Analysis of Suspension Bridge

8/17/2019 Analysis of Suspension Bridge

1/27

2. Theory of Elastic Catenary

- 1 -

2 .

2 . 1 -

&

i (0,0)

j (l x , l y)

P ( x,y,p)

x

y

F ix

F iy

F jx

F jy

l x

l y

l o , E, Ao , w

:

:

:

:

:

: C

: -

:

: -

w

dp

dx

dy

dθ

( 2 . 1 )

( ∵ sin ≈

, cos ≈

, sin

cos )


2/27


- 2 -

P

F ix

F iy

T

w, s

x

y

x(s)

y(s)

< F >

( 2 . 2 )

( 2 . 2 )

( )

∴

( 2 . 3 )

, ,

, ,

( )

①

E . ( 2 . 2 ) E . ( 2 . 1 ) ,

( 2 . 4 )

②

F E . ( 2 . 2 ) E . ( 2 . 3 ) ,

∴


3/27


- 3 -

E . ( 2 . 4 ) ,

( 2 . 5 )

E . ( 2 . 5 )

ln

A ,

ln

,

(2.6)

③

F E . ( 2 . 2 ) E . ( 2 . 3 ) ,

∴

E ( 2 . 4 ) ,

( 2 . 7 )

E . ( 2 . 7 )

A ,

,

(2.8)


4/27


- 4 -

④

E . ( 2 . 6 ) ,

(2.9)

E ( 2 . 8 ) ,

(2.10)

, G :

:

E . ( 2 . 4 ) ,

:

( 2 . 1 1 )

( 2 . 1 2 )

, , ( 2 . 1 3 )

, ( 2 . 1 4 )

, -

.

( E . ( 2 . 6 ) ) , ( E , ( 2 . 8 ) ) ( E . ( 2 . 4 ) ) .


5/27


- 5 -

⑤ ( )

F E ( 2 . 3 ) ,

∴

E ( 2 . 4 ) ,

( 2 . 1 5 )

E . ( 2 . 1 5 )

A ,

,

(2.16)

.

ln

( 2 . 1 7 )

, ,

,


6/27


- 6 -

⑥ - -

F E . ( 2 . 7 ) E . ( 2 . 5 )

( 2 . 1 8 )

- G - :

tan ( ) ( 2 . 1 9 )

- G - :

tan ( ) ( 2 . 1 9 )


7/27


- 7 -

2 - 1

;

i (0,0)

j (l x , l y)

P ( x,y,p)

x

y

F ix

F iy

F jx

F jy

l x

l y

l o , E, Ao , w

- : × ,

, ,

- G : ,

D - - .

)

- - -

,

( )

,

,

,


8/27


- 8 -

( ) ( )

0 - 1 0 . 0 0 ( . G . ) - 1 . 0 0 ( . G . )

1 - 1 2 . 0 9 3 6 8 2 . 6 8

2 - 2 3 . 8 5 1 6 6 4 . 2 6

3 - 4 6 . 6 5 1 6 6 4 . 1 3

4 - 8 9 . 8 8 1 6 6 3 . 7 8

5 - 1 6 9 . 1 8 1 6 6 2 . 5 5

6 - 3 0 7 . 7 4 1 6 5 8 . 4 9

7 - 5 3 4 . 6 5 1 6 4 6 . 4 7

8 - 8 7 8 . 8 6 1 6 1 5 . 3 4

9 - 1 3 6 3 . 0 1 1 5 4 6 . 6 9

1 0 - 2 0 0 5 . 3 9 1 4 1 8 . 0 8

1 1 - 2 8 2 8 . 8 9 1 2 0 8 . 7 2

1 2 - 3 8 6 3 . 4 8 9 0 2 . 8 1

1 3 - 5 1 3 0 . 8 8 4 9 3 . 0 4

1 4 - 6 6 0 3 . 6 2 - 7 . 7 5

1 5 - 8 1 3 1 . 4 1 - 5 4 1 . 8 3

1 6 - 9 3 7 8 . 1 8 - 9 8 4 . 1 9

1 7 - 9 9 9 2 . 3 4 - 1 2 0 3 . 8 0

1 8 - 1 0 1 0 2 . 0 8 - 1 2 4 3 . 2 0

1 9 - 1 0 1 0 4 . 9 7 - 1 2 4 4 . 2 4

2 0 - 1 0 1 0 4 . 9 7 - 1 2 4 4 . 2 4

* . G . :

B ,

E . ( 2 . 6 ) E ( 2 . 8 ) . A ,

E . ( 2 . 4 ) .

