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ACTIVIDAD 5D.
Realizado por:
Westerberg, Erica Pentassuglia, Adrin
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta
matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal
TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa
matemtica):
=
7321898
9559A Si multiplicamos la matriz por una vector de la forma
z
yx
TA =9 33: T
Si
=
z
yx
X
=
7321898
955TXX
z
yx
=
zyxzyxzyx
7321898
955
a) El vector genrico TX.
++
=
zyxzyxzyx
XT732
1898955
.
b) El ncleo de esta TL.
El ncleo de la transformacin T, es el conjunto de vectores X tal
que T.X=0 vale decir { }0/3 == TXxNulT
7321898
955
z
yx
=
000
-
El SEL con la matriz ampliada seria:
0732018980955
Resolvemos por el mtodo de Gauss-Jordan
Por lo tanto el ncleo de transformacin
000
NulT
c) Los autovalores de la TL.
T=; pertenece a los reales T=0 T=0 (T-KI)X=0 Se multiplica por
la matriz identidad.
5 5 98 9 182 3 7 1 0 00 1 00 0 1=
5 5 98 9 182 3 7 0 00 00 0 =
5 5 98 9 182 3 7
-
Calculamos el determinante igualndolo a 0 ya que:
0)7(32
18)9(895)5(
)det( =
=
kk
kKIA
K= -1 es el autovalor
1.3.3)()7(32
18)9(895)5(
23=
KKKk
kk
Resolviendo esto nos queda:
323 )1(133)( += KKKK por lo tanto 10)1( 3 ==+ KK
Verificacin:
0632
18108954
=
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.
Para K= -1 entonces A-(-1)I= A+I entonces la solucin:
X= ! /#$ + & = 0'
-
5 5 98 9 182 3 7 0 00 00 0 =
5 5 98 9 182 3 7 1 0 00 1 00 0 1=
!=4 5 98 10 182 3 6
La solucin nos queda despejando:
33
32
31
35.1
xx
xx
xx
=
=
=
La solucin general:
=
3
3
3
35.1
x
x
x
X
Por lo tanto el autovector asociado l K=-1 :
135.1
que es la base para el autovector y los autovectores
pertenecen
a
135.1
Gen
-
e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada
espacio generado.
El espacio generado por el vector es la recta que pasa por el
pto. 0 y tambin (1.5,-3,1).
f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P
y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu
informacin se construyen dichas matrices?
Decimos que es diagonizable si APDPA 1=
La matriz P cuyas columnas son cada uno de esos autovectores
linealmente independientes, esto
es *=[1.531- Y para D tenemos que la diagonal es con -1, nos
quearia:
=
100010001
D entonces [ ] [ ]135.1100
010001
135.1 =
=PD
Verifico si AP=PD
A=
7321898
955 y
=
=
=
13
5.1
135.1
7321898
955
135.1
APP
AP=PD, APDPA 1= por lo tanto A es diagonizable.
h) Plantee la transformacin inversa.
X1
X2
X3
-
La transformacin inversa de T
121
21 :,: VVTVVT
=
556181720989
7321898
955 1
La transformacin es Invertible.
FIN.
