เฉลยละเอียดวิธีทําวิชา ...2 แซค ศ นย สอบว ชาการภาคใต 2. จงหาว าม จ านวนเต

1

แซค ศนยสอบวชาการภาคใต

เฉลยละเอยดวธทาวชาคณตศาสตร

การแขงขนทางวชาการภาคใต คร"งท# 3

ประจาปการศกษา 2559

วชาคณตศาสตร (ระดบมธยมศกษาตอนตน, ม.1–ม.3)

สอบวนอาทตยท# 13 พฤศจกายน พ.ศ. 2559 เวลา 09.00 - 10.30 น.

ขอสอบวชาคณตศาสตร ขอ 1 – 40 (100 คะแนน) เวลา 1 ช#วโมง 30 นาท

1. พลเอก ประยทธ จนทรโอชา นายกรฐมนตร ลาดบท/ 29 ของประเทศไทย เกดเม/อวนท/ 21 มนาคม พ.ศ.

2497 จะมอายครบ 70 ป ในป พ.ศ. 2567 น8 ถากาหนดใหวา

54

3

2

1

a

1a

1a

1a

1a

2497

2567

++

++=

และ G คอ ห.ร.ม. ของ 2567,2497 แลว Gaaaaa 54321 −+−+− มคาเทาใด

1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14

ตอบขอ 4

เฉลยวธทา

23

12

11

135

11

23

47

11

135

11

47

70

135

11

70

2497

11

2497

2567

++

++=

++

+=+

+=+=

ดงน8น 622321351aaaaa 54321 =++++=++++

ใชวธยคลดหา ห.ร.ม. จะไดวา ห.ร.ม. ของ 12567,2497 = � 1G =

ดงน8น 131312321351Gaaaaa 54321 =−=−+−+−=−+−+−

2


2. จงหาวามจานวนเตมบวกอยท 8งหมดก/จานวน ท/นาไปหารผลคณ 1239101112 ××××××× K ไดลงตว

พอด

1. 528 2. 600 3. 660 4. 720 5. 792

ตอบขอ 5


พจารณา 1239101112 ××××××× K

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1232532723521132 2322 ××××××××××××××= 112510 117532 ××××=

จานวนตวประกอบท8งหมดของ 1239101112 ××××××× K

)11()11()12()15()110( +×+×+×+×+=

223611 ××××=

792= จานวน

3. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกท/มคานอยท/สด ซ/ งหารดวย 7 แลวมเศษเหลอเทากบ 4

ถา 9 กบ 11 ตางกหาร )2n( − ลงตว แลวตวประกอบของ n มก/จานวน

1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 5. 13

ตอบขอ 4


เน/องจาก 9 กบ 11 หาร )2n( − ลงตว แสดงวา ค.ร.น. ของ 9 กบ 11 คอ 99 ตองหาร )2n( − ลงตว

เขยนในรปสมการไดเปน k992n =−

2k99n += เม/อ k เปนจานวนเตมบวก

k 2k99n += เศษท/ไดจาก n หารดวย 7

1 101 3

2 200 4

3 299 5

ดงน8น คานอยท/สดของ n ซ/ งหารดวย 7 แลวมเศษเหลอเทากบ 4 คอ 200

แยกตวประกอบของ 200 � 23 52200 ×=

ดงน8น จานวนตวประกอบของ 200 12)12()13( =++= จานวน

3


4. ลาดบฟโบนชชคอลาดบของจานวนเตม โดยมนยามของความสมพนธวา จานวนถดไปเทากบผลบวกของ

จานวนสองจานวนกอนหนา ไดแก 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … จงหาเศษจากการหารจานวนตวท/ 2016

ในลาดบน8ดวย 8

1. 0 2. 1 3. 3 4. 5 5. 7

ตอบขอ 1


จากลาดบฟโบนชช 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

พจารณาเศษท/เกดจากการนาลาดบฟโบนชชไปหารดวย 8 ดงน8

ลาดบ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

เศษจากการหารดวย 8 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0

ลาดบ 233 377 610 987 K

เศษจากการหารดวย 8 1 1 2 3 K

จะเหนไดวาเศษท/เกดจากการหารลาดบฟโบนชชดวย 8 คอ 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, …

น/นคอเศษตวถดไปจะเทากบ “เศษจากการหารผลบวกของจานวนสองตวกอนหนาน8นหารดวย 8”

เชน ผลบวกของตวท/ 7 กบตวท/ 8 คอ 5 + 5 = 10 แลวหารดวย 8 ไดเศษ 2 (คอตวท/ 9)

ผลบวกของตวท/ 9 กบตวท/ 10 คอ 2 + 7 = 9 แลวหารดวย 8 ไดเศษ 1 (คอตวท/ 11)

และเม/อพจารณาลาดบของเศษตอไปเร/อยๆ คอ

1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0 , 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, …

จะพบวาเศษท/ไดจะวนซ8 าทกๆ 12 ตว

ในท/น8 12

2016 เศษ 0 (ลงตว)

ดงน8น เศษจากการหารจานวนตวท/ 2016 ในลาดบฟโบนชชดวย 8 คอ 0

4


5. จงหาผลลพธของ 2119

40

1917

36

97

16

75

12

53

8

31

4

×−

×++

×−

×+

×−

×K

1. 7

1 2. 7

4 3. 2 4. 21

10 5. 21

20

ตอบขอ 5


จาก 2119

40

1917

36

97

16

75

12

53

8

31

4

×−

×++

×−

×+

×−

×K

2119

220

1917

218

97

28

75

26

53

24

31

22

××−

××++

××−

××+

××−

××= K

−×−

−×++

−×−

−×+

−×−

−×=21

1

19

120

19

1

17

118

9

1

7

18

7

1

5

16

5

1

3

14

3

1

1

12 K

21

20

19

20

19

18

17

18

9

8

7

8

7

6

5

6

5

4

3

4

3

2

1

2+−−+++−−++−−= K

21

20

19

38

17

34

9

18

7

14

5

10

3

6

1

2+−+++−+−= K

21

202222222

0

+−+++−+−==

44444 344444 21 K

21

20=

6. ถา N คอจานวนเตมบวกท/มากท/สดท/หาร 14,097 และ 14,351 ลงตว แลว N หารจานวนในขอใดตอไปน8

