Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FOTONİK KRİSTAL DALGA KILAVUZU TEMELLİ KÜÇÜK OPTİK
FİLTRELERİN TASARLANMASI VE SAYISAL ÇÖZÜMLENMESİ
Yeşim DİLDAR
FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA
2013
Her hakkı saklıdır
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FOTONİK KRİSTAL DALGA KILAVUZU TEMELLİ KÜÇÜK OPTİK FİLTRELERİN
TASARLANMASI VE SAYISAL ÇÖZÜMLENMESİ
Yeşim DİLDAR
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Barış AKAOĞLU
Bu tezde fotonik kristaller kullanılarak küçük boyutlu optik filtreler tasarlanmış ve
bilgisayar ortamında sayısal olarak çözümlenmiştir. Öncelikle, kare örgülü fotonik kristal
oluşturulduktan sonra yapının bant diyagramları elde edilmiştir. Ardından, bir sıra örgünün
kaldırılması ile dalga kılavuzu oluşturularak yansıma ve geçirgenlik özellikleri
incelenmiştir. Sonrasında, dalga kılavuzu yakınında kavite oluşturularak dalga kılavuzu
içersinde ilerleyen ışığın yansıma spektrumu elde edilmiştir. Kavitenin sayısı değiştirilerek
yansıma spektrumunda etkileri incelenmiştir. Dalga kılavuzunun her iki tarafında kaviteler
oluşturularak filtreleme özellikleri çözümlenmiştir. Ayrıca, kavitenin boyutu artırılarak
yansıma spektrumuna etkileri incelenmiştir. Kavite dalga kılavuzu arasındaki mesafenin
artırılmasıyla spektrumda ne gibi değişiklikler olduğu gözlemlenmiştir. Periyodik dielektrik
yapıların bant yapıları düzlem dalga açılımı yöntemi kullanılarak belirlenmiştir. Fotonik
kristallerin geçirgenlik ve yansıma spektrumları zaman bölgesinde sonlu farklar (FDTD)
yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır.
Ocak 2013, 60 sayfa
Anahtar Kelimeler: Fotonik kristaller, fotonik kristal dalga kılavuzları, optik filtreler,
mikro-kaviteler
ii
ABSTRACT
Master Thesis
DESIGN AND NUMERICAL ANALYSIS OF PHOTONIC CYRSTAL WAVEGUIDE
BASED COMPACT OPTICAL FILTERS
Yeşim DİLDAR
Ankara University
Graduate School of National and Applied Sciences
Department of Physics Engineering
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Barış AKAOĞLU
In this thesis, small-sized optical filters are designed by using photonic crystals and
numerically analyzed. First, as the square lattice photonic crystals were generated, band
diagrams were obtained. Second, the properties of reflection and transmission spectrum
were analyzed by creating a waveguide after removing one line of lattice. Then, the
reflection spectrum of the light going through the waveguide was obtained creating a cavity
near the waveguide. The impacts of changing the number of the cavities on the spectrum
were examined. Filtering properties are analyzed by creating symmetric microcavities on
each side of the waveguide. Besides, the impacts of cavity size on the reflection spectrum
were analyzed by increasing the cavity size. The impacts of increasing the distance between
cavity and waveguide on spectrum were observed. The band structure of the periodic
dielectric structures was found using plane wave expansion method. The transmittance and
reflectance spectrum of the photonic crystals were calculated by using finite difference time
domain (FDTD) method.
January 2013, 60 pages
Key Words: Photonic Crystals, photonic crystals waveguides, optical filters, micro-
cavities
iii
TEŞEKKÜR
Öncelikle tez çalışmam sırasında desteğini benden esirgemeyen tez danışmanım Sayın Doç.
Dr. Barış AKAOĞLU’na(Ankara Üniversitesi Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı) ve
çalışmalarım sırasında bana yardımcı olan Sayın Araş. Gör. Fulya BAĞCI’ya teşekkür
ederim.
Daima yanımda olan ve desteğini hiç esirgemeyen sevgili aileme sonsuz teşekkür ederim.
Ayrıca bu süreç boyunca bana her konuda sabırla yardımcı olan Özgür KORKMAZ’a
teşekkür ederim.
Yeşim DİLDAR
Ankara, Ocak 2013
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET…………………………………………………………………………………….…..i
ABSTRACT…………………………………………………………………………….…..ii
TEŞEKKÜR…...…………………………………………………………………………..iii
KISALTMALAR ve SİMGELER DİZİNİ...………………………………...……....…..vi
ŞEKİLLER DİZİNİ…………………………………………………………………...…viii
1. GİRİŞ………………………………………………………………………...…………..1
2. FOTONİK KRİSTALLER…………………………………...……………………...….2
2.2 Fotonik Kristallerin Genel Özellikleri…….……………..……………………………2
2.1.1 Boyutlarına göre fotonik kristaller………………………………………………….2
2.1.2 Bragg yasası……………………………………………………………………….….6
2.1.3 Wigner-Seitz hücresi (W-S)…………………………………………………...……..7
2.1.4 Brillouin bölgeleri……………………………………………………………….……8
2.2 Maxwell Denklemleri…………………………………………………………………10
2.2.1 Özdeğer denklemi ve özellikleri……………………………………………………12
2.3 Fotonik Kristallerin Bant Yapısı………………………………………………….…14
2.3.1 Kare örgülü fotonik kristaller……………………………………………...………17
2.3.2 Üçgen örgülü fotonik kristaller………………………………………………….…18
2.4 Fotonik Kristal Nokta ve Çizgi Kusuru……...…………………………………...…20
2.5 Fotonik Kristal Filtre……………………………………………………………...….21
3. MATERYAL VE YÖNTEM………………………………......…………..…….…….23
3.1 Düzlem Dalga Açılımı Yöntemi………………………………………………….…..24
3.2 Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD)…………………….………....28
3.2.1 Giriş………………………………………………………………………………….28
3.2.2 Yee algoritması……………………………………………………………………...30
3.2.3 Bir boyutlu “güncelleme denklemleri”………………..………………...………....30
3.2.3.1 Courent koşulu…………………………………………………………………....35
3.2.4 FDTD yönteminin avantajları……………………………………………………...37
v
4. BULGULAR VE TARTIŞMA………………………………………………...………38
4.1 Modellenen Fotonik Kristal Filtrenin Band Yapısı…………………………...……38
4.2 Dalga Kılavuzunun Bir Tarafında Oluşturulan Mikrokaviteli
Yapıların İncelenmesi………………..………………………………..……………...42
4.3 Dalgakılavuzunun Her İki Tarafında Simetrik Oluşturulan
Mikrokaviteli Yapıların İncelenmesi……………….………………………………..45
4.3.1 Mikrokavitelerin boyutunun artırılmasının filtreye etkisi………….....................48
4.3.2 Dalgakılavuzu mikrokavite arasındaki uzaklığın artırılmasının
filtreye etkisi……………………………………….………..……………..…..……49
4.4 Fotonik Kristal Dalgakılavuzu-Mikrokavite Yapılarında Termal
Etkinin İncelenmesi………………..………………………………………………….51
4.5 Üretimden Kaynaklanan Hataların Fotonik Kristal Filtreye
Etkisinin İncelenmesi…………………………………...………………………….....51
5. SONUÇ……………………………………………………………………………….…54
KAYNAKLAR……………………………………………………………………........….56
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………………….60
vi
KISALTMALAR VE SİMGELER DİZİNİ
KISALTMALAR DİZİNİ
EM Elektromanyetik
DDA Düzlem dalga açılımı yöntemi
FDTD Zamanda sonlu farklar yöntemi
FBA Fotonik band aralığı
GHz Gigahertz
TE Enine elektrik
TM Enine manyetik
W-S Wigner-Seitz hücresi
Q-faktörü Kalite faktörü
vii
SİMGELER DİZİNİ
ax, ay, az İlkel öteleme vektörleri
B Manyetik akı yoğunluğu
c Işığın vakumdaki hızı
d Paralel kristal düzlemleri arasındaki uzaklık
D Elektrik akı yoğunluğu
E Elektrik alan vektörü
eG Elektrik alan Fourier bileşeni
ε Ortamın dielektrik geçirgenliği
ε0 Boşluğun dielektrik geçirgenliği
G Ters örgüde öteleme vektörü
hG Manyetik alan Fourier bileşeni
H Manyetik alan vektörü
J Serbest akım yoğunluğu
μ Ortamın manyetik geçirgenliği
Yee hücresi kenar uzunluğu
Boş uzayda dalga fonksiyonu
λ Dalga boyu
ρ Ortamdaki serbest yük
Θ Hermisyen operatörü
Nabla operatörü
υg (k) Grup hızı
ω Açısal frekans
ωn (k) Açısal frekans özdeğeri
Г, X, M Ters uzayda simetri noktaları
viii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 Bir, iki ve üç boyutlu fotonik kristaller………………………………….………...3
Şekil 2.2 Bir boyutlu fotonik kristal ………………………………………………………...3
Şekil 2.3 İki boyutlu fotonik kristal örnekleri……………………………………………….4
Şekil 2.4 Üç boyutlu fotonik kristal örneği. Tam bir bant aralığına sahip ilk fotonik
üç boyutlu fotonik kristal………………………………….…………………...….5
Şekil 2.5 Kesikli ötelem simetrisine sahip dielektrik plaka………………………...……….6
Şekil 2.6 Işığın kristalde kırınımı……………………………………………………………7
Şekil 2.7 Wigner-Seitz ilkel birim hücresi…………………………………………………..8
Şekil 2.8.a. İki boyutlu kare örgü, b. Daraltılamaz Brillouin bölgesi………………...…..…9
Şekil 2.9 Tek boyutlu kristal örgü ve Brillouin bölgeleri………………………………….10
Şekil 2.10 Genel fotonik bant aralığı gösterimi …………………………………...……....16
Şekil 2.11.a. Kare örgüye göre dizilmiş silindirik çubuklardan oluşan fotonik
Kristal, b. Ters uzayda simetri noktaları………………………….............……..17
Şekil 2.12 Şekil 2.11’deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında
dispersiyon diyagramları……………………………………….………………..18
Şekil 2.13.a. Üçgen örgüye göre dizilmiş silindirik deliklerden oluşan fotonik kristal,
b. Ters uzayda simetri noktaları….......................................................................19
Şekil 2.14 Şekil 2.13’deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında
dispersiyon diyagramları…………………………………………….....……….19
Şekil 2.15 İki boyutlu bir fotonik kristal içindeki: a. bir fotonik dalgakılavuzunun,
b. bir dalgakılavuzu bükümünün ve c. bir kavitenin
şematik gösterimi……………………………………………………………….20
Şekil 2.16 Fotonik kristal içindeki bir tek kusur tarafından fotonların
yakalanması ve yayınlanması………………………………………….…....…..21
Şekil 3.1.a. Tek kaviteli çift taraflı filtre, b. Tek taraflı iki kaviteli filtre ,c.Arka
arka araya sıralı (cascaded) kaviteli çift taraflı filtre……………...…………...…24
Şekil 3.2 Elektrik ve manyetik alan düğümlerinin (nodes) konum
ve zamanda konumlanması. …………………...………………………...………32
ix
Şekil 3.3 Manyetik alanı güncelledikten sonra konum-zaman konumlanması………..…..33
Şekil 3.4 Manyetik ve elektrik alanlar arasındaki konumsal ötelemeyi gösteren
bir boyutlu FDTD uzayı………………………………………………………….36
Şekil 4.1 Kare örgülü fotonik kristal temelinde kurulmuş 2 boyutlu silindir
dielektrik çubukların fotonik bant yapısı. (Mavi bantlar TM modları ve
kırmızı bantlar TE modları gösterir)…………………………………..……...….39
Şekil 4.2 Kare örgüde Brilloun bölgesinde merkezden yüzeye olan mesafede (Г- X
aralığı) TM kipi için bant diyagramı…………………………………………….40
Şekil 4.3 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik
kristalin TM bandı için diyagramı………………………………………………..41
Şekil 4.4 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik
kristalin TE bandı için diyagramı…………………………………………….…..41
Şekil 4.5 Dalgakılavuzun bir tarafından dielektrik çubukların çıkarılmasıyla elde
edilen: a. 1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli, c. 4 mikrokaviteli, d. 8
mikrokaviteli fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi………………..……....43
Şekil 4.6 Dalgakılavuzu-mikrokavite etkileşmesi……………………….………………....44
Şekil 4.7 Dalga kılavuzunun bir tarafında oluşturulan a. 1 mikrokavite, b. 5a
mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8 mikrokaviteli fotonik
kristal filternin yansıma-frekans grafikleri………………………………...…….44
Şekil 4.8 Dalgakılavuzun iki tarafından simetrik olarak dielektrik çubukların
çıkarılmasıyla elde edilen a. 1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli,c. 4
mikrokaviteli, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi......46
Şekil 4.9 Dalga kılavuzunun her iki tarafında simetrik olarak oluşturulan a. 1
mikrokavite, b. 5a mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite,
d. 8’er mikrokaviteli fotonik kristal filternin yansıma-frekans grafikleri……......47
Şekil 4.10 Çift taraflı, 8’er mikrokaviteli yapıda mikrokavite-dalgakılavuzu
etkileşmesi………………………………………………………………….…...48
Şekil 4.11 Dalgakılavuzun iki tarafından ikişer dielektrik çubuğun kaldırılması
ile elde edilen fotonik kristal filtrenin şematik gösterimi……………….…......48
x
Şekil 4.12 Çift taraflı, 8’er mikrokaviteli yapının band diyagramı, dielektrik
çubukların boyutu a (solda), dielektrik çubukların boyutu 2a (sağda) ………….49
Şekil 4.13 Dalga kılavuzuna 3a uzaklıkta oluşturulmuş 8’er mikrokaviteli optik
filtrenin yansıma spektrumu……………………………………………….........50
Şekil 4.14 Dalga kılavuzunun her iki tarafında, s=3a mesafe uzaklıkta simetrik
birer dielektrik çubuğun çıkartılmasıyla oluşturulmuş optik filtrenin
yansıma spektrumu……………………………………......................................50
Şekil 4.15 Dalgakılavuzunun bir tarafından eşit mesafede oluşturulmuş 4 mikrokaviteli
yapı için: a. üretim hatası hesaba katılmadan önce, b. üretim hatası
hesaba katılarak fotonik kristallerin çapı ve pozisyonları belli
oranlarda değiştirildikten sonra elde edilen diyagramlar…………………….…52
Şekil 4.16 Dalgakılavuzunun her iki tarafında eşit mesafede oluşturulmuş 4’er
mikrokaviteli yapı için: a. üretim hatası hesaba katılmadan önce,
b. üretim hatası hesaba katılarak fotonik kristallerin çapı ve
pozisyonları belli oranlarda değiştirildikten sonra elde edilen diyagramlar….…53
1
1. GİRİŞ
Fotonik ışığı oluşturan fotonların üretilmesi, yönlendirilmesi, madde ile olan etkileşimi,
algılanması ve taşınması ile uğraşan bir alandır. Fotonik kristaller dielektrik sabitinin
periyodik olarak değiştiği yapılardır. Son yıllarda ışığın kontrol edilerek istenilen
değişikliklerin yapılmasını ve farklı optik uygulamaların ortaya çıkmasını sağladığı için
fotonik kristaller modern teknolojinin gelişiminde oldukça önem kazanmıştır. Fotonik
kristaller bant aralığı yönünden yarıiletkenlerle benzerlik gösterirler. Bu durumda,
yarıiletken malzemelerdeki elektronların yerini, fotonik kristallerde fotonlar alır. Bu
nedenle bu maddeler içinde ışığın yayılımını anlamak için, periyodik ortamlarda dalga
yayılımının incelenmesi gerekir. Fotonik kristaller bir, iki ya da üç boyutta periyodik
olabilirler.
