Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ
Yunus KOCATÜRK
İSTATİSTİK ANABİLİMDALI
ANKARA
2007
Her hakkı saklıdır
Yrd. Doç. Dr. Halil AYDOĞDU danışmanlığında, Yunus KOCATÜRK tarafından
hazırlanan ‘Bulanık Değişkenler ve Bulanık Yenileme Süreçleri’ adlı tez çalışması
24.09.2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliğiyle Ankara Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul
edilmiştir.
Başkan : Doç. Dr. Birdal ŞENOĞLU
Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal GÜNER
Üye : Yrd. Doç. Dr. Halil AYDOĞDU
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU
Enstitü Müdürü
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ
Yunus KOCATÜRK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
İstatistik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Halil AYDOĞDU
Bu çalışmada bulanık kümeler, bulanık sayılar, bulanık sayılar üzerindeki işlemler,
bulanık olasılık teorisi ve bulanık değişkenler verilmiştir. Yenileme süreçleri üzerinde
bulanık mantık uygulanarak getirdiği yeni sonuçlar incelenmiştir.
2007,53 sayfa
Anahtar Kelimeler: Bulanık küme, bulanık sayı, bulanık değişkenler, yenileme
süreçleri, bulanık yenileme süreçleri.
ii
ABSTRACT
Master Thesis
FUZZY VARIABLES AND FUZZY RENEWAL PROCESSES
Yunus KOCATÜRK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Statistics
Supervisor: Asst. Prof. Dr. Halil AYDOĞDU
In this study, the definition of fuzzy sets, fuzzy numbers, operations on fuzzy numbers,
fuzzy possibility theory and fuzzy variables are given. New results obtained by applying
fuzzy logic on renewal processes are discussed.
2007, 53 pages
Key Words: Fuzzy set, fuzzy number, fuzzy variable, renewal processes, fuzzy renewal
processes.
iii
TEŞEKKÜR
‘Yenileme Süreçleri’ ile ilgili yaptığım bu çalışmada bana araştırma olanağı sağlayan,
çalışmanın her aşamasında önerileriyle beni yönlendiren, her zaman ilgi ve alakasını
gördüğüm değerli danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Halil AYDOĞDU’ ya en derin
teşekkürlerimi sunarım. İstatistik bilimini bana sevdiren ve öğrenmemde büyük katkıları
olan Ankara Üniversitesi İstatistik Bölümü’ ndeki hocalarıma teşekkür ederim.
Çalışmamı destekleyerek her zaman yanımda olduklarını gösteren aileme verdikleri
destekten ve gösterdikleri ilgiden dolayı, ayrıca kuzenim Ozan AKARSU’ya çalışmama
verdiği destekten dolayı sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Yunus KOCATÜRK Ankara, Ekim 2007
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................i ABSTRACT.....................................................................................................................ii TEŞEKKÜR....................................................................................................................iii SİMGELER DİZİNİ........................................................................................................v ŞEKİLLER DİZİNİ......................................................................................................vii 1. GİRİŞ............................................................................................................................1 2. BULANIK MANTIK VE BULANIK KÜMELER ..................................................3 2.1 Bulanık Mantığın Tanımı ........................................................................................3 2.2 Bulanık Küme............................................................................................................3 2.3 Bulanık Kümeler Üzerinde İşlemler .......................................................................4 3. BULANIK SAYI .........................................................................................................7 3.1 Bulanık Sayıların Tanımlanması.............................................................................7 3.2 Üçgensel Bulanık Sayı ..............................................................................................7 3.3 Yamuk Bulanık Sayı ................................................................................................8 3.4 Alfa-Kesimler ..........................................................................................................10 3.5 Bulanık Aritmetiği ..................................................................................................11 3.5.1 Genişletme prensibi .............................................................................................11 3.5.2 Aralık aritmetiği ..................................................................................................12 3.5.3 Alfa-kesimler yardımıyla bulanık aritmetiği ....................................................13 3.6 Bulanık Fonksiyonlar .............................................................................................14 3.6.1 Genişletme prensibi .............................................................................................15 3.6.2 Alfa-kesimler ve aralık aritmetiği ......................................................................16 3.6.3 İki yöntemin karşılaştırması ...............................................................................17 4. KESİKLİ BULANIK OLASILIK TEORİSİ .........................................................19 4.1 Bulanık Olasılık Teorisine Bir Giriş .....................................................................19 4.2 Bulanık Olasılık.......................................................................................................20 5. BULANIK DEĞİŞKENLER ...................................................................................24 5.1 Bulanık Değişkenlerin Tanımı................................................................................24 6. YENİLEME SÜREÇLERİ.......................................................................................30 6.1 Yenileme Sürecinin Tanımı....................................................................................30 6.2 Yenileme Sürecinin Ortalama Değer Fonksiyonu................................................32 6.3 Yenileme Ödül Süreci..............................................................................................36 7. BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ...................................................................37 7.1 Bulanık Yenileme Süreçlerinin Tanımı.................................................................37 7.2 Bulanık Yenileme Ödül Süreci...............................................................................42 8. SONUÇ.......................................................................................................................51 KAYNAKLAR ..............................................................................................................52 ÖZGEÇMİŞ...................................................................................................................53
v
SİMGELER DİZİNİ
X Evrensel küme
A Bulanık A kümesi
Aµ A bulanık kümesine ait üyelik fonksiyonu
cA A bulanık kümesinin tümleyeni
A [ α] A bulanık kümesine ait alfa-kesim kümesi
C (z) C bulanık kümesinde z değerine karşılık gelen üyelik fonksiyonu *Z Bulanık fonksiyon yardımıyla genişletme prensibi kullanılarak bulunan
bulanık sayı
D z Z kümesinin örnek uzayı
P(A) A kümesinin olasılığı
)A(P A kümesinin bulanık olasılığı
][2ασ Kesikli bulanık olasılık dağılımının varyansı
]α[μ Kesikli bulanık olasılık dağılımının beklenen değeri
Pos Bulanık kümelerdeki mümkünlük ölçüsü
Nec Bulanık kümelerdeki gereklilik ölçüsü
Cr Bulanık kümelerdeki kredibilite ölçüsü
Y 'α Bulanık bir kümenin kötümser değeri
Y ''α Bulanık bir kümenin iyimser değeri
E(Υ ) Y bulanık değişkenin beklenen değeri
)(tN t zamanına kadar, yani ( ]t,0 zaman aralığında gerçekleşen yenilemelerin
sayısı
nS n. yenileme yapılıncaya kadar geçen zaman süresi
μ Bir yenileme aralığının ortalama değeri 2σ Bir yenileme aralığının varyans değeri
C(t) t zamanına kadar gerçekleşen yenilemelerin toplam ödülü
R n n. gerçekleşen yenilemeye karşılık gelen ödül
vi
F *k (t) F dağılım fonksiyonunun kendisiyle olan k-katlı konvolüsyonu
∧ Minimum
∨ Maksimum
vii
ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 Su ve şarap karışımını karakterize eden A (su) ve B (şarap) bulanık
kümelerinin üyelik fonksiyonu....………………………….………………..…4
Şekil 3.1 N =(1.2/2/2.4) üçgensel bulanık sayısının grafiği…………………….……….8
Şekil 3.2 M =(1.2/2, 2.4/2.7) yamuk bulanık sayısının grafiği………………….………9
Şekil 3.3 P ≈ (1.2/2/2.4) üçgensel şekilli bulanık sayısının grafiği………………….....9
Şekil 3.4 A = (-3/-2/-1) ve B = (4/ 5/ 6) üçgensel bulanık sayılarının çarpımlarının
grafiği……………………….……………………………………………..….14
Şekil 7.1 Pos{ ≥t
)t(N 0.4} değeri için bulanık simulasyon………………………….....48
Şekil 7.2 t
)]t(N[E için bir bulanık simulasyon………………………………………...49
Şekil 7.3 t
)]t(C[E için bir bulanık simulasyon……………………………………..….49
1
1.GİRİŞ
( ]ttN ,0),( aralığında gerçekleşen olayların sayısı olmak üzere { }0),( ≥ttN
stokastik sürecine sayma süreci denir. { }0),( ≥ttN sayma sürecinde olaylar
(yenilemeler) arası geçen zaman süreleri birbirinden bağımsız ve aynı F dağılımlı
rasgele değişkenler ise { }0),( ≥ttN sürecine bir yenileme süreci ya da alışılmış
yenileme süreci denir.
Zadeh tarafından ilk kez 1965 te geliştirilen bulanık mantık günümüzde birçok alanda
olduğu gibi yenileme süreçlerindeki problemlerin çözümüne de yeni boyutlar
kazandırmıştır.
Bu çalışmada bulanık mantık ve bulanık kümeler ile bulanık kümeler üzerindeki bazı
işlemler gösterilerek, yenileme süreçleri de tanıtıldıktan sonra, bulanık mantığın
yenileme sürecinde yarattığı yenilikler ve bu yeniliklerin getirdiği sonuçlar
incelenecektir.
İkinci bölümde bulanık mantık ve bulanık küme kavramları tanıtılmış, bulanık mantığın
uygulanmasında temel oluşturacak bulanık kümeler üzerindeki işlemler anlatılmıştır.
Üçüncü bölümde bir bulanık kümenin bulanık sayı olarak tanımlanabilmesi için
sağlaması gereken şartlar verilmiştir. Örneklerimizde kullanacak olduğumuz üçgensel
ve yamuk bulanık sayıların tanımları yapılmış ve bulanık sayıları tanımlamaya yarayan,
bu sayılar üzerinde yapacağımız işlemler için gerekli olan alfa-kesim kümeleri
tanımlanmıştır. Daha sonra uygulamalarda kullanacağımız bulanık aritmetiği ve bulanık
fonksiyonlar ile bu işlemlerin uygulanabileceği yöntemler ifade edilmiş, yöntemler
arasındaki farklar irdelenmiş ve örneklerle gösterilmiştir.