เหลอเศษเปนจานวนเฉพาะ

1. 135 2. 144 3. 157 4. 161 5. 171

ตอบขอ 2


จานวนเตมบวกท/มากท/สดท/หาร 14,097 และ 14,351 ลงตว คอ ห.ร.ม. ของ 14,097 และ 14,351

หา ห.ร.ม. โดยวธยคลดไดดงน8

254)1(1409714351 +=

127)55(25414097 +=

)2(127254 =

น/นคอ ห.ร.ม. ของ 14,097 และ 14,351 เทากบ 127

จากตวเลอก พบวาเม/อนา 127 ไปหาร 144 จะไดเศษ 17 ซ#งเปนจานวนเฉพาะ

5


7. กาหนดลาดบ ...,a,a,a,a 3210 โดย 2016a,n2aa 01nn =+= − แลว 20a มคาเทาใด

1. 2,436 2. 2,586 3. 2,676

4. 2,766 5. 2,896

ตอบขอ 1


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )322212201632aa

2212201622aa

12201612aa

23

12

01

+++=+=

++=+=

+=+=

ดงน8น ( ) n2

n122016n...32122016a n

++=+++++=

436,220202016a

nn2016a

250

2n

=++=

++=

8. กาหนดให 98

20162 2605)1010(A −−= ถา A เปนเลขฐานสบ แลวผลบวกของเลขโดดทกตวของ A มคา

เปนเทาใด

1. 18,099 2. 18,108 3. 18,117

4. 18,126 5. 18,135

ตอบขอ 5

จากโจทย 98

20162 2605)1010(A −−=

พจารณา 201620161320162 10)2121()1010( =×+×=

3898586605 028 =×+×=

51229 =

จะไดวา 9011051238910A 20162016 −=−−=

0999999999A

2013

43421 K=

ดงน8น ผลบวกของเลขโดดทกตวของ A เทากบ 135,1820159 =×

6


9. จากรป 5:6DB:AD = และ 4:5EC:AE = จงหาพ8นท/ :ADE∆ พ8นท/ ABC∆

1. 33:10 2. 2:3 3. 5:6 4. 6:11 5. 9:11

ตอบขอ 1


ลาก BE ให 1h เปนความสงของรป ADE∆ และ ABE∆

ให 2h เปนความสงของรป ABE∆ และ ABC∆

พ8นท/รป ×=∆2

1ADE ฐาน× สง

11 h62

1hAD

2

1××=××=

พ8นท/รป 11 h112

1hAB

2

1ABE ××=××=∆


2

1hAE

2

1ABE ××=××=∆


1hAC

2

1ABC ××=××=∆

7


33

10=

ดงน8น พ8นท/รป :ADE∆ พ8นท/รป 33:10ABC =∆

10. คาสมบรณของผลตางของทกคาตอบของสมการ 28393 )2xx()2xx1( 22

=•+ −+−−++ มคาเทากบเทาใด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5

ตอบขอ 5


จากสมการ 28393 )2xx()2xx1( 22

=⋅+ −+−−++

ให y2xx 2 =−+ จะได 28393 y1y =⋅++

0283

1933

y

y =−

⋅+⋅

y3 คณตลอด; 0932833 yy2 =+⋅−⋅

( )( ) 093133 yy =−−⋅

3

13y = หรอ 93y =

1y 33 −= 2y 33 = จะได 1y −= 2y =

เน/องจาก 02xx2 >−+

ดงน8น 22xx2 =−+

ยกกาลงสองท8งสองขาง จะได

42xx2 =−+

06xx2 =−+

( )( ) 02x3x =−+

3x −= หรอ 2x =

ดงน8น คาสมบรณของผลตางของทกคาตอบเทากบ 5523 =−=−−

8


11. ให 10bxaxx)x(P 23 +++= เม/อ b,a เปนจานวนเตม และ 9x)x(Q2 += ถา )x(Q หาร )x(P เหลอ

เศษ 1 แลว )b(P)a(P + มคาเทาใด

1. 624 2. 728 3. 922 4. 1,026 5. 1,160

ตอบขอ 3


จากโจทย ตวต8ง 10bxaxx 23 +++= และตวหาร 9x 2 +=

สงเกตวาตวหารไมใชพหนามดกร 1 ดงน8น จะใชทฤษฎเศษเหลอไมได ตองต8งหารยาวเทาน8น ดงน8

จะไดวา เศษ ( ) a910x9b −+−=

ท8งน8 โจทยกาหนดให เศษ 1=

สงเกตวาเศษไมมพจนของ x น/นคอ สมประสทธR หนา x ตองเปน 0 เพ/อไมใหม x เกดข8น และพจนคาคงท/

ตองเทากบ 1 เรยกวธน8วา วธเทยบสมประสทธ?

