analisis matematico i

Índice Temas Página Conjuntos Numéricos 1

Valor absoluto de un número real 3 Cotas de un conjunto. Supremo e ínfimo. Máximo y mínimo. Conjunto acotado

4

Intervalos 5 Distancia 6 Entorno . Entorno reducido 7

Clasificación de puntos de un conjunto 8 Concepto de función 9 Clasificación de funciones 10 Composición de funciones 13 Función inversa 14

16 Función lineal 16 Función cuadrática 17 Función homográfica 18 Función exponencial 23 Función logarítmica 25 Funciones trigonométricas 26 Funciones circulares inversas 28

Estudio de algunas funciones particulares

Funciones hiperbólicas y sus inversas 30 Límite

Noción intuitiva 32 Definición de límite funcional 34 Límites laterales 34 Propiedades de los límites finitos 36

Límite para x → 0 de xxsen 38

Infinitésimos 40 Álgebra de infinitésimos 41 Álgebra de límites finitos 46

Generalización del concepto de límite 48 Continuidad Continuidad de una función en un punto 50 Álgebra de las funciones continuas 50 Continuidad lateral 51 Continuidad en un intervalo cerrado 51 Propiedades de las funciones continuas 52

Derivada de una función en un punto: Introducción

54

Derivada de una función en un punto: Definición

56

Interpretación geométrica 57 Recta tangente y normal al gráfico de una función en un punto

57

Relación entre continuidad y derivabilidad 60 Función derivada 61 Derivadas sucesivas 62

Derivadas

Reglas y fórmulas de derivación 63 72 Definición e interpretación geométrica 72 Derivación de funciones definidas en forma paramétrica

74

Diferencial

Derivación de funciones definidas en forma implícita

75

76 Crecimiento y decrecimiento 76 Relación entre el crecimiento y el signo de y ‘ 76 Extremos absolutos y locales 77 Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

78

Teorema de Rolle 79 Teorema del Lagrange ( o del Valor medio) 81 Teorema de Cauchy 82 Concavidad y convexidad. Punto de inflexión. 83 Relación entre la concavidad y el signo de y” 84 Estudio de Funciones 85 Problemas de máximos y mínimos 89

Propiedades de las funciones derivables

Regla de L‘Hospital 90 92 Definición. 94 Interpretación geométrica. Propiedades 94 Teorema del valor medio del cálculo integral 94 Función área. Teorema fundamental del cálculo integral

95

Concepto de primitiva. 96 Regla de Barrow 96

Integral definida

Funciones con derivadas iguales 97 97 Cálculo de áreas planas 97 Cálculo de área entre dos curvas 98

Aplicaciones de la integral definida

Cálculo de la longitud de un arco de curva 99 101 De primera especie 101

Integrales impropias

De segunda especie 102 Introducción 104 Polinomio de Taylor Deducción 107 Generalidades 110 Sucesiones Sucesiones acotadas, convergentes, divergentes y oscilantes

112

Generalidades 113 Series geométricas 113 Criterios de convergencia para series de términos positivos

114

Series alternadas .Criterio de Leibnitz 116

Series

Series de términos cualesquiera. convergencia absoluta y condicional

116

Generalidades 117 Sucesión de funciones Convergencia puntual y uniforme 118 Definición y propiedades 119 Serie de funciones Prueba M de Weierstrass 120 Definición. Lema de Abel 121 Radio e intervalo de convergencia 121

Serie de potencias

Series de Taylor y Mac Laurin 122

Análisis Matemático I- Números reales

1

NÚMEROS REALES • Introducción: Conjuntos numéricos Notación: Conjunto de números naturales: N= {1,2,3,....}, N0 ={0,1,2,3,...} Conjunto de números enteros: Z= {......,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Conjunto de números racionales: Un número es racional si y sólo si se puede escribir como cociente de dos números enteros tales que el divisor sea distinto de cero.

Q = pq

p Z q Z mcd p q/ { } ( , )∈ ∧ ∈ − ∧ =

0 1 = {fracciones} U Z

La expresión decimal de un número racional puede ser finita o infinita periódica. Ejemplos:

• 2 35235100

4720

, = = (expresión decimal finita)

• 2 353535 2 35 23599

198 3599

23399

, .... ,= = + =+

=∩

(expresión decimal periódica pura)

• 2 35555 2 35 235 3

902

3290

21645

90 1645

10645

, ... ,= = +−

= + = + =+

=)

(expresión decimal

periódica mixta) Se verifican las siguientes propiedades: 1)Entre dos números racionales siempre hay otro racional . (Se dice que Q es un conjunto denso) 2) A cada número racional le corresponde un punto de la recta, pero existen puntos en la recta que no se corresponden con ningún número racional. Por ejemplo, si se dibuja un triángulo rectángulo isósceles con cateto 1, su hipotenusa, por el

Teorema de Pitagóras, es 1 1 22 2+ = . Se puede probar que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros, luego no es un número racional. Sin embargo existe un punto en la recta que se corresponde con

2 . También podemos representar en la recta puntos que se correspondan con 3 , 5 , etc. Si intentamos obtener las cifras decimales de 2 , veremos que no se repiten periódicamen-te.

3

0 1 2


2

Aquí les presentamos 100 decimales de 2 , obtenidos con el programa Mathematica. 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727 Existen otros números cuya expresión decimal consta de infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Por ejemplo: Obtenemos 3 con 100 decimales 1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330169088000370811461867572485757

5 con 100 decimales 2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782275 π con 200 decimales 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 Conjunto de números irracionales: Los números que llevados a la forma decimal tienen infinitas cifras decimales que NO se repi-ten periódicamente no son racionales. Constituyen el conjunto de los números irracionales que indicaremos con I. Podemos demostrar, por ejemplo, que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros. Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos números enteros p y q ( q ≠ 0) tales que MCD(p,q)=1,( es decir: p

y q son primos entre sí ) y 2 =p

q ( fracción irreducible).

Elevemos al cuadrado ambos miembros. Se obtiene : 2 2.2

22 2= ⇒ =

p

qp q ⇒p2 es par

Pero si el cuadrado de un número es par, entonces el número en cuestión también lo es, es decir : p es par1 ⇒ existe un número entero m / p = 2m. Resulta p2 = 4 m2

Comparando las dos expresiones recuadradas se tiene: 2.q2 = 4 m2 ⇒ q2 = 2 m2.⇒ q2 es par ⇒ q es par.

1En efecto, si p fuese impar, existiría un número entero k / p = 2 k + 1, enton-ces sería: p2 = ( 2 k + 1 )2 = 4 k2 + 4 k + 1. Por lo tanto p2 sería impar. Absurdo


3

Sin embargo es absurdo que p y q sean pares porque en ese caso la fracción sería simplifica-ble, en contra de lo supuesto.El absurdo provino de suponer que 2 es racional. En conse-cuencia: 2 no es racional. Conjunto de números reales: R = Q U I Al representar los números reales sobre la recta , ésta queda totalmente “cubierta”. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. R también es un conjunto denso. • Valor absoluto o módulo de un número real:

Sea a ∈ R: | |aa s i a

a s i a=

≥

− <

0

0

El valor absoluto de un número real representa su distancia al cero. Propiedades: 1) |0|a:|Ra ≥∈∀

| a| = 0 ⇔ a=0 2) ∀ ∈ − ≤ ≤a R a a a: | | | | 3) ∀ ∈ ∀ ∈ + ≤ +a R R a b a b, : | | | | | | 4) ∀ ∈ ∀ ∈ − ≥ −a R R a b a b, : | | | | | | 5) ∀ ∈ ∀ ∈ =a R R a b a b, : | . | | | . | | 6) Si k ∈ R + : | |a k k a k≤ ⇔ − ≤ ≤ 7) Si k ∈ R + : | |a k a k a k≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − Para tener en cuenta:

a) ∀x ∈ R0+ x x2 = Conclusión:

b) ∀x ∈ R-: x x2 = − ∀∀x ∈∈ R : xnn = | x | si n es natural par.

c) ∀x ∈ R : x x33 =

∀∀x ∈∈ R : x nn = x si n es natural impar. Como sólo se puede simplificar exponente e índice de una raíz de índice par si se sabe que el radicando es no negativo, debemos recordar que:

MUY IMPORTANTE

son pares


4

Ejemplo:

x x x x x x x x2 2 2= = = = =. .

• Cota superior e inferior de un conjunto. Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k∈ R es una cota superior de A si y sólo si todos los elementos de A son menores o iguales que k. En símbolos:

k∈ R es cota superior de A⇔ ∀ ∈ ≤x A x k: La menor de las cotas superiores se llama supremo. Si pertenece al conjunto se dice que es un máximo Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k∈ R es una cota inferior de A si y sólo si todos los elementos de A son mayores o iguales que k. En símbolos: k∈ R es cota inferior de A⇔ ∀ ∈ ≥x A x k: La mayor de las cotas inferiores se llama ínfimo. Si pertenece al conjunto se dice que es un mínimo. ♦♦ Un conjunto es acotado si y sólo si está acotado superior e inferiormente. • Intervalos Como los números reales pueden ponerse en correspondencia con los puntos de una recta y recíprocamente, podemos interpretar que un segmento representa un conjunto de números reales. Si a ∈ R, b ∈ R y a < b, llamaremos intervalo cerrado a,b y lo indicaremos [a,b]al conjun-to de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Gráficamente un intervalo cerrado corresponde a un segmento. [a,b]={x ∈ R / a ≤ x ≤ b} También se han establecido nombres y notaciones para otros conjuntos de números reales: Nombre Notación Definición Representación Intervalo abierto a,b (a,b) { x ∈ R / a < x <b}

a b

Como x2 ≥0, resulta |x2 |= x2

Definición de cuadra-do

El módulo de un pro-ducto es = al producto de los mó-dulos

Definición de cuadra-do

Puedo simplificar exponente e índice porque el radicando es no negativo

( a

) b


5

Intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda

[a,b) { x ∈ R / a ≤ x <b}

Intervalo semiabierto a izquier-da o semicerrado a derecha

(a,b] { x ∈ R / a < x ≤b}

El concepto de intervalo se generaliza para representar semirrectas con o sin su origen Notación Definición Representación [ a , +∞ ) { x ∈ R / a ≤ x }

( a , +∞ ) { x ∈ R / a < x }

(- ∞ , b] { x ∈ R / x ≤ b }

(- ∞ , b) { x ∈ R / x < b }

Observaciones: • El símbolo “∞” se lee “infinito” y no representa un número, sino que está indicando que el

conjunto no está acotado. Cuando se escribe “+∞” se está expresando que dado un nú-mero cualquiera, en el conjunto hay otro mayor. Si se escribe “-∞”, se quiere indicar que dado un número cualquiera, en el intervalo hay uno menor.

♦♦ En “∞”, el intervalo siempre es abierto ♦♦ El conjunto de números reales, que se identifica con la recta, también puede escribirse

como un intervalo: R = ( - ∞ , + ∞ ) • Distancia en R: Dados en la recta dos puntos A y B de abscisas a y b respectivamente la distancia entre A y B es el valor absoluto de la diferencia entre a y b A B d(A;B)= |b - a| | | a b • Propiedades La distancia es una “función” que le asigna a cada para de puntos un número real que cumple con las siguientes condiciones: i) La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio es no negativa . ∀A,∀B:( A∈R∧ B∈R⇒d(A,B) ≥0 ) ii) La distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos son coincidentes.

( a

( a

a

b

a

b

) b

) b


6

∀A,∀B:( A∈R∧ B∈R ⇒ [d(A,B)=0 ⇔ A = B] ) iii) Verifica la propiedad simétrica. ∀A,∀B: (A∈R∧ B∈R ⇒ d(A,B)= d(B,A) ) iv) Verifica la propiedad triangular. (∀A,∀B, ∀ C : A∈R∧ B∈R ∧C∈R ⇒ d(A,B) + d(B,C) ≥ d(A,C)


7

• Entorno de un punto: Si a es un punto de un se llama entorno simétrico de a de radio o amplitud δδ al conjunto de puntos de la recta que se encuentran a una distancia de a menor que δδ (////|////) a-δδ a a+δδ E(a;δδ) ={x εε R /d(x;a) < δδ }={ x εε R /| x - a | < δδ}={x εε R/ -δδ < x-a <δδ } Resulta: E(a;δδ)= { x εε R/ a -δδ < x < a+δδ }= (a -δδ ;a+δδ) Un entorno es siempre un intervalo abierto. Además cualquier intervalo abierto puede escri-birse como un entorno cuyo centro es el punto medio del intervalo y cuyo radio es la distancia entre un extremo y el centro. El centro se obtiene como semisuma de los extremos y el radio como semidiferencia.

(a, b ) = E b a b a+ −

2 2;

• Entorno reducido:

Es el entorno sin su centro

E’(a;δδ)=E(a; δδ)- {a}= { x εε R / d(x;a) < δδ ∧∧ x≠≠a} E’(a;δδ)= { x εε R / d(x;a) < δδ ∧∧ d(x;a)≠≠0}={ x εε R / 0<d(x;a) < δδ } E’(a;δδ)={ x εε R / 0 < | x - a | < δδ} • Clasificación de puntos de un conjunto Sea C ⊆ R I.- a es punto interior de C si y sólo si existe al menos un entorno de a totalmente incluido en C En símbolos: a es punto interior de C ⇔ ∃ δ >0 / E(a ; δ)⊆ C Al conjunto de puntos interiores de C lo indicamos Co . Un conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. C es abierto ⇔ C = Co

(\\\ \\\ a- δ a+ δ

)

por definición de dis-tancia

aplicando prop. de módu-lo

Análisis Matemático I- Números reales 8

II.- a es punto exterior a C si y sólo si existe un entorno de a al que no pertenece ningún elemento de C.

a es punto exterior a C⇔⇔ ∃δ > ∩ =0 / E ( ; ) Ca δ φ III.- a es punto frontera de C si y sólo si no es interior ni exterior. Frontera de un conjunto es el conjunto al que pertenecen todos los puntos frontera del mis-mo. IV.- a es punto aislado de C si y sólo si a ∈ C pero existe un entorno reducido de a al que no pertenecen puntos de C.

a es punto aislado de C ⇔⇔ a ∈∈ C ∧ ∃δ > ∩ =0 / ' ( ; )E Aa δ φ V.- a es punto de acumulación de C si y sólo si cualquier entorno reducido de a tiene intersección no vacía con C. En símbolos:

a es punto de acumulación de C ⇔∀ δ >0 ,E’( a; δ) ∩ C ≠≠ φφ Al conjunto de puntos de acumulación de C , lo llamamos conjunto derivado de C y lo indica-mos C’. Un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación. En símbolos:

C es cerrado ⇔ C’ ⊆ C . Ejemplo: Consideremos C = { x ε R/ | x - 2 | < 3 v x=7} Veamos cómo podemos representar al conjunto: | x - 2 | < 3⇒ -3 < x-2 < 3⇒ -3 + 2 < x < 3 + 2 ⇒ -1 < x < 5 Es decir: C = { x ε R/-1<x<5 v x = 7} Co = {x ε R/ -1 < x < 5} FC = {-1,5,7} 7 es punto aislado C ’= [ -1, 5] El conjunto no es abierto ni cerrado. • Concepto de función:

( -1 C 5 7

•


9

Ejemplo: Como todos sabemos muchos satélites artificiales giran en torno a la Tierra. Para colocarlo en órbitas distintas es necesario poder predecir dónde se encontrarán en un cierto momento. Una de las fórmulas que se utilizan para conocer la posición de un satélite en un instante dado, vincula la distancia en kilómetros que existe entre su órbita y la corteza terrestre con el tiempo en horas que tarda en dar una vuelta completa Dicha fórmula

es:h t= −10000 013 650023. , . Este es el gráfico:

El enunciado vincula mediante una fórmula y un gráfico dos magnitudes:altura - tiempo. También se podría haber mostrado la misma vinculación en una tabla o en un diagrama. Cualquiera de estos recursos nos permite relacionar dos variables: altura y tiempo. El tiempo es la variable independiente mientras que la altura es la dependiente. La variable indepen-diente en este caso puede tomar cualquier valor, por ejemplo, entre las 0 horas de un día y las 24 horas del mismo día. (Se podrían considerar intervalos de tiempo mayores o menores que ese). En cada instante, durante el día en cuestión, puede saberse a qué altura se encuentra el saté-lite. por otra parte esa altura, en cada caso, es única. Decimos que la altura es función del tiempo Para generalizar esta idea definimos el concepto de función.

Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B, no vacíos, y un conjunto “f” de pares orde-nados (x;y) tales que x es elemento de A e y es elemento de B .

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

t (en horas)

h (e

n m

iles

de k

m)


Decimos que f es una función de A en B si y sólo si a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.(Se escribe: f:A→B) En símbolos: f:A→ B es función ⇔ f⊆ AxB ∀ x ε A,∃ y ε B / (x;y)ε f (Existencia de la imagen) (x;y1)ε f ∧ (x;y2)ε f⇒ y1 = y2 (Unicidad de la imagen)

Trabajaremos con funciones en las que A y B son subconjuntos de R. Se llaman funciones escalares A es el dominio de la función y B su codominio. Los elementos de A son los posibles valores de la variable independiente que en general suele designarse con “x” y representarse sobre el eje de abscisas ( horizontal). Para indicar que en la función “f” , al elemento “x” le corres-ponde el elemento “y” de B, se escribe “y = f(x)” que significa que y es la imagen de x según la función f. El conjunto de todas las imágenes se llama conjunto imagen. (Im(f)).

• Clasificación de funciones Consideremos una función f : A→ B a) f es inyectiva o 1-1 si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O bien, si y sólo si las imágenes de dos elementos son iguales entonces, esos elementos también lo son. En símbolos: f: A→ B es inyectiva ⇔ ∀ ∀ = ⇒ =x x f x f x x x1 2 1 2 1 2, :[ ( ) ( ) ] Ejemplos: 1) f: R→R+

0/ f(x) = x2 no es inyectiva pues f(1) = f(-1) pero 1 ≠ -1

Una restricción adecuada del dominio permite convertir una función que NO es inyectiva en una inyectiva: 2) f * : R0

+→R/ f(x) = x2

x

y


11

b) f es sobreyectiva o suprayectiva si y sólo si todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A. Es decir , el conjunto imagen coincide con B. En símbolos : f: A→ B es sobreyectiva ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =y B x A y f x, / ( ) Si nos referimos a los ejemplos anteriores, podemos decir que la primera función es sobre-yectiva pues cualquier número real positivo es cuadrado de dos números reales y el cero es el cuadrado de cero. Es decir, en el ejemplo 1 se definió f: R→R+

0 y resulta Im(f) = R+0

Si se define f **: R→R , si bien el gráfico no se modifica, la función no sería sobreyectiva ya que no existe ningún número real tal que su cuadrado sea por ejemplo, igual a -1. c) f: A→ B es biyectiva ⇔ f es inyectiva y f es sobreyectiva. Ninguna de las funciones de los ejemplos anteriores es biyectiva. Para que lo sea deberemos restringir al mismo tiempo dominio y codominio. Por ejemplo: f R R f x x1 0 0 1

2: / ( )− +→ = es sobreyectiva. En efecto: i) f1 es inyectiva

Sean x1 ∈ R0- Λ x2 ∈ R0

- /f 1(x1)= f 1 (x2) ⇒ = ⇒ =x x x x12

22

12

22 ⇒ =x x1 2

Como x1 ∈ R0

- Λ x2 ∈ R0- , sus módulos son iguales a sus opuestos es decir: - x1 = - x2

Luego x1 = x2 , de donde f1 es inyectiva. ii) f1 es sobreyectiva.

x

y f * es inyectiva. En efecto: Sean x1 ∈ R0

+ Λ x2 ∈ R0+ /

f *(x1)= f *(x2)

⇒ = ⇒ =x x x x12

22

12

22 , como

las bases en los radicandos de ambos miembros son NO negativas, es válida la simplificación de exponente e índice, entonces resulta: x1 = x2 y por lo tanto f* es inyectiva. También resultaría inyecti-va si se tomase como domi-nio R- 0 .


