Les coniques

A.MérilProfesseur des UniversitésAgrégé de Mathématiques

• Je tiens à remercier A.Delcroix,D.J Mercier, P.Nuiro et J.Velin pour leur aide dans la préparation de cette conférence.

• Les personnalités du jour sont:• A.Einstein: né le 14 Mars 1879 à Ulm en

Allemagnemort le 18 Avril 1955 à Princeton

(USA)H.Aiken: né le 9 Mars 1900 à Hoboken

(USA)mort le 14 Mars 1973 à St Louis (USA)

Soient D une droite, F un point n’appartenant pas à D et e un nombre réel strictement positif. La conique de foyer F, de directrice D et d’excentricité e est l’ensemble C des points M du plan qui vérifient l’égalité MF/MH=e où H désigne la projection orthogonale de M sur D.

La droite ∆ passant par F et perpendiculaire à D est appelé axe focal de C.

Il est clair que l’axe focal est un axe de symétrie de la conique.

On note K l’intersection de D et de ∆

Les coniques vues comme section plane d'un cône de révolution ont été étudiées pour la première fois au IV ème siècle avant J.-C. par un élève de Platon. Il s'agit de Menechme de Proconnèse (-375,-325), ce fut un précepteur d'Alexandre le Grand. L'origine de ses travaux vient du problème de la duplication du cube, il s'agit de construire un cube de volume deux fois plus grand qu'un cube donné. Il utilisa les coniques pour la résolution de ce problème.

Remarquons que la résolution d'un tel problème est impossible en utilisant la règle et le compas, cela fut prouvé au 19 ème siècle par Wantzel en utilisant les travaux d'Abel et de Galois relatifs aux équations algébriques. Les coniques furent étudiés pour elles même par Apollonius de Perge en Turquie (-262,-190). Avant lui les coniques étaient vues comme intersection d'un cône de révolution et d'un plan perpendiculaire aux génératrices. Il connaissait les principaux résultats sur les coniques (il a écrit 8 volumes sur le sujet). Lui était inconnu les coniques définies par foyer, directrice et excentricité et les Théorèmes de Poncelet.Il a laissé son nom aux cercles d’Apollonius et au

Théorème de la médiane:Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [BC]

alors AB²+AC²=2(BI²+IA²).Au III ème siècle de notre ère, Pappus

d’Alexandrie (né aux environs de 290, mort aux environs de 350) définit les coniques par foyer et directrice en excluant de cette façon le cercle.

Ce fut l’un des plus importants mathématiciens de la Grèce antique. Son principal ouvrage est connu sous le nom de Synagoge. Il comprend au moins huit volumes

Théorème de Pappus:Soient A’, B’ et C’ alignés, ainsi que A’’,B’’ et C’’ on

construit A, B et C comme ci-dessous alors ces points sont alignés

Philippe de La Hire est un mathématicien, physicien et astronome français, né le 18 mars 1640 à Paris et mort le 21 avril 1718 dans cette même ville.

Ses plus importants travaux portent sur la géométrie. Il est le continuateur de G.Desargues (1591-1661) et de Blaise Pascal (1623-1662) en géométrie des coniques, en ce qu'il déduit les propriétés des coniques à partir des propriétés du cercle. Il développe les notions de pôles et polaires, d'homologie, de lieu orthoptique.

• Les coniques ont permis de donner de grandes avancées scientifiques et cela dès le XVII ème siècle. Ainsi Galilée (1564-1642) démontre en 1604 la trajectoire parabolique des objets en chute libre. Il faudra attendre la théorie de la gravitation universelle de Newton pour pouvoir montrer que la trajectoire d’un missile balistique est elliptique.

Les innombrables mesures de l’astronome danoisTycho Brahé (1546,1601) prouvent que la planète Mars n’a pas une trajectoire circulaire.

C’est J.Kepler (1571,1630) qui a énoncé les trois lois qui régissent les mouvements des corps célestes.

1)Les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers (1609)

2)Les aires balayées par le rayon vecteur joignant le centre du soleil au centre d’une planète sont proportionnelles au temps mis àles décrire (1609)

3)Les carrés des périodes de révolution sidérale des planètes sont proportionnelles aux cubes des grands axes de leurs orbites (1618)

Les relations de Kepler ont permis à Newton d’élaborer la théorie de la gravitation universelle.

C’est seulement au XIX ème siècle que les mathématiciens belges Germinal Dandelin et Adolphe Quetelet prouvent l’équivalence entre les définitions d’une conique par foyers et directrices et celle utilisant les sections coniques. C’est ce que l’on appelle les théorèmes belges.

Germinal Pierre Dandelin 12/04/1794 auBourget (France),15/02/1847 Bruxelles

il se joint à l'armée française et obtient le titre de colonel.

• Il travaille ensuite au ministère de l'intérieur sous les ordres de Lazare Carnot. Il devient citoyen des Pays-Bas, puis professeur en génie minier en Belgique, ainsi que membre de l'armée belge.

