Upload
others
View
27
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 1 1 1 1
ALJABAR BOOLEAN
9.1. Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner (0
atau 1) dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet
dan tiga operasi dasar, yakni AND, OR, dan NOT (komplemen).
AND dinotasikan π₯ β π¦ atau π₯π¦
OR dinotasikan π₯ + π¦
NOT (komplemen) dinotasikan π₯β² atau π₯
Perhatikan tabel berikut.
Tabel AND
π π ππ
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Tabel OR
π π π + π
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tabel NOT (Komplemen)
π π β² 1 0
0 1
Contoh 1:
Tentukan nilai dari 1 β 0 + (0 + 1)β² ! Jawab:
1 β 0 + (0 + 1)β² = 0 + 1β² = 0 + 0 = 0
Selanjutnya, lihat definisi formal mengenai aljabar Boolean berikut.
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operasi biner (+ dan *) dan
sebuah operasi unar (β), serta menggunakan dua elemen 0 dan 1, maka (B, +, *, β) disebut
aljabar Boolean jika memenuhi aksioma-aksioma berikut untuk setiap elemen π₯, π¦, dan π§ dari
himpunan B.
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 2 2 2 2
Hukum Komutatif π₯ + π¦ = π¦ + π₯ π₯π¦ = π¦π₯
Hukum Asosiatif π₯ + π¦ + π§ = π₯ + (π¦ + π§) π₯π¦ π§ = π₯(π¦π§)
Hukum Distributif π₯ + π¦π§ = π₯ + π¦ (π₯ + π§) π₯ π¦ + π§ = π₯π¦ + (π₯π§)
Hukum Identitas π₯ + 0 = π₯ π₯ β 1 = π₯
Hukum Komplemen π₯ + π₯β² = 1 π₯ β π₯β² = 0
9.2. Definisi Ekspresi Boolean
Misalkan B = {0, 1}. Maka, nB { π₯1,π₯2 , β¦ , π₯π |π₯π β B untuk 1 β€ π β€ π} adalah suatu
himpunan dari semua π-tupel yang mungkin atas 0 dan 1. Suatu fungsi dari nB ke B ini
disebut sebagai fungsi Boolean atau ekspresi Boolean.
Contoh 2:
Tentukan nilai dari ekspresi Boolean berikut: πΈ(π₯, π¦, π§) = π₯π¦ + π§β² ! Jawab:
π π π ππ πβ² π¬
1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
Contoh 3:
Tentukan nilai dari ekspresi Boolean berikut: πΈ(π₯, π¦, π§) = π₯π¦π§β² + π₯π¦β²π§β² + π₯π¦β²π§ + π₯β²π¦π§β² ! Jawab:
π π π πππβ² ππβ²πβ² ππβ²π πβ²ππβ² π¬
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Berikutnya akan diberikan contoh bagaimana mencari ekspresi Boolean jika diketahui
nilainya.
Contoh 4:
Carilah ekspresi Boolean dari π₯, π¦, dan π§ yang diberikan dalam tabel berikut:
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 3 3 3 3
π π π π¬
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
Jawab:
Untuk mengetahui ekspresi Boolean, fokus pada angka β1β dalam kolom πΈ, yaitu baris
ketiga, baris keempat, dan baris ketujuh.
Baris ke-3 : π₯ = 1, π¦ = 0, π§ = 1 β ketiganya menghasilkan πΈ = 1
sehingga diperoleh π₯π¦β²π§
Baris ke-4 : π₯ = 1, π¦ = 0, π§ = 0 β ketiganya menghasilkan πΈ = 1
sehingga diperoleh π₯π¦β²π§β²
Baris ke-7 : π₯ = 0, π¦ = 0, π§ = 1 β ketiganya menghasilkan πΈ = 1
sehingga diperoleh π₯β²π¦β²π§
Dengan demikian, πΈ(π₯, π¦, π§) = π₯π¦β²π§ + π₯π¦β²π§β² + π₯β²π¦β²π§.
9.3. Tabel Identitas Boolean
Selain kelima aksioma yang telah dipaparkan pada Subbab 9.1, aljabar Boolean juga
memiliki beberapa hukum lainnya. Perhatikan Tabel Identitas Boolean berikut.
