SADRAJ:

1.UVOD31.1.Znaaj kontaktne mehanike32.Normalni kontakti elastinih vrstih tijela: Hertz-ova teorija52.1.Geometrija glatkih, nekonformnih povrina u kontaktu52.2.Hertz-ova teorija elastinog kontakta103.SolidWorks Simulation203.1.ta je to SolidWorks Simulation?203.2.Analiza normalnih kontakta vrstih tijela (SolidWorks simulacija)203.2.2.Analiza223.3.Rezultati274.Kompleksan primjer324.1.Description334.2.Assumptions344.3.Model Information344.4.Study Properties354.5.Units354.6.Material Properties364.7.Loads and Fixtures374.8.Connector Definitions384.9.Contact Information384.10.Mesh Information394.10.1Mesh Information - Details394.11.Sensor Details404.12.Resultant Forces404.12.1.Reaction Forces404.12.2.Reaction Moments404.13.Beams414.14.Study Results424.15.Conclusion485.Zakljuak496.Literatura507. Popis slika518. Popis tabela52DODATAK 1.53

1. UVOD

1.1. Znaaj kontaktne mehanikeProblemi vezani za mehanike kontakte dvaju, a u openitom sluaju i proizvoljnog broja deformabilnih tijela, od kraja 19. stoljea do dananjih dana predmet su intenzivnog znanstvenog interesa i podruje vrlo opsenih i raznovrsnih znanstvenih istraivanja koje se moe objediniti pod pojmom kontaktne mehanike. Osnovna motivacija u razvoju kontaktne mehanike sadrana je u potrebi to tanijeg poznavanja raspodjele kontaktnih pritisaka na rubovima tijela, odnosno na povrini preko koje se ostvaruje kontakt i prenosi optereenje, te polja naprezanja i deformacija uzrokovanih tim kontaktnim pritiscima unutar samih tijela koja se nalaze u zahvatu. Objektivna znanstvena potreba za zasebnim prouavanjem mehanike kontakta postala je iroko prepoznata ve 1882. godine s objavljivanjem vrlo znaajnog rada njemakog fiziara Heinricha Rudolfa Hertza, naslovljenog ber die Berhrung Fester Elastischer Krper (prev. O kontaktu elastinih tijela), a to se smatra zaetkom kontaktne mehanike kao zasebne znanstvene discipline unutar okvira teorije elastinosti.U svojem je epohalnom radu Hertz napisao sljedee rijei: "Svoju panju moemo ograniiti samo na onaj dio tijela u kontaktu koji je vrlo blizu poetnoj taki dodira, budui da su tu naprezanja iznimno velika u usporedbi s naprezanjima u ostatku tijela i posljedino tek u najmanjem iznosu ovise o silama koje djeluju na ostale dijelove tijela." [5] ber die Berhrung Fester Elastischer KrperJedan od glavnih faktora pri stvaranju oteenja u materijalu uslijed kontaktnih naprezanja jest pojava maksimalnog smiueg naprezanja uglavnom neposredno ispod povrine dodira. Takvo je smiue naprezanje uzrokom pojave dislokacija u kristalnoj reetki, a to dobro poznatim mehanizmima zamornoga loma esto dovodi do pojave mikropukotina, koje svojim postupnim irenjem prema kontaktnoj povrini na kraju uzrokuju makroskopska oteenja u vidu odlamanja dijelova materijala.U kontaktnoj su mehanici od vremena Hertzovih pionirskih radova, pa do dananjih dana bili istraivani vrlo raznovrsni aspekti te problematike, kako primjenom analitikih metoda, tako i provoenjem razliitih vrsta eksperimentalnih ispitivanja, a naposljetku i primjenom kontinuirano razvijanih numerikih metoda i modela. U posljednjih su se 30-ak godina istraivanja snano intenzivirala prvenstveno zahvaljujui pojavi, razvoju i irokojdostupnosti osobnih raunala. To je bilo popraeno intenzivnim razvojem i unaprjeivanjem tada postojeih, ali i razvijanjem novih numerikih algoritama te posljedino pojavom raznih komercijalnih raunalnih paketa namijenjenih modeliranju i simuliranju problema strukturne mehanike. Usprkos navedenome, jo uvijek postoji vrlo irok spektar problema u kontaktnoj mehanici koje tek treba rijeiti, a smjerovi istraivanja kreu se u rasponu od primijenjene matematike i numerike analize pa do fizike povrina i razvoja suvremenih eksperimentalnih metoda. Unutar tog aktualnog mnotva nerijeenih problema postoji velik broj specifinih kontaktnih problema koje se na najbolji nain moe rijeiti izradom numerikih modela ili izradom vlastitih raunalnih programa.Cilj radaKroz rad e biti pokazano kakve su mogunosti SolidWorks Simulationa u rjeavanju problema kontakta, opteg kao i kompleksnijih koji nemaju analitikog rjeenja. Sve to e da bude prikazano u obliku spremnom za koritenje u nastavi, uz korak po korak objanjena procesa analize. Pored opteg kontakta koji e biti objanjen postepeno, bie prikazano i rjeenje kompleksnog kontakta dva cilindrina tijela u svrhu prikazivanja mogunosti SolidWorks Simulationa paketa.