Sea y R y x y x x y x y∈ = ⇒ = ⇒ = ∨ = −+0

2/ | | (Existe pues y ∈ +R 0 )

Si tomamos x R x y∈ = −−0 / , resulta f1(x) = f1( ( )− = − =y y y)

2

Hemos probado que: ∀ ∈ ∃ = − ∈ =+ −

y R x y R y f x0 0 1, / ( ) , por lo tanto f1 es sobreyectiva De i) y ii) se tiene f1 biyectiva

y

x

Análisis Matemático I: Funciones

13

• Composición de funciones Ejemplo: Consideremos dos funciones f:A→B y g:B→C definidas a través de estos diagramas Podemos pensar en una función h:A→C / h(x)=g[f(x)] Es decir , la función h podría representarse así: La función h es la “composición” de f con g. Se escribe: g 0 f

Definición: Dadas dos funciones f:A→B y g:B→C, se llama función compuesta a la función g 0 f definida de A en C tal que g 0 f(x) = g[f(x)]

Observación: Para que la composición sea posible es suficiente que Im(f)⊆ D(g). Con restricciones adecuadas, también puede aplicarse la misma idea si Im(f)∩D(g)≠φ Veamos algunos ejemplos: 1) Sea f:R→R/ f(x) = 2x + 1 y g: R→R/ g(x) = x2 Como Im(f) = D(g), puede definirse la función g0f:R→R/ (g0 f)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2 Como Im(g) = R D f0

+ ⊂ ( ) , también puede definirse: f0 g: R →R/ (f 0 g )(x)=f[g(x)]=f(x2 )=2x2 +1. Con este ejemplo podemos concluir, además ,que la composición de funciones no es conmutati-va. 2) Sea f :R R f x x

+ → =/ ( ) ln y g: R R g x x0+ → = −/ ( )

Observamos que Im(f)= R , mientras que Im(g)= (-∞ ,0] Resulta que como Im(f)∩D(g)≠φ, el dominio de g0 f será aquel subconjunto del D(f) tal que su imagen por f sea (-∞, 1]; es decir aquellos números reales cuyo logaritmo natural sea mayor o igual que 1. Si lnx ≥ 1⇒ x≥ e.

A B C f g

•a

•b

•c

•1

•2

•m

•n •d •3

A

•d

•c •b

•a

C

•n

•m

h

Análisis Matemático I: Funciones 14

Entonces podemos definir: g0 f: [e,+∞)→R/ (g0 f) (x) = g[f(x)]= - lnx En cambio, como Im(g)∩D(f) = φ , la composición f0 g no puede realizarse. • Función identidad Dado un conjunto A no vacío, se llama “identidad en A” a la función IdA:A→A / IdA(x)=x, es decir que a cada elemento de un conjunto le asigna como imagen el mismo elemento. Si f es una función de A en B, se cumple que f 0 IdA = f , y IdB 0 f = f . Definida de R en R , la identidad es y = f(x) = x • Función inversa Dada una función f:A→B , se dice que tiene función inversa ( se escribe f -1) si y sólo si existe una función de B en A / f0 f -1= IdB y f -1 0 f = Id A

Observación importante: La condición necesaria y suficiente para que f -1 sea función es que f sea biyectiva.

Obtención de la función inversa Consideremos f: R→R/ f(x) = x3 + 1. Es sencillo deducir del gráfico que esta función es biyectiva:

Representamos a continuación, en un mismo gráfico la función y su inversa:

x

y

Si f: R→R es biyectiva, entonces

existe f R R x f y− −→ =1 1: / ( ), donde

ahora x representa la imagen e y un elemento del dominio. Si ( 2;9) pertenece a f , entonces

(9;2) pertenece a f−1

Si y = x3 + 1⇒ = −x y 13 . Para evitar problemas en la repre-sentación gráfica hacemos un cambio de nombre a las variables: como en la función inversa x representa imágenes, la anotaremos como y; co-mo y indica un elemento del domi-nio, lo reemplazaremos por x. Entonces:

f R R y f x x− −→ = = −1 1 3 1: / ( )


15

f

f -1

y

x

Observamos que, si se utiliza la misma escala sobre los dos ejes, los gráficos son simétricos respecto de la recta y = x. Además las curvas , si se cortan, lo hacen sobre dicha recta. Resulta sencillo comprobar que la función inversa también es biyectiva. Si una función NO es biyectiva , para obtener su función inversa deben restringirse dominio y/o codominio hasta transformarla en biyectiva. Por ejemplo , si se desea obtener la función inversa de f:R→R/ f(x) = x2 , deberemos restrin-gir dominio y codominio (tal como se vio en pág.12) para transformarla en biyectiva. Es de-cir, definimos f1 :R R f x x0 0 1

2− +→ =/ ( ) . Ya probamos que así definida, resulta biyectiva. En-

tonces existe f R R11

0 0− + −→: / x = f y1

1− ( ) Si y = x2 , entonces | x |= y x y x y⇒ = ∨ = − . Como x∈ ⇒ = −−

R x y0 Para facilitar la representación , cambio de nombre las variables y resulta que: f R R f x x1

10 0 1

1− + − −→ = −: / ( ) Veamos la representación de ambas funciones: Se observa, como en el caso anterior, simetría respecto de la recta y = x

f(x)

x 2 4 6 8 1010-2-4-6-8-10-10

2

4

6

8

1010

-2

-4

-6

-8

-10-10

f

f-1

. Análisis Matemático I: Funciones 16

• Estudio de algunas funciones particulares 1. - Función lineal f:R→ R es una función lineal sí y sólo sí f(x) = m x + b. m= pendiente b= ordenada al origen. Excepto las rectas paralelas al eje y que tienen ecuación x = cte., las demás responden a una función lineal. Si m=0, la recta es paralela al eje x. Las rectas paralelas al eje y no representan funciones, ya que a un mismo elemento del domi-nio le corresponderían infinitas imágenes. La ecuación de tales rectas responde a la forma x= k. Excepto las funciones lineales de pendiente 0, las restantes son biyectivas y por lo tanto tienen inversas, que también son funciones lineales. En efecto: Consideremos f: R→R/f(x)=y = mx + b con m≠0 Es fácil ver que f es biyectiva, entonces existe f –1: R→R, también biyectiva. Para obtenerla cambiamos el nombre a las variables ya que lo que en la directa se representa en el eje de abscisas, en la inversa se representa sobre el eje y

x=my+b⇒ x-b = my ⇒mb

xm

y −⋅=1

Es decir: f –1: R→R/ f-1 (x)= mb

xm

−⋅1

Busquemos la función inversa de : R→R/f(x)=-2x +5.

Como m = -2 y b=5, resulta que f –1: R→R está definida por: f-1 (x)=m

x5

21

−−

Representamos ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos: 2. - Función cuadrática f:R→ R es una función cuadrática sí y sólo sí f(x) = a x2 + b x + c (a≠0)

f(x)

y=f –

1(x)

y=x

y=f(x)

Si m > 0, la recta forma un ángulo agudo con el semieje positivo de las x. Si m < 0, la recta forma un ángulo obtuso con el semieje positivo de las x

f(x)

x10-10

10

-10

y = 2 x + 5

52

4

f(x)

x10-10

10

-10

24

4

y = - 2 x + 4

. Análisis Matemático I: Funciones

17

Casos particulares: i)Representaremos funciones del tipo f: R→R de la forma f(x) = a x2 (a≠0), con el objeto de determinar el “efecto” que produce el coeficiente “a”.

ii) Analizaremos funciones del tipo β+=→ 2axR/f(x)R:f

Al introducir un término independiente, la curva experimenta traslaciones sobre el eje “y”. iii) Las funciones de la forma ( )2xa)x(f/RR:f α−=→ están desplazadas sobre el eje “x”.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x

y

y=x2

y=2x2 Vértice V=(0;0) Eje de simetría: x=0 Conjunto imagen: a>0⇒Im(f)= +

0R

a<0⇒Im(f)= −0R

Si f1(x)= a1x2 y f2(x)=a2x2, siendo |a1|<|a2|, entonces el gráfico de f1 es más “abierto” que el

2x2

1y

−= 2xy −=

-4-202468

101214

-4 -2 0 2 4

x

y

f1(x)=x2+3

f2(x)=x2

f3(x)=x2-2

Vértice : Conjunto imagen:

Para f1 : V=(0;3) Im(f1)=[3,+∞)

f2 :V=(0;0) Im(f1)= [0,+∞)

f3 :V=(0;-2) Im(f1)=[-2,+∞)

Eje de simetría: x=0

x

f3(x)=-(x2+2)

y

Vértice : Para f1 : V=(1;0) f2 :V=(0;0) f3 :V=(-2;0) Conjunto imagen: Im(f1)=Im(f2)= [0,+∞)

y

x

20

40

60

80

f2(x)=x2

. Análisis Matemático I: Funciones 18

iv)El caso general, expresado en su forma más simple, canónica, responde a la expresión: βα +−=→ 2)x(a)x(f/RR:f . Esta parábola tendrá su vértice en (α;β), su eje de simetría en x=α y su conjunto imagen será [β,+∞), si a>0, o bien (-∞,β]. Por ejemplo: f: 3)1x(2)x(f/RR 2 ++−=→ Si efectuamos las cuentas indicadas obtenemos: En el ejemplo: y= -2(x+1)2 + 3, desarrollando el cuadrado y= -2(x2+2x +1)+3 y= -2 x2 - 4x –2 +3 y= -2 x2 - 4x +1

En general: y= a(x-α)2 + β del binomio se tiene y=a(x2 -2αx + α2)+ β y= a x2 -2aαx +a α2+ β y= a x2 -2aαx +(a α2+ β)

Si la función viene dada por su forma general NO canónica, ¿ cómo la llevamos a la forma más simple? Deberemos “deshacer” las cuentas que acabamos de realizar:

y

x10-10

10

-10

f1(x)=(x+1)2

f3(x)=-(x+2)2

. Análisis Matemático I: Funciones

19

En el ejemplo: En general: y= -2 x2 - 4x +1 y= a x2 -2aαx +(a α2+ β) Extraemos como factor común entre el término cuadrático y el lineal, el coeficiente de x2: y=-2(x2 +2x) +1 y=a(x2 -2αx) +(a α2+ β) Dentro del paréntesis, sumamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: y=-2(x2 +2x + 1 – 1) +1 y=a(x2 -2αx + αα2 - αα2 ) +(a α2+ β) Los tres primeros términos del paréntesis corresponden a un trinomio cuadrado perfecto: y=-2[(x+1)2 –1] +1 y=a[(x-α)2 -αα2 ] +(a α2+ β) Aplicamos propiedad distributiva: y=-2(x+1)2 +2+1 y=a(x-α)2 – a αα2 +(a α2+ β)

y = - 2 (x+1)2 +3 y= a(x-α)2 + β


Definidas de R en R , las funciones cuadráticas NO son biyectivas. Sin embargo puede traba-jarse con restricciones del dominio y codominio de tal forma que se transformen en biyecti-vas y sea posible calcular las inversas de las funciones que se obtienen mediante la restric-ción. Ejemplo: Trabajaremos con la función del ejemplo anterior Ya hemos obtenido su expresión canónica: f: 3)1x(2)x(f/RR 2 ++−=→ Podemos obtener dos funciones biyectivas:

3)1x(2)x(f/]3,(),1[:f

y,3)1x(2)x(f/]3,(]1,(:f

222

211

++−=−∞→+∞−

++−=−∞→−−∞

Existen, por lo tanto, ),1[]3,(fy]1,(]3,(:f 1

:21

1 +∞−→−∞−−∞→−∞ −− .

Para encontrar sus fórmulas partimos de : 3)1x(2y 2 ++−= Cambiamos el nombre de las variables: 3)1y(2x 2 ++−=

Despejamos y: 2)1y(2

3x +=−−

2

x31yv

2

x31y

2

x3|1y|

−−=+−=+⇒−=+

Si trabajamos con f1 , dbemos obtener imágenes menores o iguales que –1, por lo tanto:

2

x31y

−−−= .

Es decir, la función inversa de f1 es:2

x31)x(f/]1,(]3,(:f 1

11

1−−−=−−∞→−∞ −− ,

y la función inversa de f2 es : 2

x31)x(f/),1[]3,(:f 1

21

2−+−=+∞−→−∞ −−

3.- Función homográfica

f(x)

x10-10

10

-10

y=x

11f −

1f

f(x)

x10-10

10

-10

y=x

12f −

2f


21

f: A→R, con A⊂R es homográfica si y sólo si f(x)=dcx

bax

++

, con )dcx(kbax0c +≠+∧≠

(Las condiciones que se imponen obedecen a que en caso de no cumplirse, la función se redu-ce a una función lineal)

Para que el cociente pueda realizarse, debe ser : 0dcx ≠+ ,

−−=⇒c

dRA

Como en el caso de la función cuadrática, analizaremos distintos casos particulares hasta llegar al más general.

a) { }x

a)x(f/R0R:f =→− ; Im(f)= R-{0}

Independientemente del valor de a, la curva tiene asíntota vertical: x=0 y asíntota horizontal: y = 0. Para reconocer en qué influye “a”, representaremos :

x

4)x(f;

x

1)x(f 21 == ;

x

1)x(f;

x

5,0)x(f 43 −=−=

y

x

10-10

10

-10

f1

y

x10-10

10

-10

f2

y

x10-10

10

-10

f3

y

x10-10

10

-10

f4

Análisis Matemático I:Funciones

22

Observamos que el signo de a determina en qué cuadrantes están las dos ramas de la curva : a >0⇒ el gráfico en cuadrantes 1 y 3

a<0⇒ el gráfico en cuadrantes 2 y 4 Además, a mayor valor absoluto de “a”, la curva crece o decrece menos “abruptamente”

b)α

α−

=→−x

1)x(f/R}{R:f

Representaremos : 4x

1)x(fy

4x

1)x(f 21 +

=−

=

Observamos que la curva experimenta una traslación sobre el eje x, por lo que cambia sus asíntotas verticales.

c) f: β+=→x

1)x(f/RR

En este caso,la traslación es sobre el eje y. La asíntota horizontal es y =β. El conjunto imagen es Im(f)= R-{β }. Veamos algunos ejemplos: d)El caso general , en su forma canónica, responde a la

expresión:α

ββα−

+=−→−x

a)x(f/}{R}{R:f , que tiene por asíntota horizontal: y=β, y

por asíntota vertical: x=α.

f y

x10-10

f1

f2

4-4

Para f2, la asíntota vertical es x=-4 El dominio es A=R{-4}

Para f1, la asíntota vertical es x=4 El dominio es A=R -{4}

y

x10-10

10

-10

f1

3

x

12)x(f;

x

13)x(f 21 +−=+=

y

x10-10

10

-10

f2

-2


23

Ejemplo:2x

34)x(f

−−= (1)

Si operamos resulta que f(x)=2x

11x4

2x

3)2x(4

−−=

−

−− (2)

Cabe preguntarse entonces, cómo se obtiene la forma canónica si la función viene dada en su forma más general. En el ejemplo, equivale a preguntarse cómo se pasa de (2) a (1). Haremos la división de los polinomios y expresaremos la fracción como la suma entre el cociente y el resto sobre el divisor.

4 x – 11 x-2 ⇒ 2x

34

2x

11x4

−−=

−−

-4x + 8 4 0x -3 4.- Función exponencial

RR:f → es una función exponencial si y sólo si responde a la forma :f(x)= ax con a>0 y a≠ 1 (Con la condición a>0 se evitan situaciones tales como (-4)1/2 , y con a ≠ 1, tratar una función constante como si fuese una exponencial) Características generales: - Cualquiera sea a ( siempre que cumpla con las condiciones pedidas), f(0)=1 - Si a > 1: )]x(f)x(fxx[:x,x 212121 <⇒<∀∀ , es decir, f resulta estrictamente

creciente. (Pensar que, por ejemplo: 32 22 < )

y

x10-10

10

-10

f

2

3


24

Si 0<a<1: )]x(f)x(fxx[:x,x 212121 >⇒<∀∀ es decir, f resulta estrictamente decreciente

- Dadas dos funciones exponenciales xx b)x(gya)x(f == , si a< b, para un mismo

valor de x, resulta : Bases x>0 x<0

mayores que 1 f(x)<g(x) f(x)>g(x)

entre 0 y 1 f(x)>g(x) f(x)<g(x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

f(x)=2x

x

21)x(f

=

Análisis Matemático I :Funciones

25

5.- Función logarítmica Definida de R en R+, la exponencial f(x) = ax con a > 1 y a≠ 0, por lo tanto existe f –1 , definida de R + en R . Para obtenerla cambiamos el nombre de las variables en y = a x , es decir , escribimos: x = a y . Luego despejamos “y”. “y” es el exponente al que hay que elevar a para obtener “x” y = loga x Resulta que llamamos función logarítmica a la función f: ,xlog)x(f/RR a=→+ con a > 0 y a≠ 1 ( porque es la misma “a” que es base de la función exponencial) Las características del gráfico de la función logarítmica dependen de que la base sea mayor que 1 o que esté comprendida entre 0 y 1, y surgen pensando en la simetría que existe entre una función y su inversa.

6.- Funciones circulares o trigonométricas

y = l o g o ,5 x

x

y = ( 0 , 5 ) x

y

y = l o g2 x

y = 2 x

x

y

Análisis Matemático I :Funciones 26

Presentaremos las tres más usadas. a) f: xsen)x(f/RR =→ b) f: xcos)x(f/RR =→

c)f:A→R/f(x)= tg x ; A={x }

2).1k2(x/R π+≠∈

y

x

1

- 1

y

x

11

-1-1

Análisis Matemático I :Funciones

27

• Características de las funciones: Las funciónes y = sen x e y = cos x son acotadas . (Imf =[-1,1] ); periódicas con período 2π. La primera es impar (senx=- sen(-x),∀x), y la segunda par (cosx=cos(-x),∀x). La función tangente No es acotada ( su conjunto imagen es R), es impar y periódica con periódo π.

Fórmulas usuales de trigonometría:

Zkcon,2).1k2(a,1agcot.atg

Zkcon,2

).1k2(a,1asec.acos

Zkcon,ka,1aeccos.asen

1acosasen 22

∈π+≠∀=

∈π+≠∀=

∈π≠∀=

=+

Zkcon,ka,aeccosagcot1

Zkcon,2

).1k2(a,asecatg1

Zkcon,2

).1k2(a,atgacos

asen

22

22

∈π≠∀=+

∈π+≠∀=+

∈π+≠∀=

2

a2cos1asen

2

a2cos1acos

2

qpsen.

2

qpsen2qcospcos

2

qpcos.

2

qpcos2qcospcos

2

2

−=

+=

−+−=−

−+=+

y

x

( )

2

qpcos.

2

qpsen2qsenpsen

asenacosa2cos

acos.asen2a2sen

bsen.asenbcos.acosbacos

bsen.acosbcos.asen)basen(

22

µ

µ

±=±

−=

=

=±

±=±


7.- Funciones circulares inversas a) Función Arco seno Definida de R en R , la función y = sen x no es inyectiva ni sobreyectiva, pero puede transformarse en biyectiva con sólo restringirla de [- π/2, π/2] en [-1,1]. Por lo tanto podemos definir su función inversa de [-1,1] en [- π/2, π/2]. Si y = senx, cambiamos el nombre de las variables: x = sen y . Para despejar “y”debemos definir una nueva función:

“y” es el arco cuyo seno es “ x”

“y” = arc sen “x”

A continuación mostramos los gráfico de ambas funciones y el de la recta y=x respecto de la cual son simétricos

Con el mismo criterio se define como inversa de f:[0, π ] →[-1,1]/f(x) = cos x, a : f- -1:[-1,1]→[0, π]/ f- -1 (x)=arc cos x.

y

y = s e n x

x

y = a r c s e n

x


29

Para que la tangente admita función inversa hay que considerarla definida de en R. Su inversa, y= arc tg x se define de R en (-π/2,π/2)

y

x

y = a r c c o s x

y = c o s x

y = t g xy

x

y = a r c t g x


8.- Funciones hiperbólicas Veremos sólo tres:

a) Sh:2

eeShx)x(f/RR

xx −−==→

b) Ch: 2

eeChx)x(f/RR

xx −+==→

c) Th: xx

xx

ee

eeThx)x(f/RR −

−

+−==→

Shx es biyectiva de R en R, por lo tanto admite inversa. Si Shx se expresa a partir de exponenciales, es lógico pensar que su inversa , que se llama “Argumento Sh x”, puede expresarse a partir de logaritmos. y= Shx

y2Ch4

ee.e2e

4

|ee.e2e4x1

4

ee.e2ex

2

eexShyx

2y2yyy2y2yyy22

y2yyy22

yy

=++

=+−+

=+

+−=⇒

−=⇒=⇒

−−−−

−−−

Resulta: x= 2

ee yy −− Sumando miembro a miembro

]x[ArgShx1xln[yex1x 2y2 =++=⇒=++

y 2

eex1

yy2

−+=+

Relaciones usuales

Chx

ShxThx

x2ChxShxCh

1xShxCh

22

22

=

=+

=−

y y = S h x

y = A r g S h xx


31

x

y = A r g C o s h x

y = C h x

y

Análisis Matemático I: Límite

32

• Una noción intuitiva del concepto de límite: Se utilizan funciones para describir procesos o fenómenos de índole muy diversa. Es muy común volcar en gráficos resultados experimentales y unir los puntos obtenidos mediante curvas de aproximación que, en general, resultan asociadas a fórmulas conocidas. De ahí la importancia de saber analizar el comportamiento de un gráfico. El cálculo de límites, que históricamente es posterior al concepto de derivada o integral en los que está incluido, es una de las herramientas que proporciona el Análisis Matemático para el conocimiento de algunas características de los gráficos. En tanto hablamos de un “comportamiento” de un gráfico, al calcular un límite puede darse una de estas situaciones: a) que sea un número ( límite finito), quesea, en valor absoluto, ma-yor que cualquier número positivo que se nos ocurra (límite infinito), o que no podamos defi-nir el comportamiento ( no existe límite) Un ejemplo:

Consideremos la función f:1x

1x)x(f/RAcon,RA

3

−−=⊂→

Es obvio que A = R –{1} y que 1 es punto de acumulación de A. Nos interesa preguntarnos si, a pesar de no existir f(1) podemos saber a qué valor se “acer-can” las ordenadas de f(x), si es que se acercan a alguno, cuando x se “aproxima” a 1. A continuación mostramos una tabla de valores y el gráfico de la función. Tabla

x 1.25 1.1 1.01 1.001 1 0.999 0.99 0.9 0.5

f(x) 3.813 3.310 3.030 3.003 ? 2.997 2.970 2.710 2.313

Tanto el gráfico como los cálculos parecen mostrar que a medida que nos acercamos a “1” con las “x”, las ordenadas de la función se acercan a “3”.

y

x0.5 1.0 1.5 2.0 2.52.5-0.5-0.5

0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.56.5


33

Para mostrar esta situación, escribiremos: 31x

1xlím)x(flím

3

1x1x=

−−=

→→.