Periyodik dielektrik yapılarda elektromanyetik dalgaların (EM) yayılımı belirli yönlerde
ve belirli frekans aralığında mümkün değildir. Bu durum, ışığı kılavuzlamayı mümkün
kılar. Fotonik kristallerin güçlü yansıma sergiledikleri bu dalga boyları bölgesine
fotonik bant aralığı (FBA) ya da yasaklı bant aralığı denir.
Kristalde örgü kusuru oluşumu ışığı yönlendirmek açısından önemli bir konudur. Nokta
ya da çizgi şeklinde kusur oluşturmak mümkündür. Nokta kusuru, ışığı tuzaklayan
kavite gibi, çizgi kusuru ise dalga kılavuzu gibi davranır. Bu tezde, fotonik dalga
kılavuzu boyunca ilerleyen EM dalga ile yakınındaki mikro-kavitenin (ya da
kavitelerin) rezonans durumunda etkileşmesi ile oluşan çok küçük boyutlu dalgaboyu
seçici optik filtre tasarlanacak ve sayısal yöntemlerle çözümlenecektir. Mikro-
kavitelerin dalga kılavuzunun iki yanında oluşturulup oluşturulmama, sayısı,
aralarındaki uzaklığı, büyüklüğü gibi etkileri incelenecek, bu sayede yapının daha etkin
filtreleme yapması için koşullar araştırılacaktır.
2
2. FOTONİK KRİSTALLER
Fotonik kristaller başlangıçta yapay maddeler olarak düşünülmesine rağmen doğada var
oldukları kanıtlanmıştır (Vukusic 2003, Tayeb vd. 2003). Opaller doğal fotonik
kristallerin en bilinen örneklerindendir. Biyolojide de doğal fotonik yapıların bulunduğu
gözlemlenmiştir. Bazı kelebek kanatları ve tavus kuşu tüyleri renk pigmentleri
içermediği halde fotonik kristaller sayesinde güzel renklere sahiptir (Vukusic 2003,
Tayeb vd. 2003, Thylen vd. 2004, Ghiradella 1991). Doğada fotonik kristallerin
bulunmasına rağmen, bilim adamları fotonik yapıları ancak 20. yüzyılda yapay olarak
üretmeye başlamış ve çeşitli uygulamalar geliştirmiştir.
Periyodik bir ortamda EM dalgaların yayılımı ilk defa 1888’ de Lord Rayleigh
tarafından çalışılmıştır (Rayleigh 1888). Yapılan çalışma periyodik olarak arka arkaya
birleştirilmiş düzlemler ile ilgilidir. Bunlar bir boyutta fotonik kristallere
benzemektedir. Rayleigh bu materyallerin düzlemler boyunca ışığın geçişini yasaklayan
dar bir band aralığına sahip olduğunu göstermiştir. Periyodik yapılarla ilgili çalışmalar
yapılsa da, ancak 1987’lerde iki ve üç boyutlarda fotonik band aralıklı yapılar
üretilmiştir (Yablonovitch vd. 1987). Bu yapılarda örgü kusurları oluşturarak, ışık çok
küçük bir alana sıkıştırılabilmekte ve yönlendirilebilmektedir.
Fotonik kristallerin oldukça fazla kullanım alanı vardır. Lazer teknolojilerinde, fiber
optik yapılarda, ışığı bükebilen metamalzemelerde, sensörlerde, optik çoklayıcı ve
tekleyicilerde fotonik kristaller kullanılmaktadır.
2.1 Fotonik Kristallerin Genel Özellikleri
2.1.1 Boyutlarına göre fotonik kristaller
Fotonik kristaller bir, iki ya da üç boyutta periyodik yalıtkan (dielektrik) yapılardır.
Fotonik kristal örnekleri şekil 2.1’de verilmiştir (Joannopoulos vd. 2008).
3
Şekil 2.1 Bir, iki ve üç boyutlu fotonik kristaller (Joannopoulos vd. 2008)
En basit ve en kolay şekilde yapılan fotonik kristaller bir boyutlu fotonik kristallerdir.
Farklı dielektrik tabakaların üst üste yerleştirilmesi ile oluşturulur.
Şekil 2.2 Bir boyutlu fotonik kristal (Joannopoulos vd. 2008)
Dielektrik fonksiyonu ε(z) sadece z yönünde değişir, x ve y yönünde değişmezdir.
Kristal xy yönünde sürekli öteleme simetrisine sahiptir. z yönünde ise kesikli
periyodiklikten dolayı kesikli öteleme simetrisi vardır. Kipleri sınıflandırmak için xy
düzlemi içindeki dalgavektörü k||, z yönündeki dalga vektörü kz ve band sayısı n
kullanılır. Frekans arttıkça band sayısı artar. Bloch biçiminde kipler yazılırsa,
elde edilir.
Bir boyutta periyodik İki boyutta periyodik Üç boyutta periyodik
4
u(z) fonksiyonu periyodiktir. k|| ise tabakaların arakesit yüzeylerine parallel olan dalga
vektörüdür. Kristal xy düzleminde sürekli öteleme simetrisine sahip olduğu için, k||
dalga vektörü herhangi bir değer alabilir. Fakat, kz dalga vektörü bir boyutta Brillouin
bölgesinde sınırlıdır.
Bu yapıda band aralığı, ters örgünün Brillouin bölgesi kenarlarında ya da bölgenin
merkezindedir. Band diyagramları dalga vektörleri ve frekansa göre çizilir. Bir boyutlu
fotonik kristallerle, yüksek yansıtıcılı aynalar ve optik filtreler gibi uygulamalar yapmak
mümkündür.
Boyutların birden ikiye ve üçe çıkması ile yeni durumlar ortaya çıkar. Farklı şekillerde
iki boyutlu fotonik kristal oluşturmak mümkündür. Hava içindeki dielektrik çubukların
kare örgüsü ve dielektrik plaka içindeki hava boşluklarının altıgen örgüsü bunlardan
bazılarıdır. Şekil 2.3.a’da birbirine parallel dik sütunlar z yönündedir ve xy düzlemine
diktir. xy düzlemi boyunca gönderilen ışık xy düzleminde periyodiktir ve z yönünde
serbestçe yayılabilir.
Şekil 2.3 İki boyutlu fotonik kristal örnekleri (Johnson ve Joannopoulos 2002)
İki boyutlu fotonik kristaller düzlemsel optik tümleşik devrelerde (TD) uygulamaları
bakımından önemlidir. Optik tümleşik terimi ilk defa 1960’ların sonlarında görülmüştür
(Miller 1969). Fotonik tümleşmede yeni gelişen yaygın örnekler; dalgakılavuzu, kırınım
5
ağı, çoklayıcı (multiplexer) veya tekleyici (demultiplexer) gibi elemanlardır (Thylén vd.
2004). Optik bölgede (kızılötesi bölgede) iki boyutlu fotonik kristalin ilk deneysel
gösterimi 1995’de yapılmıştır (Gruning vd. 1995).
Üç boyutlu fotonik kristal üretimi ise çok daha karmaşık ve zordur. Fotonik bant
aralığına sahip üç boyutlu fotonik bir kristalin ilk deneysel açıklaması 1991’de
yapılmıştır (Yablonovitch vd. 1991).
Şekil 2.4 Üç boyutlu fotonik kristal örneği. Fotonik bant aralığına sahip ilk üç boyutlu
fotonik kristal (Joannopoulos vd. 2008)
Fotonik kristaller periyodik dielektrik yapılar olduğu için simetri özelliklerinden
bahsetmek gerekmektedir. Öteleme (kesikli ve sürekli) simetrileri ve ayna simetrisi
oldukça önemlidir. Öteleme simetrisine sahip bir sistem, d kadar yerdeğiştirme
sonucunda değişmeden kalır. Her d için bir fonksiyon (f(r)) ve Td kadar öteleme
tanımlarsak, f(r) = ε(r) için
Td ε(r) = ε(r +d) = ε(r) (2.2)
eşitliği elde edilir.
6
Sürekli öteleme simetrisine sahip yapı belli bir yönde herhangi bir mesafede
ötelendiğinde değişmeden kalır. Fotonik kristaller sürekli öteleme simetrisine sahip
değildir, bunun yerine kesikli öteleme simetrisine sahiptirler. Şekil 2.5’te x-yönünde
sürekli öteleme simetrisi varken, y-yönünde kesikli öteleme simetrisi vardır. Temel
adım uzunluğu a örgü sabitidir ve ilkel örgü vektörü olarak adlandırılır.
Şekil 2.5 Kesikli öteleme simetrisine sahip dielektrik plaka (Joannopoulos vd. 2008)
Fotonik kristaller ayna simetrisine de sahiptir. Ayna simetrisi oldukça önemlidir. Şekil
2.5’ e göre sistem yz ve xz-düzlemlerindeki ayna yansımaları altında değişmezdir.
2.1.2 Bragg yasası
Kristal üzerine gönderilen X-ışınları demeti, kristalde kırınıma uğrayarak saçılır.
Saçılan ışın bir film üzerine düşürülürse kırınım deseni oluşur. Kırınım olayının ilk
açıklaması Bragg tarafından yapılmıştır.
7
θ θ
θ
θ
dsinθ
d
Gelen ışınYansıyan
ışın
Kristal düzlemleri
Şekil 2.6 Işığın kristalde kırınımı
Birbirine paralel kristal düzlemleri arasındaki uzaklık d olmak üzere, komşu iki düzlem
arasındaki yol farkı 2dsinθ olur. Ardışık iki düzlemden kırınan dalgaların aynı fazda
olması için yol farkı λ dalga boyunun tam katları olmalıdır.