Dördüncü bölümde bir kümenin elemanlarına karşılık gelen olasılıklar ve bu
olasılıklardan bazılarının belirsiz olabileceği durumlarda bu olasılıklara karşılık bulanık
olasılıkların kullanılması ve problemlerin bu şekilde çözülmesi anlatılmıştır.
2
Daha sonra bulanık aritmetiği kullanılarak bulanık olasılıkların hesaplanışı bir
örneklendirilerek verilmiştir.
Beşinci bölümde bulanık değişkenin tanımı verilmiş, bulanık değişkenler üzerindeki
ölçüler, gerektirdikleri şartlarla birlikte tanıtılmıştır. Daha sonra bu ölçüler kullanılarak
elde edilen beklenen değer fonksiyonu verilmiştir.
Altıncı bölümde istatistiğin birçok alanında stokastik modellemede kullanılan alışılmış
anlamdaki yenileme süreçleri üzerinde durularak, bu sürecin ortalama değer fonksiyonu
verilmiştir. Daha sonra bu fonksiyonlar için bilinen bazı ifadeler ve asimptotik sonuçlar
sunulur.
Yedinci bölümde bulanık mantığın yenileme süreçlerine uygulanması sonucu elde
edilen yeni süreç incelenmiş, sürecin oluşturduğu yeni sonuçlar ifade edilmiştir. Bu
sonuçları oluşturan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Daha sonra bulanık yenileme
süreçlerine karşılık gelen ödül kuramı anlatılmıştır.
3
2. BULANIK MANTIK VE BULANIK KÜMELER Bu bölümde bulanık mantık ve bulanık küme kavramları tanıtılmış, bulanık mantığın
uygulanmasında temel oluşturacak bulanık kümeler üzerindeki işlemler anlatılmıştır.
2.1 Bulanık Mantığın Tanımı Bulanık mantık ilk kez 1965 de Zadeh tarafından Aristo mantığına dayanan “Bir nesne
kümenin ya elemanıdır ya da elemanı değildir” şeklindeki ikili mantık sistemine karşı
geliştirilmiştir. Bulanık mantık, günlük hayatta karşılaştığımız olaylara üyelik dereceleri
karşılık getirerek olayların hangi oranlarla gerçekleştiğini belirlemeye çalışan bir mantık
sistemidir.
Bulanık mantığa bir örnek verecek olursak; bir şehrin değişik bölgelerindeki su kirliliği
ölçümlerini modelleme problemini düşünebiliriz. Su ya kirlidir ya da değildir şeklindeki
bir modellemeden çok suyun kirlilik derecesine göre model oluşturmak bize daha
gerçekçi bir çözüm getirecektir.
2.2 Bulanık Küme
X bir evrensel küme olsun. X’ in bir bulanık altkümesi A , A
µ : X→ [0,1] üyelik
fonksiyonu yardımıyla açıklanır. Aynı zamanda A bulanık kümesi {(x, A
µ (x)):x∈ X }
şeklinde de gösterilebilir.
En az bir x noktasında
Aµ (x)=1 üyelik değerini alan bir A bulanık kümesine, normal
bulanık küme ve λ ∈ [0,1] için A
µ [ λ x+(1-λ )y] ≥min{A
µ (x), A
µ (y)}, şartını
sağlayan bir A bulanık kümesine, konveks bulanık küme denir (Wu 1997).
4
Örnek:
İki bulanık kümenin üyelik fonksiyonlarını belirleyelim.
1 B(Şarap) A(Su) su\şarap 0% 50% 100% 99.99% Şekil 2.1 Su ve şarap karışımını karakterize eden A(su) ve B(şarap) bulanık kümelerinin üyelik fonksiyonu.
Bulanık kümenin klasik ifadesine göre 0,01% ile şarap ve 99,99% ile su oranları ile
su/şarap karışımı şarap bulanık kümesinde nitelendirilmiştir. Fakat, biz bu karışımı
tattığımızda şarap karışımı olduğunu anlayabilir miyiz? Hayır (Piegat 2005).
2.3 Bulanık Kümeler Üzerinde İşlemler A ve B , X’in iki bulanık alt kümesi olsun. 1) Kapsama
∀ x∈ X için Aμ (x) ≤
Bμ (x) oluyorsa A kümesi B kümesi tarafından kapsanır denir.
Bu ilişki A ⊂ B olarak gösterilir.
2) Eşitlik ∀ x∈ X için
Aμ (x) = B
μ (x) oluyorsa A ve B kümeleri eşittir denir. Bu ilişki A = B
olarak gösterilir.
5
3) Tümleme ∀ x∈ X için
Aμ (x)=1-B
μ (x) oluyorsa A ve B kümelerine birbirlerinin tümleyenidir
denir. Bu ilişki B =c
A ya da A =c
B şeklinde gösterilir. Burada c
A ve c
B , A ve B
kümelerinin tümleyenidir.
4) Kesişim A ve B kümelerinin kesişimi BA∩ üyelik fonksiyonu yardımıyla
)x()x())x(),x(min()x(BABABA
μ∧μ=μμ=μ∩
(2.1) ile verilir. 5) Birleşim
BA∪ işlemi A ve B kümesi için kesişim işleminin dualidir.
)x()x())x(),x(max()x(BABABA
μ∨μ=μμ=μ∪
(2.2) ile verilir. 6) Cebirsel Çarpım A ve B kümelerinin cebirsel çarpımı A . B ye ait üyelik fonksiyonu ile ∀ x∈ X için
)x().x()x(BABA
μμ=μ (2.3) ile verilir. 7) Cebirsel Toplam A ve B kümelerinin cebirsel toplamı BA ⊕ ye ait üyelik fonksiyonu yardımıyla
6
)x()x()x(BABA
μ+μ=μ⊕
- )x().x(BA
μμ (2.4) ile tanımlanır. 8) Çıkarma A ve B kümelerinin farkı A - B ye ait üyelik fonksiyonu yardımıyla,
))x(),x(min()x( ccBABA
μμ=μ∩
(2.5)
şeklinde gösterilir. Burada 1)x(c
B=μ -
Bμ (x) dir.
7
3. BULANIK SAYI Bu bölüm bulanık sayılara ayrılmıştır. Üçgensel ve yamuk bulanık sayıların tanımları
yapılmış ve bulanık sayıları tanımlamaya yarayan, bu sayılar üzerinde yapacağımız
işlemler için gerekli olan alfa-kesim kümeleri verilmiştir. Daha sonra uygulamalarda
kullanacağımız bulanık aritmetiği ve bulanık fonksiyonlar ile bu işlemlerin
uygulanabileceği yöntemler ifade edilmiş, yöntemler arasındaki farklar irdelenmiş ve
örneklerle gösterilmiştir.
3.1 Bulanık Sayıların Tanımlanması Bir bulanık A kümesi, aşağıdaki (a) ve (b) koşulları sağlandığında, R üzerinde bir
bulanık sayı olarak adlandırılır.
a) A
µ (x) = 1 olacak şekilde en az bir x∈ R içerir.
b) Herhangi bir α∈ [0,1] için, αA ={x : A
µ (x) ≥α} kümesi R üzerinde bir konveks
kümedir.(Wu 1997)
Ek olarak ;
c) A , R üzerinde bir bulanık sayı olsun. Eğer herhangi bir α∈ [0,1] için αA sınırlı bir
küme ise, A , R üzerinde sınırlı bir bulanık sayıdır denir.
d) A , R üzerinde bir bulanık sayı olsun. Herhangi bir α∈ [0,1] için eğer { nx }⊂ αA ,
x=xlim n∞→n olduğunda, x ∈ αA ise , A , R üzerinde bir kapalı bulanık sayıdır denir.
e) A normal konveks bulanık küme ve Aμ birebir olduğunda A ’ya standart bulanık
sayı denir.
3.2 Üçgensel Bulanık Sayı
Üçgensel bir N bulanık sayısı a<b<c sayılarıyla ifade edilir. Burada üçgenin tabanı
[a,c] aralığında ve tepe noktası x=b dedir. Üçgensel bulanık sayılar N =(a/b/c) şeklinde
yazılır. Bir üçgensel N =(1.2/2/2.4) sayısının grafiği aşağıdadır.
8
1 0,5 1 1,2 1,5 2 2,4 2,5 3 x Şekil 3.1 N =(1.2/2/2.4) üçgensel bulanık sayısının grafiği Genelde N =(a/b/c) üçgensel bulanık sayısı ile ilgili üyelik fonksiyonu
abax
−− , x ∈ [a,b]
Nμ (x) = 1
cbbx+
−− , x ∈ [b,c]
0 , x ∈ [b,c] ile tanımlanabilir. 3.3 Yamuk Bulanık Sayı
Yamuk bir M bulanık sayısı a<b<c<d sayılarıyla ifade edilir. Burada yamuğun tabanı
[a,d] aralığı üzerindedir. M =(a/b,c/d) şeklinde yazılır. Bir yamuk M =(1.2/2, 2.4/2.7)
sayısının grafiği aşağıdadır.
1 1 1,2 2 2.4 2,7 3 x
Şekil 3.2 M =(1.2/2, 2.4/2.7) yamuk bulanık sayısının grafiği
9
Genelde M =(a/b,c/d) yamuk bulanık sayısı ile ilgili üyelik fonksiyonu
abax
−− , x ∈ [a,b]
M
μ (x) = 1 , x ∈ [b,c]
dcdx
−− , x ∈ [c,d]
0 , d.y. ile tanımlanabilir. Üçgensel şekilli bulanık bir P sayısı, 1 1 2 3 x Şekil 3.3 P ≈ (1.2/2/2.4) üçgensel şekilli bulanık sayısının grafiği Burada P yalnızca 1.2 , 2, 2.4 sayılarıyla [1.2 , 2] ve [2, 2.4] aralıkları üzerinde
doğrusal olmayan çizgilerle parçalı olarak özelleştirilmiştir. Üçgensel şekilli bir bulanık
sayı olabilmesi için, grafiğin sürekli ve
1) [1.2 , 2] üzerinde monoton artan,
2) [2 , 2.4] üzerinde monoton azalan,
10
olması gereklidir. Üçgensel şekilli bir P bulanık sayısı için P ≈ (1.2/2/2.4) şeklindeki,
P nin parçalı olarak 1.2, 2 ve 2.4 sayılarıyla oluştuğunu gösteren notasyon kullanılır.
