ANALISIS KONSTRUKSI MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL 2D …

ANALISIS KONSTRUKSI MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL 2D

(SHALLOW WATER EQUATIONS)

SKRIPSI

OLEH

MOCHAMAD IRFAN

NIM. 11610037

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2015



SKRIPSI

OLEH

MOCHAMAD IRFAN

NIM. 11610037

JURUSAN MATEMATIKA



MALANG

2015



SKRIPSI

Diajukan Kepada

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh

Mochamad Irfan

NIM. 11610037

JURUSAN MATEMATIKA



MALANG

2015



SKRIPSI

Oleh

Mochamad Irfan

NIM. 11610037

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji

Tanggal 11 Juni 2015

Pembimbing I,

Mohammad Jamhuri, M.Si

NIP. 198105022005011004

Pembimbing II,

Dr. Abdussakir, M.Pd

NIP. 197510062003121001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika


NIP. 197510062003121001



SKRIPSI

Oleh

Mochamad Irfan

NIM. 11610037

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi

dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan

untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Tanggal 29 Juni 2015

Penguji Utama : Dr. Usman Pagalay, M.Si ………………..

Ketua Penguji : Ari Kusumastuti, S.Si., M.Pd ………………..

Sekretaris Penguji : Mohammad Jamhuri, M.Si ………………..

Anggota Penguji : Dr. Abdussakir, M.Pd ………………..

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika


NIP. 197510062003121001

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Mochamad Irfan

NIM : 11610037

Jurusan : Matematika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Judul Skripsi : Analisis Konstruksi Model Gelombang Air Dangkal 2D

(Shallow Water Equations)

menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar

merupakan hasil karya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan, atau

pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri,

kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila di

kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya

bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, Juni 2015

Yang Membuat Pernyataan,

Mochamad Irfan

NIM. 11610037

MOTO

ا ٱلعس فإن مع ا ٱلعس مع إن ٥يس ٦يس

“Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, Sesungguhnya

sesudah kesulitan itu ada kemudahan” (QS. Al- Insyirah/94:5-6)

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk:

Ayahanda Imam Mahdi, ibunda Kusrini, beserta kakak Mukhammad Asfar dan

adik Rizqi Alvia Juhro.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Alhamdulillahirabbil ‘alamin, puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat

Allah Swt. atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini serta menyelesaikan studi di Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim

Malang dengan baik dan lancar. Shalawat dan salam tak lupa penulis haturkan

kepada junjungan nabi besar Muhammad Saw. yang telah memberikan pencerahan

pada kehidupan.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada

semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima

kasih ini penulis sampaikan kepada:

1. Prof. Dr. H. Mudjia Raharjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang.

2. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang serta

selaku dosen pembimbing agama yang banyak memberikan pengetahuan dan

pengalaman yang berharga.

4. Mohammad Jamhuri, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang banyak

memberikan pengetahuan, ilmu, dan bimbingan sehingga skripsi ini dapat

terselesaikan.

ix

5. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang terutama seluruh

dosen, terima kasih atas segala ilmu dan bimbingannya.

6. Ayah dan Ibu yang selalu memberikan doa, semangat, serta motivasi kepada

penulis.

7. Seluruh teman-teman di Jurusan Matematika angkatan 2011, terutama Amita

Pradana Putra, M. Syaiful Arif, Lia Izzatun, Imam Mufid, Zukhrufun Nadhifa,

Dia K., Eny M., A. Afifuddin, M. Afifuddin, Fitriatuz Zakiyah, Hilwin Nisa’,

M. Gaddafi, M. Syaiful Hasbi, Jadi Taqwa, Choirul Umam, dan “Grup Abelian”

yang berjuang bersama-sama untuk meraih mimpi beserta kakak angkatan 2010

terutama M. Sukron, terima kasih atas kenangan indah yang dirajut bersama

dalam menggapai impian dan pengalaman yang berharga selama menuntut

ilmu.

8. Semua pihak yang ikut membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca,

khususnya bagi penulis secara pribadi. Amin Ya Rabbal ‘alamin.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Malang, Juni 2015

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

HALAMAN MOTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR .................................................................................... viii

DAFTAR ISI ................................................................................................... x

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiii

DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xiv

ABSTRAK ...................................................................................................... xvi

ABSTRACT .................................................................................................... xvii

xviii ................................................................................................................. ملخص

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 1

1.3 Tujuan Penelitian .............................................................................. 4

1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................ 4

1.5 Batasan Masalah ............................................................................... 4

1.6 Metode Penelitian ............................................................................. 5

1.7 Sistematika Penulisan ....................................................................... 6

xi

BAB II KAJIAN PUSTAKA ......................................................................... 8

2.1 Gelombang Air Dangkal ................................................................... 8

2.2 Persamaan Kontinuitas ..................................................................... 9

2.3 Persamaan Momentum ..................................................................... 12

2.3.1 Persamaan Momentum Arah 𝑥 ............................................... 12

2.3.2 Persamaan Momentum Arah 𝑦 ............................................... 15

2.3.3 Persamaan Momentum Arah 𝑧 ............................................... 17

2.4 Turunan Total ................................................................................... 20

2.5 Integral Riemann .............................................................................. 21

2.6 Integral Leibniz ................................................................................. 22

2.7 Kondisi Batas Kinematik Fluida ....................................................... 25

2.8 Kajian Keagamaan tentang Model Matematika ............................... 25

BAB III PEMBAHASAN .............................................................................. 30

3.1 Model Gelombang Air Dangkal ....................................................... 30

3.2 Kondisi Batas Kinematik .................................................................. 31

3.2.1 Kondisi Batas Kinematik Permukaan ..................................... 31

3.2.2 Kondisi Batas Kinematik Dasar ............................................. 33

3.3 Tekanan Hidrostatis .......................................................................... 34

3.4 Rata-Rata Kedalaman ....................................................................... 36

3.4.1 Rata-Rata Kedalaman Persamaan Kontinuitas ....................... 36

3.4.2 Rata-Rata Kedalaman Persamaan Momentum 𝑥 .................... 38

3.4.3 Rata-Rata Kedalaman Persamaan Momentum 𝑦 .................... 41

3.5 Hubungan Antara Permukaan dengan Dasar .................................... 44

3.6 Kajian Keagamaan Tentang Model Gelombang Air Dangkal .......... 47

BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 50

4.1 Kesimpulan ....................................................................................... 50

4.2 Saran ................................................................................................. 51

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 52

RIWAYAT HIDUP

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Massa Fluida yang Masuk dan Keluar .................................................. 10

Tabel 2.2 Momentum Masuk dan Keluar Arah 𝑥 ................................................. 12

Tabel 2.3 Momentum Masuk dan Keluar Arah 𝑦 ................................................. 14

Tabel 2.4 Momentum Masuk dan Keluar Arah 𝑧 ................................................. 17

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Laju Perubahan Massa ...................................................................... 10

Gambar 2.2 Partisi dari [𝑎, 𝑏] dengan titik-tik sampel ��𝑖 ..................................... 20

Gambar 2.3 Tafsiran Geometri Jumlah Riemann ................................................. 21

Gambar 3.1 Kondisi Batas Kinematik .................................................................. 32

Gambar 3.2 Hubungan Antara 𝑠 dengan 𝑏 ............................................................ 45

xiv

DAFTAR SIMBOL

Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini mempunyai makna yaitu

sebagai berikut.

𝑥, 𝑦, 𝑧 : Koordinat arah bidang kartesius

𝑡 : Waktu

𝑚 : Massa

𝓋 : Kecepatan secara umum

𝑢 : Kecepatan arah 𝑥

𝑣 : Kecepatan arah 𝑦

𝑤 : Kecepatan arah 𝑧

𝑠 : Batas atas permukaan gelombang

𝑏 : Batas bawah dasar gelombang

ℎ : Kedalaman gelombang

𝑃 : Tekanan hidrostatis

𝐹 : Gaya eksternal

𝐴 : Luas

𝑉 : Volume

∆𝑥 : Perubahan 𝑥

∆𝑦 : Perubahan 𝑦

∆𝑧 : Perubahan 𝑧

∆𝑡 : Perubahan 𝑡

𝑘 : Gravitasi arah 𝑥

𝑛 : Gravitasi arah 𝑦

𝑔 : Gravitasi arah 𝑧

𝑝 : Momentum

𝜌 : Massa jenis

𝑢𝑥 : Turunan 𝑢 terhadap 𝑥

𝑢𝑦 : Turunan 𝑢 terhadap 𝑦

xv

𝑢𝑧 : Turunan 𝑢 terhadap 𝑧

𝑢𝑡 : Turunan 𝑢 terhadap 𝑡

𝑢|𝑥 : 𝑢 pada saat di 𝑥

𝑢|𝑥+∆𝑥 : 𝑢 pada saat di 𝑥 + ∆𝑥

𝑢|𝑠 : 𝑢 pada saat di permukaan 𝑠

𝑢|𝑏 : 𝑢 pada saat di dasar 𝑏

𝑊 : Gaya eksternal berat

xvi

ABSTRAK

Irfan, Mochamad. 2015. Analisis Konstruksi Model Gelombang Air Dangkal

Dua Dimensi. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I)

Mohammad Jamhuri, M.Si. (II) Dr. Abdussakir, M.Pd.

Kata kunci: analisis konstruksi, model gelombang air dangkal, dua dimensi

Pada penelitian ini dibahas tentang analisis konstruksi model gelombang air

dangkal dua dimensi. Dalam pembahasannya dibutuhkan persamaan kontinuitas,

persamaan momentum, persamaan tekanan hidrostatis, dan kondisi batas kinematik

gelombang air dangkal. Metode yang digunakan dalam penyelesaian konstruksi

model adalah teknik pengintegralan dengan kaidah Riemann dan Leibniz. Hasil

penelitian ini adalah model gelombang air dangkal dua dimensi yaitu sebagai

berikut: 𝜕ℎ

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= 0

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= −𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦}

dengan diketahui ℎ adalah kedalaman gelombang air dangkal, 𝑢, 𝑣 adalah

komponen kecepatan arah 𝑥, 𝑦, 𝑔 adalah konstanta gravitasi, dan 𝑏 adalah profil

dasar dari gelombang air dangkal.

xvii

ABSTRACT

Irfan, Mochamad. Construction Analysis of Two Dimensional Shallow Water

Wave Model. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and

Technology, State Islamic University of Maulana Malik Ibrahim Malang.

Advisors: (I) Mohammad Jamhuri, M.Si. (II) Dr. Abdussakir, M.Pd.