2dsinθ =n λ n=1, 2, 3…. (2.3)
(2.3) denklemi örgünün periyodik oluşunun sonucu olarak ortaya çıkar ve Bragg yasası
olarak ifade edilir. Kırınımın gerçekleşebilmesi için λ < 2d olmalıdır.
Kristalin ters uzayı ise, kırınım olayında kristalden saçılarak film üzerine giden ışının
yapıcı girişimi sonucunda oluşturduğu desenle meydana gelir. Bu sayede, her kristalin
bir kristal örgüsü bir de ters örgüsü oluşur.
2.1.3 Wigner- Seitz hücresi (W-S)
Bir örgü ax, ay ve az üç temel öteleme vektörüyle tanımlanır. Bu vektörlere ilkel öteleme
vektörü denir. İlkel öteleme vektörü ile kristalin yapı taşı olan en küçük hücre oluşur.
Bu ilkel hücre en küçük hacimli bölgedir. Bu hücrenin ötelenmesiyle kristal tüm uzayı
doldurur. İlkel hücre seçimi için en uygun yol, bir örgü noktasını en yakın komşularına
8
birleştiren doğruların orta dikmelerinin tanımladığı kapalı hacmi belirlemektir. Bu
yöntemle belirlenen en küçük hacimli bölge “Wigner-Seitz (W-S)” birim hücresidir.
Şekil 2.7’de 2 boyutlu üçgen örgüde W-S hücresi görülmektedir:
Şekil 2.7 Wigner-Seitz ilkel birim hücresi.
2.1.4 Brillouin bölgeleri
Brillouin bölgeleri ters uzayı bölgelere ayırırken kullanılır. Bloch teoremi ile elektronik
yapılarda V(r) = V (r + R) potansiyeline göre, fotonik yapılarda ise (r) = (r + R)
dielektrik fonksiyonuna gore özdeğer denklemleri çözülür. Fotonik kristallerin R bax
cay daz vektörüyle tekrarlandığını varsayarsak, ax, ay ve az x, y ve z yönündeki
periyotları gösterir. b, c ve d ise rastgele verilmiş tamsayılardır. Bu period (kare örgü
için) zyxa ,,
2 olur. Frekansın kendini tekrarlamadığı sıfıra en yakın aralığa I. Brillouin
Bölgesi denir. Kare örgü için bu aralık zyxzyx aa ,,,,
, dır. Brilloun bölgesi simetriden
dolayı küçültülebilir. Kare örgü için Brillouin bölgesi şekil 2.8’deki gibidir.
9
Şekil 2.8.a. İki boyutlu kare örgü, b. Daraltılamaz Brillouin bölgesi (Shen 2006)
Şekil 2.8.b’deki taralı bölge en küçük hacimli “İndirgenemez Brillouin Bölgesi” dir.
Band yapısının oluşturulmasında Brillouin bölgeleri önemlidir. Fotonik kristallerde
yansımaları veren tüm dalga vektörleri Brillouin bölgesinde sınırlandırılır. Bir hücreden
diğer bir hücreye geçiş ters örgü vektörleriyle olur. Buna göre,
k' = k + G (2.4)
k' burada yansıyan dalganın dalga vektörü, G ise ters örgü vektörüdür. Her iki tarafın
karesi alındığında,
k'2
= k2
+ 2k.G + G2
(2.5)
Dalganın esnek saçıldığı düşünüldüğünde k'2
= k2
olur. (2.5) denklemi
2k.G = G2
(2.6)
şeklinde yazılır. (2.6) denklemine göre k dalga vektörü, ters örgü vektörü G’yi dik ikiye
bölen düzlemde bulunuyorsa yansıma şartları sağlanmış olur. Maximum yansıma
Brillouin bölgesi kenarlarında olur. Şekil 2.9’da tek boyutta kristal örgü ve ters örgü
(a) Gerçek örgü (b) Ters örgü
10
görülmektedir. Sınırlar k = + π /a da 1.Brillouin bölgesini oluşturur. 2. Brillouin
bilgesinin sınırları dielektirik çubuk üzerinden geçer.
Şekil 2.9 Tek boyutlu kristal örgü ve Brillouin bölgeleri (Erdiven 2009)
Ters örgü kristalin periyodikliğinin bir sonucudur. Bu periyodiklik sayesinde Brillouin
bölgelerindeki bandlar ve bandlara ait kipler belirlenerek band yapısı ortaya çıkarılır
(şekil 2.9).
2.2 Maxwell Denklemleri
Bu bölümde fotonik kristallerde EM dalga hareketi incelenecektir (Joannopoulos 2008).
EM alanın bir ortam içersindeki hareketi Maxwell denklemleri ile ifade edilir. Temel
elektrik ve manyetizma yasaları kullanılarak elde edilmiş olan 4 ana Maxwell denklemi
bulunmaktadır. Fotonik kristallerde EM dalga çözümlerinin bulunabilmesi bu
denklemlerin çözülmesiyle mümkündür. Maxwell Denklemleri (SI birim sisteminde)
aşağıdaki gibidir:
11
·B = 0 (2.7)
· D = (2.8)
x E + t
B= 0 (2.9)
x H - t
D= J (2.10)
İlk iki eşitlik sırasıyla manyetik alan ve yer değiştirme alanı için Gauss yasaları olarak
adlandırılır. Son iki eşitlik sırasıyla, Faraday ve Amper yasaları olarak bilinir. Bu
denklemlerde E ve D sırasıyla elektrik alan ve elektriksel yer değiştirme, H ve B ise
sırasıyla manyetik alan ve manyetik indüksiyona karşılık gelmektedir. ve J ise
sırasıyla ortamdaki serbest yüke ve serbest akım yoğunluğuna karşılık gelmektedir.
Yer değiştirme ve alanlara ait denklemler ise şu şekildedir:
B(r) = μ0 μ(r) H(r) (2.11)
D(r) = 0 (r)E(r) (2.12)
Göreceli manyetik ve EM sabitler μ(r) ve (r) ile, vakumun manyetik ve EM sabitleri
ise μ0 ve 0 ile gösterilmiştir.
Bu denklemlerin zamanda harmonik çözümleri aşağıdaki gibidir:
E = E(r)ejωt
(2.13)
H = H(r)ejωt
(2.14)
Faraday ve Amper yasaları zamanda harmonik çözümler için:
x E(r) + jω μ0 H(r) = 0 (2.17)
x H(r) – jωD(r) = 0 (2.18)
12
şeklini alır. μ(r)= 1 kabul edilmiştir. Amper yasasında (2.12) denkleminde tanımlanan
kurucu ilişki kullanılır. Eşitliğin sol tarafının önce ile çarpılması ve rotasyonel
dolanım ( x) operatörünün etki edilmesiyle (2.18) denkleminden
= 0 (2.19)
elde edilir.
(2.17) eşitliğinin de kullanılması ile
(2.20)
“Özdeğer denklemi” elde edilir. Burada dir. Eşitliğin sol tarafındaki
Θ= x operatörünün H(r) öz fonksiyonlarına etkimesinden
özdeğerleri elde edilmektedir. Tanımlanan Θ operatörü “hermisyen” dir ve bu yüzden
öz değerleri gerçeldir. Operatörün hermisyen olduğu bölüm 2.2.1’de gösterilmiştir.
2.2.1 Özdeğer denklemi ve özellikleri
A(r) ve B(r) herhangi iki vektörel alan olmak üzere bu iki alanın iç çarpımı,
(A,B) = ∫ d3rA
*(r)·B(r) (2.21)
eşitliği ile tanımlanır.
Ω ile gösterilen bir operatörün hermisyen olması,
(A, ΩB) = (ΩA, B) (2.22)
13
koşuluna bağlıdır.
(2.20) denkleminde tanımlanan Θ operatörü için yukarıda koşul uygulandığında,
(A, ΘB) = ∫ d3rA*(r)· x
= ∫ d3r
* (2.23)
= ∫ d3r
* · = (ΘA, B)
olduğu görülür. Bu durumda operatör hermisyendir.
(2.20) denklemi Faraday yasasına uygulandığında,
)(
1
rx =
2
2
cE(r) (2.24)
denklemi elde edilir.
Burada Θ= )(
1
rx operatörü hermisyen değildir. Bu sebeple özdeğer denklemi
x = 2
2
cH(r) (2.25)
dir.
Θ operatörünün öz değerlerinin gerçel olduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir:
(H, ΘH) = ( ΘH, H)
(H, H) = * (H, H) (2.26)
= *
ω2 positiftir.
Bu nedenle, hermisyen operatörünü içeren ana denklem, bir özdeğer denklemi olup,
14
Θ H(r) = 2
2
cH(r) (2.27)
şeklinde ifade edilebilir.
Bu özdeğer denkleminin çözümü fotonik kristaller içinde yol alacak dalganın öz
frekanslarını verir. Bu frekanslara karşılık gelen öz vektörler bize alan profillerini verir.
Periyodik potansiyel içinde bulunan bir parçacığa ait dalga fonksiyonu ilk defa Bloch
tarafından bulunmuştur ve bu yaklaşım Bloch teorisi olarak bilinir (Bloch 1928). Boş
uzayda bir dalga = a bağıntısına uyan, ilerleyen dalga formunda yayılır. Burada
a sabit bir genlik, üstel fonksiyon ilerleyen dalgayı ifade eder. Kristallerde ise, iletim
elektronları ilerleyen dalga formunda değil, Bloch fonksiyonları biçiminde yayılır:
( ) = ( ) (2.28)
Bu denklemde görülen sabit bir genlik değildir, kristalin periyodikliğine sahiptir.
Diğer
bir deyişle, . Burada R örgü vektörüdür. Bloch teoremine göre,
ortamda yol alan dalganın özfonksiyonları da aşağıdaki gibidir:
E(r) = Ek(r)ejk·r
(2.29)
H(r) = Hk(r) ejk·r
(2.30)
k vektörü dalganın hareketinin yönünü ve uzaysal frekansını gösterir, r vektörü ise
uzayda herhangi bir noktayı gösterir.
2.3 Fotonik Kristallerin Bant Yapısı
Fotonik kristal ve yasaklı bant aralığı kavramları ilk defa Yablonovitch tarafından 1987
yılında yayımlanan bir makalede ele alınmıştır (Yablonovitch 1987). Yarıiletkenlerde
elektronik bant aralığı gibi fotonik kristallerde de yasak bir frekans bandı
15
varolabilmektedir. Bunun anlamı, EM dalgalar bu bant aralıklarında belirli yönlerde ve
dalga boylarında yayılamazlar. EM dalgaların yayılamadığı bu aralığa fotonik band
aralığı denir. Bu durum yarıiletkenlerde valans ve iletim enerji bantları arasında yasak
bant aralığı oluşturur (Joannopoulos vd. 2008). Işığın bu ortamda periyodik özelliğin
bozulması ile hapsedilmesi ve yönlendirilmesi mümkündür.
Fotonik kristallerin fiziksel özelliklerinin ve bu yapılara gelen EM dalgaların kristal
içindeki hareketinin belirlenmesi için özdeğer denklemlerinin bulunması gerekir.
Fotonik kristallerin zaman frekansına karşı uzaysal frekansını (2.20) denklemine göre
aşağıdaki gibi yazabiliriz:
(2.31)
(2.32)
Bu özdeğer denkleminin özvektörleri ile dalganın yapıdaki alan dağılımını, özdeğerleri
ile de her bir k vektörü için ilgili frekansı bulabiliriz. Bu denklemin sonucunda ortaya
çıkan frekanslar k ekseni boyunca süreklidir. Bu sürekli ωm(k) fonksiyonları, her bir m
sayısı için bir bant oluştururlar. ωm(k) fonksiyonlarının bulunmasıyla bant diyagramı
oluşturulur. Bu bant diyagramları eğer herhangi bir bölgede birbirinden ayrılırsa,
frekansı bu aradaki boşluğa denk gelen dalgalar yol alamaz. Fotonik kristal yapı
içindeki bu boşluğa “yasaklı bant aralığı” denir. İki veya üç boyutlu fotonik kristallerin
birçok çeşidi fotonik bant aralığına sahiptir. Bu ışığın tamamının yansıdığı bir aralık
olarak bilinir. Fotonik bant aralığı önemli sonuçlara yol açar. Eğer belirli bir frekansta
ışık kaynağı fotonik kristal içine yerleştirilirse, kaynaktan yayılan ışık kristal içinden
çıkamaz. Sonuç olarak enerji kristal içine hapsedilmiş olur.