Tabel Identitas Boolean
Hukum Idempoten π₯ + π₯ = π₯ π₯π₯ = π₯
Hukum Dominasi π₯ + 1 = 1 π₯ β 0 = 0
Hukum Absorpsi π₯ + π₯π¦ = π₯ π₯ π₯ + π¦ = π₯
Hukum Involusi (π₯β²)β² = π₯
Hukum De Morgan (π₯ + π¦)β² = π₯β²π¦β² (π₯π¦)β² = π₯β² + π¦β²
9.4. Dualitas
Dalam aljabar Boolean, ada istilah dualitas. Untuk mencari bentuk dual dari suatu aljabar
Boolean, dapat diperoleh dengan:
β+β diubah menjadi β*β
β*β diubah menjadi β+β
β1β diubah menjadi β0β
β0β diubah menjadi β1β
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 4 4 4 4
Jika terdapat variabel seperti π₯ atau π₯β² pada suatu aljabar Boolean, maka bentuk tersebut
tetap dalam bentuk dualnya.
Contoh 5:
Buktikan bahwa (π₯ β π₯ + π¦ β 0 ) β² = π₯β² , dan tuliskanlah bentuk dualnya!
Jawab:
0 0x x y x x (Hukum Dominasi)
x x (Hukum Identitas)
x (Hukum Idempoten)
Bentuk dualnya: 1x x y x
9.5. Bentuk Normal Disjungtif (Disjungtive Normal Form)
Suatu variabel Boolean (atau komplemennya) disebut sebagai literal. Contoh literal
adalah π₯, π₯β², π¦β², π§, dan sebagainya.
Suatu minterm atau perkalian dasar adalah hasil kali dari n literal dengan satu literal
mewakili satu variabel (n bilangan asli). Contoh minterm adalah π₯β², π₯π¦, π₯β²π¦, π₯π¦π§β², π¦β²π§, dan
sebagainya. Contoh yang bukan minterm antara lain π₯π₯β², π₯π¦π₯β²π§, π₯π¦π₯π¦, dan sebagainya.
Perhatikan contoh berikut untuk memahami perbedaan antara variabel biasa dengan literal.
Diberikan ekspresi Boolean
πΈ π₯, π¦, π§ = π₯π§β² + π₯β²π¦
Ekspresi Boolean di atas memiliki 3 variabel (π₯, π¦, π§), 4 literal (π₯, π₯β², π¦, π§β²), dan 2 minterm
(π₯π§β², π₯β²π¦). [Pahami perbedaan antara variabel biasa dan literal.]
Ekspresi Boolean disebut bentuk normal disjungtif (dnf) jika merupakan suatu minterm
atau penjumlahan 2/lebih minterm yang masing-masing mintermnya tidak terkandung dalam
minterm lainnya. Bentuk normal disjungtif pada suatu ekspresi Boolean juga sering disebut
sebagai ekspansi sum-of-products (SoP).
Ekspresi Boolean dnf yang setiap mintermnya mengandung semua variabel disebut
bentuk lengkap normal disjungtif (full dnf).
Sebagai contoh,
1( , , )E x y z x y β dnf / SoP
2( , , )E x y z xz x yz xy z β dnf / SoP
3( , , )E x y z xz y z xyz β bukan dnf karena xz terkandung dalam xyz
4( , , )E x y z xyz x yz x y z β full dnf / SoP
Contoh 6:
Nyatakanlah ekspresi Boolean ( , , ) ( )E x y z xy z menjadi bentuk dnf dan full dnf!
Jawab:
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 5 5 5 5
(dengan Hukum de Morgan)
(dengan Hukum Distributif)
( , , ) ( )
(dilanjutkan den
( )
gan Hukum Ide n titas)
E x y z xy z
x y z
x z y dnfz
[Perhatikan minterm x z belum ada variabel y, dan minterm y z belum ada variabel x.]
(dengan Hukum Komplemen)
(dengan Hukum Di
1 1
( ) ( )
stributif)
(karena ada minterm yang sama, gunakan Hukum Idempo
( ,
t
)
)
,
enx y
x z y z
x y y z x x y z
E x
x yz xy z
x yz
y z
z x y z
x y z xy fulz l dnf
Perlu diperhatikan bahwa semua ekspresi Boolean yang full dnf, pasti dnf. Namun,
ekspresi Boolean yang dnf belum tentu full dnf.