น/นคอ 09b =− แกสมการได 9b =

และ 1a910 =− แกสมการได 1a =

แทน a และ b ได ( ) 10x9xxxP 23 +++=

ดงน8น ( ) ( ) ( ) ( )9P1PbPaP +=+

( ) ( )10818172910911 +++++++=

90121+=

922=

9


12. จงหาคาของ 10m9m8m7m6m5m4m3m2m 3254678 +++++++++ เม/อ 12m −=

1. 2114169 − 2. 2114169 + 3. 2114179 −

4. 2114179 + 5. ไมมขอใดถก

ตอบขอ 5


( ) ( ) ( ) ( ) 102mm72mm42mm32mm

10m14m7m8m4m6m3m2m

357

2345678

++++++++=

++++++++

จากโจทยกาหนด 12m −= น/นคอ 122m +=+

จะไดวา ( ) ( ) 1122mm2

=−=+

จะได ( ) ( ) ( ) ( ) 102mm72mm42mm32mm 357 ++++++++

( ) ( )( )( ) 154m3m

53m43mm107m4m3m

42

224246

+++=

++++=++++=

จาก 21217m,223m 42 −=−= จะไดวา

( )( ) ( )( ) 52122122654m3m 42 +−−=+++

5482114126 ++−=

2114179 −=

หมายเหต: แตเน/องจากโจทยใหคา 12m −= � 1m = จะไดคาตอบ

5510987654321 =+++++++++ ซ/ งไมมคาตอบจงตอบขอ 5

13. ให a เปนรากท/สามรากหน/งของ ,549 + b เปนรากท/สามรากหน/งของ 549 −

ถา ba + และ ab เปนจานวนจรงแลว ba + มคาเทาใด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 5 5. 52

ตอบขอ 3


a เปนรากท/ 3 ของ 549 + และ b เปนรากท/สามของ 549−

549a3 += K (1)

549b3 −= K (2)

18ba 33 =+

( )( ) 18bababa 22 =+−+

10


( )( ) 18ab3bab2aba 22 =−+++

( ) ( )( ) 18ab3baba2 =−++ K (3)

( ) ( )21 × ( )( ) 1549549ba 33 =−+=

จะได 1ab = แทน 1ab = ลงใน (3)

( ) ( )( ) 183baba2 =−++

( ) ( ) 018ba3ba3 =−+−+

ให baA += จะไดสมการพหนาม

018A3A3 =−−

( )( ) 06A3A3A 2 =++−

( ) 02

9

2

3A3A

2

=

+

+−

เน/องจาก 02

9

2

9

2

3A

2

≠≥

+

+

แสดงวา 03A =− � 3A =

ดงน8น 3ba =+

14. กาหนดแบบรป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, K จานวนในลาดบท/ 2016 ของแบบรปน8 มคา