Kristal içerisindeki EM enerji belirli bir hızda yol alır. Bu hıza “grup hızı” denir. Bu hız
ωm(k) fonksiyonlarının bulunmasından sonra aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
16
( )g k = ( )m k = ( )m
x
k
kx +
( )m
x
ky
k+
( )m
y
kz
k (2.33)
Kristalin elektronik özellikleri incelendiğinde, elektronlar valans ve iletkenlik bandında
bulunur. Valans bandı ve iletkenlik bandı arasında elektronların bulunmasının yasak
olduğu (durum yoğunluğu sıfır olan) band aralığı vardır. Aynı şekilde fotonik
kristallerde fotonların hareketini düşündüğümüzde, fotonlar valans bandına benzer
dielektrik band, iletkenlik bandına benzer hava bandı içersinde yer alır. Işık enerjisi
yüksek dielektrik bölgesinde yoğunlaşırsa düşük frekans bandında yer alır. Bu band
dielektrik band olarak adlandırılır. Enerji düşük dielektrik sabitli bölgelerde
yoğunlaşmış ise yüksek frekans bandında yer alır, buna da hava bandı denir. Hava bandı
ve dielektrik band arasında fotonların bulunmasının yasak olduğu bölgeye fotonik bant
aralığı denir. Fotonik bant aralığı örneği şekil 2.10’da gösterilmiştir.
Şekil 2.10 Genel fotonik bant aralığı gösterimi
Üç boyutlu fotonik kristal üretiminde yaşanan teknolojik zorluklar nedeniyle iki boyutlu
yapılarla yapılan çalışmalar daha yaygındır. İki boyutlu fotonik kristal yapılardan hava
17
ortamında kare örgü halinde dizilmiş dielektrik çubuklar ve dielektrik ortam üzerinde
üçgen örgü şeklinde oluşturulan hava dolu boşluklar literatürde sıkça rastlanılan
örneklerdendir. Bu nedenle bu iki yapının özelliklerini inceleyecek olursak:
2.3.1 Kare örgülü fotonik kristaller
Kare örgülü bir fotonik kristalin özelliklerini inceleyelim. Kare örgüye göre dizilmiş
dielektrik çubuklardan oluşan fotonik kristal şekil 2.11.a’daki gibidir:
Şekil 2.11.a. Kare örgü şeklinde dizilmiş silindirik çubuklardan oluşan fotonik kristal
(Örgü sabiti a, silindirik çubukların çapı 0,2a’dır) b. Ters uzayda simetri
noktaları Γ, X ve M dir.
Şekil 2.11.a’daki yapının geometrisi ters uzayda şekil 2.11 (b)’ de verilmiştir. Bu
yapının yasaklı bant aralığını hesaplayabilmek için indirgenemez Brillouin alanlarının
kenarlarına denk gelen k dalga vektörlerinde yapının harekete izin verdiği frekansları
hesaplamak gerekir. Bir bandın minimum ve maksimumları neredeyse her zaman bu
Brillouin alanının uçlarında görülür. Şekil 2.11.b’deki simetri noktalarından geçen
üçgen boyunca frekansları düzlem dalga metodu ile çözmek mümkündür (Johnson ve
Joannopoulos 2001).
(a) (b)
18
Şekil 2.12 Şekil 2.11’deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında
dispersiyon diyagramları (Üstün 2011)
Şekil 2.12’de düzlem dalga metoduyla indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında
yapılan simülasyonların sonuçları gösterilmektedir. Şekil 2.12.a TM kipi için, şekil
2.12.b ise TE kipi için oluşturulmuş diyagramlardır. TM kipinde elektrik alan çizgileri
çubuklara paralel iken, TE kipinde diktir. Şekilde görüldüğü üzere TM kipi için band
boşluğu oluşmuştur. TE kipi için ise band boşluğu oluşmamıştır. TM kipi yapıya
gönderildiğinde ışığın bir kısmı bazı frekanslarda (fotonik bant aralığı içindeki
frekanslarda) tam yansımaya uğrar, fotonik bant aralığı dışındaki frekanslarda ise
kırılarak geçer. TM kipin için elektrik alan çubuklara paralel olduğudan yüksek
yoğunlaşma faktörü mümkündür (Joannopoulos vd. 2008). TE kipinde ise, elektrik alan
çizgileri bazı noktalarda, elektrik alan enerjisini dielektrik çubukların dışına doğru
zorlayan sınırlarla karşılaşır. Bu da yüksek yoğunlaşma faktörünü engeller. Bu yüzden
TE kiplerinde band aralığı görülmez.
2.3.2 Üçgen örgülü fotonik kristaller
Üçgen örgüye göre dizilmiş bir fotonik kristal yapıyı inceleyelim. Bu yapı dielektrik
plaka üzerine açılan silindirik hava boşluklarından oluşan bir fotonik kristal olsun (Şekil
2.13).
19
Şekil 2.13.a. Üçgen örgüye göre dizilmiş silindirik deliklerden oluşan fotonik kristal
(Örgü katsayısı a, deliklerin yarıçapı 0,3a’dır). Şekilde görülen paralelkenar
hesap edilen hücredir), b. Ters uzayda simetri noktaları
Şekil 2.14 Şekil 2.13’deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında
dispersiyon diyagramları (Üstün 2011)
Şekil 2.14’de düzlem dalga metoduyla indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında
yapılan simulasyonların sonuçları gösterilmektedir. Şekil 2.1.a TM kipi için, şekil
2.14.b ise TE kipi için oluşturulmuş diyagramlardır. Üçgen örgülü fotonik kristalde TM
kip için band boşluğu oluşmamışken, TE kip için bir band boşluğu oluşmuştur. TE
kipinde manyetik alan çubuklara paralel iken elektrik alan çizgileri çubuklara diktir. TE
kipinde kaynaktan gönderilen ışığın bir kısmı yansırken bir kısmı kırılarak geçer.
Manyetik alan vektörü hava boşlukları ile dielektrik alan arasındaki yüzeye paralel
olduğu için sürekliliğe sahiptir. Bu yüzden farklı yoğunlaşma faktörleri oluşur. Ancak
20
TM kipinde manyetik alan ara yüzeye dik olduğundan yoğunlaşma faktörü engellenir.
Bu yüzden dielektrik plaka üzerine açılmış üçgen örgülü silindirik hava boşluklu yapıda
TM kipi için fotonik bant aralığı görülmez.
2.4 Fotonik Kristal Nokta ve Çizgi Kusuru
Fotonik kristallerde nokta ve çizgi şeklinde örgü kusuru oluşturmak mümkündür. Örgü
kusuru ışığın geri yansımasını önlemekte ve ışığın hapsedilmesini sağlamaktadır. Nokta
kusuru, ışığı tuzaklayan kavite gibi, çizgi kusuru ise dalga kılavuzu gibi davranır. İki
boyutlu fotonik kristallerde, sütunların hareket ettirilmesi, boşlukların doldurulması,
sütunların ve boşlukların büyüklüklerinin değiştirilmesi ile örgü kusuru oluşturulabilir.
Bir fotonik dalgakılavuzu, bir dalgakılavuzu bükümü ve iki boyutlu bir fotonik kristal
içindeki bir mikrokavite şekil 2.15 ’de gösterilmiştir.
Şekil 2.15 İki boyutlu bir fotonik kristal içindeki, a. Bir fotonik dalgakılavuzunun, b.
Bir dalgakılavuzu bükümünün ve c. Bir kavitenin gösterimi (Thylén 2004)
Fotonik kristalin bant aralığı içindeki bir frekans ile dalgakılavuzu içinde yayılan ışık,
hapsedilebilir ve dalgakılavuzu boyunca yönlendirilebilir (Joannopoulos vd. 1995,
Nagpal ve Sinha 2004). Işık, fotonik bant aralıklı yapılarda kusurlar oluşturarak
kılavuzlanabilir. Bu yüzden, fotonik kristallerde örgü kusuru (defect) oluşumu oldukça
önemlidir. Örgü kusuru fotonik bant aralığındaki frekanslarda kılavuzlu kip oluşturur.
21
2.5 Fotonik Kristal Filtre
Fotonik kristal optik filtre, fotonik kristal dalgakılavuzları ve kavite uygulamalarının bir
örneğidir. Belirli frekanslı bir ışık fotonik kristal dalgakılavuzu boyunca kılavuzlanır,
daha sonra bitişik bir fotonik kristal kavite tarafından yakalanır, son olarak da kaviteden
dışarı yayınlanır. İki boyutlu bir fotonik kristal küçük optik filtrenin şematik gösterimi
Şekil 2.16.a’daki gibidir (Noda vd. 2003). Şekil 2.16.b’ de dalgakılavuzu yakınında
oluşturulmuş bir tek kusur gösterilmektedir. Rezonans frekansındaki ışık kusur
tarafından yakalanır ve yayınlanır. Diğer frekanslardaki ışık dalgaları fotonik kristal
dalgakılavuzu boyunca etkilenmeden ilerlerler.
Şekil 2.16 Fotonik kristal içindeki bir tek kusur tarafından fotonların yakalanması ve
yayınlanması (Noda vd. 2003)
Fotonik kristal dalgakılavuzu temelli optik filtrelerin tasarlanması ve sayısal
çözümlenmesi için optik özelliklerinin bilinmesi gerekir. Fotonik kristalin fotonik bant
yapılarını içeren dağınım özelliklerinin, kiplerinin hesaplanması gereklidir. Fotonik
kristalin bant yapılarını hesaplamak için pek çok yöntem mevcuttur. Düzlem dalga
yayılma metodu (Johnson ve Joannopoulos 2001), çok katlı saçıcı teorisi (the Korringa-
Kohn-Rostoker metodu) (Leung ve Qiu 1993), transfer matrisi metodu (Pendry ve
MacKinnon 1992), sonlu fark metodu (Qiu ve He 2000) bu metotlardan bazılarıdır.
Tek kusur
rezonans
frekansı fi
f1, f2, ….fi,…
22
Fotonik kristallerde dalga yayılımını simule etmek için kullanılan metotlardan bazıları;
sonlu-fark-zaman bölgesi (finite-difference–time-domain, FDTD) (Taflove ve Hagness
2000), öz kip açılımı (Bienstman vd. 2001) ve transfer matrisidir (Peschel vd. 2002).
23
3. MATERYAL VE YÖNTEM
Işık özelliklerinin kontrol edilmesi optik tümleşik devrelerin geliştirilmesi bakımından
oldukça önemlidir. Bu tezin amacı da, fotonik kristal dalga kılavuzu temelli küçük
boyutlu optik filtre geliştirmek ve sayısal olarak çözümlemektir.
Öncelikle kare örgülü hava düzleminde silindirik dielektrik çubuklar oluşturularak
fotonik kristaller elde edilecektir ve bu yapıların bant diyagramları elde edilecektir. Bant
yapıları ve EM kipleri düzlem dalga açılımı yöntemi kullanılarak belirlenecektir.
Ardından bu yapılarda çizgi kusuru oluşturulacaktır (Bağcı ve Akaoğlu 2012).
Oluşturulan çizgi kusuruna uygun frekansta dalga kılavuzu bir ışık kaynağınca
uyarıldıktan sonra dalga kılavuzunun yansıma ve geçirgenlik özellikleri sayısal
yöntemlerle çözümlenecektir.
Ardından, dalga kılavuzu yakınında bir mikrokavite oluşturularak dalga kılavuzu
içerisinden ilerleyen ışının yansıma spektrumu elde edilecektir. Mikrokavite sayısı
aralarındaki mesafeler aynı kalacak şekilde artırılarak yansıma spektrumundaki
değişiklikler incelenecektir. Bu işlemler çizgi kusurunun her iki tarafına da
mikrokaviteler oluşturularak tekrarlanacaktır. Arka arkaya sıralı (cascaded)
mikrokaviteler çizgi kusurunun her iki tarafında oluşturularak yansıma spektrumu
üzerindeki etkileri incelenecektir. Mikrokavitenin boyutu, birden fazla saçıcının
kaldırılması ile artırılarak yansıma spektrumu üzerindeki etkileri incelenecektir.
Dalgakılavuzu-mikrokavite arasındaki mesafenin artırılmasının, yansıma spektrumunda
meydana getirdiği değişiklikler analiz edilecektir. Son olarak, fotonik kristaller üzerinde
gerçek uygulamalarda karşılaşılabilecek istem dışı oluşan durumların etkileri
incelenecektir.
24
Şekil 3.1.a. Tek kaviteli çift taraflı filtre, b. Tek taraflı iki kaviteli filter, c. Arka arkaya
sıralı (cascaded) kaviteli çift taraflı filtre (Lin vd. 2005)
Fotonik kristallerin bant diyagramlarının elde edilmesi için düzlem dalga açılımı
yöntemi kullanılacaktır. Fotonik kristal dalga kılavuzlarının geçirgenlik ve yansıma
spektrumları ise zaman bölgesinde sonlu farklar (FDTD) yöntemi ile hesaplanacaktır.