Keywords: construction analysis, shallow water wave model, two dimensions

This research discusses about construction analysis of two dimensional

shallow water wave model. In the discussion, it needs continuity equations,

momentum equations, hydrostatic pressure equations, and kinematic boundary

condition of shallow water wave. Method used in the solving of model construction

is integral technique implementing Riemann and Leibniz principles. The result of

this research is model of two-dimensional Shallow Water Wave as follows: 𝜕ℎ

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= 0

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦}

with ℎ is height of shallow water wave, 𝑏 is bottom profile of shallow water wave,

𝑢, 𝑣 are velocities component in the 𝑥, 𝑦 directions, and 𝑔 is gravity constant.

xviii

ملخص

. البحث الجامعي. شعبة ٢ بعد على موجة الماء السطحينموذج التحليل البنيوي . ٥١٠٢عرفان، محمد.. الانجمولانا مالك إبراهيم م امعة اإسلاممية احككوميةالج ,كلية العلوم والتكنولوجيا ,الرياضيات كر الماجستير.ا ( الدكتور عبد الش٢و)( محمد جمهوري الماجستير ١المشرف: )

عد، احكجوم المحدودة.الب ثنائي السطحي، الماء الكلمات الرئيسية: التحليل البنيوي، صورة موجة :الكلمات الرئيسية

البعد. ثنائي يالسطح الماء موجة لصورة البنيوي في هذا البحث الجامعي ليبحث الباحث عن التحليل

التعادل الالتمراري والتعادل الزخمي وشأن احكد احكركي. والمناهج المستخدمة في هذا واحتاج هذا البحث إلى (. ونتيجة Leibniz( وليبنيز )Riemannالبحث عن البنيوي المثالي هي طريقة المتكامل بقاعدة ريمان )

، وهي كما يلي:البعد ثنائي السطحي الماء هذا البحث هي صورة موجة𝜕ℎ

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= 0

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦}

,𝑢" هو عمق موجة الماء السطحي، وأن "ℎبمعرفة على أن " 𝑣هو مقوم لرعة الوجهة " "𝑥, 𝑦" ، وأن"𝑔" موجة الماء السطحي." هو الجانبية الألالية من 𝑏و"،ثابت الجاذبية هو

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Manusia adalah makhluk yang berakal yang memiliki kemampuan untuk

mengkaji, meneliti, membahas, dan mengamati tentang fenomena alam yang berada

di langit dan di bumi. Fenomena alam yang berada di langit dan di bumi banyak

yang berhubungan dengan gelombang, contohnya bunyi, cahaya, dan air.

Gelombang sendiri adalah getaran yang merambat, baik melalui medium (seperti

air) maupun tidak (seperti bunyi dan cahaya). Dari ketiga contoh tersebut, lebih

mudah mengamati gelombang yang melalui medium perambatan seperti

gelombang air karena kondisi fisisnya yang jelas yang dilihat dari amplitudo

gelombang dan panjang gelombangnya. Kemudian dilihat dari perbandingannya,

jika amplitudo gelombang jauh lebih kecil daripada panjang gelombangnya maka

gelombang air tersebut dinamakan gelombang air dangkal (Kampf, 2009:68).

Landasan agama untuk melakukan penelitian tentang gelombang air dangkal ini

didasarkan pada firman Allah surat al-Imran/3:190-191 sebagai berikut.

موتفخلقإن رضوٱلس لٱختلفوٱل ولٱلن هاروٱل

لببلأيتل

ٱل

ين١٩٠ ٱل يذكرون خلقٱلل ف رون ويتفك جنوبهم وعل وقعودا قيماموت رضوٱلس

١٩١ٱلن ارلقتهذابطلسبحنكفقناعذابرب ناماخٱل

“Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam

dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu) orang-

orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaan

berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya

berkata): Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha

Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka” (QS. al-Imran/3:190-191).

2

Dalam penciptaan langit dan bumi maupun alam semesta ini ternyata

memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika meskipun alam semesta tercipta

sebelum matematika itu ada. Alam semesta beserta segala isinya diciptakan oleh

Allah dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan yang

mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi

(Abdussakir, 2007:79). Begitu juga dengan gelombang air dangkal yang tercipta

memiliki persamaan atau model matematika. Landasan agama bahwa gelombang

air dangkal memiliki model matematika didasarkan pada firman Allah surat al-

Furqan/25:2 sebagai berikut.

ي موتملكۥلٱل رضوٱلس ٱل اولميكنل يت خذول شيكفۥولم

رهٱلملك ءفقد ش ٢تقديراۥوخلقك “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai

anak, dan tidak ada sekutu bagi-Nya dalam kekuasaan(Nya), dan Dia telah

menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan

serapi-rapinya” (QS. al Furqan/25:2).

Secara umum pengertian dari model matematika adalah persamaan

matematika atau suatu usaha untuk menciptakan replika dari fenomena alam

(Abdussakir, 2007:79). Model matematika terbentuk dengan mengidentifikasi

permasalahan yang diteliti terlebih dahulu, menerjemahkan ke dalam bahasa

matematika dan menentukan variabel apa saja yang terlibat serta menggambarkan

fenomena yang terjadi. Setelah itu, merumuskan asumsi-asumsi yang rasional yang

dapat menyederhanakan permasalahan. Kemudian model yang dikonstruksi selalu

dalam bentuk persamaan diferensial yang memodelkan fenomena perubahan suatu

objek yang terjadi. Oleh karena itu, penyelesaian konstruksi model matematika

memerlukan teknik-teknik atau metode-metode penyelesaian persamaan diferensial

3

matematika, misalnya dengan mengintegralkannya. Setelah model terbentuk maka

harus diinterpretsaikan kembali ke masalah nyatanya (Kartono, 2012:9). Begitu

juga dengan model gelombang air dangkal yang harus ditelusuri bagaimana asal

mula terbentuknya.

Pada dasarnya, air termasuk ke dalam fluida (suatu fase benda yang

berbentuk cairan). Secara tidak langsung air berhubungan dengan hukum

kesetimbangan fluida, yaitu hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan

momentum. Oleh karena itu, konstruksi model gelombang air dangkal ini berasal

dari hukum kesetimbangan fluida (Mustain, 2010:116). Kemudian dengan

tambahan asumsi-asumsi dari definisi dangkal sehingga model gelombang air

dangkal terbentuk.

Penelitian terkait dengan konstruksi model gelombang air dangkal ini,

sebelumnya banyak yang membahas tentang simulasi numerik dari model

gelombang air dangkal, baik pada kasus satu dimensi, dua dimensi, maupun tiga

dimensi. Kemudian simulasi numeriknya menggunakan metode yang berbeda-beda

seperti metode beda hingga, metode finite volume, dan yang lainnya. Seperti

Mungkasi (2012) dalam penelitiannya yang berjudul ANUGA Software for

Numerical Simulations of Shallow Water Flows, meneliti persamaan gelombang air

dangkal dua dimensi dengan menggunakan metode finite volume dan

implementasinya dalam perangkat lunak yang bernama ANUGA.

Pada penelitian sebelumnya tidak dibahas bagaimana penjabaran konstruksi

model gelombang air dangkal, sehingga penulis tertarik untuk menganalisis

konstruksi model gelombang air dangkal pada kasus dua dimensi dalam skripsi ini,

yang berjudul Analisis Konstruksi Model Gelombang Air Dangkal Dua Dimensi.

4

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian

ini adalah bagaimana analisis konstruksi model gelombang air dangkal dua

dimensi?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan yang ingin dicapai

dalam penelitian ini adalah mengetahui bagaimana hasil analisis konstruksi model

gelombang air dangkal dua dimensi.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang dapat diambil dari hasil penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Dapat menjelaskan secara jelas bagaimana analisis konstruksi model gelombang

air dangkal dua dimensi.

2. Dapat menjadi landasan dalam penelitian selanjutnya tentang gelombang air

dangkal.

1.5 Batasan Masalah

Untuk mendekati sasaran yang diharapkan, maka perlu adanya pembatasan

permasalahan antara lain:

1. Penjabaran dalam konstruksi model gelombang air dangkal adalah masalah dua

dimensi, yaitu dua variabel ruang 𝑥 dan 𝑦 serta satu variabel waktu 𝑡.

2. Fluida diasumsikan ideal, yaitu tak termampatkan dan tak kental.

5

3. Fluida diasumsikan tak berotasi.

4. Fluida diasumsikan memiliki rapat massa jenis yang konstan.

5. Profil fluida adalah aliran air yang dangkal.

1.6 Metode Penelitian

Teknik yang digunakan penulis dalam penelitian ini adalah metode

penelitian kepustakaan (library research), dengan mengkaji tentang penelusuran

bagaimana model gelombang air dangkal dua dimensi terbentuk. Berikut langkah-

langkah yang digunakan dalam penelitian ini:

1. Mengidentifikasi permasalahan secara rinci dan jelas. Masalah dalam

penelitian ini adalah bagaimana model gelombang air dangkal dua dimensi

dapat terbentuk.

2. Merumuskan asumsi-asumsi yang digunakan untuk memodelkan gelombang

air dangkal dua dimensi.

3. Menurunkan persamaan kontinuitas dan persamaan momentum arah 𝑥, 𝑦, dan

𝑧 dari hukum kesetimbangan fluida yang berbentuk sistem model gelombang

tiga dimensi.

4. Menurunkan kondisi batas kinematik gelombang air dangkal pada batas atas

permukaan gelombang dan batas bawah dasar gelombang.

5. Menentukan persamaan tekanan hidrostatis yang terjadi pada gelombang air

dangkal dengan menurunkannya dari persamaan momentum arah 𝑧.

6. Mensubstitusikan persamaan tekanan hidrostatis ke dalam persamaan

momentum arah 𝑥 dan 𝑦.

6

7. Menyederhanakan bentuk sistem model gelombang tiga dimensi ke dalam

bentuk sistem model dua dimensi dari persamaan kontinuitas dan persamaan

momentum arah 𝑥 dan 𝑦 dengan menggunakan kaidah integral Riemann dan

Leibniz.

8. Menentukan rata-rata kedalaman gelombang dengan menggunakan asumsi dari

definisi gelombang air dangkal.

9. Menentukan hubungan dari batas atas permukaan gelombang air dangkal

dengan batas bawah dasar gelombang air dangkal.

10. Menyelesaikan model gelombang air dangkal dua dimensi.

1.7 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan digunakan untuk mempermudah dalam memahami

intisari dari laporan penelitian. Sistematika penulisan dalam skripsi ini terbagi

menjadi empat bagian, masing-masing dijabarkan sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan

Bab ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan

penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah, metode penelitian, dan

sistematika penulisan.

Bab II Kajian Pustaka

Bab ini menjelaskan tentang gelombang air dangkal, persamaan

kontinuitas, persamaan momentum, turunan total, integral Riemann,

integral Leibniz, kondisi batas kinematik, dan kajian keagamaan tentang

model matematika.

7

Bab III Pembahasan

Bab ini berisi pembahasan konstruksi model gelombang air dangkal dua

dimensi beserta kajian keagamaan tentang model gelombang air

dangkal.

Bab IV Penutup

Bab ini berisi kesimpulan dari penelitian dan saran untuk penelitian

selanjutnya.

8

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Gelombang Air Dangkal

Gelombang adalah getaran yang merambat baik melalui medium maupun

tidak. Contoh dari gelombang yang memerlukan medium adalah gelombang air

dengan air sebagai mediumnya sedangkan contoh dari gelombang yang tidak

memerlukan medium adalah gelombang bunyi dan gelombang cahaya. Dari kedua

macam gelombang tersebut, lebih mudah mengamati gelombang yang melalui

medium perambatan karena kondisi fisisnya yang jelas terlihat dari panjang

gelombang dan amplitudo gelombangnya. Kemudian dilihat dari perbandingannya,

jika amplitudo gelombang jauh lebih kecil dari panjang gelombangnya, yaitu

mencapai 1: 10 maka gelombang air tersebut dinamakan gelombang air dangkal

(Kampf, 2009:68).

Pada dasarnya air terbagi lagi ke dalam fase cairan yang dinamakan fluida

sehingga gelombang air dangkal berhubungan dengan fluida yang profilnya adalah

ideal yang memiliki massa jenis konstan, fluida yang tidak kental (inviscid), dan

fluida yang tidak dapat ditekan (incompressible) yang mengalir secara tak berotasi

(irrotational). Gelombang air dangkal sering disebut juga dengan gelombang

panjang karena profilnya yang dangkal ini menyebabkan rata-rata kedalamannya

hampir sama.