P ≈ (1.2/2/2.4) sayısının tabanının [1.2 , 2.4] aralığı üzerinde ve tepe (üyelik değeri 1 e
eşit olan) noktasının x=2’de olduğunu biliyoruz.
Benzer olarak yamuk şekilli bulanık Q ≈ (1.2/2, 2.4/2.7) sayısının tabanı [1.2 , 2.7]
aralığı üzerinde ve en üst seviyesi [2, 2.4] aralığı üzerinde olacaktır.
3.4 Alfa-Kesimler
Alfa-kesimler bulanık kümelerden klasik (bulanık olmayan) kümeler üreten dilimlerdir.
A , X in herhangi bir bulanık altkümesi ise A bulanık kümesinin α-kesimleri A [α] ile
gösterilir ve her α, 0<α≤1 için
A [ α]={x∈ X : A (x) ≥ α} (3.1)
şeklinde ifade edilir. α =0 için A [0] ayrı olarak ifade edilmelidir. Örnek olarak
N =(1.2/2/2.4) bulanık sayısı için N [0] = [1.2 , 2.4] tür. Herhangi bir A bulanık
kümesi için, A [0]’a kümenin tabanı veya desteği denir. Bir bulanık sayının çekirdeği,
üyelik değerlerinin 1’e eşit olduğu noktaların kümesidir. Eğer N =(a/b/c) ya da
N ≈(a/b/c) ise N ’nın çekirdeği b noktasıdır. Eğer M =(a/b,c/d) ya da M ≈(a/b,c/d)
ise M ’nin çekirdeği [b,c] aralığıdır (Buckley 2002).
Herhangi bir üçgensel ya da yamuk Q bulanık sayısı için bilinmelidir ki 0≤α≤1 için
Q [α] kapalı ve sınırlı bir aralıktır (Buckley 2002).
Q [α]=[ 1q (α), 2q (α)] (3.2)
şeklinde yazılabilir. Burada 1q (α)( 2q (α)), α’nın artan (azalan) bir fonksiyonudur.
))1(q≤)1(q( 21 . Eğer Q üçgensel şekilli veya yamuk şekilli bulanık sayı ise;
11
1) 1q (α), α∈ [0,1] in sürekli monoton artan bir fonksiyondur.
2) 2q (α), α∈ [0,1] in sürekli monoton azalan bir fonksiyondur.
3) 1q (1) = 2q (1) ( yamuklar için 1q (1)< 2q (1) ) dir.
N = (1.2/2/2.4) için N [α]=[ 1n (α), 2n (α)] eşitliğinde, 0<α≤1 için 1n (α)=1.2+08α ve
2n (α)=2.4-04α dır.
Benzer şekilde M = (1.2/2, 2.4/2.7) için M [α]=[ 1m (α), 2m (α)] eşitliğinde, 0≤α≤1
için 1m (α)=1.2+0.8α ve 2m (α)=2.7-0.3α dır. Burada x yatay ve y dikey eksenler olmak üzere 1n (α)=1.2+0.8α eşitliği 0≤y≤1 için
x = 1.2+0.8y anlamına gelmektedir. Bu (1.2 , 0) noktasından (2, 1) noktasına olan bir
doğrudur.
3.5 Bulanık Aritmetiği A ve B gibi iki bulanık sayı üzerinde toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemi iki yolla
yapılabilir.
1) Genişletme prensibi
2) Αlfa-kesimler ve aralık aritmetiği
3.5.1 Genişletme prensibi A ve B iki bulanık sayı olmak üzere;
C = A + B ise
12
C (z)= )}y(B∧)x(A{supz=y+x
(3.3)
C = A - B ise
C (z)= )}y(B)x(A{supzyx
∧=−
(3.4)
C = A . B ise
C (z)= )}y(B∧)x(A{supz=y.x
(3.5)
C = A / B ise
C (z)= )}y(B∧)x(A{supz=y/x
(3.6)
Tüm durumlarda C de bir bulanık sayıdır. Eğer A ve B üçgensel (yamuk) bulanık
sayılar ise A + B ve A - B de üçgensel (yamuk) bulanık sayılardır. Fakat A . B ve
A / B üçgensel (yamuk) şekilli bulanık sayılar olacaktır.
3.5.2 Aralık aritmetiği
]b,a[ 11 ve ]b,a[ 22 R de iki kapalı ve sınırlı alt aralık olsunlar. Eğer (*) işlemi
toplama, çıkarma, çarpma veya bölmeye karşılık geliyorsa ]b,a[ 11 * ]b,a[ 22 = [α, β]
eşitliğinde [α,β]={a*b : 2211 b≤b≤a,b≤a≤a } şeklindedir.
Eğer (*) işlemi bölmeye karşılık geliyorsa, ]b,a[ 22 aralığı 0 ı içermez. Bu durumda
işlemleri şu şekilde gösterebiliriz.
]b,a[ 11 + ]b,a[ 22 =[ 1a + 2a , 1b + 2b ] (3.7)
]b,a[ 11 - ]b,a[ 22 =[ 1a - 2b , 1b - 2a ] (3.8)
13
]b,a[ 11 / ]b,a[ 22 =[ 1a , 1b ].[22 a
1,b1 ] (3.9)
ve
]b,a[ 11 . ]b,a[ 22 =[α,β]
dır, burada
α=min{ 1a . 2a , 1a . 2b , 1b . 2a , 1b . 2b } (3.10)
β=maks{ 1a . 2a , 1a . 2b , 1b . 2a , 1b . 2b } (3.11)
dır. 3.5.3 Alfa-kesimler yardımıyla bulanık aritmetiği A ve B iki bulanık sayı olsun. Biliyoruz ki α-kesimler kapalı ve sınırlı aralıklardır ve
A [α]=[ 1a (α), 2a (α)] ve B [α]=[ 1b (α), 2b (α)] dır. O halde C = A + B ise α∈ [0,1] için
C [α]= A [α]+ B [α], (3.12)
C = A - B ise α∈ [0,1] için
C [α]= A [α]- B [α], (3.13) C = A . B ise α∈ [0,1] için
C [α]= A [α]. B [α], (3.14) ve C = A / B ise α∈ (0,1] için
C [α]= A [α]/ B [α] (3.15)
14
dır (Buckley 2002). Örnek : A = (-3/-2/-1) ve B = (4/ 5/ 6) olsun. A . B yi α-kesimler ve aralık aritmetiğini
kullanarak bulalım. A [α]=[-3+α , -1-α] ve B [α]=[4+α , 6-α] şeklinde yazılabilir. Bu
durumda, eğer C = A . B ise 1≤α≤0 için C [α]=[(α-3)(6-α) , (-1-α)(4+α)] şeklinde
elde edilir. Aşağıdaki şekilde C bulanık sayısı gösterilmektedir. C ’nin grafiği
1 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 x Şekil 3.4 A = (-3/-2/-1) ve B = (4/ 5/ 6) üçgensel bulanık sayılarının çarpımlarının şeklindedir. 3.6 Bulanık Fonksiyonlar Bulanık fonksiyonlar bulanık sayılardan bulanık sayılara giden fonksiyonlardır. Bir tek
X değişkeni yardımıyla bir bulanık fonksiyon H( X )= Z şeklinde yazılır. Genellikle X
üçgensel (yamuk) bulanık sayı olacağından Z , üçgensel (yamuk) şekilli bulanık sayı
olarak bulunacaktır.
Bulanık fonksiyonlar genellikle reel değerli fonksiyonların genişletmesi olacaktır.
h:[a,b]→ R
x→ h(x)=z
15
Burada z bir reel sayıdır. h:[a,b] → R fonksiyonunun H( X )= Z ’ye genişletilmesi iki
yolla yapılmaktadır.
3.6.1 Genişletme prensibi
Herhangi bir h:[a,b] → R fonksiyonu H( X )= Z fonksiyonuna aşağıdaki gibi
genişletilebilir.
Z (z)=x
sup { X (x) : h(x)=z, a≤x≤b} (3.16)
Burada eşitlik, [a,b] deki herhangi bir X bulanık sayısı için Z ye ait üyelik değerini
tanımlamaktadır.
h sürekli olduğunda Z nin α-kesimleri aşağıdaki gibi bulunabilir.
0 ≤ α ≤1 için Z [α]=[ 1z (α), 2z (α)] olmak üzere,
1z (α) = min{h(x) : x∈ X [α]}, (3.17)
2z (α) = maks{h(x) : x∈ X [α]}, (3.18)
Z=h(x,y), )b,a(∈x 11 ve )b,a(∈y 22 ise h ’nin sürekli olduğu varsayımı altında,
0 ≤ α ≤1 için
1z (α)=min{h(x,y) : x∈ X [α], ]α[Y∈y }, (3.19)
2z (α)=maks{h(x,y) : x∈ X [α], ]α[Y∈y }, (3.20)
ile verilir (Buckley 2002).
Böylece herhangi bir h(x) fonksiyonu yardımıyla bir veya birden çok bulanık sayı
kullanılarak yeni bir bulanık sayıya ulaşabiliriz.
16
3.6.2 Alfa-kesimler ve aralık aritmetiği
Reel değerli fonksiyonlar α-kesimleri ve aralık aritmetiği kullanılarak bulanık
fonksiyonlara genişletilebilir. h:[a,b] → R bir fonksiyon olsun. [a,b]’deki X bulanık
sayısı için H( X )= Z genişletmesi, aralık aritmetiği kullanılarak, α∈ [0,1] için, h( X [α])=
Z [α] şeklinde bulunabilir. Daha fazla değişken için yapılan genişletme şu şekilde
gösterilebilir.