3.1 Düzlem Dalga Açılımı Yöntemi
Düzlem dalga açılımı (DDA) yöntemi, kristallerin bant yapısının hesaplanmasında
kullanılan yöntemlerden bir tanesidir (Sözüer 1991). DDA yöntemi, dielektrik
fonksiyonun ve EM alan çözümlerinin düzlem dalgalar üzerinden Fourier serisine
açılabileceği varsayımına dayanır.
Ters örgüde öteleme vektörleri,
G = hb1 + kb2 + lb3 ; h, k, l Z (3.1)
bi+ aj = 2 i,j
kullanılarak oluşturulan eiG·r
biçimindeki fonksiyonlar ortonormal tam küme
oluşturdukları
r = (3.2)
25
için, (2.20) ve (2.24) denklemlerinin çözümü olarak bu fonksiyonlar üzerinden Fourier
serisine açılabilen
(3.4)
eşitlikler yazılır. Burada ve terimleri sırasıyla, elektrik ve manyetik alanların
Fourier açılım katsayıları ve sabit vektörlerdir. Ek(r) ve Hk(r) ise Bloch biçimindeki
vektör alanlardır. k I. Brillouin bölgesi içerisinde kalan indirgenemez dalga vektörüdür.
(2.20) denkleminde verilen hermisyen operatörün, Θ= x , temsil ettiği
fiziksel sistemin bant yapısının, , belirlenmesi için gerçel özdeğerlerinin k
dalga vektörünün fonksiyonu olarak bulunması gerekir. Bunun için Hk(r) çözümü (2.20)
denkleminde yerine konularak;
=
= (3.5)
elde edilir. skaler bir fonksiyon olmak üzere, bu eşitlik;
= + (3.6)
vektör özdeşliği yardımıyla,
= (3.7)
26
şeklinde yazılır ve türevsel ifadesi cebirsel ifadeye dönüştürülür. (r)
fonksiyonunun da, dielektrik sabiti de periyodik olduğu için, Fourier serisine
açılarak diğer dolanım ifadesi de aynı şekilde cebirsel bir ifadeye dönüştürülür:
(r) = (3.8)
Burada , sabit Fourier katsayılarıdır. Bu ifade (3.7) de yerine konulursa,
-ΣG’ X = (3.9)
yazılır. (3.6) de verilen vektör özdeşlik ve dönüşümü yardımıyla,
ΣG = ΣG (3.10)
sadeleştirilmiş cebirsel ifade elde edilir. Eşitliğin her iki tarafındaki G üzerinden
toplamların içerisindeki ifadelerin eşit olması ile yukarıdaki eşitlik tüm düzlem dalga
önerileri için sağlanabilir:
(k+G’) x = (3.11)
Manyetik alan için Gauss yasası (manyetik alanın enine olma koşulu) (3.4) denkleminde
verilen çözüm önerisi için;
= 0
) = 0 (3.12)
(k+ G’)· = 0 ;
şeklinde yazılır. Eninelik koşulu (3.12) denklemi de AxBxC = B(A·C) – C(A·B) vektör
özdeşliği ile birlikte kullanılarak düzlem dalga çözüm önerileri için,
27
= (3.13)
elde edilir.
Yukarıda yapılan işlemler sonucunda, diferansiyel operatörler içeren 2.20’ deki ana
denklem, cebirsel bir denkleme dönüştürülmüş olur. Bu sayede verilen bir k dalga
vektörü için açısal frekans değerleri ( ), bu cebirsel ifadenin çözülmesiyle
belirlenir. İşlemler indirgenemez Brillouin bölgesindeki bütün dalga vektörleri için
uygulanarak sistemin bant yapısı elde edilir.
κ=k+ G dalga vektörüne dik iki birim vektör aşağıdaki gibi seçilebilir (Pendry 1996) :
(3.14)
= (3.15)
Burada incelenen yapının yüzeyine dik birim vektördür. , ve k+G vektörleri
birbirlerine diktir ve sağ el sistemi oluştururlar (Sakoda 2001):
(3.16)
(3.13) eşitliği göz önünde bulundurulduğunda manyetik alanın Fourier bileşenleri
tanımlanan birim vektör cinsinden,
= + (3.17)
şeklinde yazılabilir (Sakoda 2001). (3.13) eşitliği, verilen vektörel bileşenler de
katılarak, matris şeklinde aşağıdaki gibi yazılır:
28
( G’, G) = (3.18)
(3.19)
Elemenları olan 2N x 2N elemanlı matris hermisyendir ve özdeğerleri
diagonalizasyon işlemi ile elde edilir.
DDA yöntemi ile band yapısı hesaplamada, herhangi bir k vektörüne karşılık gelen
( n=1, 2, 3…) öz frekanslarını bulmak için sonsuz sayıda G’ vektörü kullanılması
gerekir. Hesaplama olanaklarınının sınırlı olmasından dolayı, istenilen hassaslıkta
sonuçlar elde etmeye yetecek miktarda G’ vektörü kullanılır.
3.2 Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD)
3.2.1 Giriş
Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD), EM problemlerin çözümünde sıkça
kullanılan sayısal yöntemlerden biridir. FDTD yöntemi ile karmaşık problemler
çözülebilir, ancak genellikle çözümler için büyük bellek ve zaman gerekebilir. FDTD
yöntemi FD olarak bilinen sonlu farklar yönteminin Yee (1966) tarafından Maxwell
Denklemlerine uyacak şekilde zaman bölgesi için geliştirilmesiyle oluşmuş bir
yöntemdir. Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD) Maxwell
denklemlerindeki kısmi türev operatörlerinin, merkezi farklara dayalı sonlu farklar
karşılıkları ile değiştirilerek doğrudan zaman ve konum bölgelerinde
sayısallaştırılmasına dayanır.
FDTD yönteminde problem uygun ızgara koordinat düzlemine yerleştirilir. Maxwell
denklemlerindeki diferansiyel operatörler sonlu farklar ile hesaplanır. Izgara
düğümlerindeki alanlar ayrık zaman adımlarında (nΔt) bulunur. Bu işleme zamanda
29
adımlama (ilerleme) denir. Herhangi bir düğümde, t anındaki alan bir önceki düğüm ve
komşu düğümlerdeki alanlardan hesaplanır.
Taylor serisi açılımı ile f(x) fonksiyonu, x noktasından kadar ötelenirse
(3.20)
(3.21)
ifadeleri yazılabilir.
İkinci denklemin birinciden çıkartılmasıyla
(3.22)
elde edilir. ile bölündüğünde
(3.23)
ifadesi bulunur.
Soldaki ifade noktasındaki fonksiyonun türevi ve δ2 ye bağlı olan gösterilmeyen
sonsuz sayıdaki terimlerin toplamına eşittir. Denklemi yeniden düzenlersek,
(3.24)
Büyük O tüm açıkça gösterilmeyen terimler ve parantez içindeki değeri temsil eder.
Örneğin , yazılmamış terimlerden nin en küçük derecesini gösterir. Eğer yeteri
kadar küçükse türeve uygun bir yaklaşım O ile temsil edilen tüm terimleri ihmal ederek
elde edilebilir. Böylece, merkezi fark yaklaşımı
x=x0
30
(3.25)
ile verilir.
3.2.2 Yee algoritması
İlk olarak Yee tarafından geliştirilen, merkezi fark yaklaşımı kullanılan FDTD
algoritması aşağıdaki gibi özetlenebilir (Schneider 2011):
1. Ampere ve Faraday yasalarındaki türevler sonlu farklar olarak ifade edilir. Elektrik ve
manyetik alanların zaman ve konuma göre ötelenmesi için zaman ve konum parçalı
şekilde tanımlanır.
2. Elde edilen fark denklemleri (bilinmeyen) gelecekteki alanları (bilinen) geçmiş
alanlar açısından ifade eden “güncelleme denklemlerini” elde etmek için çözülür.
3. Bir zaman-adımı ilerideki manyetik alanlar hesaplanır, böylece bu alanlar artık
bilinen (geçmiş) alanlar olur.
4. Bir zaman adımı ilerideki elektrik alanlar hesaplanır, böylece bu alanlar artık bilinen
(geçmiş) alanlar olur.
5. Önceki iki adım alanlar elde edilene kadar gereken süre boyunca tekrar edilir.
Bir boyut için algoritma aşağıdaki gibidir
3.2.3 Bir boyutlu “güncelleme denklemleri”
Sadece x yönünde değişimin olduğu bir boyutlu düzlemde, elektrik alanın sadece z
bileşeninin olduğun düşünülürse, Faraday yasası aşağıdaki gibi yazılır:
x=x0
31
Amper yasası,
şeklinde yazılır.
(3.26) ve (3.27) eşitliklerinden elde edilen iki skaler denklem
şeklindedir. İlk denklem manyetik alanın zamana göre türevini elektrik alanın konuma
göre türevi cinsinden verir. Diğer taraftan, ikinci denklem elektrik alanın zamana göre
türevini manyetik alanın konuma göre türevi cinsinden verir.
Sonraki adım (3.28) ve (3.29) eşitliklerindeki türevleri sonlu farklar ile değiştirmektir.
Bunu yaparken zaman ve konumun parçalı hale getirilmesi gerekir. Alanın konumda ve
zamanda nerede verildiğini belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılacaktır,
(3.30)
, (3.31)
noktalar arası konumsal uzaklık, ise zamansal uzaklıktır.
32
Şekil 3.2 Elektrik ve manyetik alan düğümlerinin (nodes) konum ve zamanda
konumlanması (Schneider 2011)
m konum adımlarına, q ise zaman adımlarına karşılık gelir. Üstel olarak yazılan q lar da
zaman adımlarını temsil eder.
Sadece bir konumsal boyutumuz olmasına rağmen, zaman başka bir boyut olarak
düşünülebilir. Böylece problem iki boyutlu olur. Buradaki soru şudur: elektrik ve
manyetik alan düğümleri (nodes) zaman ve konumda nasıl düzenlenebilir? Bu sorunun
cevabı şekil 3.2’de verilmektedir. Şekil 3.2’de manyetik alan düğümleri daire şeklinde,
elektrik alan düğümleri ise üçgen şeklinde gösterilmiştir. Oklarla belirtilen nokta, Hy
için güncelleme denklemi elde etmek için fark denkleminin yazıldığı yerdir. Kesikli
çizginin altında kalan bütün alanlar bilinen (geçmişte), üstündeki alanlar ise bilinmeyen
(gelecekte) olarak kabul edilir. FDTD algoritması geçmiş alanlardan gelecek alanları
elde etmeyi sağlar.
33
Şekil 3.2’de gösterildiği gibi, Faraday yasasını konum-zaman
noktasında uygulayalım.
Zamana göre türev, ve içeren sonlu farklar ile değiştirilir
(yani, manyetik alan sabit konumda fakat iki farklı zamanda). Konuma göre türev ise
ve ile değiştirilir (yani, elektrik alan iki farklı konumda fakat aynı
zamanda).
Şekil 3.3’de gelcek ve geçmişi bölen çizgi yarım zaman adımı ileri taşınmıştır.
Belirtilen nokta Ez için güncelleme denklemini elde etmek için fark denkleminin
yazıldığı yerdir.
Şekil 3.3 Manyetik alanı güncelledikten sonra konum-zamanın konumlanması
(Schneider 2011)
(3.32)
34
Buna göre,
için çözersek,
ifadesini elde ederiz.
Bu denklem özel olarak Hy için “güncelleme denklemi” dir. Herhangi bir manyetik alan
düğümüne uygulanabilen genel bir denklemdir. Bu denklem Hy’nin gelecekteki
değerinin sadece bir önceki değerine ve komşu elektrik alanlara bağlı olduğunu gösterir.
(3.34) denklemini bütün manyetik alan düğümlerine uygularsak, geçmiş ve gelecek
değerleri bölen çizgi, yarım zaman adımı kadar ilerlemiş olur.
Benzer şekilde, Amper yasası (denklem 3.29), şekil 3.3 de gösterilen
konum-zaman noktasında uygulanırsa,
elde edilir.
Soldaki zamana göre türev, ve içeren sonlu fark ile değiştirilirse, ve
(3.35)
35
sağdaki konuma göre türev, ve içeren sonlu fark ile
değiştirilirse
ifadeleri bulunur.
için çözüldüğünde,
eşitliği elde edilir.
(3.37) denklemi Ez alanı için güncelleme denklemidir. Bu denklemin indisleri geneldir
ve her Ez düğümü için aynı denklem geçerlidir. Manyetik alanın güncelleme
denklemine benzer şekilde Ez nin de gelecekteki değeri yanlızca geçmiş değerine ve
komşu manyetik alanlara bağlıdır. (3.37) denklemini her elektrik alan düğüm
noktalarına uygularsak, geçmiş ve geleceği ayıran çizgi ileri doğru bir yarım zaman
adımı ilerler.