Pero...¿cada vez que calculemos un límite deberemos hacer una tabla como la que mostramos o representar la función? . No parece muy cómodo. Veamos un procedimiento posible de cálculo: Si factorizamos el numerador de f(x) , podemos escribir:

f(x)=1x

)1xx)(1x(

1x

1x 23

−++−=

−−

La función que se obtiene al simplificar (x-1) en el numerador y el denominador NO es igual a f(x), por que tiene distinto dominio. En efecto , esa función es: g: 1xx)x(g/RR 2 ++=→ Sin embargo, el único punto en el que difieren es para x = 1. Como al calcular un límite no nos interesa los que ocurre en el punto sino en sus proximidades, es lícito escribir:

3)1xx(lím1x

)1xx).(1x(lím)x(glím)x(flím 2

1x

2

1x1x1x=++=

−++−⇒=

→→→→

Observación: 1xsisólo,11x

1x ≠=−− , por eso la palabra límite nos autoriza a simplificar..

Entonces, al decir que el límite de f(x) es 3, cuando x tiende a 1, estamos afirmando que la función se “aproxima” a 3, cuando x está “cerca” de 1. Como las palabras entre comillas resultan ambiguas, deberemos ser más precisos con la ex-presión. Aproximarse o acercarse significa acortar distancias, es decir hacerlas menor que cualquier número positivo ya que las distancias no pueden ser negativas. (Recordemos que distancia entre dos puntos a y b de una recta es | b-a|) Podemos encarar ahora la definición formal de límite funcional finito para variable finita. Límite funcional: (límite finito-variable finita) . En símbolos

Para factorizar x3-1, buscamos una raíz: x3-1=0 ⇒x=1 Aplicamos Ruffini para dividir x3-1 por x-1

1 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 0 Entonces: x3-1=(x-1).(x2+x+1)

Consideremos una función f: A →R / y = f(x) con A ⊆R y también el punto xo , punto de acumulación de A Decimos que

lx xo

límf x l→

=( ) si y sólo si para cualquier nú-

mero positivo ε, es posible determinar otro número positivo δ que dependa de ε, tal que todos los valores de "x" perte-necientes al dominio de f y a un entorno reducido de xo de amplitud δ tengan su imagen a una distancia de "l" menor que ε.

f(x)

λλ−ε

x x0-δ x0

xxx0+δ

y

x

λλ ++ εε

λλ


34

]|l)x(f|),x('ExAx[:x/0)(,0l)x(flím 0xx 0

ε<−⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔=→

Veamos además, que existen sólo dos "formas" de acercarse a xo, por derecha o por izquierda. Estos dos "caminos" permiten definir el concepto de "límite lateral". Si los límites laterales existen y son distintos, no existe límite. Si en cambio, son iguales , el límite existe y es igual a ambos. Límites laterales Definición Considero una función f:A→R, con A⊆ R, y x0 punto de acumulación de A.

Decimos que el límite para x→x0 por la derecha es λλd si y sólo si para cualquier ε >0 es posi-ble determinar un semientorno reducido de x0, con x > x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una

distancia de λλd menor que ε. En símbolos:

]|)x(f|oxxoxAx[:x/0)(,0

xx

)x(flím

0

ε<−⇒δ+<<∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔=+→

dldl

Con el mismo criterio podemos definir límite por la izquierda:

Decimos que el límite para x→x0 por la izquierda es λi si y sólo si para cualquier ε >0 es posi-ble determinar un semientorno reducido de x0, con x < x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una

distancia de λi menor que ε. En símbolos:

y

x

λ d + ε f(x)

λd d

x0 x

x0 +δ

x0-δ x x0

y

x

λ i

f(xλ i -ε


35

]|)x(f|oxxoxAx[:x/0)(,0xx

)x(flím

0

ε<−⇒<<δ−∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔=−→

ilil

Por ejemplo: Consideremos la función “parte entera de x”que se simboliza [x]. La parte entera de un número real es el menor de los números enteros entre los que está comprendido. Es decir: [1,3]=1 ; [0,6]=0; [-2,3]=-3; [-π ]=-4 Al representar gráficamente, obtenemos:

0]x[lím

1]x[lím

1x

1x

=

=

−

+

→

→ ]x[lím1x →

∃⇒ y x

10

U.T.N. Análisis Matemático I:Límite Facultad Regional Avellaneda

36

Propiedades de los límites finitos: Consideremos f A : con,R→ A ⊆ R y x0 punto de acumulación de A

1) Si =→

)x(flím0xx

λλ entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función permanece

acotada. 2) Si =

→)x(flím

0xxλ y k es un número real tal que λ < k, entonces existe un entorno reducido de

xo en el que la función también es menor que k. Con el mismo criterio si λ > k ‘, entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función también es mayor que k ’.

3)Consecuencia: Si aplicamos la propiedad anterior pensando que k ó k ’ son cero, podemos asegurar que: Si una función tiene límite finito distinto de cero, para x→x0, existe un entorno reducido de x0 en el que la función conserva el signo del límite . 4)Si dos funciones f y g son tales que ,2

xx1

xx)x(glím)x(flím

oo

, λ λ ==→→

siendo λλ1 << λ λ2

x0-δ x0

x0+δ x

y

λλ+εε λ λ λλ+εε

y

x x0

-9


37

entonces, existe un entorno reducido de xo en el que f(x) < g(x).

5)Consecuencia Si una función admite límite finito para x→x0, éste es único. En efecto, supongamos que. Si l1 < l2, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x) <f(x) Si l2 < l1, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x) <f(x) El absurdo surge de suponer que l1 ≠ l2. Luego resulta: l1 = l2.

6)Si en un entorno reducido de xo (punto de acumulación del dominio de dos funciones f y g) se cumple que f(x) < g(x), entonces )x(glím)x(flím

00 xxxx →→≤

Observación: es importante tener en cuenta que a la desigualdad estricta entre las funciones corresponde una desigualdad en sentido amplio para los límites. 7) Sean tres funciones f, g y h tales que en un entorno reducido de xo, se verifica que f(x)< g(x)< h(x).

f (x )

g ( x )

x0

λ1

1

λ2

absurdo

y

xx0

λ1

f ( x )

g ( x )


38

Sí, l==→→

)x(hlím)x(flím00 xxxx

entonces, l=→

)x(glím0xx

Teorema El límite para x→0 de senx/x es igual a 1

Tesis: 1x

xsenlím

0x=

→

Quedaron formados dos triángulos rectángulos y entre ellos, un sector circular. Se cumple que:

área∆∆

≤≤ OPQáreaOPAáreaOMAV)

PQOP2

1xOP

2

1MA|OM

2

1 ⋅≤⋅≤⋅

Multiplico por 2 los tres miembros de la desigualdad y reemplazo:

xcos

xsenxxsenxcos

xtg.1x.1xsenxcos

≤≤⋅

≤≤⋅

Demostración.

Considero el arco x= ∩

AP / 0< x <2

π

Resulta:

xtgPQ

xsenAM

xcosOM

1OP

=

=

=

=

f(x)

g(x)

h(x)

O M

A

Q

U.T.N. Análisis Matemático I: Límite Facultad Regional Avellaneda

39

Como para 0 < x < 2

π , se cumple senx >o, divido los tres miembros de la desigualdad por senx:

xcos

1

xsen

xxcos << (1)

Observación: Como cos (-x)= cos x y xsen

x

xsen

x

)xsen(

x =−

−=−

− , la relación (1) también es

válida para -2

π < x < 0 .

Invertimos los tres miembros de la desigualdad:

xcos

1

x

xsenxcos

xcos

x

xsen

xcos

1 <<⇒>>

Como 1x

1límxcoslím

0x0x==

→→, por propiedad de los límites finitos1, al tomar límite para x→x0,

resulta:

1x

xsenlím1

0xx≤≤

→

De donde:

1x

xsenlím

0xx=

→

Nota: Se podría haber tomado límite directamente en la relación (1) en cuyo caso se hubiese probado que:

1xsen

xlím

0xx=

→

Algunas aplicaciones:

a) 1xcos

1

x

xsenlím

x

xcos

xsen

límx

xtglím

0x0x0x=⋅==

→→→

b) 31.3x3

x3sen.3lím

x

x3senlím

0x0x===

→→

Infinitésimos

1 Si en un entorno reducido de xo, las funciones f y g, que tienen límite finito para x→x0, verifican que

f(x) <g(x), entonces : )x(glím)x(flím00 xxxx →→

≤

1

multiplico numera-dor y denominador por 3

1


40

Una función ϕ(x)es un infinitésimo para x→x0 si y sólo sí 0)x(lím0xx

=ϕ→

Por ejemplo: f(x) = sen x es infinitésimo para x tendiendo a 0, π, 2π,...,kπ. g(x)= x3 – x es infinitésimo para x tendiendo a 0 ,a 1y a –1. La función h(x)= 0,000001 no es un infinitésimo para ningún valor de x ya que su límite es siem-pre 0,000001≠0. Importante

Toda función con límite finito para x→→x0 se puede escribir como su límite más otra fun-ción que es un infinitésimo para x→→x0.

En efecto: Consideremos f:A→R/ λ=

→)x(flím

0xx.Definimos: λ−=ϕ→ϕ )x(f)x(/RA: .(*)

x

y

y

x -1 0 1

y

f (x )


41

Resulta 0)x(lím

0xx=ϕ

→, entonces de (*) se tiene:

f(x) = ��+ ϕ(x), siendo 0)x(lím0xx

=ϕ→

.

Álgebra de infinitésimos

1)La suma de dos funciones que sean infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0 Hipótesis: 0)x(lím;0)x(lím 2

xx1

xx 00

=ϕ=ϕ→→

Tesis: ( ) 0)x()x(lím 21

xx 0

=ϕ+ϕ→

Demostración: Por definición de límite, si:

[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 11011xx 0

(1)

Del mismo modo, si:

[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 22022xx 0

(2)

Si llamamos

2

x31)x(f/),1[]3,(:f

12

12

−+−=+∞−→−∞ −− , podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y (2)que:

ε<ϕ+ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀ 2)x()x();x('ExDDx[:x 21021 'ε

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resul-ta: |)x(||)x(|)x()x( 2121 ϕ+ϕ≤ϕ+ϕ

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')x()x( 21 ε<ϕ+ϕ


42

Es decir, se ha probado que: /0);mín{,0 21 >δδ=δ∃>ε∀

]'0)]x()x([);x('ExDDx[:x 21021 ε<−ϕ+ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀

Entonces: ( ) 0)x()x(lím 21

xx 0

=ϕ+ϕ→

2)El producto de dos funciones que sean infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0. Hipótesis: 0)x(lím;0)x(lím 2

xx1

xx 00

=ϕ=ϕ→→

Tesis: ( ) 0)x()x(lím 21

xx 0

=ϕ⋅ϕ→


[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 11011xx 0

(1)

Del mismo modo, si:

[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 22022xx 0

(2)

Si llamamos };{mín 21 δδ=δ , podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miembro (1)y(2),

que: 221021 )x()x();x('ExDDx[:x ε<ϕ⋅ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀ 'ε

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos,se tie-ne: |)x(||)x(|)x()x( 2121 ϕ⋅ϕ=ϕ⋅ϕ

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')x()x( 21 ε<ϕ⋅ϕ


]'0)]x()x([);x('ExDDx[:x 21021 ε<−ϕ⋅ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀

Entonces:

( ) 0)x().x(lím 21xx 0

=ϕϕ→


43

3) Producto de un infinitésimo por una función acotada Ejemplo:

Consideremos la función x

sen)x(f/R}0{R:fp

=®- Veamos su gráfico:

Observamos que en un entorno reducido de 0 la función no está definida y oscila , es decir

xsenlím

0x

π∃→

, aunque la función permanece en [-1,1].

Veamos ahora el gráfico de x

senx)x(g/R}0{R:gπ

⋅=→−

Vemos que x

senxlím0x

π∃

→=0, ya que si bien la función oscila en un entorno reducido de cero, esa

“oscilación” es cada vez menor.

U.T.N. Análisis Matemático I: Límite Facultad Regional Avellaneda 44

El producto de un infinitésimo para x→x0 por una función acotada en un entorno reducido de xo es un infinitésimo para x→x0 H) 0)x(lím

0xx=ϕ

→

f(x)/ +∈<∈∀ Rkcon,k)x(f:)h;x('Ex o

T) 0)x().x(flím0xx

=ϕ→


[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 101xx 0

(1)

Además , por hipótesis: +∈<∈∀ Rkcon,k)x(f:)h;x('Ex o (2)

Si llamamos }h;{mín 1δ=δ , podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miembro (1)y(2),

que: ε<⋅ϕ⇒δ∈∧∩ϕ∈∀ k)x(f)x();x('ExDfDx[:x 0 ε‘

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos,se tiene: |)x(f||)x(|)x(f)x( ⋅ϕ=⋅ϕ

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')x(f)x( ε<⋅ϕ

Es decir, se ha probado que: /0)h;mín{,0 1 >δ=δ∃>ε∀

]'0)]x(f)x([);x('ExDfDx[:x 0 ε<−⋅ϕ⇒δ∈∧∩ϕ∈∀

Entonces:

( ) 0)x(f).x(lím0xx

=ϕ→

Cociente de dos infinitésimos El cociente de dos infinitésimos puede dar: a) 0

Ejemplo: 0xlímx

xlím

0x

2

0x==

→→. Se dice que el infitésimo que está en el numerador es de orden

superior. Significa que el infinitésimo del numerador tiende a cero con “mayor velocidad” b) ∞

y=x2

y=x


45

Ejemplo: ∞==→→ x

1lím

x

xlím

0x20x. Obviamente significa que el infinitésimo del numerador es de

menor grado que el del que está en el denominador. c) k/ k≠0, k≠1 Ejemplo:

4)2x(lím2x

)2x).(2x(lím

2x

4xlím

2x2x

2

2x=+=

−+−=

−−

→→→

d) 1 Ejemplo:

1x

xsenlím

0x=

→. En este caso se dice que los infinitésimos son equivalentes.Significa que en un

entorno del punto en el que se da esta situación las dos funciones son prácticamente iguales. Observación: Estos ejemplos muestran que no puede formularse conclusión alguna acerca del cociente de

infinitésimos. es por eso que 0

0 es una indeterminación.

Los casos de indeterminación son: 0

0, ∞∞∞

.0, , 00 ,0,1, ∞∞−∞ ∞

y= sen x

y= x


46

Álgebra de límites finitos 1) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su suma es igual a la

suma de sus límites. Hipótesis: 2

xx1

xx)x(glím;)x(flím

00λλ ==

→→

Tesis: ( ) 21xx

x(g)x(flím0

λλ +=+→


[ ]ε<−⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=→ 110f11

xx)x(f);x('ExDx:x/0)(,0)x(flím

0

λλ (1)

Del mismo modo, si:

[ ]ε<−⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=→ 220g2

xx)x(g);x('ExDx:x/0)(,00)x(glím

0

λ (2)

Si llamamos };{mín 21 δδ=δ , podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y (2)que:

ε<−+−⇒δ∈∧∩∈∀ 2)x(g)x(f);x('ExDDx[:x 210gf λλ 'ε

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resulta: |)x(g||)x(f|])x(g[])x(f[ 2121 λλλλ −+−≤−+−

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')(])x(g)x(f[ 21 ε<+−+ λλ


]')()]x(g)x(f[);x('ExDDx[:x 210gf ε<+−+⇒δ∈∧∩∈∀ λλ

Entonces: ( ) 21

xx)x(g)x(flím

0

λλ +=+→

2) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su producto es igual al

producto de sus límites. Hipótesis: 2

xx1

xx)x(glím;)x(flím

00

λλ ==→→

Tesis: ( ) 21xx

.x(g).x(flím0

λλ=→

.

Demostración: Vimos que si una función tiene límite finito para x→x0 , la función se puede escribir como la suma entre su límite y otra función que es infinitésimo para x→x0. Entonces:


47

0)x(límsiendo,)x()x(f/)x()x(flím 1xx

1111xx 00

=ϕ+ϕ=ϕ∃⇒=→→

λλ

0)x(límsiendo)x()x(g/)x()x(glím 2xx

2222xx oo

=ϕϕ+=ϕ∃⇒=→→

λλ

Entonces podemos escribir:

[ ] [ ])x()x()x(g).x(f 2211 ϕ+⋅ϕ+⋅= λλ = )x()x()x(.)x( 21122121 ϕ⋅ϕ+ϕ+ϕ⋅+⋅ λλλλ Tomamos, en ambos miembros, límite para x→x0

=→

)]x(g).x(f[lím0xx

))x().x((lím))x(.(lím))x(.(lím).(lím 21xx

12xx

21xx

21xx 0000

ϕϕ+ϕ+ϕ+→→→→

λλλλ

Resulta:

( ) 21xx

.x(g).x(flím0

λλ=→

3) El límite de un cociente de dos funciones que tienen límite finito para x→x0 , es igual al

cociente de los límites, siempre que el límite de la función que está en el denominador sea distinto de cero.

4) Si λ=

→)x(flím

0xxentonces [ ] nn

xx)x(flím

0

λ=→

.(Si n es fraccionario, debe ser 0>λ )

5) Si λ=→

)x(flím0xx

y k +∈ R , entonces λkklím )x(f

xx 0

=→

6)Si 2xx

1xx

)x(glím;)x(flím00

λλ ==→→

, y 10 11 ≠∧> λλ , entonces [ ] 2

01

)x(g

xx)x(flím λλ=

→

7)Si λ=

→)x(flím

0xx> 0, entonces λln)]x(fln[lím

0xx=

→

es constante

son 0 por ser producto de infinitésimo por función acotada

es 0 por ser producto de infinitésimos


48

Generalización del concepto de límite 1.- Límite finito variable infinita: Sea f:A→R, con A⊆ R, A no acotado

]|l)x(f||x|Ax[:x/0)(,0l)x(flímx

ε<−⇒δ>∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔=∞→

Esta definición puede dividirse en dos , si se considera x→+ ∞ ó x→- ∞. 2.- Límite infinito variable finita Sea f:A→R, con A⊆ R, xo punto de acumulación de A.

])x(f);x('ExAx[:x/0)(,0)x(flím 0xx 0

ε>⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔+∞=→

Sea g:A→R, con A⊆ R, xo punto de acumulación de A.

])x(g);x('ExAx[:x/0)(,0)x(glím 0xx 0

ε−<⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔−∞=→

También puede definirse límite infinito (sin signo).1

1 Hay autores que consideran que, en este caso, el límite no existe.

-δ x ’ -δ x

λ + ε λ λ - ε

f (x )

f (x ’ )

ε

x0-δ x0 x0+δ

f(x)

x

x

x0-δ x0 x +δ

-ε g(x)


49

]|)x(h|);x('ExAx[:x/0)(,0)x(hlím 0xx 0

ε>⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔∞±=→

3.- Límite infinito, variable infinita Sea f:A→R/ A⊆ R y A no acotado. Con el mismo criterio puede definirse límite igual a menos infinita para x tendiendo a más infinito, ó límite igual a infinito (sin signo) para x tendidendo a menos infinito, etc.

h(x’) ε

- ε

x’ x

h(x))

y

x

δ x x

-ε f(x)

y

ε

])x(fxAx[:x/0)(,0)x(flímx

ε−<⇒δ>∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔−∞=+∞→

U.T.N. Análisis Matemático I: Conti-nuidad Facultad Regional Avellaneda

50

Continuidad de una función en un punto Consideremos una función f:A→R, con A⊆ R, y x0 punto de acumulación de A. Decimos que f es continua en x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1.- ∃ f x( )0 2.-∃

→límf x finitox x

( )

0

3.- límf xx x

( )→ 0

= f (x0)

Cuando alguna de las condiciones falla, se dice que f es discontinua en x0 . Si es discontinua pero existe límite finito, la discontinuidad es evitable, en caso contrario es esencial.