2. Normalni kontakti elastinih vrstih tijela: Hertz-ova teorija

2.1. Geometrija glatkih, nekonformnih povrina u kontaktuKada se dva vrsta tijela nekonformnih povrina dovedu u kontakt, oni se dodiruju u jednoj taki ili du neke linije. I pod najmanjim optereenjem oni se deformiu u blizini take kontakta tako da se dodiruju na povrini koja je konana iako mala u poreenju s njihovim tijelima. Teorija kontakta je potrebna da bi se predvidio oblik ove povrine i kako ona raste sa poveanjem optereenja; veliine i raspodjele povrinskih sila, normalnih i vjerovatno tangecijalnih, prenesenih preko povrine. I na kraju, trebala bi obezbijediti da se komponente napona i deformacija u oba tijela mogu izraunati u blizini kontaktne povrine.Prije nego se formulie problem elastinosti, potrebno je da se objasni geometrija kontaktnih povrina. Obe povrine se smatraju topografski glatkim i na mikro kao i na makro skali. Na mikro skali ovo predstavlja odsutsvo ili zanemarivanje malih povrinskih neregularnosti koje bi vodile do diskontinuiranih dodira ili veoma visokih lokalnih varijacija u kontaktim pritiscima. Na makro skali profili povrina su kontinuirani sve do drugog izvoda u kontaktnoj povrini. Tako moemo da izrazimo profil svake povrine u obliku:Z1=A1x2+B1y2+C1xy+ (1)gdje se lanovi veeg reda pox i y zanemaruju. Odabiranjem orijentacije x i y osa, x1 i y1, tako da se lan xy izgubi, izraz (1) moemo pisati kao:

(2a) gdje su R1 i R1 su prenici zaobljenja povrina u dodirnoj taki. Oni su maksimalna i minimalna vrijednost poluprenika krivih svih moguih presjeka profila. Ako postoji simetrina presjena ravan, jedan od poluprenika lei u toj ravni. Slian izraz moe da se napie za drugu povrinu:

(2b) Razmak dvije povrine je onda dat sa h=z1-z2.Sada pretvorimoizraz (1) u zajednike ose x i y, pri emu je h= Ax2 + By2 + Cxy Odgovarajuim izborom osa moemo postaviti da C bude nula, pa je

h=Ax2+By2= (3)gdje su A i B pozitivne konstante a R i R glavni relativni poluprenici krive. Ako su ose glavnih krivina svake povri, npr. x1 i x2 osa, nagnute jedna prema drugoj pod uglom , onda je

(A+B)= (4)i

|B-A|= (5)Uvodimo ekvivalentan poluprenik Re definiran kaoRe=(RR)1/2=1/2(AB)-1/2 (6)U ovom opisu poetnog razmaka izmeu dvije povrine u odnosu na njihove poluprenike zakrivljenosti uzeli smo da konveksna povrina ima pozitivan poluprenik. Izrazi (4) i (5) jednako vae i za konkavne ili povrine u obliku sedla s timto se doda negativni predznak na konkavne povri.U izrazu (3) je vidljivo da su konture konstantnog razmaka h izmedju nedeformisanih povrina elipse koje imaju ose u omjeru (B/A)1/2=(R/R)1/2. Eliptine konture su prikazane pomou naponskih linija izmeu dvije cilindrine lee, svaka poluprenika R, s osama nagnutim pod 45, za koje izrazi (4) i (5) daju A+B=1/R i B-A=1/(2)R Na taj nain relativni poluprenici krivina su: R=1/2A=3.42R i R=1/2B=0.585R. Ekvivalentni poluprenik Re=(RR)1/2=(2)R i (RR)1/2=(B/A)1/2=2.41. [1] K. L. Johnson, Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985.

