ANALISIS MATEMATICO III

A n 1i M atemtico^

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ANALISIS MATEMATICO' (PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERA) (TERCERA EDICION AMPLIADA) SUPERFICIES FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL FUNCIONES VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL INTEGRALES DOBLES INTEGRALES TRIPLES INTEGRALES CURVILINEAS INTEGRALES DE SUPERFICIES TEOREMA DE LA DIVERGENCIA TEOREMA DE STOKES

11 1 1i 1

EDUARDO ESPINOZA RAMOSLIMA - PER

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IMPRESO EN EL PER

3S EDICIN

01 10 2000-

DERECHOS RESERVADOS

Este libro n o p u e d e re p ro d u c irs e to ta l p a r c ia lm e n t e p o r n in g n m t o d o g r f ic o ,! e le c tr n ic o o m e c n ic o , in c lu y e n d o los sistem as d e fo t o c o p ia , registros m a g n t ic o s | o d e a lim e n ta c i n d e d a to s , sin e x p re s o c o n s e n tim ie n to d e l a u to r y Editor.t mM r. -r

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RUC Ley d e D e r e c h o s d e l A u to r Registro c o m e r c ia l Escritura P u b lic a

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PROLOGO

En la presente obra intitulada Anlisis Matemtico III para Estudiantes de Ciencia e Ingeniera en su 3era. Edicin ampliada y revisada; se expresa en forma terica y prctica los conceptos de superficies, las funciones vectoriales de variable real, las funciones reales de variable vectorial, las funciones vectoriales de variable vectorial y sus respectivas aplicaciones, as como las integrales dobles, triples, curvilneas en donde se ha incluido el concepto de circulacin de campos vectoriales y su clculo, las integrales de superficies y los teoremas de la divergencia y de Stokes; adems variedad de ejercicios y problemas propuestas las diversas universidades.

La experiencia en la Docencia universitaria por lo sealado con la forma de expresar, resolver y ordenar los problemas resueltos y propuestos, se ha puesto especial cuidado en los grficos, pues pensamos que un buen dibujo por sealar en forma natural, es el camino a seguir en la bsqueda de la solucin a un problema .

*

La parte terica se desarrolla de manera metdica y en especial cuidado, tratando de no

perder el rigor matemtico pero tratando de no caer en el excesivo formalismo que confunde al lector.

La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del clculo diferencial e integral, as como su geometra analtica.

La presente obra es recomendable para todo estudiantes de ciencias matemticas, fsicas, ingeniera, economa y para toda persona interesada en fundamentar slidamente sus conocimientos matemticos del anlisis real. Por ltimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos sugerencias y crticas.

Doctor Pedro Contreras Chamorro Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemtica Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencias y Tecnologa del Per Catedrtico de la Universidad Ricardo Palma. Lic. Sergio Leyva Haro Catedrtico de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Centro de Cmputo de la Facultad de Ingeniera Qumica de la UNAC. Miembro del Tribunal de Honor de la UNAC. Mg. Roel Vidal Guzmn Catedrtico de la Universidad Nacional del Callao. Ex-Jefe de Departamento de Fsica y Matemtica de la Universidad Nacional del Callao. Ex-Director de la Escuela de Pos-grado de la Facultad. Lic. Antonio Caldern Leandro Catedrtico de la Universidad Nacional del Callao. Ex-Jefe de departamento acadmico de Matemtica de la facultad de Ingeniera Pesquera. Jefe de Departamento de Fsica y Matemtica de la UNAC. Coordinador del Area de Ciencias Matemticas de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Ricardo Palma. Mg. Euclides Moreno Jara Catedrtico Principal de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrtico de la Universidad Ricardo Palma. Lic. Palermo Soto Soto Catedrtico de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrtico de la Universidad Ricardo Palma. Lic. Juan Bernuy Barros Catedrtico de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrtico de la Universidad Nacional del Callao. V

Eduardo Espinoza Ramos

PRESENTACION

Una vez ms, Eduardo Espinoza Ramos nos muestra sus avances intelectuales y, sus siempre presentes preocupaciones por dar lo mejor de s a la juventud estudiosa universitaria. Una vez ms, Eduardo me muestra que ha escuchado mis pocas y sencillas recomendaciones en el contenido, forma y presentacin de los resultados matemticos. El resultado de sus siempre renovados esfuerzos es: un texto claro, preciso y bien presentado. Felicitaciones Eduardo.

Dr. Pedro C. Contreras Ch.

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos.

R O N A LD , K EV IN , J O R G E

y D IA N A

Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guas de sus Prji

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T T k T T Y T #~1TT* JLjlN JLJ JLC^ JtL

CAPITULO l|SUPERFICIES CUDRICASIntroduccin. Definicin. Superficies Cudricas. Discusin de la Grfica de la Ecuacin de una Superficie. Estudio de las Principales Superficies Cudricas. Superficies Cilindricas. Determinacin de la Ecuacin de una Superficie Cilindrica. Superficie Cnica. Determinacin de la Ecuacin de la superficie Cnica. Superficies de Revolucin. Traslacin de Ejes. Rotacin de Ejes en uno de los Planos Coordenados. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. 1 2

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14

23 4 7

2?2. 2'2:

2 3i 3 3 5^

CAPITULO II2.2.1 2.2 2.3

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REALIntroduccin. Definicin. Definicin.

7475 75 75

2.4 2.5 2.6 2.7 2.7.1 2.7.2 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2 .14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30

Operaciones Algebraicas con Funciones Vectoriales. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Lmite de una Funcin Vectorial de Variable Real. Definicin. Teorema. Propiedades de Lmites de Funciones Vectoriales. Teorema. Continuidad de una Funcin Vectorial de Variable Real. Teorema. Teorema. Propiedades de la Continuidad. Derivada de una Funcin Vectorial de Variable Real. Interpretacin Geomtrica de la Derivada. Propiedades de la Dilrenciacin. Definicin. Teorema. Teorema. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Integral Indefinida. Propiedades de la integral Indefinida. Integral Definida. Teorema. Teorema. Propiedades de la Integral Definida. Curvas. Ecuaciones Paramtricas de una Curva en el Plano. Obtencin de la Ecuacin Cartesiana de una Curva a partir de su Representacin Paramtrica. '

80 82 90 94 94 95 98 99 100 100 102 102 103 104 107 107 107 109 110 134 147 148 149 149 150 151 152 156

160 i

2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39

Clases de Curvas. Reparametrizacin de una Curva Regular. Longitud de Arco. Lema. Teorema. Vectores Unitarios: Tangente, Normal, Principal y Binormal. Vector Curvatura y Curvatura. Planos: Osculador, Normal y Rectificante. Otra forma de expresar las Ecuaciones de los Planos: Osculador, Normal y Rectificante.

161 163 164 165 165 168 171 175

177 .179 180 81 181 182 184 186 188 188 190 245

2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.50

Curvatura. Definicin. Otra forma de la Curvatura. Teorema. Teorema. Definicin. Torsin. Frmula de Frenet - Serret. Componente Normal y Tangencial de la Aceleracin. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

CAPITULO III3.3.1 3.2 3.3 3.4

FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL.Introduccin Definicin. Dominio y Rango de una Funcin Real de Variable Vectorial. Operaciones con Funciones de Varias Variables.

277278 279 279 281

Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Conjuntos Abiertos y Cenados. Conjunto Abierto en R " . Conjunto Cerrado en R " . Punto de Acumulacin de un Conjunto en R " . Lmite de una Funcin de Varias Variables. Interpretacin Geomtrica del Limite de una funcin de dos Variables. Propiedades de Lmites. Teorema. Teorema. Continuidad de una Funcin de Varias Variables. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Derivadas Parciales. Definicin. Notacin para las Primeras Derivadas Parciales. Derivadas Parciales de una Funcin de Tres o ms Variables. Interpretacin Geomtrica de las Derivadas Parciales de una Funcin de dos Variables. Plano Tangente. Ecuacin de la Recta Tangente a la Interseccin de Dos Superficies en un Punto Dado. Derivada Parcial de Orden Superior. Definicin. Definicin. Teorema (Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas). Incremento y diferencial de una Funcin. Funciones Diferenciables.

283 294 299 301 301 302 302 303 306 307 308 310 313 337 347 348 350 351

354 356

358 359 360 361 362 363 364

3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 3.50 3.51 3.52 3.53 3.54 3.55

Teorema.-(Condicin suficiente para la Difercnciabilidad). Teorema (Diferenciabilidad Implcita). Diferencial total y Aproximacin. Derivacin de la Funcin Compuesta Teorema. (Regla dela Cadena). Teorema (Regla de la Cadena). Teorema (Regla de la Cadena General). Derivada Implcita. Teorema. Teorema de la Funcin Implcita. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Derivada Direccional y Gradiente de una Funcin de Varias Variables. Definicin. Teorema. Teorema. Propiedades de la Derivada Direccional. Gradiente de una Funcin. Propiedades del Gradiente. Forma Alternativa de la Derivada Direccional. Planos Tangentes y Normales a las Superficies. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Aplicacin de las Derivadas Parciales: Mximos y Mnimos de Funciones de Varias Variables.

364 365 367 369 371 373 374 375 377 378 420 434 437 438 439 141 12 42 42 t8 0 66

S5 *-S6 486 488 490 493 496

3.56 3.57 3.58 3.59 3.60 3.61

Teorema. Definicin. Criterio de la Segunda Derivada. Matriz Ilessiana de una Funcin de Varias Variables. Criterio de la Matriz Hessiana para los Mximos y Mnimos. Extremos Condicionados.

3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67

Mtodos de los Multiplicadores de Lagrange. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Funciones Homogneas y Diferencial Exacta. Diferencial Exacta. Ejercicios Propuestos.

496 501 518 528 531 535

CAPITULO IV4.4.J 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLESDefinicin. Limites de una Funcin Vectorial de Varias Variables. Teorema. Propiedades. Continuidad de un Funcin Vectorial de Varias Variables. Teorema. Derivadas Parciales de Funciones Vectoriales de ms de una Variable.

539540 543 544 544 545 545

545 546 546 547 548 549 549 550 550 551 -**; s 552

4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17

Regla de la Derivadas Parciales de Funciones Vectoriales. Teorema. Definicin. Definicin. Gradiente de una Funcin Escalar. El Operador V Introduccin del Operador Diferencial V al Gradiente. Propiedades del Gradiente. Divergencia de una Funcin Vectorial. Definicin.

4.18 4.19 4.20 4.21

Rotacional de una Funcin Vectorial. Propiedades. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

554 554 555 560

CAPITULO V5.5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20

INTEGRALES DOBLESIntroduccin. La Integral Doble sobre un Rectngulo. Definicin. Funciones Integrales. Interpretacin Geomtrica de la Integral Doble. Propiedades Fundamentales de la Integral Doble. Clculo de Integrales Dobles por Medio de Integrales Iteradas. Clculo de Areas y Volmenes por Integrales Dobles. Cambio del Orden de Integracin. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Integrales Dobles Mediante Coordenadas Polares. Integrales Iteradas en Coordenadas Polares. Jacobiano de una Funcin de n Variables. Cambio de Variables en las Integrales Dobles. Aplicaciones de la Integral Doble. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. Clculo de reas de una Superficie. Ejercicios Propuestos.

567567 568 569 570 572 572 575 ^80 s 83 585600

617 619 623 625 629 633 667 687 691

6.6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15

INTEGRALES TRIPLESDefinicin. Definicin. Definicin. Propiedades de la Integral Triple. Clculo de Integrales Triples Mediante Integrales Iteradas. Volmenes Mediante Integrales Triples. Ejercicios Propuestos. Cambio de Variables para Integrales Triples. Coordenadas Cilindricas. Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas. Coordenadas Esfricas. Integrales Triples en Coordenadas Esfricas. Centro de Masa y Momento de Inercia de un Slido. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

695696 696 696 697 697 704 708 713 716 716 720 721 724 727 736

CAPITULO VII7.7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

INTEGRALES CURVILNEAS O DE LNEAIntroduccin. Definicin. Propiedades fundamentales de la Integral Curvilnea. Definicin. Independencia de la Trayectoria en Integrales Curvilneas. Teorema. Corolario. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos. .V j.. jUffO ; 2Q i 1D

749750 751 751 759 762 763 763 770 790

7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17

Aplicaciones de la Integral Curvilnea. Ejercicios Propuestos. Circulacin del Campo Vectorial y su Clculo Ejercicios Propuestos Frmula de Green. Teorema de Green. Clculo de reas mediante la Integral de Lnea Ejercicios Propuestos

806 813 819 823 824 825 831 834

CAPITULO VIII8.8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19

INTEGRAL DE SUPERFICIERepresentacin Implcita y Explcita de Superficies. Representacin Paramtrica de una Superficie. Definicin de Superficie Paramtrica. Hallar Ecuaciones Paramtricas para las Superficies. Vectores Normales y Planos Tangentes. Vector Normal a una Superficie Paramtrica Suave. rea de una Superficie Paramtrica. Integrales de Superficies. Orientacin de una Superficie. Integrales de Flujo. Definicin de Integral de Flujo. Definicin. Clculo de Integrales de Flujo. Teorema de la Divergencia. Teorema Definiciones Alternas del Gradiente, Divergencia y Rotacional. Teorema de Stokes. Teorema de Stokes para Coordenadas Cartesianas. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

841841 842 843 845 848 849 850 852 855 856 857 859 861 866 868 869 872 873 879

Superficies Cudricas

I

P re-req u S tO S .-

Para la comprensin adecuada de este tema de superficies, se requiere de los conocimientos previos de:

- Elementos de geometra plana: recta, circunferencia, cnicas,

etc.