Sonuç olarak belli bir andaki elektrik (manyetik) alan değeri, aynı noktada bir önceki
zaman adımında (Δt kadar önceki) elektrik (manyetik) alan değerine ve komşu manyetik
(elektrik) alanlara göre hesaplanır. Elektrik ve manyetik alanlar bu şekilde ilerler.
3.2.3.1 Courent koşulu
Güncelleme katsayıları ve enerjinin bir oranı (bir zaman ve konum
adımında yayılımı) şeklinde gösterilir. EM enerjinin yol alabildiği maksimum hız
boşluktaki ışık hızıdır ( ), dolayısıyla bir zaman adımında enerjinin yol
alabileceği maksimum mesafe dir. oranı Courant sayısı olarak bilinir ve
36
Sc olarak gösterilir. Sc simulasyonun kararlılığını belirlemede önemli bir rol oynar.
Denklem 3.34 ve 3.37’deki katsayıları yazarken ve değerlerini
aşağıda yerine koyarsak,
ifadelerini elde ederiz.
Burada boş uzayın karakteristik empedansıdır.
Zaman adımları büyük olursa, FDTD simülasyonlarında kısıtlamalar olur, algoritma
kararsız sonuçlar üretir. Enerjinin her zaman adımı için bir konumsal adımdan daha
fazla yayılması mümkün değildir ( ). Bunun nedeni FDTD algoritmasında her
düğüm yanlızca en yakın komşularını etkiler. Tek boyutlu simülasyon için
düşünüldüğünde,
kullanılır.
Şekil 3.4 Manyetik ve elektrik alanlar arasındaki konumsal ötelemeyi gösteren bir
boyutlu FDTD uzayı (Schneider 2011)
37
O halde FDTD denklemlerinin kararlı olabilmesinin şartı seçilen zaman adımında
dalganın maksimum ilerlemesinin konum adımını aşmamasıdır. Başka bir deyişle, dalga
hareketinin bir zaman adımında konum adımında kalabilmesi için zaman adımı buna
uygun seçilmelidir.
Bir boyut için FDTD algoritması yukarıda anlatıldığı gibidir. Boyutların ikiye ve üçe
çıkmasıyla işlemler diğer boyutlar için de yapılır (Schneider 2011).
3.2.4 FDTD Yönteminin avantajları
Çok geniş frekans aralığı için çözüm vermektedir.
FDTD rezonans frekansının tam bilinmediği veya herhangi bir anda istenilen
geniş bandlı sonuçların elde edilemediği uygulamalarda uygun bir yöntemdir.
FDTD yöntemi ile ilgilenilen yapılar kolay ve yüksek doğrulukta
modellenebilmektedir.
FDTD metodu ile elektrik ve manyetik alan bileşenleri hesap uzayının her
noktasında doğrudan bulunabilir.
38
4. BULGULAR VE TARTIŞMA
Optik mikrokaviteler birçok fotonik uygulamaları için temel yapı taşlarıdır. Işığı kontrol
etme özelliğinden dolayı fotonik kristaller optik filtre, sensör, yarıiletken lazerler
(Villeneuve 1995) gibi pek çok uygulamaları vardır. Örneğin, ultra-küçük dalgaboyu
filtreler (Takano vd. 2004, Shinya vd. 2005) anahtarlama cihazları (Notomi 2005),
geciktirme cihazları (Yanik 2004) telekominikasyon alanında uygulamalar için üzerinde
yoğun çalışılan konulardır. Bu yapılar basitçe ölçeklendirilerek farklı frekans bölgeleri
için tasarlanabilir olduğu için, uygulama alanları oldukça genişlemiştir. Bunun yanı sıra,
fotonik kristallerde farklı kavite yapılarıyla değişik filtreler yapmak mümkündür. Kare,
dairesel, hegzagonal, eliptik kavite şekilleriyle filtre uygulamaları geliştirilmiştir
(Robinson ve Nakkeeran 2012).
Literatürde sıkça görülen bir diğer dalgakılavuzu kavite uygulaması ise “kanal düşme
filtre” lerdir. (Channel Drop Filter). İki boyutlu, kare örgülü fotonik kristallerle kanal
düşme filtre çalışmaları oldukça yaygındr. Örneğin, fotonik kristal halka rezonatörler
kullanılarak T şeklinde kanal-düşme filtre uygulaması Djavid vd. ( 2008) tarafından
gösterilmiştir. Bunun yanı sıra iki boyutlu kanal düşme filterde hava deliklerinin üçgen
örgüsü de incelenmiştir (Qui ve Jaskorzynska 2003). Ayrıca, hava deliklerinin boyutu
değiştirilerek normalize frekans değişimi incelenmiştir. Başka bir çalışmada, polisitren
kullanılarak iki boyutlu yüksek kalitede organik fotonik kristal filtre üretilmiştir (Hu vd.
2005).
4.1 Modellenen Fotonik Kristal Filtrenin Band Yapısı
Bu tezde tasarlanan optik filtreler fotonik dalga kılavuzu boyunca ilerleyen ışık demeti
ile yakınındaki mikro-kavitenin (ya da kavitelerin) rezonans durumunda etkileşmesi
üzerine temellenmiştir. Filtreleme, rezonans frekansındaki ışığın kavite tarafından
yakalanması ve yayınlanmasıyla oluşur. Bu çalışmada, kare örgülü fotonik kristal olarak
iki boyutlu silikon silindirik dielektrik çubuklar kullanılmıştır. Çubuklar hava
39
ortamındadır. Çubukların yarıçapı 0,18a dır. Burada a örgü sabitidir ve değeri 1000nm
olarak alınmıştır. Silikonun 20° C’de dielektrik sabiti =11,56 ve kırıcılık indisi 3,46
‘dir.
Bu yapının çizgi ya da nokta kusuru oluşturulmadan önceki TM ve TE kipleri için band
diyagramları düzlem dalga açılımı yöntemi ile elde edilmiştir (Şekil 4.1). Kare örgüde
yasaklı band aralığını hesaplayabilmek için indirgenemez Brilliouin alanlarının
kenarlarına denk gelen k dalga vektörlerinde yapının izin verdiği frekanslar düzlem
dalga açılımı metodu kullanılarak hesaplanmıştır. TM ve TE kipleri için band yapıları
tamamen farklıdır. TM için fotonik band aralığı oluşurken, TE için oluşmamaktadır.
Şekil 4.1 Kare örgülü fotonik kristal temelinde kurulmuş 2 boyutlu silindir dielektrik
çubukların fotonik bant yapısı. (Mavi bantlar TM modları ve kırmızı bantlar
TE modları gösterir)
TM manyetik alanın çubuklara dik düzlemde ve elektrik alanın buna dik doğrultuda
olduğu
kutuplanmayı tanımlamaktadır. TE ise elektrik alanın düzleme parallel, manyetik alanın
ise dik olduğu kutuplanmayı belirtmektedir.
TM mod
TE mod
Dalga vektörü
40
Fotonik band aralığında fotonlar güçlü bir yansıma özelliği gösterir ve bant aralığı bu
frekanslardaki ışığın ilerlemesini engeller. Dielektrik çubuklar eksen boyunca öteleme
simetrisine sahip olduğu için, EM dalgalar iki enine polarize kipe ayrılır. TM tek
frekanslı kipleri, TE ise çift frekanslı kiplere ait bandlardır. Dielektrik çubuklarda TM
kipi için mutlak fotonik band aralığı oluşurken, TE kipi için kısmi band aralığı
oluşmaktadır. Bu durumda bu yapıda çubuklar için en uygun olan TM kipidir. Çünkü
TM ışığı sisteme gönderildiğinde ışığın bir kısmı fotonik band aralığı içindeki
frekanslarda tam yansımaya uğrar, bir kısmı ise fotonik band aralığı dışındaki
frekanslarda kırılarak geçer. Fotonik band aralığı içindeki frekanslarda gelen dalgalar ile
birbirini kuvvetlendirerek yansıyan aynı fazda dalgalar birbirini sönümler. Periyodik
yapı içinde ilerleyemez. Birim hücrede TM kipleri için band diyagramına bakacak
olursak, 0,257< ω < 0,440 ( 2πc/a biriminde, c vakum içinde ışık hızı) ve 0,552 < ω <
0,600 frekanslarında fotonik band aralığı oluştuğu Şekil 4.2’ de görülmektedir.
Şekil 4.2 Kare örgüde Brillouin bölgesinde merkezden yüzeye olan mesafede (Г- X
aralığı) TM kipi için bant diyagramı
Ardından bu yapıda ışığın bir noktadan başka bir noktaya iletilmesi için bir sıralık
örgünün kaldırılması ile fotonik kristal dalga kılavuzu elde edilmiştir. Dalga kılavuzlu
Dalga Vektörü
41
yapıda TM bandı için diyagramı çizilmiştir. Dalga kılavuzlu yapıda TM bandı için
kılavuzlu kip oluştuğu Şekil 4.3’te görülmektedir. Dalga kılavuzlu yapıda TE bandı için
diyagrama bakacak olursak, kılavuzlu kip oluşmadığı görülmektedir (Şekil 4.4).
Şekil 4.3 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik
kristalin TM bandı için diyagramı
Şekil 4.4 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik
kristalin TE bandı için diyagramı
Dalga
kılavuzu bandı
Dalga vektörü
Dalga vektörü
42
Mikrokaviteli fotonik kristal yapılarda Kalite faktörü Q oldukça önemlidir. Q-faktörü
kavite içinde kayıpların bir ölçüsüdür (Pierre vd. 1996). Q-faktörü aşağıdaki gibi
hesaplanır,
Q = ω0E/ P = - ω0E/ dE/dt
E depolanan enerji, ω0 rezonans frekansı, P= -dE/ dt harcanan güçtür. Yüksek verimli
tüm optik filtreler, esas olarak yüksek rezonans Q-faktörü ile sağlanır. Mikrokavite-
dalgakılavuzu arasındaki uzaklık (s) arttıkça Q-faktörü artar. Fakat mikrokavite-
dalgakılavuzu arasındaki mesafeyi arttırmak enerji transfer verimliliğini azaltabilir. Bu
yüzden Q-faktörü ve enerji çıkış verimliliği arasındaki dengeyi sağlamak için, optimum
yapıyı bulmak önemlidir. Mikrokavite-dalgakılavuzu arasındaki mesafeye s dersek, s=
2a mesafesinin bunun için uygun olduğu Lin vd. (2005) tarafından gösterilmiştir. Bu
yüzden bu çalışmada mikrokavitelerin dalgakılavuzundan uzaklı s=2a olarak ele
alınmıştır.
Bundan sonra dalga kılavuzunun bir tarafında ve her iki tarafında olmak üzere
mikrokaviteler dielektrik çubukların kaldırılmasıyla oluşturulmuştur. Fotonik kristalde
bir kusur oluşturulduğunda, band aralığı içindeki frekanslar için yansıtıcı duvarlarla
çevrili bir oyuk oluşturulmuş olur. Oyuğun boyutu eğer kipi destekleyecek
büyüklükteyse ışık kaçamaz. Yani bu kusur yasak frekans aralığında yerelleşmiş
(lokalize) bir durum yaratır.
4.2 Dalgakılavuzunun Bir Tarafında Oluşturulan Mikrokaviteli Yapıların
İncelenmesi
Öncelikle dalga kılavuzunun bir tarafında mikrokaviteler oluşturularak yansıma
spektrumu incelenmiştir. Şekil 4.5.a’da görüldüğü gibi, dalga kılavuzuna s= 2a
uzaklıkta bir atomun kaldırılmasıyla mikrokavite oluşturulmuştur (Lin vd. 2005).
43
2a 5a
(a) (b)
(c) (d)
Şekil 4.5 Dalgakılavuzun bir tarafından dielektrik çubukların çıkarılmasıyla elde
edilen:a.1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli, c. 4 mikrokaviteli, d. 8
mikrokavitel fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi
Kaynak olarak gausyen kaynak seçilmiştir. Bunun nedeni gausyen uyarımlar gausyen
kaynak düzlemi ötesine yayılır, oysa ki düzlem dalga uyarımları düzlem dalga kaynağı
kenarlarında aniden kesilir. Gausyen kaynak düzlem dalga benzeri zx-düzlemi (yatay)
yönünde tanımlı uyarımlar (sinyaller) üretir. Gausyen kaynağın frekansı, kılavuzlu kipin
frekans aralığında bir değer olan 0,35 olarak seçilmiştir. Frekans değeri 1/λ olduğuna
göre kaynağın dalga boyu 1/0.35 = 2,857 μm dir. Şekil 4.6’da, dalga kılavuzu boyunca
ilerleyen uygun frekansta ışığın mikrokaviteyle karşılaştığında rezonans durumunda
yerelleşmesi görülmektedir. Şekil 4.6’da band aralığındaki dalgakılavuzu-mikrokavite
rezonans durumu net bir şekilde görülmektedir. Işığın yansıma spektrumu elde
edilmiştir (Şekil 4.7.a).