• Les travaux de Dandelin portent sur la géométrie et principalement sur les coniques, pour lesquelles il démontre plusieurs résultats, en particulier celui que l'on appelle de nos jours le théorème de Dandelin ou théorème belge, qu'il prouve en 1822.

Son nom est associé à la sphère de Dandelin, àla méthode de Dandelin-Gräffe qui sert à la résolution d'équations algébriques. Il a aussi publié sur la projection stéréographique, l'algèbre et la théorie des probabilités.

Adolphe Quetelet 7/02/1796 (Gand), 17/02/1874 (Bruxelles)

Il reçoit un doctorat en 1819 à l’université de Gand pour ses travaux sur les sections coniques.

Il sera l’un des fondateurs de la théorie moderne des statistiques.

• On lui doit le système mondial de mesure de l’obésité qu’on appelle indice de Quetelet ou Indice de Masse Corporelle.

Les coniques sont rappelons le, la parabole, l’ellipse et l’hyperbole. Ces noms viennent d ’Apollonius de Perge.

Le problème de la construction d'un point de coordonnées (x,y) de la parabole y²=2px équivaut à celle d'un rectangle de côtés 2p et x et dont l'aire est égale à celle d'un carréde coté y.

Le mot parabole vient du grec παραЗαλη

Ce mot signifie comparaison ou abordage ou encore application.

Le problème antique menant à l'hyperbole est un peu plus difficile. Il faut construire un point de coordonnées (x,y) de l'hyperbole y²=x(2p+((px)/a)) cela équivaut à celle d'un rectangle de côtés z et x et dont l'aire est égale à celle d'un carré de coté y. Où z est une longueur plus grande que 2p et tout cela de façon à ce que la différence entre ce rectangle d'aire zx et le rectangle d'aire 2px soit un rectangle semblable à un rectangle de longueur p et a.

En grec « hyperbole » signifie excès.De la même manière, l’ellipse est introduite par

l’équation y²=x(2p-((px)/a)) et en grec ellipse signifie manquer.

L’ellipse suivante est d’excentricité ½.

De façon générale si l’excentricité de la conique e est différente de 1. Alors C ∩∆={A,A’} où A représente le barycentre de F(1) et de K(e) et A’ représente le barycentre de F(1) et de K(-e)

Si O est le milieu de [AA’] alors en orientant l’axe ∆ de O vers A, on peut poser a=OA, c=OF et d=OK pour obtenir les formules:

e=c/a et d=a/e= (a²)/c.Dans un repère orthonormé (O, i,j) alors le point

M de coordonnées (x,y) appartient àC

si et seulement si x²/a²+y²/(a²-c²)=1

Si c<a i.e e<1, on pose b²= a²-c² et on obtient l’ellipse d’équation:

x²/a²+y²/ b² =1.Soient (C1) un cercle de centre O et de rayon a,

(C2) un cercle de centre O et de rayon b (b < a) et (xx') une droite passant par O. On appelle ellipse de centre O, de demi-grand axe a et de demi-petit axe b, l'image du cercle (C1) par l'affinité d'axe (xx'), de direction perpendiculaire à (xx') et de rapport b /a.

• Pour construire le point M de l'ellipse, image du point m1 du grand cercle, on construit le point m2 du cercle (C2) situé sur [Om1]. On mène par m1 une perpendiculaire à (xx') et par m2 une parallèle à (xx'). Les droites se coupent en M. En effet, si m' est le projetéorthogonal de m1 sur (xx'), on a, d'après le théorème de Thalès,

m’M/m’ m1 =O m2 /O m1 =b/aPour des raisons de symétrie évidente, une

ellipse ou une hyperbole a deux foyers.

Cela conduit à la définition bifocale de l’ellipse (méthode du jardinier)

Soient F et F’ deux points du plan et un nombre réel donné a alors l’ensemble des points M tels que MF+MF’=2a est

- Vide si c>a- Le segment [FF’] si c=a- Une ellipse de foyers F et F’ de grand axe

(FF’) si c<aCela permet de donner une construction

géométrique de l’ellipse.

• Soit une ellipse dont les foyers sont F et F'. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire (FMF'). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire àla tangente en M.

• Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyers, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.

Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à l'autre du métro parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai). Cette propriétépossédée par l'ellipse est aussi appelée « propriété de réflexivité » et s'explique en se servant de la tangente en un point de l'ellipse : de cette façon, un son ou un rayon lumineux émis par l'un des foyers sera réfléchi sur l'autre foyer.

Cette propriété est exploitée dans la conception de certains instruments d'optique. Elle est évidemment présente dans une galerie à écho, c'est-à-dire dans une pièce dont le plafond, par sa forme elliptique, cela fait qu'une personne qui chuchote en l'un des foyers est entendue en l'autre foyer. La rotonde du Capital Building à Washington et le Mormon Tabernacle à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galerie

Une hyperbole est une conique d’excentricitée>1.

On obtient une hyperbole en prenant l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan, le plan interceptant les deux branches du cône. Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes.

L’équation réduite de l’hyperbole estx²/a²-y²/ b² =1Comme l’ellipse, l’hyperbole a deux foyers.D’où une définition bifocale.