Örnek olarak;
Z =H( X )=D+XCB+XA
(3.21)
fonksiyonunu ele alalım. Burada A , B , C , D üçgensel sayılar ve X bulanık sayısı
[0,10] aralığında bir üçgensel bulanık sayı olsun. ( C X + D >0 olduğu kabul
edilmektedir.) O halde bu genişletme
43
214321 x+xx
x+xx=)x,x,x,x,x(h (3.22)
fonksiyonunun genişletmesi olacaktır. A [α] aralığını 1x in yerine, B [α]’yı 2x ,
C [α]’yı 3x , ve D [α]’yı 4x yerine kullandığımızda, aralık aritmetiği uygulanarak Z
için Z [α] aralığı elde edilir. Alternatif olarak,
Z =H( X )=4+X3
10+X2 (3.23)
bulanık fonksiyonu ,
h(x)=4+x3
10+x2 (3.24)
fonksiyonunun genişletmesi olacaktır.
17
3.6.3 İki yöntemin karşılaştırılması Bu konu için, genişletme prensibi yoluyla bulunan bulanık sayıyı *Z =H( X ) ve α-
kesimler ve aralık aritmetiği yoluyla bulunan bulanık sayıyı ise Z =H( X ) ile
gösterelim. Aşağıda vereceğimiz örnekte x∈ [0,1] için h(x) = x(1-x) fonksiyonu
yardımıyla, bazı X ∈ [0,1] sayılarında *Z ≠ Z sonucunun elde edildiğini göreceğiz.
Bulanık fonksiyonları elde ederken α-kesimler ve aralık aritmetiğini kullanmamızda bir
yanlışlık yoktur, ama bilinmelidir ki α-kesimler ve aralık aritmetiği kullandığımızda,
genişletme prensibine göre daha farklı bir sonuç elde edilebilir. Aynı sonuç bir veya
birden fazla değişken içeren fonksiyonlar için geçerlidir.
Örnek : [0,1]’deki X bulanık sayısı için
Z =(1- X ) X (3.25)
tanımlansın.
X [α] = [ 1x (α), 2x (α)] olmak üzere, aralık aritmetiği kullanılarak Z [α] = [ 1z (α), 2z (α)]
eşitliğinde, α∈ [0,1] için
()(z1 =α 1- ),α(x))α(x 12 (3.26)
()(z2 =α 1- ),α(x))α(x 21 (3.27)
elde edilir. Genişletme prensibi kullanılarak ise z=(1-x)x fonksiyonu altında,
)x(X{sup=)z(Zx
* : (1-x)x=z, 0≤x≤1} (3.28)
olarak bulunur.
*Z [α]=[ *
1z (α), *2z (α)] olmak üzere, bütün 0≤α≤1 için
18
*1z (α) = min{(1-x)x : x∈ X [α]}, (3.29)
*2z (α) = maks{(1-x)x : x∈ X [α]}, (3.30)
olacaktır.
Şimdi X =(0/0,25/0,5) alalım. Bu durumda 1x (α)=0,25α ve 2x (α)=0,5-0,25α olur.
(3.26) ve (3.27) eşitsizlikleri Z [0,5] = [5/64,21/64] sonucunu verirken (3.29) ve (3.30)
eşitsizlikleri *Z [0,5] = [7/64,15/64] sonucunu vermektedir. Böylece *Z ≠ Z olduğu
görülür. Biliyoruz ki her bir bulanık sayı, bulanık ifadenin içinde yalnızca bir kere
kullanılıyorsa, iki yöntem de aynı sonucu vermektedir . Fakat bir bulanık sayı, bulanık
ifadenin içinde birden fazla kullanılıyorsa iki yöntem farklı sonuçlar verebilir.
19
4. KESİKLİ BULANIK OLASILIK TEORİSİ Bu bölümde bir kümenin elemanlarına karşılık gelen olasılıklar ve bu olasılıklardan
bazılarının belirsiz olabileceği durumlarda bu olasılıklara karşılık bulanık olasılıkların
kullanılması ve problemlerin bu şekilde çözülmesi anlatılmıştır. Daha sonra bulanık
aritmetiği kullanılarak bulanık olasılıkların hesaplanışı için bir örnek verilmiştir.
4.1 Bulanık Olasılık Teorisine Bir Giriş X={ n21 x,...,x,x } sonlu elemanlı bir küme ve P, X’ in tüm alt kümeleri üzerinde, her i
için P({ ix })= ia , 1≤ i ≤n, 0< ia <1 ve ∑n
1=iia =1 şartlarıyla birlikte bir olasılık
fonksiyonu olarak tanımlansın. P bir kesikli olasılık dağılımı oluşturur. Pratikte
ia değerleri kesin olarak bilinmiyor olabilir. Çoğu zaman bu değerler tahmin edilir ya da
bilir kişiler tarafından belirlenir. Şimdi ia değerlerinden bazılarının belirsiz olduğunu
kabul ederek, bu belirsizliğin bulanık sayılar yardımıyla çözümlenmesi üzerinde
duralım.
ia ’ lerdeki belirsizliğe bağlı olarak her ia için ia bulanık sayıları kullanılır(her i için
0< ia <1 dir). Eğer bazı ia ’ler kesin olarak biliniyorsa ia = ia ’dir. Fakat yine de ia , ia
olarak yazılır. Böylelikle X üzerinde ia değerleri ile birlikte kesikli bulanık olasılık
dağılımı oluşturulur. P yerine P kullanılır ve P ({ ix })= ia , 1≤ i≤ n, 0< ia <1 dir.
Burada ia ler ia [α] dan ∑n
1=iia =1 olacak şekilde seçilir ve sonuçta kesikli bir olasılık
dağılımı oluşturur (Buckley 2002).
20
4.2 Bulanık Olasılık A ve B, X’in klasik(bulanık olmayan) alt kümeleri olsunlar. P(A) ve P(B) olasılıklarının
nasıl hesaplanacağı bilinmektedir. Öyleyse şimdi sınırlı bir bulanık aritmetiği
kullanarak )A(P ve )B(P nin hesaplanması üzerinde duralım.
X={ n21 x,...,x,x } olmak üzere A={ k21 x,...,x,x }, 1≤k<n olsun. S = {( n21 a,...,a,a ):
ia ∈ ia [α], 1≤ i≤ n ve ∑n
1=iia =1} diyelim. 0≤α≤1 için A kümesinin bulanık
olasılığının α-kesim kümesi S kümesi koşulu altında
∑k
1ii }S|a{])[A(P
=
=α (4.1)
ile tanımlanır (Buckley 2002).
(4.1) eşitliğinde bir olasılığı belirlemeden önce ilk olarak α-kesimlerden bir kesikli
olasılık dağılımı seçilir. ]α)[A(P ’ nın aralık aritmetiğine göre ia [α], 1≤ i≤ k
aralıklarının toplamı değildir. Şimdi gerçekten ]α)[A(P ’ ların P (A) bulanık sayısının
α-kesimleri olduğunu gösterelim. İlk olarak bazı tanımları verelim.
• S '={( n21 x,...,x,x ) : ix ≥ 0 her i için ∑=
n
1iix =1} (4.2)
0≤α≤1 için
• Dom[α]= ( ∩∏=
])[1
αn
iia S ' dür. (4.3)
Burada ∏ aralıkların kartezyen çarpımını gösterir. Şimdi Dom[α]’da reel sayılara giden
bir f fonksiyonu ∈)a,....,a( n1 Dom[α] için,
21
f( n21 a,...,a,a )= ∑k
1=iia , (4.4)
.
ile tanımlansın. Burada f süreklidir, Dom[α] irtibatlı, kapalı ve sınırlıdır. Böylece f nin
değişim aralığı reel sayılar kümesinde kapalı ve sınırlı bir aralıktır. 0≤α≤1 için f nin
görüntü kümesi,
])α[Dom(f=]α[Γ (4.5)
olur. (4.1) eşitliğinden görülür ki her α için
]α)[A(P = ]α[Γ (4.6)
dır. Bu durumda )A(P bir bulanık sayıdır. P bulanık olasılığı aşağıdaki özelliklere sahiptir (Buckley 2002).
1) =B∩A Ø ise )A(P + )B(P ≥ )B∪A(P dir.
2) i=1,2 ve 0≤ α≤1 için )A(P [α] = [ )(p 1a α , 2ap (α)] ve )B(P [α]=[ )(p 1b α , )(p 2b α ]
olduğunda )(p)(p biai α≤α ise B⊆A dir.
3) P (Ø)=0 , 1)( =XP ve her A için 0≤ )A(P ≤1 dir.
4) A′ , A nın tümleyeni olmak üzere )A(P + ≥)A ′(P 1 dir.
5) ≠B∩A Ø iken, )B∪A(P ≤ )A(P + )B(P - )B∩A(P dir.
A ve B ayrık iken )A(P + )B(P = )B∪A(P olduğu durumlar da vardır. Aşağıdaki örnek
buna ilişkindir.