44
Şekil 4.6 Dalgakılavuzu-mikrokavite etkileşmesi
Re
fle
ctiv
ity
Frequency
-1 kaviteli -2 kaviteli
-4 kaviteli-8 kaviteli
(a) (b)
(c) (d)
Şekil 4.7 Dalga kılavuzunun bir tarafında oluşturulan: a. 1 mikrokavite, b. 5a mesafede
2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrenin
yansıma-frekans grafikleri
45
Mikrokavitelerin sayısı çizgi kusuru boyunca artırılarak yansıma spektrumundaki
değişiklikler incelenmiştir. Kaviteye 5a uzaklıkta yeni bir kavite oluşturulmuştur (Şekil
4.5.b). Işığın yansıma spektrumu hesaplanmıştır (Şekil 4.7.b).
Arka arkaya sıralı (cascaded) kaviteler oluşturularak yansıma spektrumu üzerindeki
değişiklikler incelenmiştir. (Lin vd. 2005) Mikrokavitelerin aralarındaki mesafe aynı
(5a) kalacak şekilde sayısı artırılarak dörde çıkarılmıştır (Şekil 4.5.c). Benzer şekilde bu
durum için yansıma spektrumu elde edilmiştir (Şekil 4.7.c). Mikrokavite sayısı arttıkça
yansıma değerinin 1’e doğru yaklaştığı gözlemlenmiştir. Ayrıca yansıma bandı biraz
daha genişlemiştir. Kavite sayısının Şekil 4.5.d’deki gibi 8’e çıkması durumunda,
yansıma katsayısı R=100% olarak elde edilmiştir (Şekil 4.7.d). Böylelikle kavite
sayısını artırmak filtrenin enerji transferindeki performansını artırır ve daha iyi bir çıkış
verimliliği sağlar.
Kavite sayısı arttıkça Q-faktörü artar, yansıma rezonansı daha geniş bir frekans
aralığında görülür (Şekil 4.7), bu sayede daha etkin bir fotonik kristal filtre elde edilmiş
olur.
4.3 Dalgakılavuzunun Her İki Tarafında Simetrik Oluşturulan Mikrokaviteli
Yapıların İncelenmesi
Yukarıda incelenen tek taraflı kavite durumuna benzer şekilde, dalga kılavuzunun diğer
tarafına simetrik olacak şekilde mikrokaviteler oluşturularak yansıma durumları
incelenmiştir (Şekil 4.8). Bu durumda, optik filtre dalga kılavuzu eksenine göre ayna
simetrisine sahiptir. Yansıma frekans grafiklerine bakacak olursak, iki taraflı
mikrokaviteli fotonik kristallerde, tek taraflıya göre rezonans frekansının biraz daha
arttığı görülmektedir. Bu da Q-faktörünün iki taraflı mikrokaviteli yapılarda tek
taraflıya göre daha fazla olduğunu gösterir.
46
(a) (b)
(c) (d)
Şekil 4.8 Dalgakılavuzun iki tarafından simetrik olarak dielektrik çubukların
çıkarılmasıyla elde edilen: a. 1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli, c. 4
mikrokaviteli, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi.
İki taraflı filtrede sadece bir ya da iki çift mikrokavite ile çıkış yansıma sinyalleri daha
geniş bir frekans aralığında 100% e ulaşmıştır (Şekil 4.9.a,b). Tek taraflı mikrokaviteli
filtreye göre çift taraflı mikrokaviteli yapılarda daha verimli filtreleme elde edilmiştir.
47
(a)
(c)
-1 kaviteli -2 kaviteli
-4 kaviteli -8 kaviteli
(b)
(d)
(a)
(c)
Re
fle
ctiv
ity
Frequency
Şekil 4.9 Dalga kılavuzunun her iki tarafında simetrik olarak oluşturulan: a. 1
mikrokavite, b. 5a mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8
mikrokaviteli fotonik kristal filternin yansıma-frekans grafikleri
Şekil 4.9.d’ de, çift taraflı, 8’er mikrokaviteli yapıda, çok daha geniş bir frekans
aralığında ışık % 100’e yakın bir yansımayla yerelleşmiştir. Şekil 4.10’da, çift taraflı,
8’er mikrokaviteli yapıda mikrokavite-dalgakılavuzu etkileşmesi görülmektedir.
48
Şekil 4.10 Çift taraflı, 8’er mikrokaviteli yapıda mikrokavite-dalgakılavuzu etkileşmesi
4.3.1 Mikrokavitelerin boyutunun artırılmasının filtreye etkisi
Bir diğer değişken olan mikrokavitenin boyutu iki dielektrik çubuğun kaldırılmasıyla a
dan 2a ya çıkartılmıştır. İncelenen 8’er mikrokaviteli optik filtrenin yapısı şematik
olarak şekil 4.11’de gösterilmiştir.
Şekil 4.11 Dalgakılavuzun iki tarafından ikişer dielektrik çubuğun kaldırılması ile elde
edilen fotonik kristal filtrenin şematik gösterimi
49
Bir dielektirik çubuğun çıkarılmasında olduğu gibi, iki çubuğun çıkarılmasıyla çıkış
yansıma sinyalleri 100% ulaşır. Şekil 4.12’de görüldüğü gibi frekans değeri kavitelerin
boyutu artırıldığında 0,387’ den 0,424’e çıkmıştır.
Şekil 4.12 Çift taraflı, 8’er mikrokaviteli yapının band diyagramı,dielektrik çubukların
boyutu a (solda), dielektrik çubukların boyutu 2a (sağda).
4.3.2 Dalgakılavuzu mikrokavite arasındaki uzaklığın artırılmasının filtreye etkisi
Diğer bir değişken olan dalga kılavuzu mikrokavite arasındaki boylamasına uzaklık (s)
2a’dan 3a’ya çıkarılmış (şekil 4.13) ve yapının yansıma spektrumu elde edilmiştir (şekil
4.14).
50
Şekil 4.13 Dalga kılavuzuna 3a uzaklıkta oluşturulmuş 8 er mikrokaviteli optik filtrenin
yansıma spektrumu.
- 8kaviteli, s=3a uzaklıkta
Şekil 4.14 Dalga kılavuzunun her iki tarafında, s=3a mesafe uzaklıkta simetrik birer
dielektrik çubuğun çıkartılmasıyla oluşturulmuş optik filtrenin yansıma
spektrumu.
Şekil 4.14’te dalgakılavuzu-mikrokavite arasındaki uzaklık artırıldığında rezonans
frekansı daha yüksek frekans değerlerine doğru kaymıştır. Frekans değerinin artması Q
faktörünün artmasını sağlar.
51
4.4 Fotonik Kristal Dalgakılavuzu-Mikrokavite Yapılarında Termal Etkinin
İncelenmesi
Bu bölümde hava ortamında dielektrik silindirik çubuklar kullanılarak oluşturulmuş
fotonik kristal filtrede farklı sıcaklık koşullarının yapıya etkisi incelenmiştir. Silikonun
sıcaklığa bağlı kırılma indisi (Erdamar vd. 2012)
nsi (T) =3.46 + 1.85x10-4
(T- T0) 4.1
formülü ile hesaplanır.
T0 = 293 K (20 °C)
nsi (20 °C) = 3.46
Bu denklemden yararlanılarak, sıcaklığı 20 °C den 80 °C’ye kadar artırarak, her sıcaklık
için kırılma indisleri hesaplanmıştır. Her kırıcılık indisi için fotonik kristal filtreler
bilgisayar ortamında yeniden simule edilmiştir. Yansıma spektrumları elde edilmiştir.
Yansıma- frekans grafiklerine baktığımızda frekans değerinin 0,3884 (20 °C’de) den
0,3881 (80 °C’de)’e düştüğü görülmüştür. Bu oldukça küçük bir farktır. Dolayısıyla, bu
da laboratuvar koşullarında silikon temelli fotonik kristal filtre ile yapılan çalışmalarda
yapının sıcaklık değişiminden çok fazla etkilenmediğini göstermektedir.
4.5 Üretimden Kaynaklanan Hataların Fotonik Kristal Filtreye Etkisinin
İncelenmesi
Bu tez çalışmasında fotonik kristaller bilgisayar ortamında modellenmiş ve analiz
edilmiştir. Bilgisayar ortamında elde edilen fotonik kristal filtreler ile laboratuvar
ortamında üretilmiş fotonik kristal filtreler arasında üretimden kaynaklı farklılıklar
olabilir. Bu kısımda fotonik kristallerin laboratuvar ortamında üretilmesi sırasında
fabrikasyondan kaynaklanan hataların filtreleme özelliğini ne kadar etkilediği
incelenmiştir. Bu hatalardan birincisi, üretim sırasında fotonik kristallerin çaplarında
farklılıklar olabilir (Schulz vd. 2010). İkincisi ise her kristal doğru pozisyonda
52
üretilemeyebilir. Fotonik kristallerin bilgisayar ortamında çaplarını ve pozisyonlarını
değiştirerek üretim toleransı simule edebilir (Hagino vd. 2009). Bu çalışmada da fotonik
kristallerin pozisyonları için örgü parametresinin standard sapması 0,02 alınmıştır.
Fotonik kristal silikon dielektrik çubukların çapları + 2 nm değiştirilerek farklı
büyüklükte atomlar kullanılmıştır. Dalgakılavuzunun bir tarafında bir dielektrik
çubuğun kaldırılmasıyla elde edilmiş filtrenin üretim hatası hesaba katılmadan önce ve
katıldıktan sonraki yansıma-frekans diyagramları şekil 4.15’deki gibidir.
Şekil 4.15 Dalgakılavuzunun bir tarafından oluşturulmuş bir mikrokaviteli yapı için a.
üretim hatası hesaba katılmadan önce, b. üretim hatası (fotonik kristallerin
çapı ve pozisyonları belli oranlarda değiştirilir) hesaba katıldıktan sonra elde
edilen diyagramlar
Üretim hataları hesaba katıldıktan sonra elde edilen yansıma-frekans grafiğinde frekans
değerinin 0,3866’dan 0,3858’e düştüğü görülmektedir (şekil 4.15.b.)
Dalgakılavuzunun her iki tarafından simetrik olarak birer dielektrik çubuğun
çıkartılmasıyla elde edilen fotonik kristal filtreyi inceleyelim. Aynı şekilde, dielektrik
çubukların çapları ve pozisyonları değiştirilerek laboratuvar koşulları simule edilmiştir.
Üretim hataları hesaba katılmadan önce ve katıldıktan sonraki yansıma diyagramları
şekil 4.16’da görülmektedir.
53
Şekil 4.16 Dalgakılavuzunun her iki tarafında oluşturulmuş birer mikrokaviteli yapı için
a. üretim hatası hesaba katılmadan önce, b. üretim hatası (fotonik kristallerin
çapı ve pozisyonları belli oranlarda değiştirilir) hesaba katıldıktan sonra elde
edilen diyagramlar
Şekil 4.16.a.’da frekans değeri 0,3884 iken şekil 4.16.b. de 0,3875’ e kaymıştır.
54
5. SONUÇ
Bu çalışmada, öncelikle son yıllarda oldukça fazla ilgi uyandıran fotonik kristallerin
yapısı, genel özellikleri incelendi ve ardında da uygulama olarak birkaç tip fotonik
kristal filtre yapısı tasarlandı ve çözümlendi. Bu çalışmada, optik filtreler
dalgakılavuzunun yakınında mikrokaviteler oluşturularak elde edildi. Yapı olarak iki
boyutlu kare örgü seçildi. Dielektrik malzeme olarak silikon kullanıldı. Fotonik
kristaller bilgisayar ortamında hava üzerine silikon dielektrik çubuklar oluşturularak
modellendi. Öncelikle, yapının birim hücrede band diyagramı düzlem dalga açılımı
yöntemi kullanılarak hesaplandı. Doğrusal olarak bir satırlık örgünün kaldırılması ile
dalga kılavuzu oluşturuldu. Dalga kılavuzlu yapıda band aralığı içinde kılavuzlu kip
elde edildi. Sonrasında dalga kılavuzu yakınında mikrokaviteler oluşturularak rezonans
durumunda ışığın yerelleşmesi (lokalize) sağlandı. Yansıma spektrumlarına bakılarak
etkin filtreleme koşulları araştırıldı.
Kavitelerin boyutları, dalga kılavuzunun bir ve iki tarafında oluşturulması, kavite
sayıları ve dalgakılavuzu-kavite arasındaki mesafe gibi parametreler değiştirilerek
fotonik kristal filtrenin yansıtıcı özellikleri iyileştirilmeye çalışıldı. Birçok değişik
konfigürasyon denendi ve en optimum filtre elde edilmeye çalışıldı.