2

-30

1

1

Esta función presenta una discon-tinuidad esencial en x=2 pues lím f x

x( )

→= ∞

2

f y

x

y

x

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x=1 pues aunque no está definida en ese punto tiene límite finito cuando x tiende a 1.

y

x

Esta función presenta una discontinuidad esencial en x=1 pues como los límites late-rales son distintos, no tiene límite.


51

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x = 1 porque aunque está definida en 1 y tiene límite para x tendiendo a 1, ambos valores son distintos.

1 Álgebra de funciones continuas. La suma (o producto) de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0. El cociente de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0 sólo si la función que figura en el denominador no se anula en x0. Continuidad lateral f es continua a derecha en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f x( )0

2.-∃→ +

límf x finitox x

( )

0

3.- límf xx x

( )→ +

0

= f (x0)

f es continua a izquierda en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f x( )0

2.-∃→ −

límf x finitox x

( )

0

3.- límf x

x x

( )→ −

0

= f (x0)

Continuidad en un intervalo cerrado f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y sólo si : f es continua ∀x ∈ (a,b) , f es continua a derecha en a y f es continua a izquierda en b. Gráficamente decir que una función es continua en un intervalo cerrado significa decir que los extremos del arco de curva que la representa están “pegados” al arco.

y f(x0)

xy

x

y f(x0)

x x0

x

y

λ

f(1)

1


52

y Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado 1.- Primer teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado permanece acotada en él

f continua en [a,b]⇒ ∃ ∈ < ∀ ∈+k R f x k x a b/ | ( )| , [ , ] 2.- Segundo teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza en él un máximo y un mínimo absoluto.

.absoluto.mínes)d(f/]b,a[d

yabsoluto.Máxes)c(f/]b,a[c b][a, en continua f

∈∃

∈∃⇒

3.- Teorema de los ceros de Bolzano Si una función es continua en un intervalo cerrado y tiene valores de distinto signo en los ex-tremos del mismo, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función se anula. H) f continua en [a,b] Sg[f(a)] ≠ Sg [f(b)] T) ∃ ∈ =c a b f c( , ) / ( ) 0 4.- Teorema del valor intermedio

a c b x

f es conti-nua en [a,b]

x

g es continua en (a,b) pero no en [a,b]

x a

y

a c b=d x

y M m

y


53

Si f es continua en un intervalo cerrado y k es un número comprendido entre el mínimo y el máximo absoluto que la función alcanza en él, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función es igual a k. H) f continua en [a,b] T) ∃ ∈ =c a b f c k( , ) / ( ) M máximo absoluto de f en [a,b] m mínimo absoluto de f en [a,b] k ∈ R / m < k < M

y

x

a c b

f(a

f(b

U.T.N Análisis Matemático I: Derivada Facultad Regional Avellaneda

54

Derivación de funciones escalares 1.- Derivada de una función en un punto Introducción: El cálculo diferencial forma, junto con el cálculo integral, una de las ramas más importantes de la Matemática. Vivimos en un mundo caracterizado por cambios continuos. Es importante desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, describir, y pronosticar estos cambios. Éste es el propósito del cálculo diferencial: es la Matemática de los cambios. Todo el cálculo diferencial se puede reducir a un concepto fundamental: la razón de cambio. Siempre que dos magnitudes (variables) estén conectadas por una función, se puede estudiar el cambio relativo de una con respecto a la otra. Algunas razones o tasas de cambio tienen nombres especiales: la razón de cambio de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad, la razón de cambio del tamaño de una per-sona en relación con su edad es la tasa de crecimiento, etc. Ejemplo: El combustible de un cohete se quema en 180 seg. En los primeros t segundos (0≤t≤180), el co-hete alcanza una altura de t2 km sobre la Tierra. Calculamos las variaciones de altura corres-pondiente a los intervalos de tiempo [t0; t1] y determinamos la relación (tasa de cambio) entre ambas variaciones (velocidad media). to (seg) t1 (seg) h0 (km) h1 (km) ∆t (seg.) ∆h ( Km)

Vel.media=

∆

∆

seg

Km

t

h

1 2 1 4 1 3 3 1.5 2 2.25 4 0.5 1.75 3.5 1.9 2 3.61 4 0.1 0.39 3.9 2 3 4 9 1 5 5 2 2.5 4 6.25. 0.5 2.25 4.5 2 2.1 4 4.41 0.1 0.41 4.1 Observamos que a medida que los intervalos de tiempo alrededor de 2 seg, son menores, la velo-cidad media se va acercando al 4. Es decir, alrededor del instante t= 2 seg, las velocidades medias se van aproximando a 4 km/seg. Si consideramos que la relación entre la altura y el tiempo transcurrido es h(t) = t2, la velocidad

media en el intervalo [2; t] ó [t;2] es2t

4t

2t

)2(h)t(hv

2

m −−=

−−=

Para calcular la velocidad en el instante t0 = 2 seg, deberemos considerar el límite para t→2 de la velocidad media:

4)2t(lím2t

)2t).(2t(lím

2t

4tlím)2(v

2t2t

2

2t=+=

−+−=

−−=

→→→(Km/seg)

U.T.N Análisis Matemático I: Derivada Facultad Regional Avellaneda

55

Interpretemos estas relaciones geométricamente. Grafiquemos la función h(t)= t2, con 0≤t≤180

Como nos interesa trabajar cerca de 2 segundos ampliaremos la parte del gráfico que está re-marcada. Hemos dibujado dos rectas secantes , las correspondientes a los intervalos [1,2]y [2,3].

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

h ( e n k m )

t ( e n s e g )

0

4

0 1 2 3 5

h ( e n k m )

t ( e n s e g . )

U.T.N. Análisis Matemático I:Derivadas Facultad Regional Avellaneda

56

Las pendientes de estas rectas secantes corresponden a los cocientes t

h

∆∆

(velocidad media)

para cada uno de los intervalos mencionados. Cuando 0t →∆ , las rectas secantes van “desli-zándose” hasta coincidir ambas, teniendo un solo punto en común con la curva, el punto (2;4). En esa posición límite, que corresponde a la recta tangente, la pendiente está dada por el límite

para 0t →∆ , del cociente t

h

∆∆

. Es decir, la pendiente de la recta tangente representa la vel o-

cidad instantánea para t = 2 seg. Definición Sea f: ,RA → con A⊆ R, y sea x0 interior a A Resulta: Como una derivada es un límite pueden darse una de estas tres situaciones: que sea un número, que sea infinito o que no exista.

0

4

0 2

h ( e n k m )

t

t ( e n s e g )

x0

f(x0)

x

f(x)

∆∆x

∆∆f Po

P

Se llama derivada de f en xo al límite, si existe, del cocien-

te 0

0xx

)x(f)x(f−−

, cuando 0xx → .

Notación: f ’(xo)=Df(xo)=0xdx

dy

0

0xx

0 xx)x(f)x(f

lím)x('fo −

−=

→


57

Definición:

f es derivable en xo si y sólo si existe y es finito el límite para 0xx → de 0

0

xx)x(f)x(f

−−

Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto Entonces, si la recta secante tiende a la recta tangente, y el cociente incremental tiende a la derivada, resulta que: La derivada de una función en x0 representa , si existe y es finita, la pendiente de la recta ta n-gente a C en Po.

Recta tangente y normal a una curva en un punto Teniendo en cuenta: a) la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto; b) la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente conocida: y – y0 =m.(x – x0), y c) que si dos rectas perpendiculares tienen pendientes no nulas, el producto de las mismas es igual a –1, podemos sintetizar en este cuadro cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas ta n-gente y normal a C en P0 . Si el límite del cociente in-cremental dá:

entonces la ecuación de la recta tangente es:

y la ecuación de la recta nor-mal es:

+∞ ó - ∞

x=x0 y=f(x0)

0

y=f(x0) x=x0

f ‘(xo)≠0

y- f(x0)=f’(x0).(x -x0-) y - f(x0)= )x('f

1

o

− (x -x0-)

Ejemplos: Calcular, si existen las derivadas de cada una de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Hallar, si es posible, la ecuación de la recta tangente y normal a las respectivas curvas en esos puntos.

x0

f(x0)

x

f(x)

∆∆x

∆∆f Po

P s

tt

El cociente 0

0xx

)x(f)x(f−−

(cociente incre-

mental), representa la pendiente de la recta secante a la curva C, representativa de la función. Cuando 0xx → , el punto P “resbala” sobre la curva hasta coincidir con P0, la recta secante alcanza una posición límite que co-rresponde a la recta tangente.

Comentario:


58

I) f(x) = x

1 en x0= 1

1x

1lím

)x1(

x

x1

lím1x

1x

1

lím)1('fxx

)x(f)x(flím)x('f

1x1x1x0

0

xx0

o

−=−=−−

−

=−

−=⇒

−−

=→→→→

La ecuación de la recta tangente en P0(1;1) es: y – 1= -1.(x-1) ⇒y= -x +1 +1 ⇒

y = -x + 2 La pendiente de la perpendicular es m = 1, entonces la ecuación de la recta normal en P0(1;1) es: y – 1= 1.(x-1) ⇒

y= x

II) g(x)= 3 1x − en x0=1

+∞=−

=−

−=

−−−

=⇒−

−=

→→→→ 321x

31

1x

3

1x0

0

xx0

)1x(

1lím

1x

)1x(lím

1x

01xlím)1('g

xx

)x(g)x(glím)x('g

o

La ecuación de la recta tangente en P0(1;0) es: y=0, y la ecuación de la recta normal es x=1.

y

x1 22-1-2-2

1

22

-1

-2-2

n

t

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

t

n


59

III) h(x)= -x2 + 4x -1 en x0=2

02x

)2x(lím

2x4x4x

lím2x

)12.42(1x4xlím)2('h

xx)x(h)x(hlím)x('h

2

2x

2

2x

22

2x

0

0xx

0o

=−−−

=−

−+−=

−−+−−−+−

=

⇒−−=

→→→

→

La ecuación de la recta tangente es y=3, y la de la recta normal es x=2 IV) j(x)= |2x-4| + 3 en x0 =2

⇒−−

=−

+−−+−=

⇒−−

=

→→

→

2x|2x|2

lím2x

)3|42.2(|3|4x2|lím)2('j

xx)x(j)x(j

lím)x('j

2x2x

0

0xx

0o

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

t

n


60

)2('j2

2x)2x(2

lím2x

|2x|2lím

22x

)2x(2lím

2x|2x|2

lím)2('j

2x2x

2x2x ∃⇒

−=−

−−=

−−

=−−

=−−

=

−−

++

→→

→→

Observación: Los límites laterales del cociente incremental reciben el nombre de derivadas laterales. Para que la función sea derivable las derivadas laterales deben ser finitas e iguales 2.-Relación entre continuidad y derivabilidad Teorema: Condición necesaria para que una función sea derivable Si f es derivable en x0 entonces es continua en x0. Demostración: Alcanza con probar que )x(f)x(flím o

xx 0=

→

En efecto:

f derivable en x0 ∃⇒ y es finito el 0

0xx xx

)x(f)x(flím

0 −−

→⇒ )x('f

xx)x(f)x(f

lím 00

0xx 0

=−−

→

Pero si una función tiene límite finito se puede escribir como suma de su límite más un infinitési-mo, es decir:

)x()x('fxx

)x(f)x(f0

0

0 ϕ+=−−

, con 0)x(lím0xx

=ϕ→

⇒

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

En xo=2 la función no es derivable, por lo tanto no admite recta tangente


61

=− )x(f)x(f 0 )xx).(x()xx).(x('f 000 −ϕ+− ⇒

+= )x(f)x(f 0 )xx).(x()xx).(x('f 000 −ϕ+− ⇒

000 xx0

xxxxlím)x(flím)x(flím→→→

+= )]xx).(x([lím)]xx).(x('f[ 0xx

000

−ϕ+−→

++=→

0).x('f)x(f)x(flím 00xx 0

0. 0 ⇒ )x(f)x(flím 0xx 0

=→

⇒ f es continua en x0

IMPORTANTE:La propiedad recíproca no es cierta. Una función puede ser continua en un punto pero NO ser derivable en él. Ejemplo: y = |2x- 4 | + 3 en x0=2 (ver que no es derivable en pág 60) Sin embargo, es continua , ya que y(2)=3

3)3|4x2(|lím)3|4x2(|lím2x2x

=+−=+−−+ →→

3.- Función derivada La derivada de una función en un punto, si existe, es un número. Consideremos f:A→R y llamemos B al subconjunto de A /

B={a ∈ A/ ax

)a(f)x(f

axlímfinitoesy

−−

→∃ }; podemos definir una nueva función de B en R que a

cada elemento a de B le asigne como imagen el correspondiente valor del límite del cociente incremental, es decir, el valor de f ‘(a). Esta función recibe el nombre de función derivada de f.

cte.

cte.

U.T.N. Análisis Matemático I: Derivadas Facultad Regional Avellaneda

62

Por ejemplo: Consideremos f(x) = sen x, y calculemos el valor de su derivada para un punto a genérico.

axasenxsenlím)a('f

ax)a(f)x(flím)a('f

axax −−=⇒

−−=

→→

Como sen p – sen q = 2 sen2

qp − cos

2qp +

, resulta:

2ax

cos.2.

2ax2

axsen2lím

ax2

axcos.2

axsen2lím)a('f

axax

+−

−

=−

+−

=→→

= acos2a2

cos =

Resulta que la función derivada de f(x) = sen x es f ‘(x)= cos x Derivadas sucesivas En tanto definimos a f ’ como la función derivada de f, podemos definir, con el mismo criterio, la derivada de f ‘, que llamaremos derivada segunda de f e indicaremos f “, a la derivada de ésta (f “’), y así sucesivamente. podemos definir, si existe, la derivada n-sima de f. Reglas y fórmulas de derivación Demostraremos a continuación algunas reglas y fórmulas de derivación que nos permitirán en la mayoría de los casos, conocer la derivada de una función en distintos puntos sin necesidad de aplicar, en cada caso, la definición.

REGLAS Y FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

1 multiplicando y dividiendo por 2 el denominador


63

FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA y = u(x)+v(x) y’= u’(x)+v’(x) y= arc sen x

yx

'=−

1

1 2

y= u(x).v(x) y’= u’(x).v(x)+u(x).v’(x) y= arc cos x y

x'= −

−

1

1 2

yu x

v x=

( )( )

)x(v

)x('v).x(u)x(v).x('u'y

2−

= y = arc tg x y

x'=

+

1

1 2

y= k. u(x) y ’= k. u ‘(x) y = arc sec x

1xx

1'y

2 −= si |x|>1

y= k y’=0 y= arc cosec x y

x x'=

−

−

1

12 si |x|>1

y =x y’=1 y = arc cotg x y

x'=

−

+

1

1 2

y = x n y’=n. X n-1 y=Shx y’= Ch x

xy = x2

1'y = y=Chx y’= Sh x

y = sen x y’=cos x y=Th x y’= Sech2 x

y = cos x y’=- sen x y= Sech x y’= - Sech x. Th x

y= tg x y’= sec2 x y = Cosech x y’= Cosech x. Cotgh x

y = sec x y’= sec x. tg x y= Cotgh x y’= - Cosech2 x

y= cosec x y’= - cosec x. cotg x y= Arg Shx y’=

1

12x +

y = cotag x y ‘= - cosec2 x y= Arg Chx y

x'=

−

1

12 si |x|<1

y = ex y’= ex y=Arg Thx y

x'=

−

1

1 2 si |x| <1

y= ax y’=ax lna y=(f o g)(x) y’= f ’u o g ‘x

siendo u = g(x)

y = ln x

yx

'=1

Deducciones de reglas de derivación: a) Derivada de una suma de funciones


64

Hipótesis: f(x)= u(x) + v(x) Tesis: f ‘(a)= u’(a)+ v ’(a) u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

)a('v)a('uax

)a(v)x(v

axlím

ax

)a(u)x(u

axlím

ax

)]a(v)x(v[)]a(u)x(u[

axlím)a('f

ax

)]a(v)a(u[)]x(v)x(u[

axlím)a('f

ax

)a(f)x(f

axlím)a('f

+−−

→+

−−

→=

−−+−

→=

⇒−

+−+→

=⇒−

−→

=

=

b) Derivada de un producto de funciones Hipótesis: f(x)= u(x) . v(x) Tesis: f ‘(a)= u’(a).v(a)+ u(a).v ’(a) u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

)a('v.)a(u)a(v.)a('u)a('f

ax

)a(v)x(v

axlím)a(u

axlím)x(v

axlím

ax

)a(u)x(u

axlím)a('f

ax

)a(v)x(v)a(u

axlím)x(v

ax

)a(u)x(u

axlím)a('f

ax

)]a(v)a(u)x(v)a(u)x(v).a(u)x(v)x(u

axlím)a('f

)x(v).a(unumerador

elenrestamosysumamosax

)a(v).a(u)x(v).x(u

axlím)a('f

ax

)a(f)x(f

axlím)a('f

+=

⇒−

−

→→+

→−

−→

=

⇒−

−→

+−

−→

=

⇒−

−+−→

=

⇒−

−→

=⇒−

−→

=

(*) )a(v)x(vlím

ax=

→ pues v(x) es continua en a por ser derivable por hipótesis.

Consecuencia Como la derivada de una constante es 0, si f(x)= k.u(x) , al aplicar la fórmula obtenida resulta: f ’(x)= 0.u(x)+ k. u’(x). Es decir: La derivada de una constante por una función , es igual a la constante por la derivada de la función. c) Derivada de un cociente de funciones

def. de derivada def. de

derivada

por ser cte.

(*)


65

Hipótesis: f(x)= )x(v

)x(u, v(a)≠ 0 Tesis: f ‘(a)=

)a(2v

)a('v).a(u)a(v).a('u −

u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

⇒−

−

→→−

→−

−→

=

⇒−

−→

−−

−→

=

⇒−

−+−→

=

⇒−

−

→=

−

−

→=⇒

−−

→=

ax)a(v)x(v

axlím

)a(v).x(v)a(u

axlím

)a(v).x(v)a(v

axlím

ax)a(u)x(u

axlím)a('f

)a(v).x(v).ax()a(v)x(v

)a(uax

lím)a(v)a(v).x(v).ax(

)a(u)x(uax

lím)a('f

)a(v).x(v).ax()]x(v)a(u)a(v)a(u)a(v).a(u)a(v)x(u

axlím)a('f

)a(v).a(unumeradorelensumamosyrestamosax

)a(v).x(v)x(v).a(u)a(v).x(u

axlím

ax)a(v)a(u

)x(v)x(u

axlím)a('f

ax)a(f)x(f

axlím)a('f

f ’(a) = u’(a) . )a(v).a(v

)a(v -

)a(v).a(v

)a(u .v ’(a)

(*) )a(v)x(vlím

ax=

→ pues v(x) es continua en a por ser derivable por hipótesis.

Resulta: f ‘(a)=)a(2v

)a('v).a(u)a(v).a('u −

Deducción de algunas fórmulas de derivación a) Derivada de una constante

f(x)= k ⇒ 0ax

kk

axlím)a('f

ax

)a(f)x(f

axlím)a('f =

−−

→=⇒

−

−→

=

def. de derivada (*)

def. de derivada


66

b) Derivada de una función potencial Hipótesis: f(x) = xn Tesis: f ’(x)=n.xn-1 Demostración:

Para salvar la indeterminación podemos aplicar Ruffini en el numerador 1 0 0 0.....0 0 -an a a a2 a3 an-2 an-1 an xn - an =(x –a).(xn-1+a.xn-2+a2.xn-3+...+an-2.x+an-1) 1 a a2 a3 ...an-2 an-1 0 Entonces:

1n

términosn

1n2n23n3n22n1n

axa.n

axaxax.ax.ax.ax()ax(lím)a('f −

−−−−−−

→=

−++++++−=

4444444444 84444444444 76Λ

Observación: La demostración vale para n natural, pero la fórmula es válida para exponente negativos y racionales Consecuencia:

Si f(x) = x2

1x.