เทากบเทาใด

1. 61 2. 62 3. 63 4. 64 5. 65

ตอบขอ 3


จากแบบรป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5,…

นามาเขยนใหมดงน8

แถวท/ 1 1 มตวเลขจานวน 1 ตว

แถวท/ 2 1 2 มตวเลขจานวน 2 ตว

แถวท/ 3 1 1 2 3 มตวเลขจานวน 3 ตว

แถวท/ 4 1 2 3 4 มตวเลขจานวน 4 ตว

แถวท/ 5 1 2 3 4 5 มตวเลขจานวน 5 ตว

M M

11


แถวท/ n 1 2 3 4 5 … … n มตวเลขจานวน n ตว

จานวนพจนต8งแตแถวท/ 1 จนถงแถวท/ n มท8งหมด ( )2

1nnn...321

+=++++

2016

2

)1n(n=

+

20162)1n(n ×=+

4032)1n(n =+

6463)1n(n ×=+

63n =

ดงน8น ถาแทนคา 63n = จะไดวา มจานวนพจนต8งแตแถวท/ 1 ถงแถวท/ 63 เทากบ 2016 พจน

โดยพจนท/ 2016 เทากบ 63 ซ/งเปนพจนสดทายของแถวท/ 63

15. ในรปสามเหล/ยม ABC ให N,M เปนจดก/งกลางดาน BC และ AC ตามลาดบ ถา BN ต8งฉากกบ AM

จงหาคาของ 2

22

AB

ACBC +

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7

ตอบขอ 3


จากโจทยวาดรปไดดงน8

เน/องจาก X เปนจดตดของเสนมธยฐาน

ดงน8น BM3

2BX,AM

3

2AX ==

และเน/องจาก AM เปนเสนมธยฐาน

จะไดวา 4

BC

2

ACABAM

2222 −

+=

12


ในทานองเดยวกนไดวา 4

AC

2

BCABBN

2222 −

+=

โดยพทาโกรสจะไดวา 222 BXAXAB +=

22

2 BN3

2AM

3

2AB

+

=

( )222 BMAM9

4AB +=

−

++

−

+=

4

AC

2

BCAB

4

BC

2

ACAB

9

4AB

2222222

++=

4

BC

4

ACAB

9

4AB

2222

( )2222 BCAC9

1AB

9

4AB ++=

( )222 BCAC9

1AB

9

5+=

ดงน8น 5AB

BCAC2

22

=+

16. พจารณาขอความตอไปน8

1) ถา a และ b เปนจานวนจรง ซ/ ง 222 )ba(ba +>+ แลว 0ab <

2) ถา b,a เปนจานวนตรรกยะบวก แลว ba เปนจานวนตรรกยะเสมอ

3) มจานวนตรรกยะ a และจานวนอตรรกยะ b ท/ทาให

−b

1a b = 0

4) ถา a เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมบวก แลว 1a

an

n

=

ขอใดตอไปน8สรปไดถกตอง

1. มขอถก 1 ขอ 2. มขอถก 2 ขอ 3. มขอถก 3 ขอ

4. มขอถก 4 ขอ 5. ไมมขอใดถก

ตอบขอ 1


ขอ (1) ถกตอง เพราะวา ( )222 baba +>+

2222 bab2aba ++>+

ab20 >

13


ab0 >

ขอ (2) ผด เชน 33a,2

1b,3a 2

1

b ==== เปนจานวนอตรรกยะ

ขอ (3) ผด เน/องจาก 0b

1ab =

−

จะได 0b = หรอ b

1a =

เน/องจาก b เปนจานวนอตรรกยะ ดงน8น 0b ≠

และถา b เปนจานวนอตรรกยะ แลว b

1a = เปนจานวนอตรรกยะดวย

ดงน8น จงไมมจานวนตรรกยะ a และจานวนอตรรกยะ b ท/ทาให 0b

1ab =

−

ขอ (4) ผด เม/อ 0a = แลว n

n

a

a ไมมความหมาย

17. กาหนดให 3a

1 แปรผนตรงกบ 2bc , b แปรผนตรงกบ 2d และ c แปรผกผนกบ 2a ถา 18a = เม/อ

3d = แลว 4d มคาเทาใด เม/อ 12a =

1. 4 2. 9 3. 16 4. 25 5. 36

ตอบขอ5


จากโจทย 3a

1 แปรผนตรงกบ 2bc จะไดวา

213bck

a

1=

จากโจทย b แปรผนตรงกบ 2d จะไดวา 22dkb =

และ c แปรผกผนกบ 2a จะไดวา 2

3

a

kc =

ดงน8น ( )2

2

32213 a

kdkk

a

1

=

4

221

3 a

d3

2kkk

a

1=

2Kda = 3

2kkkK; 21=

ถา 18a = เม/อ 3d = 23K18 ×= �� 2K =

ดงน8น 2d2a =

14


เม/อ 12a = จะได 2d212 =

6d2 = �� 36d4 =

18. จากรปกาหนดให O เปนจดศนยกลางของวงกลม ซ/ งม AC เปนเสนผานศนยกลาง และ B เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา 2BCAB == หนวย, BEBD = และ o60EDB = แลวพ8นท/สวนท/แรเงาเทากบก/ตารางหนวย

1. 12

323 −

2. 6

323 −

3. 12

326 −

4. 6

326 −

5. 3

326 −

ตอบขอ 5


จากรป สรางรปคร/ งวงกลมท/ม O เปนจดศนยกลางของวงกลม และ AC เปนเสนผานศนยกลาง

จะไดวา สามเหล/ยมท/แนบในคร/ งวงกลม จะเปนสามเหล/ยมมมฉาก น/นคอ o90CBA =

เน/องจาก 2BCAB == หนวย ABC∆ จงเปนสามเหล/ยมมมฉากหนาจ/ว ซ/ ง o45ACBCAB ==

ลากเสน BO มาต8งฉากกบ AC ท/จด O

หาความสง :BO 2

BO45sin =o

22

2245sin2BO =

== o

หาระยะ :AO 2

AO45cos =o

15


22

2245cos2AO =

== o

หาระยะ :DO DO

2

DO

BO60tan ==o

3

6

3

2

60tan

2DO ===

o

ดงน8น DOAOAD −=

−=

−=−=

3

332

3

312

3

62

ดงน8น พ8นท/แรเงา

××= BOAD2

12

×

−×= 2

3

332

2

12

3

326 −= ตารางหนวย

19. กรวยกลมตนใบหน/งมความสงเปน 4 เทาของรศมและกรวยมปรมาตรเทากบทรงกลมตนลกหน/ง ถาพ8นท/

ผวทรงกลมตนมากกวาพ8นท/ปากกรวย 12 ตารางหนวย พ8นท/ผวขางกรวยมคาก/ตารางหนวย

1. 17 2. 172 3. 173

4. 174 5. 175

ตอบขอ 4


ให กรวยกลมตนมรศมเปน r และมความสงเปน r4

และให ทรงกลมตนมรศมเปน R

จากโจทย ปรมาตรกรวยเทากบปรมาตรทรงกลมตน

Vกรวย = Vทรงกลม

( ) 32 R3

4r4r

3

1ππ =

Rr

Rr 33

=

=

จากโจทย พ8นท/ผวทรงกลมตนมากกวาพ8นท/ปากกรวย 12 ตารางหนวย

พ8นท/ผวทรงกลม – พ8นท/ปากกรวย = 12

12rr4 22 =− ππ

16


12r3 2 =π

ππ2

r4

r 2 =→=

พจารณากรวย r17)r4(r 22 =+=l

พ8นท/ผวขางกรวย lrπ=

( )r17rπ=

×

=

πππ

217

2

174= ตารางหนวย

20. กาหนดรปสามเหล/ยม ABC มจด 74321 P,.....,P,P,P,P อยบนดาน BC โดยท/

CP...PPPPBP 732211 ==== ถาพ8นท/ของรปสามเหล/ยม ABC เปน 56 ตารางหนวย ผลบวกของพ8นท/

สามเหล/ยมทกรปเทากบเทาใด

1. 680 2. 720 3. 780 4. 820 5. 840

ตอบขอ 5


จากโจทยสามารถวาดรปไดดงน8

เน/องจาก CP...PPPPBP 732211 ==== และจากจด A มายงดาน BC จะมสงตรงเทากน จะไดวา

พ8นท/ =∆ 1ABP พ8นท/ =∆ 21PAP พ8นท/ ==∆ K32PAP พ8นท/ 78

56CAP7 ==∆ ตารางหนวย

ในการหาผลบวกของพ8นท/สามเหล/ยมยอยๆ ทกรป สามารถพจารณาจากพ8นท/สามเหล/ยมยอยท/เลกท/สดคอ