Apabila ekspresi Boolean sudah diketahui dalam bentuk normal disjungtif, maka bentuk
dualnya akan disebut sebagai bentuk normal konjungtif (conjungtive normal form β cnf),
atau sering juga disebut ekspansi product-of-sums (PoS).
Contoh 7:
Nyatakanlah ekspresi Boolean ( , , ) ( )E x y z xy z menjadi bentuk cnf!
Jawab:
Berdasarkan Contoh 6, telah diketahui bahwa full dnf-nya adalah:
( , , )E x y z x yz x y z xy z
Maka, dengan menggunakan teknik dualitas, bentuk cnf dari ( , , ) ( )E x y z xy z adalah:
( ) ( ) ( )x y z x y z x y z
9.6. Gerbang Logika
Gerbang logika merupakan pembentuk sistem elektronika digital yang berfungsi
mengubah satu atau beberapa input menjadi suatu sinyal output logis.
Gerbang logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner, yaitu hanya memiliki dua
kode simbol yakni 0 dan 1.
Tabel Gerbang Logika
Nama Gerbang Gerbang Lambang
NOT
πΈ = π₯β²
OR
πΈ = π₯ + π¦
AND
πΈ = π₯π¦
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 6 6 6 6
NOR (not or)
πΈ = (π₯ + π¦)β²
NAND (not and)
πΈ = (π₯π¦)β²
XOR (exclusive or)
πΈ = π₯ β π¦
Contoh 8:
Buatlah rangkaian gerbang logika dari πΈ(π₯, π¦) = π₯ + π¦ π₯β² ! Jawab:
Apabila gerbang diawali dengan n input, bisa digambarkan seperti berikut ini.
Contoh 9:
Diketahui rangkaian gerbang logika berikut:
Tentukan ekspresi Boolean dari rangkaian gerbang logika di atas!
Jawab:
πΈ
π₯β²
π₯ + π¦
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 7 7 7 7
1
2 E
3 5
4
1: π₯ + π¦ + π§ ; 2: π₯β² ; 3: π¦β² ; 4: π§β² ; 5: π₯β²π¦β²π§β²
Jadi, ekspresi Booleannya adalah πΈ = π₯ + π¦ + π§ π₯β²π¦β²π§β².
9.7. Penyederhanaan Ekspresi Boolean
Ekspresi Boolean dikatakan dnf minimal jika ekspresi Boolean dnf tersebut tidak dapat
disederhanakan lagi. Sebagai contoh,
1( , , )E x y z xz y z β dnf minimal
2( , , )E x y z xy x y β dnf, tapi bukan dnf minimal
3( , , )E x y z xyz x y z β full dnf, dan dnf minimal
4( , , )E x y z x yz x y z x y z β full dnf, tapi bukan dnf minimal
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi Boolean menjadi
dnf minimal, yaitu:
1) dengan metode konsensus, dan
2) dengan peta Karnaugh.
A. Metode Konsensus
Misalkan π1 dan π2 adalah suatu minterm sedemikian sehingga tepat satu variabel
(misal π) muncul dengan komplemennya (misal πβ²) pada salah satu dari π1 atau π2. Maka,
yang disebut konsensus dari π1 dan π2 adalah hasil kali (tanpa pengulangan) dari literal π1
dan literal π2 setelah π dan πβ² dihilangkan. Sebagai contoh,
π₯π¦β² dan π¦ β konsensusnya π₯
π₯π¦β² dan π₯β²π¦ β tidak memiliki konsensus; karena ada lebih dari satu variabel
yang muncul dengan komplemennya, yaitu variabel π₯ dan
variabel π¦
π₯β²π§β² dan π₯β²π¦β²π§ β konsensusnya π₯β²π¦β² π₯β²π¦β² dan π₯β²π¦β²z β tidak memiliki konsensus; karena tidak ada variabel yang
muncul dengan komplemennya
Contoh 10:
Tentukan dnf minimal dari ( , , )E x y z xyz xy z x y z xyz x yz dengan metode
konsensus!