2

1)x('fxx 2

12

1==⇒=

−

c) Derivación de funciones trigonométricas c1) Derivada de y = sen x ( ver pág.62) c2) Derivada de y = cos x

( Es similar a la anterior. Usar cosp - cosq= -2 sen2

qp −sen

2

qp +)

c3) y = tg x=xcos

xsen

Derivando como cociente se tiene: y’ =xcos

xsenxcos

xcos

)xsen.(xsenxcos.xcos2

22

2

+=−−

y ‘ = xsecxcos

1 22 =

c4) y = cotg x=xsen

xcos⇒

y’ = xgcotxsen

1xsen

xcosxsenxsen

xcos.xcosxsen.xsen 222

22

2 −=−=−−=−−

ax

ax

axlím)a('f

ax

)a(f)x(f

axlím)a('f

nn

−−

→=⇒

−−

→=

n términos


67

c5) y = sec x = xtg.xsecxcos

xsen

xcos

1

xcos

)xsen(1xcos.0'y

xcos

1

2=⋅=

−−=⇒

c6) y = cosec x = xgcot.xeccosxsen

xcos

xsen

1

xsen

xcos.1xsen.0'y

xsen

12

−=⋅−=−=⇒

d) Derivada de la función logarítmica

Definición: e=n

n n

11lím

+

∞→

Hipótesis) f(x)= ln x Tesis) f ’(x)=x

1

Demostración:

Pero por propiedad de los logaritmos, resulta:

f ‘(a)=0x

lím→∆

x1

a

x1lnlím

a

x1ln

x

1

0x

∆

∆+=

∆+

∆ →∆

Como el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite, se tiene:

f ‘(a)= lnx

1

a

x1lím

0x

∆

∆+

→∆. Multiplicamos y dividimos en el exponente por “a”:

f ‘(a)= lnxa

a

a

x1lím

0x

∆

∆

+→∆

.=ln a

1eln

a

x1lím a

1a

1

xa

0x==

∆+

∆

→∆

Derivación de funciones compuestas

Si f: A →R / y = f(u)es derivable en u 0 y g: B→ A / u = g(x) es derivable en x0 , siendo g(xo)= u0, entonces fog es derivable en xo y se cumple que:

(f o g )’ (xo) = f ‘u(uo). g’x (xo)

xaln)xaln(

lím0xax

alnxlnax

lím)a('fax

)a(f)x(fax

lím)a('f∆

−∆+

→∆=

−−

→=⇒

−−

→=


68

Demostración:

f derivable en uo ⇒ )u('fuu

)u(f)u(flím 0

0

0

uu 0

=−−

→(por def. de derivada)

Pero si una función tiene límite finito para u →u0, la función puede escribirse como suma de su límite más un infinitésimo para u →u0 . Entonces, y teniendo en cuenta que u = g(x), resulta:

0)u(límcon)u()u('f)x(g)x(g

)]x(g[f)]x(g[f

0uu0

0

0 =ϕϕ+=−−

→

De donde: ( ) ( ))x(g)x(g.)u()x(g)x(g).u('f)]x(g[f)]x(g[f 000u0 −ϕ+−=− Dividimos ambos miembros por x - xo y tomamos límite para x →xo

0

oxxxx0

oxx

0uxx0

0xx xx

)x(g)x(glím).u(lím

xx)x(g)x(g

lím).u('flímxx

)]x(g[f)]x(g[flím

00000 −−

ϕ+−−

=−−

→→→→→

cte. g’x(x0) g’x(x0) Analicemos el factor que nos queda: es un límite para x→x0 . Como u = g(x) derivable en xo es continua en x0, luego, cuando x→x0, también u→ u0 y por lo tanto el límite es 0, ya que ϕ es un infinitésimo para u→u0 . Resulta que el límite planteado en el primer miembro , que es (fo g)’(xo) existe y es igual a f ‘u(uo). g’x (xo) Ejemplo: Obtener la función derivada de:

a)f(x)= )xsen(ln ⇒ f ‘(x)= )xsen(lnx2

)xcos(lnx1)xcos(ln

)xsen(ln21 =⋅⋅

b)g(x)=sen xln ⇒ g’(x)=xln.x2xlncos

x1

xln21xlncos =⋅⋅

(f o g )’ (xo) = f ’u(uo). g’x (xo)


69

Método de derivación logarítmica Derivación de funciones exponenciales Consideremos f(x)= a u(x) (a>0, a≠1) Aplicamos logaritmos a ambos miembros:

lnf(x) = ln [a u(x)] aln).x(u)x(fln =⇒ 1 Derivamos ambos miembros:

)x('ualn)x('f)x(f

1 ⋅=⋅

Resulta: )x('u.aln.a)x('f)x('u.aln).x(f)x('f )x(u=⇒= Si u(x) = x, se tiene: f(x) = aln.a)x('fa xx =⇒ Si a=e , resulta: )x('u.e)x('fe)x(f )x(u)x(u =⇒= Si a = e y u(x) = x:

xx e)x('fe)x(f =⇒=

Aplicación a funciones potenciales exponenciales Ejemplo

x)x(sen)x(f =

Aplicamos ln a ambos miembros y tenemos en cuenta (1):

)xln(sen.x)x(fln = Derivamos el primer miembro como función compuesta y el segundo como producto:

⋅+=⇒

⋅+=

⇒⋅⋅+=⋅

xsenxcosx)xln(sen.)x(sen)x('f

xsenxcosx)xln(sen).x(f)x('f

.xcosxsen

1x)xln(sen.1)x('f

)x(f1

x

Derivación de funciones hiperbólicas:

1 El log.de una potencia es igual al exponente por el log.de la base

Derivada de una cte.por una función Derivando como

función compuesta


70

1) f(x) = Shx= ( ))xx ee2

1 −− ( ) ( ) Chxee21

e)1(e21

)x('f xxxx =+=−−=⇒ −−

2) f(x) = Chx = ( ))xx ee2

1 −+ ( ) ( ) Shxee21

e)1(e21

)x('f xxxx =−=−+=⇒ −−

3) f(x) = Thx= Chx

Shx

xCh

1

xCh

xShxCh

xCh

Shx.ShxChx.Chx)x('f

22

22

2=

−=

−=⇒

DERIVACIÓN DE FUNCIONES INVERSAS Sea f:A→B biyectiva / y = f(x), y sea g:B→A, su inversa / x = g(y) Resulta x = g[f(x)] )x)(fg(x o=⇒ Derivando ambos miembros y recordfando quje el segundo es función compuesta, se tiene:

1= g‘ y .f ‘ x y'g⇒ =x'f

1

Aplicación a funciones circulares inversas 1) f(x) = arc sen x )x(fsenx =⇒ Derivando ambos miembros: 1 = cos f(x) . f ‘(x)

22 x1

1

)x(fsen1

1)x(fcos

1)x('f

−=

−==⇒

2) De la misma forma se prueba que si:

f(x) = arc cos x, resulta f ‘(x) = 2x1

1

−−

3) f(x) = arc tg x )x(ftgx =⇒ . Derivando ambos miembros:

1= sec2 f(x). f ’(x) .)x(fsec

1)x('f

2=⇒ (*)

cos2 a + sen2 a = 1


71

Como sen2 a + cos 2a= 1 , al dividir ambos miembros por cos2 a , se tiene:

asecacos

11atg 2

22 ==+

atg1

1asec

2

2

+=⇒

Reemplazando en (*): 22 x1

1

)x(ftg1

1)x('f

+=

+=

2)Aplicación a la derivación de funciones hiperbólicas inversas 1) y = Arg Shx yShx =⇒ Derivamos ambos miembros:

1 = Chy. y ’Chy

1'y =⇒

Pero: Ch2 a – Sh2 a = 1 aSh1Cha 2+=⇒ (**)

Es decir: y ’= 22 x1

1

ySh1

1

+=

+

2) De la misma forma se prueba que :

1x

1'yArgChxy

2 −=⇒=

3)y = Arg Thx Thyx =⇒ . Derivamos ambos miembros: 1 = 'y.yCh

12

Si en (**) dividimos ambos miembros por Cha, resulta:

Th2 a – 1 = aCh

1

2

Por lo tanto: 1 = ( Th2 y – 1) . y ‘ 1x

1

1yTh

1'y

22 −=

−=⇒

U.T.N. Análisis Matemático I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

72

Diferencial de una función en un punto Consideremos una función f derivable en x0; esto significa que existe y es finito el límite del cociente incremental.

0)x(límcon),x()x('fxx

)x(f)x(f)x('f

xx)x(f)x(f

lím00 xx

00

00

0

0xx

=ϕϕ+=−−

⇒=−−

→→

Resulta:

0)x(límcon),xx).(x()xx).(x('f)x(f)x(f0xx

0000 =ϕ−ϕ+−=−→

Definición: Dada una función f derivable en xo, punto interior de su dominio, se llama diferencial de f en el punto x0 con respecto al incremento x∆ al producto de la derivada de f en x0 por. En símbolos:

df(x0; x∆ )= f ’(x0). x∆

Resulta entonces que: 0)x(límcon,x).x()x;x(dfy

0x0 =∆ϕ∆∆ϕ+∆=∆

→∆

(Tener en cuenta que x∆ =x - x0 ⇒x=x0 + x∆ ; además si x→ xo, entonces x∆ →0) Como el segundo término tiende a cero, cuando x∆ →0, se tiene que:

)x;x(dfy 0 ∆≅∆

Probaremos que la variación de la función y su diferencial son infinitésimos equivalentes para

x∆ →0.

En efecto: 0)x('fsi;1)x('f)x('f

xy

lím)x('f

1)x).x('f

ylím

)x;x(dfy

lím 00

00x000x00x

≠==∆∆

=∆

∆=

∆∆

→∆→∆→∆

Interpretación geométrica:

Si una función tiene límite finito para x→x0 , entonces puede escribirse como la suma de su límite más un infinitésimo para x→x0

x∆

x∆ y∆

Q

P


73

f(x0 + x∆ )

RQxx

RQx.tgx).x('f)x;x(df 00 =∆⋅

∆=∆α=∆=∆

df(x0; ∆x) representa la variación de ordenada de la recta tangente a la curva en P0(x0; f(x0)), al pasar de x0 a x0 +∆x. Es una aproximación de la variación de la función.

Ejemplo: Calcular usando diferenciales el valor aproximado de e0, 3 Consideremos f(x) = ex; x0 =0 y ∆x=0,3 Resulta:f(xo+∆x)= f(x0) +∆y )x;x(df)x(f 00 ∆+≅ Como f ‘(x)= ex y e0=1, se tiene: e0,5 3,1e3,0.ee 3,000 ≅⇒+≅ Usando calculadora: e0,3=1,3498588... Cuanto mayor sea ∆x, mayor es el error que se comete Reglas y fórmulas de diferenciación: Veamos algunos ejemplos:

f(y

x0.10.20.30.40.50.60.70.7-0.1-0.2-0.3-0.4-0.4

0.5

1.0

1.5

2.0

2.52.5e 0 ,3

v a l o r

a p r o x .


74

1)Diferencial de un producto Sea f(x) = u(x).v(x), con u y v derivables . df(x)=d[u(x).v(x)]=[u(x).v(x)]’ x∆ = [u’(x).v(x)+u(x).v ’(x)]. x∆ df(x)= u’(x).v(x) x∆ + u(x).v ’(x) x∆ )]x(v).x(u[d⇒ =du. v(x) +u(x). dv 2) Diferencial de f(x)= lnx

df=d(lnx)= xx

1∆

En general, Las reglas y fórmulas de diferenciación son idénticas a las de derivación.

x.1dxdyxy

xx2

1)x(ddyxy

x.xcos)x(senddyxseny

∆==⇒=

∆==⇒=

∆==⇒=

Se puede redefinir el concepto de diferencial utilizando

dy=f ’(x). dx 0x

0dx

dy)x('f

=⇒ (Notación diferencial de la derivada)

Aplicaciones 1) Derivación de funciones definidas paramétricamente Ejemplo:

Sea y = f(x) definida mediante:

==

2t5y

t2x, Para obtener la relación entre las variables x e y

debe eliminarse entre ellas el parámetro t.

De la primera ecuación sale: 22

x4

5y

2

x.5y

2

xt =⇒

=⇒= .

Si nos interesa obtener y ‘(2), hacemos: y ‘= x.2.4

552.2.

4

5)2('y ==⇒

Se pretende encontrar esta derivada sin llevar la función a su expresión cartesiana:

Como y ‘ =dx

dy y

=⇒==⇒=

tdt10dyt5y

dt2dxt2x2 t5

dt2

dt.t10'y ==⇒

Como para que x sea igual a 2, debe ser t=1, se tiene: 51.5dx

dy)2('y

1t

==

=

=

dv du

(*)

(*)


75

En general, dada y = f(x) mediante

==

)t(yy

)t(xx, se puede obtener

y ’=t

t

t

t

'y

'x

dt.'y

dt'x

dx

dy==

De la misma forma, para obtener y”, que es la derivada de la derivada, procederemos

así:dx

'dy"y = .

En el ejemplo: y”= =dt2

dt5 2,5.

2) Derivación de funciones definidas en forma implícita. Dada una expresión del tipo F(x;y)=0 que defina una y = )x(ϕ , interesa obtener y ‘ sin despe-jar. Ejemplo: Supongamos que: x.ey+ cos(x.y) – 2x2.y3 –1=0 define y = )x(ϕ ,interesa obtener

dx

dy)x(' =ϕ

Primer procedimiento: Derivando y como función compuesta ey+x.ey.y ’-sen(x.y).[y +x.y ’]- 4.x.y3 –6.x2 .y2.y ’=0 y ’[x.ey –x sen(xy)-6.x2.y2 ]= -ey + y sen(xy) + 4.x.y3

Luego: 22y

3y

yx6)xysen(xxe

xy4)xysen(ye'y

−−

++−=

Segundo procedimiento: Usando diferenciales d(x.ey)+ d[cos(x.y)] – d[2x2.y3 ]=0

0)y(d.x2y).x2(d[)xy(d).xysen()e(d.xe.dx 3232yy =+−−+⇒

0]dy.y.x.6dx.y.x.4[]dy.xdx.y).[y.xsen(dy.e.xdx.e 223yy =+−+−+⇒

[ ] [ ]⇒++−=−−⇒ 3y22y y.x.4)xysen(.ye.dxy.x.6)xysen(.ye.x.dy como y ’=dx

dy, se tiene:

22y

3y

yx6)xysen(xxe

xy4)xysen(yedxdy'y

−−

++−==

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76

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

1.-Crecimiento y decrecimiento de una función Definiciones Considero f: A→ R y a y b interiores a A • f es estrictamente creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que :

∀ ∈< ⇒ <

> ⇒ >

x E ax a f x f a

x a f x f a( ) :

( ) ( )

( ) ( )

• f es creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que :

≥⇒>≤⇒<

∈∀)a(f)x(fax

)a(f)x(fax:)a(Ex

• f es estrictamente decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que :

∀ ∈< ⇒ >

> ⇒ <

x E bx b f x f b

x b f x f b( ) :

( ) ( )

( ) ( )

• f es decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que :

≤⇒>≥⇒<

∈∀)b(f)x(fbx)b(f)x(fbx

:)b(Ex

Si una función crece ( o decrece ) estrictamente en un punto, también lo hace en sentido amplio. La recíproca no es cierta. Una función puede crecer ( o decrecer) en sentido amplio y no hacerlo en sentido estricto . (Piense en y = cte) Relación entre el crecimiento de una función y el signo de la derivada primera TEOREMA: Si f es derivable en x = a y f ’ (a) >0, entonces f es estrictamente creciente en “a” H) f derivable en x = a T) f estrictamente creciente en “a” f ‘ (a) >0 Demostración: f derivable en x = a ⇒ existe y es finito el límite del cociente incremental. Como además, por hipótesis

a b

f(a)

f(b)

y

x


77

f ‘(a) > 0, entonces límf x f a

x ax a→

−−

>( ) ( )

.0 Por una propiedad de los límites finitos, si un límite

para x→a es distinto de cero, existe un entorno reducido de “a” en el que la función conserva el signo de su límite. Es decir:

∃ > ∀ ∈−−

> ⇒ − = − ⇒

⇒< ⇒ − < ⇒ − < ⇒ <> ⇒ − > ⇒ − > ⇒ >

⇒

δ δ0 0

0 0

0 0

/ '( ; ):( ) ( )

[ ( ) ( )] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x E af x f a

x aSg f x f a Sg x a

x a x a f x f a f x f a

x a x a f x f a f x f a

De manera similar se demuestra que si la derivada en “a" es negativa, la función es estrictamente decreciente. 2.- Extremos absolutos y locales Consideremos f: A→R, con A ⊆ R , y x0 ∈ A, x1 ∈ A Definiciones : f (x0) es un máximo relativo o local de f⇔∃ δ > 0/ ∀ x∈ E[x0,δ] : f(x) ≤ f(x0)

f(x1) es un mínimo relativo o local de f⇔ ∃ δ > 0/ ∀x∈ E[x1,δ] :f(x) ≥ f(x1) f(a) es extremo relativo o local de f ⇔ f(a) es máximo o mínimo relativo

Más Definiciones f(a ) es Máximo absoluto de f en A ⇔ f(a) ≥ f(x), ∀x∈ A

f(b ) es mínimo absoluto de f en A ⇔ f(b) ≤ f(x), ∀x∈ A

f(x0

)

x1

x0

y

f(x1

)

x

f estrictamente creciente en x = a


78

Los Máximos o mínimos absolutos de f en A se llaman extremos absolutos de f en A

OBSERVACIONES: 1.- Los extremos absolutos no tienen porqué ser extremos relativos. 2.- Si un extremo absoluto se produce en un punto interior del dominio de la función, el extremo es también relativo. 3.- En los puntos de extremo relativo la función no es creciente ni decreciente. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos.- Si f(x) es derivable en x = a y f(a) es un extremo relativo, entonces f ’ (a) = 0 En efecto:

Supongamos que f ’ (a) ≠ 0, entonces sería: f a f estrict crec enx a

f a f estrict decrec enx a

' ( ) . .

' ( ) . .

> ⇒ =

< ⇒ =

0

0absurdo pues

en x=a f presenta un extremo y por lo tanto no es estrictamente creciente ni decreciente. El absurdo surgió de suponer f ’ (a) ≠ 0, luego es f ’ (a) = 0 IMPORTANTE: La condición es necesaria pero NO suficiente. La derivada puede anularse en puntos en los que no hay extremos y puede haber extremos en puntos en los que f no es derivable Ejemplos: y = x3

f(c) máximo absoluto y relativo. f(a)mínimo absoluto pero no relativo. f(d) mínimo relativo pero no absoluto.

y

x a b d c

f(c)

f(d) f(a)


79

y ‘ = 3 x2 ⇒ 3 x2 =0⇒ x = 0

-2 -1 1 2

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

y = | x| presenta un extremo en x = 0 y sin embargo no es derivable en ese punto. 3.-Teorema de Rolle Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe un punto c interior al intervalo (a,b) en el que se anula la derivada de f. H) f cont. en [a,b] T) ∃ c ∈ (a,b)/ f ‘(c)=0 f deriv. en (a,b) f(a) = f(b) Demostración: Por el segundo teorema de Weiersstras, toda función continua en un intervalo cerrado presenta en él un máximo (M) y un mínimo (m) absolutos. Se pueden presentar los siguientes casos: I) M = m En este caso, la función sería constante en el intervalo [a,b] y por lo tanto la derivada es cero. Es decir:

Pero en x= 0 la función es estrictamente creciente

x

y


80

M=m ⇒ f(x) = k , ∀ x∈ [a,b] ⇒ f ‘(x)= 0, ∀ x ∈ (a,b) II.- M ≠ m Se presentan tres posibilidades: II.1.- M = f(a)=f(b) (El máximo se presenta en los extremos del intervalo) II.2.- m = f(a) =f(b) (El mínimo se presenta en los extremos del intervalo)

Como el máximo se presenta en los extremos, el mínimo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c ∈ (a,b) / m= f(c) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ’ (c) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ‘

Como el mínimo se presenta en los extremos,el máximo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c’ ∈ (a,b) /M= f(c’) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ’ (c’) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ‘

f(c)

a c b

M=f(a)=f(b)

y

f(c)

a c

f(a)=f(b)=m

f(a)=f(b) a b x

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables

81

II.3.- El máximo y el mínimo absolutos se presentan en puntos interiores al intervalo. Como no hay más posibilidades para considerar, la tesis se cumple. Interpretación geométrica Geométricamente asegurar la existencia de un punto en el que la derivada es nula significa esta-blecer que existe un punto en el que la recta tangente es horizontal. 4.-Teorema de Lagrange (o de los incrementos finitos , o del valor medio del Cálculo diferencial) Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) , entonces existe un punto “ c” interior al intervalo (a,b) tal que la variación que experimenta la función al pasar de “a” a “b” es igual al producto de la derivada de f en dicho punto “c” por la amplitud del intervalo. H) f cont. en [a,b] T) ∃ c ∈ (a,b)/ f(b)-f(a)= f ‘(c).(b-a) f deriv. en (a,b) Llamamos r(x) a la función lineal cuya representación gráfica es la recta AB, entonces:

r(x) = f f

b ax k(b) (a)−

−⋅ + con k = −

−−

⋅ +f f

b aa f(b) (a) (a)

Por ser una función lineal, podemos asegurar que r(x) es continua y derivable ∀ x∈R. Por representar la recta AB, podemos asegurar que: r(a) = f(a) y r(b) = f(b).

Además r ’ (x) =f f

b a(b) (a)−

−, ∀ x∈R. (*)

Demostración: Consideramos los puntos A (a;f(a)) y B (b;f(b)).

