Analisis Matematico II UTP 2014 I 1

5/26/2018 Analisis Matematico II UTP 2014 I 1

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FACULTAD DE INGENIERA DE SISTEMAS YELECTRNICA

PERIODO 2013-III

ANALISIS MATEMTICO II

ESCUELA DE INGENIERA DE

TELECOMUNICACIONES


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JOSE EDUARDO TORRES VEGA

Coronel EP ( R )

Diplomado en Ciencia y Tecnologa

Ingeniero Electrnico CIP

Maestro en Administracin

Experto en Logstica

Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional

Docente Universitario a nivrl pre grado y post grado

Consultor en Servicios de TelecomunicacionesEstudios Tericos de Radiaciones No Ionizantes

PRESENTADO POR:

ESCUELA DE INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES


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SUMARIO


BIBLIOGRAFA

1. LEITHOLD, LOUIS: (1997).El clculo con Geometra Analtica.Edit. Harla. Mxico.2. AYRES, FRANK : (1989).Clculo Diferencial e Integral. Edit. Mc Graw Hill. Mxico.3. ZILL, DENNIS : (1987).Clculo con Geometra Analtica. Grupo. Editorial Iberoamrica. Mxico.

4. BRITTON, JACK. KRIEGH : Matemticas Universitarias. Editorial CECSA.5. DEMIDOVICH, B. : Problemas y Ejercicios. Anlisis Matemtico. Editorial Mir.6. PISKUNOV, N. : Clculo Diferencial e Integral. Tomo I. Editorial Mir.

1. LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA2. PROPIEDADES BSICAS.3. INTEGRALES ELEMENTALES, ALGUNAS APLICACIONES DE LA

INTEGRAL INDEFINIDA

4. SOLUCION CONDUCIDA DE EJERCICIOS


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Esquema



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Primitivas o Antiderivadas

Una funcin F se llama anti derivadade una funcinfen un intervalo I, si laderivada de F es f; esto es:

F(x) = f(x) para todo x en I.

Observacin:

De la definicin se ve que F no es nica.

Para que F(x) exista, la funcin F(x) debeser continua.



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2

-xe dx , sen x dxx , cos x dxx , 1ln dxx .


En el mismo sentido: La funcin G(x) es una primitiva de la funcin f(x) en un intervalo I si

G(x)=f(x) para todo x del intervalo I. No toda funcin admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifica lo siguiente

TeoremaToda funcin continua f en el intervalo [a,b] tiene una funcin primitiva y, por

consiguiente integral indefinida. Sin embargo,.Laderivada de una funcin elemental es una funcin elemental, la primitivade una funcin elemental puede no ser una funcin elementalEjm.


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)())(( xfdx

xFd

Para encontrar la primitiva de una funcin debemos establecer la existenciade una funcin F(x) tal que su derivada sea igual a la funcin f(x) conocida


Ejemplo. Sea f(x) = x; cul ser su primitiva?

cumple el requisito ?)())((

xfdx

xFd

xx

dx

xFd

2

12

))(( 1

Luego F1(x) es primitiva de f(x)

2

12

1

)( xxF


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Qu ocurre con ?22

1)( 22 xxF

xdx

xFd

))(( 2

Luego F2(x) tambin es primitiva de f(x).

5521)( 23 xxF

F3(x) tambin es primitiva de f(x).


Observacin:De la definicin y los ejemplos se ve que F noes nica. Para que F(x) exista, la funcin F(x)debe ser continua.


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Se concluye en que si una funcin f(x) es continua y

derivable puede tener infinitas funciones primitivas, cuya

forma es:

Donde C es una constante arbitraria o constante de

mitigacin.

CxxF 2

21)(


Interpretacin geomtrica


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TEOREMA

Si F es una anti derivada de f en un intervalo I, la anti derivada

ms general de f en I es: F (x)+ C, donde C es una constantearbitraria.