< > < C

>


9/27


- 9 -

2 - 2

;

i (0,0)

j (l x , l y)

P ( x,y,p)

x

y

F ix

F iy

F jx

F jy

l x

l y

l o , E, Ao , w

- : × ,

, ,

- G : ,

D - - .

)

( )

( )

0 - 2 0 . 0 ( . G . ) 1 . 0 ( . G . )

1 - 2 0 . 2 7 1 5 3 7 9 . 8 0

2 - 4 0 . 0 5 8 0 8 4 . 6 6

3 - 7 9 . 0 8 8 0 8 5 . 5 0

4 - 1 5 4 . 6 8 8 0 8 5 . 5 0

5 - 2 9 8 . 0 2 8 0 8 5 . 5 0

6 - 5 6 0 . 8 2 8 0 8 5 . 5 0

7 - 1 0 1 9 . 5 9 8 0 8 5 . 5 0

8 - 1 7 6 9 . 2 2 8 0 8 5 . 5 0

9 - 2 9 0 0 . 4 3 8 0 8 5 . 5 0

1 0 - 4 4 7 3 . 2 3 8 0 8 5 . 5 0

1 1 - 6 5 0 9 . 8 1 8 0 8 5 . 5 0

1 2 - 8 9 9 5 . 9 2 8 0 8 5 . 5 0

1 3 - 1 1 8 3 5 . 6 8 8 0 8 5 . 5 0

1 4 - 1 4 7 2 9 . 0 7 8 0 8 5 . 5 0

1 5 - 1 7 0 6 2 . 6 3 8 0 8 5 . 5 0

1 6 - 1 8 2 1 2 . 8 7 8 0 8 5 . 5 0

1 7 - 1 8 4 2 2 . 4 5 8 0 8 5 . 5 0

1 8 - 1 8 4 2 8 . 2 5 8 0 8 5 . 5 0

1 9 - 1 8 4 2 8 . 2 5 8 0 8 5 . 5 0

2 0 - 1 8 4 2 8 . 2 5 8 0 8 5 . 5 0

* . G . :


10/27


- 10 -

B ,

E . ( 2 . 6 ) E ( 2 . 8 ) . A ,

E . ( 2 . 4 ) .

< > < C

>


11/27


- 11 -

1

Givens : , , , , and

Unknowns : ,

Newton-Raphson formula

,

( )

,

,

:


12/27


- 12 -

2


Unknowns : ,


where,

,

,

: iteration order


13/27


- 13 -

3


Unknowns : ,


where,

,

,

: iteration order


14/27


- 14 -

2 . 2 -

&

i (0,0,0)

F ix

F iy

F iz

F ix

F iy

F iz

j (l x , l y , l z )

P ( x,y,z,p)

x

y

z

l o , E, Ao , w

l x

l y

l z

:

:

: -

:

: -

:

: C

: -

:

: -

( 2 . 1 5 )


15/27


- 15 -

i (0,0,0)

F ix

F iy

F iz

P ( x,y,z,p)

x

y

z x(s)

y(s)

z(s)

w, s

T

< F >

( 2 . 1 6 )

( 2 . 1 6 )

( 2 . 1 6 )

( )

∴

( 2 . 1 7 )

, , ,

, , ,

( )

①

E . ( 2 . 1 6 ) E . ( 2 . 1 5 ) ,

( 2 . 1 8 )


16/27


- 16 -

②

F E . ( 2 . 1 6 ) E . ( 2 . 1 7 ) ,

∴

E . ( 2 . 1 8 ) ,

( 2 . 1 9 )

E . ( 2 . 1 9 )

ln

A ,

ln

,

(2.20)

③

F E . ( 2 . 1 6 ) E . ( 2 . 1 7 ) ,

∴

E ( 2 . 1 8 ) ,

( 2 . 2 1 )

E . ( 2 . 2 1 )

A ,


17/27


- 17 -

,

(2.22)