- Elementos de geometra del espacio: planos, secciones planas de un cuerpo, etc.

Objetivos.-

Establecer los fundamentos necesarios para la intensificacin de las tcnicas para el trazado de las superficies a partir de sus ecuaciones como

premisas as como tambin las curvas y regiones, para la utilizarlos en las diversas aplicaciones. Al finalizar el estudio de este captulo el alumno debe ser capaz de: - Describir el procedimiento seguido en el trazado de las superficies. - Reconocer la forma de la ecuacin de las cudricas centradas. - Representar grficamente las siguientes superficies: Elipsoide, Paraboloide, Hiperboloide de una y dos hojas, Paraboloide Elptico, Paraboloide hiperblico. - Identificar las ecuaciones de cilindros y conos. Determinar: la directriz, generatriz de los cilindros y conos. Representar grficamente a los cilindros y conos.

2


1.1

IntroduccinÂnalticamente la ecuacin E(x,y) = 0, nos representa un lugar geomtrico en el plano XY, a la ecuacin E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuacin rectangular en tres variables representaremos por:

F^ y z) = 0Tambin se conoce que todo plano se representa analticamente por una nica ecuacin lineal de la forma: P: Ax + By + Cz + D = 0 De una manera ms general, veremos si existe una representacin analtica de una figura geomtrica, al cual denominaremos superficie, tal representacin consistir en una nica ecuacin rectangular de la forma: F(x,y,z) = 0 ... (1)

Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie esfrica de radio r con centro en el origen se representa analticamente por la ecuacin:. - ui l Jj | [Bf| '... - 2 2 2 2 x +y +z = r : I'infiJOT!1o

i ' . l .... D e f in ic i n .^Llamaremos superficie al conjunto de puntos p(x,y,z) de R* que satisfacen una sola ecuacin de la forma: F(x,y,z) = 0 La ecuacin F(x,y,z) = 0, contiene tres variables, sin embargo la ecuacin de una superficie puede contener solamente una o dos variables. Por ejemplo la ecuacin x = k, k constante, representa un plano paralelo al plano YZ.


3

De igual manera la ecuacin x +y~ = 4 considerada en el espacio representa un cilindro circular recto.

.

.,

2

" >

.

.

. .

Toda ecuacin de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una superficie, por ejemplo la ecuacin x 2 + y 2 + z 2 + 9 = 0, no representa ningn lugar geomtrico, adems la ecuacin .v + y + z = 0 , tiene una solucin real que es: geomtrico est constituido por un slo punto, el origen.2 2 2

x =

y= z = 0, cuyo lugar

1.3

Superficies Cudricas^Llamaremos superficies cudricas a toda ecuacin de segundo grado en las variables x,y,z que tiene la forma: A x 2 + B y 2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz +Gx + Hy + K z + L =0 donde A, B, C, D, E, F, G, H, K son constantes, y por los menos una es diferente de cero.

4


1.4

Discusin de la Grfica de la Ecuacin d una Superficie.]Para construir la grfica de una superficie consideremos la siguiente discusin, mediante los pasos siguientes: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Interseccin con los ejes coordenados. Trazas sobre los planos coordenados. Simetras con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y el origen. Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados. Extensin de la superficie. Construccin de la superficie.

Consideremos la ecuacin de una superficie. F(x,y,z) = 0 Ahora describiremos todo el proceso a realizar en la construccin de la grfica de dicha superficie. I2 Interseccin con los ejes coordenados.a) b) c) 2a Con el eje X: En la ecuacin F(x,y,z) = 0 se hace y=z=0, es decir: Con el eje Y: En la ecuacin F(x,y,z) = 0 se hace x=z=0, es decir: F(x,0,0)=0 F(0,y,0)=0

Con el eje Z: En la ecuacin F(x,y,z) = 0 se hace x=y=0, es decir: F(0,0,z)=0

Trazas sobre ios planos coordenados.Es la curva de interseccin de la superficie F(x,y,z) = 0 con cada uno de los planos coordenados. Las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente forma: a) La traza sobre el plano XY: En la ecuacin F(x,y,z) = 0 se hace z = 0, es decir: F(x,y,0) = 0 b) La traza sobre el plano XZ: F(x,0,z) = 0 En la ecuacin F(x,y,z) = 0 se hace y = 0, es decir:

Superficies Cudricas c) La traza sobre el plano YZ: F(0,y,z) = 0 32 Simetras Respecto a los Planos Coordenados, Ejes Coordenados y el origen: a) Existe simetra respecto al: - Plano XY, - Plano XZ, - Plano YZ, b) s F(x,y,z) = F(x,y,-z) s F(x,y,z) = F(x,-y,z) si F(x,y,z) = F(-x,y,z)

5 En la ecuacin F(x,y,z) = 0 se hace x = 0, es decir:

Existe simetra respecto al: Eje X, s F(x,y,z) = F(x,-y,-z) F(x,y,z) = F(-x,y,-z) F(x,y,z) = F(-x,-y,z)

- Eje Y, si c) 42 Eje Z, si

Con respecto al origen: S F(x,y,z) = F(-x,-y,-z)

Secciones Transversales Secciones paralelas a los planos Coordenados.Es la curva de interseccin de la superficie con los planos paralelos a los planos coordenados. Las secciones Transversales se pueden obtener de la siguiente forma: a) b) c) Sobre el plano XY: Sobre el plano XZ: Sobre el plano YZ: Se hace z = k es decir: F(x,y,k) = 0 Se hace y = k es decir: F(x,k,z) = 0 Se hace x = k es decir: F(k,y,z) = 0

52

Extensin De La Superficie.Consiste en determinar el dominio de la ecuacin F(x,y,z) = 0

6

Construccin De La Superficie.Con la ayuda de la discusin de la ecuacin de una superficie se construye la grfica.

6 Ejemplo.-

Eduardo Espinoza Ramos Discutir y hacer la grfica de la superficie cuya ecuacin es: x 2 + y 2 - z 2 = 1 Solucin

1)

Intersecciones con los ejes coordenados. a) Con el eje X, se hace y = z = 0, de donde puntos son: (1,0,0), (-1,0,0) b) Con el eje Y, se hace x = z = 0, de donde y 2 = 1 entonces y = 1, de donde los jc =1 entonces x = 1, de donde los

puntos son: (0,1,0), (0,-l,0) c) Con el eje Z, se hace x = y = 0 , de donde z 2 = - 1 entonces no existe interseccin con el eje Z. 2) Las trazas sobre los planos coordenados. a) b) c) La traza sobre el plano XY; se hace z = 0; x 2 + y 2 =1 es una circunferencia. La traza sobre el plano XZ; se hace y = 0; x 2 - z 2 = 1 es una hiprbola. La traza sobre el plano YZ; se hace x = 0; y 2 - z 2 - 1 es una hiprbola.

3)

Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen. La superficie es simtrica respecto al origen, a los ejes coordenados y a los planos coordenados, puesto que la ecuacin no cambia al aplicar el criterio establecido.

4)

Las secciones transversales o paralelas a los planos coordenados: Consideremos las secciones paralelas al plano XY; sea z = k entonces x 2 + y 2 =1 + k 2 es una familia de circunferencia.

5)

Extensin;

z = J x 2 + y2 -1

, x 1 +y 2 > 1


7

l - g - ...Estuft--de las Principales Superficies Cudricas^

A)

Elipsoide.-

Es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x,y,z) de R 3 que satisfacen a la ecuacin de la forma: x y z + + = 1, a * 0, b * 0, c a' b c2 2 2

0, a * b , a # c b * c .

Graficando el Elipsoide se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X, se hace y= z = 0, x =a, A1( a, o,o) ,A2(- a, o, o) Con el eje Y, se hace x= z = 0, y = b, Bl (o,b,o) , 2?, (o,-b,o) Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = c, Cx(o,o,c) , C, (o,o,-c) b) Las Trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0 x y + = 1, es una elipse en el plano XY. a~ b

8 La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0X2


Z

2

h y = 1>es una elipse en el plano XZ. a c La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0V2

- y + = 1, es una elipse en el plano YZ. h~ c c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.X2

Z

2

V

2

z

2

Sea E\ +~ T +~ ~ 1> entonces. y a b e d) Con respecto al origen 3; si (x,y,z)eE o Con respecto al eje X 3; s (x,y,z)eE o Con respecto al eje Y 3; s (x,y,z)eE o Con respecto al eje Z 3; s (x,y,z)eE o (-x,-y,-z) E (x,-y,-z) e (-x,y,-z) e (-x,-y,z) e E E E

Con respecto al plano XY 3; s (x,y,z)eE (x,y,-z) e E Con respecto al plano XZ 3; s (x,y,z)eE o (x,-y,z) e E

Con respecto al plano YZ 3; s (x,y,z)eE < > (-x,y,z) e E =

Las secciones paralelas a los planos coordenados. x y k Los planos z = k, corta la superficie en la curva ~ + ~ ~ ^ > que es una a' b c familia de elipses donde -c < k < c2 2 ,2

e)

Extensin de la superficie d e + H = 1 se tiene z = | c l ------ a b e V a~ h donde + < 1a b~x2

X

2

V

2

Z

2

X

2

v

2

de

y

2


9

B)

La Esfera.-

La Superficie esfrica es el lugar geomtrica de todos los puntos p(x,y,z) del espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia

constante se llama radio y el punto fijo centro. x y z Si en la ecuacin del elipsoide -\ j- + = 1 se tiene a = b = c = R * 0 , el elipse de a b e se transforma en x 2 + y 2 + z 2 = R 2, que es la ecuacin de la esfera de radio R y centr< el origen de coordenadas. Graficando la esfera se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados. b) Con el eje X, se hace, y = z = 0, x = R, Con el eje Y, se hace, x = z = 0, y = R, Con el eje Z, se hace, x = y = 0, z = R, AX(R,o,o), Bx(o,R,o), C ,(o,o,/f), A2( - R ,o , o ) B2(o, -R, o) C2(o, o,- R)2 2 2

Las Trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0. x + y = R , es un circunferencia en el plano XY. La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0. x + z = R , es un circunferencia en el plano XZ.2 2 2 2 2 2

10 La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0. y 2 + z 2 = R 2, es una circunferencia en el plano YZ. c)


Simtricas con respecto al origen, ejes y planos coordenados. La ecuacin de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 es simtrica con respecto al origen, a los ejes y planos coordenados.

d)

Las secciones paralelos a los planos coordenados. Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir, z = k se tiene x 2 + y 2 = R 2 - k 2, -R circunferencia. k R, que es una familia de

Teorema.-

La ecuacin de la superficie esfrica de centro el punto c(h,k,l) y de radio la constante R > 0 es: ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + { z - l ) 2 = R 2 Demostracin Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera, luego por definicin de esfera se tiene : E = {P ( x , y , z ) e R 3 l d ( p , c ) = /?} i j ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( : - l ) 2 =R de donde: ( x - h ) 2+ ( y - k ) 2+ (z - l)2 =R2

Superficies Cuadraticas Observacin.-

11 La ecuacin ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = R 2 se conoce con el nombre de la forma ordinaria de la ecuacin de la esfera, si desarrollamos la

ecuacin de la esfera se tiene: x 2 + y 2 + z 2 - 2 h x - 2 k y - 2 l z + h 2 + k 2 + /2 - R 2 = 0 , de donde se tiene: x 2 + y 2 + z 2 +A x + By + C z + D = 0, luego una superficie esfrica queda determinada por cuatro puntos no coplanares. Ejemplo.Hallar la ecuacin de la esfera que est en los planos paralelos 6x - 3 y - 2 z - 35 = 0,

Sea L = {(5,-1,-1) + t(6,-3,-2) / 1 e R} SeaA s La

P 2 => A

e

L

a

A eP z

Si A e L => A(5 + 6t, -1 - 3t, -1 - 2t) para algn t e R, como A e P entonces 6(5 + 6t) - 3(-l - 3t) - 2(-l - 2t) + 63 = 0 de donde t = -2, A(-7,5,3), como c es punto medio de A y p se

P2: 6 x -3 y -2 z + 6 3 = 0Adems, r = d (c,p) = 7 por lo tanto: C) Paraboloide Elptico.Es

5 - 7 -1 + 5 -1 + 3 tiene: c(------ , ---------, --------- ) = c ( - l, 2 ,l) 2 2 2 E : ( jc+ 1)2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - l ) 2 = 4 9 el lugar3

geomtrico

de

todos\

los

puntos

p(x,y,z) de R x y

que satisfacen a la ecuacin de la forma

+ = z , donde a * 0 , b * 0 , a * b.

