 10

= 69.8 MPa Ans (ข) ส าหรับท่อกลวงท่ีมีความหนาไม่สม ่าเสมอ

2AB AC

T

At

=

3

3 3

3 10

2 5.376 10 3 10

= 93.0 MPa Ans

2BD CD

T

At

=

3

3 3

3 10

2 5.376 10 5 10

= 55.8 MPa Ans

Documents

เนื้อหาการสอน - building.cmtc.ac.thbuilding.cmtc.ac.th/main/images/stories/jiraporn/Streng of material/8.pdf · A คือพ้ืนที่ลอ้มรอบด้วยเส้นผ่านศูนยก์ลางความหนาท่อ