• Soient F et F' deux points distincts du plan et a un réel strictement positif. On appelle hyperbole de foyers F et F' l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

MF-MF’=±2a

• La parabole est une conique d’excentricité 1.• La parabole est l'intersection d'un plan avec

un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône.

• L’équation réduite de la parabole est y²=2px• La tangente a une parabole est assez simple

car de manière générale.• Soit C une conique de foyer F et de directrice

D. Considérons un point M de C non situé sur l’axe focal. La tangente àC en M coupe D en un point T tel que le triangle MFT soit rectangle en F.

Dans le cas de la parabole, on a le résultat suivant: si F est le foyer et D la directrice. La tangente en M à la parabole est la médiatrice du segment [FH] où H est le projeté orthogonal de M sur D. C’est aussi la bissectrice intérieure du triangle MFH en M. La normale en M à la parabole, est la bissectrice extérieure.

Toutes les cordes parallèles ont leur milieu situésur une droite perpendiculaire à la directrice. La tangente parallèle à cette direction a son point de contact sur cette droite. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent sur cette droite.

• Soient M et M' les points d'intersection d'une droite quelconque passant par le foyer de la parabole avec la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par M et M' se coupent sur la directrice en formant un angle droit entre elles. De plus, en appelant H et H' les projetés respectifs de M et M' sur la directrice et O le point d'intersection des deux tangentes et de la directrice, on a que O est le milieu de [HH'].

• En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

• On utilise les paraboles pour concentrer des ondes, ou des rayons en un point, le foyer de la parabole. Les paraboles sont également utilisées pour concentrer les rayons solaires en un point. Par exemple, on peut faire passer de l'eau dans un tuyau qui passe par le foyer d'un concentrateur solaire, cette eau monte alors très vite en température, voire se vaporise. Qui dit vaporisation, dit augmentation de pression. On peut ensuite utiliser cette pression pour faire tourner un alternateur afin de produire de l'électricité

• La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l'on lance, si on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.

• L'énergie mécanique pour un objet décrivant une parabole est toujours constante.

• Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution.

• Les théorèmes de Poncelet• (Premier théorème) SoitC une conique à

centre de foyers F et F’. Considérons A et B les points de contact des tangentes àC issues d’un point P. Alors la droite (F’P) est une bissectrice du couple de droite (F’A,F’B).

• (Deuxième théorème) SoitC une conique àcentre de foyers F et F’ et P un point du plan par lequel on peut abaisser deux tangentes T et T’ àC . Les couples de droites (T,T’) et (PF,PF’) ont même bissectrices.

• Dans le cas d’une parabole on a les théorèmes suivants;

• 1) Soit P une parabole de foyer F et de directrice D. Soient M et M’ les points de contacts des tangentes à P issues d’un point P. Alors (FP) est la bissectrice du couple de demi-droites ([FM),[FM’))

• Notons (Px) la droite passant par P et parallèle à l’axe focal de la parabole.

• 2) Soient P une parabole de foyer F et de directrice D et P un point du plan par lequel on peut abaisser deux tangentes T et T’ à P

Les couples de droites (T,T’) et (PF,Px) ont même bissectrices.

Jean Victor Poncelet né le 1/07/1788 à Metz, mort le 22/12/1867 à Paris.

C’était un élève de Monge. Il prit part à la campagne de Russie, et fut fait prisonnier en 1812 à la bataille de Krasnoy . Durant 2 ans, il fut détenu à Vitebsk. Il se lança sans aucun document dans la reconstitution de la théorie des coniques.

Privé de tout livre, il reprit presque dès le début les fondements des mathématiques.

• C'est à ce moment qu'il met en forme les principes fondamentaux de la géométrie projective qui avaient été approchés jadis par Pappus (IVe siècle), puis Girard Desargues et Pascal.

• il rénove la géométrie projective (1822) (théorème de Poncelet sur les coniques, dualité par pôles et polaires réciproques, faisceau harmonique, points cycliques) et la mécanique (1829) (notion de travail mécanique précisé, mécanisme inverseur de Poncelet, théorie des ondes, amélioration des turbines).

• Excellent ingénieur, il fut chargé en 1825 , sur la suggestion d'Arago, des cours de mécanique à l'École d'Artillerie et du Génie de Metz. Admis à l'Académie des sciences de Paris en 1834(en remplacement de Hachette), il fut chargé de créer à la Faculté des sciences le cours de mécanique appliquée. Il fut nommé général en 1848 et commanda l'École polytechnique. Poncelet est devenu membre étranger de la Royal Society le 5 mai 1842.

On pourrait aussi regarder les coniques comme l'ensemble des points du plan vérifiant une équation du type ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0. En considérant la forme quadratique associée à la partie homogène de degré deux et des résultats de Gauss, on trouve des droites, points, cercles ou des coniques. Je ne parlerai pas des coniques projectives.

• Bibliographie:• IREM de Bordeaux: Les coniques• H.Lebesgue: Les coniques• D-J Mercier: Cours de géométrie• Wikipedia• http://www.sciences.univ-

nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Index_coniques.html

• http://mathcurve.com/• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/