Gelombang air dangkal memiliki persamaan atau model yang diturunkan

dari hukum kesetimbangan fluida yaitu hukum kekekalan massa dan hukum

kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa membentuk persamaan

9

kontinuitas. Hukum kekekalan momentum membentuk persamaan momentum arah

𝑥, 𝑦, dan 𝑧 (White, 1986:202). Kemudian dari empat persamaan ini dengan asumsi

tambahan dari definisi dangkal maka terbentuk model gelombang air dangkal.

2.2 Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas berasal dari hukum kekekalan massa. Hukum

kekekalan massa menyatakan bahwa dalam suatu volume zat, massanya selalu

konstan. Oleh karena itu, laju perubahan massanya sama dengan nol. Misalkan 𝜌

menyatakan massa jenis suatu fluida, 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 masing-masing menyatakan

koordinat, serta 𝑡 menyatakan waktu. Selanjutnya 𝑢, 𝑣, dan 𝑤 masing-masing

menyatakan kecepatan partikel yang bergerak searah dengan koordinat 𝑥, 𝑦, dan 𝑧.

Rumus untuk massa (𝑚) pada fluida adalah perkalian antara massa jenis (𝜌) dengan

volume fluida (𝑉). Penurunan persamaan dasar fluida yaitu persamaan kontinuitas

mengacu pada perubahan massa fluida satu lapisan seperti ilustrasi pada Gambar

2.1 berikut:

Gambar 2.1 Laju Perubahan Massa

𝒗

𝒘

𝒖

𝒙

∆𝒛

∆𝒙 𝒙 + ∆𝒙

𝒚 𝒛

𝒛 + ∆𝒛

𝒚 + ∆𝒚

∆𝒚

10

Volume untuk massa fluida yang masuk maupun keluar saat titik tertentu

dipengaruhi oleh kecepatan dan luas penampangnya. Seperti halnya sebuah gelas

kosong yang permukaannya dibatasi, jika diisi air dengan kecepatan tertentu maka

gelas tersebut terisi sesuai dengan luas permukaannya. Oleh karena itu, massa fluida

yang masuk dan massa fluida yang keluar arah 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 ditunjukkan pada Tabel

2.1 berikut.

Tabel 2.1 Massa Fluida yang Masuk dan Keluar

Massa Fluida yang Masuk Massa Fluida yang Keluar

𝜌(𝑢|𝑥∆𝑦∆𝑧) 𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧)

𝜌(𝑣|𝑦∆𝑥∆𝑧) 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧)

𝜌(𝑤|𝑧∆𝑥∆𝑦) 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦)

Sedangkan untuk volume fluida pada Gambar 2.1 yang sepanjang ∆𝑥, selebar ∆𝑦,

dan setinggi ∆𝑧 adalah

𝑉 = (∆𝑥∆𝑦)∆𝑧

sehingga sesuai dengan hukum kekekalan massa yang menyatakan bahwa laju

perubahan massa terhadap waktu adalah selisih massa yang masuk dengan massa

yang keluar dan dapat dituliskan sebagai berikut.

𝜕𝑚

𝜕𝑡= 𝑚𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 −𝑚𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟

Kemudian substitusikan yang diketahui dari Tabel 2.1 sehingga menjadi

11

𝜕𝜌𝑉

𝜕𝑡= (𝜌(𝑢|𝑥∆𝑦∆𝑧) + 𝜌(𝑣|𝑦∆𝑥∆𝑧) + 𝜌(𝑤|𝑧∆𝑥∆𝑦))

−(𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧) + 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧) + 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦))

Substitusikan 𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, kemudian dikumpulkan yang sama antara 𝑢, 𝑣, dan 𝑤,

lalu difaktorkan.

𝜕𝜌

𝜕𝑡∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = (𝜌(𝑢|𝑥∆𝑦∆𝑧) − 𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧))

+(𝜌(𝑣|𝑦∆𝑥∆𝑧) − 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧))

+(𝜌(𝑤|𝑧∆𝑥∆𝑦) − 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦))

= ∆𝑦∆𝑧(𝜌(𝑢|𝑥) − 𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥))

+∆𝑥∆𝑧 (𝜌(𝑣|𝑦) − 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦))

+∆𝑥∆𝑦(𝜌(𝑤|𝑧) − 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧))

(2.1)

Persamaan (2.1) dibagi dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 sehingga menjadi

𝜕𝜌

𝜕𝑡=(𝜌(𝑢|𝑥) − 𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥))

∆𝑥+(𝜌(𝑣|𝑦) − 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦))

∆𝑦

+(𝜌(𝑤|𝑧) − 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧))

∆𝑧

(2.2)

Kemudian didekati dengan limit untuk (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) → 0 pada persamaan (2.2)

sehingga menjadi

𝜕𝜌

𝜕𝑡= lim

∆𝑥→0

(𝜌(𝑢|𝑥) − 𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥))

∆𝑥+ lim∆𝑦→0

(𝜌(𝑣|𝑦) − 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦))

∆𝑦

+ lim∆𝑧→0

(𝜌(𝑤|𝑧) − 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧))

∆𝑧

= −𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥−𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦−𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧

12

= −(𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧) (2.3)

Dengan asumsi bahwa massa jenis pada fluida adalah konstan maka 𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0,

kemudian kedua ruas dibagi dengan 𝜌 sehingga persamaan (2.3) menjadi

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(2.4)

Persamaan (2.4) adalah persamaan kontinuitas (Olson, 1993:532).

2.3 Persamaan Momentum

Momentum (𝑝) adalah hasil perkalian antara massa (𝑚) dengan kecepatan

(𝓋). Massa merupakan perkalian dari massa jenis (𝜌) dengan volumenya (𝑉).

Persamaan momentum dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑝 = 𝑚𝓋

= (𝜌𝑉)𝓋

= 𝜌𝓋(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)

Momentum terjadi pada tiga arah, yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧.

2.3.1 Persamaan Momentum Arah 𝒙

Berdasarkan Gambar 2.1, momentum masuk dan keluar arah 𝑥 adalah

seperti pada Tabel 2.2 berikut.

13

Tabel 2.2 Momentum Masuk dan Keluar Arah 𝒙

Momentum Masuk Momentum Keluar

𝜌(𝑢|𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑢|𝑥 = ∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢2|𝑥 𝜌(𝑢|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑢|𝑥+∆𝑥 = ∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢2|𝑥+∆𝑥

𝜌(𝑢|𝑦∆𝑥∆𝑧)𝑣|𝑦 = ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑦 𝜌(𝑢|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧)𝑣|𝑦+∆𝑦 = ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑦+∆𝑦

𝜌(𝑢|𝑧∆𝑥∆𝑦)𝑤|𝑧 = ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑢𝑤|𝑧 𝜌(𝑢|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦)𝑤|𝑧+∆𝑧 = ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑢𝑤|𝑧+∆𝑧

Laju perubahan momentum terhadap waktu adalah selisih antara momentum

masuk dengan momentum keluar dijumlah dengan gaya eksternal. Gaya eksternal

adalah gaya berat (𝑊) yang dipengaruhi gravitasi dan gaya yang dipengaruhi oleh

tekanan (𝑃). Dinotasikan gravitasi searah 𝑥 adalah 𝑘, sehingga gaya berat adalah

perkalian antara massa dengan gravitasi dan dituliskan sebagai berikut.

𝑊 = 𝑚𝑘

= (𝜌𝑉)𝑘

= (𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧))𝑘

Rumus umum untuk tekanan 𝑃 adalah

𝑃 =𝐹

𝐴

Kemudian gaya dipengaruhi oleh tekanan dan luas dituliskan sebagai berikut.

𝐹 = 𝑃𝐴

Selisih gaya pada saat masuk dan keluar arah 𝑥 yaitu,

𝐹 = 𝐹𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 − 𝐹𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟

= 𝑃|𝑥∆𝑦∆𝑧 − 𝑃|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧

14

Sehingga laju perubahan momentum pada arah 𝑥 terhadap waktu dijabarkan

sebagai berikut.

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑡∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = (∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢2|𝑥 + ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑦 + ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑢𝑤|𝑧)

−(∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢2|𝑥+∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑦+∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑢𝑤|𝑧+∆𝑧)

+(𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑘) + (𝑃|𝑥∆𝑦∆𝑧 − 𝑃|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧)

= ∆𝑦∆𝑧(𝜌𝑢2|𝑥 − 𝜌𝑢2|𝑥+∆𝑥)

+∆𝑥∆𝑧(𝜌𝑢𝑣|𝑦 − 𝜌𝑢𝑣|𝑦+∆𝑦)

+∆𝑥∆𝑦(𝜌𝑢𝑤|𝑧 − 𝜌𝑢𝑤|𝑧+∆𝑧)

+(𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑘) + ∆𝑦∆𝑧(𝑃|𝑥 − 𝑃|𝑥+∆𝑥)

(2.5)


𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑡=(𝜌𝑢2|𝑥 − 𝜌𝑢

2|𝑥+∆𝑥)

∆𝑥+(𝜌𝑢𝑣|𝑦 − 𝜌𝑢𝑣|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

+(𝜌𝑢𝑤|𝑧 − 𝜌𝑢𝑤|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧+ (𝜌𝑘) +

(𝑃|𝑥 − 𝑃|𝑥+∆𝑥)

∆𝑥

(2.6)

Kemudian didekati dengan limit untuk (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) → 0 sehingga persamaan (2.6)

menjadi

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑡= lim

∆𝑥→0

(𝜌𝑢2|𝑥 − 𝜌𝑢2|𝑥+∆𝑥)


(𝜌𝑢𝑣|𝑦 − 𝜌𝑢𝑣|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

+ lim∆𝑧→0

(𝜌𝑢𝑤|𝑧 − 𝜌𝑢𝑤|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧+ (𝜌𝑘)

+ lim∆𝑥→0

(𝑃|𝑥 − 𝑃|𝑥+∆𝑥)

∆𝑥

= −𝜕(𝜌𝑢2)

𝜕𝑥−𝜕(𝜌𝑢𝑣)

𝜕𝑦−𝜕(𝜌𝑢𝑤)

𝜕𝑧+ 𝜌𝑘 −

𝜕𝑃

𝜕𝑥

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑢𝑤)

𝜕𝑧= 𝜌𝑘 −

𝜕𝑃

𝜕𝑥

(2.7)

15

Dengan asumsi bahwa massa jenis (𝜌) adalah konstan kemudian kedua ruas dibagi

dengan 𝜌 sehingga persamaan (2.7) menjadi

𝜌 (𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧) = 𝜌𝑘 −

𝜕𝑃

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧= 𝑘 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥

(2.8)

2.3.2 Perubahan Momentum Arah 𝒚

Berdasarkan Gambar 2.1, momentum masuk dan keluar arah 𝑦 adalah


Tabel 2.3 Momentum Masuk dan Keluar Arah 𝒚


𝜌(𝑣|𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑢|𝑥 = ∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑥 𝜌(𝑣|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑢|𝑥+∆𝑥 = ∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑥+∆𝑥

𝜌(𝑣|𝑦∆𝑥∆𝑧)𝑣|𝑦 = ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣2|𝑦 𝜌(𝑣|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧)𝑣|𝑦+∆𝑦 = ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣2|𝑦+∆𝑦

𝜌(𝑣|𝑧∆𝑥∆𝑦)𝑤|𝑧 = ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑣𝑤|𝑧 𝜌(𝑣|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦)𝑤|𝑧+∆𝑧 = ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑣𝑤|𝑧+∆𝑧




tekanan (𝑃). Dinotasikan gravitasi searah 𝑦 adalah 𝑛, sehingga gaya berat adalah


𝑊 = 𝑚𝑛

16

= (𝜌𝑉)𝑛

= (𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧))𝑛

Rumus umum untuk tekanan adalah

𝑃 =𝐹

𝐴


𝐹 = 𝑃𝐴

Selisih gaya pada saat masuk dan keluar arah 𝑦 yaitu,


= 𝑃|𝑦∆𝑥∆𝑧 − 𝑃|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧

Sehingga laju perubahan momentum pada arah 𝑦 terhadap waktu dijabarkan

sebagai berikut.

𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑡∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = (∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑥 + ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣

2|𝑦 + ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑣𝑤|𝑧)

−(∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑣|𝑥+∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣2|𝑦+∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑣𝑤|𝑧+∆𝑧)

+(𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑛) + (𝑃|𝑦∆𝑦∆𝑧 − 𝑃|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧)

= ∆𝑦∆𝑧(𝜌𝑢𝑣|𝑥 − 𝜌𝑢𝑣|𝑥+∆𝑥)

+∆𝑥∆𝑧(𝜌𝑣2|𝑦 − 𝜌𝑣2|𝑦+∆𝑦)

+∆𝑥∆𝑦(𝜌𝑣𝑤|𝑧 − 𝜌𝑣𝑤|𝑧+∆𝑧)

(𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑛) + ∆𝑥∆𝑧(𝑃|𝑦 − 𝑃|𝑦+∆𝑦)

(2.9)


𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑡=(𝜌𝑢𝑣|𝑥 − 𝜌𝑢𝑣|𝑥+∆𝑥)

∆𝑥+(𝜌𝑣2|𝑦 − 𝜌𝑣

2|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

+(𝜌𝑣𝑤|𝑧 − 𝜌𝑣𝑤|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧+ (𝜌𝑛) +

(𝑃|𝑦 − 𝑃|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

(2.10)

17

Kemudian didekati dengan limit untuk (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) → 0 sehingga persamaan

(2.10) menjadi

𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑡= lim

∆𝑥→0

(𝜌𝑢𝑣|𝑥 − 𝜌𝑢𝑣|𝑥+∆𝑥)


(𝜌𝑣2|𝑦 − 𝜌𝑣2|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

+ lim∆𝑧→0

(𝜌𝑣𝑤|𝑧 − 𝜌𝑣𝑤|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧+ (𝜌𝑛) + lim

∆𝑦→0

(𝑃|𝑦 − 𝑃|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

= −𝜕(𝜌𝑢𝑣)

𝜕𝑥−𝜕(𝜌𝑣2)

𝜕𝑦−𝜕(𝜌𝑣𝑤)

𝜕𝑧+ 𝜌𝑛 −

𝜕𝑃

𝜕𝑦

𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑣𝑤)

𝜕𝑧= 𝜌𝑛 −

𝜕𝑃

𝜕𝑦

(2.11)



𝜌 (𝜕𝑣

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧) = 𝜌𝑛 −

𝜕𝑃

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧= 𝑛 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦

(2.12)

2.3.3 Perubahan Momentum Arah 𝒛

Berdasarkan Gambar 2.1, momentum masuk dan keluar arah 𝑧 adalah


18

Tabel 2.4 Momentum Masuk dan Keluar Arah 𝒛


𝜌(𝑤|𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑢|𝑥 = ∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑤|𝑥 𝜌(𝑤|𝑥+∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑢|𝑥+∆𝑥 = ∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑤|𝑥+∆𝑥

𝜌(𝑤|𝑦∆𝑥∆𝑧)𝑣|𝑦 = ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣𝑤|𝑦 𝜌(𝑤|𝑦+∆𝑦∆𝑥∆𝑧)𝑣|𝑦+∆𝑦 = ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣𝑤|𝑦+∆𝑦

𝜌(𝑤|𝑧∆𝑥∆𝑦)𝑤|𝑧 = ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑤2|𝑧 𝜌(𝑤|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦)𝑤|𝑧+∆𝑧 = ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑤2|𝑧+∆𝑧




tekanan (𝑃). Dinotasikan gravitasi searah 𝑧 adalah 𝑔, sehingga gaya berat adalah


𝑊 = 𝑚𝑔

= (𝜌𝑉)𝑔

= (𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧))𝑔

Rumus umum untuk tekanan adalah

𝑃 =𝐹

𝐴


𝐹 = 𝑃𝐴

Selisih gaya pada saat masuk dan keluar arah 𝑧 yaitu,


= 𝑃|𝑧∆𝑥∆𝑦 − 𝑃|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦

19

Sehingga laju perubahan momentum pada arah 𝑧 terhadap waktu dijabarkan sebagai

berikut.

𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑡∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = (∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑤|𝑥 + ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣𝑤|𝑦 + ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑤

2|𝑧)

−(∆𝑦∆𝑧𝜌𝑢𝑤|𝑥+∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑧𝜌𝑣𝑤|𝑦+∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦𝜌𝑤2|𝑧+∆𝑧)

+(𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑔) + (𝑃|𝑧∆𝑥∆𝑦 − 𝑃|𝑧+∆𝑧∆𝑥∆𝑦)

= ∆𝑦∆𝑧(𝜌𝑢𝑤|𝑥 − 𝜌𝑢𝑤|𝑥+∆𝑥)

+∆𝑥∆𝑧(𝜌𝑣𝑤|𝑦 − 𝜌𝑣𝑤|𝑦+∆𝑦)

+∆𝑥∆𝑦(𝜌𝑤2|𝑧 − 𝜌𝑤2|𝑧+∆𝑧)

+(𝜌(∆𝑥∆𝑦∆𝑧)𝑔) + ∆𝑥∆𝑦(𝑃|𝑧 − 𝑃|𝑧+∆𝑧)

(2.13)


𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑡=(𝜌𝑢𝑤|𝑥 − 𝜌𝑢𝑤|𝑥+∆𝑥)

∆𝑥+(𝜌𝑣𝑤|𝑦 − 𝜌𝑣𝑤|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

+(𝜌𝑤2|𝑧 − 𝜌𝑤

2|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧+ (𝜌𝑔) +

(𝑃|𝑧 − 𝑃|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧

(2.14)

Kemudian didekati dengan limit untuk (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) → 0 sehingga persamaan

(2.14) menjadi

𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑡= lim

∆𝑥→0

(𝜌𝑢𝑤|𝑥 − 𝜌𝑢𝑤|𝑥+∆𝑥)


(𝜌𝑣𝑤|𝑦 − 𝜌𝑣𝑤|𝑦+∆𝑦)

∆𝑦

+ lim∆𝑧→0

(𝜌𝑤2|𝑧 − 𝜌𝑤2|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧+ (𝜌𝑔)

+ lim∆𝑧→0

(𝑃|𝑧 − 𝑃|𝑧+∆𝑧)

∆𝑧

= −𝜕(𝜌𝑢𝑤)

𝜕𝑥−𝜕(𝜌𝑣𝑤)

𝜕𝑦−𝜕(𝜌𝑤2)

𝜕𝑧+ 𝜌𝑔 −

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢𝑤)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣𝑤)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤2)

𝜕𝑧= 𝜌𝑔 −

𝜕𝑃

𝜕𝑧

(2.15)

20



𝜌 (𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑦+𝜕(𝑤2)

𝜕𝑧) = 𝜌𝑔 −

𝜕𝑃

𝜕𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑦+𝜕(𝑤2)

𝜕𝑧= 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧

(2.16)

Persamaan (2.8), (2.12), dan (2.16) dituliskan kembali dalam bentuk sistem,

sehingga menjadi

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧= 𝑘 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧= 𝑛 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑦+𝜕(𝑤2)

𝜕𝑧= 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧}

(2.17)

Gravitasi yang berpengaruh pada arah 𝑧 yaitu hanya 𝑔 saja, sedangkan gravitasi

arah 𝑥 yaitu 𝑘, dan gravitasi arah 𝑦 yaitu 𝑛 tidak berpengaruh atau sama dengan nol

sehingga persamaan (2.17) menjadi

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧= −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧= −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑦+𝜕(𝑤2)

𝜕𝑧= 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧}

(2.18)

Persamaan (2.18) adalah persamaan momentum (White, 1986:207).

2.4 Turunan Total

Turunan fungsi 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) terhadap ruang 𝑥 dinotasikan dengan 𝜕𝑤

𝜕𝑥 atau

𝑤𝑥 (Purcell, 1987:114) didefinisikan sebagai berikut.

21

𝑤𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑤(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) − 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

∆𝑥

Kemudian untuk menentukan turunan total terhadap waktu dari 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

mengunakan aturan rantai sebagai berikut.

𝑑𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝑑𝑡=𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡

= 𝑤𝑡 + 𝑤𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑤𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑤𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡

2.5 Integral Riemann

Integral adalah anti turunan. Aplikasinya diterapkan untuk menghitung luas

maupun volume. Penjumlahan seluruh luas yang dipartisi atau dibagi menjadi luas

satuan kemudian perubahan terhadap ruang 𝑥 diasumsikan sangat kecil dengan

pendekatan limit untuk ∆𝑥 → 0 maka penjumlahan tersebut menggunakan kaidah

Riemann.

Jika diketahui 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏] maka luas daerah di bawah

kurva 𝑦 = (𝑥) sepanjang interval [𝑎, 𝑏] menggunakan kaidah Riemann dengan

proses sebagai berikut:

1. Pandang suatu partisi 𝑃 dari interval [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 bagian banyaknya yang

memakai titik-titik 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 dan misal ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1.

Pada tiap selang bagian [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], diambil sebuah titik sebarang 𝑥�� yang disebut

titik sampel untuk selang bagian ke-𝑖. Perhatikan Gambar 2.2 berikut.

22

Gambar 2.2 Partisi dari [𝑎, 𝑏] dengan Titik-titik Sampel ��𝑖

2. Kemudian dibentuk penjumlahan

𝑅𝑃 =∑𝑓(��𝑖)∆𝑥𝑖

∞

𝑖=1

dengan 𝑅𝑃 adalah jumlah Riemann untuk 𝑓 yang berpadanan dengan partisi 𝑃.

Tafsiran geometrinya dapat dilihat pada Gambar 2.3 berikut.

Gambar 2.3 Tafsiran Geometri Jumlah Riemann

3. Setelah itu, karena partisinya sebanyak 𝑛 dari interval [𝑎, 𝑏] dengan asumsinya

bahwa partisinya sangat kecil atau mendekati nol maka berlaku integral

Riemann yaitu,

23

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim𝑃𝑖∑𝑓(��𝑖)∆𝑥𝑖

∞

𝑖=1

(Purcell, 1987:274).

2.6 Integral Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama

kalkulus (yang lainnya adalah Isaac Newton). Cara penulisannya untuk turunan dan

integral masih dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan seperti fisika,

kimia, dan ekonommi (Purcell, 1987:145). Salah satu contohnya adalah persamaan

diferensial yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode integral yang

salah satunya adalah integral Leibniz. Jika terdapat sebuah fungsi 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) yang

dibatasi dengan batas atas permukaan 𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) dan batas bawah dasar 𝑧 =

𝑏(𝑥, 𝑦) maka

∫𝜕𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑧

𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)

𝑏(𝑥,𝑦)

≠𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

Contohnya jika 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡, 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦, dan 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 2𝑥 + 2𝑦 +

𝑡 maka

∫𝜕(𝑒2𝑥+𝑦+𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑧

2𝑥+2𝑦+𝑡

𝑥+𝑦

= ∫ 2𝑒2𝑥+𝑦+𝑡𝑑𝑧

2𝑥+2𝑦+𝑡

𝑥+𝑦

= 2𝑧𝑒2𝑥+𝑦+𝑡|𝑧=𝑥+𝑦𝑧=2𝑥+2𝑦+𝑡

= 2((2𝑥 + 2𝑦 + 𝑡) − (𝑥 + 𝑦))𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

= 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

24

sedangkan

𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡𝑑𝑧

2𝑥+2𝑦+𝑡

𝑥+𝑦

=𝜕

𝜕𝑥(𝑒2𝑥+𝑦+𝑡𝑧|𝑧=𝑥+𝑦

𝑧=2𝑥+2𝑦+𝑡)

=𝜕

𝜕𝑥(𝑒2𝑥+𝑦+𝑡((2𝑥 + 2𝑦 + 𝑡) − (𝑥 + 𝑦)))

=𝜕

𝜕𝑥(𝑒2𝑥+𝑦+𝑡(𝑥 + 𝑦 + 𝑡))

= (𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝜕(𝑒2𝑥+𝑦+𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

𝜕(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)

𝜕𝑥

= 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 + 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa

∫𝜕(𝑒2𝑥+𝑦+𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑧

2𝑥+2𝑦+𝑡

𝑥+𝑦

≠𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡𝑑𝑧

2𝑥+2𝑦+𝑡

𝑥+𝑦

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 ≠ 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 + 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

Oleh karena itu, digunakan kaidah Leibniz sebagai berikut.