Slika 1. Naponske linije na kontaktu dvije jednake cilindrine lee s osama nagnutim pod uglom 45.Ovo je odnos velikih prema malim osama kontura konstantnog razmaka pokazane na slici 1. Sada moemo preciznije da kaemo sta mislimo pod nekonformnim povrinama: relativne zakrivljenosti 1/R i 1/R moraju da budu dovoljno velike za Ax2 i By2 na desnoj strani izraza (3) da bi se poredile sa veim odnosima koji su bili zanemareni. Normalno pritiskujue optereenje sada primijenimo na dva vrsta tijela i taka kontakta se iri u povrinu. Ako se radi o dva rotaciona tijela, onda je R1=R1=R1 i R2=R2=R2, gdje je A=B=1/2(1/R1+1/R2). Zbog toga su konture konstantnihi razmaka izmeu povrina prije optereenja krugovi s centrom u 0. Nakon optereenja, jasno je da e zbog krune simetrije kontaktna povrina takoer biti krug. Dva cilindrina tijela poluprenika R1 i R2 u kontaktu s osama paralelnim y-osi imaju R1=R1, R1=, R2=R2, R2= i =0, tako da je A=1/2(1/R1+1/R2), B=0. Konture konstantnih razmaka su prave linije paralelne sa y-osom i, kada su optereene, povrine e biti u kontaktu du uske trake paralelno sa y-osom. Openito govorei proizilazei iz izraza (3) konture konstantnih razmaka u ravni su elipse. Moemo da oekujemo, zbog toga, da e kontaktne povrine pod optereenjem biti eliptinog oblika. Poseban sluaj imamo kod dva jednaka cilindra, oba s poluprenikom R, u kontaktu sa meusobno okomitim osama. Ovdje je R1=R, R2=, R2=R, R2=, =/2, odakle je A=B=1/2R. U ovom sluaju konture konstantnih razmaka su krugovi identini onim kod kontakta sfere istog prenika R s ravnom povrnomi ( R2=R2=). Sada emo da pogledamo deformaciju kada se primijeni normalno optereenje P. Dva vrsta tijela proizvoljnog oblika ( ali izabrana kao konveksna radi prikladnosti) su prikazana u presjeku nakon deformacije na slici 2. Prije deformacije razmak dvije odgovarajue take na povrinama S1(x,y,z1) i S2(x,y,z2) je data izrazom (3). Iz simetrije u ovom izrazu u odnosu na O kontaktna regija mora se proiriti na jednaku udaljenost na obe strane O. Tokom pritiskivanja udaljene take dva tijela T1 i T2 kreu se prema O, paralelno z-osi, s pomjeranjima 1 i 2. Ako se tijela nisu deformirala njihovi e se profili preklapati kao to je prikazano na slici 2. isprekidanom linijom. Zbog pritiska na kontaktu povrine svakog tijela su pomjerene parelelno Oz za vrijednosti z1 i z2( pozitivno mjereno u svako tijelo ) u odnosu na udaljene take T1 i T2. Ako se, nakon deformacije, take S1 i S2 podudaraju unutar kontaktne povrine onda je z1+z2+h=1+2 (7)Uzimajui da je =1+2 i koristei (3) dobijamo izraz za elastino pomjeranje: z1+z2=-Ax2-By2 (8)gdje su x i y koordinate taaka S1 i S2 projektovane na x-y ravan. Ako S1 i S2 lee izvan kontaktne povri tako da se ne dodiruju, onda slijedi z1+z2 100

% of distorted elements(Jacobian)0

Time to complete mesh(hh;mm;ss): 00:00:05

Computer name: PHOENIX

4.11.Sensor DetailsNo Data

4.12.Resultant Forces4.12.1.Reaction ForcesSelection setUnitsSum XSum YSum ZResultant

