Angleška 1. liga 2005-2006Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg

FUNKCIJEFUNKCIJE

7,04359,3717

7,13349,5616

7,22339,7615

7,32329,9814

7,423110,2013

7,533010,4312

7,642910,6711

7,752810,9210

7,862711,199

7,992611,478

8,112511,767

8,252412,066

8,382312,375

8,532212,704

8,682113,053

8,842013,402

9,011913,771

9,181814,160

Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Premier League Final table

Chelsea 95

Arsenal 83

Manchester United 77

Everton 61

Liverpool 58

Bolton Wanderers 58

Middlesbrough 55

Mancester City 52

Tottenham Hotspur 52

Aston Villa 47

Charlton Athletic 46

Birmingham City 45

Fulham 44

Newcastle United 44

Blackburn Rovers 42

Portsmouth 39

West Bromwich Albion 34

Crystal Palace 33

Norwich City 33

Southampton 32

x je argument,

f(x) je funkcijska vrednost.

f: x ↦ f(x)

))((: xfgxfg

Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g.

Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Arsenal

Aston Villa

Birmingham City

Blackburn Rovers

Bolton Wanderers

Charlton Athletic

Chelsea

Crystal Palace

Everton

Fulham

Liverpool

Mancester City

Manchester United

Middlesbrough

Newcastle United

Norwich City

Portsmouth

Southampton

Tottenham Hotspur

West Bromwich Albion

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Grafična predstavitev funkcije

Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

Podajanje s formulo

53)( xxf linearna funkcija

2

2gts pot pri prostem padcu

razdalja točke do izhodišča

22),( vuvud

))()()((4

1cbacbacbacbaS Herenova formula

nxx

x n 1 povprečna vrednost

Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk.

Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

Graf AAf ,:

Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (x,f(x)) za x∈A.

xx

xl

1

1)(

Graf funkcije dveh spremenljivk

PVT-diagram idealnega plina

Plinska enačba

2,: AAf

Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y, f(x,y)) za (x,y)∈A.

VnRT

P

PVT-diagram realne snovi

Odsekoma definirana

funkcija

Definicijsko območje in zaloga vrednosti

xx

xf

1

1)(

Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x,

zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

Naraščanje in padanje funkcije

naraščajoča

padajoča

Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj. večja prostornina manjši pritisk)

Lokalno naraščanje in padanje funkcijskih vrednosti

pri b je funkcija naraščajoča

pri a je funkcija padajoča

Globalni ekstremi

(globalni) minimum

(globalni) maksimum

Lokalni ekstremi

lokalni minimum

lokalni maksimum

ravnovesne lege so primeri lokalnih

ekstremov

Konveksnost in konkavnost

Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.

konveksna

konkavna

PrevojiPrevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.

konveksna konkavna

prevoji

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Trend funkcije na robu - asimptote

Logistična krivulja

(vodoravna asimptota)

Dušeno nihanje

Poševna asimptota

Periodičnost in simetrija

Soda in liha funkcijaPeriodične funkcije

Graf funkcije

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

Elementarne funkcije

Kotne in ločne funkcije

Polinomi

Racionalne funkcije

Algebrajske funkcije

Eksponentne in logaritmske funkcije

17)( 23 xxxp

1

53)(

3

2

xxxx

xQ

5 2

3 2 11)(

xxx

xxxA

xx eexf 2)( 2

)1ln()( 2xxxg

)cos(3)12sin()( 2 xxxu

xx

xv

1

1arcsin)( )1arctg()( 2xxw

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.

Osnovne funkcije:

potence Znxn ,

koreni Znxn ,eksponentna ex

logaritemska ln

x

sinus sin x

arkus sinus arcsin x

arkus tangens arctg x

Polinomi

povsod definirani

polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov

trend je določen z najvišjo potenco

vsote sodih potenc so soda funkcija,

vsote lihih potenc pa liha funkcija222 xxy

73 23 xxy 1343 34 xxxy

Racionalne funkcije

definirane povsod, razen v ničlah imenovalca

ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli

če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

1

123

xx

y

1x

0y

1x 1x

3xy

1

732

23

x

xxy

Algebrajske funkcije

koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente

koren je bližje številu 1 kot njegov argument

asimptote dobimo z limitami...

1

732

23

x

xxy

33 1

12

xx

y

1

Eksponentna funkcija f(x)=ex

povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel)

za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča

xey xx

ey

11

Logaritemska funkcija f(x)=ln x

definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1

pol pri x=0, zelo počasi narašča

xy ln

)43ln( 2 xxy

1x 4x

1

Kotne funkcije sin(x), cos(x)

povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1,1]

periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija

sin(x) ima ničle pri x=kπ, cos(x) ima ničle pri x=π/2+kπ

cos(x)=sin(π/2-x), sin2x+cos2x=1

xy sin

xy cos

2

2

1

-1

sinusno nihanje: A sin(ω x+d)

A: amplituda, ω: frekvenca, d: fazni premik (zakasnitev)

xsin

x3sin

2sin

x

xy sin

)1sin( xy

)22

sin( x

y

Funkcija tangens tg(x)

definirana povsod, razen za x=π/2+kπ, zaloga vrednosti so vsa realna števila

periodična, liha

ničle pri x=kπ, poli pri x=π/2+kπ

tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x

2

2

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)

arc sin(x) ‘arkus sinus’

inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)

definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-π/2,π/2 ]

1

1

-1

xx

y

1

1arcsin

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc tg(x) ‘ arkus tangens’

inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x)

definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-/2,/2)

asimptoti y=-/2, y=/2

-1 1

2

)arctg( 21 xy