∫𝜕𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

=𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

− 𝑢(𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡))𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥

+𝑢(𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦))𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

sehingga dari contoh di atas didapatkan

𝑢(𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡))𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

𝜕(2𝑥 + 2𝑦 + 𝑡)

𝜕𝑥

= 2𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

𝑢(𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦))𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

𝜕(𝑥 + 𝑦)

𝜕𝑥

= 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

25

maka hasilnya dengan menggunakan kaidah Leibniz adalah

𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

− 𝑢(𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡))𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑢(𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦))

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

= 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 + 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 − 2𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 + 𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

= 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

Hasil dari menggunakan kaidah Leibniz sama yaitu,

∫𝜕𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

=𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

− 𝑢(𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡))𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥

+𝑢(𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦))𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡 = 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑡)𝑒2𝑥+𝑦+𝑡

Dengan demikian, jika terdapat dua operator matematika, turunan dan integral,

dapat dinyatakan bahwa tidak semua turunan yang kemudian diintegralkan hasilnya

sama dengan integral yang kemudian diturunkan.

2.7 Kondisi Batas Kinematik Fluida

Masalah pada aliran fluida merupakan permasalahan diferensial parsial

terhadap bidang dan waktu sehingga kondisi batas sangat diperlukan untuk dapat

menyelesaikan model yang ada. Kondisi batas ada dua jenis yaitu kondisi batas

kinematik dan kondisi batas dinamik. Kondisi batas dinamik hanya berlaku pada

permukaan bebas (Mustain, 2010:81). Kondisi batas kinematik adalah kondisi yang

membatasi aliran fluida yang dilihat dari ada atau tidaknya pengaruh kekentalan,

aliran yang dapat ditekan atau tidak, dan aliran yang tetap atau tidak. Kondisi batas

kinematik dilihat dari dasar fluida dan permukaan fluida.

26

2.8 Kajian Keagamaan tentang Model Matematika

Berdasarkan pemaparan pendahuluan pada bab sebelumnya telah dijelaskan

bahwa manusia memiliki akal yang digunakan untuk mengkaji, meneliti, dan

mengamati tentang segala sesuatu yang telah tercipta di langit dan bumi. Hal ini

sesuai dengan isi dari al-Qur’an surat al-Imran/3:190-191 yaitu,

موتفخلقإن رضوٱلس لٱختلفوٱل ٱلن هاروٱل

ألببويلأيتل

ٱل

ين١٩٠ ٱل ون رأ يذكأ خلقٱلل ف ون رأ ويتفك نأوبهم جأ وعل ودا عأ وقأ قيماموت رضوٱلس

بحنكفقناعذابٱل ١٩١ٱلن اررب ناماخلقتهذابطلسأ






Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka” (QS. al-Imran/3:190-191)

Asbabun nuzul dari ayat ini diriwayatkan oleh ath-Thabarani dan Ibnu Abi

Hatim, yang bersumber dari Ibnu ‘Abbas bahwa orang Quraisy datang kepada

Yahudi untuk bertanya, “Mukjizat apa yang dibawa Musa kepada kalian?” Mereka

menjawab, “Tongkat dan tangannya terlihat putih bercahaya.” Kemudian mereka

bertanya kepada kaum Nasrani, “Mukjizat apa yang dibawa ‘Isa pada kalian?”

Mereka menjawab, “Ia dapat menyembuhkan orang buta sejak lahir hingga dapat

melihat, menyembuhkan orang berpenyakit sopak, dan menghidupkan orang mati.”

Kemudian mereka menghadap nabi Muhammad Saw. dan berkata “Hai

Muhammad, coba berdoalah engkau kepada Rabb-mu agar gunung Shafa ini

dijadikan emas.” Lalu beliau berdoa sehingga turunlah ayat tersebut (al-Imran/3::

190) sebagai petunjuk untuk memperhatikan apa yang telah ada, yang akan lebih

besar manfaatnya bagi orang yang menggunakan akal.

27

Tafsir secara umum pada ayat 190 surat al-Imran adalah Allah mengajak

manusia untuk berpikir dan merenungi tentang penciptaan langit dan bumi.

Kemudian pada ayat berikutnya Allah menjelaskan hasil dan buah dari berpikir ini.

Ayat ini menjelaskan tentang keEsaan Allah dan menyatakan bahwa apabila

manusia memikirkan dengan cermat dan menggunakan akalnya terkait dengan

proses penciptaan langit dan bumi, silih bergantinya siang dan malam, maka ia akan

menemukan tanda-tanda jelas atas kekuasaan Allah, maha karya dan rahasia-

rahasia yang menakjubkan yang akan menuntun para hamba kepada Allah dan hari

kiamat serta menggiring mereka pada kekuasaan Allah yang tak terbatas. Makna

dua ayat ini adalah mereka yang menyaksikan, yang didasari dengan pemikiran dan

perenungan, penciptaan langit dan bumi, silih bergantinya siang dan malam,

pemikiran dan perenungan ini menyebabkan mereka senantiasa akan mengingat

Allah. Dengan perantara ini mereka akan menyadari bahwa Allah segera akan

membangkitkan mereka dan atas dasar itu ia memohon rahmat-Nya serta meminta

supaya janji yang diberikan kepada mereka dapat terealisasi baginya (Dasuki,

1995:102).

Kemudian dalam penciptaan langit dan bumi, Allah telah menciptakan

semuanya sesuai dengan ukurannya. Hal ini sesuai dengan al-Qur’an surat al-

Furqan/25:2 yaitu,

ي ۥلأٱل لكأ موتمأ رضوٱلس أٱل نل اولميكأ يت خذول شيكفۥولم

لك رهأٱلمأ ءفقد ش ٢تقديراۥوخلقكأ “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai



serapi-rapinya” (QS. al-Furqan/25:2)

28

Dalam al-Qur’an surat al-Furqan/25:2 diterangkan kekuasaan dan kebesaran

Allah yang menurunkan al-Furqan dan mengutus hamba-Nya itu kepada seluruh

alam. Dia adalah Allah yang menguasai seluruh langit dan bumi. Penguasa dari

sekalian penguasa, raja dari sekalian raja, menaikkan dan menurunkan, memuliakan

dan menghinakan. Kekuasaan-Nya adalah mutlak dan kekal. Tanda dari kekuasaan

itu terasa apabila ilmu semakin bertambah. Dengan ilmu pengetahuan alam

dapatlah sedikit demi sedikit melihat kekuasaan yang mutlak itu. Perjalanan

matahari yang teratur detik demi detik, persamaan terbit dan terbenamnya pada

persamaan tanggal dan bulannya sehingga satu detik pun tidak ada selisih adalah

bukti nyata dari kekuasaan-Nya. Apabila menambah ilmu pengetahuan tentang

ilmu alam, ilmu bumi, ilmu tumbuh-tumbuhan, dan sekalian cabang ilmu yang lain,

bertambah nyatalah kekuasaan yang mutlak itu sehingga semakin manusia dapat

mengetahui suatu cabang ilmu, semakin juga manusia mengetahui bahwa yang

diketahuinya ini adalah perkara yang telah ada sejak dulu. llmu pengetahuan

manusia tidak menambah peraturan yang baru pada peraturan yang telah ada,

melainkan hanya telah mengetahui perkara yang tadinya belum diketahui (Dasuki,

1995:680).

Segala sesuatu tercipta sesuai dengan ukurannya juga dijelaskan dalam al-

Qur’an surat al-Qamar/54:49.

بقدر ءخلقنهأ ش ٤٩إن اكأ “Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran” (QS. al-

Qamar/54:49)

Asbabun nuzul untuk surat al-Qamar diriwayatkan oleh Muslim dan at-

Tirmidzi, yang bersumber dari Abu Hurairah bahwa kaum musyrikin Quraisy

pernah membantah Rasulullah Saw. berkenaan dengan persoalan takdir. Ayat ini

29

(al-Qamar:47-49) turun sehubungan dengan peristiwa tersebut, yang melukiskan

bahwa segala sesuatu diciptakan menurut ukuran dan aturan. Maksudnya, Allah

menetapkan suatu ukuran dan memberi petunjuk kepada semua makhluk pada

ketetapan tersebut. Oleh karena itu, para ulama menjadikan ayat yang mulia ini

sebagai dalil untuk menetapkan takdir Allah bagi semua makhluk sebelum makhluk

itu diciptakan. Hal itu merupakan ilmu Allah terhadap segala sesuatu sebelum

adanya dan pencatatan ketentuan masing-masing makhluk sebelum semuanya

tercipta (Jalaludin, 1993:507).

Setelah manusia memikirkan tentang langit dan bumi bahwa segala sesuatu

itu sesuai dengan ukurannya maka segala sesuatu itu juga ada hitungannya. Hal ini

sesuai dengan al-Qur’an surat yasin/36:12.

إن ا نأح فإمامٱلموتننأ حصينهأءأ ش موكأ واوءاثرهأ مأ ماقد ونكتأبأ

بين ١٢م“Sesungguhnya Kami menghidupkan orang-orang mati dan Kami menuliskan apa

yang telah mereka kerjakan dan bekas-bekas yang mereka tinggalkan. dan segala

sesuatu Kami kumpulkan dalam kitab induk yang nyata (Lauh mahfuzh)” (QS.

Yasin/36:12).

Diriwayatkan oleh at-Tirmidzi dengan sanad yang hasan dan al-Hakim

dengan sanad yang shahih, yang bersumber dari Abu Sa’id al Khudri. Diriwayatkan

pula oleh ath-Thabarani yang bersumber dari Ibnu ‘Abbas bahwa bani Salamah

bertempat di pinggiran kota Madinah dan ingin pindah ke dekat masjid. Maka

turunlah ayat ini (QS. Yasin/36:12) yang menegaskan bahwa setiap langkah

manusia dicatat oleh Allah. Setelah turun ayat tersebut, nabi Muhammad Saw.

menasihati bani Salamah agar tidak pindah dari tempat tinggalnya, dengan

sabdanya, “Sesungguhnya bekas telapak kalian menuju masjid dicatat oleh Allah,

sebaikanya kalian jangan pindah dari tempat kalian” (Basyuni, 2007:199).

30

Pada akhirnya, setelah segala sesuatu itu ada ukuran dan hitungannya maka

segala sesuatu juga ada sebabnya sehingga harus ditelusuri bagaimana ia terjadi.

Jalan penelusuran ini sesuai dengan al-Qur’an surat al-Kahfi/18:84-85.