1ABP∆ โดยแบงเปนรปท/มขนาดตางกน 8 รปแบบ ดงน8

17


รปแบบ 1 ม ∆ 1 รปยอยท/เลกท/สด 8 รป : พ8นท/ 5678 =×= ตารางหนวย

รปแบบ 2 ม ∆ 2 รปยอยท/เลกท/สด 7 รป : พ8นท/ ( ) 98727 =××= ตารางหนวย







ดงน8น ผลบวกของพ8นท/ ∆ ทกรป 84056981261401401269856 =+++++++= ตารางหนวย

21. เม/อ x เปนคาตอบท/สอดคลองกบสมการ 4x

1

x

5x

x

3x

x

1x=++

−+

−+

−K จงหา x

1. 22 2. 3 3. 23 4. 4 5. 24

ตอบขอ 4


จากสมการ 4x

1

x

5x

x

3x

x

1x=++

−+

−+

−K

จะไดวา x415x3x1x =++−+−+− K โดยท/ 0x ≠

พจารณาพหนามดานซายของสมการคอ ( ) ( ) ( ) 15x3x1x ++−+−+− K สงเกตวาแตละวงเลบ

เรยงกนเปนลาดบเลขคณต

โดยม พจนแรก 1xa1 −= และ ผลตางรวม ( ) ( ) 21x3xd −=−−−= และพจนสดทาย 1a n =

สตรลาดบเลขคณต d)1n(aa 1n −+=

)2()1n(1x1 −−+−=

2n21x1 +−+−=

xn2 = � 2

xn = พจน

สตรอนกรมเลขคณต [ ]n1n aa2

nS +=

[ ]11x2

2

x

x4 +−=

)x(4

xx4 = � 2xx16 =

18


0x16x 2 =−

0)16x(x =− � 16x = หรอ 0

แต 0x ≠ แสดงวา 16x = เทาน8น

ดงน8น 416x ==

22.

+−−

++

+−

+ 283922337...1227625223 มคาเทาใด

1. 10− 2. 10 3. 11− 4. 11 5. 12−

ตอบขอ 5


พจารณา

( ) 1212122122232

+=+=×++=+

( ) 2323232236252

+=+=×++=+

ในทานองเดยวกน

+−−

++

+−

+ 283922337...1227625223

( ) ( ) ( ) ( )168169342312 +−−+++−+= K

168169342312 −−−++−−+= K

1691 −=

12131 −=−=

23. กาหนดเสนตรง 025y8x15:L =+− พจารณาขอความตอไปน8

ก) 1L ต8งฉากกบ L และผานจด )3,1(− มสมการเปน 037y15x8 =++

ข) 2L ต8งฉากกบ L และมระยะตดแกน X เปน 11 มสมการเปน 088y15x8 =−+

ค) 3L ต8งฉากกบ L และมระยะตดแกน Y เปน 2

1− มสมการเปน 015y30x16 =++

ขอใดตอไปน8 ถกตอง

1. ขอ ก, ข และ ค ถกทกขอ 2. ถกเฉพาะขอ ก และ ข

3. ถกเฉพาะขอ ก และ ค 4. ถกเฉพาะขอ ข และ ค

5. ถกเฉพาะขอ ค

19


ตอบขอ 4


จาก 025y8x15:L =+−

ความชนของ L เทากบ 8

15

8

15=

−−

21 L,L และ 3L ต8งฉากกบ L

ดงน8น ความชนของ 21 L,L และ 3L เทากบ 15

8−

ขอ ก) การหาสมการเสนตรงเม/อรจดผานและความชน คอ ( )11 xxmyy −=−

1L ผานจด ( )3,1− มสมการ

( )1x15

83y +−=−

8x845y15 −−=−

037y15x8 =−+

ขอ ข) 2L มระยะตดแกน X เปน 11 แสดงวาผานจด ( )0,11

มสมการเปน ( )11x15

80y −−=−

88x8y15 +−=

088y15x8 =−+

ขอ ค) 3L มระยะตดแกน Y เปน 2

1− แสงดวาผานจด

−2

1,0

มสมการเปน ( )0x15

8

2

1y −−=+

x82

15y15 −=+

02

15y15x8 =++

015y30x16 =++

20


24. ถาจด )k,3(A อยในควอรดรนตท/หน/ง และเปนจดท/อยบนวงกลมท/มรศม 4 หนวย จดศนยกลางอยท/จด

กาเนด และ L เปนเสนสมผสกบวงกลมท/จด )k,3(A จดท/ L ตดกบแกน X คอจดใด

1.

0,

3

16 2.

0,

3

56 3. ( )0,7

4. ( )0,72 5. ( )0,73

ตอบขอ 1


สมการวงกลมท/มจดศนยกลางท/จดกาเนด และมรศม 4 หนวย คอ

222 4yx =+

( )k,3A เปนจดสมผส

ความชนของ OA เทากบ 3

k

เน/องจาก OA ต8งฉากกบเสนตรง L

ดงน8น ความชนของเสนตรง L เทากบ k

3−

จด ( )k,3A อยบนวงกลม 16yx 22 =+

จะได 16k3 22 =+

7k 2 =

เน/องจากจด ( )k,3A อยในควอดรนตท/ 1 จะได 0k >

21


ดงน8น 7k =

สมการเสนตรง L ซ/ งมความชน 7

3− และผานจด ( )7,3 คอ

( )3x7

37y −−=−

เสนตรง L ตดแกน X เม/อ 0y = จะได

( )3x7

370 −−=−

9x37 −=

3

16x =

ดงน8น เสนตรง L ตดแกน X ท/จด

0,

3

16

25. ให x เปนคารากของสมการ ( ) 1x31x

8063223

4 −+

+=

− จงหาคาของ x

1. 5

1 2. 5

2 3. 5

3 4. 5

4 5. 1

ตอบขอ 3


จากโจทย ( ) 1x31x

6328023

4 −+

+=

−

( )[ ] 1x31x

6251623

23

23

4 −+

+=

+

+×

−

( ) ( )1x3

22

1x

23423

234 −+

+=

−

+

( )[ ] ( )[ ] 2x61x234234

−++=+

จะไดวา 2x61x −=+

5

3xx53 =⇒=

22


26. กาหนดสมการ ( ) ( ) ( )323232 5x2x31xx24x3x −+=−−+−+ แลวผลคณของคาตอบทกตวของ

สมการน8 เปนเทาใด

1. 3

10− 2.