Graficando el parabdoide elptico se tiene:

12 a) Intersecciones con los ejes coordenados. b)


Con el eje X, se hace y = z = 0, x = 0 => A(0,0,0) Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = 0 => B(0,0,0) Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = 0 => C(0,0,0)

Las Trazas sobre los planos coordenados La traza sobre el plano XY, se hace z = 0 x y + = 0 que representa un punto P(0,0,0). a ' b~ La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0X 2 2 2

z = a

que representa a una parbola en el plano XZ.

La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 y\> z = y que representa a una parbola en el plano YZ. T b c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados. Con respecto al origen 3 puesto que (-x,-y,-z) i Pe Con respecto al eje X, 3 puesto que (x,-y,-z) g Con respecto al eje Y, 3 puesto que (-x,y,-z) Con respecto al eje Z, 3 puesto que (-x,-y,z) e Pg Con respecto al plano XY, 3 puesto que (x,y,-z) Pg Con respecto al plano XZ, 3 puesto que (x,-y,z) e Pe Con respecto al plano YZ, 3 puesto que (-x,y,z) e PE P Pg2

Superficies Cuadraticas d) Secciones paralelas a los planos coordenados.

13

Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene 2 2 x y z = k que corta la superficie en la curva + = k que es una familia de elipses. a' b e) Extensin de la superficie: x y 2 z = + - y es definido V(x,y) 6 R a b2 2

Otras variantes

14 D) Hiperboloide de una Hoja.Es el lugar3

Eduardo Espinoza Ramos geomtrico.

de

todos

los

puntos

P(x,y,z) de Rx2

que satisfacen a la ecuacin.

y

2

z

2

1, donde a * 0, b* 0, c # 0.

a

b

e

Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene. a) Intersecciones con los ejes coordenados. b) Con el eje X, se hace y = z = 0, x = a, ^(,0,0), A2(a,0,0)

Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = b, B1(0,b,0), B2(0,-b,0) Con el eje Z, se hace x = y = 0, z 2 = - c 2, 3 .

Las trazas sobre Los Planos Coordenados. La Traza sobre el plano XY, se hace z = 0.x2

+ = 1, es una elipse. a b La Traza sobre el plano XZ, se hace y = 0.X2

y

2

- = 1, es una hiprbola. a' c La Traza sobre el plano YZ, se hace x = 0.

Z

2

\.

y b c)

2

z yc

2

= 1, es una hiprbola.

Simetras. Con respecto Con respecto al origen es simtrica. a los ejes coordenados es simtrica.

Con respecto a los planos coordenados es simtrica.

Superficies Cuadraticas d) Secciones paralelas a los planos coordenados.

15

x v

2

2

,2

k

Los planos z = k corta a la superficie en la curva J+ ' T 1+ r . Que es una a b~ c familia de elipses y los planos y = k x a c i .2 -k 1 2 h -k,2 corta a la superficie en la curva

2 , -b < k < b, que es una familia de hiprbola.

Otras variantes2 2

2

2

2

2

16 E) Hiperboloide de Dos H ojas.-

Eduardo Espinoza Ramos Es el lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y,z) de i?3 que satisfacen a la ecuacin: x a2

y

z 2T = l donde a *0> b * 0 , c * 0. b~ c -

2

2

Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados. b) Con el eje X, se hace y = z = 0, x = a, A(a,0,0), A2(-a,0,0) Con el eje Y, se hace x = z = 0, Con el eje Z, se hace x = y = 0, y = y-b2 , 3 z V- c 2 , 3

Las Trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0X2 2

y a -

= 1, es una hiprbola

V

h~

La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0X2

Z

2

a -

c

y

~ 1 es una hiprbola

La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 v2 b2

z22 -

^ '

c

c)

Simetras. Con respecto al origen, existe simetra. Con respecto a los ejes coordenados, existe simetra. Con respecto a los planos coordenados existe.

Superficies Cuadracas d) Secciones paralelas a los planos coordenados. x v Los planos z = k, corta a la superficie en la curva - =2 2

17

a

b"

k 1h es una familia

.2

c

de hiprbolas.

x ade hiprbolas.

2

2

z c

,2

k b

Los planos y = k, corta a la superficie en la curva = l + ~ y es una familia

2 2 ,2 2 v z -a Los planos x = k, corta a la superficie en la curva L j + ~ = ----- \ , donde ~

h e

a

k > a k < -a, que es una familia de elipses.

Otras Variantes

18 F) Hiperboloide Parablico.-

Eduardo Espinoza Ramos Es el lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y,z) de R que satisfacen a la ecuacin de la forma: ^ -r- = ,b~ a3 y 2 x 2 z

c

donde a y b son positivos y cÔ . Graficando el hiperboloide parablico para el caso c > 0. a) Intersecciones con los ejes coordenados. b) Con el eje X, se hace z = y = 0, x = 0, Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = 0, Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = 0, A(0,0,0) B(0,0,0) C(0,0,0)

Las Trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0, y = x , y =a ' b b a

x , rectas.

La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 , La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 ,

z =- x ,

c

i

parbola.

a c 2 z = - y , parbola. h

c)

Simetras. Con respecto al origen, 3 Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z 3 en los dems ejes 3 . Con respecto a los planos coordenados 3 Pxy, 3 Pxz, 3 Pyz.

d)

Secciones paralelas a los planos coordenados. Al plano XY, se hace z = k, i y2 x 2 k -------- = , familia de hiprbolas.b a~ c

-

ik2 x2 z Al plano XZ, se hace y = k , ---- --familia de parbolas.a c by2

-

Al plano YZ, se hace x = k,

2 z ik = i familia de parbolas. ,c a~

b"

Superficies Cuadraticas

19

Otras variantes. Tambin el hiperboloide parablico tiene las ecuaciones siguientes: x a2

z c

2

y b

y b

2

z c

2

x a

20 G) El Cono Elptico o C ircular.-

Eduardo Espinoza Ramos Es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x,y,z) de R 3, que satisfacen a la ecuacin de la forma: x y z +y = , a * 0, b * 0, c * 0. Graficando el cono elptico se tiene: a b e a) Intersecciones con los ejes coordenados: b) Con el eje X, se hace y = z = 0, x = 0, A(0,0,0). Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = 0, B(0,0,0). Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = 0, C(0,0,0).2 2 2

Las Trazas sobre los planos coordenados: -La traza sobre el plano XY, se hace z = 0, x = y = 0 => p0,0,0). a La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0, x = z dos rectas. c b La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0, y = z dos rectas. c

c)

Simetras: Con respecto al origen, existe. Con respecto a los ejes coordenados, existe. Con respecto a los planos coordenados, existe.

d)

Secciones paralelas a los planos coordenados: x y k Al plano XY, se hace z = k, y = a b e2 2 2 , 2

-

familia de elipses.

-

z x k Al plano XZ, se hace y = k, ------ y = ~ T * c a b z v Al plano YZ, se hace x = k, c b2 2 , 2

2 , 2

de hiprbolas.

-

k = j-, familia de hiprbolas. a

Superficies Cuadra ticas

21

Otras Variantes

x z y ~ 2 +~ 2 = T T a c b

2

2

2

y_ b

2

, 2 +c2

_

2

22


1.6

Superficies Cilindricas.^Llamaremos superficie cilindrica a la superficie que es generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada, de tal manera que siempre se mantenga paralela a una recta fija dada que no est en el plano de dicha curva. La recta mvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie cilindrica. Si la generatriz de una superficie cilindrica es perpendicular al plano de la directriz; la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.

1.7..... Determinacin de 'la"Ecuacin'd e 'una Superficie Cilindrica.^Consideremos la directriz en uno de los planos coordenados por ejemplo, tomamos el plano F (y ,z) = 0 YZ, entonces la ecuacin de la directriz es: D: \ x =0. . . " ^ i


23

Si p(x,y,z) es un punto cualquiera de la superficie, cuya generatriz tiene por nmeros directores [a,b,c] y si p'(0,y' ,z' ) es el punto de interseccin de la directriz con la generatriz que pasa por el punto p(x,y,z) entonces el punto p '( 0 ,y ',z ') satisface a la ecuacin de la directriz: |F (.v ',z ) = 0 D: x = 0

( 1)

Y la ecuacin de la Generatriz es dado por: G: .v -0 v -v ' z-z'

- (2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parmetros x' ,y ', z' se tiene la ecuacin de la superficie cilindrica. Ejemplo.- Hallar la ecuacin de la superficie cuya directriz es la parbola x 2 = 4 y , z = 0,

contenida en el plano XY, y cuya generatriz tiene por nmeros directores [1,1,3]. Solucin ' 2 Ix = 4 y ( z =0 Sea / / / / h~h4* / / / / JJ-L L U /J" r T r Pv v 7 \ p' ( x ' , y ' , z ' ) punto de interseccin de la la

La ecuacin de la directriz es:

D:

directriz

y la generatriz entonces satisface a

ecuacin de la directriz. I x' 2 = 4_v'...

D:

( 1)

z'= 0 La ecuacin de la generatriz que pasa por el punto p '( x ',y ,z ') c o n nmeros directores [1,1,3] es: x-x' v -v ' z-z ' G: ---------------------------------= :p - = z G: x - x ' = y - y ' = (2>

Ahora eliminamos los parmetros de (1) y (2)

24 z x-x'= 3 z z 3 x -z x ' = x = -------3 3 z 3 y -z


... (3)

y y'=3

Reemplazando (3) en (1) se tiene:

3x - z 2 3y - z (--------) = 4(-------- ) 3 3

.\ 9 x 2 + z 2 - 6 x z + 3 6 y + l 2 z = 02 2 2

Ejemplo.-

Demostrar que la ecuacin x + v + 2z + 2 x z - 2yz = 1 representa a una superficie cilindrica; Hallar las ecuaciones de su directriz y los nmeros directores de su generatriz. Solucin

Consideremos las secciones paralelas al plano coordenado XY, z = k, obteniendo x 2 + y 2 +2k~ + 2 k x - 2 k v = 1. Completando cuadrado (x + k ) 2 + ( y - k ) 2 - 1 Luego (x + k ) 1 + ( y ~ k ) ~ = 1, z = k , es una familia de circunferencia caso particular k = 0, se tiene la ecuacin de la directriz x 2 + y 2 = 1, z= 0 que es una circunferencia en el plano XY por lo tanto x 2 + y 2 + z 2 + 2 x z - 2 y z = 1 es una superficie cilindrica circular. La recta que une los centros (-k, k, k) de las circunferencias es paralela a la generatriz, por lo tanto los nmeros directores de las generatriz son [-1, 1, 1]. Luego su grfico es:


25

1,8

Superficie Cnica^)Llamaremos superficie cnica a la superficie que es generada por una recta que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija y por un punto fijo que no est contenido en el plano de la curva fija dada. La recta mvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo se llama vrtice de la superficie cnica. El vrtice divide a la superficie cnica en dos porciones cada una de los cuales se llama hoja o rama de la superficie cnica.

1,9

Determinacin de la Ecuacin d e la Superficie Cnica.-!Consideremos la ecuacin de la directriz en uno de los planos coordenados, por ejemplo en el plano YZ, cuya ecuacin es:

Como P '( x \ y \ z ') pertenece a la directriz, por lo tanto lo satisface, es decir:

..

(1)

26 La ecuacin de la generatriz que pasa por V y p' es dado por.a


... ( 2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parmetros x ' ,y ' , z' se obtiene la ecuacin de la superficie cnica. Ejemplo.Hallar2 2

la

ecuacina

de

la

superficie cnica cuya directriz es la elipse

Ax +z =1

y = 4 y cuyo vrtice es el punto V (l, 1,3) Solucin

De la ecuacin (2) despejamos los parmetros x ' ,y ', z' obtenindose: x-\ x'-l z- 3 . z'-3 y- 1 3 y 1 3 3jc+ v - 4 x '= ------ -----

y -1

3 ^ + 3 z -1 2 z ' = -----------7 -1 .