Entire ModelN0.0369003-0.1848340.3322820.382017

4.12.2.Reaction MomentsSelection setUnitsSum XSum YSum ZResultant

Entire ModelNm0000

4.13.BeamsNo Data

4.14.Study Results

NameTypeMinMax

Stress1VON: von Mises Stress0.00730068 N/mm^2 (MPa)Node: 71925321.606 N/mm^2 (MPa)Node: 37438

Part1-Study 1-Stress-Stress1

NameTypeMinMax

Displacement1URES: Resultant Displacement0 mmNode: 374060.0265601 mmNode: 64

Part1-Study 1-Displacement-Displacement1

NameTypeMinMax

Strain1ESTRN: Equivalent Strain4.64875e-008 Element: 416150.00101558 Element: 41007

Part1-Study 1-Strain-Strain1

NameTypeMinMax

Stress2SX: X Normal Stress-221.164 N/mm^2 (MPa)Node: 3743824.8693 N/mm^2 (MPa)Node: 16024

Part1-Study 1-Stress-Stress2

NameTypeMinMax

Stress3SY: Y Normal Stress-547.599 N/mm^2 (MPa)Node: 3743840.4092 N/mm^2 (MPa)Node: 73844

Part1-Study 1-Stress-Stress3

NameTypeMinMax

Stress4TXY: Shear in Y Dir. on YZ Plane-92.5925 N/mm^2 (MPa)Node: 74786107.325 N/mm^2 (MPa)Node: 74791

Part1-Study 1-Stress-Stress4

NameTypeMinMax

Stress5CP: Contact Pressure0 N/mm^2 (MPa)Node: 1547.553 N/mm^2 (MPa)Node: 37438

Part1-Study 1-Stress-Stress5

4.15.Conclusion

5.Zakljuak

Ovaj rad imao je za cilj da prikae koritenje softvera SolidWorks na problemima kontakta elastinih tijela. U tu svrhu dato je analitiko rjeenje, tzv. Hertzovo rjeenje, koje je koriteno u svrhu uporeivanja rezultata dobivenih softverom. Tanost dobivenih rezultata je zadovoljavajua, pri emu treba imati u vidu da su se kao primjeri koristili objekti konane veliine, dok je u sluaju analitikog rjeenja pretpostavljeno da se radi o ravninama beskonanih veliina (aplicirana vanjska optereenja su beskonano daleko od kontaktne povrine). S druge strane, u toku rada sam uoio niz bitnih stvari koje buduim korisnicima mogu pomoi kada budu koristili SolidWorks za ovakav tip problema: 1. Iz navedenog vidimo da bi se koristio ovaj softver, korisnik mora da ima visoko znanje o kontaktnoj mehanici,osloncima,vezama tijela,nainu prenoenja sila, jer u suprotnome analize e da budu potpuni promaaji. 2. Help opcija koju softver daje,nije ni u koju ruku od pomoi,posebno ako ste neupueni u problematiku vaeg sluaja koji elite da analizirate. 3. Takoer jedna od loih strana SolidWorks Simulation je to moemo da Probe (senzor) postavljamo samo na vorove mree,te time dobivamo srednju vrijednost napona za taj elemenat, a ne vrijednost u taki koja nama treba.Ovo vodi do potrebe za guim mreama a samim tim i do dueg trajanja meshiranja modela i rjeavanja analize.4. Dobra strana softvera bi bila ta to je CAD model,mogue uraditi unutar SolidWorksa i onda na njemu raditi analizu,uz mogunost promjene geometrije modela kada god to nama zatreba.5. Baza podataka moe da se popunjava raznim dodatnim materijala,ako neki odreeni materijal nama potreban nije uneen fabriki. 6. Takoer jedna od ljepih opcija SolidWorks Simulation,je ta to softver moe da nam uradi izvjetaj o naem modelu. U dodatku 1,taj izvjetaj je prikazan, i moete da vidite sve to on prua,s time da imate u vidu da taj izvjetaj izbacuje podatke samo one koje smo mi traili analizom. 7. Takoer softver nam doputa i analizu kompleksne geometrije koja se ne moe rijeiti analitiki.Na kraju, ovaj rad bi trebao posluiti buduim korisnicima/studentima da u to kraem roku steknu osnovna znanja iz problema kontakta elastinih tijela kako bi mogli rjeavati neke kompleksnije problem kao to su kontakti komfornih povrina, plastini kontakt, kontakt kotrljajuih povrina, itd., pa se budua istraivanja mogu kretati u tim pravcima. 6.Literatura