La ecuación de la recta AB es:abax

)a(f)b(f)a(fy

−−

=−

−

Si despejamos y, obtenemos:

( ) )a(faxab

)a(f)b(fy +−⋅−−= ⇒

)a(faab

)a(f)b(fxab

)a(f)b(fy +⋅−−−⋅

−−=

y f(b)

a c b x

A

t

ϕ

r

f

f(a)=f(b)

f(c)

f(c’)

a c c’ b x

y Con un razonamiento similar al seguido en los dos casos anteriores, podemos asegurar la existencia de, por lo menos, dos puntos c y c’ interiores a (a,b) en los que se anula f ‘



82

Inventamos una función que verifique las hipótesis del Teorema de Rolle: Definimos ϕ (x) = f(x) - r(x) ϕ (x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) por ser resta de funciones continuas y derivables en esos intervalos ϕ (a) = f(a) -r(a)=f(a) -f(a) =0 ⇒⇒ϕ (a)= ϕ (b) ϕ (b) = f(b) -r(b)=f(b) -f(b) =0 Por el Teorema de Rolle , aplicado a ϕ , podemos asegurar que existe “c” ∈ (a,b) /ϕ‘(c)=0

Como ϕ‘ (x)= f ’ (x) - r’ (x)= f ’ (x) - f f

b a(b) (a)−

− por (*)

Entonces: ∃ “c” ∈ (a,b) / f ’ (c) - f f

b a(b) (a)−

−=0 ⇒ f ’ (c)=

f fb a

(b) (a)−−

Luego: Interpretación geométrica (Ver dibujo página anterior) El T. de Lagrange asegura que si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el

correspondiente abierto, entonces ∃ “c” ∈ (a,b) / f ’ (c)= f f

b a(b) (a)−

−

El primer miembro representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (c;f(c)), mientras que el segundo representa la pendiente de la cuerda que une los extremos del arco. Por lo tanto el teorema asegura que : Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el correspondiente abierto, entonces existe un punto en el arco representativo de f en (a,b) en el que la recta tan-gente es paralela a la cuerda que une los extremos del arco. 5.-Teorema de Cauchy (o del Valor Medio generalizado) Si f y g son dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) , siendo g’ (x) no nula en cualquier punto de (a,b), entonces existe un punto “c” interior al intervalo tal que el cociente entre las variaciones de las funciones f y g al pasar de “a” a “b” es igual al cociente de sus res-pectivas derivadas en dicho pounto “c”.

H) f y g cont. en [a,b];f y g deriv. en (a,b) T) ∃ c ∈ (a,b)/ f fg g

fg

(b) (a)(b) (a)

' (c)'(c)

−−

=

g’(x) ≠0,∀ x∈(a,b) (La demostración es similar a la del Teorema de Lagrange. La función que permite aplicar el T. de Rolle es ϕ(x)=[f(b)-f(a)] .g(x) - [g(b)-g(a)]. f(x) 6.- Concavidad y convexidad de una función Definición:

∃ “c” ∈ (a,b) / f(b) - f(a) = f ‘(c). (b-a)

y



83

t

a

b

t

f

Consideremos una función f derivable en x= a y x = b. f o su gráfico representativo es convexo, cóncavo hacia las “y”negativas o cóncavo hacia abajo en x = a ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(a,δ) : f(x) - t(x) < 0 , siendo t(x) la función que representa la recta tangente a la curva en x = a. f o su gráfico representativo es cóncavo, cóncavo hacia las “y”positivas o cóncavo hacia arriba en x = b ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(b,δ) : f(x) - t(x) > 0 , siendo t(x) la función que representa la recta tangente a la curva en x = b. Gráficamente significa que la función es convexa en A(a;f(a)) si y sólo si existe un entorno re-ducido de x=a tal que los puntos correspondientes del gráfico quedan por debajo de la recta tangente en A. Definición : (x0 ;f(x0 )) es un punto de inflexión de f ⇔ f es derivable en x0 y la recta tangente atraviesa la curva representativa de F. Es decir: (x0 ;f(x0 ) es un punto de inflexión de f ⇔ es derivable en x0

∧)]x(t)'x(f/);x('E'x

)x(t)x(f/);x('Ex[:0

0

0

<δ∈∃∧>δ∈∃>δ∀

x

x’ x0 x x

y f(x) f(x0

) f(x’)

t(x)



84

Relación entre la concavidad de una función y el signo de la derivada segunda Teorema: Sea f:A→R, con A⊆R, derivable hasta el segundo orden en un entorno de xo, siendo 00 ≠)x("f , entonces si 00 >)x("f , la función en )x(f;x(Po 00= ,es cóncava hacia arriba, y si 00 <)x("f , la

función en )x(f;x(Po 00= , es cóncava hacia abajo. Para probarlo tendremos que analizar el signo de h(x)=f(x)-t(x) en un entorno reducido de x0, siendo t(x) la función que expresa la recta tangente en )x(f;x(Po 00= , a la curva representativa de f . Comenzaremos por buscar una expresión de h que facilite el análisis del signo. Por el Teorema de Lagrange, )xx).(c('f)x(f)x(f/xyxentrec 0o0 −=−∃ Reemplazando en (1): h(x)= f ’(c).(x – x0) - f ’(x0) .(x – x0) Si extraemos factor común se obtiene:

)]x('f)c('f).[xx()x(h 00 −−= con c entre x y x0 (2) Supongamos: f ”(x0) >0, como la derivada segunda es la derivada de f ’, si la derivada segunda es positiva en un punto, f ’ es estrictamente creciente en el mismo, es decir:

>⇒><⇒<

δ∈∀>δ∃)x('f)x('fxx

)x('f)x('fxx:);x(Ex/

00

0000

Veamos como incide esta situación en el signo de h(x): 0)x('f)c('f)x('f)c('fxcxx0xx 00000 <−⇒<⇒<⇒<⇒<− ⇒ 0)x('f)c('f)x('f)c('fxcxx0xx 00000 >−⇒>⇒>⇒>⇒>−

y

P0

x x0

f(x0 )

f(x)

t(x)

La ecuación de la recta tangente en Po es:

)xx).(x('f)x(f)x(ty

)xx).(x('f)x(fy

oo

oo

0

0

−+==

⇒−=−

Resulta: [ ])xx).(x('f)x(f)x(f)x(t)x(f)x(h o 00 −+−=−=

Entonces: h(x)=f(x) - )xx).(x('f)x(f 000 −−

f∆

(1)

Porque c está entre x y x0

x c x0 x0 c x

Porque la derivada es estric-tamente creciente en x0.



85

Los dos factores en los que puede descomponerse h tienen el mismo signo. Es decir h(x)>0, f);x('Ex ⇒δ∈∀ 0 es cóncava hacia arriba en P0. Con el mismo criterio se prueba que si f ” (x0)<0, f es cóncava hacia abajo en P. Consecuencia:

• En los puntos de inflexión la derivada segunda debe anularse. La condición es necesaria pero no suficiente. La anulación de la derivada segunda NO permite asegurar la existencia de un punto de inflexión. Por ejemplo: y = x4, y‘ = 4x3 , y”=12 x2 , Es obvio que y “(0)=0 y sin embargo en (0;0) no hay punto de inflexión. Para verificar que un punto en el que se anula la derivada segunda es un punto de inflexión, debe analizarse el signo de la derivada en un entorno del punto en cuestión; para que lo sea la derivada segunda debe cambiar de signo. 7.- Estudio de funciones 7.1.- Condiciones suficientes para determinar si un punto crítico es o no extremo relativo. Sea f / en x=a f presenta un punto crítico, es decir: 0=∨∃ )a('f)a('f 7.1.1: Ver si se cumple la definición. (Suele ser el más dificultoso) 7.1.2: Analizar el cambio de signo de y ‘ e un entorno del punto crítico: • Si la derivada pasa de positiva a negativa, f(a) es un máximo relativo. • Si la derivada pasa de negativa a positiva, f(a) es un mínimo relativo.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-17

0

17

34

51

68 y

x

En (0;0) no cambia la concavidad de la curva.



86

7.1.3.- Análisis del signo de la derivada segunda. (Sólo es aplicable cuando f “(a) existe y es dis-tinta de cero. • Si f “(a) >0, resulta que f ’ es estrictamente creciente en x = 0, pero como f ’(a)=0, f ’ debe

pasar de valores negativos a positivos, lo que significa que la función pasa de ser decreciente a ser creciente y entonces, puedo asegurar que presenta en es punto un mínimo relativo.

• Si f “(a) < 0, resulta que f ’ es estrictamente decreciente en x = 0, pero como f ’(a)=0, f ’ debe

pasar de valores s positivos a negativos, lo que significa que la función pasa de ser creciente a ser decreciente y, entonces, se puede asegurar que presenta en es punto un máximo relativo.

7.2.- Paridad de una función Sea f:A→R, con A⊆R • f es par si y sólo si )x(f)x(f:Ax −=∈∀ (Geométricamente significa que la curva es simétrica respecto del eje y) Ejemplo: f(x) = x2 ; g(x) = cos x ; h(x)= |x |; etc.

• f es impar si y sólo si )x(f)x(f:Ax −−=∈∀ (Geométricamente significa que la curva es simétrica respecto del origen de coordenadas) Ejemplo: f(x) = x3 ; g(x) = sen x ; h(x)= x|; etc.

7.3 Asíntotas de una curva: Sea f:A→R, con A⊆R • La recta x = c es asíntota vertical de f ∞=⇔

→)x(flím

cx

• La recta y = k es asíntota horizontal de f c)x(flímx

=⇔∞→

(Observación: f puede tener asíntota horizontal para +∞→x y no tenerla o tener otra para x −∞→ ) • La recta y = m x + b ( con m 0≠ ) es asíntota oblicua de f [ ] =+−⇔

∞→)bmx()x(flím

x0

Cálculo de m: [ ] 0x

bmx)x(flím0)bmx()x(flímxx

=−−⇒=+−∞→∞→

0xblímm

x)x(flím

xx=−−⇒

∞→∞→

Resulta m = x

)x(flímx ∞→

0


Análisis Matemático I: Propiedades de las funciones derivables

87

Una vez calculada “m”, b se obtiene de la definición: [ ]mx)x(flimb

x−=

∞→

8.-Estudio de funciones Ejemplo:

Estudio completo y gráfico de f(x)=1x

x2

3

+

1. Dominio. D= R

2. Paridad: f(a)= 12

3

+a

a; f(-a)=

1)a(

)a(2

3

+−

−=

1a

a2

3

+

−)a(f)a(f −−=⇒

3. Ceros: f(x) = 0 0x =⇒ 4. Asíntotas: • Asíntota vertical: no tiene

• Asíntota horizontal: 12

3

+∞→ x

xlím

x= tieneno

x

1x1

1lím

3x

⇒∞=−∞→

asíntota horizontal

• Asíntota oblicua: m= =+∞→ )1x.(x

xlím2

3

x=

+∞→ xx

xlím

3

3

x1

x

11

1lím

2x

=−∞→

b= 0

x

11

x1

lím1x

xxxlímx1x

xlím

2x2

33

x2

3

x=

+

−

=

+

−−=

−

+ ∞→∞→∞→

La asíntota oblicua es : y=x 5. Puntos críticos

f ’(x)=( )22

322

1

213

+

−+

x

x.x)x(x=

( ) ( )22

24

22

424

1x

x3x

1x

x2x3x3

+

+=+

−+ =( )22

22

1x

)3x(x

+

+

f ’(x)=0⇒ x=0 6. Posibles puntos de inflexión

42

224223

)1x(

x2).1x(2).x3x()1x)(x6x4()x("f+

++−++=


Análisis Matemático I: Propiedades de las funciones derivables

88

342

32222

)1x(

x4).3x()1x)(3x2(x2)1x()x("f+

+−+++= =2x.22

2424

)1x(

x6x23x5x2

+

−−++

32

2

1

32)x(

x.x)x("f

+

−= . 00 =⇒= x)x("f 3x3x −=∨=∨

7. Cuadro de signos de y, y ’e y”.

x - 3 0 3

y=12

3

+x

x

0

+++

+++

+++++++++++

y ’=22

22

1

3

)x(

)x(x

+

+ +++++++++++

+++

+++

0

+++

+++

+++++++++++

y”=32

2

1

32

)x(

)x.(x

+

−

+++++++++++

0

0

+++

0

La función es estrictamente creciente en R. No tiene extremos relativos. Intervalos de concavidad ),(),( 303 ∪−−∞

Intervalos de convexidad ),(),( +∞∪− 303 .

y

x22-2-2

2

44

-2

-4-4

U.T.N. Análisis Matemático I: Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

89

9.- Problemas con máximos y mínimos. Ejemplo: Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 cm, gira alrededor de uno de sus catetos, generando un cono circular recto. Determine las medidas de los catetos del triángulo para que el volumen del cono sea máximo. Se quiere el máximo de la función volumen del cono:

231

R.V π= .h , sabiendo que, por el Teorema de Pitágoras : 3622 =+ hR

Entonces: 22 36 hR −= h).h(V 23631 −π=⇒ )hh(V 336

31 −π=⇒

Esta es la función con la que vamos a trabajar:

V’= 12123360336033631 2222 =⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−π hhhh'V)h.(

Se descarta el valor negativo porque se trata de una altura , de manera que el punto crítico corresponde a : h= 3212 = y R= 62241236 .==− . No hace falta verificar que es un máximo porque el volumen mínimo se produciría para h=0 y no tiene sentido.

6 cm

h

R


90

10.-Regla de L’Hôpital 10.1.- Teorema Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto (a,b)que incluye a un entorno reducido

de “c”. Si 0==→→

)x(glím)x(flímcxcx

( o ∞==→→


) y existe el ,)x('g)x('f

límcx→

finito o

infinito, entonces =→ )x(g

)x(flím

cx )x('g)x('f

límcx→

.

OBSERVACIONES • LA REGLA TAMBIÉN VALE SI ∞→x . • Sóló es aplicable a indeterminaciones 0/0 ó ∞∞ / . Las demás indeterminaciones deben

transformarse en alguna de las mencionadas, antes de aplicar la regla

10.2.- Transformación de indeterminaciones del tipo 0. ∞ . Si ∞==

→→)x(glímy)x(flím

cxcx0 y se desea calcular )x(g).x(flím

cx →, debemos pensar que :

f(x).g(x)= f(x).)x(f

12

)x(g1

1 = y queda transformada en una indeterminación 0/0 ó ∞∞ / .

Ejemplo:

0x2

xlím

x

2x1

límx

xlnlímxln.xlím

2

0x2

0x1

0x0x=

−=

−==

++++ →→−

→→

10.3.- Transformación de indeterminaciones del tipo ∞ - ∞ En general se transforman haciendo algunas de las cuentas indicadas. Si no se llega a 0/0 ó

∞∞ / , se puede utilizar la siguiente igualdad

)x(g).x(f1

)x(f1

)x(g1

)x(g)x(f−

=− , si ∞==→→


, el segundo miembro de la igualdad tiende

a 0/0.

Ejemplo:

+

−→ )x1ln(

1xsen

1lim

0xcomo sen 0=0 y ln 1=0, se trata de una indeterminación ∞ - ∞ .

+

−→ )x1ln(

1xsen

1lim

0x= =

+++

−+=

+

−+→→ xcos).x1ln(xsen

x11

xcosx1

1

límxsen).x1ln(xsen)x1ln(

lím0x0x


91

21

0.01.11.10.101

xsen)x1ln(xcosx1

1xcos

x11

xsen)x1(

1

xsen)x1(

1

lim

2

2

0x−=

−++−+−=

+−+

++

++

−

++

−

=→

10.4- Transformación de indeterminaciones del tipo ∞∞ 10 00 ,, (Se procede con los tres casos de

la misma forma) Consideremos f y g derivables en un entorno reducido de c/ 0)x(glím)x(flím

cxcx==

→→, y

supongamos que queremos calcular [ ] )x(g

cx)x(flím

→

Consideremos h(x)= [ ] )x(g)x(f , y apliquemos logaritmos a ambos miembros:

lnh(x)=g(x).ln[f(x)] . Si ahora tomamos límite para x→c en ambos miembros, se tiene:

)]x(fln[).x(glím)]x(hln[límcxcx →→

= .

El límite del segundo miembro es ahora una indeterminación del tipo 0. ∞ que ya sabemos llevar a 0/0 ó ∞∞ / para poder aplicar la Regla de L’Hôpital. En el primer miembro podemos utilizar que el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite.

Resulta: ln =→

)x(hlímcx

l le)x(hlímcx

=⇒→

Ejemplo:x

0x xsen1

lím

→. Se trata de una indeterminación 0∞

Sea h(x) =

=⇒

xsen1

ln.x)]x(hln[xsen

1 x

[ ] [ ]

2

21

0x

1

0x0x

x

1

xcos.xsen

1.

xsen

1

lím

x1

xsenlnlím)x(hlímln−

−

==

⇒

−

→

−

→→

010

xcosxsen.xxcos.x2

límxsenxcosx

lím

x

1

xcos.xsen

1.xsen

lím)x(hlímln2

0x

2

0x2

2

0x0x==

−==

−

−

=

⇒

→→→→.

Entonces : x

0x xsen1

lím

→= e0 =1

U.T.N. Análisis Matemático I: Integral definida Facultad Regional Avellaneda

92

INTEGRAL DEFINIDA Sea f:[a,b]→R con [a,b]⊆R/ f continua y no negativa ∀x ∈ [a,b]. Interesa calcular el área ( A ) del recinto plano limitado por la curva representativa de f y las rectas de ecuación: x = a, x = b , y = 0. (Es decir, el área del recinto limitado por la curva, las paralelas al eje "y" trazadas por a y por b y el eje x ) Como f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], por el segundo teorema de Weierstrass, f alcanza en ese intervalo un máximo y un mínimo absoluto que indicaremos M y m respectivamente. Una primera aproximación al área buscada está dada por los rectángulos que tiene por base (b-a) y por altura M y m respectivamente. Es obvio que:

m. (b - a) ≤≤ A ≤≤ M.( b - a) (El "=" corresponde al caso de función constante) Para mejorar la aproximación, provocamos una" partición regular" en [a,b], intercalando puntos entre los extremos del intervalo.

a = xo < x1 < x2 <...< xi-1 < xi <.... < xn =b De esta forma , el intervalo [a,b] queda subdividido en "n" subintervalos [xo , x1],...[xi-1 , xi],...[xn-1, xn ], cuyas amplitudes son:

∆x x xb a

ni i i= − =−

−1

a a

b b

y

y

m

M

x

m(b-a) SP SP’

M(b-a) SP SP’

x


93

Como la función es continua en [a,b], también lo es en cada uno de los subintervalos y por lo tanto alcanza en cada uno de ellos , un máximo y un mínimo absolutos. Designamos con Mi y mi al máximo y al mínimo absoluto de f en [ xi-1, xi] Si indicamos con "P" a la partición realizada, llamamos suma inferior de f(x) con respecto a la partición P (SP ), a la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por base la amplitud de

cada subintervalo ( ∆xi) y por altura el mínimo absoluto que la función alcanza en él ( mi).

En símbolos: S m xP i ii

n

==∑ ∆

1

Con el mismo criterio, llamamos suma superior de f(x) con respecto a la partición P (S P ), a la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por base la amplitud de cada subintervalo (∆xi) y por altura el máximo absoluto que la función alcanza en él ( Mi).

En símbolos : S M xP i ii

n

==∑ ∆

1

Se cumple : m. (b - a) ≤≤ SP ≤≤ A ≤≤ SP ≤≤ M.( b - a)

Si “refinamos” la partición, es decir, definimos una nueva partición P’ con más puntos que la anterior, obtendremos una nueva suma inferior y una nueva suma superior que llamaremos SP ' y

SP ' respectivamente.

Puede verse que: m. (b - a) ≤≤ SP ≤≤ SP ' ≤≤ A ≤≤ SP ' ≤≤ SP ≤≤ M.( b - a)

Si se repite el proceso , considerando sucesivas particiones regulares , cada vez con más puntos, se obtienen dos sucesiones acotadas: una, de sumas inferiores, creciente , que no supera nunca al área buscada , y otra de sumas superiores, decreciente, que se mantiene siempre mayor o igual que A. Además se cumple que la diferencia entre dos términos correspondientes de ambas sucesiones es, en valor absoluto, cada vez menor. En efecto: M.( b - a) - m. (b - a) ≥≥ SP - SP ≥≥ SP ' - SP ' ≥≥ ....

Por lo tanto ambas sucesiones convergen a un mismo valor que es el área buscada.

Es decir: i

n

ii

nxmlím ∆∑

=∞→ 1 = i

n

ii

nxMlím ∆∑

=∞→ 1 = A

Si en lugar de considerar como altura los máximos o mínimos absolutos de f(x) en cada subintervalo, se elige en cada uno de ellos un punto arbitrario �� y se toma como altura de los rectángulos f(��), obtenemos , para cada partición, la suma de Riemann o suma integral:

Suma de Riemann: SR = f xi ii

n

( ).α ∆=∑

1.

