Depententa si independenta functionala

Probleme :

1. Sa se arate ca functiile : f(x,y,z)= x+y+z, g(x,y,z)=x +y +z ,

h(x,y,z)=xy+xz+yz.

sunt functional depentente in R .

2. Sa se arate ca functiile : f(x,y,z)=x+y+z, g(x,y,z)=x-y+z, h(x,y,z)=4xy+4yz. sunt functional depentente in R .

3. Sa se arate ca functiile: f(x,y,z)=ln(x +y +z ),

g(x,y,z)=arctg ,

sunt functional independente pentru x>0, y>0, z>0.

4. Sa se arate ca functiile: f(x,y,z)=x+y+z, g(x,y,z)=x +y +6xyz, h(x,y,z)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x), sunt functional dependente pe R sis a se gaseasca delatia de depententa functionala.

5. Daca functiile f,g,h sunt derivabile si inversabile, atunci

functiile: u=f , v=g , w=h , definite pe D =R\

{(0,0,0)}, sunt functional dependente pe D.

6. Sa se arate ca functiile: f(x,y,z)=xy-z, g(x,y,z)=xy+y, h(x,y,z)=(x +1)(y +z )-(x -1)yz-x(y -z ), sunt functional dependente pe R sis a se gaseasca relatia de dependenta functionala.

7. Sa se arata ca functiile: f (x ,x ,x ,x )=x +x -x , f (x ,x ,x ,x )=x +x +x +x , f (x ,x ,x ,x )=2x x -2x x -2x x -x , sunt functional dependente pe R .

8. Fie functiile f ,f ,f , f :R R ,f (x,y)=x+y, f (x,y)=x +y ,f (x,y)=x +y , f (x,y)=xy, de aratat ca exista un G: R R, astfel incant f ,f ,f , f sa fie in dependenta functionala pe R, oricare ar fi(x,y) R .

9. Fie functiile f ,f ,f ,:R R, f (x ,x ,x )=x -x , f (x ,x ,x)=x +x , f (x ,x ,x )=x +x +x . Sa se arate ca cele trei functii sunt indepentente in R .

10. Sa se arata ca functile f ,f ,f ,:R R, , f (x ,x ,x )=x -x,

f (x ,x ,x )=x -x , f (x ,x ,x )=x +x -2x x +1 sunt in dependenta functionala in R .

Solutie . Matricea Jacobi asociata celor trei functii este :

A(x ,x ,x )= = .

Avem det A(x ,x ,x )=0, ( x ,x ,x ) R , de unde rezulta rand A(x ,x ,x )= r 2 3 rezultant din teorema dependentei functionale ca aceste functii sunt dependente functional in R. Se constata direct ca f =(x -x ) +1 si f -f =x -x , deci f (f-f ) +1, (x ,x ,x ) R .