[1] K. L. Johnson, Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985.[2] Paul M.Kurowski, Engineering Analysis with SolidWorks Simulation 2012, 2012.[3] SolidWorks online help manual : http://help.solidworks.com/2014/English/SolidWorks/sldworks/c_introduction_toplevel_topic.htm[4] Calculation of contact stress : http://www.mesys.ch/calc/hertz.fcgi , gledano 15.12.2013.; calculation of contact stress : http://www.amesweb.info/HertzianContact/HertzianContact.aspx, gledano 15.12.2013. [5] Heinricha Rudolfa Hertza, ber die Berhrung Fester Elastischer Krper, 1882.[6] http://ecad-engineering.co.uk/13-direct-sparse-and-ffeplus-solvers/ , gledano 20.12.2013.[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix_algorithm , gledano 20.12.2013.

58

7. Popis slika

Slika 1. Naponske linije na kontaktu dvije jednake cilindrine lee s osama nagnutim pod uglom 45. Slika 2. Preklapanje profila .Slika 3. Raspodjela napona na povrini i po osi simetrije prouzrokovana (lijevo) uniformnim pritiskom i (desno) Hertz-ovim pritiskom koji djeluje na krunu povrinu poluprenika a.Slika 4. Dodir tijela s proizvoljnima opim profilima. Oblik elipse b/a i funkcije F1, F2 i F3(=F1-2/3) u omjeru (R'/R'') relativne zakrivljenosti, za koritenje u izrazima (29), (30) i (31).

Slika 5. Kontakt cilindara : (a) naponi ispod povrine uz osu simetrije, (b) konture smiueg napona 1.Slika 6. Dvodimenzionalne fotoelastine naponske linije (konture smiuih napona): (a) taka optereenja; (b) uniformni pritisak; (c) kruti udar; (d)kontakt cilindara.Slika 7. Otvaranje novog dokumenta.Slika 8. Lista dodataka u SolidWorksu.Slika 9. CommandManager u SolidWorksu.Slika 10. Feature Manager Design i tabovi za analizu.Slika 11. Model tijela.Slika 12. Odreivanje kontakta tijela.Slika 13. Roller/Slider.Slika 14. Odabir i postavljanje sile.Slika 15. Uporedbe netanosti u odreivanju geometrije, materijala, optereenja i oslonaca.Slika 16. Primjeri gustoe mree gruba, srednja i fina.Slika 17. Solver prozor.Slika 18. Probe Result prozor.

Slika 19. Odnosi napona po ravni dodira.

Slika 20. Odnosi napona po ravni dodira.

Slika 21. Odnosi napona po osi okomitoj na ravan dodira.

Slika 22. Odnosi napona po osi okomitoj na ravan dodira.Slika 23. Odnosi maksimalnih tangencijalnih napona.

8. Popis tabela

Tabela 1. Zavisnost dubine maksimalnog smiueg napona u odnosu na ekscentricitet elipse.

DODATAK 1.

Simulation of Final diplomski

Date: Tuesday, January 07, 2014Designer: SolidworksStudy name: Study 4Analysis type: Static - 2D Simplification

Table of ContentsDescription53Assumptions54Model Information54Study Properties55Units56Material Properties56Loads and Fixtures57Connector Definitions57Contact Information58Mesh Information59Sensor Details60Resultant Forces60Beams60Study Results61Conclusion66

DescriptionNo Data

Assumptions

Original ModelModel Analyzed

Model Information

Model name: Final diplCurrent Configuration: Default

2D Bodies

Document Name and ReferenceStudy typeVolumetric PropertiesDocument Path/Date Modified

Boss-Extrude1[2]

Plane StressSection depth:1 mmWeight::0.00678618 NVolume:6.78197e-007 m^3Mass::0.000691761 kgDensity::1020 kg/m^3

C:\Users\Lord\Desktop\Dipl\Final dipl.SLDPRTDec 09 15:54:30 2013

Boss-Extrude1[1]