Resulta, para cada partición: SP ≤≤ SR ≤≤ SP


94

Se genera de esta forma una nueva sucesión, la de las sumas de Riemann que permanenetemente se encuentra comprendida entre la de sumas inferiores y la de sumas superiores. Por lo tanto, cuando n →∞ , la sucesión de sumas de Riemann tiene el mismo límite que ellas.

Definición Sea f(x) continua en [a,b], se llama integral definida de f(x) entre a y b y se indica

f x dxa

b( ).∫ ,al límite, si existe, para n→ ∞, de la sucesión de sumas de Riemann.

(Si f es continua, el límite siempre existe).

f x dxa

b( ).∫ =

∞→nlím ∑

=∆α

n

iii x).(f

1

• Interpretación geométrica Si la función es no negativa en [a,b], la integral definida representa el área limitada por f(x) , el eje x y las paralelas al eje y trazadas por a y por b . • PROPIEDADES

I) a

a∫ f(x) dx = 0

II) a

b∫ f(x) dx = - b

a∫ f(x) dx.

III) a

b∫ f(x) dx + b

c∫ f(x) dx = a

c∫ f(x) dx

IV ) a

b∫ ( f(x) + g(x) ) dx = a

b∫ f(x) dx + a

b∫ g(x) dx.

V) a

b∫ k f(x) dx = k a

b∫ f(x) dx

VI) |a

b∫ f(x) dx| ≤ a

b∫ |f(x)| dx

• Teorema del valor medio del cálculo integral

Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior a (a,b) tal quea

b∫ f(x) dx

es igual al producto entre f(c) y la amplitud del intervalo de integración. Interpretación geométrica: Si f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a,b], el teorema expresa que el área limitada por la curva representativa de f, el eje x y las paralelas al eje y trazadas por a y b es equivalente al de un rectángulo con base (b-a) cuya altura es el valor de f en algún punto interior del intervalo. Demostración

y f(c)

a c b x


95

De acuerdo con lo expuesto en la introducción, al hacer una partición regular en [a,b] se obtiene:

m. (b - a) ≤≤ ∑=

∆n

iii xm

1 ≤≤ ∑

=∆

n

iii xM

1 ≤≤ M.( b - a)

Tomando límite para n→∞ se tiene:

m. (b - a) ≤≤ ∫b

adx).x(f ≤≤ M.( b - a)

Si se dividen los tres miembros por (b - a) resulta:

m ≤≤ ab −

1 ∫

b

adx).x(f ≤≤ M

Por el teorema del valor intermedio, resulta que existe c ∈ (a,b)/

f(c) = ab −

1 ∫

b

adx).x(f ⇒ ∫

b

adx).x(f = f(c) (b-a).

• Función área o función integral Si en una integral definida se mantiene fijo el límite inferior de integración y se considera variable el límite superior, se obtiene una función que depende de dicho límite . Esta función recibe el nombre de función área o función integral.

∫=x

adt).t(f)x(A

• Teorema fundamental del cálculo integral o derivada de la función área

Si f es continua en [a,b] , y x0 es un punto interior a (a,b), la función ∫= xa

dt).t(f)x(A es

derivable en x0 y resulta A’ (x0)= f(x0). En efecto:

Por definición de derivada: A’ (x0)=0

0xx xx

)x(A)x(Alím

0 −−

→

Reemplazando por la definición de A(x), se tiene:

A’ (x0)= 0

0

xx

dt)t(fdt)t(f

lím

x

a

x

a

xx o −

−∫ ∫→

=0

xa

ax

xx xx

dt)t(fdt)t(flím 0

o −

+∫ ∫→

=0

xx

xx xx

dt)t(flím 0

0 −

∫→

Por el T. Del valor medio del Cálculo integral resulta:

A’ (x0)= 0

0xx xx

)xx).(c(flím

0 −−

→ con c entre x0 y x ⇒ A’ (x0)= 0

xxx(f)c(flím

0=

→)

por ser f continua

es un número comprendido entre el mínimo y el máximo de una función continua en un intervalo cerrado

U.T.N. Análisis Matemático I: In-tegral definida Facultad Regional Avellaneda

96

Aplicación Supongamos que queremos calcular el área de la región del plano limitada por

y = senx, el eje x y la recta x=2π

Si bien no conocemos esta función, por el Teorema fundamental de Cálculo integral, su derivada es la función que estamos integrando. A’(x)= sen x⇒A(x)= - cos x + C, ya que (-cos x)‘ = sen x

Como A(0)= 00

0=∫ dx.xsen (por prop. de integral def.), resulta: - cos 0 + C = 0

Entonces: C = cos 0.Por lo tanto: A(x) = - cos x + cos 0

Nos interesa A( 4π )= ∫

π 4

0

/dx.xsen = - cos 4

π + cos 0= 122

+−

Concepto de primitiva Si F es una función tal que F’(x) = f(x), diremos que F(x) es una primitiva de f(x). Por ejemplo: y= x2; y = x2+1; y = x2+ 100 son primitivas de f(x) = 2x El cálculo de primitivas se hace a través de la integración indefinida. Regla de Barrow:

Se quiere calcular ∫b

adx).x(f con f continua en [a,b].

Defino A(t)= )t(f)t('F/C)t(F)t(A)t(f)t('Adx).x(ft

a=+=⇒=⇒∫

Pero A(a)= ∫a

adx).x(f =0 (prop. de la integral def.) )a(FC0C)a(F −=⇒=+⇒

Resulta: C)b(F)b(Adx).x(fb

a+==∫ ∫ =−=⇒

b

a)x(f)x('Fsiendo),a(F)b(Fdx)x(f

0 1 2 30

1

2π

y

x

El área se calcula mediante la inte-gral:

A= ∫π 4

0

/dx.xsen

Defino la función área asociada:

A(t)= ∫t

dx.xsen0

es derivada de

F(x)

f(x)

es primitiva de

(Por el T. Fundamental del Cálculo


97

• Teorema: Si dos funciones tienen la misma derivada entonces difieren a lo sumo en una constante. H) F(x) y G(x)/ F’(x)= G’(x) T) F(x) = G(x) + C Demostración: Por hipótesis F’(x)= G’(x)⇒ F’(x) - G’(x)=0 ⇒[F(x)-G(x)]’=0⇒F(x) – G(x) = C⇒F(x) = G(x) +C. • Consecuencia: La primitiva de una función no es única. Existe una familia de infinitas funciones que difieren entre sí en una constante, que admiten la misma derivada. Geométricamente esto significa que para un mismo valor de x, las curvas tienen rectas tangentes paralelas

• Aplicaciones de la Integral definida 1.- Cálculo de áreas planas 1.1.- Área de la región limitada por y = f(x), x = a, x = b y = 0 , siendo f continua en [a,b]. 1.1.1.- f(x) ≥ 0,∀ x ∈[a,b] 1.1.2.- f(x) ≤0,∀ x ∈[a,b] 1.1.3.- f(x) cambia de signo en [a,b]

y

x a b

f(x) Por la interpretación geométrica de la integral definida, resulta:

A= f x dxa

b( ) ⋅∫

En este caso la integral resulta negativa, entonces: A=-

f x dxa

b( ) ⋅∫ = f x dx

b

a( ) ⋅∫

y f(x)

x a

c

a) Se buscan los valores de x para los que f(x)=0. En el ejemplo , x=c b) Se calcula el área como suma de áreas:

A = f x dx f x dxa

c

b

c( ) ( )∫ ∫+

y

f(x)0

a b x

x


98

Ejemplo: Calcular el área limitada por : y = ln(x-1) , el eje x , entre x=1.5 y x= 2.5

y

x1.5

2 2.5

5

La curva corta al eje x en x= 2. Luego:

A= ln( ) ln( ).. .

x dx x dx− + −∫ ∫1 12

15

2

2 5

] ] =−−−−+−−−−= 522

512 1111 ..

)xln(x)xln(.x)xln(x)xln(.xA =1,5. ln0,5-1,5 – ln0,5-2.ln1+2+ ln1+2.5 ln1.5 - 2.5-ln1.5-2.ln1+2-ln1= =0,5.ln0,5+1,5.ln2,5 A=1,03 1.2.- Área comprendida entre dos curvas Ejemplo: Hallar el área de la región limitada por : x.y = 4 ; y=x ; x=8

b

g(x)

f(x)

a b b

y

x

a) Se buscan los puntos de intersección entre las dos curvas, en el dibujo: a y b. b)

A= ( )f x dx f x dx f x g x dxa

b

a

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )⋅ − ⋅ = −∫ ∫∫

2ln22ln.4322ln22

8ln.428

A

|x|ln42x

dx.x4

xA

2|x|4xyx4y.x

322

8

2

82

2

2

+−−=

−−−=

⇒

−=

−=

=⇒=⇒

==

∫

y

y=x x.y=4


99

1.3.- Longitud de un arco de curva Sea f:[a,b]→R continua con derivada continua. Interesa calcular la longitud del arco de la cur-va que f define entre A=(a;f(a)) y B=(b;f(b)). Provocamos una partición regular en [a,b], haciendo:a= x0 < x1 < ....<xi-1<xi <....xn = b,

con ∆xi = xi -xi -1= b a

n−

Esa partición induce en el arco de curva un conjunto de puntos: P0=A, P1 ,...Pi-1, Pi,...,Pn=B Estos puntos determinan una poligonal en el arco , cuyo perímetro es una aproximación de la longitud pedida.

Para calcular ese perímetro debemos calcular la medida de cada uno de los segmentos que la componen.

|Pi-1Pi | = ( ) ( )22ii yx ∆+∆

pi-1 Por el Teorema del valor media del cálculo diferencial (teore-ma de Lagrange), ∆ ∆y f c x x c xi i i i i i= < <−' ( ) , 1

Resulta:

( ) ( )P P x f c x f c xi i i i i i i− = + = + ⋅12 2 21∆ ∆ ∆' ( ). ' ( )

Luego: long.∩

→∞ == + ⋅ = + ⋅∑ ∫AB lím f c x f x dx

ni i

i

n

a

b1 12

1

2' ( ) ' ( )∆

y f(b) f(a)

Pi

x0=a x1..........xi-1 xi.................xn=b

P0 =A

Pi-

Pi


100

Si la función se define paramétricamente mediante:x x t

y y t

==

( )

( ) , como según se vió: y

y

xxt

t'

'

'=

Entonces resulta:

1 1 122 2

2

2 2

2

2 2

+ = +

= + =

+=

+f x

yx

y

x

x y

x

x y

x

t

t

t

t

t t

t

t t

t

' ( )''

'

'

' '

'

' '

'

Si x = x(t) , entonces dx= x’(t) dt. Como la longitud es positiva, dx debe ser positivo, y si t t ta b≤ ≤ , resulta dt >0, es decir x’(t) >0. Reemplazando en la fórmula de la longitud de arco se obtiene:

long. AB= dttt

2t'y2

t'xba

∫ +

U.T.N. Análisis Matemático I: Integrales impropias Facultad Regional Avellaneda

101

• Integrales Impropias Las integrales se han definido para funciones continuas en conjuntos acotados. Si los conjuntos no son acotados o las funciones presentan alguna discontinuidad en el intervalo de definición, se generaliza el concepto de integral mediante las integrales impropias. Integrales impropias de primera especie (Intervalo no acotado) Ejemplo: Consideramos la función f:[0,+∞ ) → R/ f(x) = xe − Sea b ),[ +∞∈ 0 , se puede calcular

F(b)= ∫ −b

x dxe

0

= ]b

bbx

e

eee1

100 −=+−=− −−

Se puede calcular ∫ −+∞→+∞→

=b

x

bbdxelím)b(Flím

0

Resulta 11

1 =

−=

+∞→+∞→ bbb elím)b(Flím

Se dice que la integral de primera especie de f(x)= xe − en [0,+∞ ) (que se escribe

∫+∞

−

0

dxe x ) converge a 1

∫+∞

−

0

dxe x =1

Definición: Dada f: [a,+∞ ) → R, continua , se llama integral impropia de primera especie de f en [a,+ ∞ )

(se indica: ∫+∞

a

dx)x(f ) al límite, si existe, para +∞→b , de F(b)= ∫b

a

dx)x(f

∫+∞

a

dx)x(f = ∫+∞→

b

ab

dx)x(flím .

-0.

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

x

-0.

0

0.

1

y


102

Si el límite es finito, se dice que la integral impropia converge al valor del límite; si es infinito, la integral impropia diverge y si el límite no existe, se dice que oscila Con el mismo criterio se define:

∫∫ −∞→∞−

=b

aa

b

dx)x(flímdx)x(f , siempre que el límite exista

Integral impropia de segunda especie (la función es continua en un intervalo semicerrado) Ejemplo:

Sea :21

110x

)x(f/R),[:f

−=→ y sea ε >0

Se llama integral impropia de segunda especie de f en [0,1) a:

∫∫ε−

→ε

−

−=

−+

1

020

1

02 1

1

1

1dx

x

límdx

x

=2

10

π=ε−+→ε

)(senarclím

Definición: Sea f: [a,b)→R, continua en [a,b) y tal que ∞=

−→)x(flím

bx. Se llama integral impropia de

segunda especie de f en [a,b) a: ∫−

=b

a

dx)x(f ∫ε−

→ε +

b

a0dx)x(flím

y

x

Calculamos:

dx

x∫

ε−

−

1

021

1=

] )1sen(arcxsenarc 10 ε−=ε−

Resulta F(ε )= arc sen (1-ε ). Se puede calcular el límite para ε→0+:

21

0

π=ε−+→ε

)(senarclím


103

Con el mismo criterio se define: ∫ ∫+

+

ε−→ε

=b

a

b

a

dx)x(flímdx)x(f0

Puede ocurrir que la integral sea convergente, si el límite existe y es finito, divergente, si es infinito u oscilante, si no existe.

U.T.N. Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor Facultad Regional Avellaneda

104

POLINOMIO DE TAYLOR 1.-Introducción: Guía para trabajar con el Mathematica. Dada una función cualquiera, derivable hasta el orden n+1, nos interesa encontrar funciones polinómicas de distinto grado, que permitan aproximar la función en el entorno de un punto. Esta guía, que precede a la explicación teórica, tiene por objeto permitirles verifi-car, con la ayuda del Mathematica, que tales polinomios existen, y reconocer, mediante cálculos y a través de la presentación de gráficos conjuntos, los factores que inciden para lograr una mejor aproximación. A continuación mostraremos algunos ejemplos indicando los comandos que se deben teclear y mostrando lo que devuelve la pantalla del soft. Series[Log[x],{x,1,1}] (-1 + x) + O [-1 + x] 2 Entre llaves se ha indicado cuál es la variable, en el entorno de qué punto se pretende tra-bajar y el grado del polinomio. Mathematica devuelve el polinomio pedido y agrega un térmi-no que expresa el orden del error que se comete. Repetiremos el proceso cambiando el gra-do del polinomio. Series[Log[x],{x,1,2}]

(-1 + x)2 (-1 + x) - --------- + O[-1 + x]3

2 Series[Log[x],{x,1,3}] (-1+ x)2 (-1 + x)3 (-1 + x) - --------- + --------- + O[-1 + x]4

2 3 Llamaremos f a la función y f1,f2 y f3 a los polinomios de primero, segundo y tercer orden obtenidos. Calcularemos las imágenes de estas funciones en puntos próximos a a=1 para ver analizar cuáles son los factores que intervienen en mejorar la aproximación. Finalmente mostraremos en un mismo gráfico las representaciones de f y de sus polinomios aproximan-tes, dando indicaciones como para que en la pantalla puedan distinguirse los gráficos de las distintas funciones.

f[x_]:=Log[x] f1[x_]:=-1+x f2[x_]:=-1+x-(-1+x)^2/2


105

f3[x_]:=-1+x-(-1+x)^2/2+(-1+x)^3/3 {f[1.2],f1[1.2],f2[1.2],f3[1.2]} {0.182322, 0.2, 0.18, 0.182667} {f[1.5],f1[1.5],f2[1.5],f3[1.5]} {0.405465, 0.5, 0.375, 0.416667} {f[0.2],f1[0.2],f2[0.2],f3[0.2]} {-1.60944, -0.8, -1.12, -1.29067}

Vemos que la aproximación depende del grado del polinomio y de la distancia entre x y el punto en cuyo entorno estamos desarrollando la función.

A continuación dibujaremos la función y los polinomios aproximantes. Presentamos

algunas de las opciones que pueden utilizarse para facilitar el reconocimiento de las funcio-nes: grosor, color y estilo de la línea de trazado. También indicamos distintas posibilidades para que el programa muestre gráficos superpuestos.

Plot[f[x],{x,0.01,1.8}] Plot[f1[x],{x,0.01,1.8}];


106

Show[%,%%] Plot[{f[x],f3[x]},{x,0.01,1.8}, PlotStyle->{{Thickness[0.01],GrayLevel[0.5]}, {Thickness[0.005],RGBColor[1,0,0],Dashing[{0.04,0.02}]}}];

Plot[{f[x],f2[x],f3[x]},{x,0.01,1.8}, PlotStyle->{{Thickness[0.01],GrayLevel[0]}, {Thickness[0.005],RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.03,0.04}]}, {Thickness[0.005],RGBColor[1,0,0],Dashing[{0.04,0.02}]}}];


107

La sentencia para limpiar las asignaciones es Clear[f,f1,f2,f3] Tecléela y repita el proceso para f(x) = ex (Se escribe :Exp[x]) en un entorno de a=0. 2.- Orden de contacto de dos funciones Sean f y g dos funciones definidas en un entorno de x0, derivables hasta el orden n+1. Se dice que f y g tienen un contacto de orden n en x0 si y sólo si en x0, ambas fun-ciones coinciden, como así también sus n primeras derivadas, siempre que existan pero sean distintas las derivadas de orden n+1. Por ejemplo:

Las funciones f(x)= ln x , y g(x)= 3

)x1(2

)x1()x1(32 +−−+−−+−

f(1)=0 g(1)=0

f ’(x)= 1)1('fx1

=⇒ g’(x)= 1 – (-1+x) - 2)x1( +− ⇒ g’(1)=1

f ” (x)=2x

1− 1)1("f −=⇒ g”(x)= -1 –2(-1+x)2 1)1("g −=⇒

f”’(x)= 2)1('"fx

23

=⇒ g”’(x)=2 2)1('"g =⇒

fiv (x)= 6)1(fx

6 iv4

−=⇒−

giv(x)=0 0)1(giv =⇒

Resulta que f y g tienen un contacto de tercer orden. 3.- Polinomio de Taylor

Dada una función f :A ,R→ con A ,R⊆ derivable hasta el orden (n+1) en x0, se busca un polinomio de grado n, escrito en potencias de (x-x0), que tenga con f un contacto de or-den n en x0. El polinomio que se busca tiene la forma: Pn(x)= a0 + a1 (x-x0) + a2 (x-x0)2 +.....+ an-1(x-x0)n-1 + an (x-x0)n Obtenemos las n primeras derivadas de Pn(x): p’n(x)= a1 + 2.a2 (x-x0) +.....+(n-1) an-1(x-x0)n-2 + ann (x-x0)n-1 P”(x)= 2.a2 +.....+(n-1)(n-2) an-1(x-x0)n-3 + ann(n-1) (x-x0)n-2 ............................................................................... P(n)

n(x)= an n!


108

Como se pretende que en x0 coincidan las derivadas de la función con las del polinomio, se tiene:

a0 = f(x0) a1= f ’(x0) a2 =!2

)x("f 0 ................ an = !n)x(f 0

)n(

Reemplazando en la expresión original del polinomio buscado, resulta:

)a-.(xn!(a)f+...+)a-(x

2!(a)f"

+a)-(a).(xf+f(a)=)x(P (n)(n)

2n ′

Pn(x) =∑=

−n

0i

i00

)i( )xx).(x(f!i1

El ejemplo presentado en la introducción muestra que la aproximación mejora cuando más grande es el grado del polinomio y cuanto más cerca está x de x0. Para x 0x(E∈ ), se puede escribir: f(x) nP≅ (x). El error que se comete se llama resto de Taylor o término complementario. La expresión del término complementario, según Lagrange es:

)!1n()xx)(c(f

T1n

01n

1n +−

=++

+ con c entre x0 y x

Si x0 =0 , la fórmula se llama de Mac Lauren y adopta esta forma:

f(x)=∑=

n

0i

i)i( x).0(f!i1

+ Tn+1 donde )!1n(x).c(fT

1n1n

1n +=

++

+ con c entre 0 y x

Ejemplo: Dada la función f(x) = ex, se pide: a) Polinomio de MacLaurin de segundo grado. b) Calcular con el polinomio hallado en a) e y acotar el error cometido. c) Hallar el grado del polinomio que permite encontrar e con error menor que 0,0001


109

a) El polinomio de Mac Laurin de segundo grado es: 2(x)= 2x)0("f!2

1x)0('f)0(f ++ . Pero

f(x)=f ’(x)=f ”(x)= ex ⇒ f(0)=f ’(0)=f ”(0)=e0=1

Luego: P2(x)= 1+ x + 0.5 x2 b) Como quiero e =f(0.5), calculo P2(0.5)=1+0.5+0.5 . (0.5)2=1.625

Teniendo en cuenta que el término complementario es:

c3c3

3 e481

65.0e

!3x).c(fT

111

=== con 0<c < 0.5

5.0c5.0c0 ee1eee

21

c0 <<⇒<<⇒<< . Pero 23e3e2 5.05.0 <<⇒<<

Luego, se tiene:

1.0T6041.0241T

481.2

481e

481

481.12e1 33

cc <⇒=<<⇒<<⇒<<∩

Es decir, podemos asegurar que

6,1e ≅ con 1,0<ε Efectivamente, con la calculadora se obtiene: 648721271.1e =

c) Quiero hallar n / Tn+1(0.5)< 0.001

Como Tn+1(0.5)=)!1n(2

e)!1n()21.(e

1n

c1nc

+=

+ +

+

, y ec < 2, resulta que debe ser:

1000)!1n.(21000

1

)!1n(2

1001.0)!1n(2

2 nn1n

>+⇒<+

⇒<++

Para n=3 es: 23.4!=192<1000, pero para n =4 es: 24 5!=1920>1000 Significa que si se toma el polinomio de cuarto grado de MacLaurin se logra la aproxi-mación deseada.

