Upload
buituong
View
269
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
Algoritma Komputasi dan
Program R dalam GLM
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Sekolah Pascasarjana Departemen Statistika IPB
Semester Genap 2018/2019
2
Pada model linear klasik, seperti regresi linear, memerlukan asumsi bahwa peubah respon y menyebar Normal.
Pada kenyataanya banyak ditemukan bahwapeubah respon y tidak menyebar Normal. Misalnyamenyebar Binomial, Poisson, Gamma, Eksponensial, dsb.
Maka dikembangkan Model Linear Terampat(Generalized Linear Model) untuk mengatasimasalah ini.
3
1. Komponen Acak (Random Component)
Komponen acaknya adalah peubah respon y.
Dalam GLM, peubah respon diasumsikan
mempunyai sebaran yang termasuk ke dalam
keluarga eksponensial, yaitu :
4
2. Komponen Sistematik (Systematic Component)
Komponen sistematik adalah kombinasi linear
dari kovariat x1, x2, …, xp. Sehingga dapat
dituliskan sebagai berikut:
= (ixi)
disebut juga sebagai penduga linear (linear
predictor), i adalah konstanta.
5
3. Fungsi Hubung (Link Function)
Yaitu fungsi yang menghubungkan antara
komponen acak dengan komponen sistematik.
Misalkan E(y) = , selanjutnya dapat dibuat
hubungan sebagai berikut :
g() = = (ixi)
g(.) disebut sebagai fungsi hubung. Fungsi ini
harus bersifat terdiferensialkan monoton
(monotonic differentiable)
6
Normal
Binomial
Multinomial
Poisson
Gamma
Eksponensial
Negatif Binomial
dll.
7
Pendugaan parameter melalui metode kemungkinan
maksimum (maximum likelihood) dapat dilakukan
secara analitik maupun secara numerik.
Pada GLM terkadang metode analitik tidak dapat
dilakukan karena tidak ditemukan bentuk closed-form
pada fungsi kemungkinan maksimumnya.
Salah satu metode numerik yang banyak digunakan
pada GLM adalah metode Fisher-Scoring atau
Newton-Raphson.
8
9
10
11
12
13
14
15
Algoritma Komputasi
16
17
(a)
(b)
(a)
(a)
18
Contoh 1:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : x3 + 2x – 1 = 0
Iterasi 0 1 2 3 4 5
x 1 0,600000 0.4649351 0.4534672 0.4533977 0.4533977
)('
)(
12)(
)1(
)1()1()(
3
m
mmm
xf
xfxx
xxxf
19
#Solusi untuk : x^3 + 2*x - 1 = 0
x <- 1
for (i in 2:6)
{x[i] <- x[i-1] - ((x[i-1])^3 + 2*x[i-1] - 1)/(3*((x[i-1])^2) + 2)}
x
------------------------------------------------------------------
> x
[1] 1.0000000 0.6000000 0.4649351 0.4534672 0.4533977 0.4533977
20
Contoh 2:
Tentukan nilai 17 secara iteratif hingga tingkat
ketelitian 6 desimal.
21
Contoh 3: (Lihat: Dobson, 2002)
22
23
of Weibull
24
25
(a)
26
Jadi perbedaan Fisher-Scoring dari Newton-
Raphson adalah dari sisipenggunaan E(U’’) sebagai
pendekatan bagi U’
27
28
Pemodelan GLM dapat diimplementasikan dalam Program R.
Pada program ini, pendugaan parameter GLM dilakukan
melalui teknik Fisher-Scoring.
Disamping bersifat open-source, program R memiliki banyak
kelebihan dibandingkan program lainnya (SAS, dll) untuk
pemodelan GLM.
Diantaranya adalah ketersedian di R berbagai sebaran
keluarga eksponensial yang lebih luas, pendekatan Quasi-
likelihood, metode Bayes, dsb.
Karena itu, pada kuliah GLM ini lebih direkomendasikan untuk
menggunakan Program R.
29
Bentuk Umum Metode Fisher Scoring
L(,y) adalah fungsi kemungkinan (likelihood), I disebut
matrik informasi Fisher. Maka penduga secara iteratif
adalah sebagai berikut :
srr
r
LE
LU
),( ;
),( 2yβ
Iyβ
)1()1()1()()1( ˆˆ kkkkkUβIβI
)1()1()1()( )(ˆˆ kkkkUIββ
Model GLM : g((E(y)) = g() = = X
30
Program R
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
#Contoh Simulasi Data GLM (1)
set.seed(1001)
n <- 50
x <- runif(n,1,6)
b0 <- 1.5
b1 <- 3.0
y <- c(1:n)
for (i in 1:n) {y[i] <- rnorm(1,b0+b1*x[i],1)}
cbind(x,y)
plot(x,y)
fit.dataku <- glm(y ~ x, family=gaussian(link="identity"))
summary(fit.dataku)
y_duga <- fitted(fit.dataku)
sisaan <- resid(fit.dataku)
cbind(x,y,y_duga,sisaan)
plot(x,y)
par(col="red")
abline(fit.dataku)
par(col="black")
plot(y_duga,sisaan)
qqnorm(sisaan); qqline(sisaan)
41
> cbind(x,y)
x y
[1,] 5.928444 18.690387
[2,] 3.063142 8.788586
[3,] 3.147696 11.136597
[4,] 3.095861 10.205783
[5,] 3.132533 9.352388
[6,] 5.438988 18.295776
[7,] 1.030480 4.820782
[8,] 1.406079 5.580310
[9,] 2.443287 11.240599
[10,] 4.826711 14.057338
.