Plane StressSection depth:1 mmWeight::0.00678618 NVolume:6.78197e-007 m^3Mass::0.000691761 kgDensity::1020 kg/m^3

C:\Users\Lord\Desktop\Dipl\Final dipl.SLDPRTDec 09 15:54:30 2013

Study PropertiesStudy nameStudy 4

Analysis typeStatic - 2D Simplification

Mesh typePlanar 2D Mesh

Thermal Effect: On

Thermal optionInclude temperature loads

Zero strain temperature25 Celsius

Include fluid pressure effects from SolidWorks Flow SimulationOff

Solver typeFFEPlus

Inplane Effect: Off

Soft Spring: Off

Inertial Relief: On

Incompatible bonding optionsMore accurate (slower)

Large displacementOff

Compute free body forcesOff

FrictionOff

Use Adaptive Method: Off

Result folderSolidWorks document (C:\Users\Lord\Desktop\Dipl)

UnitsUnit system:SI (MKS)

Length/Displacementmm

TemperatureCelsius

Angular velocityRad/sec

Pressure/StressN/mm^2 (MPa)

Material PropertiesModel ReferencePropertiesComponents

Name:Custom Plastic

Model type:Linear Elastic Isotropic

Default failure criterion:Max von Mises Stress

Yield strength:10000 N/mm^2

Tensile strength:30 N/mm^2

Elastic modulus:2000 N/mm^2

Poisson's ratio:0.4

Mass density:1020 g/cm^3

Shear modulus:714.286 N/mm^2

SurfaceBody 1(Boss-Extrude1[2])(Final dipl),SurfaceBody 2(Boss-Extrude1[1])(Final dipl)

Curve Data:N/A

Loads and FixturesFixture nameFixture ImageFixture Details

Fixed-1Entities:1 edge(s)

Type:Fixed Geometry

Roller/Slider-1Entities:2 edge(s)

Type:Roller/Slider

Load nameLoad ImageLoad Details

Force-1Entities:1 edge(s)

Type:Apply normal force

Value:50 N

Connector DefinitionsNo Data

Contact Information

ContactContact ImageContact Properties

Contact Set-1Type:No Penetration contact pair

Entites:2 edge(s)

Advanced:Surface to surface

Global ContactType:Node to node

Components:1 component(s)

Mesh InformationMesh typePlanar 2D Mesh

Mesher Used: Curvature based mesh

Maximum element size0 mm

Minimum element size0 mm

Mesh QualityHigh

Mesh Information - DetailsTotal Nodes2608

Total Elements1230

Time to complete mesh(hh;mm;ss): 00:00:00

Computer name: PHOENIX

Sensor DetailsNo Data

Resultant ForcesReaction ForcesSelection setUnitsSum XSum YSum ZResultant

Entire ModelN3.3617e-005-0.0017649600.00176528

Reaction MomentsSelection setUnitsSum XSum YSum ZResultant

Entire ModelNm0001e-033

BeamsNo Data

Study Results

NameTypeMinMax

Stress1VON: von Mises Stress0.00595013 N/mm^2 (MPa)Node: 130419.926 N/mm^2 (MPa)Node: 1322

Final dipl-Study 4-Stress-Stress1

NameTypeMinMax

Displacement1URES: Resultant Displacement0 mmNode: 400.16022 mmNode: 1357

Final dipl-Study 4-Displacement-Displacement1

NameTypeMinMax

Strain1ESTRN: Equivalent Strain7.36681e-006 Element: 12300.00676226 Element: 902

Final dipl-Study 4-Strain-Strain1

NameTypeMinMax

Stress2SY: Y Normal Stress-19.4816 N/mm^2 (MPa)Node: 231.18094 N/mm^2 (MPa)Node: 21

Final dipl-Study 4-Stress-Stress2

NameTypeMinMax

Stress3SX: X Normal Stress-20.1854 N/mm^2 (MPa)Node: 13223.46158 N/mm^2 (MPa)Node: 1305

Final dipl-Study 4-Stress-Stress3

NameTypeMinMax

Stress4TXY: Shear in Y Dir. on YZ Plane-4.27784 N/mm^2 (MPa)Node: 25564.20369 N/mm^2 (MPa)Node: 342

Final dipl-Study 4-Stress-Stress4

Conclusion