22
Örnek :
n=5 olmak üzere A={ 21 x,x } ve B={ 54 x,x }, 1≤i≤5 için ia =0.2 olsun. 3a haricindeki
bütün olasılıklar belirsiz ve =a=a 21 (0.19/0.2/0.21), 3a =0.2 ve
=a=a 54 (0.19/0.2/0.21) alınsın. Bu durumda )A(P [0]=[0.38, 0.42]’dir. Ayrıca
)B(P [0]=[0.38, 0.42] dır. Öyleyse α=0 için )A(P [0]+ )B(P [0]=[0.76, 0.84] tür. Diğer
taraftan )B∪A(P [0]=[0.8, 0.8] dir. Böylece A ve B ayrık olduğunda )B∪A(P [α],
)A(P [α]+ )B(P [α]’nın alt kümesi olarak elde edilir.
n=6, A={ 321 x,x,x } ve B={ 543 x,x,x } olmak üzere tüm olasılıkların belirsiz olduğu
kabul edilsin. 1≤i≤5 için ia =(0.05/0.1/0.15) ve 6a =(0.25/0.5/0.75) alınsın. Kolayca
bulunabilir ki )B∪A(P [0]=[0.25, 0.75], )A(P [0]= )B(P [0]=[0.15 ,0.45] ve
)B∩A(P [0]=[0.05 , 015] tir. Aralık aritmetiğinden görülür ki;
[0.25, 0.75] ≠[0.15 , 0.45]+[0.15 , 0.45] - [0.05, 0.15]
dir..Burada eşitliğin sağ tarafı [0.15, 0.85] çıkmaktadır. Bu durumda )B∪A(P [α],
)A(P [α]+ )B(P [α] - )B∩A(P [α]’ nın alt kümesi olabilir. Şimdi A ile B ayrık iken
)A(P + )B(P = )B∪A(P olabileceğini bir örnekle gösterelim.
X={ 321 x,x,x }, A={ 1x }, B={ 3x }, 1a =(0,3/ 0,33/ 0,36), 2a (0,28/0,34/0,4) ve 3a = 1a
olsun. Bu durumda )A(P = 1a , )B(P = 3a olur. )A(P + )B(P =(0,6/ 0,66/ 0,72)’ dır.
)B∪A(P ’nin α -kesimleri )B∩A(P [α] = { 1a + 3a | S} şeklindedir.
ia [α] = [ )α(a),α(a 2i1i ], i=1,2,3 olsun. O halde yukarıdaki eşitliği α-kesimlerin uç
noktalarını kullanarak bulabiliriz. Çünkü;
23
1) Herhangi bir α için 1=)α(a+a+)α(a 31211 olacak şekilde bir ]α[a∈a 22 vardır.
2) Her α için ]α[a∈a 22 olacak bir 2a vardır. Böylece 1=)α(a+a+)α(a 32212 dir.
Buradan;
)B∪A(P [α] = [ )α(a+)α(a),α(a+)α(a 32123111 ] (4.7) olur, böylece )B∪A(P =(0,6/ 0,66/ 0,72) dır.
Kesikli bulanık olasılık dağılımının ortalaması α-kesimleri ile
∑=
=αμn
1iii }S|ax{][ (4.8)
şeklinde tanımlanır.Varyans ta aynı şekilde α-kesimleri ile
][2ασ = }ax,S|a)x({
n
1iiii
n
1i
2i ∑∑
==
=μμ− (4.9)
şeklinde tanımlanır (Buckley 2002).
0≤ α≤ 1 için ]α[μ ve ][2ασ kapalı ve sınırlı aralıklar olduğundan, ortalama μ ve
varyans 2
σ bulanık sayılar olacaktır.
24
5. BULANIK DEĞİŞKENLER
Bu bölümde bulanık mantığın temel ölçüsü olan mümkünlük ölçüsü tanıtılarak, bu ölçü
yardımıyla verilen bulanık değişken kavramı üzerinde durulur. Ayrıca bulanık
değişkenin beklenen değeri sunulur.
5.1 Bulanık Değişkenlerin Tanımı X bir evrensel küme olmak üzere X’in kuvvet kümesi 2 X üzerinde tanımlanan
aşağıdaki özellikleri sağlayan Pos fonksiyonuna bir mümkünlük ölçüsü denir (Liu and
Liu 2005).
1) Pos(Ø)=0, ( ) 1XPos = ,
2) Pos(UI∈i
iA )= ( )iI∈i APossup dir.
(X, 2 X , Pos ) üçlüsü bir mümkünlük uzayı olarak adlandırılır.
2 X üzerinde,
1) Nec(Ø)=0, Nec ( )X =1
2) Nec(II∈i
iA ) = )A(Necinf iI∈i
özelliklerini sağlayan Nec fonksiyonuna gereklilik ölçüsü adı verilir.
∈A 2 X için
))A(Nec)A(Pos(21)A(Cr += (5.1)
ile tanımlanan fonksiyona kredibilite ölçüsü denir. Cr fonksiyonu aşağıdaki özellikleri
sağlar.
25
1) Cr(Ø)=0, Cr ( )X =1
2) Her A⊂B için Cr(A)≤Cr(B)
3) Her A için Cr(A)+Cr )A( ı =1
Tanım 5.1: (X, 2 X , Pos ) mümkünlük uzayından R reel sayılar kümesine giden bir fonksiyona
bulanık değişken denir.
Teorem 5.1: Y bir bulanık değişken olsun. Pos Y : 2 R → R
B → Pos Y (B)=Pos(Y 1− (B)) (5.2) ile tanımlanan Pos Y fonksiyonu R üzerinde bir mümkünlük ölçüsüdür. İspat:
Pos Y (Ø)= Pos(Y 1− ( Ø)), = Pos(Ø) = 0 Pos Y (R)= Pos(Y 1− ( R)), = Pos(X) = 1
ve Pos Y (U
IiiB
∈
) = Pos(Y 1− ( UIi
iB∈
)),
= Pos(UIi∈
Y 1− (Bi)),
= Iisup ∈ Pos Y (Bi)
26
olduğundan ispat tamamlanmış olur. Tanım 5.2: Y bir bulanık değişken olmak üzere (R, 2 R , Pos Y ) üçlüsüne Y’nin doğurduğu
mümkünlük uzayı ve Pos Y ölçüsüne Y’nin mümkünlük dağılımı denir. (X, 2 X , Pos )
Y Pos Y (B)=Pos(Y 1− (B)), B∈2 R
(R, 2 R , Pos Y )
Y bir μ üyelik fonksiyonuna sahip bir bulanık değişken olsun. Burada μ (r) =
Pos (Y = r) = Pos Y ({r}),r∈R dir. Gerçekte bu μ üyeliği Y’nin mümkünlük dağılımı olarak da adlandırılabilir. r ∈ R için Pos(Y≥ r) = Pos Y ( [r,∞ ) )
= Pos Y (Uri
}i{≥
)
= ri
sup≥
Pos Y ({i})
= ri
sup≥
μ (i) (5.3)
yazılabilir. Benzer olarak , r ∈ R için Nec(Y≥ r) = 1-
risup<
μ (i) (5.4)
ve
Cr (Y≥ r) = 21 [
risup≥
μ (i) + 1-ri
sup<
μ (i)] (5.5)
olur.
27
Tanım 5.3:
Y, (X, 2 X , Pos ) mümkünlük uzayı üzerinde bir bulanık değişken ve α ]1,0(∈ olsun.
Y 'α = inf {r | Pos(Y≤ r)≥ α } (5.6)
ve
Y ''α = sup {r | Pos(Y≥ r)≥ α } (5.7)
ile tanımlanan Y '
α ve Y ''α sayılarına sırasıyla Y’nin α- kötümser değeri ve α-iyimser
değeri denir (Zhao et al. 2004).
Y ve K iki bulanık değişken olsun.
1. Herhangi bir α ]1,0(∈ için, (Y+K) 'α =Y '
α +K 'α
2. Herhangi bir α ]1,0(∈ için, (Y+K) ''α =Y ''
α +K ''α
dır.
Eğer Y ve K negatif olmayan (Pos {Y<0}=0 ve Pos{K<0}=0) ise,
3. Herhangi bir α ]1,0(∈ için, (Y.K) 'α =Y '
α .K 'α
4. Herhangi bir α ]1,0(∈ için, (Y.K) ''α =Y ''
α .K ''α
dır.
Υ bir bulanık değişken olsun. Aşağıdaki integrallerden en az birisi sonlu olmak üzere
Y’nin beklenen değeri,
E(Υ ) = ∫∞
≥Υ0
}{ rCr dr - ∫∞−
≤Υ0
}{ rCr dr (5.8)
28
ile tanımlanır . Eğer Υ negatif olmayan bir bulanık değişken ise,
E(Υ ) = ∫∞
≥Υ0
}{ rCr dr (5.9)
olduğu açıktır. E(Υ ) beklenen değeri Y '
α ve Y ''α yardımıyla aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
E(Y)= ∫1
021 [ Y '
α + Y ''α ] dα (5.10)
dır (Zhao et al. 2004). Örnek : Y=(0/3/4) bir üçgensel bulanık değişken olsun. (5.8) de verilen beklenen değer
ifadesinden,
E(Y)= ∫ ∫∞
∞−
≤−≥0
0
}{}{ drrYCrdrrYCr
= ∫ ∫ ≥+≥3
0
4
3
}{}{ drrYCrdrrYCr
= ∫ ∫ −+−3
0
4
3
dr)r4(21dr)
3r2(
21
= 25
olur. Aynı şekilde (5.10) dan,
29
E(Y)= ∫1
021 [ Y '
α + Y ''α ] dα
= ∫1
021 [3α+(4-α)] dα
=25
elde edilir (Zhao and Tang 2006).
30
6. YENİLEME SÜREÇLERİ .
Bu bölümde güvenilirlik, risk, envanter, kuyruk teorisi, garanti analizi ve uygulamalı
istatistiğin daha birçok alanında stokastik modellemede kullanılan alışılmış anlamda
yenileme süreci üzerinde durularak, bu sürecin ortalama değer fonksiyonu verilir. Bu
fonksiyonlar için bilinen bazı ifadeler ve asimptotik sonuçlar sunulur.
6.1 Yenileme Sürecinin Tanımı
( ]ttN ,0),( aralığında gerçekleşen olayların sayısı olmak üzere { }0),( ≥ttN
stokastik sürecine sayma süreci denir.
{ }0),( ≥ttN , sayma süreci ise
)( i ,0)( ≥tN
)( ii )(tN tamsayı değerli rasgele değişkendir,
)( iii Eğer ts < ise )()( tNsN ≤ dir,
)( iv ts < için ( ]tssNtN ,),()( − aralığında gerçekleşen olay sayısıdır.