(3)

Ahora reemplazando (3) en (1)

3jc+ v - 4 , 3 7 + 3 2 -1 2 2 4(------------) + (------------ ) =1 de donde y- 1 ^ -l 36x2 + \ 2 y 2 + 9z2 + 24xy + 1 8xz - 96* - 1 02.y - 72z + 207 = 0

Superficies Cudricas Ejemplo.-

21

El eje OZ es el eje de un cono circular que tiene el vrtice en el origen de coordenadas; el punto M(3 ,-4,7) est situado en su superficie. Hallar la ecuacin de este cono. Solucin Sea A(0,0,7), M(3,-4,7)

MA = A - M = (-3,4,0)

HI MA ||=V9 + 1 6 = 5 es el radio de la seccin circular del cono. (jc-O )2 + ( y - 0 ) 2 + (z - 7 ) 2 = 25 Si z = 7, entonces la directriz es;

\ x 2 +y 2 - 2 5 \x' 2+y'2 = 25 _ Sea D: i pero como p '(x ',y ',z') e D entonces: D: ) z=7 z'= 7 Ahora calculamos la ecuacin de la generatriz.

... (1)

G: --------= - -------= -------- ,x'-O y'-O z'-O

x -0

y -0

2 -0

dedonde:

x y 2 G: = = x' 1

... (2)

De la ecuacin (2) despejamos los parmetros, x ' ,y ' se tiene:

X_ 27~ 7 Z = y 7

Ix x =2

(3)

y .2 z

Ahora reemplazando(3) en (1) se tiene:( ) 2 + ( ) 2 = 2 5 dedonde 4 9 x 2 +49y 2 = 2 5 z 22 2

28


I ;10

Superficies de Revolucin.^Llamaremos Superficie de revolucin a la superficie que es generada por la rotacin de una curva plana entorno de una recta fija contenida en el plano de esa curva. La curva plana se llama generatriz y la recta fija eje de revolucin eje de la superficie.

Por el punto p(x,y,z) se hace pasar un plano perpendicular al eje de revolucin, la interseccin de la superficie con el plano es una circunferencia. Si c es el punto de interseccin del plano con la recta L y Q es el punto de interseccin con la curva C entonces se cumple d(P,C) = d(Q,C) que es la ecuacin de la superficie de revolucin. Si la superficie de revolucin es obtenida por la rotacin de una curva que est en uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados, su ecuacin se determina mediante el cuadro siguiente: Ecuacin de U General* O II X fe' II x=N

Ele de Revolucin Eje Y Eje Y Eje X Eje X EjeZ E jeZ

Ecuacin de la upcrftcw * 2 + - 2 = ( / 0 ))2 x 2+z2 =(f(y ))2 y 2 +^2 = (/(* ))2 A * M /(* )J 2' *2+ / = ( /( z ) ) 2 x 2 +y2 ={f(z))2

f(y); z = 0

z = f(x); y = 0 Vi II II ON

y=

f(z); x = 0

x = f(z), y = 0

Superficies Cudricas Ejemplo.-

29

Hallar la ecuacin de la superficie engendrada por la rotacin de la hiprbola y -4x2 2

= 4 , z = 0, entorno al eje Y. Solucin

La generatriz es de la forma x = f(y), z = 0 y el eje de rotacin es el eje Y, por lo tanto y -4x2

la2

ecuacin2

dey2

laA

superficie2

de

revolucin

es:

x 2 + z 2 = f 2(y),22 .v2

comoA

=4 => x ----------= / 42 2 2

(y ) ahora reemplazando se tiene:

x + z ---------- de 4

donde 4x +4z - y

+4 = 0

Ejemplo.-

Hallar la ecuacin de la superficie engendrada por la rotacin de la elipse.

2 2 \ y * Jx ---2 = ,i a I b z=0

alrededor del eje OX. Solucin

30

Eduardo Espinoza Ramos Consideremos un punto arbitrario en el espacio M(x,y,z) y c es el pie de la perpendicular del punto M al eje OX. El punto M lo trasladamos al plano OXY, mediante una rotacin de esta perpendicular alrededor del eje OX designemos a este punto por jY(x', y',0). Luego se tiene CM = C N , de donde CM = V A ? CN = v' entonces se tiene: M est situado en la superficie de revolucin, si y solo si, el punto N est en la elipse dada, es decir: r+ p r-iV +Z2 2

... ( 2 )

ahora reemplazando (1) en (2) tenemos: superficie de revolucin buscada.

----- 2 = 1, que es la ecuacin de la

,1.11,

Traslacin de Ejes.-}La Traslacin de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la traslacin de ejes en el plano cartesiano; si O'(x0, y0,z0) es un punto en el sistema cartesiano OXYZ, entonces en el punto O'(x0, v 0,z0) construiremos el nuevo sistema O ' X ' T Z ' de tal manera que los rayos positivos de los nuevos ejes sean paralelos y tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano original, es decir, en la forma:


31

Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, tiene por coordenadas a (x,y,z) es decir, p(x,y,z) y en el sistema O ' X ' T Z ' tiene por coordenadas a ( x' ,y' ,z ') es decir p(x', y ', z '). La relacin entre estas coordenadas est dado por:X = x Q+ x '

' y = y 0 +y' z = z0 + z' Ejemplo.Graficar la superficie mediante una traslacin x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + 4 y - 8 z = 0 Solucin Completando cuadrados se tiene: x ~ - 3 x ++ y + 4 y + 4 + z -8 z + 1 6 = 1-4+16 4 ' 4 3 7 i i 89 ( * - ) + (.V+ 2 )~ + (z - 4 ) = , 2 4 x '2- y ' 2+z'2 89 4 3 donde 0 ' ( - , ~ 2 ,4 ) 22 9 2 2 9

112....Rotacin de Ejes en Uno de los Pianos Coordenados^Veremos la rotacin de los ejes de los planos coordenados mantenindose el otro eje fijo y el mismo origen. Suponiendo que efectuamos una transformacin de coordenadas del plano XY en otro sistema X ' Y ' en donde se mantiene fijo el origen y los ejes X ' e Y' son obtenidos rotando los ejes X e Y en forma antihoraria en un ngulo 0 como se ilustra en la figura.

32


Esta transformacin en el plano XY es:

Cada punto p tendr dos representaciones una en coordenadas (x,y) con respecto al sistema original y la otra en coordenadas (x' ,y') con respecto al nuevo sistema. Ahora determinaremos la relacin (x,y) y (*', y'), para esto tracemos las rectas OP, AP y BP (Ver figura).

Superficies Cudricas Se observa que x = OA , y = AP , x'=OB , y'= BP

33

Luego el tringulo AOAP se tiene: x = OPcos(6 + a ) , y = OPsen(6 + a ), de donde

x = OPcosd eos a - OPsenQ sena

[ 7 = OPsenQ cosa - O/5sen a cos0En el tringulo A OBP se tiene: x'=OPcasa, y'=OPsena

... ( 1 )

(2)

ahora reemplazando (2 ) en ( 1) se tiene:

I x = jc' co s 0 -y 's e nOy = jc'sen 6 +y'cos6 Ix'= x cos 0 + ^ s e n 0 [7 '= ycosO - x s e n 6

al resolver el sistema se tiene:

... (3)

Por tratarse del plano XOY veremos el caso de la ecuacin de segundo grado: Ax~ + Bxy + Cy2 + Dx+ Ey + F = 0, donde A,B,C no nulos simultneamente, como x = x 'eos9 - y ' sen 0 , y = x sen 0 + / c o s 0 se tiene: y4(x'cos0 - / s e n 0

) 2 + B(x'cos9 ->>'sen0 )(xsen0 +_v'cos0) + 7 's e n 0 ) + '(x,sen0 + v'cos0) + F = 0

C (x'sen0 + y ' co s0 )2 + Z)(jc'cos0 desarrollando y simplificando se tiene:

(A eos 2 0 + s e n 0 cos0 + C se n 2 9 ) x 2+(A sen 2 0 - B sen0 cos0 + C c o s 2 9 ) y '2 +(B eos 20 - A sen 20 + C sen 29)x' y'+D(cos 9 + E sen 9)x'+(E eos 0 - D eos 9 )y'+F = 0 Como el coeficiente de x 'y ' debe ser cero, entonces se tiene:

34

Eduardo Espinoza Ramos eos 20 A-C Bcos20 - Asen20 + Csen20= 0 de donde Bcos29 = (A - C)sen 20 => ---------= -------- por lo sen20 B A -C tanto ctg 2 0 = --------que es la relacin para obtener el ngulo de rotacin. B

Ejemplo.-

Graficar la superficie z = xy, mediante una rotacin. Solucin

j x = x'cosO - y ' s e n O Se conoce que ) , Ahora reemplazamos en la ecuacin de la superficie. [y = x 'se n 0 - y'eos 6 z = xy = (x 'co s0 - / s e n 0 ) ( ; t ,sen0 + y'cosO)

- , - x ' 1 cos0 sen# - x 'y s e n 2 0 + jc' /

cos 2

0 - y ' 2 sen# eos

z = x ' 2 co s0 sen0 - (eos2 0 - sen2 6 ) x ' y ' - y ' 2 sen0 cos0

Si eos 0 - sen 0 = 0 =3- tg 0 = 1

=>0 = 4x >2 y ,2 x ,2 y ,2

z = x' eos sen----------------------------------------y' sen eos 4 4 4 4 2 2

2

n

n

2

n

n

------de donde z = ---2 2

r


35

1.131)

Ejercicios Desarrollados.Discutir y graficar la superficie z = ln(x + 2x y + y )21 4 2 2

Solucin z = ~ ln(:t4 + 2 x 2y + y 2) = ln | x 2 + y | => \ y + x 2 \ = e z

a)

Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X; se hace y = z = 0 ;x = l Con el eje Y ; se hace x = z = 0 ;y = 1 Con el eje Z; se hace x = y = 0;3 , no existe interseccin

b)

Las trazas sobre los planos coordenados. Sobre el plano XY; z = 0; x 2 = - ( y 1) parbola. Sobre el plano XZ; y = 0; z = ln x 2 . Sobre el plano YZ; x = 0; z = ln | y | .

c)

Simetras en el origen, Ejes y planos coordenados. Con respecto al origen de coordenadas 3 Con respecto a los ejes coordenadas 3 Con respecto a los planos coordenadas es simtrico con respecto al plano YZ.

d)

Secciones paralelas a los planos coordenados. Al plano XY; z = k, | y + x 2 | = e k , familia de parbolas. 2 T Al plano XZ; y = k, x * e" - k . = Al plano YZ; x = k, y = ec - k ~ . ' '

36


Solucin a) Intersecciones con los ejes coordenados.x2+y2 * 0 => x*0, y*0

b)

Con el eje X; se hace y = z = 0; 3 Con el eje Y; se hace x = z = 0; 3 Con el eje Z; se hace x = y = 0; 3

Las trazas sobre los planos coordenados. Sobre el plano XY; se hace z = 0; x = 0, y e R.

-

Sobre el plano XZ; se hace y = 0;

z = .x

2

-

Sobre el plano YZ; se hace x = 0;

z=0

Superficies Cudricas c) Simetras. d) En el origen, existe. En los ejes coordenadas, 3 eje X, 3 eje Y, 3 eje Z. En los planos coordenadas, 3 plano XY, 3 plano XZ, 3 plano

37

YZ.

Secciones Transversales. En el plano XY; se hace z = k, obtenindosek ( x 2 +y 1) = 2 x , familia de 1 1 circunferencias de centro (, 0) y radio r - . k k

3)

Discutir y graficar la superficie z = ln(x2 + y 2) Solucin a) Intersecciones con los ejes coordenados. Con Con el eje X; se hace y = z = 0 ;x = l el eje Y; se hace x = z = 0; y = 1

Con el eje Z; se hace x = y = 0 ; 3 z e R

38 b) Las trazas sobre los planos coordenados. c)


Sobre el plano X Y; se hace z=0,ln(x + y ) = 0 de donde x + y Sobre el plano XZ; se hace y = 0; z = 2 ln]x|. Sobre el plano YZ; se hace x = 0; z = 2 ln|^|.

2

2

2

2

= 1circunferencia.