ن الأإن ا رضفۥمك ءسبباٱل ش

منكأ تبع٨٤وءاتينهأ٨٥سببافأ

“Sesungguhnya Kami telah memberi kekuasaan kepadanya di (muka) bumi, dan

Kami telah memberikan kepadanya jalan (untuk mencapai) segala sesuatu. Maka

diapun menempuh suatu jalan” (QS. Al-Kahfi/18:84-85).

30

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Model Gelombang Air Dangkal

Gelombang air dangkal adalah gelombang air yang memiliki kedalaman

yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya. Gelombang air

dangkal sering disebut dengan gelombang panjang karena profilnya yang dangkal

menyebabkan rata-rata kedalaman fluidanya sama pada setiap titik pengamatan.

Diasumsikan dari definisi dangkal bahwa percepatan arah 𝑧 konstan sehingga

turunan total untuk momentum terhadap arah 𝑧 adalah nol. Hal ini mengakibatkan

jika ada benda yang berada di atas gelombang maka benda tersebut akan tetap

berada di atas gelombang atau kejadian ini disebut dengan fluida yang tak berotasi.

Model dari gelombang air dangkal dua dimensi berhubungan dengan

variabel ruang 𝑥, 𝑦 dan variabel waktu 𝑡. Model gelombang air dangkal dua dimensi

ini diturunkan dari dua persamaan yaitu persamaan kontinuitas dan persamaan

momentum yang telah dijabarkan pada kajian teori yang berasal dari hukum

kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum yang berdimensi tiga yaitu

dimensi ruang 𝑥, 𝑦, 𝑧, dan dimensi waktu 𝑡. Penurunan model gelombang air

dangkal dua dimensi ini bertujuan untuk menyederhanakan variabel sehingga

mempermudah dalam meneliti sebuah permasalahan tentang gelombang air

dangkal.

Konstruksi model gelombang air dangkal dua dimensi dimulai dari

penurunan kondisi batas kinematik gelombang air dangkal yang meliputi kondisi

31

batas kinematik permukaan gelombang dan kondisi batas kinematik dasar

gelombang. Kemudian penurunan tekanan hidrostatis untuk gelombang air dangkal

dua dimensi berasal dari persamaan momentum arah 𝑧. Setelah itu ditentukan rata-

rata kedalamannya untuk ketiga persamaan yang tersisa yaitu persamaan

kontinuitas, persamaan momentum arah 𝑥, dan persamaan momentum arah 𝑦.

Berikut ini adalah penjabaran dari konstruksi model gelombang air dangkal dua

dimensi.

3.2 Penurunan Kondisi Batas Kinematik

Kondisi batas kinematik pada permukaan gelombang dan dasar gelombang

air dangkal diilustrasikan pada Gambar 3.1 sebagai berikut.

Gambar 3.1 Kondisi Batas Kinematik

Berikut ini adalah penurunan kondisi batas kinematic gelombang air dangkal.

3.2 1 Kondisi Batas Kinematik Permukaan

Pada arah 𝑧, batas atas gelombang air dangkal adalah permukaan gelombang

(surface) yang dituliskan dengan 𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡). Diketahui bahwa permukaan

𝒛 = 𝒔(𝒙, 𝒚, 𝒕)

𝒛

𝒚

𝒙

𝒛 = 𝒃(𝒙, 𝒚)

32

gelombang dipengaruhi oleh variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑡. Kemudian kondisi batas kinematik

permukaan gelombang air dangkal dijabarkan sebagai berikut.

𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝑧 − 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 0

Dituliskan secara implisit bentuk 𝑧 − 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kemudian karena

fluida tak berotasi maka turunan total untuk fungsi implisit 𝐹 adalah nol.

𝑑𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝑑𝑡= 0

Aturan rantai untuk turunan total digunakan, sehingga

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0

Diketahui bahwa perubahan 𝑥 terhadap waktu 𝑡 adalah 𝑢, perubahan 𝑦 terhadap

waktu 𝑡 adalah 𝑣, dan perubahan 𝑧 terhadap waktu 𝑡 adalah 𝑤 sehingga

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑧𝑤 = 0

Kemudian substitusikan fungsi yang diketahui sebelumnya menjadi

𝜕

𝜕𝑡(𝑧 − 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)) + 𝑢

𝜕

𝜕𝑥(𝑧 − 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)) + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝑧 − 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡))

+ 𝑤𝜕

𝜕𝑧(𝑧 − 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)) = 0

Digunakan penulisan operator turunan menjadi

−𝑠𝑡 − 𝑢𝑠𝑥 − 𝑣𝑠𝑦 + 𝑤 = 0

Kemudian 𝑠𝑡 dipindah ruas menjadi

−𝑢𝑠𝑥 − 𝑣𝑠𝑦 + 𝑤 = 𝑠𝑡 (3.1)

33

3.2.2 Kondisi Batas Kinematik Dasar

Pada arah 𝑧, batas bawah gelombang air dangkal adalah dasar gelombang

(bottom) yang dituliskan dengan 𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦). Diketahui bahwa dasar gelombang

dipengaruhi oleh variabel 𝑥 dan 𝑦. Kemudian kondisi batas kinematik dasar

gelombang air dangkal dijabarkan sebagai berikut.

𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦)

𝑧 − 𝑏(𝑥, 𝑦) = 0

Dituliskan secara implisit bentuk 𝑧 − 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) kemudian karena fluida

tak berotasi maka turunan total untuk fungsi implisit 𝐺 adalah nol.

𝑑𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑑𝑡= 0

Aturan rantai untuk turunan total digunakan, sehingga

𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑡+𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0

Diketahui bahwa perubahan 𝑥 terhadap waktu 𝑡 adalah 𝑢, perubahan 𝑦 terhadap

waktu 𝑡 adalah 𝑣, dan perubahan 𝑧 terhadap waktu 𝑡 adalah 𝑤 sehingga

𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑡+𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑧𝑤 = 0

Substitusikan fungsi yang diketahui sebelumnya sehingga

𝜕

𝜕𝑡(𝑧 − 𝑏(𝑥, 𝑦)) + 𝑢

𝜕

𝜕𝑥(𝑧 − 𝑏(𝑥, 𝑦)) + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝑧 − 𝑏(𝑥, 𝑦))

+𝑤𝜕

𝜕𝑧(𝑧 − 𝑏(𝑥, 𝑦)) = 0

Kemudian digunakan penulisan untuk operator turunan menjadi

−𝑢𝑏𝑥 − 𝑣𝑏𝑦 + 𝑤 = 0 (3.2)

34

3.3 Tekanan Hidrostatis

Setelah penjabaran kondisi batas kinematik gelombang air dangkal

kemudian ditentukan tekanan hidrostatis untuk gelombang air dangkal dua dimensi

yang berasal dari persamaan momentum arah 𝑧. Berikut ini adalah persamaan

momentum arah 𝑧.

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑦+𝜕(𝑤2)

𝜕𝑧= 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧 (3.3)

Persamaan (3.4) diuraikan dengan menggunakan aturan rantai turunan menjadi

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧

Dipisahkan untuk 𝑤 dan sebelumnya diketahui bahwa perubahan 𝑥 terhadap waktu

𝑡 adalah 𝑢, perubahan 𝑦 terhadap waktu 𝑡 adalah 𝑣, dan perubahan 𝑧 terhadap waktu

𝑡 adalah 𝑤 sehingga menjadi

𝜕𝑤

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡+ 𝑤 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧) = 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧 (3.4)

Substitusikan persamaan kontinuitas pada persamaan (3.4) kemudian menggunakan

aturan turunan total untuk 𝑤 sehingga persamaan (3.4) menjadi

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑧 (3.5)

Setelah itu karena fluida tak berotasi maka turunan total untuk 𝑤 adalah nol dan 𝑔

dikanselasi sehingga persamaan (3.5) menjadi

𝜕𝑃 = 𝜌𝑔𝜕𝑧 (3.6)

𝑃 adalah tekanan hidrostatis yang perubahannya adalah tetap namun dipengaruhi

oleh permukaan gelombangnya. Persamaan untuk tekanan hidrostatis ini ditentukan

dengan mengintegralkannya terhadap variabel 𝑧 dengan batas atas 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) dan

35

dengan batas bawahnya sepanjang arah 𝑧 yang konstan sehingga persamaan (3.6)

menjadi

∫ 𝜕𝑃 = ∫ 𝜌𝑔𝜕𝑧


𝑧

𝑃 = 𝜌𝑔𝑧|𝑧𝑠(𝑥,𝑦𝑡)

= 𝜌𝑔𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝜌𝑔𝑧

= 𝜌𝑔(𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑧)

(3.7)

Tekanan hidrostatis yang didapat dari persamaan (3.7) kemudian diturunkan

terhadap 𝑥 dan 𝑦 sehingga menjadi

𝜕𝑃

𝜕𝑥=𝜕(𝜌𝑔(𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑧))

𝜕𝑥

= 𝜌𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑥

(3.8)

𝜕𝑃

𝜕𝑦=𝜕(𝜌𝑔(𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑧))

𝜕𝑦

= 𝜌𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑦

(3.9)

Persamaan (3.8) disubstitusikan pada persamaan momentum arah 𝑥 menjadi

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧= −

1

𝜌(𝜌𝑔

𝜕𝑠

𝜕𝑥)

= −𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑥 (3.10)

Persamaan (3.9) disubstitusikan pada persamaan momentum arah 𝑦 menjadi

𝜕𝑣

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧= −

1

𝜌(𝜌𝑔

𝜕𝑠

𝜕𝑦)

= −𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑦 (3.11)

36

3.4 Rata-Rata Kedalaman

Setelah menentukan tekanan hidrostatisnya kemudian menentukan rata-rata

kedalaman gelombang air dangkal. Persamaan kontinuitas, persamaan (3.11) dan

persamaan (3.12) yang digunakan untuk menentukan rata-rata kedalamannya

dengan mengintegralkan terhadap 𝑧 dengan batas atas 𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) dan batas

bawah 𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦).

3.4.1 Rata-Rata Kedalaman Persamaan Kontinuitas

Pertama, rata-rata kedalaman untuk persamaan kontinuitas dijabarkan

sebagai berikut.