Jawab:
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 8 8 8 8
π₯
π₯β²
π¦ π¦β²
π₯
π₯β²
β
π¦π§
β
π¦π§β²
β
π¦β²π§β²
β
π¦β²π§
( , , )E x y z xyz xy z x y z xyz x yz
karena π₯π¦π§ dan π₯π¦β²π§ berkonsensus π₯π§, lalu π₯π¦π§β² dan π₯β²π¦π§β² berkonsensus π¦π§β², maka:
( , , ) xyz xy z xz x y z xyz x yz yzE x y z
karena π₯π§ terkandung dalam π₯π¦π§, maka π₯π§ + π₯π¦π§ = π₯π§ 1 + π¦ = π₯π§
karena π₯π§ terkandung dalam π₯π¦β²π§, maka π₯π§ + π₯π¦β²π§ = π₯π§ 1 + π¦β² = π₯π§
( , , ) xz x y zE xyz xx y z yz yz
karena π¦π§β² terkandung dalam π₯π¦π§β², maka π¦π§β² + π₯π¦π§β² = π¦π§β² 1 + π₯ = π¦π§β² karena π¦π§β² terkandung dalam π₯β²π¦π§β², maka π¦π§β² + π₯β²π¦π§β² = π¦π§β² 1 + π₯β² = π¦π§β²
( , , ) xz x y z yE x zy z
karena π₯π§ dan π₯β²π¦β²π§ berkonsensus π¦β²π§, maka:
( , , ) xz x y z y z yzE x y z
karena π¦β²π§ terkandung dalam π₯β²π¦β²π§, maka π¦β²π§ + π₯β²π¦β²π§ = π¦β²π§ 1 + π₯β² = π¦β²π§
( , , ) xE x z z z yzy y
Jadi, dnf minimal dari ( , , )E x y z xyz xy z x y z xyz x yz adalah:
( , , )E x y z xz y z yz
Jika suatu ekspresi Boolean merupakan dnf minimal, maka setiap mintermnya disebut
sebagai prime implikan. Sebagai contoh, perhatikan kembali Contoh 10 di atas. Ekspresi
Boolean
( , , )E x y z xyz xy z x y z xyz x yz
memiliki dnf minimal
( , , )E x y z xz y z yz
sehingga prime implikannya adalah xz , y z , dan yz .
B. Peta Karnaugh
Peta Karnaugh dua variabel adalah sebagai berikut.
Peta Karnaugh tiga variabel adalah sebagai berikut.
dengan
area π₯ mencakup sel: π₯π¦π§, π₯π¦π§β², π₯π¦β²π§β², dan π₯π¦β²π§;
area π₯β² mencakup sel: π₯β²π¦π§, π₯β²π¦π§β², π₯β²π¦β²π§β², dan π₯β²π¦β²π§;
area π¦ mencakup sel: π₯π¦π§, π₯π¦π§β², π₯β²π¦π§, dan π₯β²π¦π§β²; area π¦β² mencakup sel: π₯π¦β²π§β², π₯π¦β²π§, π₯β²π¦β²π§β², dan π₯β²π¦β²π§;
area π§ mencakup sel: π₯π¦π§, π₯β²π¦π§, π₯π¦β²π§, dan π₯β²π¦β²π§;
area π§β² mencakup sel: π₯π¦π§β², π₯π¦β²π§β², π₯β²π¦π§β², dan π₯β²π¦β²π§β².
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 9 9 9 9
π¦β²
β
π¦
β
π₯β²
β
π₯
π₯β²
β
π₯
π¦β²
β
π¦
β
π¦β²
β
π¦β²
β
π¦
β
π¦
β
Ada beberapa aturan dalam membuat blok pada peta Karnaugh, yaitu:
a) Blok yang diperbolehkan adalah secara horizontal atau vertikal, tidak boleh
secara diagonal.
b) Semua sel yang terisi β1β harus masuk dalam blok dan banyaknya blok yang
dibuat harus seminim mungkin.
c) Utamakan membuat blok yang bisa mencakup β1β lebih banyak.
d) Jumlah β1β yang diperbolehkan dalam setiap bloknya adalah 2, 4, 8, atau 16 (jika
ekspresi Booleannya memiliki empat variabel).