Simetras. En el origen 3 En los ejes coordenadas, 3 eje X, 3 eje Y, 3 eje Z. En los planos coordenadas, 3 plano XY, 3 plano XZ, 3 plano YZ.

d)

Secciones Transversales. En el plano XY; se hace z = k, familia de circunferencias. de donde ln(;c2 + y2) = => x 2 + y 2 = e i ,

noJ

Superficies Cudricas 4) Discutir y graficar la superficie Ix | + | y | =1 Solucin a) Intersecciones con los ejes coordenados. b) Con el eje X; se hace y = z = 0; x Con el eje Y; se hace x = z = 0; y = 1 = 1

39

Con el eje Z; se hace x = y = 0 ; 3 z R

Las trazas sobre los planos coordenados. Sobre el plano XY; se hace z = 0, | x | + | y | = 1 es un rombo. Sobre el plano XZ; se hace y = 0; x = 1. Sobre el plano YZ; se hace x = 0; y = 1.

c)

Simetras. En el origen 3 En los ejes coordenadas, eje X 3, eje Y 3, eje Z 3. En los planos coordenadas, plano XY 3, plano XZ 3, plano YZ 3.

d)

Secciones Transversales. En el plano XY; se hace z = k, |x | + | y | = l

40 5)

Eduardo Espinoza Ramos Discutir y graficar la superficie cuya ecuacin es dada por x"' + y - 4 z = 0 Solucin a) Intersecciones con los ejes coordenados. b) Con el eje X ; se hace y = z = 0;x = 0 Con el eje Y ; se hace x = z = 0; y = 0 Con el eje Z; se hace x = y = 0 ;z = 0

Las trazas sobre los planos coordenados. Sobre el plano X Y ; se hace z = 0, x 2 + y 2 = 0 es un punto (0,0) Sobre el plano X Z ; se hace y = 0; 4z = x 2 es una parbola.

Sobre el plano Y Z ; se hace x = 0; 4z = y 2 es una parbola.

c)

Simetras. En el origen 3 En los ejes coordenadas, el eje X 3 , eje Y 3, eje Z 3. En los planos coordenadas, plano X Y 3 , plano X Z 3, plano Y Z 3.

d)

Secciones Transversales. En el plano X Y ; se hace z = k, x 2 + y 2 = 4 k , familia de circunferencias.

X

Superficies Cudricas 6) Trazar la superficie cuya ecuacin es x 1 - y 2 - 2 z 2 + 2x = l Solucin 2 2 2 (* + l) 2 y 2 2 x ~ - y - 2 z + 2x = 1, completando c u a d r a d o s ------------------- z =1,

41

2

2

es un hiperboloide de dos hojas de centro en C (-1,0,0). Su interseccin en el eje x es -1 + -J2, - 1 - V ? , haciendo el traslado del origen (0,0,0) al punto C(-1,0,0) se tiene.

7)

Hallar la ecuacin de la superficie esfrica que pasa por la circunferencia de interseccin de las superficies esfricas x + y +z - 4 x - 8 j + 6z + 12 = 0; 2 2 +z~ - 4 x + 4 y - 6 z - 1 2 = 0 y que es tangente al plano x + 2 y - 2z = 3. 7 x~ + y Solucin Aplicando el criterio de la familia de superficies. x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - % y + 6z + \2 + k ( x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 4 y - 6 z - l 2 ) = 0 (1 + A')x2 +(l + k ) y 2 +(\ + k ) z 2 - 4 ( k + l)x + 4 ( k ~ 2 ) y + ( 6 - 6 k ) z = l 2 k - \ 22 2 2

2 2 2 , 4( - 2)y 6(1- k ) I2k -1 2 , x + y + z - 4x + ------------ + ---------- z = ----------- , completando cuadrados k+1 A +1 r A+ l

42

Eduardo Espinoza Ramos 2 2{k-2) 2 3 (1 -* ) , 29k~ -2 6 * + 17 ( x - 2 ) + ( y + ---------- ) + (z + -------------------------------------------) = --------- j---------- , de donde k +l k +l

(k+\y

C ( 2,

4-2*k +l

3 (1 -* ) k +l ) , '

2 9 * -- 2 6 * + 17 (* + 1)

como la superficie es tangente al plano P: x + 2y - 2z = 3 8 -4 * 6 -6 * 2 + + - ------- 3 k +l k +l

2

2

29* - 2 6 * + 17 W " '

d' ^ p) r

2 9 k 2 -2 6 * + 17 (1 3 -1 1 * )2 --------------;------= ------------ rr9(1 + *) (* + 1) (5*-1 )(7* + 4) = 0

2 35* + 1 3 * -4 = 0 de donde

1 4 => * = - , * = , 5 7

1 2 para * = - => C(2,3,-2), r = 9 5

x 2 +>2 + z 2 - 4 x - 6 j + 4z+ 8 = 0 Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x 2 + y z + z2 -1 0 x + 2_y + 26z = 113 x + 5 y - 1 z+13 x + 7 y + 1 y paralelas a las rectas Z,j: -------------------------- ;---------= ------- A z = \ -3 2 Solucin E: x + y + z - 1 0 x + 2 y+ 2 6z = 113, completando cuadrados se tiene: E: ( x - 5 ) 2 + ( y + l)2 + (z+13)2 = 308, de donde C(5,-1,-13) y r = V308 x+5 Sea y -1 -3 z + 13 2 ^ a = ( 2 ,- 3 ,2 ) z=g = (3 ,-2 ,0 )2 2 2

8)

+7 =2 l 3 -2

como las rectas L^y L2 son paralelas al plano tangente entonces la normal al plano P es.

Superficies Cuadrticas

43

j 2 - 3 3 - 2

k 2 0

Ahora tomamos la recta que pasa por el centro de la esfera en la direccin de la normal. L = [(5,-1,-13) + t(4,6,5) / 1 e R}

Sea A e L => A(4t + 5, 6t - 1, 5t - 13). Se sabe que / = CA = A - C = (4/,6,5/)

|| CA \\=r=-Jl6t^ + 36t2 +25t 2 = ^ 3 0 8 , de donde A(13,l 1,-3), ^ '( -3 -1 3 ,-2 3 ).

7 7 r = 3 0 8 => t = 2 ,

Las ecuaciones de los planos tangentes son: (4.6.5).(x-13, y -1 l ,r + 3) = 0 (4.6.5).(x + 3,y + 13,z + 2 3 )= 0 4x + 6 y + 5: = 103 4x + 6y + 5: = -205

9)

Hallar la ecuacin del plano tangente a la esfera x 2 + y 2 + z Z = 4 9 en el punto M(6,-3,-2) Solucin

OMIIN >

pero

OM = M - 0 = ( 6 -3 ,2 )

Luego N = (6,-3,2) entonces la ecuacin del plano tangente en M ser:

Y

P: N . ( x - 6 ; y + 3 , z - 2 ) = 0

P: 6x - 3y + 2z - 49 = 0

I

44 10)

Eduardo Espinoza Ramos Demostrar que el plano 2x - 6y + 3z - 49 = 0, es tangente a la esfera x + y +z = 49. Calcular las coordenadas del punto de contacto. Solucin Si P: 2x - 6x + 3z - 49 = 0 x" + y~ + z 2 = 4 9 entonces d(C,P) = r C: Centro de la esfera = (0,0,0) r: radio de la esfera = 7 12 (0 )-6 (0 ) + 3 ( 0 ) - 4 9 1 49 --------- . -- / ,r ) V4 + 36 + 9 V49 por lo tanto P es tangente al Plano Para hallar el punto de contacto. Hallamos la recta que pasa por el Centro y el punto de contacto, que por definicin tendr como vector direccional el vector normal del Plano tangente: L = {t(2,-6,3) / t e R} intersectando L con el plano 2(2t) - 6(-6t) + 3(3t) - 49 = 0 => 4t + 36t + 9t = 49 => t = 1 /. P0 = (2,-6,3) ^ es tangente a la esfera2 2 2

11)

Hallar la ecuacin del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector a = (2,-3,4), si las ecuaciones de la directriz son: he + y = 9

2

2

z= 1 Solucin 2 1 2 +y = 9 x , la directriz. z= 1

Superficies Cuadrticas J jc'2+y'2 = 9 Sea P' ( x' ,y ', z' ) e D entonces la satisface D: ) [ **=1 ahora calculamos la generatriz, es decir: x ~ x' y ~ y ' z ~ z' , j G : ------- = -------- = ------- ,dedonde 2 -3 4 ^ * - * ' y - y ' 2-1 G : ------- = -------- = -----2 -3 4

45

..(1)

(2)

Eliminando los parmetros x ', y ' de las ecuaciones (1) y (2). Luego de la ecuacin (2) se tiene:x-x' z- 1

x =-

2 x -z + l (3)

2y-y'

4z- 1

4y + 3 z - 3 y

-3

4

T "

reemplazando (3) en (1) se tiene: 2 x -z + l , 4v + 3 z - 3 7 (------------) + ( ---------- ) = 9 ^ 4 ( 2 x - z + l) +(4_y + 3 z -3 ) = 144

\ 6 x 2 +16y 2 +13z2 - 1 6 x z + 24yz + 1 6 x - 2 4 y - 2 6 z = 131 12) Sean E : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x -

2 7 + 10z = 29 y la recta L={(-6,-10,4)+ t (3,5,-4)/1 e R}. Hallar

la ecuacin de la superficie cilindrica cuyos nmeros directores de las generatrices resultan al efectuar el producto vectorial de los vectores normales a los planos tangentes a la esfera E en el punto de interseccin de este cilindro es la curva que resulta de interceptar la esfera con el plano XZ. Solucin E: x 2 + y + z 2 + 2 x - 2 y + 10z = 29, completando cuadrados E: (x + 1 )2 + ( j ' - l ) 2 + (z + 5 )2 =56 donde C (-l,l,-5) centro de la esfera: L = {(-6,-10,4) + t (3,5,-4) / t e R} = {(-6 + 3 t,-10 + 5t, 4 -4t) / 1 e R}. Sea P s L n E entonces Pe

L

a

P

e

E. de donde

46 SSPseLL =>FP{^ +33t,-+WH- 51,44-41); para Signa teefR.

Emar&Espmozal&amos

Como P eFE => (-5 + 3 / ) 2 + (-114-5/)2 + ( 9 / ) 2 = 5 6 ,d e o n d e 4 50/ - 256/ + 300 = 0 => /, = 2 , t2 = 3 para / = 2 , (1-1,1); para t2 3, ^(4,4,-*3).

Los vectores normales a los planos tangentes son: V = CPi = ( 2- 2, 6) , ^ = CT2 =P2 - C = (5X2)

calculando el producto vectorial de las normales a los planos tangentes i Ai x 2 = 2 * 5 j 3 k 2

-2 6 = (-22,26,16)

La curva directriz resulta de interceptar la esfera E con el plano XZ entonces y 0 por lo tanto. (x + l ) 2 + (z + 5 ) 2 =55 D: \ l y= o la curva directriz

Sea P '(x ',y ',z') un punto de interseccin de ia directriz con la generatriz, entonces; la satisface. (x + l) 2-+ (z^+5) 2 = 55

D:

lcalculando la

= ---- (1,1,1) 3 de un puntos2 2 2

1 = > 3 eos 2 a = 1

7Pi

r = (x, y, z) el vector de posicin

cualquiera del cono, como por dato

-> > > * se tiene entonces, r . u =|| r |||| u j| eos 30a

52 19)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuacin del cono que tiene el vrtice en el punto (0,0,C) ; si las ecuaciones de la directriz son: + =1, z = 0 a" b Solucin2 2

X

2

V

2

Sea D:

+ =1 a 2 h 1, la curva directriz. Si P' (x' ,y', z') e D entonces lo satisface, z=0

,2

,2

D:

* y +~ t = ii a b z= 0

(1), ahora calculamos la ecuacin de la generatriz donde V(0,0,C) es

, , , ^ JC 0 v-0 z-c , el vertice de la superficie conica. G :---- - = ------ = ------- y como z = 0 x'-Oy ' - 0 z'-c x y z+c G: = = -----x' y ' -c x x' y z-c -c z-c -c => i

(2), de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos x \ y '

xc x = c-z

...(3)

,

reemplazando (3) en (1) se tiene:

y '

y '

cv

c-z

2 y 2 ( z - c ).2 , x 1 XC 2 ' cy 2 s (------ ) + (1 ) = 1 , simplificando se tiene +1 --------z = 0 a c-z b c-z a b c20) Hallar la ecuacin del cono que tiene el vrtice en el origen de coordenadas, si las ecuaciones de la directriz son: j x 2- 2z + 1= 0 i [ v - z + 1= 0 Solucin x - 2z+ l = Sea D: \ [y -z + l = 0

0

x' 2-2z'+l = 0 Si P '(x \y ' ,z') e D entonces D: i [ ^ '- z '+ ^ O

... (1)

Superficies Cuadrticas x-0 x'-O de donde G: x x y .y z z y -O v'-O z- 0 z'-O ... (2 )