∫ (𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧)


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = 0

Kemudian dipisah satu per satu menjadi

∫𝜕𝑢

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕𝑣

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕𝑤

𝜕𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = 0 (3.12)

Aturan Leibniz sesuai dengan subbab 2.6 sebelumnya telah dijelaskan kemudian

digunakan untuk integral 𝑢 dan integral 𝑣 sedangkan integral 𝑤 diintegralkan secara

umum, sehingga persamaan (3.12) dijabarkan satu per satu dimulai dari penjabaran

∫𝜕𝑢

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)𝑑𝑧 menjadi

∫𝜕𝑢

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑢|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

=𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢|𝑠𝑠𝑥 + 𝑢|𝑏𝑏𝑥

37

Penjabaran untuk ∫𝜕𝑣

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)𝑑𝑧 yaitu,

∫𝜕𝑣

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑦+ 𝑣|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦

=𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣|𝑠𝑠𝑦 + 𝑣|𝑏𝑏𝑦

Sedangkan penjabaran ∫𝜕𝑤

𝜕𝑧



∫𝜕𝑤

𝜕𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = 𝑤|𝑏(𝑥,𝑦)𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)

= 𝑤|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡) − 𝑤|𝑏(𝑥,𝑦)

= 𝑤|𝑠 − 𝑤|𝑏

Hasil dari penjabaran satu per satu di atas menjadi

𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢|𝑠𝑠𝑥 − 𝑣|𝑠𝑠𝑦 + 𝑤|𝑠

+𝑢|𝑏𝑏𝑥 + 𝑣|𝑏𝑏𝑦 − 𝑤|𝑏 = 0

(3.13)

Substitusikan persamaan (3.1) dan (3.2) pada persamaan (3.13) sehingga persamaan

(3.13) menjadi

𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + 𝑠𝑡 = 0 (3.14)

Kemudian persamaan (3.14) menggunakan kaidah Riemann yang sebelumnya telah

dijelaskan pada subbab 2.5 yaitu integralnya menggunakan pendekatan rata-rata


38

𝜕

𝜕𝑥( lim∆𝑧→0

∑𝑢𝑖∆𝑧𝑖

𝑛

𝑖=1

) +𝜕

𝜕𝑦( lim∆𝑧→0

∑𝑣𝑖∆𝑧𝑖

𝑛

𝑖=1

) + 𝑠𝑡 = 0 (3.15)

Karena ∆𝑧 ≠ 0 maka operator limit dapat dihilangkan, misalkan ∑ 𝑢𝑖𝑛𝑖=1 = ��,

∑ 𝑣𝑖𝑛𝑖=1 = ��, dan diketahui dari definisi dangkal bahwa rata-rata kedalamannya

adalah sama yaitu ∆𝑧𝑖 = ∆𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑠 − 𝑏 sehingga persamaan

(3.15) menjadi

𝜕((𝑠 − 𝑏)��)

𝜕𝑥+𝜕((𝑠 − 𝑏)��)

𝜕𝑦+𝜕𝑠

𝜕𝑡= 0 (3.16)

3.4.2 Rata-rata Kedalaman Persamaan Momentum 𝒙

Persamaan momentum arah 𝑥 sebelumnya telah dijelaskan bahwa

membutuhkan persamaan tekanan hidrostatis sehingga persamaan momentum arah

𝑥 menjadi persamaan (3.10). Persamaan (3.10) ditentukan rata-rata kedalamannya

yang dijabarkan sebagai berikut.

∫ (𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧)


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = ∫ (−𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑥)


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧

Kemudian dipisah satu per satu menjadi

∫𝜕𝑢

𝜕𝑡


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧

+ ∫𝜕(𝑢𝑤)

𝜕𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = −𝑔 ∫𝜕𝑠

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧

(3.17)


digunakan untuk integral 𝑢 dan integral 𝑣 sedangkan 𝑤 menggunakan

39

pengintegralan secara umum dan (𝑠 − 𝑏) independen terhadap 𝑧 sehingga

persamaan (3.17) dijabarkan satu per satu dimulai dari ∫𝜕𝑢

𝜕𝑡



∫𝜕𝑢

𝜕𝑡


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑡+ 𝑢|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑡

=𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢|𝑠𝑠𝑡

Penjabaran ∫𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥



∫𝜕(𝑢2)

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢2|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑢2|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

=𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢2|𝑠𝑠𝑥 + 𝑢2|𝑏𝑏𝑥

Penjabaran ∫𝜕𝑢𝑣

𝜕𝑦



∫𝜕𝑢𝑣

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑢𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢𝑣|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑦+ 𝑢𝑣|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦

=𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢𝑣|𝑠𝑠𝑦 + 𝑢𝑣|𝑏𝑏𝑦

Sedangkan penjabaran ∫𝜕𝑢𝑤

𝜕𝑧



∫𝜕𝑢𝑤

𝜕𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = 𝑢𝑤|𝑏(𝑥,𝑦)𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)

= 𝑢𝑤|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡) − 𝑢𝑤|𝑏(𝑥,𝑦)

= 𝑢𝑤|𝑠 − 𝑢𝑤|𝑏

40

Kemudian penjabaran −𝑔∫𝜕𝑠

𝜕𝑥



−𝑔 ∫𝜕𝑠

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = −𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑥𝑧|𝑏(𝑥,𝑦)𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)

= −𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑥(𝑧|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡) − 𝑧|𝑏(𝑥,𝑦))

= −𝑔(𝑠 − 𝑏)𝜕𝑠

𝜕𝑥


𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢|𝑠𝑠𝑡 − 𝑢2|𝑠𝑠𝑥

−𝑢𝑣|𝑠𝑠𝑦 + 𝑢𝑤|𝑠 + 𝑢2|𝑏𝑏𝑥 + 𝑢𝑣|𝑏𝑏𝑦 − 𝑢𝑤|𝑏 = −𝑔(𝑠 − 𝑏)

𝜕𝑠

𝜕𝑥

(3.18)

Kemudian persamaan (3.2) dikalikan dengan 𝑢|𝑠 dan persamaan (3.3) dikalikan

dengan 𝑢|𝑏 menjadi

−𝑢2|𝑠𝑠𝑥 − 𝑢𝑣|𝑠𝑠𝑦 + 𝑢𝑤|𝑠 = 𝑢|𝑠𝑠𝑡 (3.19)

−𝑢2|𝑏𝑏𝑥 − 𝑢𝑣|𝑏𝑏𝑦 + 𝑢𝑤|𝑏 = 0 (3.20)

Substitusikan persamaan (3.19) dan (3.20) pada persamaan (3.18) sehingga

diperoleh

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑢


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = −𝑔(𝑠 − 𝑏)𝜕𝑠

𝜕𝑥 (3.21)

Kemudian digunakan definisi dari dangkal yang telah dijelaskan sebelumnya pada

subbab 3.4.1 persamaan (3.21) menggunakan kaidah Riemann yang sebelumnya

telah dijelaskan pada subbab 2.5 yaitu integralnya menggunakan pendekatan rata-

rata sehingga persamaan (3.21) menjadi

41

𝜕

𝜕𝑡( lim∆𝑧→0

∑𝑢𝑖∆𝑧𝑖

∞

𝑖=1

) +𝜕


∑𝑢𝑖2∆𝑧𝑖

∞

𝑖=1

) +𝜕


∑𝑢𝑖𝑣𝑖∆𝑧𝑖

∞

𝑖=1

)

= −𝑔(𝑠 − 𝑏)𝜕𝑠

𝜕𝑥

(3.22)

Karena ∆𝑧 ≠ 0 maka operator limit dapat dihilangkan, misalkan ∑ 𝑢∞𝑖=1 = ��,

∑ 𝑢𝑖2∞

𝑖=1 = ��2, ∑ 𝑢𝑖𝑣𝑖∞𝑖=1 = ��, dan diketahui dari definisi dangkal bahwa rata-rata

kedalamannya adalah sama yaitu ∆𝑧𝑖 = ∆𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑠 − 𝑏


𝜕((𝑠 − 𝑏)��)

𝜕𝑡+𝜕((𝑠 − 𝑏)��2)

𝜕𝑥+𝜕((𝑠 − 𝑏)��)

𝜕𝑦= −𝑔(𝑠 − 𝑏)

𝜕𝑠

𝜕𝑥 (3.23)

3.4.3 Rata-rata Kedalaman Persamaan Momentum 𝒚

Persamaan momentum arah 𝑦 sebelumnya telah dijelaskan bahwa

membutuhkan persamaan tekanan hidrostatis sehingga persamaan momentum arah

𝑦 menjadi persamaan (3.11). Persamaan (3.11) ditentukan rata-rata kedalamannya

yang dijabarkan sebagai berikut.

∫ (𝜕𝑣

𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦+𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧)


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = ∫ (−𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑦)


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧

Dipisah satu per satu menjadi

∫𝜕𝑣

𝜕𝑡


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕(𝑢𝑣)

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 + ∫𝜕(𝑣𝑤)

𝜕𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧

= −𝑔 ∫𝜕𝑠

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧

(3.24)


digunakan untuk integral 𝑢 dan integral 𝑣 sedangkan integral 𝑤 menggunakan

42

pengintegralan secara umum dan (𝑠 − 𝑏) independen terhadap 𝑧 sehingga

persamaan (3.24) dijabarkan satu per satu dimulai dari ∫𝜕𝑣

𝜕𝑡



∫𝜕𝑣

𝜕𝑡


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑡+ 𝑣|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑡

=𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣|𝑠𝑠𝑡

Penjabaran ∫𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦



∫𝜕(𝑣2)

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣2|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑦+ 𝑣2|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦

=𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣2|𝑠𝑠𝑦 + 𝑣2|𝑏𝑏𝑦

Penjabaran ∫𝜕𝑢𝑣

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)𝑑𝑧 adalah yaitu,

∫𝜕𝑢𝑣

𝜕𝑥


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 =𝜕

𝜕𝑥∫ 𝑢𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢𝑣|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)𝜕𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑢𝑣|𝑏(𝑥,𝑦)

𝜕𝑏(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

=𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑢𝑣|𝑠𝑠𝑥 + 𝑢𝑣|𝑏𝑏𝑥

Sedangkan penjabaran ∫𝜕𝑣𝑤

𝜕𝑧



∫𝜕𝑣𝑤

𝜕𝑧


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = 𝑣𝑤|𝑏(𝑥,𝑦)𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)

= 𝑣𝑤|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡) − 𝑣𝑤|𝑏(𝑥,𝑦)

= 𝑣𝑤|𝑠 − 𝑣𝑤|𝑏

43

Penjabaran −𝑔∫𝜕𝑠

𝜕𝑦



−𝑔 ∫𝜕𝑠

𝜕𝑦


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = −𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑦𝑧|𝑏(𝑥,𝑦)𝑠(𝑥,𝑦,𝑡)

= −𝑔𝜕𝑠

𝜕𝑦(𝑧|𝑠(𝑥,𝑦,𝑡) − 𝑧|𝑏(𝑥,𝑦))

= −𝑔(𝑠 − 𝑏)𝜕𝑠

𝜕𝑦


𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 − 𝑣|𝑠𝑠𝑡 − 𝑢𝑣|𝑠𝑠𝑥

−𝑣2|𝑠𝑠𝑦 + 𝑣𝑤|𝑠 + 𝑢𝑣|𝑏𝑏𝑥 + 𝑣2|𝑏𝑏𝑦 − 𝑣𝑤|𝑏 = −𝑔(𝑠 − 𝑏)

𝜕𝑠

𝜕𝑦

(3.25)

Kemudian persamaan (3.1) dikalikan dengan 𝑣|𝑠 dan persamaan (3.2) dikalikan

dengan 𝑣|𝑏 menjadi

−𝑢𝑣|𝑠𝑠𝑥 − 𝑣2|𝑠𝑠𝑦 + 𝑤𝑣|𝑠 = 𝑣|𝑠𝑠𝑡 (3.26)

−𝑢𝑣|𝑏𝑏𝑥 − 𝑣2|𝑏𝑏𝑦 + 𝑤𝑣|𝑏 = 0 (3.27)

Substitusikan persamaan (3.26) dan (3.27) pada persamaan (3.25), sehingga

diperoleh

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑣


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕



𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 +𝜕

𝜕𝑦∫ 𝑣2


𝑏(𝑥,𝑦)

𝑑𝑧 = −𝑔(𝑠 − 𝑏)𝜕𝑠

𝜕𝑦 (3.28)

Kemudian persamaan (3.28) menggunakan kaidah Riemann yang sebelumnya telah

dijelaskan pada subbab 2.5 yaitu integralnya menggunakan pendekatan rata-rata


44

𝜕

𝜕𝑡( lim∆𝑧→0

∑𝑣𝑖∆𝑧𝑖

∞

𝑖=1

) +𝜕


∑𝑢𝑖𝑣𝑖∆𝑧𝑖

∞

𝑖=1

) +𝜕


∑𝑣𝑖2∆𝑧𝑖

∞

𝑖=1

)

= −𝑔(𝑠 − 𝑏)𝜕𝑠

𝜕𝑦

(3.29)

Karena ∆𝑧 ≠ 0 maka operator limit dapat dihilangkan, misalkan ∑ 𝑣𝑖∞𝑖=1 = ��,

∑ 𝑣𝑖2∞

𝑖=1 = ��2, ∑ 𝑢𝑖𝑣𝑖∞𝑖=1 = ��, dan diketahui dari definisi dangkal bahwa rata-rata

kedalamannya adalah sama yaitu ∆𝑧𝑖 = ∆𝑧 = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑠 − 𝑏


𝜕((𝑠 − 𝑏)��)

𝜕𝑡+𝜕((𝑠 − 𝑏)��)

𝜕𝑥+𝜕((𝑠 − 𝑏)��2)

𝜕𝑦= −𝑔(𝑠 − 𝑏)

𝜕𝑠

𝜕𝑦 (3.30)

3.5 Hubungan Antara Permukaan dengan Dasar

Hubungan antara permukaan gelombang dengan dasar gelombang pada

gelombang air dangkal ditunjukkan pada Gambar 3.3 sebagai berikut.