{ }0),( ≥ttN sayma sürecinde olaylar (yenilemeler) arası geçen zaman süreleri
birbirinden bağımsız ve aynı F dağılımlı rasgele değişkenler ise { }0),( ≥ttN
sürecine bir yenileme süreci ya da alışılmış yenileme süreci denir.
{ }0),( ≥ttN bir yenileme süreci olsun. nX rasgele değişkeni (n-1). ve n. yenilemeler
arasında geçen zaman süresini göstermek üzere
00 =S , LL ,2,1,21 =+++= nXXXS nn (6.1)
31
diyelim. nS rasgele değişkeni n. yenileme yapılıncaya kadar geçen zaman süresini ya da
n. yenilemenin yapıldığı anı gösterir. Her sabit 0≥t için
{ }tSnmakstN n ≤= :)( (6.2)
ve
)())(( tSPntNP n ≤=≥ (6.3)
dır. Yenileme rasgele değişkeni olarak adlandırılan )(tN t zamanına kadar, yani ( ]t,0
zaman aralığında gerçekleşen yenilemelerin sayısını ifade eder (Ross 1983).
Her sabit 0≥t için )(tN rasgele değişkeninin olasılık dağılımı
)1)(())(())(( +≥−≥== ntNPntNPntNP , L,2,1=n
)()( 1 tSPtSP nn ≤−≤= +
)()( *)1(* tFtF nn +−= (6.4)
olarak bulunur. Burada *nF , F dağılım fonksiyonunun kendisiyle olan n-katlı Stieltjes
konvolüsyonudur.
Teorem 6.1:
)(tN yenileme rasgele değişkeni her mertebeden sonlu momentlere sahiptir, yani her
0≥t , 0≥k için ∞<))(( tNE k dır..
Teorem 6.2: μ ve 2σ bir yenileme aralığının beklenen değeri ve varyansını göstersin.
32
)( i 0>μ olmak üzere ,11t
)t(NlimPt
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛μ
=∞→
ve
)( ii 2σ sonlu olmak üzere
dyext
ttNP
xy
t ∫ ∞−
−
∞→=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
<−
2
3
2
21)(
limπ
μσ
μ , x ∈ R
dır (Ross 1983).
Yukarıdaki teoremden, uzun süre çalışmakta olan bir yenileme sürecinde birim zamanda
yapılan yenilemelerin sayısı yaklaşık μ1 ve )(tN rasgele değişkeni
μt ortalama ve
3
2
μσ t varyans ile asimptotik normal dağılıma sahiptir. Bir yenileme süreci ile ilgili
uygulamalarda genellikle karşımıza çıkan fonksiyon sürecin ortalama değer
fonksiyonudur.
6.2 Yenileme Sürecinin Ortalama Değer Fonksiyonu { }0),( ≥ttN bir yenileme süreci olmak üzere [ ])()( tNEtM = , 0≥t ile verilen M fonksiyonu yenileme sürecinin ortalama değer fonksiyonu veya yenileme
fonksiyonu olarak adlandırılır. )(tM , ( ]t,0 zaman aralığında yapılan yenilemelerin
ortalama sayısıdır. Teorem 6.1’ den her 0≥t için )(tM ’ nin sonlu olduğu açıktır.
33
⎩⎨⎧
>≤
=tStS
Ik
kk ,0
,1
olsun.
∑∞
=
=1
)(k
kItN
olup
[ ] )()(1∑∞
=
=k
kIEtNE
)(1∑∞
=
=k
kIE
∑∞
=
≤=1
)(k
k tSP
∑∞
=
=1
* )(k
k tF
elde edilir. O halde
∑∞
=
=1
* )()(k
k tFtM , 0≥t (6.5)
dır. )5.6( ifadesinin kullanılmasıyla M ’ nin sağdan sürekli ve azalmayan bir fonksiyon
olduğu gösterilebilir. Bununla birlikte
∑∞
=∞→∞→
=1
* )(lim)(limk
k
tttFtM
∑∞
=∞→
=1
* )(limk
k
ttF
∑∞
=
=1
1k
∞=
34
olmak üzere M yenileme fonksiyonu ∞→t için bire yakınsıyor olmaması dışında
dağılım fonksiyonu özelliklerine sahiptir.
Birinci yenileme yapılıncaya kadar geçen zaman süresi olan 1X rasgele değişkeni ile
koşullandırma yapıldığında
[ ])()( tNEtM =
[ ])X)t(N(EE 1=
)x(dF)xX)t(N(E0 1∫∞
==
olur.
[ ] [ ]⎩⎨⎧
>≤−+
==txtxxtNE
xXtNE,0
,)(1)( 1
olduğundan
∫ −+=t
xdFxtMtFtM0
)()()()( (6.6)
)(*)( tMFtF += , 0≥t bulunur. Burada * işlemi Stieltjes Konvolüsyon işlemini gösterir.
(6.6) denklemi
∫ −+=t
xdMxtFtFtM0
)()()()( , 0≥t (6.7)
35
olarak yazılabilir. Çünkü MFFM ** = ’ dir. t ’ nin negatif değerleri için 0)( =tN
olduğundan 0<t için 0)( =tM dır. 0=t için (6.7) integral denkleminden
)0(1)0()0(
FFM−
= bulunur. nX rasgele değişkeni pozitif olduğunda 0)0( =F
olacağından 0≤t için 0)( =tM olur.
Teorem 6.3: ( Elemanter yenileme teoremi ) { }0),( ≥ttN bir yenileme süreci olsun ∞<μ olmak üzere
μ1)(lim =
∞→ ttM
t (6.8)
dır . Bu teoremden, uzun süre çalışmakta olan bir yenileme sürecinde birim zamanda yapılan
yenilemelerin beklenen sayısı μ1 ve )(tM ’ nin t ’ ye göre yaklaşık olarak lineer
olduğu söylenebilir.
Teorem 6.4: Herhangi bir { }0),( ≥ttN yenileme sürecinde ardışık yenilemeler arası geçen zaman
süreleri aritmetik olmayan bir F dağılım fonksiyonuna ve sonlu μ ortalamasına sahip
ise herhangi bir 0>h için
[ ]μhhtMtM
t=−−
∞→)()(lim (6.9)
dir .
36
6.3 Yenileme Ödül Süreci { }0),( ≥ttN yenilemeler arası geçen zaman süreleri dağılım fonksiyonu F olan bir
yenileme süreci olsun.Yenilemenin olduğu her bir zamanda bir ödül verildiğini kabul
edelim. .n yenileme zamanında kazanılan ödül nR rasgele değişkeni ile gösterilsin.
K,, 21 RR rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı olmak üzere .n yenileme
aralığının uzunluğu olan nX ile nR bağımlı olabilir. ),(,),,( 11 nn RXRX K iki boyutlu
rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı olarak göz önüne alınsın.
∑=
≥=)(
10,)(
tN
nn tRtR
ile tanımlanan { }0),( ≥ttR birikimli sürecine yenileme ödül süreci denir. )(tR , t
zamanına kadar kazanılan toplam ödülü ifade eder. )(tR ve [ ])(tRE için aşağıdaki
teorem ile asimptotik bir ifade verilebilir. Bu teorem literatürde ‘ yenileme ödül
teoremi’ olarak bilinir.
Teorem 6.3.1 ( Yenileme ödül teoremi ) ( ) ( )nRERE = ve μ sonlu olmak üzere
)(i ,)()(μRE
ttR
t ⎯⎯→⎯ ∞→ 1 olasılık ile
)(ii [ ]μ
)()( REt
tREt ⎯⎯→⎯ ∞→
dır (Ross 1983). Yukarıdaki teorem aynı zamanda ödül yenileme aralığı boyunca kazanılsa da geçerlidir
37
7. BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ Bu bölümde yenileme süreçlerinde bulanık değişkenlerin kullanılması sonucu elde
edilen bulanık yenileme süreci incelenir ve bu süreçte klasik yenileme sürecinin bazı
bilinen sonuçlarının karşılıkları ifade edilir.
7.1 Bulanık Yenileme Süreçlerinin Tanımı
1Υ , 2Υ ,… bulanık değişkenler olmak üzere n = 1,2,…için nΥ , (n-1). ve n. yenilemeler
arası geçen zamanları göstersin,
0S = 0, S n = 1Υ + 2Υ + 3Υ +...+ nΥ , n≥ 1 (7.1)
olarak tanımlansın. Buradan,
N(t) = 0n
maks≥
{ n : 0 < S n < t } (7.2)
olarak tanımlanan {N(t), t≥ 0} sürecine bulanık yenileme süreci denir. Her sabit t için
N(t), t zamanına kadar gerçekleşen yenilemelerin sayısı olup N(t) nin bir bulanık
değişken olduğu açıktır. Her sabit t için N(t) ye bulanık yenileme değişkeni denir.
Her n∈{0,1,…} için
Pos{N(t) = n} = Pos{ S n ≤ t < S 1+n } (7.3)
Pos{N(t)< n} = Pos{1
0
−
=∪n
i {N(t) = i}} = Pos{ S n > t} (7.4)
Pos{N(t)≥ n} = Pos{∞
=∪
ni{N(t) = i}} = Pos{S n ≤ t} (7.5)
dir (Zhao and Liu 2003). Burada yenilemeler arası geçen zaman süreleri olan nΥ
(n=1,2…) bulanık değişkenleri için
38
i) Pos{ nΥ ≤ 0 }= 0 (Pozitiflik),
ii) Pos{ nΥ = r}, r nin sürekli bir fonksiyonudur (süreklilik),
iii) aynı üyelik fonksiyonuna sahiptirler.
olduğu ifade edilir. Teorem 7.1.1: 1Υ , 2Υ , 3Υ …aynı üyelik fonksiyonuna sahip yenilemeler arası geçen zaman süreleri
için bulanık değişkenler olsunlar. Bu durumda herhangi bir t > 0 için,
Pos{S n ≤ t} = Pos { 1Υ ≤ nt } (7.6)
dir (Zhao and Liu 2003). Eşitsizlik “≤ ” sembolü “≥ ”, “<” veya “>” olduğunda da
sağlanır.