53

La ecuacin de la generatriz es: G:

de las ecuaciones ( 1) y (2 ) eliminamos los parmetros x ',y ',z 'X

z= II

xz'

1

x'

z'

z vz' v'= . z reemplazando (3) en la ecuacin y'+z'+l = 0

y 1 = y' z'

... (3)

z - Z-.V

1----- z+l = 0 =>

vz

X

x '= z-y y /= z-y

... (4)

2 x 2 ^Z . Ahora reemplazamos (4) en Jt' -2 z '+ l = 0, se tiene: (------ ) ---------+1 = 0 simplificando z-y z-ytenemos la ecuacin 21) x -z + y2 2 2 n =0

Una vez comprobado que el punto M(l,3,-1) est situado en el paraboloide hiperblico 4 x 2 - z 2 = y, hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasa por el punto M. Solucin Sea //: 4 x 2 - z 2 = y => M (l,3,-1) e H => 4 - 1 = 3 Las ecuaciones de sus generatrices que pasan por M son (2x + z)(2x - z)= y, de donde v L,:2x+z = k a 2 x - z = 1 k (l), v L1\ 2 x - z = k a 2x + z = ' k (2)

54 de la ecuacin ( 1 )


2 x + z = k => 2 - 1 = k => k =X

V+ 1

z-2

1

de la ecuacin (2), 2 x - z = k Z,,: 2x - z = 3 y 2x + z = 3

2 + l= k

=> k = 3 z =2x-3 v = 1 2 x -9

a

a

(x, y, z ) e L 2 = >( x, y , z ) = ( x , l 2 x - 9 , 2 x - 3 ) = (O,-9,-3) + x(l,12,2)

x \v + 9 z + 3 L-) i ------ ------1 12 2

22)

Hallar al ecuacin de la superficie engendrada por rotacin de la elipse entorno del eje O Y. Solucin

h

c x =0

Consideremos un punto arbitrario del espacio M(x,y,z) y que C es el pie de la perpendicular bajada del punto M al eje OY al punto M lo trasladamos al plano OYZ mediante una rotacin de esta perpendicular alrededor del eje OY y a este punto designamos por N(o,y,z) ahora haremos el dibujo correspondiente a la superficie, mediante el cual daremos la ecuacin de dicha superficie.


55

C M= C N donde CM = x 2 + z ~ , CA = ztadems es evidente que yl = y

de donde |zj I = J x 2 + z~

(!) ... (2 )

El punto M(x,y,z) est situado en la superficie de revolucin si y solo si N ( o , y 1,zl ) est en2 2

la elipse dada, es decir:

y\ zi + 1 y 7=

(3)

y x +z de las igualdades (1) y (2) en (3) se tiene: - y + ----- = lque es la ecuacin buscada. b c 23) HallarX Z 2----

2

2

2

la

ecuacin

de

la

superficie engendrada por la rotacin de la hiprbola

2

a

c

2 2~= 1, y = 0, alrededor del eje OZ.Solucin Sea M(x,y,z) un punto en el espacio tomado

arbitrariamente, y D el pie de la perpendicular trazada desde el punto M al eje OZ. El punto M lo trasladamos al plano OXZ mediante una rotacin de esta perpendicular alrededor del eje OZ. Designemos este punto en dicha situacin por N (x ' ,o , y' ) . Luego | DM || = || DN || donde

|| DM || = t / ( * - 0 ) 2 + ( > - 0 ) 2 + ( z - z ) 2 = J x

adems || DN || = |jc'| por lo tanto |x'| = ^ x 2 + y~ adems z = z'

... (1)

El punto M est situado en la superficie de revolucin si y solamente si, el punto N est en la hiprbola dada, es decir: si y y = l a~ cX,2

Z

,2

(2 )

56

Eduardo Espinoza Ramos (V* 2 +.v 2 r ~2 -------- ------ - = 1, a c

ahora2 2

reemplazamos2

( 1)

en

(2 )

se

tiene.

simplificando

x +y x ----- j - = 1, ecuacin de la superficie engendrada. a c 24) x y z Demostrar que el hiperboloide de dos hojas, determinado por la ecuacin + ~ ~ ~ = -1 ~ a b eZ

2

2

2

2

X

2

se puede tener por rotacin de la hiprbola. \ c 2 contraccin uniforme del espacio al plano OXZ. Solucin

a2y =0

entorno al eje OZ y una sucesiva

Primeramente hallaremos la ecuacin de la superficie de revolucin que se va a generar. Sea M(x,y,z) un punto del espacio tomado arbitrariamente y D el pie de la perpendicular trazada desde M al eje OZ, el punto M lo trasladamos por rotacin de esta perpendicular sobre el eje OZ hacia el plano OXZ. Asignamos a este punto en dicha situacin por Ar(x',o,z').Luego || DM || = || D N ||, || DM || = i j ( x - O ) 2 M = -Jx2 + y 2Z,2 X ,2 2------

de donde y || DN || = |x j, luego se tiene

) 2 + (z -z ) 2 = x2+ y 2 0

y

z = z' como en el punto N( x' , o, z' ) est en la hiprbola entoncesZ2 X 2 + v 2

= 1>Por 1 tanto se tiene: ---- j = 1 ... ( 1 ) , es la superficie de revolucin c a~ c a engendrada, suponiendo ahora que se efecta una contraccin uniforme del espacio de la a superficie (1) hacia el plano OXZ con el coeficiente de contraccin q = ~~ y que el punto b M' ( x' , y' , z' ) es el punto que se traslada M(x,y,z) como MM' es perpendicular al plano OXZ tenemos que x = x' ,,2

ay = y' , z = z',2

... (2) ahora reemplazando (2) en (1) se,2 ,2 ,2 ,2 ,2

bX y tiene. - - ------- j------- = 1 , simplificando - 5 z x' +(y') b

2

Q

2

Z

y'

c

a

c

a

b

X y z + ~ ~ ~ T =

a

b

e

Superficies Cuadrticas2 2 2

57 x y z - y + ^-h j = 1 se a b e

25)

Demostrar que el elipsoide escaleno determinado por la ecuacin x2

y2 +^ -= 1 puede obtener como resultado de una rotacin de la elipse: 1 a b alrededor del [ z=0

eje OX y una sucesiva contraccin uniforme del espacio hacia el plano OXY. Solucin Hallaremos primero la ecuacin de la superficie de revolucin que se va a generar. Sea M(x,y,z) un punto del espacio tomado arbitrariamente y D el pie ^ de la perpendicular trazado desde M al eje OX. El punto M lo trasladamos por rotacin de esta perpendicular sobre el eje OX hacia el plano OXY, designemos este punto en dicha situacin por N(x,y,o) luego || DM ||=|| || DM \\ = y ( x - x ) 2 + ( y - 0 ) 2 + (z o)2 = ^y2 + z 2 y || D N || = |y] por lo tanto _yj = ^[yX = X

||, de donde:

... ( 1)

como + r = 1, contiene al punto M si y solo si, el punto N est en la elipse dada, a b es decir: x -2 y 2 2 + b2 - 1 , a - (2 )

2 x

2 y

x y +z ahora reemplazando (2 ) en ( 1) tenemos + ---- a b

2

2 ,2

=1

... (3)

La ecuacin (3) es la ecuacin de la superficie de revolucin engendrada. Supongamos ahora que se efecta una contraccin uniforme del espacio de la superficie (3) hacia el plano OXY, c con el coeficiente q = , y que el punto M ' ( x ' , y ' , z ' ) es el punto al que se traslada M(x,y,z); b como M M ' es perpendicular al plano OXY, tenemos:

58 c x ' = x , y = y ' , z ' = z


...(4 )

supongamos que M(x,y,z) es un punto arbitrario de la superficie de revolucin (3)x ,2

T b y y' + ( - z ') sustituyendo aqu sus valores de la ecuacin (4) se tiene + -------------------------------------- j ------ = 1, a b2,2

z 2~+ +~ T T a b e

x

y

,2

,2

=1

(5)

Luego la ecuacin (5) es la ecuacin del elipsoide escalena.

l i e r c l c ^ s P r o p tte s t^ .^ IDiscutir y graficar las siguientes superficies: 1) 3) |x | + | y | =

6 -z

,

2) 4)

9x2+4y2-I 2 z = 0 x 2 +>,2 = l n z

z = ln(x + >2) x2 z2 h = 4 y 36 25

5 )

6) 8)10)

J x + y[y + sfz = 1

7) 9)

x 2 + z 2 = tg j' y 2 +z = 2 x2

x 2 = 2 x + 4z 4x2 + 9 ^ 2 - z 2= 36 4x yA

2

!1) 13) 15) 17)

2 - |x| + |>!x 2 + z 2 =4y x 2 =2y+4z 3x 2 - 6 / + 2 z 2 = 6

12> XZ~ 2 x V + 2 / x 14) 4 x 2 - 9 y 2 + z 2 =36 16) 7 = |x 2 |- 2 |x | + l 18) x 2 - 3 y 2 - 4z = 0

Superficies Cuadrticasi A\

59.. ->n\ 20)

19) y + z = sen x

z-x

4 .

+ y 4 - 4A x 2 y 2

21 ) 4 x + ^ = 223)jc

22 )

z = |y |

+z-

24) x 1 = \ 4

25) z + y - 2 y = 0

27) z = ( x + 2 + ( y - 3 - 9 29) x + / + z - 3 ( x + 2z) + (>'+ 8 ) = 0

28) |x|2 z - 2 x + z|>j2 =

0

30) 8x2 - 4 x y + 5 y 2 + z 2 = 3 6 32)z = (x + 2) 2 + ( y - 3 ) 2 + 9

31) 2x + 8 z y

= -8

33) Discutir y graficar la superficie \ x \ 2 z - 2 x + z \ y \2 = 0 34) Discutir y graficar la superficie 8 x 2 -4 x y + 5 y 2 + z 2 =36 35) Discutir y graficar analticamente la grfica de la superficie a) b)x 2 + y 2 + z 2 -3 (x + 2z) + O' + 8 ) = 0

2 x 2 - y 2 + 8z 2 = - 8

.

36) Hacer una discusin completa del paraboloide de ecuacin x 2 - y 2 - 2 x + 4 y + II.1)

=6

Hallar la ecuacin de la esfera de radio R = 3 y que es tangente al plano x + 2y + 2z = -3 en el punto P (l,l,-3). Rpta. ( x - 2 y + ( y - 3 y +(2 + 1) = 9

2)

Hallar la ecuacin de la esfera que pasa por el origen de coordenadas y por la circunferencia R pta. x + y + z -1 0 z + 1 5 .v -2 5 z = 0

60 3) Hallar la ecuacin de la esfera que pasa

Eduardo Espinoza Ramos por la circunferencia

\ x 2 +y 2 + z 2- 2 x + 3 v - 6 z - 5 = 0 y por el punto P(2,-1,1) [ 5x + 2 y - z = 3 Rpta. 4) x 2 + y 2 + z 2 + 9 y - 9 z + 14 = 0

Hallar la ecuacin de la esfera tangente en (4,3,6) al plano 3x + y + 5z - 45 = 0 y tangente en (2,5,-4) al plano x + 3y - 5z - 37 = 0. Rpta.( jc- 1 ) 2

+ (y-2 )2 +( contiene

z - l ) 2 = 3 5

5)

Hallar

la

ecuacin de

la

esfera

que

a

la y

circunferencia contiene al

x 2 + y 2 + z 2 + 6x + 4 y ~ 2 z = 25; punto ( 1 ,- 1 ,2 ).

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + 12z = 17

Rpta.

1 7 (x 2 + y 2 + z 2 ) + 1 7 6 jc -6 6 > ' + 2 5 8 z - 9 5 0 = 0

6)

Hallar la ecuacin de la superficie esfrica que pasa por la circunferencia de interseccin de las dos superficies esfricas x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2y - 4z + 2 = 0,

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 6 z + 10 = 0 y tambin pasa por el punto (-2,4,0).

R pta.

x 2 + y 2+z2 -1 9 x - 3 2 y ~ 2 1 z +7 0 - 0

7)

Hallar la ecuacin de la esfera que est en los planos paralelos n x: 2 x - y + 2 z + l = 0; n 2: 2 x ~ y + 2 z - \ 7 = 0 conociendo que P(l,3,0) es el punto de contacto de uno de ellos.

