ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN …repository.unair.ac.id/29277/1/HALAMAN DEPAN.pdf · Spread of Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) Fractional Order. is final Th project is under

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL

SKRIPSI

ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S

i

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL

SKRIPSI

ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016



ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKITDEMAM BERDARAIJ DENGUE ORDE-T'RAKSIONAL

SKRIPSI

Sebagai Salah Sahr Syarat Unfuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Bidang Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

Disetujui Oleh:

NIP. 19640103 I988I0 I 001

Pembimbing II

NIP. 1973070,4 1998022 0$t

ii



Judul

Penyusun

ITIPI

Pembimbing IPembimbing II'[anggal Seminar

Pembimbing I,

NIF. 19730704 i9e802 2 00i

S{engetahui,

Ketua Departemen Slatematika

Fakultas Sains dan Teknologi


LEtrIBAR PIIN GESAHAN I{ASILA,H SKRIFS I

Analisis &Iodel Matematika Penyebaran PenvakitDemam Berdarah Dengue Orde-Fraksional

Artha l{erika Indah Puspita Sari

tl812r r23rilt2

f)r. Fatmawati, M.Si

Dr. l\,Ioh Imam iltovo. lt"Si

27 Januari 2016

Disetujui oleh:

Pembimbing fio

&fengetahui,

Koordinator Program Stucli

S*1 $Iatematika

Fakultas Sains d*n Teknolcgi


rtl

NrP. i9640103 i988ifi 1 ixii

I{IP. i978iii26 20CI604 i 00i NrP. 19640i03 19881{i i ii01



iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen ini merupakan hak milik

Universitas Airlangga.



StiRA T PERN } ATA{I'i T E ]\TA}i C OR ISINA t, TT'AS

Yang bertandatalgan dibawa} ini. sa1.a:

Nama : Ar"tha Merika Indah P*spita Sari

0812 1 1231012

: S I Maternatika

Sains darr Teknologi

: Sa{ana {Sl )

liI\t

Pragrarn Studi

Fakultas

Jer{ang

N{*a,vatakan hahx,a "qaya tidak reelakul:an kegiataa plagiat rialam pelulisan slssi

saya yang berjudul:

"Analisis Motlel Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah

D en g * * Orde-Fruksio*al"

Apahiia sllatu saat nanti terbukti melakulian tindalian plagiat rnaka saya akan

rneneritia sanksi yang telah ditetapkan.

Demikian surai pernyataan ini sa3,'* buat derrgan seber:ar--henara1,a.

Su'ahay'a, 2l Jansa:ri 2Al 6

}.IIfuI. O8I21l?33rc12



iii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada

Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, skripsi yang berjudul

“Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue

Orde-Fraksional” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam

bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar

Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi

kehidupan umat manusia.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis

untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan

Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi

Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan

masukan inspirasi dalam perkuliahan.

5. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh

kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu,

arahan, waktu, serta semangat.



iv

6. Dr. M. Imam Utoyo, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh

kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu,

arahan, waktu, serta semangat.

7. Yang Tercinta Kedua orang tuaku Sri Purwanti dan Karneni serta adik tercinta

Artha Agung Alank Sigit Permadi Putra yang selalu memberikan dukungan,

semangat, doa dan kasih sayangnya.

8. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika, Sistem Informasi,

Statistika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.

Penulis berharap semoga proposal ini dapat bermanfaat sebagai bahan

pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas

Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan proposal ini, kemungkinan

masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat

diharapkan untuk penulisan berikutnya.

Surabaya, Januari 2016

Penyusun,

Artha Merika Indah Puspita Sari



vii

Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analisis Model Matematika

Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue Orde-Fraksional. Skripsi ini

dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si,

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga,

Surabaya.

ABSTRAK

Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan salah satu penyakit menular

yang disebabkan oleh virus dengue. Penelitian mengenai penyakit DBD telah

banyak dilakukan dalam berbagai bidang keilmuan, termasuk bidang matematika

yaitu dengan menggunakan model matematika. Dengan model matematika,

dinamika penyebaran penyakit DBD dapat diketahui dan dapat digunakan untuk

memprediksi penyebarannya yaitu melalui simulasi numerik model matematika

penyebaran penyakit DBD.

Pada skripsi ini, dibahas analisis model matematika penyebaran DBD orde

fraksional yang berbentuk model host (manusia) – vector (nyamuk). Model

tersebut merupakan modifikasi model Sistem Persamaan Differensial Biasa

(SPDB) nonlinear yang ditulis oleh Pandey, dkk (2013) menjadi model Sistem

Persamaan Differensial Fraksional (SPDF). Pada umumnya solusi dari SPDB

nonlinier sulit dicari secara analitik. Terdapat pemodelan matematika yang

solusinya dapat diselesaikan secara analitik yaitu Sistem Persamaan Differensial

Fraksional (SPDF).