Gambar 3.1 Hubungan antara 𝑠 dengan 𝑏

Pada gambar 3.3 tersebut dapat diketahui bahwa ℎ adalah selisih antara 𝑠 dengan

𝑏. Diketahui bahwa ℎ adalah kedalaman (height), 𝑠 adalah permukaan (surface) dan

𝒉(𝒙, 𝒚, 𝒕)

𝒙

𝒛 = 𝒃(𝒙, 𝒚)

𝒛

𝒛 = 𝒔(𝒙, 𝒚, 𝒕)

45

𝑏 adalah dasar (bottom). Karena 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) dan 𝑏(𝑥, 𝑦) maka ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡) sehingga

hubungan ini dapat dituliskan seperti berikut.

ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑏(𝑥, 𝑦) (3.31)

Jika persamaan (3.31) diturunkan terhadap waktu 𝑡 maka persamaan (3.31) menjadi

ℎ𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑠𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑡) (3.32)

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.31) dan (3.32) pada persamaan

(3.16) maka persamaan (3.16) menjadi

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦+𝜕ℎ

𝜕𝑡= 0 (3.33)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.31) pada persamaan (3.23) maka

persamaan (3.23) menjadi

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑠

𝜕𝑥 (3.34)

Kemudian mensubstitusikan persamaan (3.31) pada persamaan (3.30) maka

persamaan (3.30) menjadi sebagai berikut:

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��2)


𝜕𝑠

𝜕𝑦 (3.35)

Persamaan (3.34) dapat diubah menjadi

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕(ℎ + 𝑏)

𝜕𝑥

= −𝑔ℎ𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑥

= −1

2𝑔𝜕ℎ2

𝜕𝑥− 𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑥

= −𝜕 (12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥− 𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑥

46

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦+𝜕 (12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥= −𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑏

𝜕𝑥 (3.36)

Persamaan (3.35) juga dapat diubah menjadi

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��2)


𝜕(ℎ + 𝑏)

𝜕𝑦

= −𝑔ℎ𝜕ℎ

𝜕𝑦− 𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑦

= −1

2𝑔𝜕ℎ2

𝜕𝑦− 𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑦

= −𝜕 (12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑦− 𝑔ℎ

𝜕𝑏

𝜕𝑦

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��2)

𝜕𝑦+𝜕 (12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦 (3.37)

Persamaan (3.33), (3.36), dan (3.37) dituliskan kembali dalam bentuk sistem

persamaan berikut.

𝜕ℎ

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= 0

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦}

(3.38)

Persamaan (3.38) inilah yang merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal

dua dimensi.

47

3.6 Kajian Keagamaan tentang Model Gelombang Air Dangkal

Manusia telah diberi akal pikiran yang memiliki kemampuan untuk

mengkaji, meneliti, dan mengamati segala sesuatu yang telah tercipta di langit dan

di bumi. Hal ini sesuai dengan firman Allah dalam surat al-Imran/3:190-191.

ل وٱل رض وٱختلف ٱلت وٱل مو لبب إن ف خلق ٱلس

ول ٱل

هار لأيت ل

رون ف خلق ١٩٠ جنوبهم ويتفك قيما وقعودا وعل ين يذكرون ٱلل ٱلرض ربنا ما خلقت هذا بطل سبحنك فقنا عذاب ٱلار

ت وٱل مو ١٩١ٱلس






Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka” (QS. al-Imran/3:190-191)

Segala sesuatu yang tercipta di langit dan di bumi begitu luas namun dalam

penelitian ini lebih dikhususkan membahas masalah yang berada di bumi, yaitu di

air, mengamati tentang gelombang air yang dangkal. Penelitian ini dalam rangka

mencari qadar yang bisa disamakan dengan persamaan atau model matematika.

Dalam penciptaan langit dan bumi maupun alam semesta ini ternyata

memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika meskipun alam semesta tercipta

sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan oleh Allah

dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan

yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi.

Hal ini sesuai dengan firman Allah surat al-Furqan/25:2.

ا ولم يكن ل رض ولم يتخذ ولموت وٱل ي لۥ ملك ٱلس ۥ شيك ف ٱل

رهۥ تقديرا ء فقد ٢ٱلملك وخلق ك ش“Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai


48


serapi-rapinya” (QS. al-Furqan/25:2)

Segala sesuatu tercipta sesuai dengan ukurannya juga terdapat dalam firman Allah

surat al-Qamar/54:49.

ء خلقنه بقدر ٤٩إنا ك ش“Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran” (QS. al-

Qamar/54:49)

Segala sesuatu yang telah tercipta, selain memiliki ukurannya atau

persamaannya, juga memiliki catatan atau hitungan yang dihitung dan dikumpulkan

jadi satu lengkap yang berada di Lauh Mahfuzh. Hal ini sesuai dengan firman Allah

surat yasin/36:12.

حصينه ف إمام ء أ موا وءاثرهم وك ش إنا نن نح ٱلموت ونكتب ما قد

بين ١٢م“Sesungguhnya Kami menghidupkan orang-orang mati dan Kami menuliskan apa

yang telah mereka kerjakan dan bekas-bekas yang mereka tinggalkan. dan segala

sesuatu Kami kumpulkan dalam kitab induk yang nyata (Lauh mahfuzh)” (QS.

Yasin/36:12)

Manusia juga harus melakukan perhitungan bahkan penelusuran tentang segala

sesuatu yang tercipta karena Allah telah memberikan kekuasaan kepada manusia

untuk melakukannya. Hal ini sesuai dengan firman Allah surat al-Kahfi/18:84-85.

ء سببا شرض وءاتينه من ك

نا لۥ ف ٱل تبع سببا ٨٤إنا مك

٨٥فأ

“Sesungguhnya Kami telah memberi kekuasaan kepadanya di (muka) bumi, dan

Kami telah memberikan kepadanya jalan (untuk mencapai) segala sesuatu. Maka

diapun menempuh suatu jalan” (QS. al Kahfi/18:84-85)

Oleh karena itu, dalam penelitian tentang gelombang air yang dangkal ini

dibahas tentang penelusurannya mengenai bagaimana model gelombang air

dangkal ini terbentuk kemudian menelusuri dari mana model itu berasal sehingga

49

sungguh benar firman Allah yang menyatakan bahwa segala sesuatu yang tercipta

di langit dan di bumi ini tidaklah sia-sia.

Setelah dipelajari, memang benar bahwa segala sesuatu yang tercipta di

langit dan di bumi ini tidaklah sia-sia. Begitu juga dengan gelombang air dangkal

dua dimensi bahwa ia memiliki qadar atau persamaan atau model matematikanya.

Berikut ini adalah model matematika untuk gelombang air dangkal dua dimensi.

𝜕ℎ

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= 0

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦}

dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah kecepatan arah 𝑥 dan 𝑦, 𝑔 adalah konstanta gravitasi, 𝑏

adalah profil dasar gelombang air dangkal, dan ℎ adalah kedalaman gelombang air

dangkal.

Akhirnya, dengan adanya qadar atau model matematika untuk gelombang

air dangkal dua dimensi ini dapat memperluas ilmu pengetahuan. Qadar atau model

matematika terdapat pada semua ciptaan Allah yang semakin dipelajari semakin

juga meningkatkan keimanan dan ketakwaan kepada Allah. Segala sesuatu yang

tercipta baik di langit dan di bumi ini memang benar-benar tidaklah sia-sia. Maha

Besar Allah dengan segala keagungan dan kekuasaan-Nya.

51

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Model gelombang air dangkal dua dimensi dikonstruksi dengan

membutuhkan persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan kondisi batas

kinematik gelombang air dangkal dua dimensi. Kemudian menentukan persamaan

tekanan hidrostatis dari penguraian persamaan momentum arah 𝑧 dan persamaan

tekanan hidrostatis ini lalu disubstitusikan pada persamaan momentum arah 𝑥 dan

𝑦. Setelah itu menentukan rata-rata kedalaman gelombang air dangkal dua dimensi

dari persamaan kontinuitas dan persamaan momentum arah 𝑥, 𝑦 dengan

menggunakan integral Riemann dan Leibniz dengan batas atas dan bawahnya

adalah kondisi batas kinematik gelombang air dangkal dua dimensi. Dengan

demikian, model gelombang air dangkal dua dimensi terbentuk sebagai berikut:

𝜕ℎ

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑦= 0

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)

𝜕𝑥+𝜕(ℎ��)


𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕(ℎ��)

𝜕𝑡+𝜕(ℎ��)

𝜕𝑥+𝜕 (ℎ��2 +

12𝑔ℎ

2)


𝜕𝑏

𝜕𝑦}

dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah kecepatan arah 𝑥 dan 𝑦, 𝑔 adalah gravitasi, 𝑏 adalah profil

dasar gelombang air dangkal, dan ℎ adalah kedalaman gelombang air dangkal.

52

4.2 Saran

Pada penelitian tentang analisis konstruksi gelombang air dangkal dua

dimensi ini tidak diberikan simulasi, baik dari solusi analitik maupun numeriknya.

Oleh karena itu, pada penelitian selanjutnya diharapkan bisa menjelaskan solusi

analitik maupun solusi numerik dari model gelombang air dangkal dua dimensi

serta bisa mensimulasikannya dengan berbagai metode numerik.

53

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang Press.

Basyuni, M. 2007. Al-Qur'an dan Tafsirnya Jilid 8. Jakarta: Departemen Agama

Republik Indosnesia.

Bronson, R. 2007. Persamaan Diferensial. Jakarta: Erlangga.

Dasuki, H. 1995. Al-Qur'an dan Tafsirnya Jilid II. Yogyakarta: PT Dana BHakti

Wakaf.

Dasuki, H. 1995. Al-Qur'an dan Tafsirnya Jilid IV. Yogyakarta: PT Dana BHakti

Wakaf.

Camfield, F. E. 1980. Tsunami Engineering. United State of America: Coastal

Engineering Research Center.

Jalaludin, I. 1993. Riwayat Turunnya Ayat-Ayat Suci Al-Qur'an. Semarang: CV

Asy-Syifa'.

Kampf, J. 2009. Ocean Modelling for Beginners. London: Springer.

Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Mungkasi, S. 2012. ANUGA Software for Numerical Simulations of Shallow

Water Flows. Archive Mathematics, 1: 1-30.

Mustain, M. 2010. Mekanika Fluida. Surabaya: ITSPress.

Olson, R. M. 1993. Dasar-Dasar Mekanika Fluida Teknik. Jakarta: PT Gramedia

Pustaka Umum.

Purcell, J. E. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Rousseau, M. 2012. Overland Flow Modelling with the Shallow Water Equations

using a Well Balanced Numerical Scheme. Journal of Computer Science

and Information, 1 (5): 1-8.

White, F. M. 1986. Mekanika Fluida. Jakarta: Erlangga.

Documents

ANALISIS KONSTRUKSI MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL 2D …