8)

Hallar la

ecuacin dela esfera que tiene su centro en la recta L:

2x +4 y - z - l = 0

a

4x + 5y + z - l 4 = 0 y es tangente a los planos x + 2 y - 2 z - 2 = 0 , x + 2y-2z + 4 = 0. Rpta. (x + 1) 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 4 9) Encuentre la ecuacin de la esfera tangente en (1,-1,4) al plano i ,1:2 jt-_ y + 3 z -1 5 = 0 y tangente en (1,-2,5) al plano P2: x - 2 y + 4 z - 2 1 = 0

Superficies Cuadrticas 10)2 2 2

61

Halle la ecuacin de la esfera concntrica a x + y + z + 6 y - 4z + 9 = 0 y tangente al planoti:

2x - 3y + 2z + 4 = 0.

11)

Halle la ecuacin de la esfera cuyo centro est en el plano XY y es tangente al plano 3x + 2y - z - 6 = 0 en (1,5,7).

12)

Se dan dos puntos fijos P y Q, demostrar que el lugar geomtrico de un punto satisface a la igualdad || PP0 || = n || QP0 |j es una esfera (con n constante, n * 1).

Pn que

13)

Hallar la ecuacin de la esfera tangente a los planos XZ y YZ en el primer octante si su radio es 5 y pasa por el punto (9,2,6).

14)

Determinar el centro y radio de la circunferencia

( x - 3 ) 2 + (j + 2 ) 2 + (

z

- 1 ) 2 = 100

l

2 x - 1 y - z +9 =0 Rpta. C(-l,2,3) , R = 8 tangente a los planos 3x + 2y - 6 z - 15=0,

15)

Calcular el

radio de

la esfera que es

3x + 2y - 6 z + 55 = 0. Rpta. R=5

16)

Hallar la ecuacin de la esfera con el centro en C(2,3,-1), que corta en la recta 5x 4y + 3z + 20 = 0, 3x - 4y + z - 8 = 0, una cuerda de longitud igual a 16. Rpta. ( x - 2 ) 2 + (_y-3) 2 + ( z + l )2 =289

17)

Hallar la ecuacin del plano tangente a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 2y + 2z +10 = 0 y que sea paralelo al plano x + 2y - 2z - 3 = 0.

62 18)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar las ecuaciones paramtricas de la recta que contiene el dimetro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + 4 z - l l = 0, que es perpendicular al plano 5x-y + 2z -17 = 0. Rpta. L: x = 5t - 1 , y = -t + 3 , z = 2t - 0.5

19)

Hallar la ecuacin cannica de la recta que contiene el dimetro de la esfera i 2 i x ~ + y + z - x + 3 y + z - 13 = 0, que es paralelo a la recta x = 2t - 1, y = -3t + 5, z = 4 t- 7 . Jt-0.5 y + 1.5 z + 0.5 L: -------- = - -------= ---------

Rpta.

20)

Hallar en la esfera (x - 1 ) + ( y + 2) + ( z - 3 ) = 25 el punto M ms prximo al plano 3x - 4z + 19 = 0 y calcular la distancia d del punto P a ste plano. R pta. M(-2,-2,7) , d = 3

2

2

21)

Hallar la ecuacin del plano que pasa por la lnea de interseccin de las dos esferas 2 x 2 + 2 y 2 +2 z2 + 3 x - 2 y + z - 5 = 0 ; x 2 + y 2 + z2 - x + 3 y - 2 z + 1 = 0. Rpta. 5x - 8 y + 5z - 7 = 0

22)

El punto C (l,-l,-2) es el centro de una circunferencia que corta en la recta 2x - y+2z 12= 0, 4x - 7y - z + circunferencia. Rpta. C: | ( x - l ) 2 + ( y + l ) 2 + ( z + 2 ) 2 =65 1 1 8 x -2 2 y + 5 z -3 0 = 0

6 = 0 una cuerda de longitud igual a 8 . Hallar la ecuacin de la

23)

Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(3,-l,-2) , B (l,l,-2 ) y C(-1,3,0). R pta. C: | ( x - 2 ) 2 + y 2 + ( z - 3 ) 2 =27 [ x+ y-z=

0

Superficies Cuadrticas 24)

63

2 i 2 Demostrar que el plano 2x - 6 y + 3z - 49 = 0 es tangente a la esfera x + y~ + z = 4 9 ,calcular las coordenadas del punto de contacto. Rpta. (2,-6 ,3)

25)

Hallar los valores de A para los cuales el plano x + y + z = A es tangente a la esfera x 2+ y 2+ z2 =

12 .Rpta. A=

62 2 2

26)

Hallar la ecuacin del plano tangente a la esfera ( x - 3 ) + {y 1) + (z+ 2) = 2 4 punto M(-l,3,0). Rpta. 2x - y - z = -5

en el

27)

Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 4x + 3z - 17 = 0

tangentes a la esfera ( x - 3 ) 2 +( y + 2 ) 2 + ( r - l ) 2 = 25

Rpta. 28) Determinar la ecuacin del plano

4x + 3 z -4 0 = 0

;

4x + 3 z + 1 0 = 0 x 2 + ( > '- l ) 2 + 4(z + 2) 2 = 4 en el punto

tangente al

elipsoide

paralelo al plano tangente de la esfera ( - 1, 1 . - 2 + V s). Rpta. 29)

x + (y - 1) + (z + 2 ) = 9

3x - 6 a/2 z + 2V3 + 6 V 2 -4 = 0 .

Deducir la condicin, segn la cual el plano Ax + Bv + Cz+ D = 0, es tangente a la esfera x 2 +y 2 + z 2 = R 2. Rpta. A 2R 2 + B 2R 2 + C 2R 2 = D

30)

Encuentre la ecuacin de la esfera tangente en (1,-2,4) el plano n ^ x - j > + 3 z -1 5 = 0 y tangente en (1,-2,5) el plano n 2 :x-3> , + 4 z - 2 7 =0.

64 31) Por los puntos de interseccin de la recta x = 3 t - 5 ,2 2 2

Eduardo Espinoza Ramos y - 5 t -1 1 , z = - 4 y + 9 y la esfera

(x + 2) + { y - 1) +(z + 5) = 49 se han trazado planos tangentes a esta esfera. Hallar sus ecuaciones. Rpta. 32) 3x-2_y + 6 z - l l = 0,

6 x + 3_y+ 2 z - 3 0 = 0

2 2 2 Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x + y + z = 9 paralelo al plano x + 2 v - 2 z + 15 = 0. Rpta. x + 2 v - 2 z - 9 = 0, x + 2 v - 2 z + 9 = 0 z = + l se puede trazar solamente un

33)

Demostrar que por la recta x = 4? + 4, y - 3 t + l,

plano tangente a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 2x+ 6 y+ 2 z + 8 = 0 y hallar su ecuacin . Rpta. x - y - z =2 8 x - 1 ly + 8 z = 30 34) Demostrar que se puede trazar por la recta ] esfera 35) Hallar x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y +4 z - 1 5 = 0 la ecuacin de la esfera que est en los planos paralelos [x-y-2 z =0 , dos planos tangentes a la

;r 1:2x-_y + 2 z + l = 0, ^r2 :2x-_y + 2 z -1 7 = 0, conociendo que contacto de uno de ellos.

/q(1,3,0) es el punto de

36)

Hallar las ecuaciones de las esferas que contenga l circulo x 2 + y 2 + : 2 = 5 , x+2y+ 3z = 3 y son tangentes al plano 4x + 3y = 15.

37)

Encontrar la ecuacin de la esfera que es tangente al plano x concntrica alaesfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y - 6 z + 33 = 0 .

8y + 4z + 7 = 0 y es

38)

Hallar la ecuacin de la esfera cuyo centro esta en el eje X y pasa por los puntos P (0,5,0) y P2 (-2,1,0).


65

Encontrar la ecuacin de la esfera cuyo centro esta en el plano XZ y es tangente al plano 2 x - y + z 4 = 0 en el punto P( 1,7,4).

40)

Hallar la ecuacin del plano P que contiene a la recta L = {(1,2,3) + t( 1,-1,0) / t e R) de

2 t 7 modo que dicho plano sea tangente a la esfera x + y + z ' = l .

41)

Determinar la ecuacin de una esfera cuyo centro esta sobre la recta tangente a los planos Px : x + 2 y - 2 z = 2 y P2 : x + 2 v - 2z + 4 = 0 .

y es

42)

Demostrar que el elipsoide + - + = 1 , tiene un punto comn con el plano 81 36 36 4x - 3_v+ 12z - 54 = 0 y hallar sus coordenadas. Rpta. c(6,-2,2)

43)

Demostrar que el hiperboloide de dos hojas + - - = -1 tiene un punto comn con el 3 4 25 plano 5x + 2z+ 5 = 0 y hallar sus coordenadas e(3,0-1 0 ).

X

2

Z

2

44)

Demostrar que el paraboloide elptico h ------ = 24 tiene un punto comn con el plano 9 4

2 x - 2 v - z - 1 0 = 0 y hallar sus coordenadas.Rpta. 45) c(9,5,-2)

Discutir y graicar las superficies cilindricas, rectas cuyas ecuaciones se da. x2 -4 z = 0 c) 9 x 2 + 4 y 2 = 36 b) d) y 1 + z =4 v2 + z = 2

66 e) g) 46).

Eduardo Espinoza Ramos x 2 +y 2 - 2 v = O x1/2

f) h)

9 v2 - 4 z 2 =36 x2/3

+z

1/2

=2

-

+y

2/3

. =1

Dada la ecuacin de la directriz y los nmeros directores de las generatrices de una superficie cilindrica. Hallar su ecuacin y su grfica. a) c) e) g) y 2 =4x , z = 0; [l,-l,l] x 2 - y 2 = 1, z = 0 ; [0 , 2 ,-l] 4.r 2 + z 2 + 4 z = 0, ,y = 0; [4,1,0] 2 y 2 + z 2 = 2 , x = 0; [1,2,3] b) d) f) h) x 2 + z 2 = 1, y = 0; x 2 + y = 1, z = 0 ; x 3 + z 3 = 1, y = 0; [2,1 ,-l] [2 ,0 ,l] [3,l,-l]

xz = 1, y = 0; [2,-1,0]

47)

Hallar la ecuacin de la superficie cilindrica cuya directriz es y 2 + z 2 = 1, x = 0 con generatriz ortogonal al plano x + 2 y - 2z - 4 = 0.

48)

Las generatrices de un cilindro circunscrito en la esfera x + y +z - 2x + 4y + 2 z - 3 = 0, son paralelas a la recta x = 2t - 3, y = -t+7, z = -2t + 5 Rpta. 4 x + 4 y 2 + z 2 + 1 2 y - 6 z+ 8xz-4_yz = 27.

7

7

2

49)

Las ecuaciones de una recta x + 2 y - z = 4, 2x - y + z +

paralela a la generatriz de la superficie cilindrica es

6 = 0, y la ecuacin de su directriz es 2 x 2 + y 2 = 4 , se pide

hallar la ecuacin de su superficie. 50) Encuentre la ecuacin del crculo que es perpendicular al plano XY, y cuya directriz es el crculo en el plano XY con centro en c(4,-3,0) y radio 5. 55) Hallar la superficie cilindrica cuya directriz es la interseccin de las superficies 3x2 - > + 3z 2 = 1 x 1 - 1 v -4a

2x + 3y - : - i)

y

cuya

generatriz

son

paralelos

a

la

recta

L: ------= --------= -------

z+ 2 3

2

Superficies Cuadrticas 56) 57) Identificar y graficar la superficie x~ + y 2 + 4 r 2 - 2xv + 4xz - 4yz = 1.

67

Graficar la superficie x 2 + y 2 + 5z 2 - 2 x z + 4yz = \ , es una superficie cilindrica? Es caso afirmativo hallar sus elementos. *

58)

Graficar la superficie x 2 + 6 y 2 +25z 2 + 2 x z - 2 4 y z - 1 6 = 0 cilindrica, hallar sus elementos.

en caso de ser

superficie

59)

Demuestre que x 2 + 4 y 2 - 2xz + Hyz + 5 z 2 = 4 es una superficie cilindrica y conociendo sus elementos, halle su grfica. .. . . . x 1 -------y = 3 - z Encuentre la ecuacin del cilindro de radio 2 y tiene por eje a la recta

60)

61)

Halle la ecuacin de la superficie cilindrica cuya directriz es 4 x 2 + z 2 +4z = 0 , y = 0 y la generatriz tiene como nmeros directores [4,1,0],

62)

Pruebe que la ecuacin

x 2 + y 2 + 5 z 2 +2xz + 4 y z - 4 = 0

representa una

superficie

cilindrica. Halle la directriz y la generatriz esboce la grfica. 63) Hallar la ecuacin del cilindro circunscrito a las dos esferas

, : (jc ) 2 + ( y - l ) 2 + z 2 = 2 5 , E2 : x 2 + y 2 + z 2 =25. 2 64) Demostrar que la ecuacin 2 x 2 + 2 y 2 + 4 r 2 + 4xz - 9yz = 2 representa una superficie

cilindrica, y hallar las ecuaciones de su directriz y los nmeros directores de sus generatrices. >

65)

Hallar al ecuacin del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector a = (2,-3,4), si las ecuaciones de la generatriz son I x 2 + y 2 =9

1

*= I

Rpta.