Salah satu metode untuk menyelesaikan SPDF adalah menggunakan Metode

Perturbasi Homotopi (HPM) yaitu mengubah SPDF ke dalam Sistem Persamaan

Differensial Homotopi dengan mengalikan setiap persamaan pada SPDF tersebut

dengan parameter embedding (p). Hasil penyelesaiannya berbentuk deret tak

hingga yang selanjutnya diselesaikan secara numerik. Semakin besar nilai dari

orde turunan fraksional yang diberikan maka semakin cepat perubahan grafik

pada populasi manusia yang rentan terinfeksi DBD, populasi manusia yang

terinfeksi DBD, populasi manusia yang sembuh DBD, populasi nyamuk yang

rentan DBD dan populasi nyamuk yang terinfeksi DBD.

Kata kunci: Model Matematika, Demam Berdarah Dengue, Orde Fraksional,

Metode Pertubasi Homotopi.



viii

Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analysis of Mathematical Model In The

Spread of Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) Fractional Order. This final

project is under advised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si,

Mathematics Departement, Science and Technology Faculty, Airlangga

University, Surabaya.

ABSTRACT

Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) is an infection caused by the dengue

virus. Research on dengue disease has been widely applied in many scientific

fields, including mathematics by using a mathematical model. With a

mathematical model, the dynamics of the spread of dengue disease is known and

can be used to predict the spread from numerical simulation of mathematical

model of the spread of dengue disease.

In this paper, we discuss a fractional-order of mathematical model in the

spread of DHF that are the host-vector model aproach. The model a modification

of Pandey,dkk model (2013). Here we modified an Ordinary Differential

Equations System (ODES) nonlinear model from Pandey,dkk (2013) into a

Fractional Differential Equation System (FDES). In general, the solution of ODES

nonlinear is difficult in analytic. There are mathematical modeling that the

solution can be solved in analytic is FDES.

One of methods to solve the FDES is using Homotopy Pertubation Method

(HPM), it changes the FDES into Homotopy Differential Equations System by

multiplying each equation in the FDES with embedding parameter (p). The result

is infinite series, further resolved numerically. The greater the value of the

fractional-order derivative given the faster change of state variables will be.

Keywords: Mathematical model, Dengue Hemorrhagic Fever, Fractional

Order, Homotopy Perturbation method.



ix

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ............................................................................ i

LEMBAR PERSETUJUAN..................................................................

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI.................................

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI...............................................

ii

iii

iv

KATA PENGANTAR ...........................................................................

ABSTRAK..............................................................................................

ABSTRACT............................................................................................

v

vii

viii

DAFTAR ISI ..........................................................................................

DAFTAR TABEL...................................................................................

DAFTAR GAMBAR .............................................................................

ix

xi

xii

DAFTAR LAMPIRAN...........................................................................

BAB I PENDAHULUAN ......................................................................

xiii

1

1.1 Latar Belakang ....................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................. 3

1.3 Tujuan Penelitian .................................................................... 3

1.4 Manfaat Penelitian .................................................................. 4

1.5 Batasan Masalah ..................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................... 6

2.1 Demam Berdarah Dengue (DBD) ......................................... 6

2.2 Model Matematika Penyebaran Penyakit DBD .................... 7



x

2.3 Sistem Persamaan Differensial Fraksional Penyebaran

Penyakit DBD …………………………………

12

2.4 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) ..................................... 14

BAB III METODELOGI PENELITIAN .............................................

BAB IV PEMBAHASAN .....................................................................

4.1 Sistem Persamaan Differensial Fraksional pada Model

Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue

(DBD)..........................................................................

4.2 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) pada Model

Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue

(DBD).......................................................................................

4.3 Simulasi Numerik dari Sistem Persamaan Differensial

Fraksional pada Model Matematika Penyebaran Penyakit

Demam Berdarah Dengue (DBD).............................

BAB V PENUTUP.................................................................................

5.1 Kesimpulan..............................................................................

5.2 Saran .......................................................................................

16

18

18

20

29

39

39

41

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................ 42

LAMPIRAN



xi

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Halaman

Tabel 2.1

Tabel 4.1

Notasi dan deskripsi parameter Model Penyebaran

Penyakit DBD

Nilai Parameter dan Nilai Awal dari Model Penyebaran

Penyakit DBD

9

30



xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

Gambar 2.1 Diagram Transmisi Penyebaran Penyakit DBD 10

Gambar 4.1 Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear

dengan SPDF dengan 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼4 = 𝛼5 = 1 32

Gambar 4.2 Pengaruh 𝛼1 Terhadap Dinamika Populasi Manusia

dan Nyamuk 33


dan Nyamuk 34


dan Nyamuk 35


dan Nyamuk 36


dan Nyamuk 37



xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Judul Lampiran

1 Persamaan Differensial Fraksional Langkah c

2 Perhitungan nilai dari dan dengan

3 Kode Program Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear

dengan SPDF dengan

4 Kode Program Pengaruh Terhadap

Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk



Documents

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN …repository.unair.ac.id/29277/1/HALAMAN DEPAN.pdf · Spread of Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) Fractional Order. is final Th project is under