P4(x)= 1+ x + 0.5 x2+61 x3+

241

.x4

P4(0.5)=1.6484375 ≅ 1.648 que efectivamente es e con error menor que 0.001

U.T.N. Análisis Matemático I: Sucesiones y Series Facultad Regional Avellaneda

110

SUCESIONES

Ejemplos Dividamos un cuadrado de lado 1 en 9 cuadrados de lado 1/3 y pintemos el del centro; repitamos el procedimiento con cada cuadrado de lado 1/3, luego con cada cuadrado de lado 1/9 y así sucesivamente. La figura muestra pintados: un cuadrado de lado 1/3; 8 de lado 1/9 y 64 de lado 1/27.

Calculemos el área y el perímetro de la zona sombreada en cada paso:

Núm. de cuadrados pintados en este paso

Medida del lado del cuadrado pintado

Perímetro de los cuadrados pintados en

este paso

Área de los cuadrados pintados en este paso

1 1 31

34

91

31 2

=

2 8 91

94.8 =

=38

.34

932

42

31

91

=

3 82 =64

271

2

38

.34

274

.64

=

6

31

--- --------- ------------ ----------- -------------- n

8n-1 n3

1

1n

38

.34 −

n2

31


111

Podemos observar que a cada paso le corresponde: a) un número de cuadrados pintados b) la medida del lado de cada cuadrado pintado c) el perímetro de la zona pintada en ese paso d) el área de la zona pintada en ese paso

Entonces, podemos considerar que se han definido cuatro funciones cuyo dominio es la columna encabezada por “Pasos” y cuyas imágenes se dan en cada columna no sombreada de la tabla anterior. Como el dominio es en todos los casos el conjunto de números naturales, podríamos escribir sólo las columnas no sombreadas y todos entenderíamos de qué se trata. La fila que corresponde a “n” nos da la fórmula de la función. Si obviamos indicar el paso, podemos escribir directamente la forma de calcular el número de cuadrados, la medida del lado, el perímetro o el área de cada cuadrado Es decir: • el número de cuadrados pintados está dado por la función: c:N → R/ c(n)= 8 n-1,

pero podríamos escribir sólo el conjunto imagen:{1 , 8, 64,...., 8n-1,...} ,o bien podríamos escribir que las imágenes son (cn)n∈N siendo cn=8n-1

• Las restantes sucesiones definidas por el cuadro son:

La de las medidas de los lados de los cuadrados pintados: na{ } Nn∈ / nn

3

1a =

La de los perímetros de la zona pintada en el paso “n”: np{ } Nn∈ /n

n 38

.34

p

= , etc.

Definición 1 Se llama sucesión de números reales a toda función a: N→R /a(n) = a n

Notación: Como la sucesión queda caracterizada por el conjunto imagen, se las denota: {an}n ≥1

Definición 2: La sucesión {an}n ≥1 converge a l o tiene límite l si y sólo si

∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ − <0 0 0, / :( )n N n n n an l ε

Las sucesiones con límite finito son convergentes

Por ejemplo:

econvergentsucesión32n

n3límn

⇒=+∞→


112

Propiedades de las sucesiones convergentes: 1.- Toda sucesión convergente está acotada. 2.- Si una sucesión es convergente, su límite es único. 3.- Para las sucesiones convergentes valen las propiedades del álgebra de límites finitos .(límite de una suma, de un producto, etc)

Definición 3:

La sucesión {an}n ≥1 tiene límite infinito

∞=∞→

nn

alím si y sólo si

∀ k >0, ∃ no ∈ N/∀ n :[ n ≥ n0 ⇒ |an | > k]

Si una sucesión tiene límite infinito, es divergente Si no tiene límite , es oscilante. Ejemplos:

oscilanteessucesiónla)2(lím n

n→∃=−

∞→

⇒∞=∞→

2

nnlím la sucesión es divergente

Definición 4: ♦♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada inferiormente si y sólo si ∃ k ∈ R/ a n ≥ k, ∀ n

(k es cota inferior) ♦♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada superiormente si y sólo si ∃ M∈ R/ a n ≤M, ∀ n

(M es cota superior) ♦♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada si y sólo está acotada superior e inferiormente Definición 5: La sucesión {an}n ≥1 es creciente si y sólo si ∀n: an ≤ an+1

Definición 6: La sucesión {an}n ≥1 es decreciente si y sólo si ∀n: an ≥ an+1 Definición 7: La sucesión {an}n ≥1 es monótona si y sólo si {an}n ≥1 es creciente o de creciente.

• Propiedades de las sucesiones monótonas:

i) Si la sucesión {an}n ≥1 es monótona y acotada, entonces es convergente. ii) Si la sucesión {sn}n ≥1 es monótona y no está acotada, entonces, si es creciente se cumple que: +∞=

∞→nalím

n , y si es decreciente: ∞−=

∞→nalím

n.


113

SERIES Definición 1: Sea la sucesión{ an }n ≥ 1 . Se llama serie de términos an a la sucesión de sumas parciales de

{ an }n ≥ 1, es decir a la sucesión { Sn }n ≥ 1 donde Sn = akk

n

=∑

1

.

Como una serie es una sucesión, la serie es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es convergente. El límite de Sn es la “suma de la serie”.

Para expresar la suma de una serie se utiliza la siguiente notación: akk =

∞

∑1

Pero, por abuso de notación, se suele representar con el mismo símbolo a la serie, aunque no se sepa si es o no convergente (Se lee “serie de los ak “ ) Propiedades:

1.- akk =

∞

∑1

y bkk =

∞

∑1

convergentes ⇒ ( )a bk kk

+=

∞

∑1

y ( )a bk kk

−=

∞

∑1

convergentes.

2.- ∀ α ≠ 0 : a y akk

kk=

∞

+

∞

∑ ∑ ⋅1 1

α son ambas convergentes o ambas divergentes.

3.- akk =

∞

∑1

convergente ⇒ n

nlíma→∞

= 0

Definición 2:

akk =

∞

∑1

es una serie geométrica de razón r ⇔ a n = a .r n (con a y r ctes, a≠0)

Propiedades

• La serie geométrica a r k

k⋅

=

∞

∑1

converge ⇔ |r |<1.

• La suma de una serie geométrica de razón r /|r |<1 es Sa

r=

−1

En efecto: Queremos encontrar la suma de n elementos de una sucesión aritmética; es decir:

Sn = a + a.r + a.r2 +a.r3+....+a.rn-1


114

Multiplicamos ambos miembros por r: Sn .r = a.r + a.r2 + a.r3 +a.r4+....+a.rn

Si restamos miembro a miembro, resulta: Sn = a + a.r + a.r2 +a.r3+....+a.rn-1

Sn .r = a.r + a.r2 + a.r3 +a.r4+....+a.rn Sn - Sn .r = a - a. rn Sacando factor común, se tiene: Sn (1-r) = a (1 – rn) ⇒

1r1r

ar1r1

ann

Sn −−

=−

−=

Además cuando

n→ ∞ : nn r

r11

r1a

S−

−−

=

−==>∞→

<−

→1rsioscila

1rv1|r|si

1|r|sir1

aaconverge

• Criterios de convergencia para series de términos positivos

I.- De comparación: Sean las sucesiones { a n} n ≥1 y { b n} n ≥1 .Si se cumple que ,ba0:nn/Nn nn0o ≤≤≥∀∈∃ entonces :

* bkk =

∞

∑1

converge ⇒ akk =

∞

∑1

converge

* akk =

∞

∑1

diverge ⇒ bkk =

∞

∑1

diverge

Consecuencia: Si { a n} n ≥1 y { b n} n ≥1 son dos sucesiones de términos positivos tales

que 0lba

límn

n

n>=

∞→ se cumple que: ak

k =

∞

∑1

converge ⇔ bkk =

∞

∑1

converge

Definición 3: Se llama serie armónica a la serie 1

1 kk =

∞

∑ .

La serie armónica diverge. En efecto: La serie armónica es:

...111

101

91

81

71

61

51

41

31

211 +++++++++++

La comparamos con: ...161

161

161

81

81

81

81

41

41

211 +++++++++++

>

≥

≥


115

La segunda serie puede agruparse de tal forma que desde el segundo término en adelante se obtiene una serie geométrica de razón 1, es decir, divergente. Entonces por si la serie armónica admite una serie minorante divergente, es divergente.

Se llama serie armónica generalizada o serie “ p”armónica a la serie 1

1 k pk =

∞

∑

. Esta serie sólo converge si p >1; en los demás casos diverge. Veamos el caso p=2

∑∞

=1n2n

1 = Λ222222222 10

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 +++++++++ =

= Λ811

641

491

361

251

161

91

411 ++++++++

= < = < < <

La comparamos con Λ641

641

161

161

161

161

41

411 ++++++++

Entonces: ΛΛΛΚ641

1614

4121 +++

La segunda serie puede agruparse de tal forma que se obtiene una serie geométrica de razón 1/2, es decir, convergente. Entonces por si la serie armónica admite una serie mayorante convergente, es convergente. II.- Criterio de D’Alembert Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

=+

∞→ n

1n

aa

límn

l , entonces: l <1 ⇒ akk =

∞

∑1

converge

l >1 ⇒ akk =

∞

∑1

diverge

(Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) III.- Criterio de Cauchy Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

=∞→

n nanlím l , entonces: l <1 ⇒ ak

k =

∞

∑1

converge ∧

l >1 ⇒ akk =

∞

∑1

diverge.

(Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) IV.- Criterio de Raabe (Se utiliza cuando al aplicar D’Alembert se obtiene límite 1) Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que


116

` =

−⋅

+∞→1

aa

n1n

n

nlím l , entonces: l >1 ⇒ ak

k =

∞

∑1

converge

l <1 ⇒ akk =

∞

∑1

diverge

(Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones)

Definición 4: Las series de la forma ( )−=

∞

∑ 11

kk

ka con ak ≥ 0 se denominan series

alternadas. • Criterio de Leibniz para la convergencia de series alternadas

Si { a n} n ≥1 es una sucesión decreciente de términos no negativos tal

que 0annlím =

∞→, entonces la serie alternada ∑

∞

=−

1kk

k a)1( es convergente.

• Series de términos cualesquiera

Definición 5:

ann=

∞

∑1

es absolutamente convergente si y sólo si ann=

∞

∑1

es convergente.

Si la serie converge, pero la serie de los módulos diverge, se dice que la serie es condicionalmente convergente.

• Criterio de convergencia absoluta

Si { a n} n ≥1 es una sucesión tal que =+

∞→ |a||a|

n

1n

nlím l , entonces:

l <1 ⇒ ∑∞

=1kka converge absolutamente ⇒ converge

l >1 v =+

∞→ |a||a|

n

1n

nlím + ∝ ⇒ ∑

∞

=1kka diverge

Propiedades:

• Toda serie absolutamente convergente es convergente.

• Si ann=

∞

∑1

es condicionalmente convergente, ∀α∈R, es posible encontrar un

reordenamiento { bn } de { an } tal que bnn=

∞

∑1

converge a α.

(Para las series condici onalmente convergentes, no vale la propiedad conmutativa)


117

I.- SUCESIÓN DE FUNCIONES

I.1Definición: Sea A[x] = { f / f:A→R es función con A⊆ R}, se llama sucesión de funciones a toda función s: N→ A[x].

Como las sucesiones numéricas , las de funciones quedan caracterizadas por su conjunto imagen. Ejemplo: s: N→ R [x] / s(n)= fn(x)= xn . El conjunto imagen es:{x , x2 ,...., xn,....} Notación: (fn )n≥1 = xn Para cada valor de x , la sucesión de funciones se transforma en una sucesión numérica que puede o no converger.

I.2.- Definición: Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1, de A en R ( con A⊆R), se dice que la sucesión conver-

ge puntualmente a una cierta función f:B→R (con B⊆A) si y sólo si, para cada x∈ B se veri-

fica que )x(f)x(flím nn=

∞→.

Notación : fn→f, ∀x ∈B (si B=A, se indica sólo fn→f ) En el ejemplo: ♦ Si x ≤ -1 ∨ x > 1, las sucesiones numéricas que se obtienen divergen.

♦ Si -1<x < 1, las sucesiones numéricas que se obtienen convergen a 0.

♦ Si x = 1, fn(1)=1n = 1, ∀n ∈N.

Entonces fn converge puntualmente a f:(-1,1]→R/ f xsi x

si x( ) =

− < <=

0 1 1

1 1

Observación: Cuando se analiza convergencia puntual, se exige que: dado ε>0, para cada x ∈A, existe no(ε) ∈N tal que para todo n ≥ no se cumple que |fn(x)- f(x)|< ε . La expresión remarcada nos indica que, en realidad n0 depende de ε y del valor de x consi-derado.


118

I.3.-Definición : Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1, de A en R ( con A⊆R), se dice que la sucesión conver-

ge uniformemente a una cierta función f:B→R (con B⊆A) si y sólo si se verifica que para

cualquier ε>0, existe no(ε) ∈N tal que si x∈B y n ≥ no , entonces |fn(x)- f(x)|< ε.

Obsérvese que en este caso el valor de n para un ε dado es el mismo, independientemente

del valor de x que se considere.

En el gráfico que sigue puede verse que la sucesión del ejemplo no converge uniformemente

en (-1,1] ya que para ε= 0,5 (rectángulo) no se verifica que, Independientemente del valor

de x, exista n0/ n ≥ n0⇒|fn(x)- f(x)|< ε.

Otro ejemplo:

Consideremos A=R y (fn )n≥1/ fn(x)=12n

nxsen( ) .

Como: |fn(x)|= 12n

nxsen( ) =12n

nx⋅ sen( ) ≤12n

,

resulta que si se toma n0<1ε

, se cumple que:

∀ n ≥ n0: 1 1 1 12 2

02

02n

nxn

nxn n

⋅ = ⋅ ≤ ≤ <sen( ) sen( ) ε

•y

x

ε

- ε

f1

f2

f3 f4

f


119

Resulta que: dado ε>0, ∃n0<1ε

/ ∀ n : [n≥ n0 ⇒ f xn ( ) − <0 ε ] ⇒

fn converge uniformemente a f.

I.4.-Propiedades de las sucesiones uniformemente convergentes I.4.1.- Si una sucesión converge uniformemente, entonces converge puntualmente.

I.4..2.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones integrables en [a,b] que converge uniforme-mente a una función f , también integrable sobre [a,b].

Entonces: ∫ ∫ ⋅=⋅∞→

b

a

b

an

ndx)x(fdx)x(flím .

I.4.3.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones continuas en (a,b) que converge uniformemente a una función f . Entonces f es continua en (a,b). I.4.4.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones con derivada continua en (a,b) que converge puntualmente a una función f . Si (f ’n)n≥1 converge uniformemente a una función continua g , entonces f es derivable en (a,b) y f ’ (x) = )x('flím n

n ∞→= g(x).

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

f1

f2

f3 f4

y

x

Puede verse que para n>1, |fn -0|<ε, independiente-mente del valor de x consi-derado.

ε

ε


120

II.- SERIES DE FUNCIONES

II.1.- Definición Dada la sucesión de funciones (fn)n≥1, definidas de A en R (con A⊆R) , llamaremos

serie de funciones y anotaremos fnn=

∞∑

1

, a la sucesión de sumas parciales

(Sk ) k ≥1 , siendo Sk(x) = f xnn

k

( )=

∑1

.

Si la sucesión de sumas parciales converge puntual o uniformemente a una función f en A, diremos que la serie de funciones converge puntual o uniformemente , respectivamente, a f en A.

II.2.- Propiedades de las series uniformemente convergentes.

Sea fnn=

∞

∑1

uniformemente convergente hacia f en [a,b]

II.2.1.- Entonces fnn=

∞

∑1

converge puntualmente a f en [a,b].

II.2.2.- Si cada fn ( con n≥1) es continua en [a,b], entonces f es continua en [a,b]. = II.2.3.- Si f y cada fn ( con n≥1) son integrables en [a,b], entonces:

f x dxa

b( ) ⋅∫ = f x dxn

na

b( ).

=

∞

∑∫1

= f x dxna

b

n( ) ⋅∫∑

=

∞

1.

II.2.4.- Si f xnn

( )=

∞

∑1

converge puntualmente en (a,b) a una función f y además la serie

f xnn

' ( )=

∞∑

1

converge uniformemente a una función h continua en (a,b) , entonces f es deriva-

ble en (a,b) y f ’ (x) = h(x) , o sea f ‘(x)= f xnn

' ( )=

∞∑

1

.

II.3.- Prueba M de Weierstrass Sean ( fn ) n ≥1 una sucesión de funciones definidas sobre A y (Mn ) n ≥1 una sucesión de nú-meros reales tales que :| fn (x) | ≤ M n ,∀ x ∈ A.

Si M nn=

∞

∑1

converge , entonces ∀ x ∈ A f xnn

( )=

∞

∑1

converge absoluta y uniformemente a una

función f (x) definida en A.


121

III.- SERIES DE POTENCIAS

III.1.- Definición: Se llama serie de potencias a toda serie de funciones en la que cada fn es de la

forma: f x a x xn n on( ) ( )= ⋅ − con an∈ R, ∀n.

Como mediante una sustitución adecuada todas pueden llevarse a la forma a xnn

n=

∞

∑1

, nos

limitaremos a estudiar éstas. III.2.- Lema de Abel

Sea x0 ∈ R - { 0} / la serie a xnn

n0

1=

∞

∑ resulte convergente. Entonces:

∀ r: 0 < r < |x0 |, la serie a xnn

n=

∞

∑1

converge absoluta y uniformemente en [-r, r]

III.3.- Radio de convergencia

III.3.2.- Cálculo del radio de convergencia

Sea a xnn

n=

∞

∑1

, si existe l = límaan

n

n→∞

+1 ≠ 0 ó l = límn →∞

ann ≠ ⇒ =0

1R

l.

III.3.3.- Intervalo de convergencia

Sea a xnn

n=

∞

∑1

:

a) Si l ímaan

n

n→∞

+ = ∞1 ó límn →∞

ann = ∞ , R= 0 ⇒ a xn

n

n=

∞

∑1

sólo converge para x = 0.

b) Si l = 0, la serie converge ∀ x y el radio de convergencia es infinito.

III.3.1.Definición:

Consideremos la serie de potencias a xnn

n=

∞

∑1

, se llama radio de convergencia de la

misma al número real R definido como:

R= supremo { r ∈ R0+/ a xn

n

n=

∞

∑1

converge en [-r,r] } ( R puede ser 0 o infinito).


122

c) Si existe R finito / R ≠ 0, a xnn

n=

∞

∑1

converge absolutamente en (-R,R) y debe analizarse la

convergencia en x = R y en x = - R. Si converge absolutamente en uno de los extremos, ta m-bién converge absolutamente en el otro. Si en uno de los extremos diverge y en el otro converge, en este último la convergencia será condicional. Por lo tanto, según lo que resulte en el análisis que se haga en los extremos, el intervalo de convergencia puede ser: (-R,R) , [-R,R], ( -R, R] ó [-R, R )

Además a xnn

n=

∞

∑1

converge uniformemente en [-R+ ε , R - ε ], ∀ ε > 0.

IV.- SERIES DE TAYLOR

IV.1.- Definición Sea f una función indefinidamente derivable. Se llama serie de Taylor asociada a f a la

serie f x x x

i

io o

i

i

( )( ) ( )!

⋅ −

=

∞

∑1

obtenida a partir del desarrollo de Taylor de f en un entor-

no del punto x0.

La condición necesaria y suficiente para que una función f sea igual a su serie de Taylor asociada en x0, es que el término complementario de Taylor tienda a cero cuando n

→∞. Es decir: n

nnlím

f cn

x x→∞

++

+⋅ − =

( )( )( )!

( )1

01

10 .

En su intervalo de convergencia, las series de Taylor son derivables e integrables término a término.

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