I6x2 + 16y2 + 1 3 r2 -1 6 jrr+ 2 4 ]/z+ 1 6 jt-2 4 y = 26z

68

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuacin de un cilindro circular que pasa por el punto M (2,-l,l) si la recta x = 3t + 1, y = -2t - 2, z = t + 2, en el eje del mismo. Rpta. 5x 2 + 10y 2 + 13z2 + 12xy-6xz + 4yz + 26x + 2 0 y -3 8 z + 3 = 0

66 )

67)

Demuestre que las ecuaciones dadas representan una superficie cilindrica y hallar la ecuacin de su directriz y los nmeros directores de sus generatrices y construir su grfica. 4x~ + 64y + z - 32xy + 4z = 0

a) b) c) d) e) f) g) h)

8 x 2 - 9y 2 - 9 z 2 - 6 ,ry + 22.v + 12y +x 2 + 4 y 2 + 5z2 + 2xz+ 4yz - 4 = 0

1lx~ + 2y + z~ - 8w - 6 xz - 2 = 0xz + 2 yz -

1=0

x 2 + 5z 2 -2 x z + 8 y z + 4 y 2 - 4 = 0 2 x 2 + 4 y 2 -4 x z + 6 z 2 + 8 y z -4 = 0 z ' + x 2 + 2 y 2 + 2 y z - 2 .x y -l = 0 2x" + y 2 + 3 z 2 - 2 y z + 4 x z - 2 = 0 z +4xv + 2y~ - 4 x z + 6x~ + 4 = 0

0j)

68 )

Dadas las ecuaciones de la directriz y las coordenadas del vrtice de una superficie cnica, hallar su ecuacin y hacer su grfica. a) b) c) Jf2 + t-'2 = 4 , z = 2, V(0,0,0) Rpta. Rpta. Rpta. x2+y2 = z2 x 2 +yz = 0 z~ + 2xy = 4 y

x 2 = 2 y , z = -2, V(0,0,0) z~ = 4y, .y = 0, V (2,0,0)

Superficies Cuadrticas d) y 2 + z 2 = 9 , x = 2, F ( ,1,0 ) 1 Rpta. e)

69

8x 2 -9 v 2 - 9 z 2 - 6 xy + 22A- + 12^ + 5= 0

x 2 - 4 z 2 = 4 , y = 3, K( 1,1,1) Rpta. 4 x - l y 2 -1 6 z 2 - 4 xy+ 16yz + 12x + 26y + 48z = 31 Rpta. 4*3 - / = 0

f) 69)

^ = x 3, z = 2 , F(0,0,0)

Hallar la ecuacin del cono circular, si los ejes de coordenadas son generatrices de l. Rpta. xy + xz + y z = 0

70)

Hallar la ecuacin del cono que tiene el vrtice en el origen de coordenadas, si la generatrices son tangentes de la esfera (x + 2) + (_y - 1) + (z - 1) =9.2 2 2

Rpta. x 2 + 4 y 2 - 4 z" + 4 ^ + 1 2 x z - 6 ^ z = 0 71) Hallar la ecuacin del cono que tiene el vrtice en el punto P (5,0,0), si las generatrices son tangentes a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9. Rpta. 9x~ -1 6 y 2 - 1 6 zZ - 9 0 j r + 225 = 0 72) Hallar la ecuacin del cono cuyo vrtice est en el punto (3,-1,-2) si las ecuaciones de la, \x 2 +y 2 - z 2

directriz son: [ x - y +z

=1i =0

Rpta. 3X3 -5_y2 + 7z 2 - 6 xy+ \ 0 x z - 2 y z - 4 x + 4 y - 4 z + 4 = 0 73) x-2 _y+l z +1 La re c ta ------- = = ------ es el eje de un cono circular cuyo vrtice est situado en el 2 -2 -1 5 plano 0YZ. Hallar la ecuacin de ste cono, si se sabe que el punto M (l,l, ) est situad

2

en la superficie. Rpta. 35*2 + 3 5 / - 52z2 - 232xy - 1 16xz+116.yz+232* - 7 0 ^ - 1 16z+ 35 = 0

70 74)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuacin de la superficie cuya directriz es la curva C: x =cos t, y = l + sen t, z = 2 + sen t , y , y cuyo vrtice es el punto V (l,l,-2).

75)

Hallar la ecuacin del cono cuyo vrtice est en el origen de coordenadas, si se dan las ecuaciones de su directriz.x y + 7 r = i, z = ca b

2

2

a)

Rpta.

x ~a

2

2 Z --= 1 + ~T yb

2

c

b)

2 2 X Z + = 1, y = ba

Rpta.

X

2

Z

2

2 V~Tr = 1

c

~T+~ a c

2 c)

2 Rpta.

y z i - j + =1, x = a b c

yb

2

zc

2

X a

2

,2+ 2

22 2 2

76)

.

. X V z Hallar las ecuaciones de las generatrices del hiperboloide de una h o ja ----- y 4 9 16

son paralelos al plano 4x + 4 y + 3 z - 17 = 0. x v -3 z x-2 y z Rata. G ,: = ------ = , G-:------- = = 1 0 -2 0 3 -4 77) Hallar la ecuacin del plano que es perpendicular al vector a = ( 2 ,- 1,-2) y tangente al paraboloide elptico + = 2 z. 3 3 Rpta. 78) K \2 x-y-2 z-A -0x

2

y

2

Hallar los valores de m para los cuales la interseccin del plano n : x + m y - 2 = 0 con el paraboloide elptico----- 1------ y , sea 2 3 a) Rpta. Una elipse. a) b) m * 0, m > m= 0 . b) Una parbola.X

2

Z

2

14

, pero si m =

14

resulta una elipse degenerada, un punto.


71

Demuestre que las intersecciones del plano: /r:4x + 5y + lO z- 20 = 0, con el hiperboloide de x y z . una h o j a ----- 1-----------= 1 , son generatrices de ste. Hallar las ecuaciones de estas 25 16 4 generatrices. [_y+2z = 0 Rpta. G n 1 [x + 5 = 0 , 2x - 5z = 0 G ,:j 2 [y + A = 0X2 V 2 2 Z

2

2

2

80)

Hallar las ecuaciones de las generatrices del hiperboloide de una hoja + ----------- 1, que 4 9 16 son paralelos al plano 6 x + 4 y + 3z - 17 = 0. z Rpta. L \x = , y = 3 ; -2 L2 y z = , x = 2 3 -4

81)

Una vez comprobado que el punto A(-2,0,l) est situado en el paraboloide hiperblico x

2

y

2

. - = z, determinar el ngulo agudo formado por sus generatrices que pasan por el Rpta. 6 = are.cos( )

punto A. 82)

1

Hallar la ecuacinde la superficie cnica si su vrtice es (0,-p,0) y su directriz est dado por:X

12

+_V

2

+Z

2

=p

2

2

22

83)

Rpta. x 2 + z 2 - y 1pz = 0 y+z= P Hallar la ecuacin del cono cuyo vrtice esta en el punto (3,-1,2) si las ecuaciones de la directriz son Jx + y - z [x -y + z = 0

=1

84)

Un punto P que se encuentra sobre la recta que pasa por los puntos (4,2,2) y (-2,0,6) es el vrtice de una superficie cnica, sabiendo que la segunda componente de P es 1 y que la directriz del cono se encuentra en al interseccin de la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 2 z = 3 con el plano z = 0. Hallar la ecuacin de la superficie cnica.

72 85)

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuacin de la superficie de revolucin generada por la rotacin de la curva dada entorno al eje indicado. C . z ~ e y , x = 0, eje y C:y = 3x, z = 0, ejex C:y = lnz, x = 0 eje z C:z2 = 2y, x = 0 eje y C'.y1 .z = 4 , x = 0 eje y C:9x2 + 4 y 2 = 36, z = 0 C : x2 +2y = 6 , z = 0 C : y 2 = 2 z, x = 0 C.z = e*, y = 0 2\x\ C.z = ------ 7-, v = 0 \+x ' Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. x + z = e 2y n 2 9x - y x +y

a) b) c) d) e) 0 g) h) i)

2 - z 2 =0

2

2 = ln z .

x2+ z2-2 y = 0 y 2- x

2 - z 2 =4 ^

9 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36 x 2+ z 2 +2y= 6 y 4- 4 x 2 - 4 z2 =0 Jic2+y2 z = e12

J)

Rpta.

y +z -

2

4x2

(1 + x )

86 )

Hallar la ecuacin de la superficie engendrada por rotacin de la elipse.

2y 2

2entorno el eje OY. Rpta.- j + ------ =1 2X2

. T = 1 b c x=0 87)

X

2

+z

2

b

c

Hallar la ecuacin de la superficie engendrada por la rotacin de la elipse. * .V , " T + T T =1h

2

2

]a

alrededor del eje OX

Rpta.

+a~

X

2

V

2

+Z

2

5 =1

z=0

b~


73

88 )

Hallar la ecuacin de la superficie engendrada por la rotacin de la hiperboloide * ) 2 2 X 2 , 2 2 2 ----- 7 = 1 x +y z a c alrededor del eje OZ. Rpta. ----- - = 1 a c 7 =0 x aX2

2

89)

Demostrar que el hiperboloide de una hoja determinado por la ecuacin.Z 2

y b

2

z e

2

y = 1,

se puede obtener por rotacin de la hiprbola ----- j = 1, y = 0 entorno del eje OZ y una a c sucesiva contraccin uniforme del espacio hacia el plano OXZ. 90) Demostrar2 2

que el2

hiperboloide

de

dos

hojas,

determinado

por la2 2

ecuacin

x y z z x " 2~ 2~= se Puecê obtener por rotacin de la hiprbola - - y = 1, 2 1 a b e c a entorno del eje OZ y una sucesiva contraccin uniforme del espacio hacia el plano OXZ.

7 =0

74


|T* jk n f T T TT |T I IV r W.\w.

A A

BT..... F N < IO N E S V E C T O R IA L E S DE V A R IA B L E REA)P re-R eq u S tO S .Para la comprensin adecuada de este captulo de funciones vectoriales de variable real se requiere del conocimiento previo de: Clculo de funciones de una variable real. Geometra Analtica. Reglas bsicas de diferenciacin e integracin para funciones de una variable real. Establecer los conocimientos necesarios para el trazado de las curvas de tal manera que en cada punto de la misma se determine el triedro mvil, as como los planos osculador, normal y rectificante. Al trmino de este captulo el estudiante debe ser capaz de: Describir las curvas en el espacio por medio de ecuaciones paramtricas y como interseccin de superficies. Utilizar las funciones vectoriales para describir el movimiento de un objeto a lo largo de una curva en el espacio. Definir el vector tangente unitario, el vector normal unitario y el vector binormal. Calcular los planos: osculador, normal y rectificante. Discutir la descomposicin de la aceleracin en sus componentes tangencial ynormal.

O b je tiv o s .-

Funciones Vectoriales de Variable Real

75

2.1

Introduccin.-

Se ha estudiado la recta L e n i ? 3 que pasa por el punto p 0 (x 0 , Yo>z o) y es paralela al vector a = ( a , a 2,a ) como el conjunto , > L = { p ()+ t a / t e R }. Luego a cada nmero real t le corresponde el punto p Q+t a de la

recta, a tal correspondencia le llamaremos funcin vectorial de variable real y que > denotaremos por / de donde su regla es: . f - t ) - P0 + V ' * o + V *o+ a .*)

El dominio de la funcin f ( t ) es el conjunto de los nmeros reales y el rango de f ( t ) es la recta que pasa por el punto p 0 y es paralela al vector a , cualquier funcin que tiene como dominio el conjunto de los nmeros reales y como rango un conjunto de vectores se llama funcin vectorial de variable real. En este captulo estudiaremos a este tipo de funciones. --------------

2.2

2 Definicin.-lI Sea I un subconjunto de los nmeros reales (ICR), se llamara funcin y vectorial de una variable real: / : / /?" si a cada elemento de I se le hace corresponder va / un elemento nico de Rn es decir:

donde las n funciones se denominan funciones componentes de la funcin vectorial f ( t ) y son funciones reales de variable real, donde / . (t) se denomina la i-sima componente de la funcin vectorial; como caso particular daremos la siguiente definicin.

2.3

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ANALISIS MATEMATICO III