④

F E . ( 2 . 1 6 ) E . ( 2 . 1 7 ) ,

∴

E . ( 2 . 1 8 ) ,

( 2 . 2 3 )

E . ( 2 . 2 3 )

ln

A ,

ln

,

(2.24)


18/27


- 18 -

⑤ ,

E . ( 2 . 2 0 ) , E . ( 2 . 2 2 ) E . ( 2 . 2 4 ) , , ,

(2.25)

(2.26)

(2.27)

, G :

: ,

E . ( 2 . 1 8 ) ,

:

( 2 . 2 8 )

( 2 . 2 9 )

( 2 . 3 0 )

, , , ( 2 . 3 1 )

,

( 2 . 3 2 )


19/27

3. Elastic Catenary Element for Finite Element Analysis

- 19 -

3 .

,

.

E , ( 2 . 2 5 ) E . ( 2 . 2 7 ) ( , )

;

( 3 . 1 )

( 3 . 1 )

( 3 . 1 )

,

;

( 3 . 2 )

( 3 . 2 )

( 3 . 2 )

E . ( 3 . 2 ) ;

( 3 . 3 )

,


20/27


- 20 -

, ,

,

E E . ( 3 . 3 ) , ,

.

( 3 . 4 )

A , ,

, E . ( 3 . 4 ) ;

F ix + ΔF ix

F iy+ ΔF iy

w, l o

x

y F jx+ ΔF jx

F jy+ ΔF jy

From

(∵ )

∴

( 3 . 4 )

, - ,

;

, , ( 3 . 5 )


21/27


- 21 -

E . ( 3 . 5 ) E . ( 3 . 4 ) , .

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

ΔΔ

ΔΔ Δ Δ

( 3 . 6 )

,


22/27

4. Initial Shape Analysis of Suspension Bridge

- 22 -

4 .

C D .

E 2 - 1 E 2 - 2 , ( )

. , ( )

. C D

,

, .

4 . 1 ( )

,

.

E , ( 2 . 1 1 ) E . ( 2 . 1 2 ) ( , )

;

( 4 . 1 )

( 4 . 1 )

,

;

( 4 . 2 )

( 4 . 2 )

E . ( 4 . 2 ) ;

( 4 . 3 )

,


23/27


- 23 -

,

,

E E . ( 4 . 3 ) , ,

.

( 4 . 4 )

A , , (

E . ( 2 . 1 3 ) ) , E . ( 4 . 4 ) ;

( 4 . 4 )

- ,

;

, , ( 4 . 5 )

E . ( 4 . 5 ) E . ( 4 . 4 ) ,

.

( 4 . 6 )

,

E . ( 4 . 6 ) ;


24/27


- 24 -

( 4 . 7 )

,

:

:

:

:

:

:

4 . 2

E . ( 4 . 7 )

,

.

( F E )

E . ( 4 . 7 ) .

( 4 . 8 )

, :

:

,

. F , E . ( 4 . 8 )

:

( 4 . 9 )

, :

:

:

:

( - )


25/27


- 25 -

E . ( 4 . 9 )

(

) . ,

F E

E . ( 4 . 9 ) .

, - ( ) .

- ( , ∼ )

( ) ,

E . ( 4 . 9 ) ,

F E .

S

xi< 수 정 로 >

< ( ) C ( ) >

, E . ( 4 . 9 )

:

( 4 . 1 0 )

, :

:

:

:

D , E . ( 4 . 9 )


26/27


- 26 -

( 4 . 1 1 )

, :

E . ( 4 . 1 1 )

.

E . ( 4 . 1 1 ) ,

.

( 4 . 1 2 )

( 4 . 1 2 )

( )

E . ( 2 . 1 1 ) E . ( 2 . 1 4 )

.

( 4 . 1 3 )

( 4 . 1 3 )

E . ( 4 . 1 3 ) ,

- E 2 . 1 2 . 2 .

( 4 . 1 4 ) , :

E . ( 4 . 1 4 ) E . ( 2 . 1 3 ) ,

- . ,

.

( - ) .

.


27/27


E . ( 2 . 1 1 )

E . ( 2 . 1 2 )

.

A ,

.

C D ( ) ,

. F

, , E . ( 4 . 1 1 ) .

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Analysis of Suspension Bridge