Yapılan çalışmalar sonucuna göre dalgakılavuzunun her iki tarafında mikrokaviteler
oluşturulduğunda, tek taraflı yapıya göre mikrokavitelerin daha yüksek frekans
değerlerinde rezonans olduğu ve daha etkin filtreleme elde edildiği gözlemlendi. Diğer
bir değişken olan mikrokavitelerin sayısı artırıldıkça rezonans tepe noktasının giderek
belirgin bir dikdörtgen şekle dönüştüğü görüldü. Bu sayede ışığın daha geniş bir frekans
aralığında hapsedildiği anlaşıldı. Bir diğer değişken olan mikrokavitenin boyutunun iki
dielektrik çubuğun kaldırılmasıyla a dan 2a ya çıkartılmasının frekans değerini
yükselttiği tespit edildi. Dalga kılavuzundan 3a uzaklıkta oluşturulan mikrokavitelerin
frekans değerini yüksetttiği, fakat daha dar bir frekans aralığında ışığı localize ettiği
belirlendi.
55
Tezin son bölümünde, bilgisayar ortamında tasarlanıp çözümlenen fotonik kristallere
gerçek uygulamalarda karşılaşılabilecek istem dışı oluşan durumların etkileri
incelenmiştir. İlk olarak, filtre olarak tasarlanan yapıyı içeren aygıtın ortam
sıcaklığından ne kadar etkilendiği araştırılmıştır. Sıcaklık kırılma indisi ilişkisinden yola
çıkılarak, kırılma indisleri farklı sıcaklıklar için belirlenmiştir. Her kırılma indisi için
yansıma spektrumu elde edilmiştir. Sıcaklığın artırılmasıyla frekans değerinde büyük bir
kayma gözlemlenmemiştir. Bu da, laboratuvar koşullarında silikon temelli fotonik
kristal filtre ile yapılan çalışmalarda yapının sıcaklık değişiminden çok fazla
etkilenmediğini göstermektedir. Ayrıca bu yapıların laboratuvar ortamında üretilmesi
sonucunda, hedeflenen yapıdan az ya da çok farklı yapılar elde edilmesi kaçınılmazdır.
Bu çerçevede, üretimden kaynaklı silindir dielektrik çubukların yarıçaplarında
farklılıkların ve pozisyonlarındaki oynamaların etkileri bilgisayar ortamında
çözümlenmiştir. Tezde incelenen filtre yapısının yansıma diyagramı ile silindirik
dielektrik çubukların çapları ve pozisyonları belirli oranlarda değiştirildikten sonra elde
edilen yapının yansıma diyagramları birkaç örnek üzerinden karşılaştırılmıştır. Frekans
değerinde bir miktar kayma olduğu gözlemlenmiştir.
56
KAYNAKLAR
Bagci, F. and Akaoglu, B. 2012. Effects of structurally deformed sub-lattice points on
the dispersion properties of 2D hybrid triangular-graphite photonic crystal,
Optics Communications, vol. 285, pp. 1486-1493.
Bienstman, P. and Baets, R. 2001. Optical modelling of photonic crystals and VCSELs
using eigenmode expansion and perfectly matched layers.Optical and
Quantum Electron., vol. 33, pp. 327-341.
Bloch, F. 1928. Über die Quantenmeckanik der Electronen in Kristallgittern. Z. Physik,
vol. 52, pp. 555-600.
Djavid, M., Ghaffari, A., Monifi F., and Abrishamian M.S. 2008. T-shaped channel-
drop filters using photonic crystal ring resonators.Physica E, vol. 40, pp. 3151-
3154.
Erdiven, U. 2009. Fotonik Kristallerin özellikleri ve bazı parametrelerinin
hesaplanması. Yüksel lisans tezi, 109 s., Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü, Adana.
Ghiradella, H. 1991. Light and Color on The Wing: Structural Colors in Butterfiles and
Moths, Appl. Opt., vol. 30, pp. 3429-3442.
Gruning, U., Lehmann, V. and Engelhart, C. M. 1995. Two-Dimensional Infrared
Photonic Band Gap Structure Based on Porous Silicon. Appl. Phys. Lett., vol.
66, pp. 3254-3257.
Hagino, H., Takahashi, Y., Tanaka, Y., Asano, T. and Noda, S. 2009. Effects of
fluctuation in air hole radii and positions on optical characteristics in photonic
crystal heterostructure nanocavities. Physical Review B, vol. 79, pp. 085112.
Johnson, S.G. and Joannopoulos, J.D. 2002. Photonic Crystals: The Road from Theory
to Practice. Springer, 160 s., Boston.
Johnson, S. and Joannopoulos, J. 2001. Block-iterative frequency-domain methods for
Maxwell’s equetions in a planewave basis. Opt. Express, vol. 8(3), pp. 173-
190.
Joannopoulos, J. D., Johnson, S. G., Meade, R. D. and Winn, J. N. 2008. Photonic
Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton University Press, 283 p.,
Princeton.
57
Kivshar, Y. S. and Agrawal, G. P. 2003. Optical Solitons From Fibers to Photonic
Crystals. Academic Pres, 430 s., USA.
Lin, L.L., Li, Z. and Lin, B. 2005. Engineering waveguide-cavity resonant side coupling
in a dynamically tunable ultracompact photonic crystal filter. Physical Review
B, vol. 72(16), pp. 165330-165340.
Leung, K. M. and Qiu, Y. 1993. Multiple Scattering Calculation of The Two
Dimensional Photonic Band Structure. Phys. Rev. B, vol. 48, pp. 7767-7771.
Meade, R. D., Rappe A. M., Brommer, K. D., Joannopoulos, J. D. and Alerhand, O. L.
1993. Accurate theoretical analysis of photonic band gap materials. Phys. Rev.
B., vol. 48, pp. 8434-8437.
Miller, S. E. 1969. Integrated Optics: An Introduction. Bell Syst. Tech. J., vol. 48, pp.
2059.
Nagpal, Y. and Sinha, R. K. 2004. Modeling of Photonic Band Gap Waveguide
Couplers. Microwave Opt. Technol. Lett., vol. 43, pp. 47-50.
Noda, S., Chutinan, A. and Imada, M. 2003. Trapping and Emission of Photons by A
Single Defect into A Photonic Bandgap Structure. Nature, vol. 407, pp. 824.
Notomi, M., Shinya, A., Mitsugi, S., Kira, G., Kuramochi, E. and Tanabe, T.2005.
Optical bistable switching action of Si high-Q photonic-crystal nanocavities.
Opt. Express, vol. 13, pp. 2678-2687.
Pendry, J.B. 1996. Calculating Photonic Band Structure. J. of Phys. [Cond. Matt.], vol.
8, pp. 1085-1108.
Pendry, J. B. and MacKinnon, A. 1992. Calculation of Photon Dispersion Relations.
Phys. Rev. Lett., vol. 69, pp. 2772.
Peschel, U. and Reynolds, A.L. 2002. Transmission and Reflection Analysis of
Functional Coupled Cavity Components. IEEE J. of Quantum Electron.,
vol.38, pp. 830-836.
Pierre, R., Fan, S. and Joannopoulos J.D. 1996. Microcavities in photonic crystals:
Mode symmetry, tunability, and coupling efficiency. Physics Rev. B, vol.
54(11), pp. 7837-7842.
Qiu, M. and He, S. 2000. A Nonorthogonal Finite-Difference Time Domain Method For
Computing The Band Structure of A Two-Dimensional Photonic Crystal With
Dielectric and Metallic Inclusions. J. Appl. Phys., vol. 87, pp. 8268.
58
Qiu, M. and Jaskorzynska, B. 2003. Design of a channel drop filter in a two-
dimensional triangular photonic crystal. Appl. Phys. Lett., vol. 83(6), pp. 1074-
1076.
Rayleigh, J. W. S. 1888. On the remarkable phenomenon of crystalline reflexion
described by Prof. Stokes, Phil. Mag., vol. 26, pp. 256–265.
Robinson, S. and Nakkeeran, R. 2012. Investigation on two dimensional photonic
crystal resonant cavity based bandpass filter. International Journal for Light
and Electron Optics. vol. 123, pp. 451.
Sakoda, K. 2001. Optical Properties of Photonic Crystals.Springer, 223 p., Germany.
Schneider, J.B. 2011. Understanding the Finite-Difference Time-Domain Method. 395
s., Washington.
Schulz, S.A., Faolain, L.O., Beggs, D.M., White, T.D., Melloni, A. And Krauss, T.F.
2010. Dispersion engineered slow light in photonic crystals: a comparison.
J.Opt. vol. 12, pp. 104004.
Shinya, A., Mitsugi, S., Kuramochi, E. and Notomi, M. 2005. Ultrasmall multi-channel
resonant-tunneling filter using mode gap of width-tuned photonic-crystal
waveguide. Opt. Express, vol. 13, pp. 4202-4209.
Sözüer, H. S., J. W. Haus, R. Inguva, 1991. Photonic Bands: Convergence Problems
with
the Plane Wave Method. Physical Review B., vol. 45, pp. 13962-13972.
Sullivan, D.M. 2000. Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method. Wiley-
IEEE Press, ABD, pp. 49-63.
Taflove, A. and Hagness, S. C. 2000. Computational Electrodynamics: The Finite-
Difference Time-Domain Method. Artech House, 2. edition, USA, pp. 1-345.
Takano, H., Akahane, Y., Asano, T. and Noda, S. 2004. In-plane-type channel drop
filter in a two-dimensional photonic crystal slab. Appl. Phys. Lett., vol. 84, pp.
2226-2228.
Tayeb, G., Gralak, B. and Enoch, S. 2003. Structural Colors in Nature and Butterfly-
Wing Modeling, Opt. Photonic News, vol. 14, pp. 38-42.
Thylén, L., Qiu, M. and Anand, S. 2004. Photonic Crystals-A Step Towards Integrated
Circuits For Photonics, Chem. Phys. Chem., vol. 5, pp. 1268-1283.
59
Tran, P. 1995. Photonic-band-structure of material possessing Kerr nonlinearity.
Physics Rev. B, vol. 52(15), pp. 10673-10676.
Üstün, K. 2011. Fotonik kristallerde ışığın yavaşlatılması. Yüksek lisans tezi. TOBB
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 61 s., Ankara.
Villeneuve, P. R., Fan, S. and Joannopoulos J.D. 1995. Air-Bridge Microcavities, Appl.
Phys. Lett., vol. 67, pp. 167-170.
Vukusic, P. and Sambles, J. R. 2003. Photonic Structures in Biology. Nature, vol. 424,
pp. 852-855.
Winn, J.N, Fink, Y., Fan, S. and Joannopoulos J.D. 1998. Omnidirectional reflection
from a one-dimensional photonic crystal. Opt. Lett., vol. 23(20), pp. 1573-
1575.
Yablonovitch, E. 1987. Inhibited spontaneous emission insolid-state physics and
electronics. Phys. Rev. Lett., vol. 58, pp. 2059–2062.
Yablonovitch, E., Gmitter, T. J. and Leung, K. M. 1991. Photonic Band Structure: The
Face-Centered-Cubic Case Employing Nonspherical Atoms. Phys. Rev. Lett.,
vol. 67, pp. 2296.
Yanik, M.F. and Fan, S. 2004. Stopping light all optically. Phys. Rev. Lett., vol. 92, pp.
083901.
Yee, K. S. 1966. Numerical solution of initial boundary value problem involving
Maxwell’s equations in isotropic media. IEEE Trans. Antennas and
Propagation, vol. 14, pp.302-307.
60
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Yeşim DİLDAR
Doğum Yeri : Çankırı
Doğum Tarihi : 25.09.1985
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu
Lise : Çankırı Nevzat Ayaz Anadolu Öğretmen Lisesi, Çankırı (2003)
Lisans : Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Fizik
Öğretmenliği Bölümü (2009)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik
Mühendisliği Anabilim Dalı (Şubat 2013)
Çalıştığı Kurumlar
TÜBİTAK: Proje Asistanlığı (Yüksek Çözünülürlüklü Elektro-Optik Kamera
Teknolojisi Geliştirme Projesi) 2009-2010
ODTÜ- BİLTİR Merkezi: 2012- halen devam etmekteyim
Yayınlar
Yurtseven H., Dildar Y.,Calculation of thermodynamic quantities for carbon
tetrachloride (CCl4) close to the III-IV phase transition, Korean Journal of Chemical
Engineering, 28(1), pp.252-255 (2011).
Posterler
Yurtseven H., Dildar Y.,Calculation of thermodynamic quantities for carbon
tetrachloride (CCl4) close to the III-IV phase transition. 16. Yoğun Madde Fiziği
Ankara Toplantısı,Gazi Üniversitesi, Ankara, (2009).