3

20− 3.

6

5−

4. 3

20 5. 6

5

ตอบขอ 1


จากโจทย ( ) ( ) ( )323232 5x2x31xx24x3x −+=−−+−+ …(*)

ให 4x3xA 3 −+= และ 1xx2B 2 −−=

สงเกตวา ( ) ( ) BA1xx24x3x5x2x3 222 +=−−+−+=−+

จาก (*) จะไดวา ( )333 BABA +=+

322333 BAB3BA3ABA +++=+

[ ]BAAB30 +⋅=

น/นคอ 0A = หรอ 0B = หรอ 0BA =+

04x3x2 =−+

01xx2 2 =−−

05x2x3 2 =−+

( )( ) 01x4x =−+ ( )( ) 01x1x2 =−+

( )( ) 01x5x3 =−+

4,1x −=

1,2

1x −= 1,

3

5x −=

น/นคอ คาตอบทกตวไดแก 1,2

1,

3

5,4 −−−

ดงน8น ผลคณของคาตอบทกตว ( ) ( )3

101

2

1

3

54 −=

−

−−

23


27. จากรป จงหาความยาวของ PS

1. 21 2. 22 3. 23 4. 24 5. 25

ตอบขอ 1


PKL∆ ~ PQR∆ เพราะ RL,QK,PP ===

จะไดวา QR

KL

PR

PL=

28

20

PR

PL=

k7

k5

7

5

PR

PL==

ดงน8น k7PR,k5PL ==

PLPRRL −=∴

k2k5k7 =−=

7

2

k7

k2

RP

RL==∴ K (1)

RLM∆ ~ RPS∆ เพราะ SM,PL,RR ===

จะไดวา PS

LM

RP

RL=

PS

6

RP

RL= K (2)

( ) ( ) ;21 = PS

6

7

2=

42PS2 =

ดงน8น 21PS = หนวย

24


28. ผลตางของจานวนจรง k ท/ทาใหพาราโบลา 5k6x3kx5kxy 2 ++++= มจดยอดอยบนแกน x มคา

เทากบเทาไร

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 9

ตอบขอ 4


พาราโบลา 5k6x3kx5kxy 2 ++++= มจดยอดอยบนแกน x น/นคอกราฟพาราโบลาสมผสแกน x

ใหจดสมผสคอ )0,x( จะไดวา

05k6x3kx5kx 2 =++++

( ) ( ) 05k6x3k5kx 2 =++++

เน/องจากกราฟพาราโบลาสมผสแกน x ทาใหมจดสมผส 1 จด หรอมคาตอบ x คาเดยว

จะไดวา 0ac4b 2 =−

( ) ( )( ) 05k6k43k52 =+−+

0k20k249k30k25 22 =−−++

09k10k 2 =++

( )( ) 09k1k =++

9,1k −−=

ดงน8น ผลตางของจานวนจรง k คอ 8)9(1 =−−−

29. เสาไฟฟาสองตนซ/ งสง 30 เมตร เทากน อยหางกนเปนระยะ 100 เมตร สายไฟฟาท/อยระหวางเสาสองตนน8

หยอน มลกษณะเปนรปพาราโบลาและสงจากพ8นดน 20 เมตร ณ จดก/งกลางระหวางเสาสองตนน8 จงหาวา

สายไฟฟาน8อยสงจากพ8นดนก/เมตร ณ จดท/อยหางจากเสา 10 เมตร

1. 24.8 2. 25.5 3. 26.4 4. 27.2 5. 28.5

ตอบขอ 3


25


จดยอดของพาราโบลาอยท/ ( )20,0 และกราฟหงายข8น

สมการพาราโบลา คอ 20axy 2 += …(*)

กราฟผานจด ( )30,50 ดงน8น 2050a30 2 +×=

250

1a =

แทนคา 250

1a = ในสมการ (*)

จะได 20x250

1y 2 +=

ถา 40x = จะได 2040250

1y 2 +×=

4.26y =

ณ จดท/หางจากเสาไฟฟา 10 เมตร สายไฟฟาสงจากพ8นดน 26.4 เมตร

26


30. สามเหล/ยม ABC เปนสามเหล/ยมดานเทา จด D และ จด E เปนจดบนดาน AC และ AB ทาให CD = AE ตอ

เสน BD และ CE ตดกนท/จด F แลวขนาดของมม BFC เทากบก/องศา

1. 100 2. 110 3. 115 4. 120 5. 125

ตอบขอ 4


เน/องจาก o60EACDCB,CABC === และ AECD =

จะได BDC∆ ∼ CAE∆ แสดงวา AECCDB =

พจารณา CFD∆ และ CAEF∆

เน/องจากสามเหล/ยมท8งสองมมม AECCDB = และ ECADCF =

จะได o60EACDFC ==

ดงน8น o120CFB =

31. พลกฤตยนอยทางทศตะวนออกของตกหลงหน/ง มองเหนยอดตกเปนมมเงย 45o จากจดน8พลกฤตเดนไป

ทางทศใตเปนระยะ 100 เมตร จะมองเหนยอดตก (ท/ตาแหนงเดม) เปนมมเงย 30o ความสงของตกหลงน8