Perlu diperhatikan bahwa jika semua sel pada peta Karnaugh terisi β1β, maka πΈ = 1.
Dalam bab ini, penggunaan peta Karnaugh hanya dibatasi untuk 2 dan 3 variabel.
Contoh 11:
Tentukan peta Karnaugh dari:
a. πΈ π₯, π¦ = π₯π¦ + π₯β²π¦ b. πΈ π₯, π¦ = π₯π¦β² + π₯β²π¦
Jawab:
a. b.
Contoh 12:
Tentukan dnf minimal dari πΈ π₯, π¦ = π₯π¦β² + π₯β²π¦ + π₯β²π¦β² dengan menggunakan peta Karnaugh!
Jawab:
Peta Karnaughnya:
Dengan memperhatikan aturan dalam membuat blok, maka blok yang bisa dilakukan adalah
sebagai berikut:
Blok vertikal: berada dalam area π₯ π₯β² π¦β², sehingga didapatlah π¦β². Blok horizontal: berada dalam area π₯β²π¦ π¦β², sehingga didapatlah π₯β². Maka, dnf minimal dari πΈ π₯, π¦ = π₯π¦β² + π₯β²π¦ + π₯β²π¦β² adalah:
πΈ π₯, π¦ = π₯β² + π¦β²
π₯
π₯β²
β
π₯
π₯β²
β
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 10 10 10 10
π₯β²
β
π₯
π¦π§
β
π¦π§β²
β
π¦β²π§β²
β
π¦β²π§
π₯β²
β
π₯
π¦π§
β
π¦π§β²
β
π¦β²π§β²
β
π¦β²π§
Contoh 13:
Tentukan dnf minimal dari
πΈ π₯, π¦ = π₯π¦π§ + π₯π¦π§β² + π₯π¦β²π§ + π₯π¦β²π§β² + π₯β²π¦π§ + π₯β²π¦β²π§ + π₯β²π¦β²π§β² dengan menggunakan peta Karnaugh!
Jawab:
Peta Karnaughnya:
Dengan memperhatikan aturan dalam membuat blok, maka blok yang bisa dilakukan adalah
sebagai berikut:
Blok merah : berada dalam area π₯ π¦ π¦β² π§ π§β², sehingga didapatlah π₯.
Blok hijau : berada dalam area π₯ π₯β² π¦β² π§ π§β², sehingga didapatlah π¦β². Blok hitam
putus-putus : berada dalam area π₯ π₯β² π¦ π¦β² π§, sehingga didapatlah π§.
Maka, dnf minimal dari πΈ π₯, π¦ = π₯π¦π§ + π₯π¦π§β² + π₯π¦β²π§ + π₯π¦β²π§β² + π₯β²π¦π§ + π₯β²π¦β²π§ + π₯β²π¦β²π§β² adalah:
πΈ π₯, π¦, π§ = π₯ + π¦β² + π§
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 11 11 11 11
L A T I H A N S O A L
1. Gunakan tabel untuk mencari nilai dari ekspresi Boolean berikut:
a. ( , , ) ( )E x y z xy xyz
b. ( , , ) ( )E x y z y xz x z
2. Carilah ekspresi Boolean dari variabel π₯, π¦, dan π§ pada tabel berikut:
π π π π¬
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
3. Buktikan bahwa 1x x y x
!
4. Diketahui ekspresi-ekspresi Boolean sebagai berikut:
a. ( , , ) ( )E x y z x y z
b. ( , , ) ( )E x y z x y z y
c. ( , , ) ( ) ( )E x y z xy x z
Tentukanlah: (i) gambar rangkaian gerbang logikanya!
(ii) dnf dan full dnf-nya!
5. Tentukan dnf minimal dari ekspresi Boolean berikut dengan konsensus dan Karnaugh:
a. ( , , )E x y z x yz x y z
b. ( , , )E x y z xyz xyz x yz x yz
c. ( , , )E x y z xyz xy z xy z x yz x y z
6. Tuliskanlah ekspresi Boolean dari masing-masing rangkaian gerbang logika berikut:
a.
MATEMATIKA DISKRET β Srava Chrisdes 12 12 12 12
b.
c.