.
.
[48,] 1.008779 3.946260
[49,] 4.527118 13.109931
[50,] 4.646557 17.004236
42
43
> summary(fit.dataku)
Call:
glm(formula = y ~ x, family = gaussian(link = "identity"))
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.1868 -0.8818 0.0415 0.7586 3.1982
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.0186 0.4436 4.551 3.65e-05 ***
x 2.8581 0.1176 24.308 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1
Null deviance: 1044.593 on 49 degrees of freedom
Residual deviance: 78.483 on 48 degrees of freedom
AIC: 170.44
Number of Fisher Scoring iterations: 2
44
> cbind(x,y,y_duga,sisaan)
x y y_duga sisaan
1 5.928444 18.690387 18.962859 -0.27247193
2 3.063142 8.788586 10.773441 -1.98485474
3 3.147696 11.136597 11.015107 0.12148961
4 3.095861 10.205783 10.866956 -0.66117247
5 3.132533 9.352388 10.971768 -1.61938059
6 5.438988 18.295776 17.563928 0.73184798
7 1.030480 4.820782 4.963818 -0.14303598
8 1.406079 5.580310 6.037330 -0.45701975
9 2.443287 11.240599 9.001810 2.23878933
10 4.826711 14.057338 15.813957 -1.75661973
.
.
.
48 1.008779 3.946260 4.901792 -0.95553208
49 4.527118 13.109931 14.957682 -1.84775158
50 4.646557 17.004236 15.299055 1.70518141
45
46
47
48
McCullagh, P. and Nelder, J.A. (1989) Generalized
Linear Models, 2nd. C&H.
Dobson and Barnett. (2008). An Introduction to
Generalized Linear Models, New York: C&H, 3rd ed.
Agresti, A. (2015). Foundations of Linear and
Generalized Linear Models. New Jersey: Wiley.
49
Jiang, J. (2007). Linear and Generalized Linear Mixed
Models and Their Applications, Springer.
McCulloch, C.E. and Searle, S.R. (2001) Generalized,
Linear, and Mixed Models, Wiley
Pawitan, Y. (2001) In All Likelihood. Oxford.
Lee, Y., Nelder, J.A. and Pawitan, Y. (2006).
Generalized Linear Models with Random Effects. C&H.
50
Melalui Program R:
1. Bangkitkan data respon Yi, i = 1, 2, …, 50, dengan fungsi sebaran
Bernoulli dan mempunyai hubungan (fungsi hubung logit) dengan satu
peubah bebas X yang menyebar Uniform(−2, 2). Parameter 0 = 0.3k
dan 1 = 1.k5. Catatan, k adalah nomor urut absen mahasiswa.
2. Misalnya jika k = 2 maka 0 = 0.32 dan 1 = 1.25
3. Lakukan pengulangan pembangkitan data tersebut masing-masing
sebanyak 5 kali sehingga terdapat 5 set data.
4. Pada 5 set data tersebut lakukan pendugaan parameter model (0 dan
1) masing-masing dengan fungsi hubung logit (Model 1), fungsi hubung
probit (Model 2), dan fungsi hubung complementary log-log (Model 3).
5. Bandingkan rata-rata nilai bias dan kuadrat tengah galat (MSE) untuk
ketiga model tersebut. Model mana yang lebih baik? Jelaskan.
51
Tugas tersebut dalam rangka meningkatkan pemahaman
mahasiswa tentang Program R dan implementasinya pada GLM.
Karenanya harus dikerjakan secara mandiri oleh setiap
mahasiswa.
Jika syntax R yang ditulis merujuk pada karya orang lain harus
disebutkan sumbernya (buku, jurnal, web, tugas mahasiswa lain,
dsb).
Satu file power point yang di dalamnya disertai syntax R dan
output R dikirim kepada dosen via email paling lambat 24 jam
sebelum presentasi.
Saat presentasi mahasiswa juga harus menjalankan Program R
untuk menunjukkan prosesnya.
52
Materi ini bisa di-download di:
kusmansadik.wordpress.com
53