เปนเทาไร

1. 100 เมตร 2. 250 เมตร 3. 350 เมตร

4. 340 เมตร 5. 3

100 เมตร

ตอบขอ 2


27


ให A เปนจดสงเกตคร8 งแรก

B เปนจดสงเกตคร8 งท/สอง

CD เปนความสงของตก

จากโจทย จะได hAC = (ดานประกอบมมยอดของรปสามเหล/ยมหนาจ/ว)

จากรปสามเหล/ยม ;ABC 22222 100hABACBC +=+=

จากรปสามเหล/ยม ;BCD o30tanBCCD =

+=

3

1100hh 22

ยกกาลงสองท8งสองขาง; 3

000,10hh

22 +

=

000,10hh3 22 +=

000,10h2 2 =

000,5h2 =

250000,5h ==∴

ดงน8น ตกหลงน8 สง 250 เมตร

28


32. กาหนดให AcosAsin2A2sin = ถา 25

24x2sin = แลว xcosxsin

44 + มคาเทาใด

1. 625

326 2. 625

337 3. 625

438 4. 625

511 5. 625

624

ตอบขอ 2


( ) xcosxsin2xcosxcosxsin2xsinxcosxsin 22422444 −++=+

( ) ( )xcosxsin42

1xcosxsin 22222 −+=

( ) 2xcosxsin2

2

11−=

( ) 2x2sin

2

11−=

2

25

24

2

11

−=

−=625

576

2

11

625

2881−=

625

337=

33. ABCD เปนท/ดนรปส/เหล/ยมมดาน DCAD = มม ADC เปนมมฉาก o30ABC = ดาน 40AB = วา

ดาน 20CB = วา พ8นท/ส/ เหล/ยม ABCD เทากบก/ตารางวา

1. 3200700 − 2. 3100700 − 3. 3200500 −

4. 3100500 − 5. 350500 −

ตอบขอ 1


29


จากสามเหล/ยม ABC และใชกฎ cosine

( )( ) o222 30cosBCAB2BCABAC −+=

( )( )

−+=

2

3204022040 22

38004001600 −+=

38002000 −=

จากสามเหล/ยมมมฉาก ACD และใชทฤษฎพทาโกรส

222 CDADAC +=

2AD238002000 =−

34001000AD2 −=

พ8นท/สามเหล/ยมมมฉาก ACD 2AD2

1×=

3200500 −= ตารางวา

พ8นท/สามเหล/ยม ABC ( )( ) ( )( )o30sinBCAB2

1CEAB

2

1==

( )( )

=2

12040

2

1

200=

พ8นท/ส/ เหล/ยม 2003200500ABCD +−=

3200700 −= ตารางวา

30


34. ในการดดลวดท/ยาว 14 หนวย ใหเปนรปส/เหล/ยมผนผาซ/ งมเสนทแยงมมส8นกวา 5 หนวย ถากาหนดให x

แทนความยาวของดานท/ส8นกวาของรปส/เหล/ยมผนผาน8 แลวคาของ x ควรอยในชวงใด

1. 4x0 << 2. 5.3x0 << 3. 4x3 <<

4. 5.3x3 << 5. 4x5.3 <<

ตอบขอ 4


ให x แทนความยาวของดานกวาง

และ 5.3x0 << เพราะถายาวเทากบ 3.5 หนวย จะเปนรปส/เหล/ยมจตรส

จากรป 222 5)x7(x <−+

25xx1449x 22 <+−+

024x14x2 2 <+−

012x7x 2 <+−

0)4x()3x( <−−

จะไดชวงคาตอบของอสมการคอ 4x3 <<

เม/อพจารณาชวงคาตอบของอสมการ 4x3 << และขอบเขต 5.3x0 <<

ดงน8น ความยาวของดานกวางอยในชวง 5.3x3 <<

31


35. จากรปท/กาหนดให จงหาคาของมม x

1. 62o 2. 63o 3. 65o 4. 66o 5. 67o

ตอบขอ 3


จากรปเดมใหลาก AE

ooo

502

8018021 =

−==

ooo

652

5018043 =

−==

o5051 ==

o6563 ==

o180x65 =++

ooo 180x6550 =++

o65x =

ดงน8น คาของมม o65x =

32


36. ถา A เปนจดบนวงกลม 09y6x4yx 22 =+−++ ซ/ งอยใกลกบจดยอด V ของพาราโบลา

048y4x12x2 =++− มากท/สด แลวระยะระหวางจด A กบ V มคาเทากบขอใดตอไปน8

1. 27 2. 28 3. 210 4. 8 5. 10

ตอบขอ 4


พจารณาสมการพาราโบลา 48x12xy4 2 −+−=

( ) 48x12xy4 2 −−−=

( ) 483636x12xy4 2 −++−−=

( ) 126xy42 −−−=

( ) 36x4

1y

2 −−−=

จะไดจดยอดพาราโบลา ดงน8 )3,6()k,h(V −=

พจารณาสมการวงกลม 09y6x4yx 22 =+−++

( ) ( ) 49y6y4x4x 22 =+−+++

( ) ( ) 22223y2x =−++

จะไดจดศนยกลางวงกลมและรศม ดงน8 2r),3,2()k,h(C =−=

A เปนจดบนวงกลม ซ/ งอยใกลกบจดยอด V ของพาราโบลามากท/สด แสดงวา A อยบนเสนตรงท/เช/อมตอจด C

และจด V แสดงดงรป

ระยะ CACVAV −=

2)33())2(6( 22 −−−+−−=

8210 =−= หนวย

33


37. จานวนเตมค/ท/อยระหวาง 100 และ 999 ซ/ งมหลกหนวยหรอหลกรอยเปนจานวนเฉพาะ มจานวนท8งหมด