İspat: { nΥ } bulanık değişkenler serisi olmak üzere, Pos{S n ≤ t} =
txxx n≤++ ...
21
sup Pos{ iΥ ≤ x i , i = 1,2,…,n}
= txxx n
≤++ ...21
supn
i 1=Λ Pos{ iΥ ≤ x i }
≥ n
i 1=Λ Pos{ iΥ ≤
nt }
= Pos{ 1Υ ≤ nt } (7.7)
dir. Diğer taraftan herhangi verilen ε >0 için, x1 + x 2 +…+ x n ≤ t yi sağlayan öyle
gerçek x 1 ,x 2 ,…,x n reel sayıları vardır ki her i, 1≤ i≤n için
39
Pos{S n ≤ t}-ε ≤ Pos{ 1Υ ≤ x 1 , 2Υ ≤ x 2 ,…, nΥ ≤ x n } ≤ Pos{ iΥ ≤ x i } (7.8)
dir. x1 + x 2 +…+ x n ≤ t olduğundan genelden uzaklaşmaksızın x 1 ≤nt olduğunu iddia
edelim. Bunun sonucunda 0→ε iken
Pos{S n ≤ t} ≤ Pos{ Υ 1 ≤ x 1 } ≤ Pos{ Υ 1 ≤ nt } (7.9)
dir. Bu durumda (7.7) ve (7.9) ifadelerinden,
Pos{S n ≤ t} = Pos{ Υ 1 ≤ nt }
bulunur. Bu ispatlar teoremdeki “≤” sembolü “≥”, “<” veya “>” olduğunda da
yapılabilir
Bulanık yenileme teorisi için başka önemli bir kavram da E[N(t)] dir. Verilen bir t için,
E[N(t)] (5.8) ifadesinden
E[N(t)] = ∑∞
=1nnnw (7.10)
olarak elde edilir, burada
w1 = 21 ( μ 1 +
j≤1max μ j -
j<1max μ j )
. . .
w n = 21 (
nj≤≤1max μ j -
nj<≤1max μ j +
jn≤max μ j -
jn<max μ j ) , n≥ 2 (7.11)
40
ve n = 1,2,… için
μ n = Pos{N(t) = n} (7.12)
dir. Teorem 7.1.2:
1Υ , 2Υ ,… aynı üyelik fonksiyonuna sahip pozitif ve sürekli bulanık geçen zaman
değişkenleri olmak üzere N(t) bunlar üzerine kurulu bulanık yenileme değişkeni olsun.
Herhangi bir t >0 ve r reel sayısı için
Pos{ttN )(≥ r} ≤ Pos{ r≥
Υ1
1 } (7.13)
Nec{ttN )(≥ r} ≤ Nec{ r≥
Υ1
1 } (7.14)
ve
Cr{ttN )(≥ r} ≤ Cr{ r≥
Υ1
1 } (7.15)
dir. Ayrıca herhangi bir r reel sayısı için,
∞→t
lim Pos{ttN )(≥ r} = Pos{ r≥
Υ1
1 } (7.16)
∞→t
lim Nec{ttN )(≥ r} = Nec{ r≥
Υ1
1 } (7.17)
∞→t
lim Cr{ttN )(≥ r} = Cr{ r≥
Υ1
1 } (7.18)
dir (Zhao and Liu 2003). Yenileme teorisinde elemanter yenileme teoremi olarak bilinen Teorem 6.3’ün bulanık
yenileme süreçlerindeki karşılığı aşağıdaki teorem ile verilir.
41
Teorem 7.1.3 (Bulanık Elemanter Yenileme Teoremi):
{N(t), t≥ 0} bir bulanık yenileme süreci ve bu süreçte 1Υ , 2Υ ,… ler yenilemeler arası
geçen zaman sürelerini temsil eden aynı üyelikli, pozitif ve sürekli bulanık değişkenler
olsunlar. Bu durumda E[1/ 1Υ ] sonlu ise,
∞→t
lim t
tNE )]([ = E[1
1Υ
] (7.19)
dir (Zhao and Liu 2003). İspat : 1Υ ve N(t) negatif olmayan bulanık değişkenler olduğundan bulanık beklenen
değer tanımından
E[1/ 1Υ ] = ∫∞
≥0
1 }rY/1{Cr dr ,
ve
t)]t(N[E = ∫
∞
≥0
}rt/)t(N{Cr dr
olur.Teorem 7.1.2 den herhangi bir r reel sayısı için Cr{N(t)/t≥ r}≤ Cr{1/ 1Υ ≥ r} ve
∞→tlim Cr{N(t)/t≥ r}= Cr{1/ 1Υ ≥ r}
bulunur. E[1/ 1Υ ] = ∫∞
≥0
1 }rY/1{Cr dr sonlu olduğunda Lebesgue baskın yakınsaklık
teoreminden
∞→tlim
t)]t(N[E = E[1/ 1Υ ]
ifadesine ulaşılır.
42
7.2 Bulanık Yenileme Ödül Süreci ( 1Υ ,R1 ), ( 2Υ ,R 2 )…bulanık değişken çiftlerinin bir dizisi olsun. i. yenileme süresi nΥ
ile ilgili ödül(ya da zarar) R i ile gösterilsin. R i , i = 1,2,… bulanık değişkenlerinin aynı
üyelik fonksiyonuna sahip, pozitif ve sürekli olduğunu kabul edelim.
C(t), t zamanına kadar gerçekleşen yenilemelerin toplam ödülünü göstersin. Bu
durumda
C(t) = ∑=
)(
1
tN
iiR , t≥ 0 (7.20)
olur. Burada N(t), iΥ bulanık değişkenleri üzerine kurulu bulanık yenileme
değişkenidir. Bu şekilde oluşturulan {C(t), t≥ 0} birikimli sürecine bulanık yenileme
ödül süreci denir (Zhao and Liu 2003).
Teorem 7.2.1 : {C(t), t≥ 0} bir bulanık yenileme ödül süreci olsun. Bu durumda
E[C(t)] = E[N(t)R1 ]
dir.
İspat : N(t) pozitif olduğu için,
Pos [∑=
)(
1
tN
iiR ≥ r] =
nsup Pos {N(t)=n}ΛPos {∑
=
n
iiR
1≥ r}
= n
sup Pos {N(t)=n}ΛPos {R1 ≥ r/n}
= Pos {N(t) R1 ≥ r}
dir. Benzer olarak,
43
Nec{∑=
)(
1
tN
iiR ≥ r} = Nec{N(t) R1 ≥ r}
dir. O halde,
Cr{∑=
)(
1
tN
iiR ≥ r} =
21 ( Pos {∑
=
)(
1
tN
iiR ≥ r} + Nec{∑
=
)(
1
tN
iiR ≥ r})
= 21 ( Pos {N(t) R1 ≥ r} + Nec{N(t) R1 ≥ r})
= Cr{N(t) R1 ≥ r}
dir. Bu durumda
E[C(t)] = E[∑=
)(
1
tN
iiR ] = }RCr{
0
N(t)
1ii r≥∫ ∑
∞
=
dr
= ∫∞
0
Cr{N(t) R1 ≥ r}dr
= E[N(t)R1 ]
elde edilir. Teorem 7.2.2 :
{C(t), t≥ 0} bir bulanık yenileme ödül süreci olsun. Herhangi bir t>0 ve r reel sayısı
için
Pos{t
)t(C≥ r} ≤ Pos{
1
1
YR
≥ r}
Nec{t
)t(C≥ r} ≤ Nec{
1
1
YR
≥ r}
44
Cr{t
)t(C≥ r} ≤ Cr{
1
1
YR
≥ r}
dir. Ayrıca bir r reel sayısı için,
∞→t
lim Pos{t
)t(C≥ r} = Pos{
1
1
YR
≥ r}
∞→t
lim Nec{t
)t(C≥ r} = Nec{
1
1
YR
≥ r}
∞→t
lim Cr{t
)t(C≥ r} = Cr{
1
1
YR
≥ r}.
İspat : Pos{t
)t(C≥ r} = Pos {∑
=
)(
1
tN
iiR ≥ tr}
= Pos {N(t) R1 ≥ tr}
= Pos{N(t)≥1R
tr }
= 0a
sup>
Pos{N(t)atr
≥ }ΛPos{R1 =a}
= 0a
sup>
Pos{N(t) k≥ }ΛPos{R1 =a}
= 0a
sup>
Pos{S(k)≤ t}ΛPos{R1 =a}
= 0a
sup>
Pos{Y1 ≤ kt }ΛPos{R1 =a}
burada k, katr
≥ olacak şekildeki en küçük tamsayıdır.
Ayrıca,
Pos{t
)t(C≥ r}≤
0asup>
Pos{ Y1 a/trt
≤ }ΛPos{R1 =a}
= 0a
sup>
Pos{1Y
a r≥ }ΛPos{R1 =a}
45
= Pos{1
1
YR r≥ },
dir. Diğer taraftan,
Pos{t
)t(C≥ r}≥
0asup>
Pos{ 1Y 1a/tr
t+
≤ }ΛPos{R1 =a}
= 0a
sup>
Pos{1Y
a tar +≥ }ΛPos{R1 =a}
= Pos{tRr
YR 1
1
1 +≥ }
→Pos{ rYR
≥1
1 } (t ∞→ )
olur. Böylece,
Nec{t
)t(C≥ r} = 1- Pos{
t)t(C < r}
= 1- Pos {∑=
)(
1
tN
iiR < tr}
= 1-n
sup Pos{N(t)=n}Λ Pos {∑=
n
iiR
1< tr}
= 1-n
sup Pos{N(t)=n}Λ Pos {R1 ≤ ntr }
= 1-Pos{N(t)R1 < tr}
= 1-Pos{N(t) < 1R
tr }
= 1-Pos{N(t)< k }ΛPos{R1 =a}
= 1-0a
sup>
Pos{S k > t}ΛPos{R1 =a}
= 1-0a
sup>
Pos{Y1 > t/k}ΛPos{R1 =a}
burada k, katr
≥ olan en küçük tamsayıdır.