NOTACION

El conjunto de todas las anti derivadas se denomina: la IntegralIndefinidade f respecto a x, denotada por:

CxFdxxf )()(Smbolo deIntegral

Funcinintegrando

Diferencial de x

Una anti derivada de f

Constante deintegracin


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Ejemplo:la integral indefinida de f(x) = e

x

es G(x) = e

x

+ C, donde C es una cons-tante. Se expresa de la siguiente manera: exdx = e

x+ C


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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Del mltiplo constante:

dxxfkdxxkf )()(

2. De la suma o diferencia:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(CUIDADO:


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Ejercicios

Encuentre la anti derivada ms general de cada unade las siguientes funciones.

xxfd

c

exf

a

x

cos)()x

1f(x))

)(b)

8xf(x)) 3


dxxseng

dxef

dxxex

)3()

)

)2

5


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dxxxx

dxxx

dxx

dxx

)1()42()4

1)3

36)2

)8()1

32

32

7

Determine:

dx

senx

x

dxxx

dz

z

z

dxxx

3

2

3 2

)2(

cos6)8

)3cos(.)7

1

3)6

32)4()5



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Las integrales inmediatas son aquellas que se resuelven por la aplicacin directa de

alguna frmula de integracin.

INTEGRALES ELEMENTALES O INMEDIATAS.



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Integrales inmediatas para funciones compuestas

xrdx=

xr+1

r + 1+ C, para cualquier constante r 1

f '(x) [f(x)]rdx =[f(x)]r+1

r + 1 + C para r -1

122 cos 2x sen32x dx =

12sen42x

4=

18sen42x + C

Tipo general

cos 2x sen32x dx =Ejemplo:



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1

x

dx = ln | x | + C

Tipo general

Ejemplo:

dxxfxf

)(

)('= ln |f(x)| + C

tg 3x dx =1

3

3 sen 3x

cos 3x dx= 1

3ln |cos 3x | + C



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ax

dx =ax

ln a

+ C, para cualquier a > 0

Para a = e se obtiene

ex

dx = ex+ C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) af(x)

dx =

af(x)

ln a+ C, para a > 0

x2ex3

dx = 133x2ex3dx = 13e

x3 + C



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sen x

dx

= cos x + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) sen f(x)dx = cos f(x) + C

e

3xsen (e

3x+ 5) dx = 1

3

3 e3x

sen (e

3x

+ 5) dx=

1

3cos (e

3x

+ 5) + C



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cos x

dx = sen x + C

Tipo general

Ejemplo:

f '(x) cos f(x)dx = sen f(x) + C

e7x

cos (e

7x

+ 5) dx =

1

7

7e7x

cos (e

7x

+ 5) dx =

1

7sen (e

7x

+ 5) + C



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21 arcsen( )1

dx x C

x

Tipo

general

Ejemplo:

g '(x)

1 - [g(x)]2dx = arcsen g(x) + C

e3x

1 e6x

dx =

e

3x

1 (e3x)2

dx =

1

3

3e

3x

1 (e3x)2

dx =

1

3arcsen e

3x

+ C



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1

1 + x2dx = arctg x + C

2f ( )

arctg( )1 f ( )

xdx x C

x

Tipo

general

1

1 + 2x2dx =

Ejemplo:

1

1 + ( 2x)2dx =

1

2

2

1 + ( 2x)2dx =

1arctg 2x

2

C



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APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

SOLUCIN DE PROBLEMAS EN DONDE SE TRATA DE ENCONTRAR UNA FUNCIN

CONOCIENDOSE UNA EXPRESIN QUE INVOLUCRA A ALGUNA DE SUS DERIVADAS(ECUACIONES DIFERENCIALES).

COMO HAY MUCHAS FUNCIONES QUE TIENEN LA MISMA DERIVADA, SE REQUIERECONTAR CON UNA CONDICIN ADICIONAL (PROPORCIONAR UN PUNTO POR DONDEPASA LA FUNCIN).

EJEMPLO:

SOLUCION:

La funcin que se busca es la primitiva de la funcin dada. De este modo



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Solucin


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Solucin:


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Solucin:

Integrando ambos miembros de la ecuacin. El primero con respecto a y y al

segundo con respecto a x

C=2

Despejando se tiene:


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SOLUCION CONDUCIDA DE EJERCICIOS


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GRACIAS POR SU ATENCIN


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