เทากบขอใด

1. 350 2. 380 3. 420 4. 450 5. 470

ตอบขอ 1


หาจานวนเตมค/ท/อยระหวาง 100 และ 999 พจารณาเปนกรณดงน8

กรณท# 1 จานวนเตมค/ท/มหลกหนวยเปนจานวนเฉพาะลงทายดวยเลข 3, 5, 7

หลกรอยวางเลขโดดได 9 ตว (1, 2, 3,…, 9)

หลกสบวางเลขโดดได 10 ตว (0, 1, 2, 3,…, 9)

หลกหนวยวางเลขโดดได 3 ตว (3, 5, 7)

จานวนเตมค/ตามกรณท/ 1 2703109 =××= จานวน

กรณท# 2 จานวนเตมค/ท/มหลกรอยเปนจานวนเฉพาะข8นตนดวยเลข 2, 3, 5, 7

หลกรอยวางเลขโดดได 4 ตว (2, 3, 5, 7)


หลกหนวยวางเลขโดดได 5 ตว (1, 3, 5, 7, 9)


กรณท# 3 จานวนเตมค/ท/มหลกรอยและหลกหนวยเปนจานวนเฉพาะ

หลกรอยวางเลขโดดได 4 ตว (2, 3, 5, 7)


หลกหนวยวางเลขโดดได 3 ตว (3, 5, 7)


ดงน8น จานวนเตมค/ท/อยระหวาง 100 และ 999 ซ/ งมหลกหนวยหรอหลกรอยเปนจานวนเฉพาะ มจานวน

ท8งหมด 350120200270 =−+ จานวน

34


38. นกเรยน ม.ตน คนหน/งเกดในเดอนกรกฎาคม เขาอยากใหเพ/อนทายวนเกดของเขา โดยใหขอมลเพ/อนวา

วนเกดของเขาเปนจานวนเฉพาะหรอสอดคลองกบคาตอบสมการ 040x38x11x 23 =−+− ความนาจะ

เปนท/เพ/อนจะทายวนเกดเขาไดถกตองเปนเทาใด

1. 11

1 2. 12

1 3. 13

1 4. 14

1 5. 31

1

ตอบขอ 2


เดอนกรกฎาคมม 31 วน วนท/เปนจานวนเฉพาะคอวนท/ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

คาตอบสมการ 040x38x11x 23 =−+−

0)5x)(4x)(2x( =−−−

5,4,2x =

แซมเปลสเปซจะเปนวนท/สอดคลองกบเง/อนไขของโจทย คอ S = {2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}

12)S(n =

ในจานวน 12 วนน8 มเหตการณท/สนใจเปนวนเกดของนกเรยนเพยงวนเดยว 1)E(n =

ดงน8น ความนาจะเปนท/เพ/อนจะทายวนเกดเขาไดถกตอง 12

1

)S(n

)E(n)E(P ==

39. ขอมลชดหน/งเรยงลาดบจากนอยไปมากเปน 120,90,60,60,b,a,30,30,20,10 ถาฐานนยมและมธย

ฐานของคะแนนชดน8 เปน 30 และ 40 ตามลาดบ แลวขอมลชดตอไปน8 คอ

130,99,68,67,6b,5a,34,33,22,11 ++ มคาเฉล/ยเลขคณตเทากบขอใดตอไปน8

1. 50 2. 55.5 3. 56 4. 60 5. 60.5

ตอบขอ 2


ขอมลเรยงจากนอยไปมาก 120,90,60,60,b,a,30,30,20,10

ขอมลมฐานนยม = 30 แสดงวา 30a =

และมธยฐาน = 40 แสดงวา

402

ba=

+

402

b30=

+ � 50b =

ขอมลอกชดคอ 130,99,68,67,6b,5a,34,33,22,11 ++

(แทนคา 30a = ดงน8น 355a =+ และแทน 50b = ดงน8น 566506b =+=+ )

35


จะได 10

130996867563534332211X

+++++++++=

5.55=

40. ในการสอบสมภาษณนกเรยน 3 คน ปรากฏวาคาเฉล/ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 53 มธยฐานเทากบ

50 และพสยเทากบ 21 สวนเบ/ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบสมภาษณนกเรยนท8งสามคนเปนเทาใด

1. 8.37 2. 8.83 3. 9.05 4. 9.49 5. 10.05

ตอบขอ 2


ให 321 x,x,x เปนคะแนนสอบสมภาษณนกเรยนท8งสามคน เรยงจากนอยไปมาก

จากโจทยกาหนด มธยฐานเทากบ 50 จะไดวา 50x2 =

คาเฉล/ยเลขคณตเทากบ 53 จะไดวา 533

x50x 31 =++

159x50x 31 =++

109xx 31 =+ )1(K

และพสยเทากบ 21 จะไดวา 21xx 13 =− )2(K

)2()1( + จะได 130x2 3 = � 65x3 =

จาก )1( จะไดวา 44x1 =

ดงน8น คะแนนสอบสมภาษณนกเรยนท8งสามคน คอ 65,50,44

จากสตรสวนเบ/ยงเบนมาตรฐาน ( )N

xx.D.S

2

i∑ −=

( ) ( ) ( )3

536553505344222 −+−+−

=

3

144981 ++=

83.878 ==

ดงน8น สวนเบ/ยงเบนมาตรฐาน 83.8.D.S =

โปรดตรวจสอบวาทานไดเขยน ช/อ – สกล และระบายรหสประจาตว เรยบรอยครบถวนแลว

Documents

เฉลยละเอียดวิธีทําวิชา ...2 แซค ศ นย สอบว ชาการภาคใต 2. จงหาว าม จ านวนเต