46
Nec{t
)t(C≥ r} ≤ 1-
0asup>
Pos{ Y1 a/trt
≥ }ΛPos{R1 =a}
= 1-0a
sup>
Pos{ Y1 ra
≥ }ΛPos{R1 =a}
= 1-Pos{1
1
YR < r}
= Nec{1
1
YR r≥ },
ve
Nec{t
)t(C≥ r} ≥ 1-
0asup>
Pos{ Y1 1a/trt+
≥ }ΛPos{R1 =a}
= 1-0a
sup>
Pos{ 1Y
atar +< }ΛPos{R1 =a}
→1-Pos{1
1
YR < r} (t ∞→ )
= Nec{1
1
YR
≥ r}
dir.
Cr{t
)t(C≥ r} =
21 ( Pos {
t)t(C≥ r} + Nec{
t)t(C≥ r})
≤ 21 ( Pos {
1
1
YR
≥ r} + Nec{1
1
YR
≥ r})
= Cr{1
1
YR
≥ r}
ve
∞→t
lim Cr{t
)t(C≥ r} =
∞→tlim
21 ( Pos {
t)t(C≥ r} + Nec{
t)t(C≥ r})
= 21 ( Pos {
1
1
YR
≥ r} + Nec{1
1
YR
≥ r})
= Cr{1
1
YR
≥ r}
olduğundan ispat tamamlanmış olur.
47
Klasik yenileme teorisinde yenileme ödül teoremi olarak bilinen Teorem 6.3.1 in
bulanık yenileme süreçlerindeki karşılığı aşağıdaki teorem ile ifade edilir.
Teorem 7.2.3 :
{C(t), t≥ 0 } bir bulanık yenileme ödül süreci olsun.
Eğer E[1
1
YR ] sonlu ise;
∞→t
limt
)]t(C[E = E[1
1
YR ]
dir (Zhao and Liu 2003). İspat : R1 , Y1 , N(t) ve C(t) negatif olmayan bulanık değişkenler olduğunda beklenen
değer tanımdan,
E[1
1
YR ] = drrYRCr }/{ 1
01 ≥∫
∞
, t
)]t(C[E = dr}rt/)t(C{Cr0
≥∫∞
Bu durumda Teorem 7.2.2 den ,
∞→t
lim Cr{t
)t(C≥ r} = Cr{
1
1
YR
≥ r}
ve
Cr{t
)t(C≥ r}≤ Cr{
1
1
YR
≥ r}
dır. E[1
1
YR ] sonlu olduğundan Lebesgue baskın yakınsaklık teoremi gereğince,
∞→t
limt
)]t(C[E = E[1
1
YR ]
olur. Böylelikle ispat tamamlanır.
48
Örnek : 1Υ , 2Υ … bulanık değişkenler dizisi ve 1Υ = 2Υ =…=(1/5/9) olsun. N(t), t zamanına
kadar gerçekleşen olaylarım sayısını göstersin. Öncelikle, Pos{ ≥t
)t(N 0.4} değerini
tahmin etmek (yaklaşık olarak belirlemek) için bulanık simülasyon kullanalım.
∞→tlim Pos{
t)t(N≥ 0.4 } = Pos{
1Y1
≥ 0.4} = 0.375 olduğunu biliyoruz.
Şekil1 de 10000 deneme sonucu elde edilen bulanık simülasyon sonucu, düz çizgi
Pos{ ≥1Y
1 r} = 0.375 ve eğri çizgi de simülasyonda değişik zamanlardaki saptanan
mümkünlükleri göstermektedir. Buradan görülüyor ki büyük olmayan t değerlerinde
bile yaklaşım iyidir.
Pos{ ≥t
)t(N 0.4}
0.4 - 0.3 -
0.2 -
0.1- | | | | | | | | | t
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
Şekil 7.1 Pos{ ≥t
)t(N 0.4} değeri için bulanık simulasyon
49
Şimdi bulanık simülasyonu t
)]t(N[E yi tahmin etmek(yaklaşık olarak belirlemek) için
kullanalım.Şekil 7.2’de 10000 deneme sonucu elde edilen bulanık simülasyonda düz
çizgi E[1Y
1 ] = 0.2746 değerini ve eğri çizgi de değişik zamanlardaki t
)]t(N[E
değerlerini göstersin. Teorem 7.1.3 ten
∞→t
limt
)]t(N[E = E[1Y
1 ] = 0.2746
olduğunu biliyoruz. Şekil 7.2’den küçük t değerleri için bile yaklaşımın iyi olduğu
görülmektedir.
Şimdi R1 =(2/4/6) olsun. 200 deneme sonucu elde edilen simülasyon Şekil 7.3’te
görülmektedir. Düz çizgi E[1
1
YR ] = 1.24 değerini ve eğri çizgi ise değişik zamanlardaki
t)]t(C[E değerini gösterir. Teorem 7.2.3 den
∞→tlim
t)]t(C[E = 1.24
dür. Bu örnekte, Şekil 7.3’ten yaklaşımın iyi olmadığı görülmektedir.
t
)]t(N[E
0.3 -
0.2 - 0.1 - | | | | | | t 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8
Şekil 7.2 t
)]t(N[E için bir bulanık simulasyon
50
t
)]t(C[E
10 -
5 - 1.24 10 4 2x10 4 3x10 4 4x10 4
Şekil 7.3 t
)]t(C[E için bir bulanık simulasyon
51
8. SONUÇ
Bu çalışmada ilk olarak bulanık mantık ve bulanık kümeler tanıtılmış, bulanık kümeler
üzerindeki işlemler anlatılmıştır. Daha sonra bulanık sayılar tanımlanarak bulanık
sayıların kullanılmasıyla oluşan bulanık aritmetiği ve bulanık fonksiyonlar anlatılmış ve
bulanık değişkenin tanımı verilmiştir. Tezimizin konusu doğrultusunda bulanık
yenileme süreçleri ile karşılaştırma yapılabilmesi için yenileme süreçleri, yenileme
süreçlerinde beklenen değer, elemanter yenileme teoremi ve yenileme ödül teoremi
irdelenmiştir.
Sonuç olarak bu çalışmanın amacı doğrultusunda, yenileme süreçlerinde bulanık
değişkenlerin kullanılmasıyla oluşan bulanık yenileme süreçlerinde, beklenen değer,
elemanter bulanık yenileme süreçleri ve bulanık yenileme ödül teoremi verilmiştir.
Verilen bazı asimptotik ifadelerin kullanılabilirliği bir simülasyon çalışması ile
incelenmiştir.
Çalışmamızda yenileme süreçlerinde, yenilemeler arası geçen zaman sürelerinin bulanık
değişkenler olduğunu kabul ederek ortaya çıkan yeni sonuçları irdeledik. Bu
yenilemeler arası geçen zaman sürelerinin bulanık rasgele değişkenler olduğu durumda
ortaya çıkan yeni süreç “ Bulanık Rasgele Yenileme Süreçleri ” de bir sonraki adım
olarak irdelenebilir.
Daha da ileri götürülerek iki boyutlu yenileme süreçlerinde bulanık değişkenler
kullanılarak ortaya çıkan yeni sonuçlar ilgi çekici olabilir. İrdelenen yeni sonuçların
örneklerle pekiştirilmesi konuya olan hakimiyetimizi artıracaktır. Son örnekte
kullandığımız bulanık simulasyon yöntemi uygulama bakımından bize büyük
kolaylıklar sağlayacak ve ortaya çıkan sonuçların daha iyi kavranmasını sağlayacaktır.
Tüm bu çalışmalar bulanık mantığın yenileme süreçleriyle bütünleşmesini ve bunun
sonucunda ortaya çıkacak yeni sonuçları inceleme imkanını sunacaktır.
52
KAYNAKLAR
Buckley, J. J. 2002. Fuzzy Probabilities : New Approach and Applications. Heidelberg;
New York : Physica-Verlag, 164, USA
Liu, Y.K. and Liu B. 2005. Fuzzy Random Programming with Equilibrium Chance
Constraints. Information Sciences. 170(2005)363-395 Piegat, A. 2005. A New Definition of the Fuzzy Set. Int. J. Appl. Math. Comput. Sci.
2005,Vol.15, No.1, 125-140 Ross, S.M. 1983. Stochastic Processes. John Wiley & Sons , Inc.,New York. Wu, H.C. 1997. Fuzzy-valued Integrals of Fuzzy-valued Measurable Functions with
Respect to Fuzzy-valued Measures Based on Closed Intervals. Fuzzy Sets and Systems, 87(1997)65-78
Zhao, R. and Tang W. 2006. Some Properties of Fuzzy Random Renewal Processes.
IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol.14, No.2, April 2006 Zhao, R., Tang W. and Yun H. 2004. Fuzzy Renewal Reward Process and Their
Applications. 25-29 July, 2004-Budapest,Hungary Zhao, R. and Liu B. 2003. Renewal Process with Fuzzy Interarrival Times and
Rewards. World Scientific, Vol.11, No.5 (2003)573-586
53
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Yunus KOCATÜRK
Doğum Yeri : Salihli
Doğum Tarihi : 11.03.1982
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Sekine Evren Anadolu Lisesi (1993-2000)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
İstatistik Bölümü (2000-2004)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
İstatistik Anabilim Dalı (2004-2007)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
T.C. Başbakanlık Türkiye İstatistik Kurumu (2006- )
