Ajuste de curvas El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta seccin es una restricciones) y al ajuste de curvas/anlisis de regresin (cuando se permite una aproximacin). introduccin tanto a la interpolacin (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas

Ajuste de lneas y curvas polinmicas a puntos Empecemos con una ecuacin polinmica de primer grado:

Esta lnea tiene pendiente a. Sabemos que habr una lnea conectando dos puntos entre dos puntos. Si aumentamos el orden de la ecuacin a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:

cualesquiera. Por tanto, una ecuacin polinmica de primer grado es un ajuste perfecto

Esto se ajustar exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuacin a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos:

que se ajustar a cuatro puntos. Una forma ms general de decirlo es que se ajustar exactamente a cuatro restricciones. radio, o 1/R). Las restricciones de ngulo y curvatura se suelen aadir a los extremos de

Cada restriccin puede ser un punto, un ngulo o una curvatura (que es el recproco del una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idnticas para asegurar una transicin suave entre curvas polinmicas contenidas en una nica spline. Tambin se pueden aadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sera til en diseos de intercambios en

trbol para incorporaciones a autopistas, para entender las fuerzas a las que somete a un vehculo y poder establecer lmites razonables de velocidad. Si tenemos ms de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), an podemos a todas ellas (pero podra suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer

hacer pasar la curva polinmica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto grado que se ajusta a tres puntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algn mtodo para evaluar cada aproximacin. El mtodo de mnimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones. Ahora bien, podramos preguntarnos la razn de querer un ajuste aproximado cuando ajuste exacto. Existen varias:

podramos simplemente aumentar el grado de la ecuacin polinmica para obtener un

Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podramos encontrar un caso divergente, donde no se podra calcular el ajuste exacto, o el coste computacional acabar aceptando una solucin aproximada. de encontrar la solucin podra ser muy alto. De cualquier modo, tendramos que

Quiz prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.

Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaramos que la curva pase tambin cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no suceder con curvas polinmicas de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen ms posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasar exactamente por ah, en los de primer grado).

Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con ms precisin, el nmero mximo de puntos de inflexin de una curva polinmica es n-2, donde n es el orden de la ecuacin polinmica. Un punto de inflexin es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsrvese que la "bulbosidad" de

los polinomios de orden alto es slo una posibilidad, ya que tambin pueden ser suaves, pero no existen garantas, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podra tener, como mximo, trece hasta cero. AJUSTE DE CURVAS A DATOS DE MEDICIONES Ajustar una curva implica ajustar una funcin g(x) a un conjunto de datos dado, (xi,yi), y = 1, 2, ..., L. La funcin g(x) es un polinomio, una funcin no lineal o una combinacin lineal de funciones conocidas. La funcin g(x) que se elige para ajustar una curva puntos de inflexin, pero podra tener tambin doce, once, o cualquier nmero

contiene cierto nmero de coeficientes no determinados. En general, el nmero de puntos de datos por ajustar, L, es mayor que el nmero de coeficientes no determinados, k; por tanto, el mtodo para determinar los coeficientes se basa en la minimizacin de las discrepancias entre la funcin determinada y los puntos de datos, y recibe el nombre de mtodo de mnimos cuadrados. En el caso especial de L = k, el ajuste de la curva se reduce a un problema de interpolacin porque la curva ajustada pasa por los puntos de datos. 1.- AJUSTE DE LNEAS RECTAS Supongase que interesa ajustar una funcin lineal al conjunto de datos de la tabla 1.1. La lnea ajustada a un conjunto de datos se denomina lnea de regresin.

TABLA 1.1 i 1 2 3 4 5 x 0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 y 0.61 0.92 0.99 1.52 1.47

6

0.7

2.03

La funcin lineal se expresa con

En donde c1 y c2 son constantes no determinadas. El nmero de puntos de datos es mayor que 2, la lnea no se ajusta a todos los puntos, se determina minmizando las discrepancias entre la lnea y los datos. La desviacin de la lnea respecto de los puntos est definida por:

donde L es el nmero total de puntos de datos (6 en este ejemplo) y c1 y c2 son la constantes por determinar.

La suma de las desviaciones elevadas al cuadrado es:

El mnimo de R ocurre cuando las derivadas parciales de R respecto de c1 y c2 son cero:

1.3

1.4

La ecuacin 1.4 puede reescribirse as:

1.5

donde

La solucin de la ecuacin 1.5 es

Una forma equivalente de determinar los coeficientes es considerar el problema como una ecuacin lneal sobredeterminada. Por ejemplo, si todos los puntos de datos de la tabla 1.1 satisfacen la ecuacin 1.1, escribimos: ; i = 1, 2, ... , L o bien 1.6 donde

,

,

Se dice que la ecuacin 1.6 es una ecuacin lineal sobredeterminada porque el nmero de ecuaciones, L , es mayor que el nmero de incgnitas. Para obtener la solucin, premultiplicamos a la ecuacin 1.6 por la transpuesta de A: 1.7 Puesto que AtA se convierte en una matriz cuadrada de 2 por 2 y Aty se convierte en un vector de longitud 2, la ecuacin 1.7 es un problema normal de 2 por 2. La solucin se obtiene con:

La solucin anterior concuerda con la ecuacin 1.6

Tambin podemos resolver una ecuacin sobredeterminada en MATLAB con slo:

Lo mismo puede lograrse tambin con polyfit. Supongamos que x y y son los conjuntos de datos por ajustar; entonces,

c = polyfit(x, y, 1) devolver los coeficientes c1 y c2 en el vector c, donde el tercer argumento, "1", es el orden del polinomio ajustado y que en el caso de una lnea recta es la unidad.